STABILNOSTSTABILNOSTII

DINAMIKADINAMIKAKONSTRUKCIJAKONSTRUKCIJA

Doc. dr DDoc. dr Duuššanan KovaKovaččevievićć

STABILNOSTSTABILNOSTKONSTRUKCIJAKONSTRUKCIJA

LLinearna analizainearna analizakonstrukcijakonstrukcija

statistatiččka linearnostka linearnostgeometrijska linearnostgeometrijska linearnostmaterijalna linearnostmaterijalna linearnost

P

Δ

L - EP

Δ

N - E

P

Δ

L - NP

Δ

N - N

NelNelinearna analizainearna analizakonstrukcijakonstrukcija

statistatiččka nelinearnost (velika ka nelinearnost (velika pomeranja)pomeranja)

geometrijska nelinearnost geometrijska nelinearnost (velike deformacije)(velike deformacije)

materijalna nelinearnost materijalna nelinearnost (nelinearna "(nelinearna "σσ--εε" " veza)veza)

IIIIII

dilatacijadilatacija

napo

nna

pon

σσuu

σσoo

εεuuεεoo

σσcc

εεcc

IIII

II

dilatacijadilatacija

napo

nna

ponσσ

cc

εεcc

HognestadHognestadDesai, KrishnanDesai, KrishnanEvrokod 2Evrokod 2

dilatacijadilatacija

napo

nna

pon

σσtutu

σσtoto

εεtutuεεtoto

σσtt

εεtt

IIII

IIIIIIII

dilatacijadilatacija

napo

nna

ponσσ tt

εεtt

εεtutuεεmmεεtoto

σσtoto

33σσtoto

EEtoto

EEtmtm

EEtutu

II IIII IIIIII IVIV

napo

nna

ponσσ

ss

dilatacijadilatacija εεss

PPEE

Y'Y'YY

UU FF

dilatacijadilatacija

napo

nna

pon

σσuuσσyy

σσss

εεss

εεyy

EEsoso

a)a)

dilatacijadilatacija εεss

b)b)

εεuu

napo

nna

pon

σσhhσσyy

σσ ss

εεyy

EEsoso

εεuuεεhh

σσuu

dilatacijadilatacija εεss

c)c)

napo

nna

pon

σσhhσσyy

σσ ss

εεyy

EEsoso

εεuuεεhh

σσuu

Nelinearni fenomeniNelinearni fenomeni

kontinualna "glatka" kontinualna "glatka" nelinearnostnelinearnost

diskontinualna "hrapava" diskontinualna "hrapava" nelinearnostnelinearnost

HH

LL

PPxx

v(x)v(x)

M(x)=MM(x)=M00(x)+H(x)+H⋅⋅v(x)v(x)

PP

ΔΔLLLL

xx

M(x)=PM(x)=P⋅⋅(L(L--xx--ΔΔL)L)

PP

LL LL

αα

tgtg sinsin PP2AE2AE

αα αα−− ==

P

P1

P2

σσTT

σσ

εεTT εε

EE

EETT

εεσσ σσ σσ

σσ εε εε εε== ++−−

== ⋅⋅ ++ ⋅⋅ −−TT TT

TTTT TT TTEE EE

EE EE (( ))

PP

ΔΔ

LL

PPΔΔ ff

vrlo malo f/Lvrlo malo f/L

PP

ΔΔ

LL

PPΔΔ ff

malo f/Lmalo f/L

PP

ΔΔ

LL

PPΔΔ ff

veliko f/Lveliko f/L

PP

ΔΔ

LL

ββ⋅⋅PP

ΔΔPP

PPcrcr

vrlo malo vrlo malo ββ

PP

ΔΔ

LL

ββ⋅⋅PP

ΔΔPP

PPcrcr

malo malo ββ

PP

ΔΔ

LL

ββ⋅⋅PP

ΔΔPP

PPcrcr

veliko veliko ββ

LL

≠≠ΔϕΔϕΔϕΔϕ

v=L

v=L ⋅ΔϕΔϕ

u=0u=0

LL

≈≈ΔϕΔϕΔϕΔϕΔϕ vv ≈

LL ⋅si

n ΔϕΔϕ

uu≈≈LL⋅⋅(1(1--coscosΔϕΔϕ))

P P

PP

P P

P P

ΔϕΔϕ jjNN

ΔΔuujjNN

ΔΔvv jjNN

vv jjCC

uujjCC

ϕϕ jjCC

ΔϕΔϕ iiNN

ΔΔuuiiNN

ϕϕ iiCC ΔΔvvii

NN

vviiCC uuii

CC

"S""S"

"C""C"

"N""N"

