Post on 10-Nov-2018
Universidad Autonoma de Zacatecas
“Francisco Garcıa Salinas”
Unidad Academica de Fısica
Propiedades opticas lineales y no lineales en pozos δ-dopados dobles
asimetricos tipo n en GaAs
T E S I SQue para obtener el grado de
Maestro en Ciencias Fısicas
Presenta
Fis. Karla Arely Rodrıguez Magdaleno
Director de Tesis
Dr. Juan Carlos Martınez Orozco
en codireccion del
Dr. Isaac Rodrıguez Vargas
Zacatecas, Zac. Octubre 2013
iii
A mis padres
Jose Antonio y Ma. Domitila
v
Agradecimientos
Me gustarıa expresar mis mas sinceros agradecimientos a la Unidad Academica de Fısica de
la Universidad Autonoma de Zacatecas por haberme permitido llevar a cabo mis estudios en su
Programa de Maestrıa en Ciencias Fısicas. Agradezco a mi asesor, el Dr. Juan Carlos Martınez
Orozco y mi coasesor, el Dr. Isaac Rodrıguez Vargas por todo su apoyo, esfuerzo y dedicacion,
brindados durante la realizacion de esta tesis. De igual forma, agradezco al Dr. Jose de Jesus
Araiza Ibarra por su participacion y seguimiento en mi comite tutoral. A los Dres. Julio Cesar
Lopez Domınguez y Rolando Perez Alvarez, tambien les doy las gracias por su participacion
como sinodales y por todo lo aportado a mi trabajo.
Agradezco tambien a la Escuela de Ingenierıa de Antioquia (EIA) y a la Universidad de
Antioquia (UdeA), en particular al Dr. Carlos Alberto Duque Echeverri, coordinador del grupo
de Materia Condensada del Instituto de Fısica, por su hospitalidad y facilidades para la reali-
zacion de mi estancia de investigacion, donde se llevaron a cabo gran parte de los calculos de
este trabajo de tesis.
Agradezco el apoyo economico otorgado por el COZCyT-FOMIX a traves del proyecto “Con-
solidacion Academica de la Maestrıa en Ciencias Fısicas UAF-UAZ”, ası como tambien al
Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa (CONACYT) y al Departamento Administrativo de
Ciencia, Tecnologıa e Innovacion de Colombia (COLCIENCIAS), por su apoyo brindado me-
diante sus programas de becas para estudio de posgrado y del proyecto de Colaboracion Bilateral
2012-2013 titulado: “Estudio de propiedades opticas, electronicas y de transporte en sistemas
de baja dimension basados en carbono y semiconductores III-V: efectos de campos externos,
temperatura y presion hidrostatica”.
Agradezco infinitamente a mis padres: Jose Antonio y Ma. Domitila, a mis hermanos: Karina,
vi
Rosalıa y Jose Antonio, a mi segunda familia: Roberto, Rosa Elvia, Miriam y Edith, por su apoyo
y por estar en todo momento a mi lado.
Sin lugar a duda, una de las cosas adquiridas y que hicieron mas amena mi formacion en la
Maestrıa, fueron mis companeros y amigos, Jose Guadalupe Rojas Briseno, Rogelio Rodrıguez
Gonzalez y Enrique Arturo Carrillo Delgado, a cada uno les reitero mi agradecimiento por todo
el tiempo compartido durante y fuera de los cursos. Tambien agradezco a mis profesores y
amigos, al Dr. Alejandro Puga Candelas y al Dr. Jaime Raul Suarez Lopez.
A Priscilla Castillo Velazquez, Claudia Carlos Pinedo, David Chong Alba y Salome Gu-
tierrez Ramos, les agradezco cada una de las alegrıas, tristezas, triunfos y fracasos que hemos
compartido.
A todos... ¡Gracias!
vii
Resumen
En el presente trabajo de tesis de Maestrıa en Ciencias Fısicas (MCF), se realiza el estudio
de las propiedades electronicas de sistemas δ-dopados dobles tipo n en una matriz de GaAs,
ası como tambien el estudio de algunas propiedades opticas del sistema, en particular del coe-
ficiente de absorcion optica y del cambio relativo del ındice de refraccion relacionados con la
transicion fundamental E10. Se propone el potencial del sistema de pozos δ-dopados dobles ti-
po n como la suma analıtica del potencial de dos pozos δ-dopados simples. La validez de este
modelo se verifico cuando la separacion entre los pozos es considerable, de manera tal que se
reprodujera la estructura electronica correspondiente a los pozos δ-dopados simples, ademas de
comparar nuestros resultados con un calculo autoconsistente reportado en la literatura, encon-
trando excelente acuerdo en el valor de la transicion fundamental. En este estudio se considera
siempre una separacion entre los pozos mayor al radio de Bohr (10 nm) de las impurezas en el
material. Una vez que se tiene el modelo de potencial se trabaja en la aproximacion de masa
efectiva a una banda.
El metodo usado en este trabajo para calcular la estructura electronica esta basado en expan-
dir la solucion del Hamiltoniano del sistema en terminos de las soluciones de un pozo cuantico
de potencial rectangular infinito, de ancho L∞. Una vez obtenida la estructura electronica del
sistema, se calculo, a traves de expresiones bien establecidas en la literatura, el coeficiente de
absorcion optica ası como el cambio relativo del ındice refraccion del sistema, considerando
correcciones de tercer orden en ambas propiedades fısicas, las cuales son debidas, fundamental-
mente, a efectos de laser intenso y donde la asimetrıa del sistema juega un rol importante. En
este estudio se investigo, manteniendo fijos los valores de la densidad de impurezas de las capas
δ-dopadas de impurezas en 5.0 y 4.0 en unidades de ×1012 cm−2, la estructura electronica del
sistema y el comportamiento de los elementos de matriz como funcion de la separacion entre los
viii
pozos (ℓp) en el rango de 10 a 20 nm. Esto con el fin de encontrar el maximo del elemento de
matriz |M10|2, que determina el maximo del coeficiente de absorcion y la magnitud del cambio
relativo del ındice de refraccion, estudiando entonces, el efecto de la asimetrıa del sistema al
calcular dichas propiedades opticas para un par de distancias especıficas para la separacion entre
los pozos (12, 18 nm).
Fijando pues la densidad de impurezas de la capa δ-dopada de la izquierda enNL2d = 5,0×1012
cm−2, y la separacion entre los pozos en ℓp = 12 nm, se vario la densidad de impurezas de la
capa δ-dopada de la derecha NR2d en un rango de 0 a 7.5 ×1012 cm−2 reportando la estructura
electronica, determinando la region en la que se maximiza el valor de |M10|2, que corresponde al
caso completamente simetrico, estudiando luego el efecto de la correccion de tercer orden en las
propiedades opticas de interes al calcular dichas propiedades para una densidad de impurezas
bidimensional del segundo pozo de NR2d=3.5, 4.5, 5.5 y 6.5 ×1012 cm−2, encontrando corrimientos
en los picos del coeficiente de absorcion y en el nodo del cambio relativo del ındice de refraccion,
ademas de que las correcciones de tercer orden son mas importantes en el caso mas simetrico.
Finalmente, fijando la separacion entre los pozos (ℓp=12 nm) y las concentraciones de impu-
rezas de las capas δ-dopadas en 5.0 y 4.0 en unidades de ×1012 cm−2, se hace el mismo analisis
como funcion de un campo electrico externo estacionario en el rango de -20 a 20 kV/cm, en
donde el maximo del elemento de matriz |M10|2 se da para un valor de 15 kV/cm, investigando
entonces el efecto de las correcciones de tercer orden, calculando tanto el coeficiente de absorcion
ası como el cambio relativo del ındice de refraccion alrededor de este maximo para determinar
la importancia de las correcciones.
Al variar los parametros antes mencionados, se pueden proponer valores para los cuales se
maximizan tanto el valor del coeficiente de absorcion, ası como el cambio relativo del ındice de
refraccion, ademas de determinar la importancia de las correcciones de tercer orden en ambas
ix
propiedades, encontrando que es posible el sintonizar la energıa de resonancia para el coeficiente
de absorcion y del nodo del cambio relativo del ındice de refraccion, los cuales estan en el rango
del infrarrojo lejano.
La estructura de la tesis es la siguiente: en el capıtulo 1 se da una breve introduccion a los
sistemas de estudio, donde se presentan algunas generalidades de los sistemas cuanticos semi-
conductores, pozos cuanticos simples, dobles y δ-dopados de impurezas, ası como la importancia
de estos y la motivacion para realizar este trabajo de tesis. En el capıtulo 2 se presenta el marco
teorico donde se describen las principales teorıas fısicas como lo son: la aproximacion de masa
efectiva y modelo hidrogenoideo, ası como una breve descripcion de la forma en que se calculan
las expresiones para las propiedades opticas de interes, posteriormente en los capıtulos 3 y 4 se
reportan los resultados de la estructura electronica y las propiedades opticas, respectivamente.
Finalmente, en el capıtulo 5 se presentan las conclusiones de este trabajo.
Indice general
Dedicatoria III
Agradecimientos V
Resumen VII
Indice X
1. Introduccion 1
1.1. Materiales Semiconductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Arseniuro de Galio (GaAs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Pozos cuanticos en materiales semiconductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Pozo rectangular finito e infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Pozo rectangular finito doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Pozos δ-dopados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1. Crecimiento de pozos δ-dopados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2. Marco teorico 25
xi
xii INDICE GENERAL
2.1. Aproximacion de masa efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Impurezas poco profundas y modelo hidrogenoideo . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Metodo de Xia y Fan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Propiedades opticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5. Propiedades opticas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.1. Coeficiente de absorcion y cambio relativo en el ındice de refraccion lineal
y no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3. Estructura electronica 37
3.1. Estructura electronica de pozos δ-dopados dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1. Como funcion de la separacion entre pozos ℓp . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.2. Como funcion de la concentracion de los pozos . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.3. Como funcion del campo electrico F aplicado . . . . . . . . . . . . . . . 46
4. Propiedades opticas lineales y no lineales 49
4.1. Coeficiente de absorcion e ındice de refraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.1. Como funcion de la separacion entre pozos . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.2. Como funcion de la la concentracion de los pozos . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.3. Como funcion del campo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5. Conclusiones 65
Capıtulo 1
Introduccion
1.1. Materiales Semiconductores
Los materiales semiconductores son, sin duda, una parte muy importante en la construccion
de dispostivos electronicos y optoelectronicos. La razon principal que destaca la importancia de
los semiconductores es el hecho de que sus propiedades electricas y opticas pueden ser facilmente
modificadas impurificando las muestras. Los semiconductores mas utilizados en la industria
electronica son el Silicio (Si) y el Germanio (Ge), ası como sus heteroestructuras. Ademas de
estos semiconductores estan los semiconductores compuestos que por lo general se forman de
dos, tres o cuatro elementos diferentes y se conocen como binarios, ternarios y cuaternarios,
respectivamente.
Los semiconductores compuestos binarios mas importantes estan basados en los elementos de
las columnas III, V, II y VI de la tabla periodica. Por esta razon estos compuestos son llamados
III-V y II-VI, por ejemplo, el Arseniuro de Galio (GaAs), el Fosfuro de Indio (InP ), el Arseniuro
de Aluminio (AlAs), el Oxido de Zinc (ZnO), el Seleniuro de Cadmio (CdSe) y el Sulfuro de
Zinc (ZnS), entre otros. Los compuestos ternarios se pueden formar con tres elementos como la
1
2 CAPITULO 1. INTRODUCCION
mezcla ternaria Arseniuro-Galio-Aluminio (AlxGa1−xAs), donde x representa la concentracion
de Aluminio que esta presente en el compuesto. Los compuestos cuaternarios se forman con
cuatro elementos, un ejemplo de este tipo de semiconductor es el InxGa1−xAsyP1−y, donde x y
y son las concentraciones de Indio y Arseniuro, respectivamente.
El clasificar a un material como semiconductor, se debe a la fısica que se encuentra presente
en los solidos. Todo solido cristalino tiene simetrıa traslacional, es decir, el solido se puede dividir
en un conjunto de celdas identicas (llamada celda unitaria) de manera que cuando el sistema
se traslada a una distancia igual a la longitud de la celda unitaria, llamada constante de red,
se mantiene invariante ante dicha traslacion. El potencial electrostatico que corresponde a los
atomos del solido tambien es periodico, lo que significa, que es traslacionalmente simetrico. El
hecho de que todos los solidos cristalinos tengan un potencial periodico es muy importante, ya
que se establece que para un sistema con un potencial traslacionalmente simetrico, los niveles de
energıa de los electrones se disponen en regiones continuas llamadas bandas, las cuales pueden
ser de conduccion o de valencia. Entre ellas existe un rango de energıa prohibida, llamada gap, en
la cual los estados permitidos no pueden existir. La banda que se encuentra superior a esta region
se llama “banda de conduccion”, que es en donde los electrones se pueden propagar y por lo tanto
llevar una corriente; la banda inferior es la “banda de valencia”, aqui los estados electronicos
existen pero no son libres. Tomando como referencia el llamado gap, un semiconductor se define
como aquel material que tiene un gap con un valor entre algunos y 4 eV. Otra manera de
clasificar a un semiconductor es en terminos de la resistividad, la cual se encuentra en el rango
de 10−2-109 Ω·cm [1].
El comportamiento de los electrones en un solido cristalino se encuentra dado por el Hamil-
toniano
1.1. MATERIALES SEMICONDUCTORES 3
H =∑i
p2i2mi
+∑j
P 2j
2Mj
+1
2
∑j′,j
′ZjZj′e
2
4πε0|Rj −Rj′ |−∑j,i
Zje2
4πε0|ri −Rj|+
1
2
∑i′,i
′ e2
4πε0|rj − rj′ |, (1.1)
donde los primeros dos terminos corresponden a las energıas cineticas de los electrones y de los
nucleos, respectivamente. Los demas terminos corresponden a las interacciones nucleo-nucleo,
electron-nucleo y electron-electron. ri representa la posicion del i-esimo electron y Rj la posicion
del j-esimo nucleo, Zj es el numero atomico de los nucleos, pi y Pj son los operadores de momento
para los electrones y los nucleos respectivamente, e es la carga del electron, ε0 es la constante
de permitividad electrica en el vacıo.∑ ′ significa que es unicamente sobre el par de ındices que
sean distintos.
El Hamiltoniano anterior se resuelve haciendo algunas consideraciones. La primer considera-
cion es separar los electrones en dos grupos: electrones de valencia y electrones que no participan
en los enlaces llamados del core. El primer grupo en su mayorıa esta localizado cerca del nucleo
y tiene llenos sus orbitales; estos electrones junto con el nucleo se les llama iones. Como resul-
tado de dicha aproximacion los ındices j y j′ ahora denotan los iones del core y los ındices i e
i′ a los electrones de valencia. La siguiente aproximacion que se hace es la conocida como de
Born-Oppenheimer o adiabatica. Dado que la masa de los iones es de tres a cinco ordenes de
magnitud mayor que la de los electrones, se supone que se mueven lentamente en el espacio y en
comparacion con la velocidad de los electrones, permanecen practicamente estacionarios, por lo
cual, el termino de la energıa cinetica de los iones se desprecia. Con la aproximacion de Born-
Oppenheimer el Hamiltoniano dado por la ecuacion 1.1 puede expresarse como la suma de tres
terminos
H = Hion(Rj) +He(ri,Rj0) +He−ion(ri, δRj), (1.2)
4 CAPITULO 1. INTRODUCCION
donde Hion(Rj) es el Hamiltoniano que describe el movimiento de los iones bajo la influencia
de los potenciales ionicos mas los potenciales electronicos adiabaticos. He(ri,Rj0) es el Hamil-
toniano para la interaccion electron-ion, donde los iones no se mueven, es decir estan en su
posicion de equilibrio Rj0 y He−ion(ri, δRj) describe el cambio de la energıa electronica como
resultado de los desplazamientos δRj de los iones con respecto a su posicion de equilibrio. He−ion
es conocido como la interaccion electron-fonon. En el caso del estudio de esta investigacion, lo
que interesa es el comportamiento de los electrones en el solido, por lo cual solo se tomara el
Hamiltoniano correspondiente a estos y que se encuentra descrito por la ecuacion
He =∑i
p2i2mi
+1
2
∑i′ ,i
′ e2
4πε0|rj − rj′ |−∑j,i
Zje2
4πε0|ri −Rj|. (1.3)
La ultima aproximacion que se hace es la conocida como aproximacion de campo medio, en
donde cada electron se mueve en un potencial promedio que incluye la interaccion con todos los
iones, ası como la interaccion electron-electron. Permitiendo expresar la funcion de onda como
un producto de ondas individuales de cada electron. Entonces, la ecuacion de Schrodinger a
traves de la cual se obtienen las propiedades electronicas se expresa como
H1eψn(r) =
(p2
2m+ V (r)
)ψn = Enψn(r). (1.4)
1.1.1. Arseniuro de Galio (GaAs)
Algunos de los semiconductores compuestos binarios mas importantes estan basados en los
elementos de las columnas III y V de la tabla periodica como ya se menciono en la Seccion 1.1.
