Jednostavna kubna rešetka

~a1

~a2~a3

Kartezijeve komponente jednostavnih vektora:

~a1 = a

1

0

0

~a2 = a

0

1

0

~a3 = a

0

0

1

⊲ Konstanta rešetke: a

⊲ Vulumen: Ω = ~a1 · (~a2 × ~a3) = a3.

⊲ Koordinacijski broj: 6 prvih susjeda

⊲ Poznati materijali: α-Po

Plošno centrirana kubna rešetka

~a1~a2

~a3• •

••

• •

••

•

•

••

•

•

Kartezijeve komponente jednostavnih vektora:

~a1 =a

2

0

1

1

~a2 =

a

2

1

0

1

~a3 =

a

2

1

1

0

⊲ Konstanta rešetke: a

⊲ Vulumen: Ω = ~a1 · (~a2 × ~a3) =a3

4.

⊲ Broj atoma u kocki: 8 ×1

8+ 6 ×1

2= 4

⊲ Koordinacijski broj: 12 prvih susjeda

• •

••

• •

••

•

•

••

•

•

•

•

•

•

•

•

••

•

⊲ Udaljenost do prvih susjeda: a/√2

⊲ Poznati materijali: Ag, Au, Cu, Sr, α-Ca, β-La, γ-Fe, . . .

bakar zlato srebro

Volumno centrirana kubna rešetka

~a1~a2

~a3

Kartezijeve komponente jednostavnih vektora:

~a1 =a

2

−1

1

1

~a2 =

a

2

1

−1

1

~a3 =

a

2

1

1

−1

⊲ Konstanta rešetke: a

⊲ Vulumen: Ω = ~a1 · (~a2 × ~a3) =a3

2.

⊲ Broj atoma u kocki: 8 ×1

8+ 1 = 2

⊲ Koordinacijski broj: 8 prvih susjeda

⊲ Udaljenost do prvih susjeda: a√3/2

⊲ Poznati materijali: Li, Na, K, Nb, Mo, Ba

Kristalna rešetka tipa NaCl

Radi se o dvije izprepletene plošno centrinane kubne rešetke.

• •

••

• •

••

•

•

••

•

• Cl •Na

⊲ Konstanta rešetke: a

⊲ Vulumen: Ω = ~a1 · (~a2 × ~a3) =a3

4.

⊲ Broj Na iona u kocki: 12 ×1

4+ 1 = 4

Broj Cl iona u kocki: 8 ×1

8+ 6 ×1

2= 4

⊲ Koordinacijski broj: 6 prvih susjeda (ioni druge vrste)

⊲ Udaljenost do prvih susjeda: a/2

⊲ Poznati materijali: LiH, MgO, MnO, NaCl, AgBr, KCl, . . .

AgBr NaCl MgO

Kristalna rešetka tipa CsCl

Cs

Cl Radi se o dvije izprepletene

jednostavne kubne rešetke.

⊲ Konstanta rešetke: a

⊲ Vulumen: Ω = a3.

⊲ Broj Cs iona u kocki: 1

Broj Cl iona u kocki: 8 ×1

8= 1

⊲ Koordinacijski broj: 8 prvih susjeda (ioni druge vrste)

⊲ Udaljenost do prvih susjeda: a√3/2

⊲ Poznati materijali: BeCu, AlNi, AgMg, CsCl, TlBr, LiHg

Heksagonska rešetka

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

~a1~a2

~a3

Kartezijeve komponente jednostavnih vektora:

~a1 = a

1

0

0

~a2 =

a

2

−1√3

0

~a3 = c

0

0

1

⊲ Konstante rešetke: a i c

⊲ Vulumen: Ω =a2

2c√3

⊲ Broj atoma u ćeliji: 4 × 1

12+ 4 ×1

6= 1

⊲ Koordinacijski broj: 6 (a < c) ili 2 (a > c)

⊲ Udaljenost do prvih susjeda: a ili c

Heksagonska gusto slagana rešetka

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•••

Radi se o dvije izprepletene jednostavne heksagonska rešetke

⊲ Konstante rešetke: a i c

⊲ Vulumen: Ω =a2

2c√3

⊲ Broj atoma u ćeliji: 4 × 1

12+ 4 ×1

6+ 1 = 2

⊲ Koordinacijski broj: 12

⊲ Udaljenost do prvih susjeda: d =

√

a2

3+

c2

4

⊲ Ako je d = a, ⇒ c

a=

√

8

3= 1,63299

(u realnim materijalima postoje manja odstupanja od idealnog odnosa!)