Geometrijski nelinearni modeliGeometrijski nelinearni modeli

opopššta geometrijski nelinearna teorijata geometrijski nelinearna teorijageometrijski nelinearna teorija (teorija geometrijski nelinearna teorija (teorija

II reda)II reda)linearizovana teorija II redalinearizovana teorija II reda

PP--ΔΔ postupakpostupak

RavnoteRavnotežža sa aspektaa sa aspektastabilnostistabilnosti

stabilna ravnotestabilna ravnotežžaaneutralna (indiferentna)neutralna (indiferentna)

ravnoteravnotežžaanestabilna ravnotenestabilna ravnotežžaa

Bifurkaciona teorijaBifurkaciona teorija

P1

L

P2

P3

P

Δ

P1

P2

P3

1515°° EE⋅⋅I = 10I = 1044kNmkNm22 EE⋅⋅A = 10A = 1044kNkN

PP

Sila P [kN]Sila P [kN] 20.0020.00 60.0060.00koeficijent ukljekoeficijent uklješštenjatenja [%][%] 100100 00 100100 00 100100 00

linearna teorijalinearna teorija 10.5310.53 14.9314.93 31.5931.59 44.7844.78

linearizovana teorija II redalinearizovana teorija II reda 10.8810.88 15.7815.78 34.9634.96 53.4153.41inkrementalno inkrementalno -- iterativniiterativni

postupak postupak -- MIKMIK 10.9810.98 16.3316.33 36.4536.45 67.6167.61inkrementalno inkrementalno -- iterativniiterativni

MNR postupakMNR postupak 10.9810.98 16.3316.33 36.4436.44 67.6167.61inkrementalno inkrementalno -- iterativniiterativni

NR postupakNR postupak 10.9810.98 16.3316.33 36.4436.44 67.6567.65tataččno reno reššenjeenje 10.9910.99 16.3516.35 36.5536.55 68.6068.60

L = 10.0 mL = 10.0 m

PPcrcr [kN][kN]

// //

346.8346.8587.2587.2

149.3149.3 69.1269.12

149.2149.2 69.1069.10

149.2149.2 69.1069.10

149.1149.1 69.0969.09

1

2 3 4

5

6 78 9 10 11

12

13

14 15 1617

18

19

20

21

*PKR= 9701kN

**PKR= 3971kN

1

2 3 4

5

6 78 9 10 11

12

13

14 15 1617

18

19

20

21

*PKR= 9272kN

**PKR= 2724kN

ANALIZAANALIZAŠŠTAPOVATAPOVA

Metode za analizuMetode za analizustabilnosti stabilnosti šštapova i proratapova i proraččun un

po teoriji II redapo teoriji II reda

direktno redirektno reššavanje diferencijalne avanje diferencijalne jednajednaččine ine -- popoččetni parametri etni parametri šštapatapa

metoda konametoda konaččnih elemenatanih elemenatametoda konametoda konaččnih razlikanih razlika

"energetske" metode"energetske" metodeiterativne metodeiterativne metode

Diferencijalna jednaDiferencijalna jednaččina savijanja ina savijanja šštapa sa normalnom silom tapa sa normalnom silom -- popoččetni etni

parametriparametri

SS

MM00

VV00SS

MMll

VVll

φφ00

vvllvv00 φφll

ξξ ddξξ

ppyy(x)(x)

EIEISSkk ==

EIEI))xx((pp

vvkkvv yyIIII22IVIV ==±± "+" "+" -- pritisakpritisak""--" " -- zatezanje zatezanje ωω=k=k··ll

PP00000000 vvSSkk

kxkxsinsinkxkxVVSS

kxkxcoscos11MMkkkxkxsinsinvv))xx((vv ++

⋅⋅−−

⋅⋅−−−−

⋅⋅++⋅⋅φφ++==

PP000000 SSkxkxcoscos11VV

SSkxkxsinsinkkMMkxkxcoscos))xx((''vv))xx(( φφ++−−

⋅⋅−−−−

⋅⋅−−⋅⋅φφ====φφ

PP000000 MMkkkxkxsinsinVVkxkxcoscosMMkxkxsinsinkkEIEI))xx((""vvEIEI))xx((MM ++⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅φφ==⋅⋅−−==