El GaAs es uno de los semiconductores mas utilizados en la construccion de dispositivos, ya
que, es uno de los materiales mas estudiados y se conocen sus propiedades electronicas. Este
1.2. POZOS CUANTICOS EN MATERIALES SEMICONDUCTORES 5
Figura 1.1: a) Estructura Zinc Blenda perteneciente al GaAs. Los atomos verdes representan alAs y los rojos al Ga. b) Primera zona de Brillouin (octaedro-truncado) del GaAs.
material tiene una estructura cristalina zinc blenda (Figura 1.1 a)), la cual, consiste en dos
redes cubicas centradas en las caras (fcc), desplazada una de la otra a lo largo de la diagonal
una distancia de un cuarto de la constante de red (a/4), siendo a la constante de red. La red
recıproca es una red centrada en el cuerpo (bcc) y su primera zona de Brillouin es un octaedro
truncado como el que se muestra en la figura figura 1.1 b).
La energıa de ancho de banda prohibida (gap) del GaAs es Eg=1.424 eV, la masa efectiva de
los electrones m∗e=0.067m0, la masa de los huecos ligeros m∗
lh=0.087m0, la masa de los huecos
pesados m∗hh=0.52m0, la masa banda split-off mso = 0.15mo (siendo m0 la masa del electron en
el vacıo), la constante dielectrica relativa εr=12.5, finalmente la constante de red es a=5.65 A.
1.2. Pozos cuanticos en materiales semiconductores
En los dispositivos semiconductores convencionales con uno o dos tipos de portadores tipo n
o tipo p, diferentes funciones operacionales se han logrado para la construccion de una union con
6 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Figura 1.2: Estructura de bandas del GaAs.
el mismo material, por ejemplo, la union p-n. Este tipo de uniones comunmente son llamadas
homouniones, con las cuales se fabrican dispositivos homoestructurados. Si mas de un material
es usado en un dispositivo, este recibe el nombre de dispositivo heteroestructurado.
Una heterounion es formada cuando dos materiales diferentes se unen. Hoy en dıa, gracias
a los modernos procesos de crecimiento y deposito de materiales, es posible construir hete-
rouniones extremadamente abruptas, de hecho, heterouniones interfaciales delgadas pueden ser
fabricadas en una escala dimensional que se acerca a una monocapa1. La heteroestructura simple
es una estructura que consiste de una heterounion entre dos materiales semiconductores dife-
rentes. Hay una gran seleccion de varios materiales (semiconductores, metales y aislantes) que
lleva a interfaces de alta calidad y que permiten la fabricacion de diferentes heteroestructuras
que manifiestan caracterısticas electronicas deseadas como funcion de los potenciales aplicados.
1Una monocapa se define como la capa mınima necesaria para representar un material, teniendo en cuentala estructura cristalina del mismo.
1.2. POZOS CUANTICOS EN MATERIALES SEMICONDUCTORES 7
Figura 1.3: Tipos de heteroestructuras. a) Tipo I, b) Tipo II, c) Tipo III.
El ejemplo mas conocido y aplicado es la heterounion SiO2/Si [2, 3] con una densidad muy
pequena de defectos en la interfaz. Los compuestos semiconductores binarios III-V tales como:
GaAs/AlGaAs, GaInAs/InP , GaInAs/AlInAs, GaSb/AlSb, GaN/AlN , InN/GaN tienen
gran importancia en aplicaciones tecnologicas y en estudios de propiedades de heteroestructu-
ras. Otra clase de estudio activo y aplicado en heterosetructuras esta basado en los compuestos
II-VI: CdZnSe/ZnSe, ZnSTeSe/ZnSSe, entre otros [4–7].
Uno de los objetivos principales de la fabricacion de heteroestructuras es el controlar las
bandas de energıa (valencia y conduccion) de los portadores. De acuerdo con la alineacion de
las bandas, las heteroestructuras se pueden clasificar en tres tipos.
Suponiendo que se tienen dos materiales llamados A y B y si al unirlos la banda de con-
duccion del material B se encuentra por debajo de la banda de conduccion del material A y la
banda de valencia del material B esta por encima de la banda de valencia del material A, se
tiene una heteroestructura tipo I, perteneciendo a estas las constituidas por GaAs/AlxGa1−xAs.
Si la banda de conduccion del material A se encuentra por debajo de la banda de conduccion
del material B y lo mismo ocurre con la banda de valencia, ademas de la condicion de que
8 CAPITULO 1. INTRODUCCION
ambos bordes de la banda de conduccion esten por encima de los de valencia, se tiene una
heteroestructura tipo II, teniendo como ejemplo In1−xGaxAs/GaAs con concentracion x mayor
que 0.3.
Una heteroestructura tipo III se tiene cuando la banda de valencia del material A se traslapa
con la banda de conduccion del material B. A estas pertenecen las formadas por InAs y GaSb.
En la Figura 1.3 se puede observar la alineacion de las bandas de conduccion y valencia para
cada tipo de heteroestructura aquı presentada.
Cuando hay exceso de energıa termica de los portadores bajo condiciones tıpicas operacio-
nales, estos pueden confinarse facilmente dentro de las regiones electricamente activas llamadas
pozos de potencial o pozos cuanticos delimitados por barreras de potencial, en donde el ancho
es comparable o menor que la longitud de onda de de Broglie, generando niveles de energıa
llamadas “subbandas energeticas”, por lo que estos portadores de energıa solo podran tomar
valores discretos de energıa. Un pozo cuantico puede ser fabricado cuando una capa simple de
un material es crecida entre otras dos capas de material(es) diferente(s), las cuales estan ca-
racterizadas por tener anchos de banda prohibida (gaps, por sus traduccion al ingles) mayores
que la capa central, es decir es una heteroestructura tipo I. A continuacion se muestran dos de
los pozos cuanticos mas estudiados en la mecanica cuantica: el pozo rectangular finito y una
idealizacion que es, el pozo infinito.
1.2.1. Pozo rectangular finito e infinito
En esta seccion se vera como es que una partıcula se puede confinar en un pozo de profundi-
dad finita U . El problema muestra la relacion existente entre el confinamiento espacial de una
partıcula y la naturaleza discreta de su espectro de energıas.
Se considera que la partıcula se mueve bajo el siguiente potencial
1.2. POZOS CUANTICOS EN MATERIALES SEMICONDUCTORES 9
Figura 1.4: Pozo rectangular finito centrado en el origen correspondiente a la ecuacion 1.5.
V (x) =
0, para x < −a
−U, para − a ≤ x ≤ a
0, para x > a.
(1.5)
El problema se tratara considerando tres regiones (I, II, III), las cuales se muestran en la
Figura 1.4, obteniendo una solucion a la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo
correspondiente para cada region. Entonces la funcion de onda que corresponde a la region I,
donde x < −a y V (x)=0, es
ψ(x) = Ae−kx +Be+kx, (1.6)
cuando x → −∞, la solucion fısicamente permitida para que ψ(x) sea finita, es la dada por el
exponencial positivo, de modo que A = 0 y
ψ(x) = Be+kx. (1.7)
En la segunda region II que corresponde a −a ≤ x ≤ a y V (x)=−U , la funcion de onda es
10 CAPITULO 1. INTRODUCCION
ψ(x) = C sin(lx) +D cos(lx), (1.8)
donde k y l son los vectores de onda correspondientes a las regiones I y II, respectivamente.
Finalmente, en la region III donde x > a y V (x)=0, al igual que en la region I se tiene la
solucion
ψ(x) = Fe−kx +Ge+kx, (1.9)
para garantizar una solucion fısicamente permitida cuando x→ ∞, la solucion del exponencial
positivo no se toma en cuenta, tal que G = 0 y entonces ψ(x) es
ψ(x) = Fe−kx. (1.10)
Las condiciones de frontera para ψ(x) y dψ(x)dx
en x = ±a, se pueden imponer solo en el punto
x = a, ya que ψ(−x) = ±ψ(x) (+ para par y - para impar). Tomando las soluciones pares y
aplicando la continuidad en la funcion y en su derivada, se obtiene la siguiente relacion
k = l tan(la). (1.11)
Para las soluciones impares se obtiene
k = −l cot(la). (1.12)
Como se sabe k y l estan relacionadas con la energıa, de aquı pues se obtienen las energıas
permitidas. Las ecuaciones 1.11 y 1.12 son ecuaciones trascendentes que se resuelven numerica-
mente y graficamente. Sean z = la y z0 = ah
√2mV0, donde z es una medida adimensional de
1.2. POZOS CUANTICOS EN MATERIALES SEMICONDUCTORES 11
0 1 2 3 40
2
4
6
8
10
12
z
Π
Figura 1.5: Solucion grafica de la ecuacion 1.13. La lınea solida corresponde a tan(z), la lınea a
trozos a − cot(z), la lınea punteada a
√(z0z
)2− 1 y las intersecciones marcadas con los puntos,
indican las soluciones.
la energıa y z0 una medida adimensional del tamano del pozo. En esta notacion las ecuaciones
1.11 y 1.12 se convierten en
√(z0z
)2
− 1 =
tan(z),
− cot(z).(1.13)
En la Figura 1.5 se muestra graficamente la ecuacion 1.13 en donde z0=15. Los puntos de
interseccion representan las soluciones a las ecuaciones trascendentes y por lo tanto las energıas
permitidas en el pozo finito (numericamente implica el calculo de la raız).
Las funciones de onda y las densidades de probabilidad se muestran en la Figura 1.6 que
resultan para las energıas mas bajas permitidas de la partıcula.
Se observa como es que las funciones de onda se “unen” de manera continua en las fronteras
del pozo de potencial. El que ψ(x) sea diferente de cero en las paredes incrementa la longitud de
onda de De Broglie en el pozo, lo cual a su vez disminuye la energıa y la cantidad de movimiento.
12 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Figura 1.6: a) Funciones de onda para las energıas mas bajas de una partıcula en un pozo finito.b) Densidad de probabilidad para los tres niveles energeticos mas bajos de una partıcula en unpozo rectangular finito.
La densidad de probabilidad se observa como es diferente para cada nivel de energıa.
Se ha encontrado como es que una partıcula se confina en un pozo rectangular finito, sin
embargo, es necesario analizar que es lo que pasa si se encuentra en un pozo donde el potencial
es infinito.
Sea el potencial
V (x) =
0, para |x| ≤ a
+∞, para |x| > a,(1.14)
sobre el cual la funcion de onda fuera del pozo no puede encontrarse, es decir, sera cero ψ(x)=0
en la region |x| > a. Dentro del pozo, para conocer la funcion de onda, se tiene que resolver
la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo, correspondiente, con potencial cero, cuya
solucion es
1.2. POZOS CUANTICOS EN MATERIALES SEMICONDUCTORES 13
Figura 1.7: Pozo de potencial infinito centrado en el origen.
ψ(x) = A sin(kx) +B cos(kx). (1.15)
Ademas se exige que ψ(±a)=0. Aplicando condiciones de frontera
A sin(ka) +B cos(ka) = 0, (1.16)
por lo tanto
A sin(ka) = B cos(ka) = 0. (1.17)
Si A = 0, entonces cos(ka)=0 y por lo tanto
kn =nπ
2a, con n = 1, 3, 5..., (1.18)
ahora si B=0, sen(ka)=0 entonces
14 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Figura 1.8: a) Diagrama de los niveles de energıa de una partıcula confinada en un pozo infinito
con ancho 2a, la energıa mas baja permitida es E1 con valor h2π2
8ma2. b) Funciones de onda para
n = 1, 2 y 3. c) Distribucion de probabilidad para n = 1, 2 y 3.
kn =nπ
2a, con n = 2, 4, 6... (1.19)
Se sabe que la energıa depende de k, por lo tanto la expresion esta dada por
En =h2
8m
(nπ
a
)2
con n = 1, 2, 3..., (1.20)
los niveles de energıa estan distribuidos por el factor n2 tal y como se muestran en la figura 1.8
a). Las funciones de onda y la densidad de probabilidad para los tres primeros niveles, tambien
se pueden observar en esta Figura b) y c).
El conocer como es que la partıcula se comporta con este potencial, permitira mas adelante
entender como es que se obtienen las funciones de onda para el sistema que se esta estudiando
en esta tesis.
1.2. POZOS CUANTICOS EN MATERIALES SEMICONDUCTORES 15
Figura 1.9: Representacion esquematica de un pozo finito doble, donde Lw1 representa el anchodel pozo de la izquierda, Lw2 el ancho del pozo de la derecha, Lb corresponde a la separacionentre los pozos, U1 y U2 el potencial de cada pozo, izquierdo y derecho, respectivamente.
1.2.2. Pozo rectangular finito doble
Si bien en la subseccion anterior, se mostro como es que se comporta una partıcula en un
pozo finito, se obtuvo que la energıa se encuentra cuantizada y como es que estos niveles ası como
su correspondiente funcion de onda estan distribuidos. Sin embargo, ¿que es lo que pasa si en
lugar de tener solo un pozo se tienen dos? La respuesta a la pregunta anterior se puede contestar
con base en los trabajos que se han hecho considerando pozos rectangulares finitos simetricos y
asimetricos basados en los materiales semiconductores GaAs-AlxGa1−xAs [8–10].
El comportamiento de los niveles de energıa que se obtienen en este tipo de sistemas se
muestra en la figura 1.10, donde la profundidad de los pozos se encuentra dada por la concen-
tracion x en la mezcla AlxGa1−xAs. Se puede observar como es que hay degeneracion cuando
los pozos son totalmente simetricos, los niveles se empiezan a desdoblar cuando la distancia
entre ellos es pequena, en este ejemplo, aproximadamente a 10 nm para el estado base. Cuando
hay una asimetrıa se ve como los niveles son totalmente independientes, sin embargo hay un
“anticruce” entre cada nivel, ademas de que la distancia entre ellos disminuye. Este tipo de
comportamiento se deben de obtener en el sistema sobre el cual se esta trabajando en esta tesis,
16 CAPITULO 1. INTRODUCCION
6 9 12 1530
32
34
36
38
120
130
140
10 20 30 400
20
40
60
80
100
E3
E2
E1
E0
Lw1
=Lw2
=10 nm
En
ergí
a (m
eV)
Ancho barrera Lb (nm)
a)Lw1
=20 nm; Lb=12 nm
Ener
gía
(meV
)
Ancho pozo de la derecha Lw2 (nm)
b)
Figura 1.10: Niveles de energıa para un pozo rectangular doble. a) niveles de energıa cuandoel sistema es simetrico como funcion de la distancia entre los pozos (ancho de la barrera), conancho de pozos de Lw1 =Lw2=10 nm. b) Sistema asimetrico, los niveles de energıa se encuentrancomo funcion del ancho del segundo pozo Lw2.
ya que garantizara que el modelo y el tratamiento utilizado en el esquema de calculo es correcto.
1.3. Pozos δ-dopados
El dopaje tipo δ surge por la necesidad de tener perfiles dopados bien definidos y angostos
en semiconductores. El poder controlar y crear este tipo de estructuras, se debe al desarrollo de
las tecnicas experimentales basadas en el metodo de crecimiento epitaxial, tales como la Epita-
xia por Haces Moleculares (Molecular Beam Epitaxy, MBE) y el Deposito Quımico de Vapores
Metalorganicos (Metal-Organic Chemical V apor Deposition, MOCVD), la habilidad que tie-
nen estas tecnicas es el controlar la distribucion de las impurezas dopantes en la estructura. El
comportamiento de las impurezas dopantes ha motivado mucho a la investigacion de las capas
1.3. POZOS δ-DOPADOS 17
δ-dopadas de impurezas con interes principal en sus propiedades electricas. El crecimiento de
estos sistemas a traves de las tecnicas anteriormente mencionadas se mostrara en la subseccion
1.3.1.