⊲ Poznati materijali: Be, Mg, β-Cr, α-Co, α-Ni, Ru, Cd, Re, Ti

beril grafit led snježna pahulja

Recipročna rešetka

⊲ Vektori ~a1, ~a2 i ~a3 općenito nisu međusobno ortogonalni.

⊲ U neortogonalnim sustavima pogodno je uvesti i koristiti tz. biortogo-

nalnu bazu, skup baznih vektora koji su okomiti na ravnine definirane

parovima jediničnih vektora:

~b1 =2π

Ω~a2 × ~a3

~b2 =2π

Ω~a3 × ~a1

~b3 =2π

Ω~a1 × ~a2

gdje je Ω volumen jedinične ćelije: ~a1 · (~a2 × ~a3)

⊲ Općenito vrijedi: ~ai ·~bj = 2π δij, gdje je:

δij =

1 i = j

0 i 6= jtz. Kroneckerov simbol.

⊲ Skup vektora ~b1, ~b2 i ~b3 su jedinični vektori reciprične rešetke.

⊲ Ako ~R radijus vektor točke kristalne rešetke:

~R = n1 ~a1 + n2 ~a2 + n3 ~a3, ni = cijeli broj

te ako je ~G radijus vektor točke reciprične rešetke:

~G = g1 ~b1 + g2 ~b2 + g3 ~b3, gi = cijeli broj,

tada je:

~G · ~R = 2π (n1g1 + n2g2 + n3g3) = 2π cijeli broj.

⊲ Wigner-Seitzovu ćeliju recipročne rešetke zovemo Brillouinovom zo-

nom.

Jedinični vektori recipročne rešetke

⊲ Jednostavna kubna rešetka

~b1 =2π

a

1

0

0

~b2 =2π

a

0

1

0

~b3 =2π

a

0

0

1

⊲ Plošno centrirana kubna rešetka

~b1 =2π

a

−1

1

1

~b2 =2π

a

1

−1

1

~b3 =2π

a

1

1

−1

⊲ Volumno centrirana kubna rešetka

~b1 =2π

a

0

1

1

~b2 =2π

a

1

0

1

~b3 =2π

a

1

1

0

⊲ Heksagonska rešetka

~b1 =2π

a

11√30

~b2 =2π

a

02√3

~b3 =2π

c

0

0

1

⊲ Volumno centrirana kubna rešetka i pločno centrirana kubna rešetka

su međusobno biortogonalne !!

Millerovi indeksi

(100)

(001)

(010)

(111) (110) (200)

Millerovi indeksi za neke ravnine u kubnim kristalima

⊲ Ravnine se označavaju s 3 cijela broja u okruglim zagradama: (hkl) ili

tz. Millerovim indeksima.

⊲ h, k i l su najmanji cijeli brojevi koji zadovoljavaju relaciju:

1

s1:

1

s2:

1

s3= h : k : l

gdje su s1 a1, s2 a2 i s3 a3 odsječci što ih ravnina čini na kristalografskim

osama.

⊲ Kod odsječaka na negativnoj strani osi, umjesto da je koristi negativni

cijeli broj stavlja se crta iznad broja.

Dakle npr. -3 ⇒ 3.

⊲ Ako je kristalna rešetka simetrična, kao npr. kubna rešetka, veći broj

ravnina je ekvivalentan, te se takav skup označava vitičastim zagradama:

100 ≡ (100), (010), (001), (100), (010), (001).

⊲ Smjer u kristalu može se zadati pomoću vektora:

~r = r1 ~a1 + r2 ~a2 + r3 ~a3,

gdje su r1, r2 i r3 neki brojevi.

Najmanji cijeli brojevi, u,v i w, za koje vrijedi:

r1 : r2 : r3 = u : v : w

nazivamo Millerovim indeksima, te ih označavamo s uglatim za-

gradama: [uvw].

⊲ Skup ekvivalentnih smjerova u simetričnom kristalu označava se s bra-

cat zagradama: < uvw >.

Defekti

Nepravilnosti beskonačne idealne periodične strukture kristala nazivamo

defektima.

⊲ Ne postoje idealni niti beskonačni kristali.

⊲ Defekti su obično prostorno lokalizirani, tako da ne utječu na kristalno

dugodosežno uređenje.

⊲ Zašto postoje defekti ?

Kristal u kojem postoje defekti ima povećanu entropiju.

⇒Na bilo kojoj konačnoj temperaturi, sustav će izabrati stanje u kojem

postoje defekti kako bi minimizirao Gibbsovu energiju:

G = U + PV - TS

Defekti se mogu podjeliti u dvije skupine:

⊲ Dinamički defekti su oni koji ovise vremenu i povezani su uz

pobuđenja sustava.