PP00 VVVV))xx((''vvSS))xx((''''''vvEIEI))xx((VV ++==⋅⋅−−==⋅⋅−−==

OpOpššta reta reššenja diferencijalne enja diferencijalne jednajednaččina savijanja ina savijanja šštapatapa

sa normalnom silom sa normalnom silom

Partikularna rePartikularna reššenja diferencijalne enja diferencijalne jednajednaččina savijanja ina savijanja šštapatapa

sa normalnom silom sa normalnom silom

∫∫ ξξ⋅⋅

ξξ−−−−ξξ−−⋅⋅⋅⋅ξξ==

xx

00PP dd

SSkk))xx((kksinsin))xx((kk))((ppvv

∫∫ ξξξξ−−−−⋅⋅ξξ==φφ

xx

00PP dd

SS))xx((kkcoscos11))((pp

∫∫ ξξ⋅⋅ξξ−−==xx

00PP dd))((ppVV

∫∫ ξξξξ−−⋅⋅ξξ−−==

xx

00PP dd

kk))xx((kksinsin))((ppMM

Konturni uslovi Konturni uslovi

MM00=0=0

vv00=0=0

VV00≠≠00φφ

00≠≠00vvll=0=0

MMll=0=0VVll≠≠00φφll≠≠00

MM00≠≠00

vv00=0=0

VV00≠≠00φφ

00=0=0vvll≠≠00

MMll=0=0VVll=0=0φφ

ll≠≠00

Tok proraTok proraččunauna

unounoššenje poznatih pomeranja i/ili sila iz enje poznatih pomeranja i/ili sila iz konturnih uslova u rekonturnih uslova u reššenja diferencijalne enja diferencijalne

jednajednaččineine određivanje nepoznatih pomeranja i određivanje nepoznatih pomeranja i/ili /ili sila (tj. posila (tj. poččetnih parametara) iz datih etnih parametara) iz datih

jednajednaččinaina određivanje ostalih pomeranja i određivanje ostalih pomeranja i/ili sila /ili sila

(tj. po(tj. poččetnih parametara)etnih parametara)

Metoda konaMetoda konaččnih elemenata (MKE)nih elemenata (MKE)

y

x

q(y)

F1F2F3F4F5F6

[[ ]] {{ }} {{}}ffuukk tt ==⋅⋅

[[ ]] [[ ]] [[ ]]++== NLNLLLtt kkkkkk

VV

[[ ]] [[ ]]∫∫ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ttTT dVdVBBEEBB[[ ]]LLkk

[[ ]] [[ ]]∫∫ ⋅⋅⋅⋅σσ⋅⋅==VV

TT dVdVGGGG[[ ]]NLNLkk

yy

vvii,T,Tii

φφii,M,Mii

uuii,N,Nii

vvjj,T,Tjj

φφjj,M,Mjj

uujj,N,Njj

LL

xx

XX

YY

00

αα

[[ ]]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎦

⎤⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣⎣

⎡⎡

**

**--**

****

****--**--**

**--**--****

**--**--****

==

LLIIEE44..simsimet.et.