En 1979 Bass [11] creo el primer pozo δ-dopado de impurezas usando la MOCVD para crecer
la capa dopante en la interface de la capa epitaxial del sustrato. En 1980 Wood et al. [12] lograron
producir un perfil de dopado hiperabrupto y algunas heteroestructuras en GaAs dopado con
Ge a traves de MBE. El dopado hiperabrupto o dopaje “deltaico” de las impurezas, consiste en
la interrupcion del crecimiento epitaxial para el deposito de los atomos dopantes, tıpicamente
bajando la temperatura y evitando con esto en cierta forma la difusion de impurezas para
continuar entonces con el crecimiento epitaxial. Ploog [13] mediante MBE, utilizando impurezas
donantes de Si en un pozo δ-dopado tipo n deGaAs demostro experimentalmente por mediciones
de Shubnikov de Haas, la existencia de la cuantificacion bidimensional de subbandas. Es en los
90’s cuando Ioriatti [14] resuelve mediante la teorıa de Thomas-Fermi un potencial analıtico
autoconsistente mediante el cual se logra obtener el perfil de potencial que describe a los pozos
δ-dopados simples. Con respecto al calculo de la estructura electronica para los sistemas δ-
dopados de impurezas, hay una cantidad importante de trabajos en esta lınea, por ejemplo,
existe uno en donde se reporta la estructura de los niveles de energıa mediante el uso de la
aproximacion de la funcion envolvente (EFA, por sus siglas en ingles) para un pozo δ-dopado
tipo n y p [15]. A traves de calculos autoconsistentes se ha obtenido tambien la estructura
electronica para un pozo δ-dopado simple tipo n en GaAs [16], ası como con un campo electrico
externo aplicado [17,18]. Hay un calculo reciente de la estructura electronica, utilizando la teorıa
del funcional de la densidad, en un pozo δ-dopado doble tipo n con fosforo en una matriz de
Silicio [19], donde los autores reportan la dependencia de los niveles de energıa como funcion
de la distancia entre los pozos, coincidiendo los resultados con los calculos previos hechos por
18 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Figura 1.11: Representacion esquematica bidimensional de una matriz de Arseniuro de Galio.a) Dopaje tipo n (SiGa) y b) Dopaje tipo p (SiAs).
Rodrıguez-Vargas y Gaggero-Sager [20].
Idealmente un pozo δ-dopado de impurezas consiste en la incorporacion en una sola capa
atomica de atomos dopantes (impurezas) en un material semiconductor base. Se tiene un pozo δ-
dopado tipo n cuando las impurezas son donadoras, es decir, tienen un electron mas de valencia
que el material base, por ejemplo Fosforo (P ) en Silicio (Si). En cambio, un pozo δ-dopado tipo
p se forma cuando las impurezas son aceptoras, es decir, tienen un electron de valencia menos
que el material base, por ejemplo Boro (B) en Silicio (Si).
En este trabajo en particular estamos interesados en el dopado tipo n del GaAs, tıpicamente
cuando se sustituye un atomo de Ga por uno de Si en una matriz de GaAs se tiene una
impureza donadora2, como se muestra en la figura 1.11 a). Con fines ilustrativos, aprovechando
la naturaleza anfoterica3 del Si en GaAs, sı sustituimos un atomo de As por uno de Si en el
Arseniuro de Galio tendremos una impureza aceptora como se muestra en la figura 1.11 b).
2Sustituimos un atomo de valencia III, por uno tetravalente (grupo IV) como es el Silicio –una notacionestandarizada para estas impurezas sustitucionales es; SiGa.
3Esto significa que el Silicio puede sustituir tanto atomos de Galio (SiGa) como atomos de Arseniuro (SiAs)en el GaAs de manera que puede actuar tanto como impureza tipo n como p lo cual depende ademas de lascondiciones de crecimiento de la direccion cristalografica, en el caso particular de la direccion [0 0 1] se sabe queel Silicio sustituye preferentemente a los atomos de Galio (SiGa) sirviendo entonces como impureza donadora.
1.3. POZOS δ-DOPADOS 19
El objetivo de introducir impurezas en un material semiconductor es el modular el potencial
debido al campo electrostatico que producen las impurezas ionizadas e introducir portadores de
carga a la estructura. El ejemplo mas conocido de este hecho es un pozo cuantico rectangular
basado en la heteroestructura AlxGa1−xAs/GaAs/AlxGa1−xAs donde x representa el porcentaje
de impurezas sustitucionales (AlGa). De hecho en esta lınea de perfiles de dopaje existen una
cantidad importante de trabajos donde se estudian y analizan sus propiedades electronicas y
opticas [10,21,22].
Por otro lado, uno de los parametros que caracterizan un perfil δ-dopado de impurezas, es
la densidad de los atomos dopantes en la lamina. Asumiendo que la superficie de la capa del
material base se encuentra en el plano xy del sistema cartesiano, la coordenanda z es medida
desde el borde de la superficie y los dopantes estan localizados en el plano x− y a una distancia
z respecto del origen, entonces el perfil de dopaje esta dado por N2d(z) = N2dδ(z−zd), donde la
densidad bidimensional de impurezas es denotada por N2d, representando el numero de atomos
dopantes en el plano x − y por cm2. El ancho de la lamina del material con el que se dopa
debe ser idealmente cero, lo que hace suponer una distribucion de impurezas como una δ de
Dirac, surgiendo de aquı el nombre de estas estructuras. La densidad de impurezas que se
coloca debe ser tan alta que las orbitas medias de los portadores se solapen y ası formen un gas
bidimensional de electrones (2DEG). Esto forma un potencial electrostatico en forma de V para
los portadores, que estan localizados alrededor del plano por la atraccion coulombiana. En este
tipo de sistemas, el confinamiento aumenta al aumentar la cantidad de impurezas bidimensional
N2d. La cantidad de concentracion de portadores que se logran alcanzar se encuentran hasta el
rango de 1013 cm−2.
Supongamos, por ejemplo, que el material semiconductor base es el Arseniuro de Galio y
que colocamos una densidad de impurezas por unidad de area N2d de atomos de Silicio en la
20 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Figura 1.12: Representacion esquematica bidimensional de la distribucion de impurezas susti-tucionales (SiGa) tipo n en una matriz de GaAs.
direccion de crecimiento [001], como se muestra en la figura 1.12. Se observa como los atomos
de Silicio sustituyen a los atomos de Galio, fungiendo entonces como impurezas donadoras.
1.3.1. Crecimiento de pozos δ-dopados
La construccion de pozos δ-dopados se da a traves de tecnicas experimentales por un cre-
cimiento epitaxial, ya que el dopar al semiconductor implica que la distribucion de impurezas
dopantes este confinada en una sola capa, obteniendo tal caracterıstica al interrumpir el cre-
cimiento epitaxial. Tecnicas como la Epitaxia por Haces Moleculares (MBE, por sus siglas en
ingles) permiten realizar estos tipos de procedimientos.
La Epitaxia de Haces Moleculares fue utilizada por primera vez por Cho y Arthur [23] para
crecer sistemas cuanticos semiconductores a nivel de capas atomicas. La MBE consiste en el
crecimiento de capas epitaxiales mediante la reaccion de uno o mas haces moleculares termicos
1.4. MOTIVACION 21
con un substrato cristalino. Se hacen incidir sobre una superficie caliente haces moleculares
o atomicos dentro de una camara de ultra alto vacıo (10−11 Torr). Los haces por lo general
son de baja densidad, y es despreciable la interaccion entre los mismos atomos del gas con los
gases residuales de la camara, por lo que llegan a la superficie en donde se depositan sin sufrir
colisiones.
Los avances en la tecnologıa de ultra-alto vacıo, permiten el deposito de material a tem-
peraturas relativamente bajas, con un gran control de la composicion y pureza del material,
ası como una gran exactitud entre la determinacion de una capa y otra de materiales diferentes.
Practicamente se hacen crecer estas muestras con un control de crecimiento de una capa atomi-
ca a la vez. Ademas, los equipos modernos permiten el monitoreo de la estructura y el espesor
de la estructura, analizando la reflexion de haces de electrones de alta energıa (RHEED, por
sus siglas en ingles) que se hacen incidir en angulos casi rasantes con la superficie. La pureza
quımica y la composicion del sustrato y del material crecido, se pueden analizar por medio de
la Espectroscopia de Electrones Auger (AES, por sus siglas en ingles).
En la figura 1.13 se muestra un equipo tıpico de crecimiento por MBE. Este contiene celdas
de efusion, en la cuales se calientan los materiales que producen los haces moleculares. Cada
celda tiene un obturador para controlar la cantidad de salida del gas, de tal forma que se controle
el grosor de las capas a crecer. El soporte en donde se encuentra el sustrato, tiene su propio
control de temperatura a fin de mantenerlo a la temperatura deseada.
1.4. Motivacion
El uso de la optica en el desarrollo de dispositivos se hace cada vez mas extenso debido a
las ventajas de las propiedades opticas no lineales de los materiales [24]. El procesamiento de
senales opticas como la conversion de frecuencia, la modulacion optica, el interruptor optico,
22 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Figura 1.13: Esquema de un equipo de crecimiento por MBE.
los detectores infrarojos, el laser de estado solido, los polarizadores, los piezoelectricos, entre
otros, son ejemplos de la importancia de nuevas tecnologıas desarrolladas a partir de la optica
no lineal [25]. En la actualidad, el interes por el estudio de materiales con propiedades opticas
no lineales se ha incrementado considerablemente [26–31]. La optica no lineal es el estudio del
fenomeno que ocurre como una consecuencia de la modificacion de las propiedades opticas de
un material por la presencia de luz laser intensa. Este estudio representa una herramienta util
en la caracterizacion y estructura de los materiales con propiedades opticas no lineales.
El interes del estudio de la optica no lineal comienza en 1960, cuando Maiman [32] descubre el
laser, seguido por la observacion que realizo Franken et al. [33] de la generacion de los segundos
armonicos en un cristal de cuarzo en 1961. Hoy en dıa muchos son los sistemas compuestos por
materiales semiconductores sobre los cuales se estudian este tipo de propiedades, principalmente
1.4. MOTIVACION 23
en pozos con diferentes geometrıas, por ejemplo: rectangulares, triangulares, Poschl-Teller, δ-
dopados, entre otros [34–41].
Desde su propuesta en 1980 y hasta hoy en dıa, los pozos δ-dopados han atraıdo mucho la
atencion por las grandes aplicaciones que han tenido en la construccion de dispositivos electroni-
cos. Se han realizado estudios de estructura electronica, movilidad y transporte [42–46], los cuales
han ayudado a crear y mejorar las propiedades de los dispositivos. Hoy en dıa, no solo se realiza
el estudio de las propiedades mencionadas, sino tambien el estudio de las propiedades opticas
para la aplicacion de dispositivos optoelectronicos. El estudio del coeficiente de absorcion ası co-
mo el cambio relativo en el ındice de refraccion son dos de las propiedades mas reportadas en
la literatura. Existe un trabajo del calculo teorico del coeficiente de absorcion como funcion de
un campo magnetico en un sistema formado por dos pozos δ-dopados en una matriz de GaAs,
reportandose un corrimiento al azul en los picos de resonancia cuando el campo magnetico
aumenta [47]. La absorcion optica no lineal, las correcciones al cambio relativo del ındice de re-
fraccion y la generacion de segundos armonicos en un δ- FET en GaAs bajo efecto de la presion
hidrostatica han sido reportados por Martınez-Orozco et al. [48, 49]. Se encontro que debido
al efecto de la presion, es posible incrementar la amplitud (magnitud) de los picos resonantes
del coeficiente de absorcion, si la presion se encuentra en el rango de 0-6 kbar. No solo existen
reportes de la optica no lineal de pozos δ-dopados en GaAs, sino tambien en heteroestructuras
cuanticas δ-dopadas en AlGaN/GaN [50] y en pozos cuanticos dobles en arseniuros III-V con
y sin presencia de campos electricos, magneticos y efectos de laser intenso [51–56].
El perfil de confinamiento cuantico de un pozo δ-dopado doble asimetrico con Si en GaAs
que se propone en este trabajo, es una configuracion asimetrica que puede proporcionar contri-
buciones no despreciables en la modificacion de las propiedades opticas no lineales. Manipulando
las densidades en los pozos, es posible sintonizar diferentes niveles de energıa, lo cual se puede
24 CAPITULO 1. INTRODUCCION
usar para generar, bien sea corrimientos hacia el azul o bien hacia el rojo en los picos resonantes
que se obtienen en el coeficiente de absorcion. Mediante el acople entre los pozos, que se logra
variando la distancia entre los mismos, es posible modificar la intensidad de los momentos de
dipolo de las funciones de onda y con ello tambien, la modificacion de las propiedades opticas
lineales y no lineales de sistema. Otro efecto que resulta importante y como ya se evidencia en
las referencias anteriores, es la aplicacion de un campo electrico externo en el sistema. Por ello en
el presente trabajo se prentende tener una caracterizacion lo mas clara y completa posible de los
sistemas de estudio, basados primeramente en la verificacion de los resultados obtenidos com-
parando con resultados previos. Para proponer entonces, fundamentados en el estudio de dicho
sistema, alguna configuracion de parametros para los cuales se observen, al menos teoricamente,
incrementos en las propiedades fısicas de interes y/o facilidad de controlar dichas caracterısticas
del sistema. En este sentido, se sabe que los sistemas cuanticos asimetricos son interesantes
para el estudio de las propiedades opticas de primer y tercer orden; y que considerando efectos
de laser intenso, campos electricos y magneticos se usan como medio para manipular dichas
cantidades fısicas [21, 57–59]. Es por ello y por la experiencia que se tiene en pozos δ-dopados,
el interes de investigar el efecto de la asimetrıa del sistema en las amplitudes de las propiedades
opticas, ası como del campo electrico externo aplicado.
Capıtulo 2
Marco teorico
2.1. Aproximacion de masa efectiva
El problema de un electron en un cristal es mas complicado que su analogo en el cristal ideal,
ya que el electron ademas de sentir el potencial cristalino esta sometido a otros potenciales que
no poseen ninguna periodicidad, haciendo practicamente imposible de resolver la ecuacion de
Schrodinger de manera exacta.
La ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo se encuentra dada por la expresion
[−h2m
∇2 + V (r) + U(r)
]Ψn(r) = EΨn(r), (2.1)
donde V (r) representa el potencial periodico del cristal perfecto asociado con el Hamiltoniano
del cristal
H0 =−h2m
∇2 + V (r). (2.2)
25
26 CAPITULO 2. MARCO TEORICO
El termino U(r) es cualquier potencial perturbador que sienta el electron.
La dificultad de tener ahora un potencial externo que afecta al electron, da lugar a tomar
un metodo aproximado para resolver este tipo de problemas conocido como: Aproximacion de
Masa Efectiva (AME). En general, existen varios enfoques para abordar la AME [1,60]. Uno de
ellos involucra el concepto de funciones de Wannier y el otro utiliza unicamente funciones de
Bloch, ambos enfoques producen el mismo resultado.
Las funciones de Bloch reflejan la periodicidad del potencial cristalino pero es posible realizar
una descripcion del cristal en terminos de funciones localizadas que recuerdan los orbitales
atomicos. Las funciones localizadas han recibido gran atencion en relacion con los metodos
de calculo de la estructura electronica cristalina que escalan con el numero de electrones. Las
funciones de Wannier son un importante ejemplo de este tipo de funciones.
En este caso se utilizaran las funciones de Wannier, estas funciones se encuentran localizadas
en los vertices de la red cristalina, ademas de cumplir con la propiedad de ser ortogonales.
La funcion de onda Ψn(r) en la ecuacion (2.1) se puede escribir como una combinacion lineal
de un conjunto completo de funciones de Wannier
Ψn(r) =∑n,l
fn(R)an(r − Rl). (2.3)
Las funciones de Wannier an(r− Rl) son transformadas de Fourier de las funciones de Bloch
Ψnk(r), es decir
an(r − Rl) =1√N
∑k
exp(−ik · Rl)Ψnk(r), (2.4)
donde Rl es un vector de la red, k es el vector de onda, N es el numero de celdas unitarias del
cristal y n el ındice de la banda.
