ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙI – 2o ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΗΜΜΥ

1ο ΤΜΗΜΑ: Επώνυμα Σπουδαστών Α-Λ, ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟ 1 (ΣΗΜΜΥ)

(Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Λεωνίδας Τσέτσερης)

2ο ΤΜΗΜΑ: Επώνυμα Σπουδαστών Μ-Ω, ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΑ 1 και 4

(ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΔΡΕΣ)

(Διδάσκων: Αν. Καθ. Γεώργιος Κουτσούμπας)

1 ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ

Το μάθημα αποτελεί μία εισαγωγή και συνοπτική παρουσίαση των

θεμελιωδών εννοιών του Ηλεκτρομαγνητισμού. Κύριες ενότητες του

μαθήματος: Ηλεκτροστατική, Μαγνητοστατική, Ηλεκτρομαγνητική

Επαγωγή, Εξισώσεις του Maxwell.

ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Δευτέρα 12:45-14:30

Τρίτη 8:45-10:30

Παρασκευή 8:45-10:30

2

Οι παραδόσεις του 1ου τμήματος θα γίνονται με

διαφάνειες Powerpoint οι οποίες θα ανεβαίνουν μετά το

μάθημα στο mycourses.

Θα δοθούν φυλλάδια ασκήσεων που θα δώσουν συνολικά

(μέγιστο) bonus 1 μονάδα στον τελικό βαθμό

ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ

Λεωνίδας Τσέτσερης, Επ. Καθηγητής (Διδάσκοντας στο 1o

Τμήμα με επώνυμα: Α-Λ). e-mail: leont@mail.ntua.gr

Γραφείο: 311, Κτήριο Φυσικής. Τηλέφωνο: 210-772-3046.

Γεώργιος Κουτσούμπας, Αν. Καθηγητής (Διδάσκοντας στο 2o

Τμήμα με επώνυμα: Μ-Ω). e-mail: kutsubas@central.ntua.gr

Γραφείο: 313, Κτήριο Φυσικής. Τηλέφωνο: 210-772-3023.

3 ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ

«Εισαγωγή στην Ηλεκτροδυναμική», David J. Griffiths,

Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.

«Τα θεμέλια της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας», J. R. Reitz, F. J.

Milford, R. W. Christy, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις ΕΜΠ

«Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο: Βασική Θεωρία και Εφαρμογές»,

Θ. Δ. Τσιμπούκης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

«Ηλεκτρισμός, Μαγνητισμός», 2ος τόμος Πανεπιστημιακής

Φυσικής του Berkeley, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις ΕΜΠ

4 ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΑ

1) Εισαγωγή.

2) Διανυσματική Ανάλυση.

3) Ηλεκτροστατική.

4) Υπολογισμοί δυναμικού.

5) Ηλεκτροστατικά πεδία στην ύλη.

6) Μαγνητοστατική.

7) Μαγνητοστατικά πεδία στην ύλη.

8) Ηλεκτροδυναμική.

9) Νόμοι διατήρησης.

10) Ηλεκτρομαγνητικά κύματα.

5 ΥΛΗ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

O

P

r

O

P

r

. μία από και αλλά ,"" κάποια

από μόνοόχι ονται χαρακτηρίζ μεγέθη φυσικά Πολλά

κατεύθυνσηποσότητα

, τεχρειαζόμασ

μεγεθών αυτών φυσικών των περιγραφή τηνΓια

διανύσματα

θυνση. και κατεύ)ποσότητα""( μέτρο

με ααντικείμεν μαθηματικά δηλαδή

διάνυσμα, είναι το όπου ,ˆ :Γράφουμε rrrr

ς,διανύσματο τουμέτρο )το( rr

κ.ά. πεδίο,ηλεκτρικό δύναμη, ταχύτητα,

θέσης, διάνυσμα :μεγεθών φυσικών κώνδιανυσματι ταΠαραδείγμα

.τουκατεύθυνσητηνδηλώνειπου1)|ˆ(|διάνυσμαμοναδιαίοτοˆ rrr

6

.ˆ συμβολισμότονκαιέχουμεάΕναλλακτικ rr r

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ A

B

,

.,cosΕίναι :Ορισμός BAABBA

A

B

cos

BAB,AΑcos σχέσητηαπό

δίνεται Β στο πάνωΑ τουπροβολήH

τους.μεταξύ

είναι πουδιανύσματα για0 ΒΑΕίναι

ρθογώνιακάθετα ή ο

1zzyyxxκαι

0xzzyyx ,παράδειγμαγιαΈχουμε,

7

.z,y,xδιανύσματαμοναδιαίατααπόορίζεται

πουνωνσυντεταγμέσύστημαορθογώνιοΈστω xyz

A

y

z

xxA yA

zA

.zΑΑ,yΑΑ,xΑΑόπου

,zAyAxΑΑείναιΑκάθεΓια

zyx

zyx

zzyyxx

2

z

2

y

2

x

2 BAΒABΑΒΑκαιΑΑΑΑΕίναι

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

:Τότε .b,b,bB και a,a,aA Έστω 321321

332211 ba,ba ,baBA )2

332211 ba και ba ,baBA 1)

321 ca,ca,caAc)3

8

NOMOΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ

A

B

C

.cos2

2Είναι

222

2

CABBA

CBABBAACCΒΑΒΑ

: είναι το Β και Α των γινόμενοεξωτερικό Το διάνυσμαΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

B

A

),( BA

C

,CB,AsinABBAC

εξήςωςκατεύθυνσημίαορίζειCόπου

αρχή.κοινήμίασε

ΒκαιΑταΦέρνουμε 1)

Β,Ατωνεπίπεδοστο

κάθετοείναιCΤο 2)

.BτομεσυμπέσειναγιαAτοδιαγράψει ναπρέπειπουγωνία

δυνατήμικρότερητηνακολουθεί""παλάμηυπόλοιπηηότανχεριού

μαςδεξιούτουαντίχειρατοναπόπροκύπτειCτουκατεύθυνσηΗ3)

9

:γινομένουεξωτερικούΙδιότητες .BA Β 1)

.Β || Α με Β ,Α 0,BA 3)

yx z,xzy,zy x 4)

0Α 2)

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

(1) .CABACΒΑ

: ηισχύει ότι αποδειχτεί ναΜπορεί

ακή ιδιότητεπιμεριστι

z. y, x,τωνεναλλαγήςκυκλικήςσχέσειςκαιzy x:είδαμεΌπως

zΒyΒxΒΒκαιzAy AxΑΑανΟπότε, zyxzyx

(2) ˆˆˆBA:τότε zBABAyBABAxBABA xyyxzxxzyzzy

(3)

BBB

AAA

zyx

BAαλλιώςή

zyx

zyx

10

ACBBCACBA

CBABCACBA

CBDADBCADCBA

DCBA CDBADCBA

ΣΥΝΘΕΤΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

.B,AsinΑΒ με ίσο και FGHJ του

αυτό με ίσοείναι DEFG τουεμβαδό To

B

A

),( BA

BAS

D

E

F

G

H

J

.Β και Α τανσχηματίζου που

το

δίνει μας ΒΑ ότι το λοιπόν Έχουμε

λογράμμουου παραλληεμβαδό S τ

.ΒΑS διάνυσμα ως S εμβαδού τουΟρισμός

(1), VCΒΑ

ο ότι τοται αποδεικνύε ύςσυλλογισμο ς παρόμοιουΜε

μενμικτό γινό

.C ,Β ,Α διανύσματα τρία

νσχηματίζου πουπιπέδου παραλληλε τουόγκος οείναι V όπου

11

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

y = f(x)

x

x0

f(x0+Dx)

x

xfxxfxf

x D

D

D

00

00 lim:ΣυνάρτησηςΠαράγωγος

.στοήείναι

ηότιλέμετότευπάρχειπαράγωγοςηΌταν

0xηδιαφορίσιμμηπαραγωγίσιxf

x0+Dx

f(x0)

.τηςτοορίζει

αυτήσχέσηΗ .

γράφουμετότεη,διαφορίσιμείναιΑν

xfydyδιαφορικό

dxxfdydx

dyxf

xf

12

ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ .,...,,, μεταβλητών )( πολλώνσυνάρτηση βαθμωτή Έστω 321 nxxxxfyn

όριοτοαπόορίζεταιμεταβλητήπροςωςπαράγωγοςμερικήH ix

i

ninii

xi x

xxxxfxxxxxf

x

f

i D

D

D

,...,,...,,,...,,...,,lim 2121

0

.633

βρίσκουμε3,τηνΓια:Παράδειγμα22

2 xyx

xy

x

yx

x

fyxyxf

13 ΑΝΩΤΕΡΕΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ – ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ TAYLOR

x

f

xx

fx

2

2η :προςωςπαράγωγος2

syhxf ,:μεταβλητώνδύοσυνάρτησηςTaylorΑνάπτυγμα

.3,2,23:3,,Για:Παράδειγμα2

2

22

yx

fe

x

fxey

x

fexxyzyxf zzz

f

ys

xh

nf

ys

xhf

ys

xhyxf

n

!

1

!2

1,

2

x

f

yy

f

xyx

f

yx

2

:καιπροςωςπαράγωγοςΜικτή

κ.ό.κ.,,,,,:παράγωγοιανώτερεςορίζονταιΟμοίως3

4

4

43

2

3

3

3

yx

f

x

f

zyx

f

yx

f

x

f

διωνύμουτουκανόνατονμεμεαναπτύσσουτονόροτονόπου

n

ys

xh

.μεωςόρουςτουςεερμηνεύουμκαι nlkyxyx lk

nlk

14 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ: ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ .,,,και,συνάρτησηβαθμωτήπ.χ.,Έστω, srhysrgxyxfz

αλυσίδαςκανόνατονμεταιυπολογίζονκαιπαράγωγοισύνθετεςΟιs

z

r

z

αλλιώςή,καιs

h

y

f

s

g

x

f

s

z

r

h

y

f

r

g

x

f

r

z

.,,μεταβλητώναλλαγήσεύναντιστοιχοαυτέςσχέσειςΟι sryx

δίνειsin,cosνεςσυντεταγμέπολικέςσεΑλλαγή:Παράδειγμα ryrx

.καιs

y

y

f

s

x

x

f

s

f

r

y

y

f

r

x

x

f

r

f

κ.ό.κ.,:διαστάσεις3Σεr

z

z

f

r

y

y

f

r

x

x

f

r

f

.cossin,sincosy

fr

x

fr

f

y

f

x

f

r

y

y

f

r

x

x

f

r

f

.1

δίνουν2και1Οι

222

2

2

y

f

x

ff

rr

f

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ (ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΙΚΗ) ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 15

χώρου.διάστατουπεδίοβαθμωτόκαιή,,...,,,

ςδιανύσματοδιάστατουτουσυνάρτησηβαθμωτήκαι

ονομάζεταιμεταβλητών,...,,,συνάρτησηβαθμωτήΜία

321

321

nxxxxx

nxf

nxxxxf

n

n

:διάνυσμαπροςωςκαιθέσηστηνπεδίουβαθμωτούΠαράγωγος 0 sxxf

1.lim 00

0 h

xfshxffD

hs

,1τηςςπεριπτώσειειδικέςείναιπαράγωγοιμερικέςΟι

είναι,,γιαπ.χ. rfzyxf

.

ˆlim

,,,,lim ˆ

00fD

h

rfxhrf

h

zyxfzyhxf

x

fx

hh

.όπου,ιδιότηταγραμμικήηαποδειχτείναΜπορεί i

ii

i

aia acafDcfDi

χώρο.διάστατο3στονπεδίοκόδιανυσματικαιονομάζεται

ˆ,,ˆ,,ˆ,,,,συνάρτησηκήδιανυσματιΗ 221

zzyxFyzyxFxzyxFzyxF

ΚΛΙΣΗ ή ΒΑΘΜΙΔΑ (grad) ΒΑΘΜΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

.,,τηςgradήβαθμίδαλεγόμενηηείναιˆˆˆ,, zyxfz

fz

y

fy

x

fxzyxf

.ˆˆˆανάδελταήβαθμίδαςτελεστήςκόςΔιανυσματιz

zy

yx

x

16

zyxzyx aaaafDz

ffD

y

ffD

x

zyxf,,γιαδίνει1η,,,

,,Επειδή ˆˆˆ

όπου,ˆˆˆ faz

fa

y

fa

x

fafDafDafDafD zyxzzyyxxa

.συνάρτησηκήδιανυσματιτηνπ.χ.καινούριοκάτι

δίνεικαιπ.χ.άλλοκάτισεδραπουπ.χ.Κάτιτελεστής;έναςείναιΤι

f

f

είναι,,μετάβολήγιαδιαφορικόΤο dzdydxrddf

.dzz

fdy

y

fdx

x

frdfdf

.όπου1,ιδιότηταγραμμικήηΙσχύει i

ii

i

aia acafDcfDi

ΚΛΙΣΗ ή ΒΑΘΜΙΔΑ (grad) ΒΑΘΜΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

.τηςμεταβολήςμέγιστηςδιεύθυνσητηνδείχνειτο,ˆΕπειδή ˆ fffnfDn

βρίσκουμεsin3,,Αν:Παράδειγμα 2 zyxzyxf

17

.ˆˆ,και

ˆˆδιαστάσειςδύοΣε

y

fy

x

fxyxf

yy

xx

yxf ,

yxf ,

f

συνάρτησηςκήςδιανυσματιτηςσηΑναπαράστα

σημεία.σαγματικάκαιακρότατασε0f

σημείοσαγματικό:X

.cosˆˆ3ˆ6ˆˆˆ 2 zzyxxxyz

fz

y

fy

x

fxf

ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

σταθερά.κάποιαόπου

,,εξισώσειςτιςνικανοποιούπουτόποιίγεωμετρικοοιείναιπου

γραμμέςέςισοσταθμικτιςμεθείαναπαρασταναμπορεί,Συνάρτηση

c

cyxf

yxf

18

.επιφάνειεςέςισοσταθμικ

ορίζουν,,

σχέσειςοιδιαστάσεις3Σε

czyxf

βενζόλιο.στοφορτίου

κούηλεκτρονιαπυκνότητας

τηςεπιφάνειαήΙσοσταθμικ

yxf ,τηςγραμμές

έςΙσοσταθμικ

222 coscos, yxyxf

ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

.Είναι rdfdf

19

τότεκαμπύληήισοσταθμικ

μίασεκήεφαπτομενιείναιμεταβολήαπειροστήηΕάν rd

1.γενικότεραείτε,0είτεδηλαδή,0 rdffdf

0000 ,,σημείοσεβαθμίδας

τηςδιάνυσματοότιδείχνει1σχέσηΗ

zyxr

.ήισοσταθμικστηνδηλαδή,,,το

απόπερνάειπουεπιφάνειαήισοσταθμικστηνκάθετοείναι

00000 rfcrfzyxr

ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 20

γραμμές.έςισοσταθμικστιςκάθετα

είναιδιανύσματαταδιαστάσεις2Σε f

γραμμές.έςισοσταθμικστιςκάθετα

όντωςείναιπουδιανύσματα

μπλεμερικάφαίνονταισχήμαΣτο

f

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

.καμπύληςτηςμήκος"κατά"ιςμετατοπίσειςστοιχειώδεόπου

,lim:ολοκλήρωμαοΕπικαμπύλι0

Cl

lFldF

i

i

iil

Ci

D

D D

21

. επιφάνειατηνκαλύπτουνπουεμβαδάστοιχειώδηόπου

,lim:ολοκλήρωμαόΕπιφανειακ0

Ss

sFFds

i

i

iis

Si

D

D D

.Ωχώρουτουπεριοχήτηνκαλύπτουνπουόγκοιιςστοιχειώδεόπου

,lim:χώρουήόγκουΟλοκλήρωμα0

i

i

iiV

V

VFFdVi

D

D D

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

C. τηςτμήμα

ένα για,αντίστοιχα πέρας, και τοαρχή η

είναι ),( Β και ),( Α ότι ακόμη

Έστω xy.επίπεδο στο C καμπύληΈστω

2211 baba

.,,Ι άθροισμα το

μεσχηματίσου να μπορούμε , και , ςσυναρτήσει δύο Για

1

C kkk

n

k

kkk yQxP

yxQyxP

DD

x

y

A

B

C

1ny

1xkx

1nx

1yky

1a

1b

ς.διαστήματο τουμέσο στο , σημεία

ταορίζουμε και , σημείων των

μέσω διαστήματα σε C τηνΧωρίζουμε

k

yx

n

kk

kk

2a

2b

C.καμπύληςτηςABτμήμαστoπάνω,ˆ,ˆ,

συνάρτησηςκήςδιανυσματιτηςIολοκλήρωμαοεπικαμπύλιτοορίζει C

yxQyyxPxyxR

αυτόόριοτοτότε,, μικράπολύγιαΙτουόριοτουπάρχειAν C kk yx DD

CC

C dyyxQdxyxPrdRI ,,:ςΣυμβολισμό

22

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

:τρόπουςκάτωθιτους

απόένανμείυπολογιστεναμπορεί

,,

ολοκλήρωμαοεπικαμπύλιTo

B

AdyyxQdxyxP

.,,και

τότε,συνάρτησητηναπόαιπεριγράφετκαμπύληηΑν 1)

2

1

dxxfxfxQdxxfxPIdxxfdy

xfy

a

aC

x

y

1xkx

1nx

1yky

1ny

A

B

C

1a 2a

1b

2b

,,, τότε, και

μορφή κή παραμετρι τηναπόται περιγράφε καμπύληη Αν 3)

dttgtgtfQdttftgtfPItgytfxB

A

t

tC

.,, και

τότε, συνάρτηση τηναπόται περιγράφεC η αν ,Aντίστοιχα )2

2

1

dyyygQdyygyygPIdyygdx

ygx

b

bC

. , , , όπου 2121 tgbtgbtfatfa AA

23

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1

.1, παραβολής τηςμήκος

κατάγ ,1,2 τοέως 1,1 τοαπό γραμμήςευθείας τηςμετά και 1,1 τοέως 0,1

τοαπό γραμμήςευθείας τηςμήκος κατάβ ,1,2 τοέως 0,1 τοαπό γραμμής

ευθείας τηςμήκος κατάα Ι εί το υπολογιστΝα

2

2,1

0,1

22

tytx

dyxydxyx

.1 ηείναι 1,2 και 0,1 σημεία τααπό περνάει πουευθεία Η α xy

.0 και 1είναι 1,1 στο 0,1 τοαπό ευθεία τηνΓια β dyy

.είναι ευθείας τηςμήκος Κατά dxdy

.3

51

3

122211 Επομένως

1

0

21

0

22 dxxxdxxxdxxx

.321Ιδίνει οεπικαμπύλι το γιααυτό κομμάτι Το1

0

2

1 dxx

.0 και 1 ηείναι 1,2 στο 1,1 τοαπό ευθεία τηνΓια dxx

.3101Ιδίνει οεπικαμπύλι σχετικό Το2

1

2

2 dyy

.38I Άρα 21

24

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1

.1, παραβολής τηςμήκος

κατάγ ,1,2 τοέως 1,1 τοαπό γραμμήςευθείας τηςμετά και 1,1 τοέως 0,1

τοαπό γραμμήςευθείας τηςμήκος κατάβ ,1,2 τοέως 0,1 τοαπό γραμμής

ευθείας τηςμήκος κατάα Ι εί το υπολογιστΝα

2

2,1

0,1

22

tytx

dyxydxyx

.1είναι 1,2 σημείο το γιαενώ ,0 έχουμε 0,1 σημείο τοΓια γ tt

:όπους κάτωθι τρ τουςαπό έναν μεί υπολογιστε

ναμπορεί ,, ολοκλήρωμα οεπικαμπύλι To2

1

a

adyyxQdxyxP

,,, τότε, και

μορφή κή παραμετρι τηναπόται περιγράφε καμπύληη Αν 3)

dttgtgtfQdttftgtfPItgytfxB

A

t

tC

. , , , όπου 2121 tgbtgbtfatfa AA

.21 και 1είναι περίπτωση τηαυτή Σε 2 ttgttgtfttf

.212242211 Επομένως1

0

2351

0

2222 dttttttdtttdttt

25

ΔΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

:περιοχήστηντοςολοκληρώμαδιπλούΟρισμός

.,σημείααπόγύρωεμβαδάμικρά

σετόποτονχωρίζουμεότιακόμηΈστω

kkkA

n

D

.κάθεγια0με,lim,I1

kAAfdAyxf k

n

k

kkkn

DD

:ολοκλήρωσηδιπλήμεσυνήθωςγίνεταιIτουςυπολογισμόΟ

26

x

y

A

a

Cc

Dd

B

b

σχήμα.στοφαίνεταιόπωςεπιπέδουτου

περιοχήσεορισμένηείναι,ηότιΈστω

xy

yxf

kk ,

.,,,

2

1

2

1

b

ax

xf

xfy

b

ax

xf

xfydxdyyxfdydxyxfdAyxf

όπου,,,:άΕναλλακτικ

2

1

d

cy

yg

ygxdydxyxfdAyxf

xfy 1

xfy 2

.αντίστοιχαγράφημαμπλεκαιπράσινοστοίαντιστοιχεηκαιη 21 ygyg

ygx 2

ygx 1

ΔΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ) 27

σχέση τηναπόδίνεται μάζας κέντρουτου

θέσης διάνυσμα τοΜ μάζας σώμα εκτεταμένο ένα Για(1). dmr

M

1R cm

.22άραμάζαολικήκαικαιπλευρές

κάθετεςμεπυκνότηταςτριγώνουορθογώνιουομογενούςμάζας Κέντρο

abMabMMba

ρT

x

y

b

a

x

y

aa

cm ydxab

Mx

Mxdm

Mx

00

211Είναι

.(2) 3

222

00

axdx

a

bx

abxydx

abx

aa

cm

:ολοκλήρωμαδιπλόμετοβρούμεναΜπορούμε cmx

,,,,0γιαδίνει,τύπος 21

2

1

2

1

MxyxfaxxdxfdydAyxfx

x

xf

xf

.3

222:,0

0

2

20 021

adxx

adxxdy

abx

a

bxxfxf

aa abx

cm

.332

222:Ομοίως

32

00

b

b

bb

bdy

b

ayay

abdyydx

aby

bb a

baycm

ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ (ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΓΚΟΥ)

:περιοχήστηντοςολοκληρώματριπλούΟρισμός

.,,σημείααπόγύρωόγκους

μικρούςσεπεριοχήτηνΧωρίζουμε

kkkkV

n

D

.0με,,,lim,,I1

kVVfdVzyxf k

n

k

kkkkn

DD

28

σχήμα.στοφαίνεταιόπωςχώρουτου

περιοχήσεορισμένηείναι,,ηότιΈστω

xyz

zyxf

ydxdydzzyxf

b

ax

xf

xfy

yxg

yxgz

2

1

2

1

,

,,,Ι

βρίσκουμεολοκλήρωσητριπλήΜε

y

z

k

x

kk

.,,,,σχέσειςτιςαπόορίζεται

πουχώρουτουπεριοχήηείναιπερίπτωσηγενικήΣτηνίπεδο.παραλληλεπ

ορθογώνιοείναισχήματοςτουπεριοχήηευκολίαςχάρηΓια:Σημείωση

2121 yxgzyxgxfyxfbxa

dxdydzzyxf

yxg

yxgz

,

,

2

1

,,

ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ) 29

.μονάδεςκάποιεςσε1πυκνότηταμεομογενέςείναι1,0

,0,0με,,σημείαταόλαειπεριλαμβάνπουστερεότοότιΈστω

zyxz

yxzyxT

y

z

x

O

AB

C

.1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0σημείατακορυφέςμετετράεδροτοείναι CBAOΤ

;άξονατονπροςωςτουαδράνειαςροπήηείναιοια zTI

VV

dxdydzzyxrdmrI ,,Είναι 22

1

0

1

0

1

0

22δίνει dxdydzyxIx yx

b

a

xf

xf

yxg

yxgdxdydzzyxf

2

1

2

1

,

,,,ΙτύποςΟ

.30

1

4

1

3

1

2

11

1

0

442222

dx

xxxxxx

1

0

1

0

32221

0

1

0

22 111 dxdyyxyyxxxdxdyyxyxxx

.2ακμήςοκταέδρουομογενούςκανονικούενόςαδράνειας

ροπήτη154βρίσκουμε8μεάζονταςΠολλαπλασι I

ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

:τοςολοκληρώμαούεπιφανειακΟρισμός

.,,σημείααπόγύρωεμβαδάσεεπιφάνειατηνΧωρίζουμε kkkksnS D

.0με,,,ˆlimˆI1

kssfndsnfsdf k

n

k

kkkkkn

SS

S DD

30

σχήμα.στοφαίνεταιόπωςεπιφάνειασε

πάνωορισμένηείναι,,συνάρτησηκήδιανυσματιηότιΈστω

S

zyxf

.εμβαδόστοκάθετοείναιπουδιάνυσμαμοναδιαίοτοείναιˆορισμόΣτον kk sn D

1n2n

3n

S

ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΘΕΤΟΥ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ 31

.εμβαδόστοκάθετοείναιπουδιάνυσμαμοναδιαίοτοείναιˆορισμόΣτον kk sn D

.0με,,,ˆlimˆI1

kssfndsnfsdf k

n

k

kkkkkn

SS

S DD

1n2n

3n

;ˆτουκατεύθυνσηηορίζεταιΠως kn

ksDD επιφάνειαςτηςσύνοροτοιατρέχουμε

κοχλία.ουδεξιόστροφ

τουκανόνατονεεφαρμόζουμκαι

δεξιά.biusoMτουλωρίδαηόπως

,επιφάνειεςίσιμεςπροσανατολ-μη

μεσυμβατόςείναιδενορισμόςΟ

ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

:τοςολοκληρώμαούεπιφανειακΟρισμός

.0με,,,ˆlimˆI1

kssfndsnfsdf k

n

k

kkkkn

SS

S DD

32

:ολοκλήρωμαδιπλόσεΙτο

ανάγουμεσυνήθωςπράξηΣτην

S

sd

επίπεδο.στοπάνωˆεμβαδό

ςστοιχειώδεένασειπροβάλλετα

τηςˆεμβαδόςστοιχειώδεΤο

xyzdAAd

Sdsnsd

Ad

.ˆˆσχέσηηΙσχύει dszndA

0,,εξίσωσητηναπόαιπεριγράφετεπιφάνειαηότιτώραΈστω zyxGS

.ˆˆˆτότεΕίναι222

z

G

y

G

x

G

z

G

znG

Gn

ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 33 sd

Ad

.ˆˆ

ˆˆσχέσηηΙσχύειzn

dAdsdszndA

yxgzS ,εξίσωσηηισχύειτηνγιαΑν

.