LLIIEE66

LLIIEE1212

LLSSEE00

LLAAEE

LLIIEE22

LLIIEE66

LLSSEE

LLIIEE44

LLIIEE66

LLIIEE121200

LLIIEE66

LLIIEE1212

LLSSEE00

LLAAEE

LLSSEE00

LLAAEE

kk

2233

22

22332233

LL

AA∑∑∫∫==

⋅⋅==⋅⋅==∗∗nn

11iiiitititt AAEEdAdAEEAAEE ∑∑∫∫

==

⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗nn

11iiiititiii

AAtt AAEEyydAdAEEyySSEE

∑∑∫∫==

⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗nn

11iiiititi

22ii

AAtt

22 AAEEyydAdAEEyyIIEE

∑∑∑∑∫∫====

⋅⋅++⋅⋅==⋅⋅==∗∗nsns

11jjjjtjtj

ncnc

11iiiititi

AAtt AAEEAAEEdAdAEEAAEE

∑∑∑∑∫∫====

⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗nsns

11jjjjtjtjjj

ncnc

11iiiititiii

AAtt AAEEyyAAEEyydAdAEEyySSEE

∑∑∑∑∫∫====

⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗nsns

11jjjjtjtj

22jj

ncnc

11iiiititi

22ii

AAtt

22 AAEEyyAAEEyydAdAEEyyIIEE

∑∑ ∑∑== ==

⋅⋅⎟⎟⎟⎟⎠⎠

⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎝

⎛⎛⋅⋅σσ⋅⋅−−⋅⋅==

33

11gggg

nn

11llllggllggiiii wwAA))ss,,ll((yy))ss((BBqq ∑∑ ∑∑

== ==

⋅⋅⎟⎟⎟⎟⎠⎠

⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎝

⎛⎛⋅⋅σσ⋅⋅−−⋅⋅==

33

11gggg

nn

11llllggllggiiii wwAA))ss,,ll((yy))ss((BBqq

∑∑∑∑∫∫====

⋅⋅σσ++⋅⋅σσ==⋅⋅σσ==nsns

11jjjjsjsj

ncnc

11iiiicici

AAAAAAdAdANN ∑∑∑∑∫∫

====

⋅⋅σσ++⋅⋅σσ==⋅⋅σσ==nsns

11jjjjsjsj

ncnc

11iiiicici

AAAAAAdAdANN

∑∑∑∑∫∫====

⋅⋅⋅⋅σσ++⋅⋅⋅⋅σσ==⋅⋅⋅⋅σσ==nsns

11jjjjjjsjsj

ncnc

11iiiiiicici

AAAAyyAAyydAdAyyMM ∑∑∑∑∫∫

====

⋅⋅⋅⋅σσ++⋅⋅⋅⋅σσ==⋅⋅⋅⋅σσ==nsns

11jjjjjjsjsj

ncnc

11iiiiiicici

AAAAyyAAyydAdAyyMM

[[ ]]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎦

⎤⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣⎣

⎡⎡

⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅

⋅⋅−−

⋅⋅

⋅⋅==

1515LL22..simetsimet

101011

LL5566

0000003030LL

10101100

1515LL22

101011

LL556600

101011

LL5566

000000000000

PPkkNLNL

ААPROKSIMACIJA 2PROKSIMACIJA 2numerinumeriččko modeliranjeko modeliranje

konturnih i prelaznih uslova,konturnih i prelaznih uslova,dejstava,dejstava,

ponaponaššanja konstrukcije ianja konstrukcije imaterijalamaterijala

Formiranje matriceFormiranje matricekrutosti sistema KEkrutosti sistema KE

i vektor opterei vektor optereććenja enja ---- formiranje sistema LAJformiranje sistema LAJ

Izbor metode za reIzbor metode za reššavanje avanje sistema LAJ:sistema LAJ:

proraproraččun pomeranjaun pomeranjaččvorova sistema KEvorova sistema KE

DISKRETIZACIJADISKRETIZACIJAgeometrijsko modeliranjegeometrijsko modeliranje

izborom oblika KE izborom oblika KE (formiranje mre(formiranje mrežže KE)e KE)

ААPROKSIMACIJA 1PROKSIMACIJA 1numerinumeriččko modeliranjeko modeliranje

izborom tipa KE izborom tipa KE --matrica krutostImatrica krutostI

(formiranje sistema KE)(formiranje sistema KE)

ProraProraččun uticaja u un uticaja u ččvorovima sistema KEvorovima sistema KE

Algoritam Algoritam primene primene

MKEMKE

Prednosti Prednosti primene primene MKEMKE

dovoljna tadovoljna taččnostnostefikasnefikasnoo numerinumeriččko ko

modeliranjemodeliranjejednostavna jednostavna implementacija implementacija

u CAA softveruu CAA softveru

GreGrešškeke u primeni u primeni MKEMKE

gregrešške diskretizacijeke diskretizacijegregrešške aproksimacijeke aproksimacijegregrešške implementacijeke implementacije

uu CAA softveruCAA softveru

Metoda konaMetoda konaččnih razlikanih razlika(diferencni postupak)(diferencni postupak)

EIEISSkk

EIEI))xx((pp

vvkkvv yyIIII22IVIV ====±± "+" "+" -- pritisakpritisak""--" " -- zatezanje zatezanje

ΔΔxx ΔΔxx

vv ii vv jj vv kk

PPii PPjj PPkk

ΔΔxx

vv hh

PPhh

ΔΔxx

vv ll

PPll

xx22vvvvvv iikkII

ΔΔ−−≈≈

22iijjkkIIII

xxvvvv22vv

vvΔΔ

++−−≈≈

33hhiikkllIIIIII

xx22vvvv22vv22vvvv

ΔΔ−−++−−

≈≈44

hhiijjkkllIVIV

xxvvvv44vv66vv44vv

vvΔΔ

++++++−−≈≈

Postupci zasnovani na principu o Postupci zasnovani na principu o minimumu energije minimumu energije -- "energetske" "energetske"

metodemetode

priblipribližžne metodene metodestepen tastepen taččnosti zavisi od nosti zavisi od

pretpostavljenog izvijenogpretpostavljenog izvijenogoblika sistemaoblika sistema

rezultat prorarezultat proraččuna je veuna je većći intenzitet i intenzitet kritikritiččnog opterenog optereććenje od taenje od taččnognog

Iterativni postupciIterativni postupci

metoda kolokacije, metoda postupnog metoda kolokacije, metoda postupnog priblipribližžavanja, Reyleighavanja, Reyleigh--Ritzova metoda...Ritzova metoda...

priblipribližžne metodene metodestepen tastepen taččnosti zavisi od broja nosti zavisi od broja

iterativnih ciklusa i/ili od poiterativnih ciklusa i/ili od poččetne etne pretpostavke izvijenog oblikapretpostavke izvijenog oblika

rezultat prorarezultat proraččuna je veuna je većći intenzitet i intenzitet kritikritiččnog opterenog optereććenje od taenje od taččnognog