2.1. APROXIMACION DE MASA EFECTIVA 27
Suponiendo que se esta en una sola banda, sustituyendo la ecuacion (2.3) en (2.1) y se
obtiene
∑l
[H0f(R)a(r − Rl) + U(r)f(R)a(r − Rl)
]= Ef(R)a(r − Rl), (2.5)
integrando sobre todo el cristal y multiplicando por a∗(r − R′l)
∑l
∫d3r a∗(r − R′
l) H0 f(R) a(r − Rl) +
∑l
∫d3r a∗(r − R′
l) U(r) f(R) a(r − Rl)
=∑l
a∗(r − R′l) E f(R) a(r − Rl),
usando la transformada de Fourier para la energıa
En(k) =∑n
En,l, (2.6)
o bien
En,l =1√N
exp(−ik · Rl), (2.7)
con k = −i∇. Y usando la solucion para el electron no perturbado
H0 Ψk,n = En(k) Ψk,n, (2.8)
se obtiene
[En′(k) fn′(r)− E fn′(r)
]r=Rl
+∑n,l
Unn′(Rl, R′l) fn(Rl) = 0, (2.9)
donde Un,n′(Rl, R′l) son los elementos matriciales del potencial perturbador entre las funciones
de Wannier.
28 CAPITULO 2. MARCO TEORICO
A pesar de que la ecuacion anterior es muy importante, ya que la funcion envolvente fn(r)
viaja a traves de todo el cristal y no unicamente en algun punto de la red, es posible hacer un
uso mejor de ella si se hacen algunas aproximaciones:
Asumir que la perturbacion no es suficientemente intensa, es decir, que no es posible inducir
transiciones inter-bandas, se puede entonces ignorar el elemento matricial Un,n′(Rl, R′l)
para n = n′.
Suponer que el potencial perturbador varıa muy poco en la distancia de una constante
de la red, es decir, que Un,n′(Rl, R′l) se puede despreciar cuando Rl = R′
l, en este caso se
puede hacer Un,n′(Rl, R′l) = U(r) |r=Rl
.
A partir de las suposiciones anteriores la ecuacion de movimiento (2.9) es igual a
[En(k) + U(r)
]fn(r) = Efn(r). (2.10)
La diferencia entre las ecuaciones (2.1) y (2.10) radica en que ahora no es necesario incluir
explıcitamente el Hamiltoniano H para describir el movimiento del electron en el cristal. Este
operador se remplaza en la ecuacion de movimiento por En(k). En el caso de materiales se-
miconductores se ha encontrado que la energıa en el mınimo de la banda de conduccion sigue
siendo parabolica, es decir, En(k) =h2k2
2m∗ con m∗ como las masa efectiva del electron y k = −i∇
[− h2
2m∗∇2 + U(r)
]fn(r) = Efn(r). (2.11)
Esto significa que el efecto del potencial cristalino, es cambiar la masa del electron en el vacıo
por una masa efectiva en el material o bien, se puede decir que todos los efectos del potencial
son atribuidos en la masa efectiva.
2.2. IMPUREZAS POCO PROFUNDAS Y MODELO HIDROGENOIDEO 29
2.2. Impurezas poco profundas y modelo hidrogenoideo
Se sabe que los semiconductores dopados son materiales que contienen impurezas de atomos
de otro material que se incorporan en la estructura cristalina del semiconductor base. Estas
impurezas pueden incorporarse involuntariamente debido a la falta de control durante el creci-
miento del semiconductor o se pueden anadir con el proposito de proporcionar portadores libres
en el semiconductor, tal cual es el caso de los pozos δ-dopados de impurezas. El que se tenga
portadores se debe a que los atomos de la impureza, o bien han donado o aceptado un electron.
Estas impurezas son llamadas poco profundas o ionizadas, ya que requieren poca energıa para
donar (banda de conduccion) o aceptar (en la banda de valencia) un electron.
El modelo del atomo de hidrogeno es la base para el calculo de algunas propiedades de las
impurezas poco profundas, tales como la energıa de ionizacion y los estados de las funciones de
onda. Este problema se comienza a resolver, considerando una impureza donadora y la siguiente
ecuacion
[− h2
2m∗e
∇2 − e2
4πκε0r
]F (r) = E F (r), (2.12)
esta ecuacion es equivalente a la de Schrodinger usada para derivar los estados electronicos de
un atomo de hidrogeno, en donde se remplaza la masa m por m∗ y la constante dielectrica es
la correspondiente al semiconductor κε0 = ε. La energıa del estado base R∗y es del donador y se
representa por el llamado Rydberg efectivo
R∗y = − m∗
ee4
2(4πε)2h2= −m
∗e/m0
(ε/ε0)2Ry, (2.13)
donde
30 CAPITULO 2. MARCO TEORICO
Ry =me4
2(4πε)2h2= 13,6 eV, (2.14)
que es la energıa de ionizacion del atomo de hidrogeno. El radio de Bohr efectivo a∗0 es
a∗0 =4πhε
m∗ee
2=
ε/ε0m∗e/mo
a0, (2.15)
con
a0 =4πε0h
2
m0e2= 0,52 A. (2.16)
Los valores del Rydberg efectivo y radio de Bohr en GaAs son 100 A y 5.8 meV, respectivamente.
Tomando m∗e=0.067 y εr=12.5 [1].
2.3. Metodo de Xia y Fan
El calculo de la estructura electronica en este trabajo, se realiza dentro de la aproximacion
de masa efectiva de un pozo δ-dopado doble asimetrico de GaAs bajo los efectos de un campo
electrico externo aplicado en la direccion de crecimiento de la homoestructura (F = −F uz). La
ecuacion de Schrodinger del electron confinado en el sistema es
[− h2
2m∗e
d2
dz2+ V (z)− e F z
]ψi(z) = Ei ψi(z) , (2.17)
donde m∗e es la masa efectiva del electron, e es el valor absoluto de la carga del electron y F
es la intensidad del campo electrico externo. Los niveles de energıa Ei y las correspondientes
funciones de onda envolventes ψi para los estados de un solo electron son obtenidas mediante
la metodo de diagonalizacion propuesto por Xia y Fan [61]. Este metodo esta basado en la
2.4. PROPIEDADES OPTICAS 31
expansion de los estados del electron sobre la base completa ortogonal de funciones sinusoidales
o seno, asociadas con el pozo rectangular de paredes infinitas (en este trabajo el ancho del pozo
cuantico es L∞=100 nm). La funcion envolvente del electron ψi(z) esta dada por
ψ(z) =(
2
L∞
)1/2 ∞∑m=1
Cm sin(mπ z
L∞+mπ
2
). (2.18)
En la ecuacion (2.17), V (z) es el potencial de confinamiento asociado con el pozo δ-dopado
doble asimetrico, el cual esta descrito por el siguiente potencial [62]
V (z) = − α2
(α |z − ℓp/2|+ z0L)4
− α2
(α |z + ℓp/2|+ z0R)4, (2.19)
±ℓp/2 representa la distancia desde el origen a la izquierda y derecha de las capas δ-dopadas
de impurezas (ℓp es entonces la distancia entre los pozos), α = 2/15 π, z0L
=(
α3
πNL2d
)1/5
z0R
=(α3
πNR2d
)1/5
. Aquı, NL2d y NR
2d son las densidades de impurezas en la izquierda y derecha de las
capas δ-dopadas, respectivamente.
Lo primero que se hace en este metodo, es construir la matriz con sus respectivas funciones
envolventes, para posteriormente diagonalizar la matriz y con ello finalmente obtener los estados
correspondientes a cada elemento de la diagonal.
Una vez obtenida la estructura electronica resolviendo la ecuacion de Schrodinger para masa
efectiva, se pueden calcular las propiedades opticas no lineales.
2.4. Propiedades opticas
Las propiedades opticas se relacionan con la interaccion entre un material y las radiaciones
electromagneticas en forma de ondas o partıculas de energıa, conocidas como fotones. Esta
32 CAPITULO 2. MARCO TEORICO
Figura 2.1: Diagrama esquematico de los procesos opticos que ocurren en la superficie y dentrode un material.
interaccion produce una diversidad de efectos tales como: absorcion, transmision, reflexion,
refraccion, entre otros, ver figura 2.1.
Al interactuar con la estructura cristalina de un material, los fotones de una fuente exter-
na crean varios fenomenos opticos. Si los fotones incidentes interactuan con los electrones del
material pueden ocurrir varias cosas: los fotones ceden energıa al material, en cuyo caso hay
absorcion; o puede ser que cuando los fotones aportan energıa, de inmediato el material emite
electrones de identica energıa, de forma que se produce reflexion. Tambien puede que los foto-
nes no interactuen con la estructura electronica del material, en ese caso ocurre la transmision.
En cualquiera de estos tres casos, la velocidad de los fotones cambia, este cambio propicia la
refraccion.
En condiciones tıpicas de temperatura y de interaccion con luz, los materiales presentan
valores fijos en su constante de absorcion, constante dielectrica y en la polarizacion que se
induce. Sin embargo, al trabajar con “haces luminosos de alta intensidad”, estos valores dejan
de ser constantes y dan pie a lo que se llaman propiedades opticas no lineales.
Las caracterısticas de las propiedades opticas lineales y no lineales de los materiales son de
2.5. PROPIEDADES OPTICAS NO LINEALES 33
gran importancia en el desarrollo de la tecnologıa en fotonica y electronica.
2.5. Propiedades opticas no lineales
El origen de las propiedades opticas no lineales radica en la magnitud de la interaccion de
la luz con la materia. En el caso concreto de un material para que su respuesta optica no lineal
sea importante, se requiere que la “intensidad del campo electromagnetico sea elevada”. Esta
interaccion dara lugar a que una de las componentes del campo electromagnetico resultante
quede alterada en fase, frecuencia, amplitud u otras caracterısticas de propagacion del campo.
Para entender la optica no lineal, se considera un momento dipolar por unidad de volumen
o polarizacion P (t) de un material que depende de la intensidad de un campo electrico E(t)
aplicado. En el caso convencional (lineal), la polarizacion inducida depende linealmente de esta
fuerza de manera tal, que se puede expresar como
P (t) = ε0χ(1)E(t), (2.20)
donde la constante de proporcionalidad χ(1) es conocida como la susceptibilidad electrica lineal y
ε0 es la constante de permitividad del electron en el vacıo. En la optica no lineal, por la presencia
de campos electricos de alta intensidad, la polarizacion P (t) pierde la proporcionalidad entre la
polarizacion y el campo electrico. Por lo tanto, la polarizacion ahora ya no es lineal y se expresa
en serie de potencias del campo electrico
P (t) = ε0[χ(1)E(t) + χ(2)E2(t) + χ(3)E3(t) + · · ·
]. (2.21)
Las cantidades χ(2) y χ(3) son conocidas como las susceptibilidades electricas no lineales de
segundo y tercer orden, respectivamente. Entonces de la misma forma las polarizaciones de
34 CAPITULO 2. MARCO TEORICO
segundo y tercer orden estan definidas como
P (2)(t) = ε0χ(2)E2(t), (2.22)
P (3)(t) = ε0χ(3)E3(t), (2.23)
donde las unidades de χ(2) y χ(3) son m/V y (m/V)2, respectivamente. A partir de esa conside-
racion para P , se obtienen las propiedades opticas no lineales.
2.5.1. Coeficiente de absorcion y cambio relativo en el ındice de re-
fraccion lineal y no lineal
En los materiales semiconductores nanoestructurados, el fenomeno de la absorcion ocurre
debido a las transiciones electronicas que se dan cuando fotones con una energıa apropiada inci-
den sobre el sistema y los electrones se excitan a un nivel de energıa superior. Estas transiciones
pueden ser de dos tipos: interbanda e intrabanda.
Las transiciones interbanda ocurren entre estados localizados en las bandas de conduccion
y valencia del material. El fenomeno de absorcion se puede dar debido a una transicion directa
o bien indirecta. La transicion directa ocurre cuando el mınimo de la banda de conduccion
coincide con el maximo de la banda de valencia mediante el proceso de creacion de un par
electron-hueco, es decir, un exciton. En la transicion indirecta involucra la absorcion o emision
de un fonon dado que el mınimo de la banda de conduccion no coincide con el maximo de la
banda de valencia, esta transicion es dos o tres ordenes de magnitud mas debil que la directa y
pueden despreciarse en metales, pero son importantes en semiconductores.
Las transiciones intrabanda son aquellas donde los fotones excitan electrones a niveles supe-
2.5. PROPIEDADES OPTICAS NO LINEALES 35
riores dentro de la misma banda, este tipo de transiciones suceden principalmente en metales
pero tambien suceden en semiconductores a altas temperaturas o con altos niveles de dopaje que
es el caso de este trabajo. Por ello, se considera la transicion principal entre el estado base E0
y primer estado excitado E1 del sistema estudiado. Las expresiones para el calculo de los coefi-
cientes de absorcion se encuentran dadas por las formulas que se muestran a continuacion [63].
Para el coeficiente de absorcion lineal se tiene
α(1)(ω) = ω e2√µ
ε
[ρhΓ10|M10|2
(E10 − hω)2 + (hΓ10)2
], (2.24)
donde el elemento de la matriz dipolar se define como Mij = ⟨ψi|z|ψj⟩, siendo ψi y ψj las
funciones de onda de los primeros dos estados (i-esimo y j-esimo) obtenidos de la solucion
a la ecuacion (2.17), ω es la frecuencia angular de los fotones incidentes, ε es la constante
dielectrica del material, e es la carga del electron, µ representa la permitividad magnetica
del material(= 4π × 10−7 H m−1), E10 = E1 − E0 es la diferencia de energıa de la transicion
intersubbanda fundamental, hΓ10 = h/T10=3.3 meV es el termino de amortiguamiento asociado
con la vida media del electron debido a la dispersion intersubbanda, ρ=3.0 × 1023 m−3 es la
densidad de electrones considerada.
El coeficiente de absorcion no lineal (correccion de tercer orden) es
α(3)(ω, I)=−ω e4√µ
ε
(I
2nε0c
)ρ hΓ10|M10|2
[(E10 − hω)2 + (hΓ10)2]2×
4|M10|2−|M11−M00|2[3E2
10−4E10hω+h2(ω2−Γ2
10)]
E210 + (hΓ10)2
, (2.25)
teniendo a I =0.1 MW/cm2 como la intensidad de la radiacion optica en el sistema.
Por lo tanto el coeficiente de absorcion total estara dado por la suma de los dos terminos
36 CAPITULO 2. MARCO TEORICO
anteriores
α(ω, I) = α(1)(ω) + α(3)(ω, I). (2.26)
Se sabe que todos los materiales tienen un ındice de refraccion, es decir, como es que la
velocidad de la luz que esta interactuando con el se ve afectada por la interaccion con el material.
El cambio relativo expresa como es que el ındice de refraccion del sistema cambia con respecto
al ındice de refraccion del material.
El cambio relativo del ındice de refraccion de primer orden esta dado por [63]
∆n(1)(ω)
n=ρ e2 |M10|2
2n2ε0
[E10 − hω
(E10 − hω)2 + (hΓ10)2
], (2.27)
donde n =√ε es el ındice de refraccion del material, c es la velocidad de la luz.
Y la correspondiente correccion a tercer orden es
∆n(3)(ω)
n= − ρ e4 |M10|2
4n3ε0
µcI
[(E10 − hω)2 + (hΓ10)2]2[4(E10 − hω)|M10|2 −
(M11 −M00)2
(E10)2 + (hΓ10)2
(E10 − hω)
[E10(E10 − hω)− (hΓ10)2] − (hΓ10)
2(2E10 − hω)], (2.28)
la contribucion total es la suma de la parte lineal (2.27) mas la parte no lineal (2.28)
∆n(ω, I)
n=
∆n(1)(ω)
n+
∆n(3)(ω, I)
n. (2.29)
Capıtulo 3
Estructura electronica
3.1. Estructura electronica de pozos δ-dopados dobles
En este capıtulo se presenta la estructura electronica para un pozo δ-dopado doble asimetrico,
en donde se varıa la distancia de separacion entre las capas δ-dopadas, la densidad de impurezas
del segundo pozo NR2d manteniendo fija la densidad del primer pozo NL
2d, ası como la aplicacion
de un campo electrico externo. El obtener la estructura electronica a traves de los parametros
del sistema antes mencionados, permitira entender el comportamiento fısico del sistema, pro-
poniendo valores para los cuales existan las propiedades opticas que se estan estudiando. El
calculo de la estructura electronica se realizo resolviendo a traves de la aproximacion de la masa
efectiva, el hamiltoniano dado por la ecuacion (2.17), obteniendo las funciones de onda a traves
de una expansion sobre una base ortogonal de funciones sinusoidales (ec. 2.18) asociadas con el
pozo rectangular de paredes infinitas con un ancho de L∞=100 nm, tomando en cuenta la masa
efectiva correspondiente al GaAs, siendo m∗=0.067, ası como la constante dielectrica relativa
εr=12.5.