1

1ˆˆˆτότε

22222

y

g

x

g

z

G

y

G

x

G

z

G

znG

Gn

0,,,δηλαδή yxgzzyxG

dxdyy

g

x

gdsds

22

1έχουμεεμβαδόςστοιχειώδετοΈτσι

όπου,1ˆˆIκαι

22

dxdy

y

g

x

gnfdsnf

SS

.περιοχήσυνεκτικήεοποιαδήποτμίαεπίπεδοστοτηςπροβολήη xyS

ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 34

Άρα.226,,3

ˆˆ2ˆ2ˆΕίναι yxyxg

zyxn

.0,0,0με622

επιπέδουτουτμήμαστοπάνωτηςολοκλήρωμαόεπιφανειακτο

Υπολογίστε.ˆˆˆσυνάρτησηκήδιανυσματιηΔίνεται 2

zyxzyx

f

zzxyxxxyf

dxdyy

g

x

gnfdsnf

SS

22

1ˆˆΙέχουμεΕπομένως

,31,3

22ˆ

222

y

g

x

gzxxxynf

.622,0,0ευθείεςτιςαπόορίζεταιπου

τρίγωνοστοιπροβάλλετατρίγωνοΤο

yxyx

AOBABC

y

z

x

O

A

B

C

3

0

223

0

3

0

2 313262622 dxxxxxxdxdyyxxxyx

.427

.226όπου yxz

ΑΠΟΚΛΙΣΗ – ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ

.κλίσητηνβρούμεναγιαήσαμεχρησιμοποιτονκαι f

:τηνμετουγινόμενακάδιανυσματιταορίσουμεναΜπορούμε F

1.div:τηςΑπόκλισηz

F

y

F

x

FFFF zyx

zz

yy

xx

ˆˆˆτελεστήκόδιανυσματιτονορίσειΈχουμε

2.ˆˆˆ

ˆˆˆ

F

y

F

x

Fz

z

F

x

Fy

z

F

y

Fx

FFF

zyx

zyx

xyxzyz

zyx

ού.στροβιλισμ του)( curl τελεστήκόδιανυσματι ορίζει τον (2) H

35

zzyxFyzyxFxzyxFzyxF zyxˆ,,ˆ,,ˆ,,,,πεδίοκόδιανυσματιΈστω

μεcurlrot:τηςόςΣτροβιλισμ FFFF

ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ – ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 36

2/πθπ/2 π,2φ0

cossinsinsincos

θrθ, zφrθ, yφrx

νες:συντεταγμέΣφαιρικές

r y

z

x

θ

φ.επίπεδοστοπροβολήςτηςμέτροτοπ,20

sincos

xyρφ

zφ, zρφ,yρxνες:συντεταγμέςΚυλινδρικέ

ρ

z

νες;συντεταγμέσφαιρικέςσετελεστήςοορίζεταιΠως

rφ

.ˆ,ˆ,ˆτωνμήκοςκατά,,

ιςμετατοπίσετιςβρούμεναΠρέπει

φrdldldl φr

.sin,,:Άρα dφrdlrddldrdl φr

rdfdφφ

fd

fdr

r

fdf

Επειδή

φrφ

rrrdlφdldlrrd φr

sinˆˆˆότιˆˆˆγιαπροκύπτει

ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ – ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 37

.sin

ˆˆˆφr

fφ

r

f

r

frf

βρίσκουμεˆˆˆΓια φr FφFFrF

,

sin

sin

12

2

φ

FF

rrr

FrF

φr

φθr FrrFF

φθr

φrθrr

rF

sin

ˆsinˆˆ

sin

12

,sinόγκονδημιουργούˆ,ˆ,ˆιςμετατοπίσεΟι 2 dφdrdrdVdlφdldlr φr

VVV

dφdrdrφrffdxdydzfdV sin,,:σφαιρικέςσε

νεςσυντεταγμέςκαρτεσιανέαπόολοκλήρωμασεαλλαγήεπιτρέπειπου

2

γωνίαστερεάστοιχειώδητηνορίζειsinποσότηταΗ dφdd

.sinείναιγωνίαστερεάηπεπερασμένγιαενώ2

1

2

1

2

1

2

1

φ

φ

φ

φdφdd

.steradians:μονάδες4είναισφαίραςγωνίαστερεάολικήΗ

ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 38

.ˆˆˆz

fz

r

f

r

frf

βρίσκουμεˆˆˆΓια φr FφFFrF

,

z

F

r

F

rr

rFF zr

.

ˆˆˆ

zθr FrFFzθr

rzθrr

F

,όγκονδημιουργούˆ,ˆ,ˆιςμετατοπίσεΟι dzrdrddVdlzdldlr zr

.,,:ςκυλινδρικέσε

νεςσυντεταγμέςκαρτεσιανέαπόολοκλήρωμασεαλλαγήεπιτρέπειπου

VVV

dzrdrdzrffdxdydzfdV

καιˆˆˆˆˆˆτώραΕίναι dzzrddrrdlzdldlrrd zr

.

sin

sin

1ότιΕίδαμε

2

2

φ

vv

rrr

vr

z

v

y

v

x

vv

φrzyx

έχουμεˆˆˆˆΓια:1Παράδειγμα rrzzyyxxv

.0100

βρίσκουμε

1,0,0ˆΓια:2 Παράδειγμα

zyxv

zv

.1είναι,0,0ˆΓια:3Παράδειγμα

z

zvzzzv

39 ΑΠΟΚΛΙΣΗ: ΣΩΛΗΝΟΕΙΔΗ - ΑΠΟΚΛΙΝΟΝΤΑ ΠΕΔΙΑ

.3

2

2

rr

rr

z

z

y

y

x

xv

καταβόθρα.ή

πηγή,υπάρχειΔεν

κέντρο.στοτουπηγή""Υπάρχει v

.πεδίο0στοπηγήΥπάρχει αποκλίνονz

παντού.0ότανπεδίοκαλείταιπεδίοΈνα vv

ςσωληνοειδέ

:πεδίοκόδιανυσματιεοποιοδήποτγια

ισοδύναμεςείναιπροτάσειςπαρακάτωΟι

F

40 ΣΩΛΗΝΟΕΙΔΗ ΠΕΔΙΑ: ΘΕΩΡΗΜΑ

.ςσωληνοειδέείναιπεδίοτοδηλαδήπαντού0)1 F

τους.μεταξύίσαείναισύνοροκοινόμεεπιφάνειες

σεπάνωταολοκληρώμαάεπιφανειακταΌλα)2

CS

adFS

.επιφάνειακλειστήεοποιαδήποτγια0)3 SadFS

.ώστετέτοιοπεδίοΥπάρχει)4 AFA

.ˆ2ˆ

0

ˆˆˆ

βρίσκουμε0,,Για:1Παράδειγμα

zy

y

x

xz

xy

zyx

zyx

v

xyv

.ˆˆ

00

ˆˆˆ

βρίσκουμε0,,0Για:2Παράδειγμα

zx

xz

x

zyx

zyx

v

xv

41 ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

y

x

y

x

:πεδίοκόδιανυσματιεοποιοδήποτγια

ισοδύναμεςείναιπροτάσειςπαρακάτωΟι

F

42 ΑΣΤΡΟΒΙΛΑ ΠΕΔΙΑ: ΘΕΩΡΗΜΑ

.αστρόβιλοείναιπεδίοτοδηλαδήπαντού0)1 F

τους.μεταξύίσαείναικαιθέσεωνακραίωνκοινών

δύομεταξύταολοκληρώμααεπικαμπύλιταΌλα)2

ba

ldFC

.διαδρομήκλειστήεοποιαδήποτγια0)3 CldFC

.ώστετέτοιοπεδίοβαθμωτόΥπάρχει)4 φFφ

rFrF ˆνεςσυντεταγμέσφαιρικέςσεείναιπεδίοκεντρικόεοποιοδήποτΓια

0.

sin

ˆsinˆˆ

sin

1άρακαι

2

φθr FrrFF

φθr

φrθrr

rF

πεδίο.έναείναι

0μετοότιΛέμε

αστρόβιλο

FF

43 ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ – ΛΑΠΛΑΣΙΑΝΗ

:σχέσειςοιδειχτούνναμπορούνκαι,τωνορισμούςτουςβάσηΜε FFf

AAAix

fviii

Avii

BAABBAABBAvi

fAAfAfv

BAABBAiv

ABBAABBABAiii

AfAfAfii

fggffgi

2)

0)

0)

)

)

)

)

)

)

.0ˆˆˆ

ˆˆˆ

Π.χ.,22

zyyz

V

zy

Vx

zVyVxV

zyx

zyx

V

44 ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ – ΛΑΠΛΑΣΙΑΝΗ

:σχέσειςοιδειχτούνναμπορούνκαι,τωνορισμούςτουςβάσηΜε FFf

AAAix

fviii

Avii

BAABBAABBAvi

fAAfAfv

BAABBAiv

ABBAABBABAiii

AfAfAfii

fggffgi

2)

0)

0)

)

)

)

)

)

)

Laplace,τουτελεστήςοείναι)σχέσηΣτη2

2

2

2

2

22

zyxix

.τηςΛαπλασιανήηείναι2

2

2

2

2

22 f

z

f

y

f

x

ff

ΑΠΟΚΛΙΣΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ .όγκοπερικλείειπουεπιφάνειακλειστήμίαυπάρχεισημείοαπόΓύρω VSr

45

1.1

lim

ότιδείξουμεΘα

0

SV

sdFV

F

6

1

ˆΤότεi S

i

S i

dsnFsdFy

xz

2

1

00

S

xx

S

x zyx

FxFzyF DD

DDD

4

3

00

S

y

y

S

y zxy

FyFzxF DD

DDD

.

6

5

00

DDD

DDD

z

F

y

F

x

FVxy

z

FzFxyF zyx

S

zz

S

z

1S 2S

3S

4S

5S

6S

.,,είναικορυφήμίαστη

ότικαι,,ακμέςμείπεδοπαραλληλεπ

ορθογώνιοείναιόγκοςοότιυποθέσουμεΑς

0000 FzyxFF

zyx

DDD

x

FxFnFSFnFS x

xx

D 0

022011ˆείναιστηνενώ,ˆείναιέδραΣτην

.,,,τιςγιαΟμοίως 6543 SSSS

ΑΠΟΚΛΙΣΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ .όγκομεεπιφάνειακλειστήμίαυπάρχεισημείοαπόΓύρω VSr

46

1.1

limΙσχύει0

SVsdF

VF

ρευστού.ταχύτηταςπεδίοτοείναιότιτώραΈστω F

.όγκοστονρευστούτουόδουεισόδου/εξρυθμόςοκαιάρα,τηναπό

χρόνουμονάδαανάπερνάειπουρευστούτουποσότηταηείναιΤότε

VS

sdvS

ών.πηγών/χοανπαρουσίατηνδείχνειόντωςαπόκλισηηΕπομένως v

ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ

.επιφάνειαμεεπιφάνειαδημιουργείπου

καμπύληκλειστήμίαυπάρχεισημείοαπόΓύρω

S

Cr

2.1

limότιδείξουμεΜπορούμε0

CSldv

Sv

τοπικά.ταιπεριστρέφεπεδίοτοανδείχνειόντωςόςστροβιλισμοΆρα v

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

1.:ολοκλήρωμαΣύνηθες afbfdxxfb

a

47

.κλίσηςτηςΘεώρημα2.

:καιθέσεωνμεταξύδιαδρομήεοποιαδήποτσεολοκλήρωμαοΕπικαμπύλι

afbfldrf

ba

b

a

StokesτουήούστροβιλισμτουΘεώρημα3.ˆ

:σύνορομεεπιφάνειασεΟλοκλήρωμα

CS

ldFdsnF

CS

GaussτουήαπόκλισηςτηςΘεώρημα4.ˆ

:επιφάνειακλειστήσύνορομεόγκοσεΟλοκλήρωμα

SSΩ

dsnFsdFdVF

SΩ

2.1

limσχέσητηναπόπροκύπτειStokesθεώρημαΤο0

CSldv

Sv

.0,όριοτοπάρουμεκαιόγκοτονφτιάχνουνπου

όγκουςσε1

limσχέσητηεεφαρμόσουμανπροκύπτει4H0

DD

ii

SV

VnV

nsdFV

F

.θέσησεηρεμείφορτίοσημειακόότιΈστω rq

:Coulombτουνόμοτοαπόδίνεταιπουδύναμηθέσηστηνβρίσκεταιπου

φορτίοόδοκιμαστικσημειακόάλλοσεασκείπηγή""ηφορτίοΤο

r

Qq

.mN

C1085,8καιόπου1,ˆ

4

12

212

02

0

rrww

w

qQF

κενού.τουτηταεπιδεκτικόήσταθεράήδιηλεκτρικηείναι0

48 ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗ – ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB

O

Q

r

q

r w

.μονάδωνσύστημαSIστοCoulombδύναμητηδίνει1σχέσηΗ

.ˆείναιGaussτουμονάδωνσύστημαλεγόμενοΣτο2

ww

qQF

.SIμονάδωνσύστηματοηθείχρησιμοποιθααυτόμάθημαΣτο

.δύναμηαπωστικήˆˆτότε0Αν wFqQ

.δύναμηελκτικήˆˆτότε0Αν wFqQ

.,4

ˆ:θέσηστηφορτίοσημειακόαπόπεδίοΗλεκτρικό

2

0

rrww

wqrErq

.rrwww

qrE

rq

ii

i

i

i

i

ii

όπου,ˆ4

1

:θέσειςστιςφορτίασημειακάαπόπεδίοΗλεκτρικό

2

0

:τωνκατανομήςσυλλογήςτης

λόγωθέσηστηπεδίοηλεκτρικόαπλάή

πεδίουηλεκτρικούτουέντασηςτηςΟρισμός

iq

rE

E

49 ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ – ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

:δυνάμεωνεπιμέρουςτωνάθροισματομείσηείναιπουφορτίοόδοκιμαστικ

σεδύναμησυνολικήασκείπηγώνφορτίωνσυλλογή:ΕπαλληλίαςτηςΑρχή

.όπου,ˆ4 2

0

ii

i

i

i

i rrwww

qQFF

Q

1q2q

3q

4q

r

O4r

3r

1r 2r

1F

2F

3F

4F

.limσωστάπιοή,0 Q

FE

Q

rFrE

Q

.προςωςόγκουολοκλήρωμαέναδηλαδή,ˆ4

1είναι

πυκνότηταμεχώρουτουόγκοσεφορτίουκατανομήαπόπεδίοΤο

2

0

rdww

rrE

rV

V

50 ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ – ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

.limσωστάπιοή,πεδίοΗλεκτρικό0 Q

FE

Q

rFrE

Q

:φορτίουκατανομέςσυνεχείςαπόπεδίοτογιαέχουμετότε,Εάν rrw

.προςωςολοκλήρωμαόεπιφανειακέναδηλαδή,ˆ4

1

είναιπυκνότηταήεπιφανειακμεεπιφάνειασεφορτίουκατανομήΓια

2

0

radww

rrE

rS

S

.προςωςολοκλήρωμαοεπικαμπύλιέναδηλαδή,ˆ4

1

είναιπυκνότηταγραμμικήμεκαμπύλησεφορτίουκατανομήΓια

2

0

rldww

rrE

rC

C

παραπάνω.τωνσυνδυασμόκαιέχουμεναμπορείΠροφανώς

μέσο.τοαπόπάνωαπόστασησεπεδίοηλεκτρικότοΒρείτε.φορτίου

πυκνότηταγραμμικήομοιόμορφηφέρει2μήκουςτμήμαΕυθύγραμμο

y

L

:ΛΥΣΗ

.θέσειςστιςπλάτουςδιαστήματαστοιχειώδη

τααπόστοςσυνεισφορέοικαιΈστω 21

xdx

EEE

51 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ

y

x

y

L L

2E

1E

xx

.ˆάρακαιείναισυμμετρίαςΛόγω 21 yEEEE xx

.,0σημείοσεπεδίοηλεκτρικότοουμεπροσδιορίσΘα yE

τότεΕίναι.4Θέτουμε 0C

.

2Άρα.cosκαιόπου,

cos

0 2322

22

2

LL

L xy

CydxE

w

yyxw

w

dxCE

.22

tan1

tan2sin

2

2222

0

20

2

2

Lyy

CL

yLy

yL

y

C

y

C

y

C

2

1 0

3323232322

2

cos2Επομένως.costan1

,cosέχωtanμεταβλητήςαλλαγήΜε

dyCEyyxy

yddxyx

μέσο.τοαπόπάνωαπόστασησεπεδίοηλεκτρικότοΒρείτε.φορτίου

πυκνότηταγραμμικήομοιόμορφηφέρει2μήκουςτμήμαΕυθύγραμμο

y

L

:ΛΥΣΗ

.θέσειςστιςπλάτουςδιαστήματαστοιχειώδη

τααπόστοςσυνεισφορέοικαιΈστω 21

xdx

EEE

52 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ

y

x

y

L L

2E

1E

xx

.ˆάρακαιείναισυμμετρίαςΛόγω 21 yEEEE xx

.,0σημείοσεπεδίοηλεκτρικότοουμεπροσδιορίσΘα yE

.4Θέτουμε 0C

Επομένως.cosκαιόπου,cos

τότεΕίναι 22

2 w

yyxw

w

dxCE

L

L

.με,

1

222

22220 2322 y

Lh

hy

CL

Lyy

CL

xy

ydxCE

L

.γιατί;λογικό,4

2

2

11

2βρίσκουμε0Για

2

0

2

2 y

Lh

y

CLEhLy

.2βρίσκουμεΓια yCELLy

άκρο.ένααπόπάνωαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε.φορτίου

πυκνότηταγραμμικήομοιόμορφηφέρειμήκουςτμήμαΕυθύγραμμο

yE

L

:ΛΥΣΗ

53 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ

y

x

y

L

Ed

x

:βρήκαμεπουτοςαποτελέσματουήμισυτοσυνιστώσα

τηνγιαήσουμεχρησιμοποιναμπορούμεΠροφανώς

y

:4θέτουμεέχουμεσυνιστώσατηνΓια 0 Cx

.