Eulerovi (1774) sluEulerovi (1774) sluččajevi izvijanjaajevi izvijanja

prosta greda, konzola, prosta greda, konzola, šštap tipa "g", tap tipa "g", šštap tipa "k"tap tipa "k"

prava osa, konstantan popreprava osa, konstantan popreččni presekni presekhomogeni, izotropni i elastihomogeni, izotropni i elastiččni materijal ni materijal

aksijalno optereaksijalno optereććenjeenjedudužžina izvijanja ina izvijanja šštapa "ltapa "lii""

vitkost vitkost šštapa "tapa "λλii""

ββii=1.0=1.0 ββii=2.0=2.0 ββii=0.7=0.7 ββii=0.5=0.5 ββii=1.0=1.0 ββii=2.0=2.0

AAIIii

iillllll

ll22IIEEnnPP minmin

minminminmin

iiiiii

ii

2222

kritkrit ====λλ⋅⋅ββ==⋅⋅⋅⋅ππ⋅⋅==

vitkost vitkost λλ

napo

n na

pon σσ k

ritkrit

EulerovaEulerovahiperbolahiperbola(elasti(elastiččno)no)TetmayerovaTetmayerova

pravaprava(plasti(plastiččno)no)

EulerovaEulerovahiperbolahiperbola(plasti(plastiččno)no)

σσEE

σσTT

λλEE

Izvijanje u plastiIzvijanje u plastiččnoj oblasti (Euler, Tetmayer, noj oblasti (Euler, Tetmayer, Bauschinger, Engesser, CarmBauschinger, Engesser, Carmáán, Shanley)n, Shanley)

E⋅λ2π2

=σk

ANALIZAANALIZASISTEMASISTEMAŠŠTAPOVATAPOVA

Metode za analizuMetode za analizustabilnosti i prorastabilnosti i proraččun sistema un sistema

šštapovatapova po teoriji II redapo teoriji II reda

priblipribližžna metoda deformacijana metoda deformacijametoda konametoda konaččnih elemenatanih elemenata

metoda silametoda sila

PribliPribližžna metoda deformacijana metoda deformacija

nepoznate su rotacije krutih uglova i nepoznate su rotacije krutih uglova i parametri pomeranja sistemaparametri pomeranja sistema

aksijalna i smiaksijalna i smiččuućća krutost gredaa krutost gredaEAEA→∞→∞ , , GAGAss→∞→∞

spoljaspoljaššnja opterenja optereććenja deluju u enja deluju u ččvorovima sistemavorovima sistema

matrica krutosti zavisi i od fleksione matrica krutosti zavisi i od fleksione krutosti i od velikrutosti i od veliččine normalne sile ine normalne sile šštapatapa

ProraProraččun sistema primenom pribliun sistema primenom približžne ne metode deformacija po linearizovanoj metode deformacija po linearizovanoj

teoriji II redateoriji II reda

proraproraččun normalnih sila u un normalnih sila u šštapovima po teoriji I tapovima po teoriji I redareda

formiranje sistema "m+n" jednaformiranje sistema "m+n" jednaččina obrtanja i ina obrtanja i pomeranja i vektora slobodnih pomeranja i vektora slobodnih ččlanova lanova

rereššavanje sistema jednaavanje sistema jednaččina, tjina, tj. o. određivanje dređivanje nepoznatih obrtanja i pomeranjanepoznatih obrtanja i pomeranja

određivanje sila na krajevima određivanje sila na krajevima šštapovatapova

ProraProraččun kritiun kritiččnog opterenog optereććenja sistema enja sistema primenom pribliprimenom približžne metode deformacija ne metode deformacija

po linearizovanoj teoriji II redapo linearizovanoj teoriji II reda

proraproraččun normalnih sila u un normalnih sila u šštapovima po teoriji I tapovima po teoriji I reda za opterereda za optereććenje Penje P

formiranje sistema "m+n" jednaformiranje sistema "m+n" jednaččinainaobrtanja i pomeranja sa parametrom obrtanja i pomeranja sa parametrom ωω=k=k··ll

određivanje najmanje vrednosti parametra određivanje najmanje vrednosti parametra ""ωω" " tako da determinanta "m+n"tako da determinanta "m+n" matrice bude nulamatrice bude nula

određivanje kriti određivanje kritiččnog opterenog optereććenjaenjaPPkrkr==ωω22··EI/lEI/l22