La forma de verificar la validez del modelo utilizado para el potencial, es analizando por un
37
38 CAPITULO 3. ESTRUCTURA ELECTRONICA
lado el caso lımite cuando ℓp es muy grande, de manera tal que se pueden considerar a los pozos
δ-dopados como independientes, lo cual quiere decir que los niveles correspondientes a ellos,
coinciden con los de un pozo δ-dopado simple, concordando bastante bien con calculos previos
[15]. Por otro lado, comparando nuestros resultados con un calculo autoconsistente [47], en donde
la transicion principal E1 − E0 reportada en el es de 9.5 meV, mientras que la obtenida para
nuestro modelo es de 10.5 meV utilizando ℓp=15 nm y NL2d=N
R2d=2.0 ×1012 cm−2, resultando
ser una buena aproximacion.
Para la separacion entre los pozos δ-dopados, la densidad de impurezas del segundo pozo NR2d
y el campo electrico aplicado, se muestra el perfil de potencial con sus respectivas densidades de
probabilidad, ası como la diferencia de energıa entre cada estado, puesto que es necesaria para
el calculo de las propiedades opticas lineales y no lineales.
3.1.1. Como funcion de la separacion entre pozos ℓp
En la figura 3.1 se presenta el perfil de potencial de un sistema formado por dos pozos δ-
dopados simetricos con densidad de impurezas NL2d=N
R2d=5.0×1012 cm−2 para tres distancias de
separacion ℓp de 12, 18 y 24 nm.
En los tres casos se observa como es que la simetrıa del sistema induce a una simetrıa en
las densidades de probabilidad de los cuatro primeros estados, es decir, el electron se puede
encontrar con igual probabilidad en cada uno de los pozos respecto del origen. Cuando la
distancia de separacion de los pozos es pequena, los niveles de energıa se encuentran separados.
Sin embargo, cuando la distancia de separacion entre los pozos comienza a aumentar, el estado
base y el primer estado excitado se tienden a juntar, de igual forma ocurre con el segundo y
tercer estado excitado. Entonces pues, cuando la distancia entre los pozos es muy grande, ya no
hay interaccion entre ellos, lo cual significa que hay una degeneracion en los niveles de energıa.
3.1. ESTRUCTURA ELECTRONICA DE POZOS δ-DOPADOS DOBLES 39
-250
-200
-150
-100
-50
0
-250
-200
-150
-100
-50
0
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-250
-200
-150
-100
-50
0
a)
c)
Ener
gía
(meV
)
b)
Distancia (nm)
Figura 3.1: Perfil de potencial y densidades de probabilidad de los primeros cuatro estadospara un pozo δ-dopado doble simetrico, con densidad de impurezas NL
2d=NR2d=5.0×1012 cm−2
y diferentes distancias de separacion entre los pozos ℓp. a) ℓp=12 nm, b) ℓp=18 nm y c) ℓp=24nm.
En la figura 3.2 se representan cuatro niveles de energıa como funcion de la distancia de
separacion de los pozos δ-dopados en el rango de 10-40 nm. Se puede observar, como efectiva-
mente hay una degeneracion entre los niveles de energıa. Entre el estado base y primer estado
excitado la degeneracion se da cuando la distancia entre los pozos es mayor a 24 nm, cuando la
distancia es de 24 nm se ve como ya hay un desdoblamiento de niveles, ya que el estado base
y el primer estado excitado se encuentran con una energıa de E0=-118 meV y E1=-117 meV,
40 CAPITULO 3. ESTRUCTURA ELECTRONICA
10 15 20 25 30 35 40-250
-200
-150
-100
-50
0
E3
E2
E1
E0
-48 meV
-117 meV
-118 meV
-47 meV
-69 meV-123 meV
-45 meV
-76 meV
-133 meV
24 nm18 nm
Ener
gía
(meV
)
Distancia (nm)
12 nm
-148 meV
-126 meV
-58 meV
Figura 3.2: Niveles de energıa como funcion de la distancia de separacion ℓp de los pozos δ-dopados simetricos con NL
2d=NR2d=5.0×1012 cm−2. E0 estado base, E1 primer estado excitado,
E2 segundo estado excitado y E3 tercer estado excitado. Se muestran las diferencias de energıaque corresponden a ℓp=12, 18 y 24 nm.
respectivamente. Para el tercer y cuarto estado la degeneracion se da para una distancia mayor
a 35 nm. Cualitativamente a traves de los valores de energıa que corresponden a las distancias
(12 nm, 18 nm y 24 nm) utilizadas en la figura 3.1, se observa que la diferencia de energıa entre
el estado base y primer estado excitado (E10), ası como entre el tercer y cuarto estado (E32),
aumenta conforme los pozos se van acercando. El comportamiento obtenido en este sistema
concuerda con el que se mostro en la figura 1.10. Se ha visto entonces, como es la estructura
electronica para un sistema δ-dopado doble simetrico.
Las figuras 3.3 y 3.4 muestran la estructura electronica cuando al sistema formado por los
dos pozos δ-dopados se le da cierta asimetrıa. Esta se da a traves de la densidad de impurezas
del pozo de la derecha NR2d que se esta tomando en cuenta, en este caso esta densidad es de
NR2d=4.0×1012 cm−2 y la del pozo de la izquierda NL
2d=5.0×1012 cm−2, al igual que en el caso
3.1. ESTRUCTURA ELECTRONICA DE POZOS δ-DOPADOS DOBLES 41
-250
-200
-150
-100
-50
0
-250
-200
-150
-100
-50
0
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-250
-200
-150
-100
-50
0
a)
c)
Ener
gía
(meV
)
b)
Distancia (nm)
Figura 3.3: Perfil de potencial y densidades de probabilidad de los primeros cuatro estados deenergıa para un pozo δ-dopado doble asimetrico, con densidad de impurezas NL
2d=5.0×1012 cm−2
y NR2d=4.0×1012 cm−2 y diferentes distancias de separacion entre los pozos ℓp. a) ℓp=12 nm, b)
ℓp=18 nm y c) ℓp=24 nm.
simetrico se tomaron los mismos valores de la distancia entre los pozos. La figura 3.3 representa
el perfil de potencial y la densidad de probabilidad para cuatro estados de energıa del sistema
antes mencionado.
Se observa como la densidad de probabilidad de los estados ya no es simetrica. Cuando la
distancia entre los pozos es de 12 nm tal y como lo muestra la figura 3.3 a), la densidad de
probabilidad del estado base se encuentra distribuida en los dos pozos, pero es mayor en el pozo
42 CAPITULO 3. ESTRUCTURA ELECTRONICA
10 15 20 25 30 35 40-250
-200
-150
-100
-50
0
c)b)
20 meV18 meV
E3 E2 E1 E0
Ener
gía
(meV
)
Distancia (nm)
22 meV
a)
Figura 3.4: Niveles de energıa como funcion de la distancia de separacion entre los pozos δ-dopados asimetricos con NL
2d=5.0×1012 cm−2 y NR2d=4.0×1012 cm−2. E0 estado base, E1 primer
estado excitado, E2 segundo estado excitado y E3 tercer estado excitado.
de la izquierda, en el primer estado excitado la densidad de probabilidad esta casi contenida en
el pozo de la derecha, sin embargo hay una pequena probabilidad en el pozo de la izquierda,
es decir, ocurre lo contrario que en el estado base por cuestiones de ortogonalidad, se ve como
es que estos niveles se encuentran separados. En las figuras 3.3 b) y 3.3 c) la densidad de
probabilidad del estado base se localiza en el pozo de la izquierda, mientras que en el primer
estado excitado se halla totalmente contenida en el pozo de la derecha. Los niveles de energıa se
encuentran mas juntos comparados con los de la figura 3.3 a) y ademas estan casi en la misma
energıa, por lo tanto, conforme la distancia entre los pozos aumenta, la diferencia de energıa
entre estos dos estados permanece casi constante.
En la figura 3.4 se muestran los niveles de energıa como funcion de la distancia entre los
pozos δ-dopados para las mismas concentraciones de impurezas utilizadas en la figura 3.3. Se
ve como es que ya no existe degeneracion alguna en los niveles de energıa comparado con el
3.1. ESTRUCTURA ELECTRONICA DE POZOS δ-DOPADOS DOBLES 43
caso simetrico de la figura 3.2, pero sı como es que el estado base y primer estado excitado se
comienzan a juntar, cuando la distancia entre los pozos es muy pequena, la diferencia de energıa
es mucho mayor, sin embargo, conforme la distancia aumenta, la diferencia de energıa disminuye.
La diferencia de energıa E10 que se analiza es para las distancias utilizadas en la figura anterior
12 nm, 18 nm y 24 nm, obteniendo un valor de 22 meV, 18 meV y 20 meV, respectivamente. Es
importante mencionar que se estan mostrando cuatro estados, sin embargo, el calculo de estas
propiedades opticas lineales y no lineales, esta basado en la transicion del estado base y primer
estado excitado, por ello, solo se muestra la diferencia de energıa entre estos.
3.1.2. Como funcion de la concentracion de los pozos
En la figura 3.5 se presenta el perfil del potencial para un pozo δ-dopado doble asimetrico
con sus correspondientes densidades de probabilidad para cuatro estados (E0, E1, E2 y E3), en
donde la densidad de impurezas del pozo de la izquierda permanece constante NL2d=5.0×1012
cm−2 y la densidad del pozo de la derecha se toma para cuatro valores diferentes de NR2d=3.5,
4.5, 5.5, 6.5 ×1012 cm−2, la distancia entre los pozos δ-dopados es ℓp=12 nm.
En la figura 3.5 a) el valor de la densidad de impurezas del pozo de la derecha esNR2d=3.5×1012
cm−2, se puede observar que la densidad de probabilidad del estado base esta totalmente en la
region del pozo δ-dopado de impurezas izquierdo y la del primer estado excitado esta contenida
casi completamente en el pozo δ-dopado de impurezas derecho, sin embargo, se observa que
existe tambien una pequena probabilidad en el primer pozo. En la figura 3.5 b), NR2d es 4.5×1012
cm−2 y para esta configuracion la densidad de probabilidad del estado base se distribuye en los
dos pozos, pero es mayor en el primero, en el primer estado excitado esta compartida entre las
regiones de los dos pozos δ-dopados. En la figura 3.5 c) la densidad de impurezas del pozo de la
derecha NR2d supera la densidad del pozo de la izquierda NL
2d, se observa entonces que la densi-
44 CAPITULO 3. ESTRUCTURA ELECTRONICA
-250
-200
-150
-100
-50
0
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-250
-200
-150
-100
-50
0
-250
-200
-150
-100
-50
0
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-250
-200
-150
-100
-50
0
Ener
gía
(meV
)
d)
c)
b)
Ener
gía
(meV
)
a)
Distancia (nm)
Distancia (nm)
Figura 3.5: Perfil del potencial y densidades de probabilidad de los primeros cuatro estados paraun pozo δ-dopado doble asimetrico con una distancia de separacion entre los pozos de ℓp=12nm. La densidad de impurezas del pozo δ-dopado de la izquierda (primer pozo) NL
2d se encuentrafija en 5.0×1012 cm−2 y la densidad del pozo de la derecha NR
2d con valores de a) 3.5×1012 cm−2,b) 4.5×1012 cm−2, c) 5.5×1012 cm−2 y d) 6.5×1012 cm−2.
dad de probabilidad del estado base se desplaza a la region del pozo δ-dopado derecho, la causa
que lo origina es que esta region del pozo es ahora mas atractiva. La densidad de probabilidad
del primer estado excitado se encuentra claramente en la region del pozo δ-dopado izquierdo.
Finalmente en la figura 3.5 d) que corresponde a NR2d=6.5×1012 cm−2 en contraste con la figura
3.5 a), las densidades de probabilidad del estado base y primer estado excitado se localizan en
la region del pozo del lado derecho e izquierdo, respectivamente. Este analisis es importante
para investigar en cuales regiones y con que parametros del sistema los elementos de la matriz
de dipolo Mij no son nulos.
3.1. ESTRUCTURA ELECTRONICA DE POZOS δ-DOPADOS DOBLES 45
0 1 2 3 4 5 6 7-200
-160
-120
-80
-40
0
16 meV
d)c)b)
28 meV18 meV
18 meV
Ener
gía
(meV
)
Densidad de impurezas NR2d ( 1012 cm-2)
E3 E2 E1
E0
27 meV
a)
Figura 3.6: Niveles de energıa como funcion de la densidad de impurezas del pozo de la derechaNR
2d. E0 estado base, E1 primer estado excitado, E2 segundo estado excitado, E3 tercer estadoexcitado. NL
2d=5.0×1012 cm−2 ℓp=12 nm.
En la figura 3.6 se reportan los primeros cuatro niveles de energıa del sistema como funcion
de la densidad de impurezas del pozo de la derecha NR2d en el rango de 0 a 7 ×1012 cm−2. Se
observa que la diferencia de energıa de transicion entre el estado base y el primer estado excitado
(E1 − E0) decrece hasta el valor de NR2d=5.0×1012 cm−2 siendo de 16 meV (que corresponde
al caso simetrico) y, a partir de este punto esta diferencia de energıa comienza a incrementar
nuevamente. El valor de esta diferencia para las densidades utilizadas en la figura 3.5 a) 3.5×1012
cm−2, b) 4.5×1012 cm−2, c) 5.5×1012 cm−2 y d) 6.5×1012 cm−2 es 27 meV, 18 meV, 18 meV
y 28 meV, respectivamente. Esta diferencia de energıa determina la localizacion de los picos
resonantes para el caso del coeficiente de absorcion que se discutira en el capıtulo 4.
46 CAPITULO 3. ESTRUCTURA ELECTRONICA
-225
-150
-75
0
75
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-225
-150
-75
0
75
-225
-150
-75
0
75
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-225
-150
-75
0
75
Ener
gía
(meV
)
d)
c)
b)
Ener
gía
(meV
)
a)
Distancia (nm)Distancia (nm) Distancia (nm)
Distancia (nm)
Figura 3.7: Perfil del potencial y densidades de probabilidad del estado base y primer estadoexcitado para un pozo δ-dopado doble asimetrico aplicando un campo electrico de a) 5 kV/cm,b) 10 kV/cm, c) 15 kV/cm y d) 20 kV/cm. La distancia entre los pozos es ℓp=12 nm, ladensidad de impurezas del pozo de la izquierda y de la derecha de 5.0×1012 cm−2 y 4.0×1012
cm−2, respectivamente.
3.1.3. Como funcion del campo electrico F aplicado
En la figura 3.7 se presenta el perfil de potencial y la densidad de probabilidad de los primeros
dos estados de energıa (E0, E1) para un pozo δ-dopado doble asimetrico, fijando la densidad
de impurezas en ambos pozos que conforman el sistema (NL2d=5.0×1012 cm−2 y NR
2d=4.0×1012
cm−2), en la cual se investigan los efectos producidos por un campo electrico estacionario en la
estructura electronica del sistema. En la figura 3.7 a) se observa que el campo electrico aplicado,
cuyo valor es de F es 5.0 kV/cm, no tiene influencia significativa en la estructura electronica,
3.1. ESTRUCTURA ELECTRONICA DE POZOS δ-DOPADOS DOBLES 47
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-160
-140
-120
-100
d)c)b)
E1 E0
17 meV16 meV17 meV
Ener
gía
(meV
)
Campo eléctrico (kV/cm)
18 meV
a)
Figura 3.8: Niveles de energıa como funcion de un campo electrico externo aplicado. E0 esta-do base, E1 primer estado excitado, E2 segundo estado excitado, E3 tercer estado excitado.NL
2d=5.0×1012 cm−2, NR2d=4.0×1012 cm−2 y ℓp = 12 nm. Se presenta las diferencias de energıa
entre el estado base y primer estado excitado para cada valor del campo electrico aplicado.
comparandola con la figura 3.1 b). Cuando se comienza a incrementar el campo hasta F = 10
kV/cm tal y como se muestra en la figura 3.7 b) se observa que tampoco existe modificacion
alguna en la estructura electronica del sistema, sin embargo, cuando el campo alcanza el valor
de F = 15 kV/cm que corresponde a la figura 3.7 c), la densidad de probabilidad para el estado
base y primer estado excitado se vuelve casi simetrica, solo por el efecto del campo electrico.