44

1

22

0

0 23220 Lyy

L

xy

ydxE

L

y

Πως;.,0διάστημαστοσύρματος

υφορτισμένοομοιόμορφαλόγωπεδίοτο,θέσητυχούσασε

βρούμεναμπορούμετααποτελέσμαπαραπάνωταώνταςΧρησιμοποι

L

Eyx

22230 23220 2

22

2

22

2

sin

Ly

C

y

C

h

dhC

yx

xdxC

w

dxCE

Ly

y

yxhLL

x

.φορτίοσημειακόγιαεπεριμένουμόπως,,0τότεΑν2

Ly

CLEELy yx

ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ – ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 54

2/πθπ/2 π,2φ0

cossinsinsincos

θrθ, zφrθ, yφrx

νες:συντεταγμέΣφαιρικές

r y

z

x

θ

φρ

z

νες;συντεταγμέσφαιρικέςσετελεστήςοορίζεταιΠως

rφ

.ˆ,ˆ,ˆτωνμήκοςκατά,,

ιςμετατοπίσετιςβρούμεναΠρέπει

φrdldldl φr

.sin,,:Είναι dφrdlrddldrdl φr

.sinόγκονδημιουργούˆ,ˆ,ˆιςμετατοπίσεΟι 2 dφdrdrddlφdldlr φr

σφαίρας.τηςκέντροτοαπόαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε.φορτίου

πυκνότηταήεπιφανειακομοιόμορφηφέρειακτίναςφλοιόςΣφαιρικός

RrE

R

:ΛΥΣΗ

55 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝO ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΦΛΟΙΟ

x

y

zq

R

w

r

.ˆείναιθαστοδηλαδήακτινικό,είναι

θαπεδίοτοσυμμετρίαςσφαιρικήςΛόγω

rEEq

συνιστώσαηκαιˆ4

1είναι

στοεπιφάνειαςυςστοιχειώδοσυνεισφοράΗ

2

0

zadww

rEd

Ead

.sinενώ,cos

4

14

2

0

0 dφRRdadw

addEz

ad

.sinάρα,cos2ακόμηΕίναι 222 drRwdwrRrRw

.cos2έχουμεΕπίσης 222 rwrwR

σφαίρας.τηςκέντροτοαπόαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε.φορτίου

πυκνότηταήεπιφανειακομοιόμορφηφέρειακτίναςφλοιόςΣφαιρικός

RrE

R

56 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝO ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΦΛΟΙΟ

x

y

zq

R

w

r

,sin,4

cos,ˆΕίναι

2

0

dφRRdadw

addErEE z

ad

.cos2

,sin,cos2

222

222

rwrwR

drRwdwrRrRw

,4

142

1

4

22

0

4

2

22

2

0

222

2

0

22

1 r

Qdw

w

Rr

r

R

rR

wdw

rw

Rrw

w

R

R

Rr

Rr

Rrw

Rrw

:Άρα

σφαίρας.τηςκέντροστοφορτίοσημειακόαπόαυτόμείδιοείναι

πεδίοτοΔηλαδή,σφαίρας.τηςφορτίοολικότοείναι4όπου 2

Q

πRQ

w

φ

dq

rw

RrwdφdR

wE

2

0 0

cos

2222

2

0

2

1 2sin

4

1

σφαίρας.τηςκέντροτοαπόαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε.φορτίου

πυκνότηταήεπιφανειακομοιόμορφηφέρειακτίναςφλοιόςΣφαιρικός

RrE

R

57 ΠΕΔΙΟ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟΥ ΦΛΟΙΟΥ

x

y

zq

R

w

r

.καιείναιτογιαόριατα

τώραπουμόνο,γιααυτήνμείδιαείναιλύσηΗ

21 rRwrRww

Rr

ad

.cos2,sin

,cos2:πάλιΕίναι

222

222

rwrwRdrRwdw

rRrRw

.0142

1

4

2

2222

2

12

22

2

0

222

2

0

2

rR

Rr

rR

RrrRRr

rR

rR

rRw

rRwdw

w

Rr

r

R

rR

wdw

rw

Rrw

w

R

:Άρα

w

φ

dq

rw

RrwdφdR

wE

2

0 0

cos

2222

2

0

2

1 2sin

4

1

φλοιού.σφαιρικούυφορτισμένοομοιόμορφαεσωτερικόστοπαντού0E

:ΛΥΣΗ

58 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΗ ΣΦΑΙΡΑ

x

y

zq

r

w

r

.προςωςκαιολοκλήρωσηέχουμεκαι

sinόγκουςιςστοιχειώδεσε

υμεολοκληρώνοτώραπουμόνοφλοιού,σφαιρικού

τουπρόβλημαστοόπωςβήματαίδιαταέχειλύσηΗ

2

r

dφdrdrd

:βρίσκουμεκαιˆπάλιείναιθα,συμμετρίαςΛόγω rEE

1,432

sin4

12

0

2

0

32

0 0 0

222

2

2

0 r

Q

r

R

rw

rrw

wrrdddφE

R

σφαίρας.τηςκέντροτοαπόαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε

.φορτίουπυκνότηταομοιόμορφηφέρειακτίναςσφαίραΣυμπαγής

RrE

R

d

σφαίρας.τηςκέντροστοφορτίοσημειακόαπόαυτόμείδιοείναι

πεδίοτοΔηλαδή,σφαίρας.τηςφορτίοολικότοείναι34όπου 3

Q

πRQ

.4μεακτινικήγιακαιισχύειπου,1ηπροκύπτει

4ςσυνεισφορέτιςνταςΟλοκληρώνo.4

φορτίομεκαιπάχουςφλοιούςσεσφαίρατηκόψουμεανπροκύπτει1H

0

2

2

0

2

r

drrrQr

rdQdErdrdQ

rd

:ΛΥΣΗ

59 ΠΕΔΙΟ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ

:μέρηδύοσεσφαίρα τηνσπάσουμεναΜπορούμε

του.εσωτερικόστοπεδίοστο

ισυνεισφέρεδενφλοιόςοπαραπάνω,ταβάσηΜε Φ

,4

,ˆπεδίοδημιουργείσφαίραΗ2

0r

rQrErrErEΣ Σ

σφαίρας.τηςκέντροτοαπόαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε

.φορτίουπυκνότηταακτινικήφέρειακτίναςσφαίραΣυμπαγής

RrE

rR

.σφαίραςτηςφορτίοολικότοείναι4όπου0

2 ΣrdrrrQr

Σ

x

y

z

q

r

w

r

d .πάχουςφλοιόσφαιρικό

ένακαιακτίναςσφαίραμία

rRΦ

rΣ

βρίσκουμεπυκνότητα

σταθερήγια,παράδειγμαΓια

r

.για,33

4

4

1

για,33

4

4

1

2

0

33

2

0

0

3

2

0

Rrr

RR

r

Rrrr

rrE

60 ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ

linesfieldγραμμέςπεδιακέςήδυναμικέςλεγόμενεςτιςμεζωγραφίζου

,διανύσματαμεμονωμέναμεζωγραφίζουναΑντί E

φορτίων.σημειακώνζευγάρια

γιακαιφορτίοσημειακόγια

σχήματασταφαίνεταιόπως

.τουανάλογηείναιγραμμών

δυναμικώντωνπυκνότηταΗ

E

άπειρο.τοήφορτίασε

καταλήγουνκαιξεκινάνε

γραμμέςδυναμικέςΟι

S

ολοκλήρωμαόεπιφανειακτοεπιφάνειαγιαΚαλούμε S

S

Ε adEΦ

έχουμεΤότε.ακτίναςσφαίραμία

επιφάνειατηνεπιλέγουμεαξόνωντων

αρχήστηνφορτίοσημειακόΓια

rS

q

.4

ˆsinˆ4

1

0

4

0

2

2

0

qd

qrdφdrr

r

qadE

SSS

61 ΡΟΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ – ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

E

E

E

E

E

.τηναπόμέσαπεδίουτουροή SE

z

y

x S

rEE ˆ

1S

2S

O

σφαίρα.

απόήδιαφορετικεπιφάνειαγιακαι

ισχύειαποτέλεσμαίδιοΤο0

q

γωνία.στερεάίδιαστην

ύναντιστοιχοκαιοιΠ.χ., 21 SS

ωςιγενικεύεταφορτίοσημειακόαπόγύρωεπιφάνειακλειστή

απόμέσαπεδίουηλεκτρικούροήτηνγια1σχέσηΗ0

qS

qadE

S

όπου2,:φορτίωνσυλλογήδιακριτήγια01

QadEadEq

N

iS

iS

i

.καιφορτίαταόλαπερικλείειπουεπιφάνειακλειστήείναι1

N

i

ii qQqS

62 ΡΟΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ – ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

έχουμεπυκνότηταμεφορτίωνκατανομήσυνεχήγιαΟμοίως, r

.τηναπόαιπερικλείετπουόγκοςοόπου3,1

00

SVdrQ

V

,τουεκφράσειςόλεςείναι3και2,1σχέσειςΟι Gaussτουνόμου

.τουεκφράσειςκέςολοκληρωτινα,συγκεκριμέ Gaussτουνόμου

βρίσκουμεαπόκλισηςτης

θεώρηματοαςΕφαρμόζοντ

βρίσκουμεόγκοκάθεγιαισχύει4σχέσηηΕπειδή V

63 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS: ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

4.1

00

VVS

drQ

dEadE

5.

0

rE

.τουέκφρασηδιαφορικήηείναι5σχέσηΗ Gaussτουνόμου

.ˆμορφήςτηςπεδίοηλεκτρικό

έναδημιουργείπουφορτίουκατανομήτηνΒρείτε:Παράδειγμα

rrrfE

r

όπου,βρίσκουμε5σχέσητηΑπό 0 Er

.μεˆˆˆ 222 zyxrzzyyxxrfzyx

E

.:,,γιαόμωςΕίναι2

fr

x

dr

dff

x

r

dr

dfxf

x

fx

x

xrfzyxx i

i

i

i

i

i

ii

.33:Επομένως 0

222

0

f

dr

dfrf

r

zyx

dr

dfrr

.φορτίουσυνολικούκαιακτίνας

σφαίραςςφορτισμένηομοιόμορφαμιαςεξωτερικόστοπεδίοτοΒρείτε

QR

:ΛΥΣΗ

.ακτίναςσφαίρασε

GaussτουνόμοτονεεφαρμόσουμΘα

RrS

.ˆακτινικόείναιπεδίοηλεκτρικότοΠροφανώς rEE

βρίσκουμεGaussνόμοτοΑπό

σφαίρας.τηςκέντροστοσημειακόωςβρισκόταν

ανσφαίραςτηςφορτίοτοσεδημιουργούθα

πουπεδίοτομείδιοείναισφαίραςςφορτισμένη

τηςεξωτερικόστοπεδίοηλεκτρικότοΔηλαδή

Q

64 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

.ˆ4

42

00

2

0

rr

QE

QrE

QadE

S

πεδίο.τουηλεκτρικότοΒρείτε.πυκνότητας

φορτίοόεπιφανειακομοιόμορφοέναφέρειεπίπεδοάπειροΈνα

:ΛΥΣΗ

επιπέδου.τουεκατέρωθεναυτόαπόμακριάδείχνεικαι

επίπεδοστοκάθετοείναιπουδιάνυσμαμοναδιαίοτοˆΈστω n

Γιατί;.ˆισχύεισυμμετρίαςλόγουςΓια nEE

65 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

z

y

x

O

PzP ,0,0

σχήμα.στοόπωςάξονεςεπιλέγουμε

επίπεδοτοαπόπάνωσημείοτυχαίοΓια

xyz

P

.σημείοστοπεδίοστοκαιςσυνεισφορέδίνουν

πουεπίπεδοστοπάνω,και,θέσειςτυχαίες

σεεμβαδούιατετραγωνάκστοιχειώδηεπίσηςΈστω

21 PEdEd

yxyx

dxdy

.ˆκατεύθυνσηστηνδείχνειθασημείοστοολικότοκαι

τελικάκαιτοάρα,,,είναιθαΠροφανώς 212211

nPE

EdEddEdEdEdE yxyx

Γιατί;.,,σημείαταόλαγια

ίδιαείναιέντασηηάπειρο,είναιεπίπεδοτοΕπειδή

Pzyx

E

n

E

πεδίο.τουηλεκτρικότοΒρείτε.πυκνότητας

φορτίοόεπιφανειακομοιόμορφοέναφέρειεπίπεδοάπειροΈνα

:ΛΥΣΗ

επιπέδου.τουεκατέρωθεναυτόαπόμακριάδείχνεικαι

επίπεδοστοκάθετοείναιπουδιάνυσμαμοναδιαίοτοˆΈστω n

.ˆισχύειάπειροείναιεπίπεδοτοεπειδήσυμμετρίαςλόγουςΓια nEE

:σχήματοςτουεπιφάνειακυλινδρική

στηνGaussτουνόμουτουΕφαρμογή

κυλίνδρου2έδρακυλίνδρου1έδρακυλίνδρουπλευράadEadEadEadE

adEadE

αφού0Είναικυλίνδρουπλευρά

.ˆ2

και2

2:δίνειGaussτουνόμοςοΆρα,000

nEEA

EA

έδρας.κάθεεπιφάνειαηόπου,και2έδρα1έδρα

AEAadEadE

66 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

E

n

περιοχή.κάθεσεπεδίοτοΒρείτε.φορτίουπυκνότητεςέςεπιφανειακ

ςομοιόμορφεαντίθετεςκαιίσεςφέρουνεπίπεδαπαράλληλαάπειραΔύο

x

xE ˆ2 0

xE ˆ

2 0

xE ˆ2 0

xE ˆ2 0

xE ˆ2 0

xE ˆ2 0

Ι ΙI ΙII

φορτίου.πυκνότηταομοιόμορφη

μεεπίπεδοάπειροδημιουργεί

πουπεδίοτοβρειήδηΈχουμε

σ

1

σ

2

σχήματος.τουπεδίοτοδημιουργεί

πυκνότηταμε1πλάκαΗ

.πυκνότηταμε2πλάκας

τηςπεδίοτογιαΟμοίως

.ˆβρίσκουμεΙΙπεριοχή

στηνενώΙΙΙ,καιΙπεριοχές

στιςακυρώνεταιπεδίοτοΤελικά

0

xE

x0

E

67 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

.δύναμηήδιατηρητικκαιείναικεντρική,είναιCoulombδύναμηηΕπειδή

rr

qEldE

b

aˆ

4γιαολοκλήρωμαοεπικαμπύλιτομευπολογίσουΑς

2

0

.σημείοστοσημείοτοαπόπάνεμαςπουμονοπάτιατυχαίαγιακαι ba

68 ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

A

B

B

1rd

2rd 2E

1E

dr

. :ισχύεικαιταια 1221121 drErdErdErdrd

ίδια. ηείναι

ταολοκληρώμααεπικαμπύλιστααυτών

τμημάτωντωνσυνεισφοράηεπομένωςκαι

.sinˆˆˆκαιˆ

είναινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε

dφrφrddrrldrEE

,11

44

άρακαιΕπομένως

0

2

0

ba

r

r

b

a rr

qdr

r

qldE

EdrldE

b

a

.δύναμηήδιατηρητικκαιείναικεντρική,είναιCoulombδύναμηηΕπειδή

rr

qEldE

b

aˆ

4γιαολοκλήρωμαοεπικαμπύλιτομευπολογίσουΑς

2

0

.σημείοστοσημείοτοαπόπάειμαςπουμονοπάτιτυχαίογιακαι ba

.sinˆˆˆκαιˆείναινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε dφrφrddrrldrEE

,11

44άρακαιΕπομένως

0

2

0

ba

r

r

b

a rr

qdr

r

qldEEdrldE

b

a

διαδρομής.τηςανεξάρτητοείναιολοκλήρωματοόντωςδηλαδή b

aldE

διαδρομήκλειστήκάθεγια0ισχύειΕπομένως ldE

.0ότιπροκύπτειStokesθεώρηματοαπόκαι E

φορτίου.κατανομήσυνεχήήφορτίωνσημειακώνσυλλογήστατική

εοποιαδήποτγια0ότιπροκύπτειεπαλληλίαςτηςαρχήτηνΑπό Ε

69 ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

70

.τουμέσωδυναμικόηλεκτρικότοορίσουμεναΜπορούμε b

aldE

.:εξήςωςθέσηςδιάνυσμαμεαναφοράς

σημείοπροςωςσημείουτουδυναμικότοορίζουμενα,Συγκεκριμέ

r

rO

O

ldErVrΟ

r

1.:βρίσκουμεορισμότονΑπό b

a

a

O

b

O

r

r

r

r

r

rldEldEldEaVbV

2.:κλίσηςτηςθεώρηματοαπόόμωςΕίναι b

aldVaVbV

3παίρνουμε2και1τιςΑπό b

a

b

aldVldE

δυναμικού.τουκλίσηηείναιπεδίοηλεκτρικότοδηλαδή,

πρέπειθακαιμεταξύδιαδρομήκάθεγιαισχύει3ηΕπειδή

VE

ba

.0:Προφανώς O

O

r

rO ldErV

ΔΥΝΑΜΙΚΟ

71

BA rrrVrV

καιτααναφοράςσημείαμεδυναμικάταείναι~

καιΑν

πεδίο.ίδιοτοδίνουνσταθεράκατάδιαφέρουνπου

και~

δυναμικάταάρα,~

Ωστόσο VVVV

21

21

:πεδίωνεπαλληλίατηναπόπροκύπτει

δυναμικόολικότοαν:δηλαδήδυναμικά,ταγιακαι

ισχύειεπαλληλίαςτηςαρχήηότιεσημειώσουμναακόμηπρέπειΘα

EEE

VVV

όπου,~

τότε CrVldEldEldErVr

r

r

r

r

r A

A

BB

.μεταβλητήτηναπόεξαρτάταιδενσταθεράμίαείναι rldECA

B

r

r

ΔΥΝΑΜΙΚΟ

,11

44

βρίσκουμεφορτίοσημειακόΓια

0

2

0

ab

r

r

b

a rr

qdr

r

qldEaVbV

b

a

.4

τότεάπειροστοαναφοράςσημείοτοθέσουμεανκαι0r

qrV

72

.γραμμήεπιφάνειαήισοδυναμικκαλείταιπουεπίπεδοχώρο

στονγραμμήεπιφάνειαμίαορίζεισχέσηΗ άCrV

.επιφάνειεςέςισοδυναμικ

στιςκάθετοείναιγραμμές,πεδιακές

ήδυναμικέςοικαιάρα,το

ότιπροκύπτεισχέσητηνΑπό

E

VE

ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

γραμμέςέςισοδυναμικ

γραμμέςδυναμικές

73

άπειρο.στοαναφοράςσημείοτοΘέστε.φορτίο

νοκατανεμημέομοιόμορφαέναφέρειπουακτίναςκελύφους

σφαιρικούεξωτερικόστοκαιεσωτερικόστοδυναμικότοΒρείτε

q

R

.για0καιγιαˆ1

4

:έχουμεGaussτουνόμοτονΑπό

2

0

RrERrrr

qE

.44

:γιαέχουμεΆρα,0

2

0 r

q

r

rdqldEVRr

rr

.44

0έχουμεΓια0

2

0 R

q

r

rdqάVERr

R

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟΥ ΦΛΟΙΟΥ

74

άπειρο.στοαναφοράςσημείοτοΘέστε.πυκνότηταμεφορτίο

νοκατανεμημέομοιόμορφαέναφέρειπουακτίναςσφαίρας

σφαιρικούεξωτερικόστοκαιεσωτερικόστοδυναμικότοΒρείτε

R

.3

4,

433:γιαέχουμεΆρα,

3

00

3

2

0

3 Rq

r

q

r

R

r

rdRldEVRr

rr

r

R

Rr

rdrErdrErdrErVRr έχουμεΓια

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΦΑΙΡΑΣ

.για,33

4

4

1

για,33

4

4

1

ότιδείξειΈχουμε

2

0

33

2

0

0

3

2

0

Rrr

RR

r

Rrrr

rrE

.

8

3

2

3

333 3

0

2222

000

3

R

rRqrRrd

r

R

R r

R

75

.30και2,1:σχέσειςτιςΈχουμε0

EEVE

4,:παίρνουμε2και1τιςαςΣυνδυάζοντ0

2

0

VV

.PoissonεξίσωσηλεγόμενηηείναιεξίσωσηΗ0

2

V

.0Laplaceεξίσωσητηνέχουμε0χώρουτουπεριοχήΣτην 2 V

ς.Λαπλασιανήτηςτελεστήςοείναιόπου2

2

2

2

2

22

zyx

Όντως.0αφού1τηςαπόρροιαφυσικάείναι3εξίσωσηΗ V

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ POISSON ΚΑΙ LAPLACE

.0ˆˆˆ

ˆˆˆ22

zyyz

V

zy

Vx

zVyVxV

zyx

zyx

V

76

.άπειροτοαναφοράςσημείομε4

δυναμικόδημιουργεί

αξόνωντωναρχήστηνφορτίοσημειακόότιδείξειΈχουμε

0r

qrV

q

.όπου,4

τότε,θέσηστηείναιφορτίοτοΑν0

rrww

qrVrq

.όπου,4

έχουμεθέσειςστιςφορτίωνσημειακώνσυλλογήΓια

1 0

ii

n

i i

i

ii

rrww

qrV

rqn

.όπου,4

1

έχουμεπυκνότηταςχώροστονφορτίωνκατανομήσυνεχήΓια

0

rrww

rdrrV

r

.4

:διαστάσεις2Σε0

2

Dw

adrrV

.

4

1:διάσταση1

0

1

Dw

ldrrV

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΦΟΡΤΙΟΥ

77 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΦΟΡΤΙΟΥ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

κατανομής.τηςδυναμικότοίυπολογιστε

Ναγ)πεδίου.ηλεκτρικούτουέντασηηίυπολογιστεΝαβ)κατανομής.

τηςφορτίοολικότοίυπολογιστεΝαα).για1και

για0πυκνότηταμεφορτίωνκατανομήσφαιρικήΔίνεται

2

2

0 ara

rr

arr

τότεφορτίοολικότοείναιΑνα):ΛΥΣΗ Q

.15

8

5344sin

3

0

33

00

2

0 0

2

0

2 aaadrrrdφddrrrQ

a

.ˆσυμετρίας,λόγωακτινικόπροφανώςείναιπεδίοηλεκτρικόΤοβ) rrEE

.ακτίναςσφαίρασεπάνωGaussτουνόμοτοεεφαρμόσουμΘα r

.3

515

44φορτίοπερικλείειμεΣφαίρα)

2

23

0

0

2

a

rrrdrrrQari

r

.3

515

4Επομένως2

2

0

0

0

2

a

rrrE

rQrrE

78 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΦΟΡΤΙΟΥ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

κατανομής.τηςδυναμικότοίυπολογιστε

Ναγ)πεδίου.ηλεκτρικούτουέντασηηίυπολογιστεΝαβ)κατανομής.

τηςφορτίοολικότοίυπολογιστεΝαα).για1και

για0πυκνότηταμεφορτίωνκατανομήσφαιρικήΔίνεται

22

0 ararr

arr

.ˆσυμετρίας,λόγωακτινικόπροφανώςείναιπεδίοηλεκτρικόΤοβ) rrEE

άρα,φορτίοπερικλείει

ακτίναμεΣφαίρα)

Q

arii .,

15

24

2

0

3

0

0

2 arr

arE

QrrE

.,1535) 0

22

0 ararrrEii

0.δηλαδήάπειρο,στοείναι0αναφοράςσημείοτοότιΈστω)γ VrV

άρακαιΕπομένως.πρέπειθασυμμετρίαςΛόγω

r

rdrErVrVrV

.15

2είναιΓια)

0

3

0

r

ardrErVari

r

είναιΓια) arii

.4

3

2

52

15 2

44222

0

0

a

ararardrErdrErV

r

a

a

σ

79

.ομοιόμορφηαπαραίτηταόχιπυκνότητα

μεφορτίουκατανομήήεπιφανειακμίαΈστω

Aε

:δίνεισχήματοςτουίπεδοπαραλληλεπ

στοGaussτουνόμουτουΕφαρμογή

1.)2 000

άάάά EEAQAEEadE

.0γιαιμηδενίζετα

ολοκλήρωμαόεπιφανειακπλευρικότο1)

σ

άE

άE

||

άE

||

άEε

l

2,δίνει0σχέσηΗ ||||

άά EEldE

.0γιαιμηδενίζετα

ολοκλήρωμαπλευρικότοαφού

.ˆ:σχέσηστηννσυνδυαστούναμπορούν2και1Οι0

nEE άά

ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

σχήματος.τουκαμπύληστητουοεπικαμπύλικλειστότοκαιΕξετάζουμε E

n

80

δυναμικό;τογιασυνθήκεςσυνοριακέςοιείναιΠοιες

σ

ε

:έχουμεορισμότονΑπό

.3συνθήκητηνέχουμεΆρα άά VV

.0για0 b

aab ldEVV

άE

άE

nVVnEE άάάάˆδίνειˆσχέσηηάλλητηνΑπό

00

βρίσκουμεˆμεγινόμενοεσωτερικότοΠαίρνοντας n

,ˆˆˆ00

n

V

n

VnnVVn άά

άά

ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

a

bn

.ˆκατεύθυνσηεπίπεδοτοπροςκάθετηστηντου

παράγωγοςκήδιανυσματιηείναιˆόπου

nV

Vnn

V

81

.στοτοαπόπεδίοηλεκτρικόσεμέσακινείταιφορτίοότιΈστω ba rrEQ

έχουμεμετακίνησητηναυτήνγιαέργοτοΓια W

.Q

WVrVrVQldEQldFW abab

r

r

r

rί

b

a

b

a

D

.στοτοαπόμετακίνησητηνγιααπαιτείταιπουφορτίουμονάδα

ανάέργοτομεισούταισημείωνδύομεταξύδυναμικούδιαφοράH

ba rr

γράψουμεναμπορούμετότεάπειροτοείναιαναφοράςσημείοτοΈαν

.