Konstante aKonstante aikik, b, bikik, c, cikik za za šštap tipa "k"tap tipa "k"

ikikikikkkikikiiikikikik MMik,ik,ΔΔttMMik,0ik,0ccbbaaMM ++++ψψ⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅==

ikikkikikkkikiiikikikiki ccaabbMM ++ψψ⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅==

konturni uslovi: vkonturni uslovi: v00=0, =0, φφ00==φφii=1.0, M=1.0, M00≠≠0, V0, V00≠≠0, v0, vll=0, =0, φφll=0=0

aaikik

SSφφii=1.0=1.0 bbkiki

ll

ii kk

EIEISSkk ==

ωω=k=k··ll

MMki,ki,ΔΔttMMki,0ki,0++

00SSkk

sinsinVVSScoscos11MM

kksinsin))ll((vv 0000ii ==

⋅⋅ωω−−ωω

⋅⋅−−ωω−−

⋅⋅−−ωω

⋅⋅φφ==

00SScoscos11VV

SSsinsinkkMMcoscos))ll(( 0000ii ==

ωω−−⋅⋅−−

ωω−−⋅⋅−−ωω⋅⋅φφ==φφ

iiikikii

22

00 aall

EIEIsinsin))coscos11((22

coscossinsinMM φφ⋅⋅==φφ⋅⋅⋅⋅ωω⋅⋅ωω−−ωω−−⋅⋅

ωω⋅⋅ωω−−ωω⋅⋅ωω==

llbbaa

llEIEI

sinsin))coscos11((22))11(cos(cosVV ikikikik

ii22

22

00++

−−==φφ⋅⋅⋅⋅ωω⋅⋅ωω−−ωω−−⋅⋅

−−ωω⋅⋅ωω==

ikikikikikik bbaacc ++==

Momenti Momenti MMikik za za šštap tipa "k"tap tipa "k"

ll

SSkkii

MMkiki

konturni uslovi:konturni uslovi:vv00==φφ00=0=0

MM00≠≠0, V0, V00≠≠00

vvll==φφll=0=0

00dd))((pp))ll((FFSS))sinsin((llVV))coscos11(())00((MMll

004400 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−⋅⋅⋅⋅ωω++ωω−−ωω⋅⋅⋅⋅++ωω−−⋅⋅ωω⋅⋅ ∫∫

00dd))((pp))ll((FFSSll))coscos11((llVVcoscos))00((MMll

003300 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ωω−−⋅⋅⋅⋅++ωω−−⋅⋅⋅⋅++ωω⋅⋅ξξ⋅⋅ ∫∫

00dd))((pp))ll((FFSSllkk

sinsinVVcoscosMM))ll((MMll

00220000 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−⋅⋅⋅⋅++

ωω⋅⋅++ωω⋅⋅== ∫∫

SSkkkxkxsinsinkxkx))xx((FF44 ⋅⋅

−−−−==

SSkxkxcoscos11))xx((FF33

−−−−==

kkkxkxsinsin))xx((FF22 ==

ξξ ddξξ

p(x)p(x)MMikik

Konstanta dKonstanta digig za za šštap tipa "g"tap tipa "g"

igigigigiiigigigig ddddMM ψψ⋅⋅++φφ⋅⋅==

ddigig

SSφφii=1.0=1.0ii gg

ddigig

SSii

gg

1.0

1.0ψψigig= = --1.01.0

ll

EIEISSkk ==

ωω=k=k··ll

MMig,ig,ΔΔttMMig,0ig,0++++

konturni uslovi:konturni uslovi:vv00=0, =0, φφ00==ααigig

MM00==1.01.0VV00==--1/l1/l

vvll=0, =0, φφll=0=0MMll=0=0

MM00=1.0=1.0

SS

ααigigii

gg

ll

llEIEI

coscossinsinsinsin11dd

EIEIll

sinsincoscossinsin

00SS

sinsinVV

SScoscos11

kksinsin

))ll((vv

22

igigigig22igig00

0000

ωωωω−−ωωωω⋅⋅ωω

==ωω

==ωω⋅⋅ωω

ωωωω−−ωω==αα==φφ

==⋅⋅ωω

ωω−−ωω⋅⋅−−

ωω−−++

ωω⋅⋅φφ==

Moment Moment MMigig za za šštap tipa "g"tap tipa "g"

SSggii

llξξ ddξξ

00dd))((pp))ll((FFSSkk

sinsinVVSScoscos11MM))ll((vv

ll

00440000 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−−−

⋅⋅ωω⋅⋅ωω

⋅⋅−−ωω−−

⋅⋅−−== ∫∫

00dd))((pp))ll((FFkk

sinsinVVcoscosMM))ll((MMll

00220000 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−−−

ωω⋅⋅++ωω⋅⋅== ∫∫

konturni uslovi:konturni uslovi:vv00=0 =0 φφ00==00MM00≠≠0 0 VV00≠≠00

vvll=0 M=0 Mll=0=0

p(x)p(x)