Finalmente para F = 20 kV/cm, la densidad de probabilidad del estado base esta totalmente
contenida en el pozo δ-dopado de la derecha y la del primer estado excitado se encuentra
contenida en los dos pozos con mayor proporcion en el pozo de la izquierda tal y como se
muestra en la figura 3.7 d).
La figura 3.8 muestra el estado base y primer estado excitado de energıa como funcion de
un campo electrico externo aplicado en el rango de −20 < F < 20 kV/cm, para densidades
48 CAPITULO 3. ESTRUCTURA ELECTRONICA
NL2d=5.0×1012 cm−2 y NR
2d=4.0×1012 cm−2 y una distancia de separacion entre los pozos de
ℓp = 12 nm. La diferencia de energıa E1−E0, cuando el campo electrico tiene un valor de F = 5
kV/cm, es 18 meV. Por otro lado el campo electrico aplicado, cuando la diferencia de energıa
es mınima (16 meV), tiene un valor de F = 15,0 kV/cm. Finalmente para F = 20,0 kV/cm,
E1 − E0=17 meV. Entonces, la diferencia de energıa entre los dos primeros estados decrece de
-20 a 15 kV/cm.
Capıtulo 4
Propiedades opticas lineales y no
lineales
4.1. Coeficiente de absorcion e ındice de refraccion
En este capıtulo se presentan los resultados de las propiedades opticas lineales y la correccion
no lineal de tercer orden que se obtienen con base en la estructura electronica de los pozos δ-
dopados dobles asimetricos. Era necesario, antes de realizar el calculo del coeficiente de absorcion
y del cambio relativo del ındice de refraccion del sistema cuantico, hacer un estudio completo
de la estructura electronica como se presenta en el capıtulo anterior. Se hace mencion de esto,
puesto que el estudiar de manera adecuada y profunda la estructura electronica del sistema
permite no solo entender el comportamiento fısico de este, sino tambien investigar regiones de
los parametros del sistema para los cuales se obtienen las propiedades opticas de interes.
La importancia de calcular la estructura electronica completa, se fundamenta en lo siguiente;
es necesario conocer para que rango de los parametros del sistema se tienen elementos de matriz
49
50 CAPITULO 4. PROPIEDADES OPTICAS LINEALES Y NO LINEALES
dipolar (Mij) con valores no nulos, los cuales se definen como
Mij =∫ψi(z) z ψj(z)dz =< ψi| z |ψj > . (4.1)
Que fundamentalmente representa el momento dipolar asociado con la transicion entre dos
estados cuanticos i-esimo y j-esimo. Como se puede ver claramente de las expresiones para el
coeficiente de absorcion tanto en su parte lineal (ec. 2.24), como su correccion de tercer orden
(ec. 2.25) ası como las correspondientes al cambio relativo del ındice de refraccion, dados por
las ecuaciones (2.27) y (2.28), dichas propiedades dependen de este elemento de matriz.
Entonces, es primordial el investigar cuando es que este elemento de matriz dipolar, dado por
la ecuacion (4.1), es diferente de cero. Queda claro que debe existir cierto traslape espacial en las
funciones de onda del estado i-esimo y j-esimo para que el valor de la integral (4.1) sea diferente
de cero. Por otro lado, si se introduce un cierto grado de asimetrıa al sistema, cambiando por
ejemplo la densidad de impurezas del pozo de la derecha (NR2d), dicho traslape se hace menor y
a su vez, justamente por la asimetrıa que se induce en las funciones de onda, la diferencia de
elementos de matriz al cuadrado (|M11 −M00|2), que toma cuenta de dicha asimetrıa, empieza
a ser distinto de cero y contribuye a las correcciones de tercer orden tanto en el coeficiente
de absorcion como en el cambio relativo del ındice de refraccion. En las siguientes secciones se
muestra la dependencia de estos factores como funcion de la separacion entre los pozos (ℓp), de
la densidad de impurezas del pozo de la derecha (NR2d), manteniendo fijos los demas parametros,
y finalmente como funcion del campo electrico externo aplicado (F ). Se presentan y discuten
los resultados del coeficiente de absorcion y cambio relativo del ındice de refraccion para cada
caso.
4.1. COEFICIENTE DE ABSORCION E INDICE DE REFRACCION 51
4.1.1. Como funcion de la separacion entre pozos
Para investigar en que regiones de los parametros de interes se tienen valores no-nulos del
factor |M10|2, que es el elemento de la matriz dipolar al cuadrado y del factor |M11 −M00|2 que
toma en cuenta la asimetrıa del sistema, se grafica la magnitud de estos dos parametros como
funcion de la sepacion entre los pozos, manteniendo fijas las concentraciones de impurezas de
las capas δ-dopadas en NL2d = 5,0 × 1012 cm−2 para la capa de la izquierda y NR
2d = 4,0 × 1012
cm−2 para la de la derecha. En la figura 4.1 se presentan dichos comportamientos para un
rango de separacion entre pozos de 10 a 20 nm, que es el rango de separacion para el que
se encontraron valores significativos para |M10|2. Por otro lado, se observa que el factor de
asimetrıa |M11−M00|2, que participa en las correcciones de tercer orden, tanto del coeficiente de
absorcion (ec. 2.24) como del ındice de refraccion (ec. 2.28) aumentan de manera importante en
este rango de separacion entre pozos. Sin embargo, se debe enfatizar que es aun mas importante
el rol de |M10|2 ya que, como se observa de las expresiones anteriores, las propiedades opticas
dependen linealmente de este y aunque el factor de asimetrıa crece de manera importante esto
no impacta considerablemente en las propiedades fısicas de interes, porque el valor de |M10|2
tiende a cero para separaciones mayores a 20 nm. Entonces aunque |M11−M00|2 crece de manera
importante, las propiedades opticas siguen moduladas por |M10|2 que tiende a cero cuando ℓp
aumenta. Finalmente, se puede observar que el maximo valor de |M10|2 esta cerca de los 11
nm, lo cual es muy importante porque dice que para una separacion entre pozos de alrededor
de este valor se tendra un maximo del coeficiente de absorcion y un mayor cambio relativo del
ındice de refraccion. A continuacion se muestran estas dos propiedades opticas como funcion de
la separacion de los pozos ℓp.
En la figura 4.2 a) se muestra el comportamiento del coeficiente de absorcion lineal α(1)(ω)
para dos valores particulares de la distancia de separacion entre pozos, la lınea solida representa
52 CAPITULO 4. PROPIEDADES OPTICAS LINEALES Y NO LINEALES
10 12 14 16 18 200
3
6
9
12
15
18
10 12 14 16 18 200
80
160
240
320
400
|M10
|2 (n
m2 )
Distancia (nm)
|M11
-M00
|2 (n
m2 )
Distancia (nm)
Figura 4.1: Dependencia con la distancia de separacion entre los pozos (ℓp) del elemento dematriz dipolar al cuadrado (|M10|2) y del factor |M11 − M00|2 para un pozo δ-dopado dobleasimetrico con NL
2d = 5,0× 1012 cm−2 y NR2d = 4,0× 1012 cm−2.
dicho coeficiente de absorcion para una separacion entre pozos de 12 nm y la lınea punteada
para el caso de 18 nm. Los picos de resonancia (que corresponden a la energıa de transicion
E1 − E0) de este coeficiente, se encuentran en 22 y 18 meV, respectivamente para cada valor
de la distancia. Se observa que para una distancia de separacion de 18 nm el pico resonante
se encuentra a la izquierda respecto del que corresponde a ℓp = 12 nm, es decir, experimenta
un corrimiento hacia el rojo como queda claro de la figura 3.4 donde se grafican los niveles
de energıa como funcion de ℓp. Ademas de que la intensidad de este pico es mucho menor que
el pico resonante que corresponde a ℓp = 12 nm como lo evidencıa la figura 4.1 que dice que
el parametro |M10|2 es maximo alrededor de esta separacion (12 nm) y disminuye conforme
se separan cada vez mas los pozos δ-dopados de impurezas (18 nm). En la figura 4.2 b) se
presenta la correccion no lineal de tercer orden al coeficiente de absorcion, la cual se sabe que
es consecuencia de la intensidad del laser incidente, que en este caso es I=0.1 MW/cm2, y de la
4.1. COEFICIENTE DE ABSORCION E INDICE DE REFRACCION 53
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
(1) (
) (10
5 m-1
) ld=18 nm ld=12 nm
b)
a)
c)
(3) (
,I) (1
05 m-1
)
(,I)
(105 m
-1)
Energía (meV)
n(1) (
)/n
n(3) (
,I)/n
f)
n(,I)
/n
d)
e)
Energía (meV)
Figura 4.2: a) Coeficiente de absorcion lineal α(1)(ω), b) Correccion de tercer orden α(3)(ω, I),c) Coeficiente de absorcion total α(ω, I), d) Cambio relativo lineal del ındice de refraccion∆n(1)/n, e) Correccion de tercer orden del cambio relativo de ındice de refraccion ∆n(3)(ω, I)/ny f) Cambio relativo total del ındice de refraccion ∆n(ω, I)/n para un pozo δ-dopado dobleasimetrico como funcion de la energıa del foton incidente para una separacion entre pozos deℓp=12 nm y ℓp=18 nm. Con concentraciones bidimensionales de impurezas NL
2d=5.0×1012 cm−2
y NR2d=4.0×1012 cm−2.
asimetrıa del potencial. Se encuentra que la correccion de tercer orden es mas importante para
el caso de una separacion entre pozos mas pequena, de hecho esta es del 30% respecto de la
contribucion lineal para ℓp=12 nm y del 20% de su respectiva parte lineal cuando la separacion
entre pozos aumenta hasta los 18 nm. Finalmente se presenta el coeficiente de absorcion total en
la figura 4.2 c) que es la suma de las contribuciones lineales y las correspondientes correcciones
de tercer orden. Lo importante de esta figura es el hecho de que cuando la separacion entre
54 CAPITULO 4. PROPIEDADES OPTICAS LINEALES Y NO LINEALES
pozos es cercana a los 20 nm, el coeficiente de absorcion total practicamente es cero, debido
fundamentalmente a que el valor de |M10|2 va a cero en esta region, como queda claro de la
figura 4.1 y que cuando ℓp es 12 nm este coeficiente de absorcion total, incluida su correccion
por efecto de laser intenso y asimetrıa del potencial es maxima.
Por otro lado, el cambio relativo del ındice de refraccion de primer orden ∆n(1)/n como
funcion de la energıa del foton incidente, se muestra en la figura 4.2 d). Se puede ver como
es que existen regiones en donde ∆n es mayor que n y otra en donde se vuelve negativo. La
distancia entre los pozos repercute de manera significativa en el valor de la energıa para la cual
∆n=0. Cuando los pozos se encuentran a una distancia de 12 nm la energıa del foton incidente
para la cual el cambio relativo del ındice de refraccion de primer orden tiene el nodo, es 22 meV
y para 18 nm se encuentra en 18 meV. Como se puede concluir del valor de las energıas, el
cambio relativo del ındice de refraccion experimenta tambien un corrimiento hacia el rojo, ya
que la diferencia de energıa del estado base y primer estado excitado disminuye. En la figura
4.2 e) se muestra la correccion del tercer orden del cambio relativo del ındice de refraccion,
esta correccion es aproximadamente de un 20% en proporcion del cambio relativo de primer
orden en 12 nm y para 18 nm la correccion es de 14%, este comportamiento esta de acuerdo
a la dependencia que tiene esta correccion con |M10|2. La figura 4.2 f) representa el cambio
relativo del ındice de refraccion total, en el cual se refleja la contribucion de tercer orden para
cada parametro de distancia, por lo tanto, al igual que en el caso del coeficiente de absorcion,
el cambio relativo del ındice de refraccion (tanto en su parte lineal ası como en su correccion de
tercer orden) disminuye de forma significativa conforme la distancia entre los pozos δ-dopados
aumenta.
4.1. COEFICIENTE DE ABSORCION E INDICE DE REFRACCION 55
0 1 2 3 4 5 6 70
20
40
60
80
|M
10|2 , |M
11-M
00|2 (n
m2 )
Densidad de impurezas NR2d (1012 cm -2)
Figura 4.3: Dependencia con la concentracion de impurezas de la capa δ-dopada de la derecha(NR
2d) del elemento de matriz dipolar al cuadrado |M10|2 (lınea continua) y del factor |M11−M00|2(lınea a trozos) para un pozo δ-dopado doble asimetrico con una distancia de separacion entrepozos de 12 nm.
4.1.2. Como funcion de la la concentracion de los pozos
En la seccion anterior se realizo el calculo del coeficiente de absorcion y el cambio relativo
del ındice de refraccion lineal y no lineal de un sistema conformado por dos pozos δ-dopados
asimetricos como funcion de la distancia ℓp entre los pozos, sin embargo, como se ha propuesto
anteriormente, se quiere conocer tambien el comportamiento de estas propiedades en funcion
de la asimetrıa generada al variar la densidad de impurezas del segundo pozo (NR2d), dejando
fija la densidad de impurezas del primero (NL2d) ası como la distancia entre ellos. Para esto,
primeramente se analizan los elementos de la matriz dipolar |M10|2 y |M11 −M00|2 que como
se sabe son los factores que mas influyen en estas propiedades. En la figura 4.3 se muestra la
56 CAPITULO 4. PROPIEDADES OPTICAS LINEALES Y NO LINEALES
dependencia de los elementos de la matriz dipolar |M10|2 y |M11 −M00|2 con la densidad de
impurezas del pozo de la derecha (NR2d) en el rango de 0 a 7.0 × 1012 cm−2, el pozo de la izquierda
tiene una densidad de 5.0 × 1012 cm−2, siendo la distancia entre ellos de 12 nm. Se observa que
el valor maximo de |M10|2 corresponde al caso simetrico (NR2d=5.0×1012 cm−2), por ello, para
valores cercanos a esta densidad se tendran coeficientes de absorcion lineales maximos debido
a su dependencia con |M10|2. Mientras tanto, el factor que se ve afectado por la asimetrıa del
sistema |M11−M00|2 tiene valor mınimo (cero) tambien en dicha densidad NR2d=5.0×1012 cm−2.
Por esta razon la contribucion de tercer orden en regiones cercanas con este valor de densidad,
se veran afectadas simplemente por |M10|2 y por efectos de laser intenso.
A continuacion se muestra el efecto que tienen los valores de |M10|2 y |M11−M00|2 sobre las
propiedades opticas que se estudian en este trabajo, reportando el coeficiente de absorcion y el
cambio relativo en el ındice de refraccion en el rango de 3.5 a 6.5 ×1012 cm−2, que es en el cual
|M10|2 tiene valores importantes, fuera de este rango el valor de este es muy pequeno. Por otro
lado, se puede observar que |M11−M00|2 tiene un valor maximo cuando NR2d=3.0×1012 cm−2, lo
cual puede resultar interesante en las correcciones de tercer orden de ambas propiedades fısicas,
pero que sin embargo, no son tan importantes en este trabajo, puesto que se pretende investigar
las regiones en las cuales se maximizan las propiedades opticas de interes, las cuales se discuten
enseguida.