0

Q

WrVrVrVQW

ΕΡΓΟ – ΕΝΕΡΓΕΙΑ

;θέσειςσεφορτίωνσημειακών

κατανομήστατικήμίαείδημιουργηθναγιααπαιτείταιέργοΠόσο

ii rq

κατανομής.τηςενέργειαδυναμικήωςαιαποθηκεύετέργοΤο

82

.θέσηστηνβρίσκεταιφορτίοότιΈστω 11 rq

έργοαπαιτείταιθέσηστηάπειρο

τοαπόφορτίοφέρουμεναΓια

2

2

r

q

.όπου,4

12112

12

1

0

22 rrww

qqW

έργοαπαιτείταιθέσηστητο

απόφορτίοτώραφέρουμεναΓια

3

3

r

q

.καιόπου

,4

1

32233113

23

2

13

1

0

33

rrwrrw

w

q

w

qqW

.4

1έργο

απαιτείται,,τωνκατανομήηίδημουργηθεναγιαΕπομένως,

23

32

13

31

12

21

0

32123

321

w

qq

w

qq

w

qqWWW

qqq

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΦΟΡΤΙΩΝ

O

1q

1r

2q

2r

3q

3r

83

αλλιώςή,4

1

έργοαπαιτεί,,τωνκατανομήςτηςδημιουργίαH

23

32

13

31

12

21

0

123

321

w

qq

w

qq

w

qqW

qqq

.8

1

4

1έργοσυνολικό

απαιτείταιτωνκατανομήηίδημουργηθεναγιαΓενικά,

1 1010

n

i

n

ij

j ij

jin

i

n

ij ij

ji

w

qq

w

qqW

q

.αφού8

1

32

23

23

32

31

13

13

31

21

12

12

21

0

123 jiij www

qq

w

qq

w

qq

w

qq

w

qq

w

qqW

όπου,2

1

4

1

2

1:ακόμηΕίναι

11 ,1 0

n

i

ii

n

i

n

ijj ij

j

i rVqw

qqW

.,τωνλόγωσημείοστοδυναμικότοείναι4

1

,1 0

ijqrw

qrV ji

n

ijj ij

j

i

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΦΟΡΤΙΩΝ

84

γίνεταικατανομήδιακριτήγια2

1σχέσηΗ

1

n

i

ii rVqW

.όγκοσεπυκνότηταςκατανομήσυνεχήγια2

1ΩrdrVrW

Ω

.ενώ,PoissonεξίσωσητηναπόΑλλά, 0 rVrErEr

.22

:Επομένως 00

dVEEVVdEW

.22

200

VSS

dEadEVdVEadEVW

.0έχουμεκατανομέςσυνήθειςγια

τότεάπειροστοεκτείνεταιναςολοκλήρωσηόγκοτονπάρουμεΕάν

SadEV

.2

:βρίσκουμετελικάΈτσι 20

ώό

dEW

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΦΟΡΤΙΩΝ

βρίσκουμεαπόκλισηςτηςθεώρηματοαπότότετουσύνοροτοΑν ΩS

85

.φορτίουολικούκαιακτίναςσφαίραφορτισμένη

ομοιόμορφαμίασενηαποθηκευμέείναιπουενέργειατηνΒρείτε

qR

W

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΦΟΡΤΙΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

:τρόποςος1 1.2

1σχέσητηνήσουμεχρησιμοποιΘα

ί

VdW

.8

3είναιγιαότιβρειΈχουμε

3

0

22

R

rRqrVRr

3

4μεδίνει1ηπερίπτωσητηναυτήσεΕπομένως,

3Rq

.20

33

16

3

8

3

4

3

2

4

0

2

0

422

6

0

2

0

2

3

0

22

3 R

qdrrrR

R

qdrr

R

rRq

R

qW

RR

86

.φορτίουολικούκαιακτίναςσφαίραφορτισμένη

ομοιόμορφαμίασενηαποθηκευμέείναιπουενέργειατηνΒρείτε

qR

WΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΦΟΡΤΙΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

:τρόποςος2 2.2

σχέσητηνήσουμεχρησιμοποιΘα 20

ώό

dEW

3

4μεδίνει2ηπερίπτωσητηναυτήσεΕπομένως,

3Rq

.20

31

59

2

332

4

0

26

5

0

22

2

2

0

3

0

2

2

0

0

R

q

RR

Rdrr

r

Rdrr

rW

R

R

.για,33

4

4

1

για,33

4

4

1

ότιδείξειΈχουμε

2

0

33

2

0

0

3

2

0

Rrr

RR

r

Rrrr

rrE

ί

VdW2

1τομεσυμπίπτειαποτέλεσματο,περιμέναμεΌπως

87

.ιόνταήηλεκτρόνιαπ.χ.φορτίωνφορείςελεύθερουςφέρουναγωγοίΟι

αγωγού.τουεσωτερικόστοιμηδενίζεταπεδίοολικότοτελικάκαι

αγωγούενόςφορτίαταμετακινείπεδίουεξωτερικούενόςπαρουσίαΗ

αγωγού.κάθε

εσωτερικόστο0E

αγωγού.κάθεεσωτερικόστο0

ότιακόμηπροκύπτειPoissonεξίσωσητηνΑπό

0 E

πεδίο.εξωτ.τοακυρώνειφορτίαεπαγόμενατααπόπεδίοΤο

φορτία.άεπιφανειακμόνοφέρειναμπορείαγωγόςΈνας

.0τότεαγωγού,ενόςσημείαείναικαιΑν b

aabba ldErVrVrr

ός.ισοδυναμικείναι

αγωγόςκάθεΔηλαδή

αυτόν.σεκάθετοείναιαγωγού

τουεξωτερικόστοπεδίοΤο

ΑΓΩΓΟΙ

σχήματος.τουφορτίωνεπαγόμενωνδιάταξηη

προκύπτειτότεκοιλότητα,σεμέσαφορτίοέχειαγωγόςοΑν

αγωγός

88

αυτόν.απόέλκεταιτελικάέτσικαι

αγωγόένανσεφορτίαάεπιφανειακεπάγειφορτίοεξωτερικόΈνα q

q

ΑΓΩΓΟΙ: ΕΠΑΓΟΜΕΝΑ ΦΟΡΤΙΑ

89

αγωγό.τοναπόέξωπεδίοτοΒρείτε.φορτίοαιτοποθετείτκοιλότηταστην

Μέσακοιλότητα.εσωτερικήέχειακτίναςαγωγόςσφαιρικόςΑφόρτιστος

q

R

ότιβρίσκουμεεσωτερικόστοεπιφάνεια

σεGaussτουνόμοτοαςΕφαρμόζοντ

.φορτίοαρνητικόολικόιεμφανίζετα

κοιλότηταςεσωτερικήςτηςεπιφάνειαστην

q

επιφάνεια.τουεξωτερική

στηνιεμφανίζεταφορτίοολικόίσο

αφόρτιστοςαρχικάείναιαγωγόςοΑφού

q

ΕΠΑΓΟΜΕΝΑ ΦΟΡΤΙΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

είναιθαπεδίοτοαγωγότοναπόέξωτελικάεπομένωςαγωγού,

σφαιρικούτουεπιφάνειαστηνομοιόμορφαίκατανεμηθεθααυτόφορτίοΤο

.για,4 2

0

Rrr

qrE

90

γειωμένος.γ)καιφορτίοφέρειβ),αφόρτιστοςα):είναιφλοιόςοόταν

σφαίραςτηςδυναμικότοβρεθείναάπειρο,στοείναιαναφοράςσημείοτοΑν

.καιακτίναεξωτερικήκαιεσωτερικήέχειπουφλοιόαγώγιμοσφαιρικό

ομόκεντροαπόαιπεριβάλλετκαιφορτίοφέρειακτίναςσφαίραΑγώγιμη

21

q

RR

QRΑΓΩΓΟΙ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

του.εξωτερικόστοκαιφλοιούτουεσωτερικό

στοφορτίοεπάγεισφαίραςτηςφορτίοΤοα)

Q

QQ

R

1R

2R

.ˆείναισυμμετρίαςΛόγω rrErE

δίνειGaussτουνόμουτουΕφαρμογή

.για0

,καιγια4

21

212

0

RrRE

RrRrRr

QrE

.

111

444 210

2

0

0

2

01

1

2

2

RRR

Q

r

QdrdrE

r

QdrldEV

R

R

R

R

RR

σφαίραστηνδυναμικότογιαβρίσκουμεΕπομένως V

91 ΑΓΩΓΟΙ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

του.εξωτερικόστοκαιφλοιούτουεσωτερικό

στοφορτίοεπάγεισφαίραςτηςφορτίοΤοβ)

Qq

QQ

R

1R

2R

.ˆείναισυμμετρίαςΛόγω rrErE

δίνειGaussτουνόμουτουΕφαρμογή

2112

0

για0,για4

RrRERrRr

QrE

.

4

1

44 2210

2

0

2

01

2

R

q

R

Q

R

Q

R

Q

r

Qdr

r

drqQldEV

R

R

RR

σφαίραστηντογιατώραβρίσκουμεΆρα V .για4

και 22

0

Rrr

qQrE

γειωμένος.είναιγ)καιφορτίοφέρειβ),αφόρτιστοςείναια):φλοιόςοόταν

σφαίραςτηςδυναμικότοβρεθείναάπειρο,στοείναιαναφοράςσημείοτοΑν

.καιακτίναεξωτερικήκαιεσωτερικήέχειπουφλοιόαγώγιμοσφαιρικό

ομόκεντροαπόαιπεριβάλλετκαιφορτίοφέρειακτίναςσφαίραΑγώγιμη

21

q

RR

QR

92 ΑΓΩΓΟΙ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

του.εξωτερικόστοκαιφλοιούτουεσωτερικό

στοφορτίοεπάγεισφαίραςτηςφορτίοΤογ)

Q

QQ

R

1R

2R

.0τότεγειωμένος,είναιφλοιόςοΕάν 2 RV

.φορτίοεπάγειαλλιώςήφλοιού,τουεξωτερικό

τοαπόφορτίοτοαφαιρείγείωσηηΕπομένως,

Q

Q

,για4

:τώραείναιΈτσι 12

0

RrRr

QrE

.11

44 10

2

01

RR

Q

r

QdrldEV

R

R

R

σφαίραστηντογιαβρίσκουμεΆρα V .για0και 1RrrE

γειωμένος.γ)καιφορτίοφέρειβ),αφόρτιστοςα):είναιφλοιόςοόταν

σφαίραςτηςδυναμικότοβρεθείναάπειρο,στοείναιαναφοράςσημείοτοΑν

.καιακτίναεξωτερικήκαιεσωτερικήέχειπουφλοιόαγώγιμοσφαιρικό

ομόκεντροαπόαιπεριβάλλετκαιφορτίοφέρειακτίναςσφαίραΑγώγιμη

21

q

RR

QR

93

.φορτίααντίθετακαιίσαφέρουναγωγοίδύοότιΈστω Q

rrww

dwrrE

2

04

ˆσχέσηβασικήτηνΑπό

.φορτίουτουανάλογοείναιπεδίοτοότιπροκύπτει Q

.τουανάλογηείναιδυναμικούδιαφοράηκαιΆρα QldEVVV

διάταξης.τηςταχωρητικότητηορίσουμεναμπορούμεΈτσι VQC

.διάταξηςτηςτικάχαρακτηρισγεωμετρικάτααπόεξαρτάταιταχωρητικότηΗ

.VoltCoulombFarad,FFaradτοείναιτηςμέτρησήςμονάδαΗ

.F10pFτοκαιF10μFτοσυνήθωςείταιχρησιμοποιπράξηΣτην -12-6

ΠΥΚΝΩΤΕΣ – ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ

94

τους.μεταξύαπόστασησεκρατούνταικαιεμβαδό

έχουνπουπλακώνεπίπεδωνπαράλληλωνδύοταχωρητικότητηνΒρείτε

dA

x

x2 0

E x

2 0

E x

2 0

E

x2 0

E x

2 0

E x

2 0

E

Ι ΙI ΙII

σ

1

σ

2

x0

E

καιπροσέγγισηκατά

έχουμετότεανΕπομένως,

0

E

dA

.0

0 d

A

d

A

Ed

A

V

QC

D

ΠΥΚΝΩΤΕΣ – ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

μέτροκατάείναιπεδίο

ομογενέςγιαότιπροκύπτει

σχέσητηνΑπό D EdxV

EdV D

95

πυκνωτή.τουφορτίοτοόπου

,δυναμικούδιαφοράέχειταςχωρητικότηπυκνωτήςότιΈστω

q

CqVC

πόλο.θετικόστοναρνητικότοναπόφορτίο

θετικόεμεταφέρουμναπρέπειπεραιτέρωφορτίσουμεναΓια

dq

.1έργοαπαιτείαυτήμετακίνησηΗC

qdqVdqdW

:φορτίομεπυκνωτήτονφορτίσουμε

ναγιααπαιτείταιπουέργοολικότοδίνει1τηςΟλοκλήρωση

Q

.2

1

2

1 22

0CV

C

Q

C

qdqW

Q

.πυκνωτήτουενέργειαδυναμικήωςαιαποθηκεύετ2

1αυτόέργοΤο 2CV

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΥΚΝΩΤΗ

96 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΑΠΟ ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΚΕΛΥΦΗ

.καιακτίνων

κελύφημεταλλικάομόκεντραδύοέχουνπουταχωρητικότητηΒρείτε

ba

.καιφορτίαολικάέχουνκελύφηταότιΈστω QQ

βρίσκουμεσυμμετρίαςσφαιρικήςλόγωκαιGaussτουνόμοτοΑπό

είναιθααγωγώνδύοτωνμεταξύ

δυναμικούδιαφοράηΕπομένως,

.11

44 0

2

0

D ba

Qdr

r

QldEV

a

b

a

b

.4είναισυστήματοςτουταχωρητικότηηΆρα 0ab

ab

V

QC

D

.82

1είναιπυκνωτήστονενέργειανηαποθηκευμέΗ

0

22

ab

abQVCW

D

.γιαˆ4 2

0

brarr

QE

ab

Q

Q

97

.Poissonεξίσωσηςτηςμέσωαλλάτων,ολοκληρωμά

σχετικώντωνμέσωόχιφορτίουκατανομήςμιαςδυναμικό

τοήπεδίοτοουμεπροσδιορίσναοπροτιμότερείναιφορέςΠολλές

0

2

V

,10:Laplaceεξίσωσητηνέχουμε

φορτίαχωρίςχώρουτουπεριοχήΣε

2 V

2.0δηλαδή2

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

V

σταθερές.καιόπου,0έχουμεδιάστασημίαΣε2

2

babaxxVdx

Vd

σταθερά.όπου,32διάστασημίασεείναιΈτσι ccxVcxVxV

ακρότατα.τοπικάέχουν

δενLaplaceεξίσωσηςτηςλύσειςοιδιάστασημίασεΠροφανώς

ΕΞΙΣΩΣΗ LAPLACE

98

4.0μορφήτηπαίρνειLaplaceεξίσωσηηδιαστάσειςδύοΣε2

2

2

2

y

V

x

V

.,σημείοτοκέντροκαιακτίναέχειπου

κύκλοσεπάνωτηςοεπικαμπύλιτο5,2

1,

yxR

VVdlR

yxVύ

ακρότατα.τοπικάέχουνδενLaplaceεξίσωσης

τηςλύσειςοιδιαστάσειςδύοσεκαιότιδείχνει5σχέσηΗ

σχέσητηικανοποιεί4τηςλύσηηότιδειχτείναΜπορεί

.σημείοτοκέντροκαιακτίναμεσφαίρασεπάνωολόκληρωμαγια

64

1μορφήτηνπαίρνει5ηδιαστάσειςτρειςΣτις

2

rR

VdaR

rVί

ακρότατα.τοπικάέχουνLaplaceεξίσωσηςτηςλύσειςοιδιαστάσεις

τρειςστιςούτεότιδείχνει6σχέσηη,διαστάσειςδύοκαιμίαστιςΌπως

ΕΞΙΣΩΣΗ LAPLACE

99

.όγκουτουσύνοροστοσυνάρτησηηκαθορισμένείναιδυναμικότοαν

αμονοσήμαντεταιπροσδιορίζόγκοένανσεLaplaceεξίσωσηςτηςλύσηΗ

SV

Ω

Ωόγκοστον

δυναμικότοΖητούμεS

V

σύνοροστοοκαθορισμέν

είναιδυναμικόΤο:Απόδειξη

.σύνοροστοσυνθήκες

ίδιεςτιςνικανοποιούπουκαι

λύσειςδύουπάρχουνότιΈστω

21

S

VV

.σύνοροστοιμηδενίζετακαι0Laplace

εξίσωσητηνικανοποιείσυνάρτησηηΤότε

3

2

213

SV

VVV

ακρότατατοπικάέχουνδενLaplaceεξίσωσηςτηςλύσειςοιόμωςΕπειδή

....δηλαδή,όγκοστονπαντού0είναι 213 έόVVΩV

.όγκοστονπυκνότηταδεδομένηγιαPoissonεξίσωσητην

γιακαιισχύειλύσηςτηςταμοναδικότηηότιδείχνειαπόδειξηΠαρόμοια

0

2 ΩV

1ο ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ

100

παντού.δυναμικούσυνάρτησητηΒρείτε.καιείναιδυναμικόκαι

,ακτίνεςέχουνπάχουςαμελητέουφλοιοίσφαιρικοίομόκεντροιΔύο

21

21

VV

RR

συνθήκεςσυνοριακέςτιςγια0LaplaceεξίσωσητηνλύσουμεΘα 2 V

είναινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε

άρακαισυμμετρίαςσφαιρικήςΛόγω rVrV

ΕΞΙΣΩΣΗ LAPLACE: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

1V

2V

.2,1 2211 VRVVRV

.sin

1sin

sin

112

2

222

2

2

2

φ

f

r

f

rr

fr

rrf

301 2

2

2

r

Vr

rrV 1

2 Cdr

dVr

4.21

21 Cr

CrV

r

drCdV

βρίσκουμε2και1τιςΑπό

.2122112

2121211

2212

2111

RRVRVRC

RRRRVVC

CRCV

CRCV

άπειροστοίσωςσύνορο,εξωτερικό

101

αγωγό.κάθεσεπάνω

φορτίοολικότογνωστόείναιανορισμένοαμονοσήμαντείναι

πεδίοηλεκτρικότοφορτίουπυκνότηταηκαθορισμέν

μίαπεριέχεικαιαγωγούςπερικλείειπουόγκοένανΣε

Ω

ορισμένο

1Q

2Q

3Q

ςολοκλήρωση

επιφάνειες

2ο ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ

εξισώσεων.διαφορικώνεπίλυση

τηνχωρίςτικήςηλεκτροστα

νπροβλημάτωεπίλυσητην

ςπεριπτώσεικάποιεςσεεπιτρέπει

πουειδώλωντωνμέθοδο

λεγόμενητηδυνατήκάνουν

ταςμοναδικότηθεωρήματαΤα

102

επίπεδο.τοαπόπάνωχώροστονδυναμικότοΒρείτε.φορτίοσημειακό

υπάρχειεπίπεδογειωμένοαγώγιμοάπειροαπόπάνωαπόστασηΣε

q

d

x

y

z

q

d

0V

x

y

z

d

q

q

d

συνθήκεςτιςγιαPoissonεξίσωσηςτηςλύσηΑναζητούμε

.για0)2,0για01) rVzV

.,0,0και,0,0θέσειςστις

φορτίωνδύοσύστηματοεξετάσουμεAς

ddq

είναιφορτίαδύοτανδημιουργούπουδυναμικόΤο

.0χώροτονγιαεπίπεδοτομε

ςπροβλήματοτουλύσητηκαιδίνειότιπροκύπτει

ταςμοναδικότηθεώρηματοαπό2),και1)