⊲ Statički defekti ne ovise o vremenu - geometrijske nepravilnosti

kristala.

Dinamički defekti

Također se mogu razdijeliti u dvije skupine:

⊲ Kratkotrajni defekti izazvani su najčešće vanjskim pobudama (tlače-

nje, izlaganje EM valovima ili snopu čestica, izlaganje statičkim vanjskim

poljima, . . . )

⊲ Elementarna pobuđenja kristala su ona stanja u kojem se kristal

kao cjelina nalazi u pobuđenom stanju, te koja su relativno vremenski

stabilna - stacionarna.

Elementarna pobuđenja

Elementarna pobuđenja se međusobno razlikuju prema svojstvima koja

imaju:

⊲ Fononi - harmonička titranja rešetke

⊲ Magnoni - spinski valovi u magnetskim materijalima

⊲ Ekscitoni - vezana stanja elektrona i šupljina

⊲ Plazmoni - titranja elektronske gustoće u metalima

⊲ Polaritroni - složeno titranje kristalne rešetke i EM vala

⊲ Polaroni - elektron vezan za deformaciju rešetke

Statički točkasti defekti

Supstitucijska primjesa Vakancija Intersticijska primjesa

⊲ U realnim kristalima regularni atom može biti zamjenjen (supstituiran)

stranim atomom ili primjesom.

⊲ Primjesa može se nalaziti na mjestu regularnog atoma ili u međupoložaju

između regularnih atoma.

⊲ Nedostatak regularnog atoma ili praznina (ili Schottkyjev defekt).

povr

šina

Schottkyjev defekt Frankelov defekt

⊲ Schottkyjevi defekti nastaju u idelnom kristalu prelaskom (di-

fuzijom) atoma iz regularnih položaja atoma na površinu kristala.

⊲ Frankelov defekt je kombinacija praznine i intersticijskog defekta:

regularni atom (često termalno pobuđen) prelazi u međupoložaj.

Schottkyjevi defekti

⊲ Neka je Ev dodatna energija koju je potrebno uložiti da bi se atom

otrgnuo iz regularnog položaja i prenio na površinu.

⊲ Neka je Nv broj Schottkyjevih defekata u termalnoj ravnoteži.

⊲ Neka je N ukupni broj regularnih položaja atoma.

Broj načina na koji moguće napraviti Nv defekata je:

B =N !

Nv!(N −Nv)!

Minimiziranjem slobodne energije po Nv:

F = U − T S = Ev Nv − kT lnB,

i uz uvjet N ≫ Nv ≫ 1 slijedi:

Nv = N e−EvkT

Frankelovi defekti

⊲ Neka je Ef dodatna energija koju atom treba imati da bi prešao iz

regularnog položaja u međupoložaj.

⊲ Neka je Nf broj pobuđenih Frankelovih defekata.

⊲ Neka je N broj regularnih položaja a N ′ broj intersticijskih položaja.

Broj načina na koji moguće napraviti Nf defekata je:

B =N !

Nf !(N −Nf)!· N ′!

Nf !(N ′ −Nf)!

Minimiziranjem slobodne energije:

F = U − T S = Ef Nf − kT lnB,

po Nf , uz uvjet N,N ′ ≫ Nf ≫ 1 slijedi:

Nf =√N N ′ e−

Ef2kT

Linijski defekti

⊲ Dislokacija: narušena periodična struktura duž neke kristalne linije.

⊲ Linija ne mora biti dio pravca

⊲ Može započinjati i/ili završavati na površini kristala

⊲ Može tvoriti zatvorenu liniju u unutrašnjosti kristala.

⊲ Dvije osnovne vrste: bridna i vijčana dislokacija.

Bridna dislokacija

Ravnina se prekida

Vijčana dislokacija

⊲ Bridna dislokacija: postoji jedna dodatna kristalna ravnina koja se ne

proteže kroz cijeli kristal nego završava negdje u unutrašnjosti.

⊲ Vijčana dislokacija: u dijelu kristala ravnine su pomaknute jedna u odnosu

na drugu. Nema dodatne kristalne ravnine.

⊲ Ove osnovne dislokacije se mogu kombinirati i tvoriti složene linijske

defekte.

Dislokacije utječu na plastočnost kristala (neelastična deformacija).

Plastična deformacija rezultat je gibanja dislokacija.

Gibanje dislokacija

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

⇐⇐

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

⇐⇐

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

⇐⇐

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

⇐⇐bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

⇐⇐bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

⇐⇐bb

b