En la figura 4.4 a) se reporta el comportamiento del coeficiente de absorcion lineal α(1)(ω)
para cuatro valores diferentes de NR2d. Los picos de resonancia para la energıa de transicion
(E1 − E0) correspondientes a las densidades 3.5, 4.5, 5.5 y 6.5 en unidades de ×1012 cm−2 se
encuentran en 28, 18, 18 y 27 meV, respectivamente. Claramente se ve que para los tres primeros
valores de NR2d se tiene un corrimiento al rojo tomando como base la densidad de 3.5×1012 cm−2,
sin embargo, para el valor de 6.5×1012 cm−2 el pico resonante experimenta un corrimiento al
4.1. COEFICIENTE DE ABSORCION E INDICE DE REFRACCION 57
0.00.20.40.60.81.01.2
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.00.20.40.60.81.01.2
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
-0.02
0.00
0.02
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10 6.5x10
12 cm
-2
5.5x1012
cm-2
4.5x1012
cm-2
3.5x1012
cm-2
(1) (
) (10
5 m-1
)
b)
a)
c)
(3) (
,I) (1
05 m-1
)
(,I)
(105 m
-1)
Energía (meV)
n(1) (
)/n
n(3) (
,I)/n
f)
n(,I)
/n
d)
e)
Energía (meV)
Figura 4.4: a) Coeficiente de absorcion lineal α(1)(ω), b) Correccion no lineal de tercer ordenα(3)(ω, I) y c) Coeficiente de absorcion total α(ω, I), d) Cambio relativo del ındice de refraccionde primer orden ∆n(1)/n, e) Correccion de tercer orden ∆n(3)(ω, I)/n y f) Cambio relativo totaldel ındice de refraccion ∆n(ω, I)/n para un pozo δ-dopado doble asimetrico como funcion de laenergıa del foton incidente con NL
2d=5.0×1012 cm−2 y varios valores de la densidad de impurezasdel pozo de la derecha NR
2d. La distancia entre los pozos es ℓp=12 nm.
azul respecto a los otros. La situacion anterior ocurre ya que la diferencia de energıa entre el
estado base y el primer estado excitado a partir de NR2d=5.0×1012 cm−2 incrementa, tal y como lo
muestra el analisis de la figura 3.4. La figura 4.4 b) corresponde a la correccion a tercer orden del
coeficiente de absorcion α(3)(ω, I) debido a efectos de laser intenso, ası como a la asimetrıa del
sistema a traves del factor |M11 −M00|2 que se presento en la figura 4.3. Los picos resonantes
estan localizados en el mismo valor de energıa que los del coeficiente lineal, sin embargo, la
58 CAPITULO 4. PROPIEDADES OPTICAS LINEALES Y NO LINEALES
magnitud de la correccion de tercer orden es de aproximadamente de un 45% respecto de la
contribucion de primer orden para las densidades 4.5 y 5.5 ×1012 cm−2 y del 20% para 3.5 y 6.5
×1012 cm−2. Finalmente en la Figura 4.4 c) se muestra el coeficiente de absorcion total donde
se observa que la amplitud de α(ω, I) es escencialmente igual para todas las concentraciones.
La explicacion de esto es que la magnitud de la correccion de tercer orden aumenta de manera
considerable para los valores 4.5 y 5.5×1012 cm−2, sin embargo, disminuye para 3.5 y 6.5×1012
cm−2. Esto fundamentalmente es debido al hecho de que al variar la concentracion de 4.5 a
5.5 ×1012 cm−2, el pozo se hace casi simetrico y hace que aumente significativamente el valor
del elemento de matriz |M10|2 tal y como se muestra la figura 4.3. Esto implica por un lado, el
aumento tan importante del maximo del coeficiente de absorcion del sistema dada la dependencia
lineal de α(1)(ω) con |M10|2, por otro lado, explica tambien la correccion de tercer orden, que
como ya se discutio, es del orden de 45% y 20%. Cabe mencionar que la correccion de tercer
orden depende tambien de la asimetrıa del sistema a traves del factor |M11 − M00|2, el cual
se vuelve mas importante conforme el sistema es mas asimetrico. Por ello, para los valores de
3.5 ×1012 cm−2 y 6.5 ×1012 cm−2 la correccion de tercer orden es menor porcentualmente que
cuando la densidad de impurezas del pozo de la derecha vale 4.5 ×1012 cm−2 y 5.5 ×1012 cm−2.
Lo anterior se observa claramente en la figura 4.4 c), donde inclusive el maximo del coeficiente
de absorcion total es mayor para el caso mas asimetrico que simetrico, en contraste con el caso
del coeficiente de absorcion lineal, debido a la correcciones de tercer orden.
Por otro lado, en la figura 4.4 d) se reporta el cambio relativo del ındice de refraccion de
primer orden ∆n(1)/n como funcion de la energıa del foton incidente, de la figura se observa
que existen regiones de energıa del foton, para cada valor de NR2d, donde ∆n es “mucho” mas
grande que n, eventualmente el cambio relativo del ındice de refraccion es cero, posteriormente
se vuelve negativo. La energıa del foton para la cual ∆n=0 depende del valor de NR2d (hω del
4.1. COEFICIENTE DE ABSORCION E INDICE DE REFRACCION 59
nodo), para ello cuando NR2d tiene valores de 3.5 (28 meV), 4.5 (18 meV), y 5.5×1012 cm−2 (18
meV). Esta energıa del foton incidente (para la cual ∆n=0) experimenta un corrimiento hacia
el rojo, pero cuando NR2d=6.5 ×1012 cm−2 (27 meV) sufre un cambio hacia el azul respecto
a las otras densidades. Ademas para NR2d de 4.5 y 5.5×1012 cm−2, la diferencia del ındice de
refraccion ∆n es mas significativa aun que la correspondiente al conjunto de los otros valores,
por los mismos argumentos ya mencionados de la dependencia con |M10|2. En la figura 4.4 e) se
reporta la correccion de tercer orden ∆n(3)(ω, I)/n del cambio relativo del ındice de refraccion,
el cual es un 20% de la magnitud del cambio relativo del ındice de refraccion de primer orden
para las densidades de 4.5 y 5.5 ×1012 cm−2. Finalmente en la figura 4.4 f) se reporta el cambio
relativo total del ındice de refraccion del sistema, el cual considera una vez mas la dependencia
de este parametro tanto en |M10|2 como la asimetrıa del sistema a traves de |M11 −M00|2.
4.1.3. Como funcion del campo electrico
Finalmente otro parametro a considerar y que ademas induce mas asimetrıa al pozo δ-dopado
doble, es un campo electrico externo. Tal y como se vio en el calculo de la estructura electronica,
el aplicarlo sobre el sistema cambia la interaccion y traslape entre las funciones de onda, por
lo cual, los elementos de la matriz dipolar tambien se ven afectados. La figura 4.5 muestra la
dependencia con el campo electrico, en el rango de -20< F <20 kV/cm, de los elementos |M10|2
y |M11−M00|2 para un sistema donde la densidad de impurezas del primer pozo es NL2d=5.0×1012
cm−2 y la densidad del segundo es NR2d=4.0×1012 cm−2, siendo la distancia entre ellos de 12 nm.
Se observa como el elemento |M10|2 incrementa hasta el valor de F=15 kV/cm en donde
alcanza su valor maximo, y de la figura 3.7 c) que corresponde a este valor del campo, se puede
observar que a pesar de que el perfil de potencial no es simetrico, si lo son ası las funciones de
onda, lo cual por un lado maximiza el valor de |M10|2 y por otro anula el factor de |M11−M00|2.
60 CAPITULO 4. PROPIEDADES OPTICAS LINEALES Y NO LINEALES
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200
10
20
30
40
50
60
70
|M
10|2 , |M
11-M
00|2 (n
m2 )
Campo eléctrico (kV/cm)
Figura 4.5: Dependencia con el campo electrico externo F del valor del elemento |M10|2 (lıneacontinua) y |M11 − M00|2 (lınea a trozos) para el sistema de estudio cuando la separacionentre pozos es de 12 nm y las concentraciones de impurezas son de NL
2d=5.0×1012 cm−2 yNR
2d=4.0×1012 cm−2 para los pozos de la izquierda y derecha, respectivamente.
Pasando este valor de campo electrico, |M10|2 comienza a disminuir una vez mas, esto traera un
efecto de atenuamiento en el coeficiente de absorcion lineal para valores mayores de 15 kV/cm.
Por otra parte, el valor |M11−M00|2 disminuye de 0 a 15 kV/cm, siendo en 15 kV/cm donde tiene
su valor mınimo, comprobando una vez mas que este factor se ve involucrado por la simetrıa o
asimetrıa del sistema (siendo nulo cuando existe simetrıa en las funciones de onda). Una vez ya
con un panorama general del comportamiento de los elementos de la matriz dipolar, de los cuales
dependen y son los factores mas importantes en el calculo de la propiedades opticas lineales y
no lineales, se puede explicar como repercuten en el calculo de las mismas.
La figura 4.6 a) muestra el comportamiento del coeficiente de absorcion lineal α(1)(ω) para
4.1. COEFICIENTE DE ABSORCION E INDICE DE REFRACCION 61
0.00.20.40.60.81.01.2
-0.75
-0.60
-0.45
-0.30
-0.15
0.00
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.00.20.40.60.81.01.2
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10 20 kV/cm 15 kV/cm 10 kV/cm 5 kV/cm
(1) (
) (10
5 m-1
)
b)
a)
c)
(3) (
,I) (1
05 m-1
)
(,I)
(105 m
-1)
Energía (meV)
n(1) (
)/n
n(3) (
,I)/n
f)
n(,I)
/n
d)
e)
Energía (meV)
Figura 4.6: a) Coeficiente de absorcion lineal α(1)(ω), b) Coeficiente de absorcion no lineal α(3)(ω,I) y c) Coeficiente de absorcion total α(ω, I), d) Cambio relativo del ındice de refraccion deprimer orden ∆n(1)/n, e) Correccion de tercer orden ∆n(3)(ω, I)/n y f) Coeficiente de absorciontotal ∆n(ω, I)/n para un pozo δ-dopado doble asimetrico como funcion del la energıa del fotonincidente para diferentes valores de campo electrico F aplicado.
cuatro valores diferentes de campo electrico aplicado sobre un pozo δ-dopado con los mismos
parametros usados en la figura 4.5. La diferencia de energıa (E1−E0) que da la ubicacion de los
picos resonantes del coeficiente de absorcion lineal es 18, 17, 16 y 17 meV, respectivamente para
los valores de campo electrico 5, 10, 15 y 20 kV/cm. Se puede observar que el comportamiento
del coeficiente es muy parecido al mostrado en la figura 4.4, los picos resonantes muestran
un corrimiento al rojo y tal como lo predice la diferencia de energıa entre el estado base y el
primer estado excitado (ver figura 3.8), el valor de F=15 kV/cm es el que mas experimenta este
62 CAPITULO 4. PROPIEDADES OPTICAS LINEALES Y NO LINEALES
corrimiento, ya que la diferencia de energıa de transicion es mas pequena. Sin embargo, cuando
el valor del campo electrico es de 20 kV/cm, el comportamiento del coeficiente de absorcion toma
el mismo comportamiento que el de F=10 kV/cm y tiene un corrimiento hacia el azul respecto
a los valores previos del campo. En la correccion a tercer orden del coeficiente de absorcion
α(3)(ω, I) que se muestra en la figura figura 4.6 b) los picos resonantes estan localizados en el
mismo valor de energıa que los del coeficiente lineal, el orden de magnitud de la correccion de
tercer orden es diferente para cada valor del campo electrico, por ejemplo, para F=5 kV/cm es
del 40% en proporcion al coeficiente de absorcion lineal, para F=15 kV/cm es del 55% y para
F=10 y 20 kV/cm del 50%, esto se obtiene, ya que para 5 kV/cm el valor de |M10|2 es menor
que el correspondiente a los demas valores del campo electrico, por lo tanto esta contribucion
es menor. Para 15 kV/cm la contribucion es mayor, ya que |M10|2 es maximo, ademas que el
factor |M11 −M00|2 que se ve afectado por la simetrıa que adquiere el sistema, es cero. En 10 y
20 kV/cm el valor de |M10|2 y |M11 −M00|2 es el mismo, por lo cual, la contribucion de tercer
orden tambien lo es. Estas contribuciones se pueden ver claramente reflejadas en el coeficiente
de absorcion total que se muestra en la figura 4.6 c), disminuyendo en mayor proporcion el
coeficiente que corresponde a 15 kV/cm.
Finalmente en la figura 4.6 d) se presenta el cambio relativo del ındice de refraccion de primer
orden ∆n(1)/n como funcion de la energıa del foton incidente, la energıa para la cual ∆n=0 es
18, 17, 16 y 17 meV y corresponde para cada valor 5, 10, 15 y 20 kV/cm del campo electrico,
respectivamente. Tal como lo muestra la figura 4.6 d) y los valores de energıa, se observa que
conforme se aumenta el campo electrico el nodo (∆n = 0 ) experimenta un corrimiento hacia el
rojo. Sin embargo, cuando el campo es 20 kV/cm se tiene un corrimiento hacia el azul respecto
a los demas valores y el comportamiento es esencialmente el mismo que el de F=10 kV/cm . La
correccion de tercer orden del cambio relativo del ındice de refraccion tiene un valor del 30% de
4.1. COEFICIENTE DE ABSORCION E INDICE DE REFRACCION 63
la magnitud de la del primer orden para todos los valores de F aplicados sobre el sistema, como
se muestra en la figura 4.6 e), en esta ocasion esta correccion depende de los demas factores
involucrados en la ec. 2.28 y no solo de los elementos de la matriz dipolar. El cambio relativo
total del ındice de refraccion se muestra en la figura 4.6 f), en donde se considera la contribucion
de la correccion de tercer orden.
64 CAPITULO 4. PROPIEDADES OPTICAS LINEALES Y NO LINEALES
Capıtulo 5
Conclusiones
En este trabajo de tesis se presenta el calculo de la estructura electronica y de las propiedades
opticas lineales y no lineales para un pozo δ-dopado doble asimetrico tipo n en una matriz de
GaAs. En el presente estudio, se ha usado el esquema de la masa efectiva, utilizando un modelo
analıtico sencillo del potencial que se ha propuesto para modelar el sistema de un pozo δ-dopado
doble asimetrico. El objetivo es proponer valores de diseno de este tipo de sistemas donde se
tengan respuestas opticas como las que se calculan aquı.
Primeramente, se calculo la estructura electronica de los pozos δ-dopados dobles como fun-
cion de diferentes parametros, por ejemplo, como funcion de la separacion de los pozos ℓp en
un rango de 10 a 20 nm para el caso completamente simetrico, comparando los resultados con
calculos previos [15,47] para mostrar que nuestros resultados son correctos. Se calculo entonces
la estructura electronica de un pozo δ-dopado doble asimetrico, suponiendo que la densidad
de impurezas de las capas δ-dopadas son distintas. En general, se consideraron densidades de
impurezas en el rango de 1012 cm−2, en particular las densidades de 5,0×1012 cm−2 y 4,0×1012
cm−2.
Una vez fijadas las concentraciones de impurezas, se calculo la estructura electronica del
65
66 CAPITULO 5. CONCLUSIONES
sistema como funcion del la separacion entre los pozos en un rango de 10 a 20 nm y se en-
contro que el elemento de matriz dipolar |M10|2 es maximo alrededor de los 11 nm para la
separacion entre capas δ-dopadas de impurezas y tiende a cero rapidamente alrededor de los
20 nm, esto determina en que region de separacion entre capas de impurezas, el coeficiente de
absorcion y el cambio relativo del ındice de refraccion son maximos, lo cual, se puede observar
claramente en las figuras 4.2. Finalmente, se debe aclarar que a pesar de que el factor de asi-
metrıa |M11 −M00|2 aumenta de manera importante como funcion de la separacion entre las
capas, no influye significativamente en las correcciones de tercer orden tanto del coeficiente de
absorcion como del cambio relativo del ındice de refraccion, dada la dependencia lineal de dichas
correcciones con |M10|2, como queda claro de las ecuaciones (2.25) y (2.28). De esta parte de
los resultados, se puede concluir que para una separacion entre capas de alrededor de 12 nm se
tendran respuestas opticas importantes del sistema de estudio y que no es recomendable crecer
el sistema con separacion entre pozos mas alla de los 20 nm, porque dichas propiedades no son
tan buenas con respecto de esta separacion que maximiza a |M10|2.
Ya determinada una separacion adecuada entre capas, se investigo la estructura electronica
completa del sistema, manteniendo fija dicha separacion entre pozos en 12 nm y la concentracion
de la capa δ-dopada de la izquierda enNL2d = 5,0×1012 cm−2, graficando la estructura electronica,
con algunas funciones de onda como funcion de la densidad de impurezas de la capa de la derecha
desde 0 hasta 7.0×1012 cm−2, encontrando por un lado, que la mınima separacion energetica
corresponde al caso simetrico, es decir, cuando NL2d = NR
2d. Se calculo tambien la dependencia de
los elementos de matriz, en este caso como funcion de NR2d y se encontro que |M10|2 es maximo
tambien cuando el sistema es simetrico y que el factor de asimetrıa efectivamente vale cero justo
en este punto. Este analisis permite entonces, el calcular tanto el coeficiente de absorcion total
ası como el cambio relativo del ındice de refraccion total para el rango de concentraciones de
67
impurezas para las cuales el valor |M10|2 es significativo, el cual es: 3,5 < NR2d < 6,5 en unidades
de ×1012 cm−2. En esta parte, se puede concluir que a pesar de que el factor de asimetrıa, para el
rango de impurezas que se trabaja, pareciera no ser tan importante, se ve que las correcciones de
tercer orden sı lo son y como consecuencia se tienen propiedades opticas totales con amplitudes
independientes de la concentracion, cambiando unicamente la ubicacion del pico resonante en
cada caso.