συνθήκεςτιςικανοποιείαυτόδυναμικότοΕπειδή

z

.4

1,,

2222220

dzyx

q

dzyx

qzyxV

Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΙΔΩΛΩΝ: ΕΠΙΠΕΔΗ ΠΛΑΚΑ

Άρα.4

1,,

2222220

dzyx

q

dzyx

qzyxV

103

επίπεδο.τοαπόπάνωχώροστονδυναμικότοΒρείτε.φορτίο

σημειακόυπάρχειγειωμένηαγώγιμηάπειρηαπόπάνωαπόστασηΣε

q

d

x

y

z

q

d

0V επίπεδο;στοεπάγεταιπουφορτίοτοείναιΠοιο

έχουμεπερίπτωσητηναυτήσεκαιΕίναι 0n

V

όπου,0

0

zz

V

νες.συντεταγμέπολικέςσε2

,,2

,232223222 dr

qdφr

dyx

qdyx

.:είναιφορτίοεπαγόμενοολικόTο

0

22

2

0 0q

dr

qdrdrrdφQ

Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΙΔΩΛΩΝ: ΕΠΙΠΕΔΗ ΠΛΑΚΑ

:επίπεδοτοαπόαπόστασησεφορτίοτοφέρουμεναγιααπαιτείται

πουέργοτοαπόβρούμετηνναμπορούμεσυστήματοςτουενέργειαΤην

dq

104

επίπεδο.τοαπόπάνωχώροστονδυναμικότοΒρείτε.φορτίο

σημειακόυπάρχειγειωμένηαγώγιμηάπειρηαπόπάνωαπόστασηΣε

q

d

x

y

z

q

d

0V επιπέδου;τουκαιφορτίουτουμεταξύδύναμηηείναιΠοια

δηλαδή,,0,0θέσειςσεειδώλωνδύο

τωνμεταξύδύναμηηείναιγιατί;Προφανώς

dq

z

d

qF ˆ

24

12

2

0

.161616 0

2

0

2

2

0

2

d

q

z

q

z

dzqldFW

ddd

επιπέδου.τουπερίπτωσηστην0γιαμηδένείναιπεδίοτοαφού

ειδώλων,τωνσυστήματοςτουενέργειαςτηςμισότοείναιΑυτό

z

Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΙΔΩΛΩΝ: ΔΥΝΑΜΗ – ΕΝΕΡΓΕΙΑ

R

105

σφαίρα.τηαπόέξωδυναμικότοΒρείτε.ακτίναςσφαίρας

γειωμένηςαγώγιμηςκέντροτοαπόαπόστασησεαιτοποθετείτΦορτίο

R

aq

qa

0V

ba

Q q

συνθήκεςτιςγιαPoissonεξίσωσηςτηςλύσηΑναζητούμε

.για0)2,για01) rVRrV

σφαίρας.τηςκέντροτοαπόθέσησε

καιφορτίαμεσύστηματοεξετάσουμεΑς

bQ

q

;ευθείαστηνπάνωσημείασταιμηδενίζετανα

δυναμικότοώστεούτωςκαιταείναιναπρέπειΠοια

qQRx

Qb

Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΙΔΩΛΩΝ: ΑΓΩΓΙΜΗ ΣΦΑΙΡΑ

x

O

:ισχύειναΠρέπει

1,0

44 00

bR

Q

Ra

q

2.0

44 00

Rb

Q

Ra

q

.,δίνει2και1τωνσυστήματοςτουλύσηΗ2

a

Rb

a

RqQ

R

R

106

σφαίρα.τηαπόέξωδυναμικότοΒρείτε.ακτίναςσφαίρας

γειωμένηςαγώγιμηςκέντροτοαπόαπόστασησεαιτοποθετείτΦορτίο

R

aq

qa

0V

b

r

w w

a

q q

συνθήκεςτιςγιαPoissonεξίσωσηςτηςλύσηΑναζητούμε

.για0)2,για01) rVRrV

σφαίρας.τηςκέντρουτουδεξιάθέσηστη

καιφορτίαμεσύστηματοεξετάσουμεΑς

2 aRb

aRqqq

είναιφορτίαδύοτανδημιουργούπουδυναμικόΤο

νσυνημιτόνωτωννόμοτοΑπό.4 0wqwqrV

.cos2

1

cos2

1

4 22220

raRraRraar

qrV

cos2καιcos2 222222 rbrbwraraw

βρίσκουμεΤελικά

ζητάμε.πουλύσηηείναι1η0είναιγιαΕπειδή VRr

Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΙΔΩΛΩΝ: ΑΓΩΓΙΜΗ ΣΦΑΙΡΑ

107

σημείο.μακρινόένασενδημιουργούπουδυναμικότοΒρείτε

τους.μεταξύαπόστασησεβρίσκονταιφορτίασημειακάΔύο dq

q q

r r

r

έχουμενσυνημιτόνωτωννόμοτοΑπό

.4

cos1cos22

22222

r

d

r

drrddrr

2d 2d

drr με,θέσησεδυναμικότογιαέχουμεΕπομένως,

.4

cos

2

cos1

2

cos1

1

44

1,

2

000 r

qd

r

d

r

d

r

q

r

q

r

qrV

cos2

11

cos111

έχουμεγιαΆρα,

21

r

d

rr

d

rrdr

3221

16

5

8

3

2

111Taylorανάπτυγματοβάσημε xxxx

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ

108

σημείο.μακρινόένασενδημιουργούπουδυναμικότοΒρείτε

τους.μεταξύαπόστασησεβρίσκονταιφορτίασημειακάΔύο dq

q q

r rr

2d 2d

:τάξηςανώτερηςπολύπολααπόμακριάδυναμικότο

βρούμεναμπορούμεTaylorανάπτυγμαστοόρους

ουςπερισσότερκρατώνταςκαιτρόποπαρόμοιοΜε

cos2

11

cos111

έχουμεγιαΆρα,

21

r

d

rr

d

rrdr

211Taylorανάπτυγματοβάσημε21

xx

rV 1~

Μονόπολο

21~

Δίπολο

rV 31~

Τετράπολο

rV 41~

Οκτάπολο

rV

ΠΟΛΥΠΟΛΑ

109

σημείο.μακρινόένασενδημιουργούπουδυναμικότοΒρείτε

τους.μεταξύαπόστασησεβρίσκονταιφορτίασημειακάΔύο dq

έχουμενσυνημιτόνωτωννόμοτοΑπό

.4

cos1cos22

22222

r

d

r

drrddrr q q

r r

r

2d 2d

drr με,θέσησεδυναμικότογιαέχουμεΕπομένως,

.4

cos

2

cos1

2

cos1

1

44

1,

2

000 r

qd

r

d

r

d

r

q

r

q

r

qrV

cos2

11

cos111

έχουμεγιαΆρα,

21

r

d

rr

d

rrdr

3221

16

5

8

3

2

111Taylorανάπτυγματοβάσημε xxxx

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ

.σχεδόνισχύει4

cos,σχέσηητότεμικρόπολύείναιτοΑν

2

0

rr

qdrVd

110

σημείο.μακρινόένασενδημιουργούπουδυναμικότοΒρείτε

τους.μεταξύαπόστασησεβρίσκονταιφορτίασημειακάΔύο dq

q q

r rr

2d 2d

:τάξηςανώτερηςπολύπολααπόμακριάδυναμικότο

βρούμεναμπορούμεTaylorανάπτυγμαστοόρους

ουςπερισσότερκρατώνταςκαιτρόποπαρόμοιοΜε

cos2

11

cos111

έχουμεγιαΆρα,

21

r

d

rr

d

rrdr

211Taylorανάπτυγματοβάσημε21

xx

rV 1~

Μονόπολο

21~

Δίπολο

rV 31~

Τετράπολο

rV 41~

Οκτάπολο

rV

ΠΟΛΥΠΟΛΑ

111

φορτίου.κατανομήτηναπόμακριάσημείοσεδυναμικότοβρούμε

ναΘέλουμε.φορτίουκατανομήυπάρχειχώρουτουπεριοχήΣε

P

r

d

O

r

Pr

w

.4

είναισημείοστοδυναμικόΤο0

w

drrVP

έχουμενσυνημιτόνωνόμοτοΑπό

,cos21cos2

2

22 r

r

r

rrrrrrw

.cos2όπου,1αλλιώςή

2

r

r

r

rrw

δίνει16

5

8

3

2

111TaylorανάπτυγματοΈτσι 3221

.για1

Προφανώς

rr

32

16

5

8

3

2

11

1

1

11

rrw

ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ: ΣΥΝΕΧΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

112

φορτίου.κατανομήτηναπόμακριάσημείοσεδυναμικότοβρούμε

ναΘέλουμε.φορτίουκατανομήυπάρχειχώρουτουπεριοχήΣε

P

r

d

O

r P

r

w

1.4

είναισημείοστοδυναμικόΤο0

w

drrVP

.cos2

,16

5

8

3

2

11

112

232

r

r

r

r

rw

:βρίσκουμε1τηναπόΤελικά

3

22

2

0

2

1cos3'cos

4

1

r

drr

r

drr

r

drrV

μονόπολουόρος δίπολουόρος τετράπολουόρος

ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ: ΣΥΝΕΧΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

113

φορτίου.κατανομήτηναπόμακριάσημείοσεδυναμικότοβρούμε

ναΘέλουμε.φορτίουκατανομήυπάρχειχώρουτουπεριοχήΣε

P

r

3

22

2

0

2

1cos3'cos

4

1

r

drr

r

drr

r

drrV

Q

μονόπολουόρος δίπολουόρος

.4

1

0 r

QV

,

ˆ

4

1ˆ

4

1ˆ

4

12

0

2

0

2

0 r

rp

r

drrr

r

drrrV

βρίσκουμεˆcosσχέσητηώνταςΧρησιμοποι rrr

.κατανομήςτηςροπήδιπολικήηείναιόπου rdrrp

ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ: ΣΥΝΕΧΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

114

δίνειδυναμικούτουςυπολογισμόοθέσειςσεφορτίων

σημειακώνσυλλογήδιακριτήείναικατανομήηπουπερίπτωσηΣε

ii rq

2

0

cos

4

1

r

rq

r

q

rVii

i

i

Q

i

i

μονόπολουόρος δίπολουόρος

,ˆ

4

12

0 r

rpV

βρίσκουμεˆcosσχέσητηώνταςΧρησιμοποι ii rrr

.κατανομήςτηςροπήδιπολικήηείναιόπου1

rrqpn

i

ii

ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ: ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

115

καιτότεσημείοστοαξόνωντωναρχήτηναλλάξουμεΑν arra

,γίνεταιροπήδιπολικήηκαι aQpdrardrrp

κατανομής.τηςφορτίοολικότοείναι drQ

φορτίο.ολικόμηδενικόέχουνπουφορτίουκατανομέςγιαμόνο

αξόνωντωναρχήςτηςανεξάρτητηείναιροπήδιπολικήηΕπομένως

ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ: ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ – ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

:έχουμεροπήδιπολικήολικήτηνΓια.τετραγώνουτουκέντρο

τοαξόνωντωναρχήωςδιαλέγουμεκαιμηδένείναιφορτίο

ολικόΤο.2πλευράςτετραγώνουκορυφέςστιςφορτίαΈστω

O

aq

.0,,,, aaqaaqaaqaaqrqp ii

:τώραΕίναι.τοαρχήωςδιαλέγουμεκαι0ξανάΕίναι OQ

.0,4,,,, aqaaqaaqaaqaaqp

O

O

κά.διανυσματιαιπροστίθεντροπέςδιπολικέςΟι

116

κέντρο.τοαπόαπόστασησεβ)δακτυλίου,τουκέντροστοα)

βρίσκεταιφορτίοσημειακότοότανσυστήματοςτουροπήδιπολική

τηνΒρείτε.φορτίοσημειακόίτοποθετηθεέχειτουεσωτερικόστο

ενώ,φορτίονοκατανεμημέομοιόμορφαφέρειακτίναςΔακτύλιος

Ra

Q

QR

ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Q

περίπτωσητηναυτήνσεδίνειτύποςΟα) rdqrp

δακτυλίου.τουκέντροτοαξόνωντωναρχήωςΕπιλέγουμεQ

.02

sinˆcosˆ02

0

dq

r

RdR

QRyRxQp

Q

Q

προφανώςβρίσκουμεμεκέντροτοαπό

διάνυσμακατάαιμετακινείττοΌτανβ)

aa

aQ

.2

sinˆcosˆ2

0aQRd

R

QRyRxaQp

dq

r

a

117

.τοείναιροπής

διπολικήςηλεκτρικήςμέτρησηςμονάδαηSIσύστημαΣτο

meterCoulomb

ΜΟΝΑΔΕΣ ΔΙΠΟΛΙΚΗΣ ΡΟΠΗΣ, ΠΟΛΙΚΑ ΜΟΡΙΑ

H H

-O

o105

p

.καλούνταιαυτόγιακαιροπές

διπολικέςεγγενείςέχουνμόριαΜερικά

πολικά

νερού.τουμόριοτοείναιμορίου

πολικούπαράδειγματικόΧαρακτηρισ

.φορτισμένοαρνητικάείναιοξυγόνουτουαυτό

ενώφορτίο,θετικόφέρουνυδρογόνουάτομαΤα

.ροπήδιπολικήεμφανίζειναμόριοτοείναιαποτέλεσμαΤο p

.σεσυνήθωςμετρούνταιμορίωνροπέςδιπολικέςΟι DDebye

.1033.3A208.0A1 30oo

mCeesuD

1.85D:OH21.42D:NH3

0.53D:O3 0.12D:CO 0D:CO2

118

1,

4

cosˆ

4

12

0

2

0 r

drr

r

rpV

.κατανομήςτηςροπήδιπολικήηείναιόπου rdrrp

.καιθέσειςσε,φορτίαδύοέχειδίπολοφυσικόΈνα 2121 rrqqqq

.όπου,είναιροπήτουδιπολικήΗ 21 rrddqp

είναιπερίπτωσητηναυτήσεδυναμικότοότιδείξειΈχουμε

.1τηνμεσυμβατήείναι2εξίσωσηΗ

ο.πεπερασμένπαραμένεινατοώστετρόποτέτοιο

με,0οποίοτογιααυτόείναιδίπολοιδανικόΤο

qdp

qd

ΦΥΣΙΚΟ – ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ

2.4

cos2

0r

qdrV

q q

r r

r

2d 2d

119

2

04

cosδυναμικότοΑπό

r

prV

.πεδίοηλεκτρικότοβρίσκουμε VE

,4

cos2έχουμενεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε

3

0r

p

r

VEr

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΔΙΠΟΛΟΥ

.0sin

1,

4

sin13

0

φ

V

rE

r

pV

rE φ

φορτίασημειακάΔύο δίπολοΙδανικό

120

2

04

cosδυναμικότοΑπό

r

prV

:νεςσυντεταγμέσφαιρικέςσε

πεδίοηλεκτρικότοβρίσκουμε VE

.0sin

1,

4

sin1,

4

cos23

0

3

0

φ

V

rE

r

pV

rE

r

p

r

VE φr

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΔΙΠΟΛΟΥ

φορτίασημειακάΔύο δίπολοΙδανικό

y

z

ωςγραφτείναμπορείδιπόλουιδανικούδυναμικόΤο

.144

ˆ

4

cos3

0

2

0

2

0 r

rp

r

rp

r

prV

121

ωςγραφτείναμπορείδιπόλουιδανικούδυναμικόΤο

zyxrpppp zyx ,,,,,έχουμενεςσυντεταγμέςκαρτεσιανέΣε

x

VEVE xβρίσκουμεπεδίοηλεκτρικότοΓια

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΔΙΠΟΛΟΥ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

.44

3

4

2

2

3

43

0

5

0

25222

0

23222

0r

p

r

rpx

zyx

rpx

zyx

pE xx

x

.144

ˆ

4

cos3

0

2

0

2

0 r

rp

r

rp

r

prV

2.4

άρακαι23222

0 zyx

zpypxprV

zyx

3

0

5

0

3

0

5

0 44

3,

44

3:Ομοίως

r

p

r

rpzE

r

p

r

rpyE z

z

y

y

.

4

ˆˆ3

44

3:μορφήκήδιανυσματισεκαι

3

0

3

0

5

0 r

prrp

r

p

r

rrpE

122

dO

q

q

r

r F

F

E

.μεθέσειςστιςφορτίαμεδίπολοέναΈστω drrrq

στρέψηςροπήασκείπεδίο

ηλεκτρικόδίπολοτέτοιοέναΣε

E

Eq

dEq

dFrFrN

22

,EpEdqN

ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ: ΡΟΠΗ ΣΤΡΕΨΕΩΣ

.πεδίοτομεδίπολοτοζειευθυγραμμίοποίαη E

q

q

qq

.στοδηλαδήαυτόσεκάθετοςείναικαι

διπόλου.τουκέντροτοαπόπερνάειπουςπεριστροφήάξονα

απόγύρωςπεριστροφέσεβέβαιααναφέρεταιροπήΗ

p

N

123

d

O

q

qr

r

F

F

E

.σημείοστοδυναμικότοόπου,είναι

φορτίουτουενέργειαδυναμικήΗ

11

rVqV

q

1coscos

είναιδιπόλουτουενέργειαδυναμικήη 2121

d

VVqdVVqU

.cossin:άΕναλλακτικ00

EppEdpENdU

ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Άρα,.θέσηστηδυναμικότοόπου,είναι

φορτίουτουενέργειαδυναμικήηΑντίστοιχα

22

rVqV

q

x

.cosκαιcos

είναι0Για 2121 EppEUEdx

dV

x

VV

d

VVd

D

.έχουμεδύναμητηνΓια EpUF

ABBAABBABA

ταυτότητατηνΑπό

.βρίσκουμε

000

EppEEppEEpF

xD

.2για0ωςορίζεταιαναφοράςστάθμηηεδώΠροφανώς 00 U

124

;αντίστοιχακαιθέσειςσεβρίσκονταιπουκαι

διπόλωνδύοασηςαλληλεπίδρενέργειαδυναμικήηείναιΠοια

2121 rrpp

U

.

4

ˆˆ3:Άρα

3

120

1221212112

r

rprpppEpU

ΔΙΠΟΛΟ ΣΤΗΝ ΓΕΙΤΟΝΙΑ ΔΙΠΟΛΟΥ

όπου,

4

ˆˆ3:πεδίοδημιουργείδίπολοτοότιδείξειΈχουμε

3

120

11212111

r

prrpEp

.δηλαδή,θέσητηπροςωςορίζεταιθέσηςδιάνυσματο 1212112 rrrrr

:έχουμεδιπόλωντωνμεταξύδύναμητηΓια F

z

Ep

y

Ep

x

EpEpF zyx

12

12

1212

.πεδίουτουγραμμέςδυναμικέςτιςμεδίπολοτο

σειευθυγραμμίνατείνειπουστρέψηςροπήκαιΥπάρχει

12

122

Ep

EpN

125

.ισορροπίαςκατάστασητηνρείτενται.περιστρέφοναμπορούν

καιαπόστασησταθερήσεβρίσκονταιροπήςμέτρομεδίπολαΔύο

ap

.

4

ˆˆ3ασηςαλληλεπίδρενέργειαςτης

ίησηελαχιστοποτηναπόπροκύπτειισορροπίαςκατάστασηΗ

3

120

12212121

r

rprpppU

ΔΙΠΟΛΟ ΣΤΗΝ ΓΕΙΤΟΝΙΑ ΔΙΠΟΛΟΥ: ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ

:ταΠαραδείγμα

:0,θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)1 21 ayppxpp

.0

4

030,ˆˆ

3

0

12

a

pUxr

.0

4

030,ˆˆ

3

0

12

a

pUyr

:,0θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)2 21 ayppxpp

.

24

2

4

3,ˆˆ

3

0

2

3

0

2

3

0

2

12a

p

a

p

a

pppUxr

:0,θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)3 21 axppxpp

x

y

z

x

y

z

x

y

z

126

.ˆροπήσείπεριστραφεναςταυτοχρόνωκαιεπίπεδοτοαπό

2απόστασησεδίπολοτομεταφερθείναγιααπαιτείταιπουέργο

τοΒρείτε.επίπεδοτοεικαταλαμβάνπουπλάκααγώγιμηγειωμένη

απόαπόστασησεαρχικάβρίσκεταιˆροπήςδίπολοΙδανικό

2

1

zpp

aW

xy

aypp

ΔΙΠΟΛΟ ΣΤΗΝ ΓΕΙΤΟΝΙΑ ΓΕΙΩΜΕΝΗΣ ΠΛΑΚΑΣ

x

y

z0V

1p

1p

a

a

πλάκα.-δίπολοσύστηματογιαπρόβλημα

τικόηλεκτροστατολύσουμεναΧρειάζεται

ειδώλων.τωνμέθοδοτημεεύκοληείναιλύσηΗ

Π.χ,ό.κατοπτρισμαπόπροκύπτειδιπόλουείδωλοΤο

.0,0,θέσηστηˆτοείναιˆτουείδωλοτο 11 ayppypp

:είναι-των

ενέργειαδυναμικήΗ

11 pp

.3224

ˆˆ33

0

2

3

0

11111

a

p

a

zpzpppU

.2,0,0θέσηστηνˆτοείναιτουείδωλοτοΟμοίως, 22 azppp

.

128

5:Άρα.

12844

3τώραΕίναι

3

0

2

123

0

2

3

0

22

2a

pUUW

a

p

a

ppU

127

:σευλικάταεδιακρίνουμφορτίωντωνφύσητηνμεΑνάλογα

αγωγού.τουχώροτονόλοσεκινούνταικαι

άτοματααπόξεφύγειέχουνπουφορτίαελεύθερα""Υπάρχουν:Αγωγοί

υλικού.τουάτομασταδέσμια

παραμένουνηλεκτρόνιαταφορτία,ελεύθερα""υπάρχουνΔεν:Μονωτές

.καικαλούνταιμονωτέςΟι άδιηλεκτρικ

μέταλλα.ταείναιαγωγοίΤυπικοί

.SiOπ.χ.οξείδιαείναιμονωτέςΤυπικοί 2

α.αγωγιμότητηλεκτρικήυψηλήέχουναγωγοίΟι

α.αγωγιμότητμηδενικήπρακτικάσυχνάχαμηλήπολύέχουνμονωτέςΟι

.προσμίξεωνύπαρξητηνκαι/ήαθερμοκρασίτηναπόεξαρτάταιααγωγιμότητ

ηοποίωντωνημιαγωγών,τωνκατηγορίαενδιάμεσηηκαιΥπάρχει

ΑΓΩΓΟΙ – ΜΟΝΩΤΕΣ (ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ)

128 ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΙΔΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ

1-5 cm για μέταλλα

(π.χ. Ag, Cu, Al)

3.5 X 103 cm για

γραφίτη

(ημιμέταλλο)

2.3 X 1011 cm για Si

(ημιαγωγός)

~ 1025 cm για

χαλαζία, SiO2

(μονωτής)

Πυκνή δομή, π.χ. κυβική εδροκεντρωμένη (FCC)

129

.ροπήςδιπολικήςεμφάνισητηναποτέλεσματελικόμεταιμετατοπίζε

νέφοςκόηλεκτρονιατοτότεπεδίοηλεκτρικόσεμέσατεθείάτομοέναΑν

p

ατόμου.τουταπολωσιμότη

λεγόμενηηείναιόπου,Είναι αEp

.κατάσφαίρας

τηςκέντροτοαπόταιμετατοπίζεμε

φορτίομεπυρήναςοότιυποθέσουμεΑς

dq

q

καιροπήδιπολικήιεμφανίζεταΈτσι qdp

.4

1πεδίοηλεκτρικό

3

0 r

qdE

ατόμου.τουακτίναηείναιόπου

,γιατοαπόακυρώνεταιπεδίο

εξωτερικότοισορροπίαςκατάστασηΣτη

a

arE

.344

1βρίσκουμεΈτσι 0

3

03

0

όόaEEa

qd

ΠΟΛΩΣΗ – ΕΠΑΓΟΜΕΝΟ ΔΙΠΟΛΟ

130 ΤΑΝΥΣΤΗΣ ΠΟΛΩΣΙΜΟΤΗΤΑΣ

:τανυστήςέναςείναιταπολωσιμότηηπερίπτωσηγενικότερηΣτην

δηλαδή,Eαp

.

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

E

E

E

p

p

p

όδιηλεκτρικ

131 ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ – ΠΟΛΩΣΗ ΚΑΙ

ΔΕΣΜΙΑ ΦΟΡΤΙΑ

φορτίων.θετικώνγειτονιάστην

π.χ.πεδίο,ηλεκτρικόμεπεριοχήσε

βρίσκεταιόδιηλεκτρικέναότιΈστω

ό.διηλεκτρικτοολόκληροσεροπών

διπολικώνεμφάνισητηναποτέλεσμαμε

πολώνονταιούδιηλεκτρικτουάτομαΤα

όγκου.μονάδαανάροπήδιπολικήτηνως

πόλωσητηνορίζουμεδιπόλωνκατανομήμίαφέρειπουυλικόέναΓια

rP

.ροπήδιπολικήυπάρχειθέσηστηνόγκοστοιχειώδηΣε drPpdrd

.rrwrw

pdwdVpd

μεθέσηστη

ˆ

4

1δυναμικόδημιουργείροπήΗ

2

0

1.ˆ

4

1είναιτηςλόγωστοδυναμικόολικόΤο

2

0

d

w

rPwrVrPr

O

r

r w

132

.ˆ1

τότεμεταβλητήτηνγιαβαθμίδαηείναιαν2w

w

wrrw ww

2.4

11

4

1

00

d

w

Pd

w

Pd

wrPrV r

rr

.4

1

4

1δίνειαπόκλισηςτηςθεώρημαΤο

00

Sr

w

adPd

w

P

ΠΟΛΩΣΗ – ΔΕΣΜΙΑ ΦΟΡΤΙΑ

1.ˆ

4

1είναι

τηςλόγωστοδυναμικόολικόΤο

2

0

d

w

rPwrVrP

r

όδιηλεκτρικ

O

r

r

ισχύεινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε

΄Αρα.ˆ1

ˆ1

2r

r

rrr

r

Επομένως.ˆ1άρακαιόμωςΕίναι 2wwwrwr

w

133

.

dw

dw

P br

έχουμετότεφορτίου

πυκνότηταχωρικήκαιορίσουμεΑν

Pb

3.4

1

γράφεταιτοκαι

0

d

wad

wrV

rV

b

S

b

διπόλων.παρουσίατηνμεισχετίζονταπουφορτίωνδέσμιωνπυκνότητα

ήεπιφανειακκαιχωρικήτηορίζουνˆκαισχέσειςΟι nPP bb

ΠΟΛΩΣΗ – ΔΕΣΜΙΑ ΦΟΡΤΙΑ

που,4

1

4

1δίνειαπόκλισηςτηςθεώρημαΤο

00

Sr

w

adPd

w

P

nPbˆφορτίουπυκνότηταήεπιφανειακαπόδυναμικότομεσυμπίπτει

όδιηλεκτρικ

O

r

r

φορτίωνδέσμιων

κατανομήήεπιφανειακ

134

.τότεείναιθαπυκνότηταολικήΗ.πυκνότηταμε

ελεύθερακαιυπάρχουνναμπορεί φορτία δέσμια τααπόΕκτός

fbf

δίνειGaussτουνόμοςοπερίπτωσητηναυτήΣε

1.00 fffb PEPE

2.:Ορισμός 0 PED

ςμετατόπισηηλεκτρικής

:φορτίαελεύθεραγιαGaussτουνόμοτονδίνουν2και1Οι

.μορφήκήολοκληρωτισεή, fS

f QadDD

.ακόμηΕίναι 0 PPED

.και0είναιούδιηλεκτρικενόςεξωτερικόστοΠροφανώς 0EDb

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ

135

πεδίο.εξωτερικόκάποιοαπόεπάγεταισυνήθωςυλικούενόςπόλωσηΗ

δηλαδή,πεδίουηλεκτρικούνουεφαρμοζόμετουανάλογηείναι

πόλωσηηότιισχύειάδιηλεκτρικγραμμικάλεγόμεναταΓια

E

P

1,0 EP e

μέσα.γραμμικά-μηγιατότεμιλάμεκαιόροι

γραμμικοί-μηκαιθούνσυμπεριληφναπρέπειπεδίαισχυράπολύΓια E

,1βρίσκουμε1σχέσητηνΑπό 00 EEPED e

υλικού.τουτηταεπιδεκτικόηλεκτρικήηείναιόπου e

υλικού.τουηταδιαπερατότηλεκτρικήηείναι1όπου 0 e

υλικού.