00 MMig,0ig,0MM ==⇒⇒

MMigig

Konstanta eKonstanta eisis za konzolu za konzolu -- šštap tipa "s"tap tipa "s"

iiisisisis eeMM φφ⋅⋅==

eeisis

SS

=1.0=1.0ii

ss SS

konturni uslovi: vkonturni uslovi: v00==φφ00=v=vll=M=Mll=0=0

iiisisii00

00ii

eell

EIEItgtgMM

00coscosMMsinsinkkEIEI))ll((MM

φφ⋅⋅==φφ⋅⋅⋅⋅ωω⋅⋅ωω−−==

==ωω⋅⋅++ωω⋅⋅⋅⋅⋅⋅φφ==

MMis,is,ΔΔttMMis,0is,0++++

Moment Moment MMisis za konzolu za konzolu -- šštap tipa "s"tap tipa "s"

p(x)p(x)

SSssii

ll

MMisis

ξξ ddξξ

konturni uslovi: vkonturni uslovi: v00==φφ00=v=vll=M=Mll=0=0

00

ll

00220000

MM

00dd))((pp))ll((FFsinsinllVVcoscosMM))ll((MM

==⇒⇒

==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−⋅⋅ωω−−ωω⋅⋅⋅⋅++ωω⋅⋅ωω⋅⋅== ∫∫MMis,0is,0

UkupnoUkupnooobrtanjebrtanje

šštapa "ab"tapa "ab"

iisis eM +φ⋅=

n

1jj,igjigiigig ddM

=

+ψ⋅Δ⋅−φ⋅= ∑

n

1jj,ikjikkikiikik cbaM

=

+φ⋅Δ⋅+φ⋅+φ⋅= ∑

∑=

ψ+ψ+ψ⋅Δ=ψn

1jc,abt,abj,abjab

Momenti Momenti na na krajevimakrajevimašštapovatapova

Momenti Momenti punog punog

ukljeuklješštenjatenja

MMikik

MMigig

MMisis

MMik ik == MMik,0 ik,0 ++ MMik,ik,ΔΔtt ++ MMik,t ik,t ++ MMik,cik,c

MMig ig == MMig,0 ig,0 ++ MMig,ig,ΔΔtt ++ MMig,t ig,t ++ MMig,cig,c

MMis is == MMis,0 is,0 ++ MMig,ig,ΔΔtt

JednaJednaččine obrtanja ine obrtanja -- "m" uslova ravnote"m" uslova ravnotežžeeččvorova sistemavorova sistema

∑∑∑∑ ==++ΔΔ⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅kk

00iijjijijkk

kkikikiiiiii 00AABBAAAA

∑∑∑∑∑∑ ==++++ss

isisgg

igigkk

ikik 00MMMMMM

JednaJednaččine pomeranja ine pomeranja -- "n" uslova ravnote"n" uslova ravnotežžeerereššetke sistemaetke sistema

00))mm((RR))pp((RRMM))MMMM(( ffjjjjjj,,igig

ggigig

kkjj,,ikikkikiikik ==−−−−ψψ⋅⋅++ψψ⋅⋅++ ∑∑∑∑

Rad momenata mRad momenata mff na pomeranjima rena pomeranjima reššetke sistemaetke sistema

=1.0=1.0

aa bb

vvbb

vvaa

dxdxdvdvNNmm 00,,abab

ff ⋅⋅==

llvvvv

abababab

aabb ψψ==−−

dxdxmm))mm((RRabab

bb

aajj,,abab

ffffjj ⋅⋅ψψ⋅⋅−−== ∑∑ ∫∫

llNN))vvvv((NN))mm((RRabab

jj,,abababababab00,,abababab

aabbjj,,abab00,,ababff

jj ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅−−==−−⋅⋅ψψ⋅⋅−−== ∑∑∑∑

dxdxdxdxdvdvNNdxdx

dxdxdvdvNN))mm((RR

abab

bb

aajj,,abab00,,abab

abab

bb

aajj,,abab00,,abab

ffjj ⋅⋅ψψ⋅⋅−−==⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅−−== ∑∑ ∫∫∑∑ ∫∫

llEIEI

llNNEIEINN

llllkkabab

abab22abababab00,,abab

abab

00,,abababababababababab ⋅⋅ωω±±==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅==ωω

))ll((ll

EIEI))mm((RR

ababcc,,ababtt,,ababll,,abab

ababjj,,abab

abab

abab22abab

ffjj ψψ++ψψ++ψψ⋅⋅ΔΔ⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅ωω±±== ∑∑∑∑