Finalmente se investigo el efecto de un campo electrico externo aplicado en la direccion de
crecimiento del sistema en el rango de -20 a 20 kV/cm. En este caso, se reporta tambien toda
la estructura electronica en este rango, y se identifican las regiones de campo electrico para
los cuales se maximizan los elementos de matriz, cabe mencionar que en este caso usamos la
configuracion de concentracion y separacion entre pozos δ-dopados de impurezas que dan las
mejores respuestas opticas, es decir, ℓp = 12 nm, NL2d = 5,0×1012 cm−2 y NR
2d = 4,0×1012 cm−2.
Para esta configuracion en particular se encuentra que el maximo valor de |M10|2 corresponde al
valor de 15 kV/cm, como se observa de la figura 4.5, que es cuando la funcion de onda adquiere
simetrıa (ver figura 3.7 c). En contraste, el valor de |M11 −M00|2 vale cero en este valor del
campo electrico, lo cual hace que su correccion de tercer orden sea mucho mayor a la de los
otros valores del campo electrico aplicado (5, 10, 20 kV/cm) donde el factor |M11 −M00|2 es
distinto de cero y disminuye la correccion de tercer orden. Este ultimo analisis es de particular
importancia puesto que permite, por medio de un factor fısico externo, como lo es en este caso
un campo electrico estatico, el sintonizar la localizacion del pico resonante del coeficiente de
absorcion y modificar el valor del cambio relativo del ındice de refraccion con relativa facilidad.
Hay que mencionar que este tipo sistemas permiten transiciones opticas que tienen potencial
aplicacion como fotodetectores en el regimen del infrarrojo lejano, como lo propone originalmente
Ahn [64].
68 CAPITULO 5. CONCLUSIONES
Como trabajo a futuro, el estudio de estas propiedades se puede realizar tambien bajo otros
factores externos, tales como: variacion en la temperatura, campo magnetico (incluyendo este
factor en la ecuacion 2.17) y presion hidrostatica, con la cual la constante dielectrica y la masa
efectiva del material se ven afectadas. Ademas, de proponer calculos autoconsistentes para el
modelado del potencial de la banda de conduccion.
Bibliografıa
[1] P. Yu and M. Cardona. Fundamentals of Semiconductors. Springer, third edition, 2005.
[2] Q. Xue, S. Wang, J. Li, H. Zhang, and Z. Jiao. Influence of substrate resistivity on photo-
voltaic characteristics of Pd-doped amorphous carbon film/SiO2/Si heterojunction. Phys.
Status Solidi A, 209:1359–1362, 2012.
[3] N. Herbots, J. M. Shaw, Q. B. Hurst, M. P. Grams, R. J. Culbertson, David. J. Smith,
V Atluri, P. Zimmerman, and K. T. Queeney. The formation of ordered, ultrathin
SiO2/Si(1 0 0) interfaces grown on (1×1) Si(1 0 0) . Mater. Sci. Eng. B, 87:303–316, 2001.
[4] L. Borkovska, N. Korsunska, V. Kladko, M. Slobodyan, O. Yefanov, Ye. Venger, T. Krysh-
tab, Yu. Sadofyev, and I. Kazakov. A new type of structural defects in CdZnSe/ZnSe
heterostructures. Microelectr. J., 39:589–593, 2008.
[5] Y. Gu, O. Kuskovsky, R. Robinson, I. Herman, G. Neumark, X. Zhou, S. Guo, M. Mu-
noz, and M. Tamargo. A comparison between optically active CdZnSe/ZnSe and CdZn-
Se/ZnBeSe self-assembled quantum dots: effect of beryllium. Solid State Commun.,
134:677–681, 2005.
69
70 BIBLIOGRAFIA
[6] I. A. Davidson, R. T. Moug, E. C. Vallance, M. C. Tamargo, and K. A. Prior. MBE
growth and design of II-VI heterostructures for epitaxial lift-off. Phys. Status Solidi A,
209:1428–1431, 2012.
[7] J. Fan, L. Ouyang, X. Liu, J. K. Furdyna, D. J. Smith, and Y. H. Zhang. GaSb/ZnTe
double-heterostructures grown using molecular beam epitaxy. J. Cryst. Growth, 371:122–
125, 2013.
[8] E. Tangarife, S. Y. Lopez, M. de Dios-Leyva, L. E. Oliveira, and C. A. Duque. Effects
of hydrostatic pressure and crossed electric and magnetic fields on shallow-donor states in
quantum wells. Microelectr. J., 39:431–434, 2008.
[9] R. L. Restrepo, G. L. Miranda, C. A. Duque, and M. E. Mora-Ramos. Simultaneous effects
of hydrostatic pressure and applied electric field on the impurity-related self-polarization
in GaAs−Ga1−xAlxAs multiple quantum wells. J. Lumin., 131:1016–1021, 2011.
[10] G. L. Miranda, M. E. Mora-Ramos, and C. A. Duque. Exciton-related energies of the 1s-like
states of excitons in GaAs−Ga1−xAlxAs double quantum wells. J. Lumin., 132:2525–2530,
2012.
[11] S. J. Bass. Silicon and germanium doping of epitaxial gallium arsenide grown by the
trimethylgallium-arsine method. J. Cryst. Growth, 47:613–618, 1979.
[12] C. E. C. Wood, G. Metze, J. Berry, and L. F. Eastman. Complex free-carrier profile
synthesis by ”atomic-plane” doping of MBE GaAs. J. Appl. Phys., 51:383–387, 1980.
[13] K. Ploog. Molecular Beam Epitaxy of Artificially Layered III-V Semiconductors: Ultrathin-
Layer (GaAs)m (AlAs)m superlattices and delta (δ-) Doping in GaAs. Phys. Scripta,
1987:136–12, 1987.
BIBLIOGRAFIA 71
[14] L. Ioriatti. Thomas-Fermi theory of δ-doped semiconductor structures: Exact analytical
results in the high-density limit. Phys. Rev. B, 41:8340–8344, 1990.
[15] I. Rodrıguez-Vargas and L. M. Gaggero-Sager. Subband structure comparison between n-
and p-type double δ-doped GaAs quantum wells. Rev. Mex. Fıs., 50:614–619, 2004.
[16] E. Ozturk, Y. Ergun, H. Sari and I. Sokmen. The self-consistent calculation of Si δ-doped
GaAs structures. Appl. Phys. A Mater. Sci. Process, 73:749–754, 2001.
[17] J. A. Cuesta, A. Sanchez, and A. Dominguez-Adame. Self-consistent analysis of electric
field effects on Si δ-doped GaAs. Semicond. Sci. Technol., 10:1303–7, 1995.
[18] E. Ozturk, Y Ergun, H Sari, and I. Sokmen. Electronic properties of Si δ-doped GaAs
under an applied electric field. Semicond. Sci. Technol., 16:421–6, 2001.
[19] D. J. Carter, O. Warschkow, N. A. Marks, and D. R. McKenzie. Electronic structure of
two interacting phosphorus δ-doped layers in silicon. Phys. Rev. B, 87:045204–8, 2013.
[20] I. Rodrıguez-Vargas and L. M. Gaggero-Sager. Subband and transport calculations in
double n-type δ-doped quantum wells in Si. J. Appl. Phys., 99:033702–7, 2006.
[21] I. Karabulut, M. E. Mora-Ramos, and C. A. Duque. Nonlinear optical rectification and op-
tical absorption in GaAs/Ga1−xAlxAs asymmetric double quantum wells: Combined effects
of applied electric and magnetic fields and hydrostatic pressure. J. Lumin., 131:1502–1509,
2011.
[22] M. E. Mora-Ramos, C. A. Duque, E. Kasapoglu, H. Sari, and I. Sokmen. Electron-related
nonlinearities in GaAs/Ga1−xAlxAs double quantum wells under the effects of intense laser
field and applied electric field. J. Lumin., 135:301–311, 2013.
72 BIBLIOGRAFIA
[23] A. Y. Cho and J. R. Arthur. Molecular beam epitaxy. Prog. Sol. State Ch., 10:157–191,
1975.
[24] R. W. Boyd. Nonlinear Optics, Third Edition. Academic Press, 3rd edition, 2008.
[25] E. Rosencher and B. Vinter. Optoelectronics. Cambridge University Press, 2002.
[26] X. Yao and A. Belyanin. Nonlinear optics of graphene in a strong magnetic field. J. Phys.:
Condens. Matter., 25:054203–5, 2013.
[27] S. Chen and G. Wang. Nonlocal optical properties in InGaN/GaN strained quantum wells
with a strong built-in electric field. J. Appl. Phys., 113:023515–6, 2013.
[28] L. Zhang. Studies on Linear and Nonlinear Intersubband Optical Absorptions in a Wurtzite
AlGaN/GaN Coupling Quantum Well. Comm. Theor. Phys., 49:786–790, 2008.
[29] A. V. Kiryanov, N. N. Ilichev, and E. S. Gulyamova. Nonlinear change in refractive index
and transmission coefficient of silicon at long-pulse, µJ-range, 1.54-µ m excitation. Laser
Phys., 21:137–147, 2011.
[30] K. Koksal and M. Sahin. The effect of dilute nitrogen on nonlinear optical properties of
the InGaAsN/GaAs single quantum wells. Eur. Phys. J. B, 85:333–9, 2012.
[31] F. Ungan. Intensity-dependent nonlinear optical properties in a modulation-doped single
quantum well. J. Lumin., 131:2237–2243, 2011.
[32] T. H. Maiman. Optical and microwave-optical experiments in ruby. Phys. Rev. Lett.,
4:564–566, 1960.
[33] P. A. Franken, A. E. Hill, C. W. Peters, and G. Weinreich. Generation of optical harmonics.
Phys. Rev. Lett., 7:118–119, 1961.
BIBLIOGRAFIA 73
[34] E. Ozturk and I. Sokmen. Nonlinear intersubband absorption and refractive index changes
in square and graded quantum well modulated by temperature and hydrostatic pressure.
J. Lumin., 134:42–48, 2013.
[35] V. Ustoglu. Unal, E. Aksahin, and O. Aytekin. Electric field effect on the refractive index
changes in a Modified-Poschl-Teller quantum well. Physica E, 47:103–108, 2013.
[36] H. Yildirim and B. Aslan. Effects of magnetic field on the terahertz nonlinear optical
properties in donor-doped GaAs/AlGaAs quantum wells. Phys. Status Solidi, 249:2207–
2212, 2012.
[37] G. Liu, K. Guo, and Q. Wu. Linear and nonlinear intersubband optical absorption and
refractive index change in asymmetrical semi-exponential quantum wells. Superlattice.
Microst., 52:183–192, 2012.
[38] T. Chen, W. Xie, and S. Liang. Nonlinear optical properties in a quantum well with the
hyperbolic confinement potential. Physica B, 407:263–267, 2012.
[39] U. Yesilgul, F. Ungan, E. Kasapoglu, H. Sari, and I. Sokmen. The linear and nonlinear
intersubband optical absorption coefficients and refractive index changes in a V-shaped
quantum well under the applied electric and magnetic fields. Superlattice. Microst., 50:400–
410, 2011.
[40] E. Ozturk and I. Sokmen. The effects of hydrostatic pressure on the nonlinear intersubband
transitions and refractive index changes of different QW shapes. Opt. Commun., 285:5223–
5228, 2012.
74 BIBLIOGRAFIA
[41] H. Hassanabadi, G. Liu, and L. Lu. Nonlinear optical rectification and the second-harmonic
generation in semi-parabolic and semi-inverse squared quantum wells. Solid State Com-
mun., 152:1761–1766, 2012.
[42] E. H. Hwang and S. Das Sarma. Electronic transport in two-dimensional Si:P δ-doped
layers. Phys. Rev. B, 87:125411–9, 2013.
[43] N. V. Baidus, V. V. Vainberg, B. N. Zvonkov, A.S. Pylypchuk, V.N. Poroshin, and O.G.
Sarbey. Transport properties of InGaAs/GaAs Heterostructures with δ-doped quantum
wells. Semiconductors, 46:631–636, 2012.
[44] L. M. Gaggero-Sager and G. G. Naumis and M. A. Munoz-Hernandez and V. Montiel-
Palma. Self-consistent calculation of transport properties in Si GaAs quantum wells as a
function of the temperature. Physica B, 405:4267–4270, 2010.
[45] A. Yildiz, S. B. Lisesivdin, H. Altuntas, M. Kasap, and S. Ozcelik. Electrical conduction
properties of Si δ-doped GaAs grown by MBE. Physica B, 404:4202–4206, 2009.
[46] O. Oubram, M. E. Mora-Ramos, and L. M. Gaggero-Sager. Effect of the hydrostatic
pressure on two-dimensional transport in δ-doped systems. Eur. Phys. J. B, 71:233–236,
2009.
[47] E. Ozturk. Optical intersubband transitions in double Si δ-doped GaAs under an applied
magnetic field. Superlattice. Microst., 46:752–759, 2009.
[48] J. C. Martınez-Orozco, M. E. Mora-Ramos, and C. A. Duque. The nonlinear optical
absorption and corrections to the refractive index in a GaAs n-type δ-doped field effect
transistor under hydrostatic pressure. Phys. Status Solidi B, 249:146–152, 2012.
BIBLIOGRAFIA 75
[49] J. C. Martınez-Orozco, M. E. Mora-Ramos, and C. A. Duque. Nonlinear optical rectification
and second and third harmonic generation in GaAs systems under hydrostatic pressure. J.
Lumin., 132:449–456, 2012.
[50] I. Saidi, L. Bouzaıene, H. Maaref, and H. Mejri. Optical nonlinearities in δ-doped Al-
GaN/GaN quantum well heterostructures. J. Appl. Phys., 101:094506–5, 2007.
[51] I. Karabulut and C. A. Duque. Nonlinear optical rectification and optical absorption in
GaAsGa1−xAlxAs double quantum wells under applied electric and magnetic fields. Physica
E, 43:1405–1410, 2011.
[52] E. Ozturk and I. Sokmen. Intersubband transitions and refractive index changes in coupled
double quantum well with different well shapes. Superlattice. Microst., 50:350–358, 2011.
[53] F. Ungan, E. Kasapoglu, and I. Sokmen. Intersubband optical absorption coefficients and
refractive index changes in modulation-doped asymmetric double quantum well. Solid State
Commun., 151:1415–1419, 2011.
[54] M. J. Karimi and A. Keshavarz. Electric field effects on the linear and nonlinear inter-
subband optical properties of double semi-parabolic quantum wells. Superlattice. Microst.,
50:572–581, 2011.
[55] N. Zamani, A. Keshavarz, and M. Soliemanivareki. Optimization of nonlinear optical recti-
fication coefficient in asymmetric double quantum wells. J. Math. Computer Sci., 5:75–81,
2012.
[56] A. Keshavarz and N. Zamani. Optimization of optical absorption coefficient in asymmetric
double rectangular quantum wells by PSO algorithm. Opt. Commun., 294:401–404, 2013.
76 BIBLIOGRAFIA
[57] L. Zhang. Electric field effect on the linear and nonlinear intersubband refractive index
changes in asymmetrical semiparabolic and symmetrical parabolic quantum wells. Super-
lattice. Microst., 37:261–272, 2005.
[58] F. Ungan, U. Yesilgul, S. Sakiroglu, E. Kasapoglu, H. Sari and I. Sokmen. Nonlinear
optical absorption and refractive index in GaInNAs/GaAs double quantum wells under
intense laser field and applied electric field. J. Lumin., 143:75–80, 2013.
[59] E. Ozturk and I. Sokmen. Electric field effect on the nonlinear optical absorption in double
semi-graded quantum wells. Opt. Commun., 305:228–235, 2013.
[60] C. Hamaguchi. Basic Semiconductor Physics. Springer, Second edition, 2010.
[61] J. B. Xia and W. J. Fan. Electronic structures of superlattices under in-plane magnetic
field. Phys. Rev. B, 40:8508–8515, 1989.
[62] J. G. Rojas-Briseno and J. C. Martınez-Orozco and I. Rodrıguez-Vargas and M. E. Mora-
Ramos and C. A. Duque. Nonlinear absorption coefficient and relative refraction index
change for an asymmetrical double δ-doped quantum well in GaAs with a Schottky barrier
potential. Physica B, 424:13–19, 2013.
[63] S. Unlu, I. Karabulut, and H. Safak. Linear and nonlinear intersubband optical absorption
coefficients and refractive index changes in a quantum box with finite confining potential.
Physica E, 33:319–324, 2006.
[64] F. Schubert. Delta-doping semiconductors. Cambridge University Press, 1996.