τουσταθεράήδιηλεκτρικσχετική

τηνορίζει1λόγοςΟ0

eK

:ταΠαραδείγμα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ

30OLa25HfO

1200BaTiO4,80

9,3SiO12

741

322

3

2

ό

ί

ίό

Υλικό K KΥλικό

136 ΣΙΔΗΡΟΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΥΛΙΚΑ

137

κέντρο.στοδυναμικότοΒρείτε.ηταςδιαπερατότυλικόαπόακτίνα

τηνμέχριαιπεριβάλλετκαιφορτίοφέρειακτίναςσφαίραΜεταλλική

b

Qa

b

a.γιαˆ

4 2arr

r

QD

συμμετρίαςσφαιρικήςΛόγω

.γιαˆ

4

γιαˆ4

έχουμεΕπομένως

2

0

2

brr

r

Q

brarr

Q

DE

κέντροτοωςάπειροστοαναφοράςσημείοτοαπό

νταςολοκληρώνοκέντροστοδυναμικότοβρούμενατώραΜπορούμε

.111

40

44 0

0

22

0

0

bab

Qdrdr

r

Qdr

r

QldEV

a

a

b

b

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

f

SQadD

Gaussτουνόμοτοαπόέχουμε

όδιηλεκτρικ

138

κέντρο.στοδυναμικότοΒρείτε.ηταςδιαπερατότυλικόαπόακτίνα

τηνμέχριαιπεριβάλλετκαιφορτίοφέρειακτίναςσφαίραΜεταλλική

b

Qa

b

a

.γιαˆ4 2

arrr

QD

.γιαˆ

4

γιαˆ4

έχουμεΕπομένως

2

0

2

brr

r

Q

brarr

Q

DE

:βρίσκουμεδυναμικότοΓια

.111

40

44 0

0

22

0

0

bab

Qdrdr

r

Qdr

r

QldEV

a

a

b

b

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

,ˆ4

έχουμεόδιηλεκτρικστο πόλωσητηνΓια2

00 r

r

QEP e

e

.4

,4

πυκνότηταήεπιφανειακσείαντιστοιχεπου2

0

2

0

a

Q

b

Q ear

bebr

b

139 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

παντού.ακτινικάείναιμετατόπισηηκαιπεδίο

ηλεκτρικότοκαισυμμετρίαςσφαιρικήςΛόγω

DE

:δίνειGaussτουνόμοςΟ fQadD

.καιγια0,γιαˆ4

12212RrRrDRrRr

r

QD

2R

1R

όδιηλεκτρικ

,

καιγια0

γιαˆ4:Επομένως

12

212

0

RrRr

RrRrr

QD

Er

QQ

.1

100

re

re EEP

έχουμε,αποστάσειςστιςπυκνότητεςέςεπιφανειακτιςΓια 21 RrRr

.4ˆ,4ˆ 2

222

2

111 RQrPRQrP rere

φορτίων.δέσμιωνπυκνότητεςέςεπιφανειακτιςκαικαθώςπυκνωτή,του

περιοχέςδιάφορεςστις,,μεγέθηταΒρείτεα.φορτίοέχει

φλοιόςΟ.σταθεράήδιηλεκτρικσχετικήμευλικόυπάρχει

καιακτίνεςμεφλοιώνσφαιρικώναγώγιμωνομόκεντρωνδύοΜεταξύ

2112

1

PDEQQ

RRRR

R

r

140

πυκνωτή.τουταχωρητικότητηνβρείτε

1ωςόδιηλεκτρικστομέσααιμεταβάλλετσταθερά

ήδιηλεκτρικσχετικήηΑνβ.φορτίοφλοιόςοκαιφορτίοέχει

φλοιόςοότιΈστω.σταθεράσχετικήμευλικόόδιηλεκτρικ

υπάρχεικαιακτίνεςμεφλοιώνσφαιρικώνομόκεντρωνδύοΜεταξύ

2

21

2

211

21

r

rRRr

QRQ

RRR

RR

rr

r

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

2R

1R

όδιηλεκτρικ

QQ εδώδηλαδή,γιαˆ

4:Είναι 212

0

RrRrr

QE

r

.

1

4

ˆˆ

4 2121021

2

0 RRrRR

rQ

rRRrr

rQE

δυναμικούδιαφοράυπάρχειφλοιώντωνμεταξύΆρα,

D

2

1

2

21021210

ln44

2

1

1

2 R

R

RR

Q

RRrRR

drQEdrV

R

R

R

R

12210 ln2ταχωρητικότητηνβρίσκουμεΤελικά RRRRVQC D

σ

141

.ομοιόμορφηαπαραίτηταόχιπυκνότητα

μεφορτίουκατανομήήεπιφανειακμίαΈστω

Aε

:δίνεισχήματοςτουίπεδοπαραλληλεπ

στοGaussτουνόμουτουΕφαρμογή

1.)2 000

άάάά EEAQAEEadE

.0γιαιμηδενίζετα

ολοκλήρωμαόεπιφανειακπλευρικότο1)

άE

άE

ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

n

.σταθεράςήςδιηλεκτρικυλικό

υπάρχεικατανομήήεπιφανειακτηναπόκάτωπάνωότιτώραΈστω

άά

βρίσκουμεφορτίοελεύθεροτογιαGaussτουνόμοτονΑπό

1.:άρακαι

άάάά DDAQADDadD

0γιαιμηδενίζετατουολοκλήρωμαόεπιφανειακπλευρικότο D

142

σ

||

άE

||

άEε

l

2,δίνει0σχέσηΗ ||||

άά EEldE

.0γιαιμηδενίζετα

ολοκλήρωμαπλευρικότοαφού

ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

σχήματος.τουκαμπύληστητουοεπικαμπύλικλειστότοκαιΕξετάζουμε E

.σταθεράςήςδιηλεκτρικυλικό

υπάρχεικατανομήήεπιφανειακτηναπόκάτωπάνωότιπάλιΈστω

άά

.Είναι 0 PED

τώραδίνει2σχέσηηΕπομένως,

.2|||||||| άάάά PPDD

1.:ακόμηΕίναι άά DD

ών.διηλεκτρικπαρουσίασυνθήκεςσυνοριακέςτιςαποτελούν2,1Οι

143

δυναμικό;τογιασυνθήκεςσυνοριακέςοιείναιΠοιες

σ

ε

:έχουμεορισμότονΑπό

.3συνθήκητηνέχουμεΆρα άά VV

.0για0 b

aab ldEVV

άE

άE

nVVnEE άάάάˆδίνειˆσχέσηηάλλητηνΑπό

00

βρίσκουμεˆμεγινόμενοεσωτερικότοΠαίρνοντας n

.ˆόπου,ˆ00

Vnn

V

n

V

n

VVVn άά

άά

ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

a

bn

.σταθεράςήςδιηλεκτρικυλικό

υπάρχεικατανομήήεπιφανειακτηναπόκάτωπάνωότιπάλιΈστω

άά

άάάάάά EEDD δίνεισχέσηηΤότε

.αλλιώς,ή

n

V

n

V άά

άά

144

fπυκνότηταςφορτίουελεύθερουκατανομήμε

ώνδιηλεκτρικδύομεταξύαδιεπιφάνειμίαυπάρχειπουπερίπτωσηΣτην

20και1συνθήκεςσυνοριακέςοι ||||

0

άάάά EE EE

εξήςωςνταιτροποποιού

.και ||||||||

άάάάfάά DD PPDD

ωςκαιγραφτείναμπορεί3σχέσηΗ

,fάάάά EE

.δυναμικούτουσυναρτήσειή fά

άά

άn

V

n

V

ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

.Είναι 0 PED

145 ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

.φορτίαελεύθεραχωρίςσχήματοςτουαδιεπιφάνει

τηννσχηματίζουκαισταθερώνώνδιηλεκτρικΥλικά 21

1

2

1D

2D

1

2

:δίνουνσυνθήκεςσυνοριακέςΟι

1.coscos

coscos

222111

2211

EE

DD

0fάά DD

0||||

άά EE

2.sinsin 2211 EE

.tan

tan:βρίσκουμε2και1τιςμέρηκατάΔιαιρώντας

2

1

2

1

146

.καιακτίνεςτιςαπόμεγαλύτεροπολύείναιπου

μήκοςέχουνκύλινδροιοιανσυστήματοςτουταχωρητικότη

ηβρεθείΝα.σταθεράςήςδιηλεκτρικυλικόμεγεμάτοςείναι

καιακτίνεςμεκυλίνδρωννομοαξονικώδύομεταξύχώροςΟ

21

121

RR

L

RRR

κυλίνδρων.τωνάκρεςστιςπεριοχήτηναγνοήσουμε

ναεπιτρέπειμας,ότιγεγονόςΤο 21 RRL

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΟΜΟΑΞΟΝΙΚΟΥ ΠΥΚΝΩΤΗ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ

καισυμμετρίακυλινδρικήπροσέγγισηκατάυπάρχει

κυλίνδρωντωνόγκοκύριοστονανάμεσαπεριοχήΣτην

Gauss.τουνόμοτονεεφαρμόσουμναμπορούμε

,22είναινεςσυντεταγμέςκυλινδρικέΣε rLQDQrLD

κύλινδρο.έξωμέσαστονφορτίοτοόπου QQ

και2ˆείναιγιαΕπομένως, 21 rLQrDERrR

.ln

2

2

ln

2 12

122

1 RR

L

V

QC

L

RRQ

rL

QdrV

R

R

DD

1R2R

L

147

:σύνδεσηΠαράλληλη

ΣΥΝΔΕΣΗ ΠΥΚΝΩΤΩΝ

VD

1C

2C

VD

1C

2C

δυναμικού.διαφορές

ςαντίστοιχεοι,καικαιπυκνωτών

τωνοπλισμούςστουςφορτίατακαιΈστω

2121

21

VVCC

QQ

DD

.είναισύνδεσηπαράλληληΣτην 21 VVV DDD

είναιπυκνωτώντωναριστεράφορτίοολικότοενώ

.21 QQQ

.βρίσκουμεταχωρητικότηολικήτηνγιαΆρα, 21

2

2

1

1 CCV

Q

V

Q

V

QC

D

D

D

:σειράσεΣύνδεση .γιατί;καιτώραΕίναι 2121 QQQVVV DDD

έχουμεταχωρητικότηολικήτηνγιαΕπομένως,

.111

212

2

1

121

CCQ

V

Q

V

Q

VV

Q

V

C

D

D

DD

D

148

πυκνωτή.του

ταχωρητικότηηβρεθείΝα.καιεμβαδάέχουνοπλισμούςτουςμε

υλικώνδύοτωνεπαφέςοικαιείναιοπλισμώντωνμεταξύαπόσταση

Ησχήμα.στοφαίνεταιόπωςκαισταθεράςήςδιηλεκτρικυλικά

δύομεγεμάτοςείναιπυκνωτήεπίπεδουοπλισμώνδύοτωνμεταξύχώροςΟ

21

21

C

AA

d

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΠΥΚΝΩΤΗ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ

1

2

1A

2A

1Q

2Q

1επιφάνειαΓκαουσιανή

2επιφάνειαΓκαουσιανή

δίνεισχήματοςτουεπιφάνειεςςΓκαουσιανέ

στιςGaussτουνόμουτουΕφαρμογή

.

και

2222222

1111111

QAEQAD

QAEQAD

1D

2D

.είναιπυκνωτήσυνολικότονΓια 21 QQQ

.σύνδεσηπαράλληληπροφανώςκαι 21 VVV DDD

.,:ικάπροσεγγιστακόμηΕίναι 2211 dEVdEV DD

.:βρίσκουμεΤελικά 2211

d

AA

V

QC

D

149

.εμβαδόέχειοπλισμόςκάθεοανπυκνωτήτουταχωρητικότηηβρεθεί

Να.καιείναιυλικώντωνπάχητακαιείναιοπλισμώντωνμεταξύ

απόστασηΗσχήμα.στοφαίνεταιόπωςκαισταθεράςήςδιηλεκτρικ

υλικάμεγεμάτοςείναιπυκνωτήεπίπεδουοπλισμώντωνμεταξύχώροςΟ

21

21

A

ddd

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΠΥΚΝΩΤΗ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ

12

1d2d

Q Q

1E

2E

έχουμεπερίπτωσητηναυτήνΣε

221121 dEdEVVV DDD

:ταχωρητικότητηνγιαβρίσκουμεκαι

.1 2221112211

Q

dDdD

Q

dEdE

Q

V

Cολ

D

.δίνεισχήματος

τουεπιφάνειεςστιςGaussνόμουτουΕφαρμογή

2121 AQDDQADAD

1επιφάνειαΓκαουσιανή

2επιφάνειαΓκαουσιανή

A

.1

βρίσκουμεΤελικά 2211

A

dd

C

150

είναιφορτίατακατάλληλααςμετακινώντφορτίουκατανομή

μίαείδημιουργηθναγιααπαιτείταιπουέργοτοότιδείξειΈχουμε

r

γιατί;ισχύειτότε,αντίστοιχακαιπυκνότητεςμεφορτίαδέσμια

καιελεύθερακαιτελικάεμφανίζεικατανομήηπουπερίπτωσηΣτην

bf

.2

1

2

1

2

1:βρίσκουμεΤελικά

22

όό

dD

dEdEDW

ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΕΝΕΡΓΕΙΑ

.όγκοσεπυκνότηταςκατανομήσυνεχήγια2

1ΩrdrVrW

Ω

.

2

1

2

1

2

1

2

1

ΩΩΩΩ

D

f dVDdVDVdDVdW

παίρνουμεέτσικαι0είναικατανομήτηναπόΈξω D

ύά

ύ

E

ύdEDadVDdVDdVDW

2

1

2

1

2

1

2

1

0

""

151

πυκνωτή.στοννηαποθηκευμέείναι

πουενέργειαςτηςμεταβολήηβρεθείΝα.σταθεράςήςδιηλεκτρικ

σχετικήςυλικόπυκνωτήτουπλάκεςστιςανάμεσαεισάγεταιΚατόπιν

.είναιενέργειαπυκνωτήστοννηαποθηκευμέηκατάστασητηναυτή

Σετου.οπλισμώντωνμεταξύκενόαρχικάέχειπυκνωτήςΕπίπεδος

1

K

U

ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΕΝΕΡΓΕΙΑ

d

ενέργειανηαποθηκευμέτηνγιαβρειΈχουμε

.2

1 2

ό

dD

U

ό.διηλεκτρικ

τομπαίνειόταναλλάζει

δενοπλισμώντωνφορτίοτο

ότιυποθέσουμεναΜπορούμε

.1

2

1

2

1βρίσκουμεΈτσι 1

0

2

0

2

12K

KU

dD

K

dDUUU

D

152

πυκνωτή.τουφορτίοτοόπου

,δυναμικούδιαφοράέχειταςχωρητικότηπυκνωτήςότιΈστω

q

CqVC

πόλο.θετικόστοναρνητικότοναπόφορτίο

θετικόεμεταφέρουμναπρέπειπεραιτέρωφορτίσουμεναΓια

dq

.1έργοαπαιτείαυτήμετακίνησηΗC

qdqVdqdW

:φορτίομεπυκνωτήτονφορτίσουμε

ναγιααπαιτείταιπουέργοολικότοδίνει1τηςΟλοκλήρωση

Q

.2

1

2

1 22

0CV

C

Q

C

qdqW

Q

.πυκνωτήτουενέργειαδυναμικήωςαιαποθηκεύετ2

1αυτόέργοΤο 2CV

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΥΚΝΩΤΗ

πυκνωτή.τουοπλισμούςστουςανάμεσα

όδιηλεκτρικυπάρχειότανκαιισχύουνσχέσειςίδιεςοιΠροφανώς

153

w

l

y

d

x

ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΕ ΠΥΚΝΩΤΗ: ΔΥΝΑΜΗ

,ενέργειαδυναμικήτηναλλάζει

ούδιηλεκτρικτουμετακίνησηΗ

U

:δύναμηαυτόσεασκείταιάρα

dx

dUF

.όπου

,22

0

22

xld

wC

C

QCVU

er

τότεαλλάζει

δενφορτίοολικότο

ότιυποθέσουμεΑν

.222

200

2

2

2

Vd

w

d

wV

dx

dC

C

Q

dx

dUF ee

παράγειαυτήτότεμπαταρίαμίααπόσταθερόιδιατηρείταδυναμικότοΑν

:ανά.έργο VdQdW .2

1

2

222

dx

dCV

dx

dCV

dx

dCV

dx

dQV

dx

dUF

a

a a

a

154 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Α.5 Δύο επίπεδοι γειωμένοι αγωγοί καταλαμβάνουν τα επίπεδα z = 0 και y =

0. Σημειακό φορτίο q τοποθετείται στην θέση (0,a,a). α) Βρείτε την δύναμη

που ασκείται στο φορτίο q. β) Βρείτε την δυναμική ενέργεια του

συστήματος όταν το φορτίο q είναι στην θέση (0,a,a). Θεωρήστε ότι η

δυναμική ενέργεια είναι μηδέν όταν το φορτίο q βρίσκεται σε άπειρη

απόσταση από τα δύο επίπεδα.

y

z

O

A

BD

Cq

q

q

q

ειδώλων.μέθοδοτημελύνεταιπρόβλημαΤο

:είδωλαπαρακάτωτατεχρειαζόμασνα,Συγκεκριμέ

.,θέσηστη)3

,,θέσηστη)2,,θέσηστη1)

aaDq

aaCqaaBq

.0για0δίνουνκαιζεύγηΤα zVDCBA

.0για0δίνουνκαιζεύγηΤα yVDBCA

βρίσκουμεδύναμητηνγιαΕπομένως,είδωλα.σημειακά3τα

απόαυτάμεσυμπίπτουνδύναμη,ηκαιάραδυναμικό,Τοα

2

0

2

222

0

2

4

ˆˆ

28

122

222

ˆˆ

2

ˆ

2

ˆ

4 a

zyq

a

zy

a

y

a

zqFFFF DCB

a

a a

a

155 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Α.5 Δύο γειωμένοι αγωγοί καταλαμβάνουν τα επίπεδα z = 0 και y = 0. Σημειακό

φορτίο q βρίσκεται στην θέση A(0,a,a). β) Βρείτε την δυναμική ενέργεια του

συστήματος. Θεωρήστε ότι η δυναμική ενέργεια μηδενίζεται όταν το φορτίο q

είναι σε άπειρη απόσταση από τα επίπεδα.

y

z

O

A

BD

Cq

q

q

q

.θέσηστητελικά,θέση""στη

άπειροτοαπόφορτίοπραγματικότομεταφερθεί

ναγια,,δυνάμεωντωνέργοολικότο

απόπροκύψειναμπορείενέργειαδυναμικήβ

A

FFF

U

DCB

.:είναιΔηλαδή DCB WWWWU

:βρίσκουμεΈτσιβολεύει.μαςπουδιαδρομήσεέργοκάθεμεΥπολογίζου

τελικά,0Επειδή.,,,, 121

B

ί

B

ί

BB WaaaWaWW

AB

BAAB

ABaaa

aBB

r

qqU

U

a

qdz

z

qrdFW

00

2

2

0

2,

, 4όπου,

21624

.2,,,2:Ομοίως AD

ί

DACC UaaWWUW

156 ΔΥΝΑΜΗ LORENTZ

.B έντασης σε μέσα

v ταχύτηταμε κινείται που φορτίο Έστω

πεδίομαγνητικό

q

.ΒvFμαγν

q

Β

μαγνF

:είναι στοασκείται πουF δύναμη η Τότε μαγν q

vq

:είναιδύναμηςμαγνητικήςτηςέργοςστοιχειώδεΤο

,0 BvrdqrdBvqrdFdW

.0αφού dt

rdrdvrd

έργο.παράγουνδενδυνάμειςμαγνητικέςΟι

.TTeslaτοείναιτογιαμονάδαSI B

G.10T1:GGaussτοκαιμονάδαηΣυνηθισμέν 4

157 ΚΥΚΛΟΤΡΟ

xvyvzyvxv (1) 0vB/M,qvvB/M,qvv

βρίσκουμεBvqFγιακαιΝεύτωνανόμο2οτονΑπό

yxyxzxyyx

.zBBπεδίομαγνητικόομογενέςσεμέσαzvyv

ταχύτητααρχική,φορτίοΜ,μάζαμεσώματοςκίνησηςτηςΜελέτη

0z10

v

q

έχουμε νταςΠαραγωγίζο . έναείναι 1Οι ξισώσεωναφορικών εσύστημα δι

:Λύση (3) σταθεράv,φωtcosvtv,φωtsinvtv z1y1x

βρίσκουμε2στηνή(1)στηνώνταςΑντικαθιστ

y

2

2

1

2

x

2

12

1

2

vφtcos

,vφtcos

vφtsin

dt

vd

dt

d

dt

vd

.MqB ω όπου 2 vωv,vωMBvqv y

2

yx

2

yx

.21τωνλύσειςόντωςείναι 3οι δηλαδή 0v0tvΕίναι

0. φβρίσκουμεσυνθήκεςαρχικέςτιςαυτέςαπόκαι

158 ΚΥΚΛΟΤΡΟ

. έναςείναι επίπεδο στο σώματος του κίνησης της προβολήΗ κύκλοςxy

. άξονα τονκατά

κίνησηςελεύθερης και της

επίπεδο στο ής περιστροφκυκλικής

τηςσυνδυασμός έναςείναι

σώματος του κίνησησυνολική Η

z

yx

κίνηση.Ελικοειδής

όπου r)Mω(qBv ος κεντρομόλωςενεργεί δύναμη μαγνητική Η 2

c1

κύκλου τουακτίνα ηείναι /qBMvr 1

. η M

qB ωκαι c τακή συχνότηκυκλοτρονι

159 ΚΥΚΛΟΕΙΔΗΣ ΚΙΝΗΣΗ

ακίνητο.είναιπρωτόνιοτο0tγιαότιΥποθέτουμε.zBBκαιxEE

πεδίομαγνητικόκαιηλεκτρικόσεμέσαπρωτονίουκίνησητηνΠεριγράψτε

zBy ˆˆvxvexeEBveEeF :Είναι yx

.(4) eEvκαι(3) 0v

ηείναι (2)-(1)τωνλύσηειδικήΜία

yx BEM c

x

y

z

E

B

.Sτονπροςωςταχύτηταηόπου,vvκαιvv

έχουμεy ταχύτηταμεκινείται πουS παρατηρητήΓια

yyxx

v

VvvB

E

(2) vωvκαι(1) vωEM

ev

)(ω βρίσκουμε ΒκαιΕ δοθένταταγια

xcyycx

c

MeB

.(6) vωvκαι(5) vωvB

E

M

eB

M

eEvv:Άρα xcyycyxx

160 ΚΥΚΛΟΕΙΔΗΣ ΚΙΝΗΣΗ

.zBBκαιxEEσεμέσαπρωτονίουκίνησητηνΠεριγράψτε

x

y

z

E

B

.(6) vωv και (5) vωv xcyycx

:λύσεις ι τιςεπιδέχοντα (6) και (5) εξισώσειςΟι

.(10)t ωcosB

Ev (9),t ωsin

B

Ev cycx

.eB

ME

ω

vr και

B

E v με κίνηση

κυκλικήομαλή έχουμε S Στο

2

c

κίνησης.ομαλής ςευθύγραμμη και κυκλικήςσυνδυασμό ένανεκτελεί

σωματίδιο τοS σύστημα στοότι προκύπτει(10)(9),(8), (7), σχέσεις τιςΑπό

:βρίσκουμε (8) και (7) τιςνταςΟλοκληρώνο

tsinωtωry ,tcosω1rx ccc

.8 vvκαι7 v v:ταχυτήτωνισμόςΜετασχηματ yyxx

161 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ: ΚΑΜΠΥΛΗ, ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ, ΟΓΚΟΣ