00CCCC''BBmm

11ii

nn

11ll00jjlljljliijiji ==++ΔΔ⋅⋅++φφ⋅⋅∑∑ ∑∑

== ==

))ll((llNN))mm((RRabab

cc,,ababtt,,ababll,,abababab

jj,,abababab00,,ababff

jj ψψ++ψψ++ψψ⋅⋅ΔΔ⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅−−== ∑∑∑∑

ikikikik bbAA ==[[ ]]ikikAAAA ==

00

00 00CCAA

CC''BBBBAA

==⎭⎭⎬⎬⎫⎫

⎩⎩⎨⎨⎧⎧

++⎭⎭⎬⎬⎫⎫

⎩⎩⎨⎨⎧⎧ΔΔφφ

⋅⋅⎥⎥⎦⎦

⎤⎤⎢⎢⎣⎣

⎡⎡

ssisis

ggigig

kkikikiiii eeddaaAA ++++== ∑∑∑∑∑∑

[[ ]]ijijBBBB == ijijgg

jj,,igigigigkk

jj,,ikikikikijij ''BBddccBB ==ψψ⋅⋅−−ψψ⋅⋅== ∑∑∑∑

abab ababikikikikll,,ababjj,,abab

22abab

ccll,,igigjj,,igigigigll,,ikikjj,,ikikkikiikikjljl ''llEIEIdd))cccc((CC ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωωψψ⋅⋅ψψ⋅⋅++ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅++== ∑∑∑∑∑∑ mm

Sistem m+n jednaSistem m+n jednaččina metode deformacijaina metode deformacija

Koeficijenti sistema jednaKoeficijenti sistema jednaččina metode deformacijaina metode deformacija

∑∑∑∑∑∑ ++++==ssggkk

00ii MMikikAA[[ ]]== 00ii00 AAAA

))((''ll

EIEI

RR))((CC

cc,,ababtt,,ababjj,,abababab abab

22abab

cc

ikik

ppjjjj,,igig

ikikjj,,ikik00jj

ψψ++ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωω

−−ψψ⋅⋅++ψψ⋅⋅++==

∑∑

∑∑∑∑

mm

mm

Slobodni Slobodni ččlanovi sistema jednalanovi sistema jednaččinainametode deformacijametode deformacija

MMigig MMisis

MMikik MMkiki MMkiki

{0}{0}CC''BBBBAA

==⎭⎭⎬⎬⎫⎫

⎩⎩⎨⎨⎧⎧ΔΔφφ

⋅⋅⎥⎥⎦⎦

⎤⎤⎢⎢⎣⎣

⎡⎡

ProraProraččun kritiun kritiččnog opterenog optereććenja primenomenja primenommetode deformacijametode deformacija

∑∑∑∑ ==ΔΔ⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅kk

jjijijkk

kkikikiiiiii 00BBAAAA

00CC''BBmm

11ii

nn

11lllljljliijiji ==ΔΔ⋅⋅++φφ⋅⋅∑∑ ∑∑

== ==

{0}{0}CC''BBBBAA

==⎥⎥⎦⎦

⎤⎤⎢⎢⎣⎣

⎡⎡detdet

Osobenosti analize po teoriji II reda primenom Osobenosti analize po teoriji II reda primenom metode deformacijametode deformacija

koeficijenti akoeficijenti aikik, b, bikik, c, cikik, d, digig, i e, i eisis u matricamau matricama[A][A]mxmmxm, [B], [B]mxnmxn i [B']i [B']nxm nxm i momenti i momenti MMikik, , MMigig, i , i MMisis

u vektorima {Au vektorima {A00}}mm i {Ci {C00}}n n zavise od normalnih sila zavise od normalnih sila šštapovatapova

dijagonalni koeficijenti Adijagonalni koeficijenti Aiiii matrice [A]matrice [A]mxmmxm sadrsadržže i e i koeficijent ekoeficijent eisis konzolnih konzolnih šštapovatapova

koeficijenti Ckoeficijenti Cjljl matrice [C]matrice [C]nxnnxn sadrsadržže e ččlanlan

abab ababll,,ababjj,,abab

22abab

cc ''llEIEI ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωω∑∑mm

koeficijenti Ckoeficijenti Cj0j0 vektora {Cvektora {C00}}nn sadrsadržže e ččlan lan

))((''ll

EIEI cc,,ababtt,,ababjj,,abababab abab

22abab

cc ψψ++ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωω∑∑mm

Prvi oblik gubitka stabilnosti Prvi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 1okvir 1

Drugi oblik gubitka stabilnosti Drugi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 1okvir 1

TreTrećći oblik gubitka stabilnosti i oblik gubitka stabilnosti -- okvir 1okvir 1

Prvi oblik gubitka stabilnosti Prvi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 2okvir 2

Drugi oblik gubitka stabilnosti Drugi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 2okvir 2

TreTrećći oblik gubitka stabilnosti i oblik gubitka stabilnosti -- okvir 2okvir 2