.AAmpereτοείναιρεύματοςέντασηςτηςΜονάδα.χρόνοσε

διάστημαςστοιχειώδεαπόπερνάειπουφορτίοτοόπου,

λόγοτοναπόδίνεταιαγωγότομονοδιάστασερεύματοςτουέντασηΗ

dt

dxdqdt

dqI

φορτίου.πυκνότηταγραμμικήηόπου,Είναιdx

dqvv

dx

dq

dt

dx

dx

dqI

;διαστάσειςδύοσερεύματοςτουέντασητηνορίζουμεΠως

.χρόνοσεκατάαιμετακινείτπουφορτίουπάρχειεμβαδό

ςστοιχειώδεσετότεφορτίουπυκνότηταήεπιφανειακηείναιΑν

dtdtvdadq

,

έντασηςρεύμαδιαρρέειτηνλωρίδαστενήΤην

dyKdyvdt

dxdy

dt

dadI xx

xy

.ρεύματοςπυκνότηταςήςεπιφανειακ

τηςσυνιστώσαηείναιόπου

vK

x-vK xx

S

162 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ: ΚΑΜΠΥΛΗ, ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ, ΟΓΚΟΣ

,

έντασηςρεύμαδιαρρέειτηνλωρίδαστενήΤην

dyKdyvdt

dxdy

dt

dadI xx

xy

.ρεύματοςπυκνότηταςήςεπιφανειακ

τηςσυνιστώσαηείναιόπου

vK

x-vK xx

;διαστάσειςτρειςσερεύματοςτουέντασητηνορίζουμεΠως

.στηνκάθετοκαιστηνκόεφαπτομενι

είναιˆμοναδιαίοτοόπου,ˆείναιεπιφάνεια

στηνπάνωκαμπύληδιαπερνάπουρεύμασυνολικόΤο

CS

ndlnKIS

C

C

SC

n

x

y

z φορτίου.πυκνότηταχωρικήηόπου

,ρεύματοςπυκνότητατηνΟρίζουμε

vJ

.ˆείναιˆκάθετημε

επιφάνειατηναπόμέσαρεύμαολικόΤο

SS

danJadJIn

S

S

163 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ: ΚΑΜΠΥΛΗ, ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ, ΟΓΚΟΣ ;διαστάσειςτρειςσερεύματοςτουέντασητηνορίζουμεΠως

x

y

z φορτίου.πυκνότηταχωρικήηόπου

,ρεύματοςπυκνότητατηνΟρίζουμε

vJ

1.ˆείναιˆκάθετημε

επιφάνειατηναπόμέσαρεύμαολικόΤο

SS

danJadJIn

S

1tS

v

0tS

.tκαιtμεταξύσαρώθηκεπουVΌγκος 10

vSdt

dV:όγκουσάρωσηςΡυθμός

φορτίοˆεπιφάνειαστοιχειώδη

απόμέσαπερνάχρόνοσεΕπομένως,

danad

dt

.με, vJdtadJdtvaddVdq

.είναιρεύμαςστοιχειώδεαντίστοιχοΤο adJdtdqdI

;ρεύμαςστοιχειώδετοπροκύπτειΠως adJdI

164 ΡΕΥΜΑ ΧΩΡΟΥ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

.νεςσυντεταγμέςκυλινδρικέσε

0,σχέσειςτιςικανοποιείκαιεπίπεδο

στοβρίσκεταιπουεπιφάνειατηναπόπερνάειπουρεύμαολικότο

βρεθείΝα.ˆπυκνότηταςρεύμακυκλοφορείκύλινδροστον

Μέσα.άξονατονμεσυμπίπτειακτίναςκυλίνδρουάξοναςΟ

210

0

Lzrrr

eJJ

zR

ar

0x

y

z

R

L

σχήματος.τουραμμοπαραλληλόγλωρίδαπράσινη

ηείναιεδώόπου,ολοκλήρωμα

όεπιφανειακτομευπολογίσουναΧρειάζεται

SadJIS

έχουμενεςσυντεταγμέςκυλινδρικέσεςΔουλεύοντα

2

1

2

10

0

r

r

arr

r

L

S

dreLJdzJdrJdrdzI

.120 araree

a

LJI

x

y

z

165 ΡΕΥΜΑ ΧΩΡΟΥ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

.ότιΈστω.νεςσυντεταγμέςκυλινδρικέσε

,σχέσειςτιςικανοποιείκαιεπίπεδο

στοβρίσκεταιπουεπιφάνειατηναπόπερνάειπουρεύμαολικότο

βρεθείΝα.ˆπυκνότηταςρεύμακυκλοφορείκύλινδροστον

Μέσα.άξονατονμεσυμπίπτειακτίναςκυλίνδρουάξοναςΟ

12

21210

0

D

rrrzz

zeJJ

zR

ar

σχήματος.τουεπιφάνειαπράσινηη

είναιεδώόπου,ολοκλήρωμα

όεπιφανειακτομευπολογίσουναΧρειάζεται

SadJIS

έχουμενεςσυντεταγμέςκυλινδρικέσεςΔουλεύοντα

D 2

1

2

1

2

10

r

r

arr

rS

drreLJdrJdrdrJrdI

.11

12

120

D

arare

are

ar

a

LJI

0z

166

.πυκνότηταςχωρικήςρεύμαδιαπερνάτηνκαι

όγκοπερικλείειεπιφάνειακλειστήότιΈστω

J

ΩS

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ

1.είναι

τηνδιαπερνάπουρεύμαολικόΤο

ΩS

dJadJIS

2.

τότεστιγμήχρονικήτη

όγκοστονφορτίοολικότοείναιΑν

ΩΩ

ολ

dt

ddt

d

dt

dQI

t

ΩtQ

3.:βρίσκουμε2και1τιςΑπό

ΩΩd

tdJ

μορφήδιαφορικήσεπροκύπτειόγκοκάθεγιαισχύει3ηΕπειδή Ω

40.συνέχειαςεξίσωσηλεγόμενηη

tJ

φορτίου.τουδιατήρησητοπικήτηνεκφράζεισυνέχειαςεξίσωσηH

167 ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΡΕΥΜΑΤΟΦΟΡΟ ΑΓΩΓΟ

.πεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεταιπου

φορτίουπυκνότηταμεαγωγόςτοςμονοδιάσταΈστω

B

.δύναμηδέχεταιτότεαγωγού,τουμήκοςκατά

ταχύτηταμεκινείταιφορτίοςστοιχειώδετοΑν

BvdqFd

vdxdq

ρεύματοςτουέντασηηείναιόπου,:όμωςΕίναιdt

dqIlIdvdq

αγωγού.τουμήκοςκατάμετατόπισηςστοιχειώδηηκαι ld

είναιαγωγόςοδέχεταιπουδύναμησυνολικήηπαραπάνωταβάσηΜε

αγωγό.στονπάνωολοκλήρωμαοεπικαμπύλιένα, C

BldIF

168 ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΡΕΥΜΑΤΟΦΟΡΟ ΑΓΩΓΟ

.δύναμηδέχεταιταχύτηταμε

κινείταιπουφορτίοςστοιχειώδετοδιαστάσεις2Σε

BvdaFdv

da

ρεύματος.πυκνότηταχωρικήηείναιόπου, vJdBJFΩ

καιόγκοεικαταλάμβαναγωγόςδιαστάσεις3σεανΑντίστοιχα Ω

.πεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεταιπου

φορτίουπυκνότηταμεαγωγόςτοςμονοδιάσταΈστω

B

.δύναμηδέχεταιταχύτηταμεκινείταιπουΦορτίο BvdqFdvdxdq

όπου,ολοκλήρωμαόεπιφανειακτοαπόδίνεταιδέχεται

πουδύναμηολικήητότεεπιφάνειαέχειαγωγόςςδιδιάστατοοΑν

S

daBKF

S

δύναμηδέχεταιτότεπεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεται B

αγωγό.τονδιαρρέειπουρεύματοςπυκνότηταήεπιφανειακηvK

169

.ημικυκλίουτουσημείαρικάαντιδιαμεττααπόορίζεταικαιρεύμα

ίδιοτοαπόδιαρρέεταιπουτμήμαευθύγραμμοδέχεταιπουαυτήμε

ίσηείναιότιδείξτεκαιαγωγόςοδέχεταιπουδύναμητηνΒρείτε.ˆ

πεδίομαγνητικόομογενέςσεαιτοποθετείταγωγόςΟ.έντασηςρεύμααπό

διαρρέεταικαιεπίπεδοστοβρίσκεταιακτίναςαγωγόςςΗμικυκλικό

zBB

I

xyR

ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΑΓΩΓΟ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ

1.είναιαγωγόςςημικυκλικόοδέχεταιπουδύναμηΗ C

BldIF

έχουμεεπίπεδοστοςσυνταγμένεπολικέςσεςΔουλεύοντα xy

.ˆˆˆˆ:δύναμηβρίσκουμε

ρεύμαμετμήμαευθύγραμμοστοδύναμητηνΓια

FdxyIBzdyydxxIBF

BAAB

R

RABAB

AB

Άρα.sinˆcosˆˆˆ

0

dyxBRdrrdrBBld

R

r

x

y

O.ˆ2sinˆcosˆ

00yBIRdydxBIRF

170

.ημικυκλίουτουσημείαρικάαντιδιαμεττααπόορίζεταικαιρεύμα

ίδιοτοαπόδιαρρέεταιπουτμήμαευθύγραμμοδέχεταιπουαυτήμε

ίσηείναιότιδείξτεκαιαγωγόςοδέχεταιπουδύναμητηνΒρείτε.ˆ

πεδίομαγνητικόομογενέςσεαιτοποθετείταγωγόςΟ.έντασηςρεύμααπό

διαρρέεταικαιεπίπεδοστοβρίσκεταιακτίναςαγωγόςςΗμικυκλικό

zBB

I

xyR

ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΑΓΩΓΟ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ

άκρα.τασυνδέειπου

αγωγούτουσχήματοαπόόχικαιάλλοτοπροςως

άκρουενόςτουθέσησχετικήτηαπόμόνοεξαρτάται

δύναμηητότεομογενές,είναιπεδίοτοανΕπομένως,AB

BrrIBldIBldIF ABCC

r

x

y

O

:ισχύειομογενέςγια,Γενικότερα B

.ˆˆˆˆπερίπτωσηαυτήνΣε yRBzBxRxRBrr AB

171 ΔΥΝΑΜΗ ΑΠΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ

δέχεται.πουδύναμη

τηνβρείτε,ˆπεδίομαγνητικόομογενέςσεείναιδίσκοςοΑναυτόν.σε

κάθετοςείναικαιτουκέντροτοαπόπερνάειπουάξονααπόγύρωταχύτητα

γωνιακήσταθερήμεταιπεριστρέφεκαιεπίπεδοστοβρίσκεταιδίσκοςΟ

.φορτίονοκατανεμημέομοιόμορφαφέρειακτίναςδίσκοςςΗμικυκλικό

zBB

xy

QR

r

x

y

O

.22φορτίουκατανομήήεπιφανειακΥπάρχει 22 RQRQ

υπάρχειεπομένωςκαιˆταχύτηταμεκινείται

τοαπόαπόστασησεφορτίοςστοιχειώδεΚάθε

rv

Or

.ˆρεύματοςπυκνότηταήεπιφανειακ rvK

είναιαγωγόςοδέχεταιπουδύναμηηΆρα,

SSSrdrdrrBdazBrdaBKF ˆˆˆ

,3ˆ2sinˆcosˆ 3

0 0

2 yBRyxddrrBFR

δίσκο.τονμεμαζίταιπεριστρέφεˆτοβέβαιαόπου y

172

:καμπύληςαγωγόένανδιαρρέειπουέντασηςρεύμαρτητοχρονοανεξά

σταθερόέναδημιουργείπουπεδίομαγνητικότοδίνειSavartBiotνόμοςΟ

CI

-

ΝΟΜΟΣ BIOT-SAVART

.όπου1,ˆ

4

ˆ

4 2

0

2

0 rrww

wldIld

w

wIrB

CC

I

OP

r w

r

ld κενού.τουηταδιαπερατότμαγνητικήλεγόμενη

ηείναι104σταθεράΗ 27

0

:μορφήτηπαίρνει1νόμοςορεύματοςπυκνότητας

χωρικής)2ή,ήςεπιφανειακ)1περίπτωσηΣτην JK

ολοκλήρωμαόεπιφανειακˆ

4)1

2

0

S

adw

wKrB

ολοκλήρωμαχωρικόˆ

4)2

2

0

Ω

dw

wJrB

173

.έντασηςρεύμασταθερόαπόδιαρρέεταιπου

μήκουςτμήμαευθύγραμμοαπόγύρωπεδίομαγνητικότοΒρείτε

I

LΝΟΜΟΣ BIOT-SAVART: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

P

ld

I

w

s

.όπου1,ˆ

4

ˆ

4 2

0

2

0 rrww

wldIld

w

wIrB

CC

.ˆάρακαιˆΕδώ zBBdxxld

.cosˆ90sinˆsinˆˆακόμηΕίναι ο dxzdxzdxzwld

2costan:επίσηςΈχουμε

dsdx

s

x .

cos1cosκαι

2

2

2 swws

I

P

s 1

2

L

τμήμαευθύγραμμοοπεπερασμένγιαδίνουνπαραπάνωTα

1.sinsin4

cos

cos

cos

412

0

2

2

2

0 2

1

s

Id

s

sIB

βρίσκουμεκαι2,2τότεΑν 21 L

2.2

0

s

IB

συμμετρία.κυλινδρικήέχειπεδίοΤο

174 ΝΟΜΟΣ BIOT-SAVART: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ τμήμαευθύγραμμοοπεπερασμένγιαδίνουνπαραπάνωTα

1.sinsin4

cos

cos

cos

412

0

2

2

2

0 2

1

s

Id

s

sIB

βρίσκουμεκαι2,2τότεΑν 21 L

2.2

0

s

IB

συμμετρία.κυλινδρικήέχειπεδίοΤο

I

P

s 1

2

L

sII απόστασηαπέχουνκαικαιρεύματασταθερά

φέρουνπουαγωγούςςπαράλληλουδύοέχουμεΑν

21

ˆ2

πεδίοδημιουργείτοτότε 1011

s

IBI

2I 1I

δύναμη

ασκείκαι

2210

12212212ˆ

2dly

s

IIBldIBldIF

s

IIf

2είναιμήκουςμονάδαανάδύναμηηΕπομένως, 210

12

ρεύματα.παράλληλαηλααντιπαράλλγιαελκτικήαπωστικήείναικαι

s y

z

O

175 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

.τετραγώνουτουκέντροτοαπό

πάνωαπόστασηβρίσκεταιπουσημείοσεπεδίομαγνητικότοΒρείτε

.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεται2πλευράςπλαίσιοΤετράγωνο

zP

IaABCD

x

y

z

P

A

B

C

D I

E

.τετραγώνουτουπλευρέςτιςαπόςσυνεισφορέτις

επροσθέτουμ,0,0στοπεδίοτοβρούμεναΓια zP

τμήμαευθύγραμμοοπεπερασμένγιαΈχουμε

1.sinsin4

cos

cos

cos

412

0

2

2

2

0 2

1

s

Id

s

sIB

I

P

s

1

2

L

sLBB ˆˆ:έχουμεκατεύθυνσητηνΓια

:δίνειπλαισίουτουπλευράτηνγιαπαραπάνωτωνΕφαρμογή BC

.ˆˆˆ,ˆˆ,,ˆˆ 22 zaxzsLyLzaszzxaEPs

.sinμε:ακόμηΕίναι 22

12 saaCPCE

.ˆˆ24

:παίρνουμεΈτσι222

0 zaxzsa

a

s

IBBC

176 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

.τετραγώνουτουκέντροτοαπό

πάνωαπόστασηβρίσκεταιπουσημείοσεπεδίομαγνητικότοΒρείτε

.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεται2πλευράςπλαίσιοΤετράγωνο

zP

IaABCD

x

y

z

P

A

B

C

D I

E

I

P

s

1

2

L

:δίνειπλαισίουτουπλευράτηνγιαπαραπάνωτωνΕφαρμογή BC

.ˆˆˆ,ˆˆ,,ˆˆ 22 zaxzsLyLzaszzxaEPs

.2sinμε:ακόμηΕίναι 22

12 zaa

.ˆˆ2

:παίρνουμεΈτσι222

0 zaxzsa

a

s

IBBC

:βρίσκουμε

Ομοίως

,ˆˆ2

,ˆˆ2 222

0

222

0 zayzsa

a

s

IBzayz

sa

a

s

IB CDAB

.ˆˆ2

και222

0 zaxzsa

a

s

IBAD

.ˆ2

:είναιΤελικά22

2

2

0

sa

za

s

IBBBBB CDBCADAB

P

177 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

κύκλου.τουκέντρο

τοαπόπάνωαπόστασηβρίσκεταιπουσημείοσεπεδίομαγνητικό

τοΒρείτε.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιακτίναςαγωγόςΚυκλικός

zP

IR

x

y

z

z .όπου1,4

ˆ

4 3

0

2

0 rrww

wldIld

w

wIrB

CC

:τύπογενικότονεεφαρμόσουμΘα

,ˆ:έχουμενεςσυντεταγμέςκυλινδρικέΣε Rdld

w

R.,ˆˆ,ˆˆ 2222 zRwdRzzRdrwldrRzzw

:βρίσκουμε1σχέσητηναπόΕπομένως,

.2

ˆˆ

4sinˆcosˆ

42322

2

02

03

2

02

03

0

zR

zIRdz

w

IRdyx

w

IRzrB

τότεέωςαπότόξοαλλάκύκλος,είναιδεναγωγόςοΑν 11

.ˆsinˆ2

ˆ2sinˆ24

113

0113

0

Rzzx

w

IRzRxz

w

IRrB

r

I

B

178 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

179 ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΤΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

.όπου,ˆ

4πεδίομαγνητικό

δημιουργείρεύματοςπυκνότηταχωρικήότιδειΈχουμε

2

0 rrwdw

wrJrB

rJ

Ω

:Είναι.τουαπόκλιση

τηνμευπολογίσουΑς

B

.

ˆ

4 2

0

Ωrr d

w

wrJrB

.:γινομένουκανόναςεξήςοΙσχύει BAABBA

.

ˆˆˆ:Άρα

222

w

wrJrJ

w

w

w

wrJrrr

.τοαπόεξαρτάταιδεντοαφού0:Είναι rrJrJr

.0δηλαδήαστρόβιλο,καιπροφανώςείναι

ακτινικόείναιˆ

πεδίοκόδιανυσματιτοΕπειδή2

f

r

rrf

r

.0είναιˆγιαΆρα 2 gwwwg w

180 ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΤΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

:Είναι.τουαπόκλιση

τηνμευπολογίσουΑς

B

1.

ˆ

4 2

0

Ωrr d

w

wrJrB

.:γινομένουκανόναςεξήςοΙσχύει BAABBA

.

ˆˆˆ:Άρα

222

w

wrJrJ

w

w

w

wrJrrr

.τοαπόεξαρτάταιδεντοαφού0:Είναι rrJrJr

2.0είναιˆγιαΆρα 2 gwwwg w

.ότιπροκύπτεισχέσητηΑπό rwrrw

.0ˆ

δίνει2σχέσηηΕπομένως2

w

wr

.0:τελικάβρίσκουμεπαραπάνωτααςΣυνδυάζοντ B

181

πεδίομαγνητικόδημιουργείέντασηςρεύμασταθερόφέρειπου

άξονατουμήκοςκατάσύρμαευθύγραμμοάπειροέναότιδειΈχουμε

I

z

ΝΟΜΟΣ TOY AMPERE

σύρμα.τοαπόαπόστασησεˆ2

0 ss

IB

:νεςσυντεταγμέςκυλινδρικέσεςδουλεύονταβρίσκουμεσύρματο

απόγύρωκαμπύλησετουολοκλήρωμαοεπικαμπύλιτογιαΆρα, CB

1.2

ˆˆˆˆ2

0

2

0

00 IdI

dzzrddrrr

IldB

CC

.ρεύματοςπυκνότηταχωρικήσεύναντιστοιχοπου

σύρματααπόσυλλογήμίαέχουμεότανκαιισχύεισχέσηίδιαΗ

J

.καμπύλητηνσύνορομε

επιφάνειασεπάνωολοκλήρωμαόεπιφανειακένα

,περίπτωσητηναυτήνΣε 00

C

adJIldBSC

C

S

182 ΝΟΜΟΣ TOY AMPERE

.καμπύλητηνσύνορομε

επιφάνειασεπάνωολοκλήρωμαόεπιφανειακένα

,περίπτωσητηναυτήνΣε 00

C

adJIldBSC

C

S

2.έχουμε

StokesτουθεώρηματοΑπό

SC

adBldB

3.

:βρίσκουμε2και1τιςαςΣυνδυάζοντ

0 SS

adJadB

:ισχύειτελικάσύρματαευθύγραμμαάπειρααπόρεύμασταθερό

διαπερνάοποίατηνεπιφάνειακάθεγιαισχύει3ηΕπειδή

4.0JB

.συρμάτωννευθύγραμμωμόνοόχιρεύματοςπυκνότητα

ανεξάρτητη-χρονοαπόταιδημιουργείπεδίοεοποιοδήποτ

γιαισχύεικαιAmpereτουνόμοςωςγνωστήείναι4σχέσηΗ

J

B

C

S

183 ΝΟΜΟΣ TOY AMPERE

.συρμάτωννευθύγραμμωμόνοόχιρεύματοςπυκνότητα

ανεξάρτητη-χρονοαπόταιδημιουργείπουπεδίοκάθεγια

ισχύεικαιAmpereτουνόμοςωςγνωστήείναισχέσηΗ 0

J

B

JB

C

S

βρόχοςΑμπεριανός:C

όπου,:έχουμεμορφήκήολοκληρωτιΣε 0 IldBC

.τηαπόμέσαπερνάειπουρεύμαολικότο CI

:τικήηλεκτροσταστηνGaussτουαυτόν

μεπαρόμοιοςείναιAmpereτουνόμοςΟ.

0

QadE

άή

.καμπύλητηνεδιατρέχουμπουφοράτηναπόκαιτουφορά

τηναπόχεριούδεξιούτοκανόνατονμεικαθορίζεταπουπρόσημο

κατάλληλοτοουμεσυμπεριλάβναπρέπειθαρεύματοΓια

CI

I

.0είναισχήματοςτουρεύματογια

τότεβέλος,μπλετοδείχνειόπωςτηνεδιατρέξουμανΠ.χ.,

I

C

184 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

.,0,σημείοσεπεδίομαγνητικότοΒρείτεαξόνων.

τωναρχήστηντουκέντροτομεεπίπεδοστοβρίσκεταιαγωγόςο

ότιΈστω.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιακτίναςαγωγόςΚυκλικός

zx

xy

IR

.όπου1,4

ˆ

4 3

0

2

0 rrww

wldIld

w

wIrB

CC

:τύπογενικότονεεφαρμόσουμΘα

καιˆsinˆcosˆˆˆˆ:Έχουμε zzRyRxxrRzzxxw

:βρίσκουμε1σχέσητηναπόΕπομένως,

2.cos

ˆ4

sinˆcosˆ

4

2

0 3

02

0 3

0

d

w

xRz

IRd

w

yxIRzrB

x

y

z

wR

r

I

φ

.ˆ,cosˆsinˆsinˆcosˆˆˆˆˆ Rdldyxyxzrz

cosˆcoscosˆsinˆsinˆˆ:Άρα 2 zxRxzzyRzw

.sinˆcosˆcosˆˆ yxzxRzw

αναλυτικά.αιυπολογίζετδενολοκλήρωματοcos222 xRzxww

όμως

Επειδή

185 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

.,0,σημείοσεπεδίομαγνητικότοΒρείτεαξόνων.

τωναρχήστηντουκέντροτομεεπίπεδοστοβρίσκεταιαγωγόςο

ότιΈστω.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιακτίναςαγωγόςΚυκλικός

zx

xy

IR

:βρίσκουμε1σχέσητηναπόΕπομένως,

2.cos

ˆ4

sinˆcosˆ

4

2

0 3

02

0 3

0

d

w

xRz

IRd

w

yxIRzrB

x

y

z

wR

r

I

φ

.cos2επειδή 22 xRzxww

αναλυτικάταιυπολογίζονδενόμωςταολοκληρώμαΤα

.συνιστώσεςκαιαντίθετεςκαιίσεςέχειτο,0,Σ

και,0,σημείασταότιεσημειώσουμναωστόσοΑξίζει

yxBzx

zx

τα.ολοκληρώματαικάπροσεγγιστμευπολογίσουνακαι

1συνάρτησης

τηςTaylorοςαναπτύγματτουόρουςπρώτουςτουςήσουμεχρησιμοποι

ναμπορούμετότεανότιεσημειώσουμνααξίζειΕπίσης

3

22

w

zxxR

186 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΔΥΟ ΚΥΚΛΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ

.ˆ,είναιεπιπέδουτουσημείοτυχαίο

σεπεδίομαγνητικότοότιΔείξτε.0,0,και0,0,θέσειςστις

βρίσκονταιτουςκέντρατοκαιάξοναστονκάθετοιείναιαγωγοίοι

ότιΈστω.έντασηςρεύμααπόιδιαρρέονταακτίναςαγωγοίΚυκλικοί

21

zyxBBxy

zOzO

z

IR

x

y

z

I

.αγωγότοναπόκαιαγωγότοναπό

θέσηκατακόρυφησεβρίσκεται0,,σημείοτυχαίοΤο

21 OzOz

yx

I

1O

2O

α,προηγούμενταβάσηΜε

:ισχύειτότε,καιαγωγούςτουςαπό

πεδίαμαγνητικάταείναιαντίστοιχακαιαν

21

21

OO

BB

.και 2121 yyxx BBBB

:έχουμεολικότογιαΕπομένως, B

.ˆ,,ˆ2121 zzyxBzBBBBB zz

187 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

:εποπτικάκαιπροκύψειναμπορείαγωγών

κυκλικώνόμοιωνπαράλληλωνδύομεταξύεπίπεδο

μεσοκάθετοτογιαˆ,αποτέλεσμαΤο zyxBB

επίπεδομεσοκάθετο

2αγωγός

1αγωγός

επιπέδου.υμεσοκαθέτοτουσημείοτυχαίοσε

αγωγούςτουςαπόπεδίατακαιΈστω 21 BB

1B

2B

Άρα,επίπεδο.μεσοκάθετοτοπροςως

κατοπτρικάείναικαιταΠροφανώς 21 BB

επίπεδο.στομέσασυνιστώσεςίδιεςτιςέχουνκαιτα 21 BB

z

188 ΝΟΜΟΣ TOY AMPERE: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΗΝΙΑ

.ρεύμααπόιδιαρρέονταοποίουτουσπείρεςοιμήκουςαπείρου

ςσωληνοειδέαπόπεδίομαγνητικότοουμεπροσδιορίσΘα

I

μήκους.μονάδαανάσπείρεςμεάλληστηνμίαηκοντά

πολύείναιύςσωληνοειδοτουσπείρεςοιότιΥποθέτουμε

n

αγωγών.κυκλικώνεπαλληλίασε

προσέγγισηκατάίαντιστοιχεπηνίοπυκνότοΕπομένως

.ˆ,,είναιθα

α,προηγούμενταβάσημε,επίπεδομεσοκάθετο

στοτότεοπεπερασμένείναιπηνίουτουμήκοςτοΑν

0

0

zzyxBB

zz

και"μεσοκάθετο"είναιάξοναστονκάθετο

επίπεδοκάθετότεάπειρο,είναιςσωληνοειδέτοΑν

0 zzz

.κάθεγιαˆ,, 00 zzzyxBB

.ˆ,άρακαισύστηματοαλλάζειδεν

κατάμετατόπισηςσωληνοειδέάπειρογιαΕπίσης,

zzyxBBz

I

I

I

l

z

189 ΝΟΜΟΣ TOY AMPERE: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΗΝΙΑ

a

b

1βρόχος

Αμπεριανός

2βρόχος

Αμπεριανός

μήκους.απείρουςσωληνοειδέαπόπεδίο

μαγνητικότοουμεπροσδιορίσΘα

.ˆ,:Έχουμε zyxBB

l

IldB 01

σχέσητηΑπό

βρίσκουμε1βρόχοτονγια

.,, babrBarB

ς.σωληνοειδέτοαπόέξω0

έχουμε,0Επειδή

B

rB

ρεύμαπερνάει2βρόχοτοναπόΜέσα

μήκους.μονάδαανάσπειρώντων

αριθμόςοείναιόπου, nnIlI

2βρόχοτονγιαβρίσκουμεΈτσι

ς.σωληνοειδέστομέσα

,ˆ00 znIBnIlBl

I

190 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΑΓΩΓΟ: ΝΟΜΟΣ AMPERE

1AmpereτουνόμοτοναπόΞεκινώντας 0 IldB

.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπουσύρμαευθύγραμμοάπειρο

δημιουργείπουπεδίομαγνητικότοβρούμεναεύκολαπολύμπορούμε

I

I y

z

.ˆσυμμετρίαηυπάρχειότιδείξουμεναπρώτα

πρέπει1νόμοτονόμωςεεφαρμόσουμναΓια

BB

.ˆ,,ˆ,,ˆ,,:είναιτουμορφήγενικήΗ zzrBzrBrzrBBB zr

.ˆ,ˆ,ˆ,:είναι

σύρμαάπειροπροςωςςμετατόπισησυμμετρίαςΛόγω)1

zrBrBrrBB

z

zr

.ˆˆˆ:προςωςςπεριστροφήσυμμετρίαςΛόγω)2 zrBrBrrBB zr

1βρόχος

.,,

με1βρόχοστον1τηνεΕφαρμόζουμ)3

21210 rrrzzz

.δηλαδή,,,:ότιέτσιΠροκύπτει 2121 άBrrrBrB zzz

191 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΑΓΩΓΟ: ΝΟΜΟΣ AMPERE

I

y

z

.ˆˆˆ:προςωςςπεριστροφήσυμμετρίαςΛόγω)2 zrBrBrrBB zr

.δηλαδή,,,:ότιέτσιΠροκύπτει3) 2121 άBrrrBrB zzz

.0πρέπειθαγιαλίγο,σεδούμεθαόμωςΌπως zBr

.ˆˆ:είναιΔηλαδή rBrrBB r

πρόσημο.αλλάξειναπεδίοτοσχέσητηαπό

πρέπειθαρεύμαστοφοράτηναλλάξουμεΑν4)

0JB

.0πρέπειθα,ˆτοαλλάζειδεν

περιστροφήηΕπειδήάξονα.τοναπόπ.χ.,γύρω,180κατά

περιστροφήμεισοδύναμηείναιρεύματοςτουαντιστροφήηΌμως

ο

rr BrB

x

2βρόχος

:βρίσκουμεκαι0,20,

με2βρόχοστον1τηνεεφαρμόζουμΤελικά)5

10 rrzz

.ˆ2

21

001

r

IBIrB

;γιαιμηδενίζεταναπρέπειεδώπεδίομαγνητικότοόμωςΓιατί r

192 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΑΓΩΓΟ: ΝΟΜΟΣ AMPERE

I

y

z

;γιαιμηδενίζεταναπρέπειεδώπεδίομαγνητικότοόμωςΓιατί r

.ταχύτηταμεκινείταιφορτίοτηςςστοιχειώδεκάθεότικαι

φορτίουπυκνότηταγραμμικήυπάρχεισύρμαστοότιυποθέσουμεΑς

v

.ταχύτηταμε

κινείταιπουσύρματοαπόαπόστασημεγάληπολύ

σεφορτίοσημειακόόδοκιμαστικεπίσηςΈστω

V

q

.δύναμηδέχεταιΤο BVqFq

v

ταχύτηταμεκινείταιπουαναφοράςσύστημασεπάμεΑν

.δύναμηδέχεταικαιφορτίου

κατανομήστατικήεταιαντιλαμβάνφορτίοτοτότε

EqF

q

.0δηλαδή,0είναιΓια FEr

FF

ισχύειΓαλιλαίουτουισμούςμετασχηματτουςαπόΕπειδή

ό.έ.δ.,για0επομένως,0πρέπειθα rBVBV

193 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

.δυναμικούτουεισαγωγήστηνοδηγεί0σχέσηΗ VEE

,σχέσηστηεοδηγούμαστ0σχέσητηαπόΟμοίως, ABB

.κόδιανυσματιμαγνητικόλεγόμενοτοορίζειπου A

συνάρτησηβαθμωτήόπουανΠροφανώς, ffAA

.αφούπεδίοίδιοτονπεριγράφουκαιτα

0 fAABAA

:βρίσκουμετουαπόκλισητηνγιαΈτσι A

.2 fAfAA

.ώστετέτοιασυνάρτησηβαθμωτήβρούμε

ναμπορούμεπεδίοέναγιαανερώτηματοτώραΤίθεται

2 Aff

A

.0οποίαταγιαπεδίακάδιανυσματιταεκείναεπιλέξουμενα

πάντοτεμπορούμεότισημαίνειαυτόκαιθετικήείναιαπάντησηΗ

A

Coulomb.βαθμίδακαιονομάζεται0σχέσηΗ A

194 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

:βρίσκουμετώραAmpereτουνόμοτονΑπό

.0

22

0

JAAAAB

Poissonεξίσωσηςτηςτύπουτουείναι1εξίσωσηΗ 0

2 JA

ναΣυγκεκριμέλύση.παρόμοιαέχειθαάρακαι

w

drrVV

0

0

2

4

1βρίσκουμετηναπόόπως

.όπου,4

τηνλύσηέχει1εξίσωσηηκαιέτσι 0 rrww

drJrA

έχουμερεύματοςπυκνότητεςέςεπιφανειακκαιγραμμικέςγιαΑντίστοιχα

.D24

καιD14

00

w

adKrA

w

lIdrA

195 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ ΠΕΔΙΟΥ

.2

1:είναιπεδίομαγνητικόομογενέςγια

δυναμικόκόδιανυσματιτοότιδείξουμεναΜπορούμε

BrA

.ˆότιΈστω zBB

:είναινεςσυντεταγμέςκυλινδρικέΣε

,ˆ2

ˆˆˆ2

1

rBzBzzrrA

.

2,0,0

rBAAA zr

z

A

r

rA

rr

A

z

Ar

z

AA

rA rzrz ˆ

1ˆˆ1

:Είναι

ό.έ.δ.,ˆˆ

21zBz

r

rrB

rA

,0

11:είναιΕπιπλέον

z

AA

rr

rA

rA zr

Coulomb.βαθμίδαστηνείμαστεδηλαδή

x

y

z

rr

196 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΑΓΩΓΟ

P

κύκλου.τουκέντροτοαπόπάνω

απόστασηβρίσκεταιπουσημείοσεδυναμικόκόδιανυσματιμαγνητικό

τοΒρείτε.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιακτίναςαγωγόςΚυκλικός

z

P

IR

x

y

z

z

.όπου1,4

:τύπογενικότονΈχουμε 0 rrww

ldIrA

C

,ˆ:έχουμενεςσυντεταγμέςκυλινδρικέΣε Rdld w

R .,ˆˆ 222 zRwrRzzw

:βρίσκουμε1σχέσητηναπόΕπομένως,

.0cosˆsinˆ4

2

0

0

Rdyx

w

IrAP

r

I .cosˆsinˆsinˆcosˆˆˆˆˆ:ακόμηΕίναι yxyxzrz

197 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

.,0,σημείοσεδυναμικόκόδιανυσματιμαγνητικό

τοΒρείτεαξόνων.τωναρχήτηνκέντρομεεπίπεδοστοβρίσκεται

αγωγόςΟ.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιακτίναςαγωγόςΚυκλικός

zx

xy

IR

x

y

z

όπου,cosˆsinˆ

4

2

0

0

dφ

w

φyφxIrA

:έχουμεπερίπτωση

τηναυτήνΣε

wR

φyφxRzzxxrRzzxxw sinˆcosˆˆˆˆˆˆ

:παίρνουμε1τηναπόΕπομένως

και0cos2

sin

4

2

0 222

0

dφ

φRxzRx

φIrA

άή

x

r

φ

I

.cos2222 φRxzRxw

μόνοδίνεταιπου,cos2

cos

4

2

0 222

0

dφ

φRxzRx

φIrA y

των.ολοκληρωμάελλιπτικώνλεγόμενωντωνσυναρτήσει

B

198 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΡΟΗ

γραφτείναμπορείσχέσηδιαφορικήΗ AB

όπου1, SCadBldA

.επιφάνειατηναπόμέσα

περνάειπουροήμαγνητικήλεγόμενηηείναι

S

C

S

I

ς,σωληνοειδέστομέσαˆ0 znIB

ς.σωληνοειδέτοαπόέξω0B

ςσωληνοειδέάπειρο:Παράδειγμα

:1τηνΑπό

.ˆ2

2:ςσωληνοειδέστομέσα)1 00

2

nIrAnIrrA

.ˆ2

2

:ςσωληνοειδέτοαπόέξω)2

2

00

2

r

nIRAnIRrA

199

φορτίου.κατανομήτηναπόμακριάσημείοσεδυναμικότοβρούμε

ναΘέλουμε.φορτίουκατανομήυπάρχειχώρουτουπεριοχήΣε

P

r

d

O

r

Pr

w

.4

είναισημείοστοδυναμικόΤο0

w

drrVP

έχουμενσυνημιτόνωνόμοτοΑπό

,cos21cos2

2

22 r

r

r

rrrrrrw

.cos2όπου,1αλλιώςή

2

r

r

r

rrw

δίνει16

5

8

3

2

111TaylorανάπτυγματοΈτσι 3221

.για1

Προφανώς

rr

32

16

5

8

3

2

11

1

1

11

rrw

ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ: ΣΥΝΕΧΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

200

βρόχο.τοναπόμακριάσημείοσε

δυναμικόκόδιανυσματιτοβρούμεναΘέλουμε.έντασηςρεύμααπό

διαρρέεταιπουβρόχοςΑμπεριανόςυπάρχειχώρουτουπεριοχήΣε

PA

I

C

O

r

P

r

w

1.4

είναισημείοΣτο 0

C w

ldIrAP

ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ld

I .cos2

,16

5

8

3

2

11

112

232

r

r

r

r

rw

:βρίσκουμε1τηναπόΤελικά

3

22

2

0 2

1cos3'cos

4 r

ldr

r

ldr

r

ldIrA

CCC

μονόπολουόρος δίπολουόρος τετράπολουόρος

ατική.μαγνηστοστστηνπάντοτειμηδενίζεταμονόπολουτουόροςΟ

201 ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ

:βρίσκουμε1τηναπόΤελικά

3

22

2

0 2

1cos3'cos

4 r

ldr

r

ldr

r

ldIrA

CCC

δίπολουόρος

1.4

είναισημείοΣτο 0

C w

ldIrAP

:έχουμεδιπόλουτουόροτονΓια

CC

ldrrr

Ildr

r

IrA

ˆ

4cos

4 2

0

2

0

1.ˆ

:έχουμεStokesτουθεώρηματοΑπό

SC

dafnlfd

O

r

P

r

w

ld

I

:βρίσκουμε

ˆΓια rrf

C

S

.ˆˆˆˆˆ r

z

zrz

y

yry

x

xrxzryrxrrr zyx

zyxrr

zzyyxxrzryrxrr zyxˆˆˆκαιˆˆˆˆότιέστω

202 ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ

:έχουμεδιπόλου

τουόροτονΓια

CCldrr

r

Ildr

r

IrA

ˆ

4cos

4 2

0

2

0

,ˆˆˆˆˆ:προκύπτειΈτσι radnadrnldrrSSC

:έχουμετελικάκαι

όπου,ˆ4 2

0 rmr

rA

βρόχου.επίπεδουτουροπήδιπολικήμαγνητικήηείναιaIadImC

1.ˆ

:είναιStokesτουθεώρηματοΑπό

SC

dafnlfd

.ˆˆ:βρίσκουμεˆΓια rrrrrf r

O

r

P

r

w

ld

I

ρεύματος.πυκνότηταχωρικήηόπου,2

1:διαστάσεις3Σε JdrJrm

203 ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

.στοάλλοτοκαιεπίπεδοστοένατο,ακτίνας

ημικύκλιαδύο)3,πλευράςότετραγωνικ)2,ακτίναςκυκλικό1)

:πλαισίωνωνρευματοφόρπαρακάτωτωνροπήδιπολικήηβρεθείΝα

xzxyR

aR

I

.ˆ)1 2zRIm

x

y

x

y I

.ˆ)2 2zIam

x

y

z

.ˆ2

ˆ2

)322

21 yR

IzR

Immm

I

I

204 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ ΔΙΣΚΟΥ

δίσκου.τουροπήδιπολικήμαγνητικήηβρεθείΝατου.κέντρο

τοαπόπερνάκαιδίσκοστονκάθετοςείναιπουάξονατοναπό

γύρωταχύτηταγωνιακήμεταιπεριστρέφεκαιπυκνότητας

φορτίοόεπιφανειακομοιόμορφοφέρειακτίναςδίσκοςΚυκλικός

R

x

y

O

r

διαρρέεταιπουπλαίσιοκυκλικόσείαντιστοιχε

πάχουςκαιακτίναςδακτύλιοςλεπτόςΈνας drr

.2

2:έντασηςρεύμααπό rdr

rdr

T

dq

dt

dqdI

.:ροπή

μαγνητικήστηνισυνεισφέρεπλαίσιοκυκλικότοΑυτό

32 drrrrdrdadIdm

είναιροπήδιπολικήμαγνητικήσυνολικήηΕπομένως,

.ˆ4

κάδιανυσματικαι4

44

0

3

0z

Rm

Rdrrdmm ί

RR

ί

δίσκο.στονφορτίοολικότοόπου,ˆ4

είναιΕπίσης 22

RQzRQ

m ί

205 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ ΣΦΑΙΡΑΣ

σφαίρας.τηςροπήδιπολικήμαγνητικήηβρεθείΝατης.κέντροτο

απόπερνάπουάξονααπόγύρωταχύτηταγωνιακήμεταιπεριστρέφε

καιπυκνότηταςχωρικήςφορτίοομοιόμορφοφέρειακτίναςΣφαίρα

R

.φορτίοφέρειπάχους

καιακτίναςδίσκοςλεπτόςΈνας

2dzrQdz

r

r

.4

ˆ4

:ροπήδιπολικήμαγνητική

έχειαυτόςδίσκοςοπρόβλημα,οπροηγούμεντοΑπό

42 dzrz

rQmd r

r

είναισφαίραςτηςροπήδιπολικήσυνολικήηΕπομένως,

3

252

224

32

55

0

22444 R

RR

RdzzRzRdzr

mRR

Rί

x

y

z

r

R

:έχουμεσχήματοςτουγεωμετρίατηΑπό

.2 22444222 zRzRrzRr

.3

4όπου,ˆ

5ˆ

53

4ˆ

15

4 32235

RQz

RQz

RRz

Rm ί

206 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ ΣΦΑΙΡΑΣ

σφαίρας.τηςροπήδιπολικήμαγνητικήηβρεθείΝατης.κέντροτο

απόπερνάπουάξονααπόγύρωταχύτηταγωνιακήμεταιπεριστρέφε

καιπυκνότηταςχωρικήςφορτίοομοιόμορφοφέρειακτίναςΣφαίρα

R

φορτίουπυκνότηταχωρικήυπάρχειαυτήπερίπτωσηΣτην

.sinˆ:ςσυνταγμένεσφαιρικέςσε rφvJ

x

y

z

.0sincosταολοκληρώμαπεριέχουν

γιατίαιμηδενίζονττηςσυνιστώσεςκαιΟι

2

0

2

0

φdφφdφ

myx

.sinˆsinˆˆ:λοιπόνΕίναι 2 rrφrrJr

.sinˆsincosˆcoscosˆˆ:ακόμηΕίναι zφyφx

R

z rddφdrrJrmzmm0 0

222

0

2 sinsin2

1

2

1όπου,ˆΆρα

.15

41

5coscos1

51

1

25

0 0

24 Rdxx

Rddrrm

Rx

ως.προηγουμένβρήκαμεπουαυτόμεσυμπίπτειαποτέλεσμαΤο

rφ

207 ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ διπόλουηλεκτρικούιδανικούτουορισμότονμεααντιστοιχίΣε

Taylor.ανάπτυγμαστομοναδικόόροδιπολικότονμεπεδίομαγνητικό

δημιουργείπουβρόχοΑμπεριανότονδίπολομαγνητικόιδανικόωςορίζουμε

.ˆ4

έχουμεπερίπτωσητηναυτήνΣε2

0 rmr

rA

zmm ˆˆμεαξόνωντωναρχήστηνίτοποθετηθετοανκαι

καιˆ4

sinέχουμενεςσυντεταγμέσφαιρικέςσετότε

2

0 φr

mA

.4

sin,0εδώόπου,

sin

ˆsinˆˆ

sin

12

0

2 r

mAAA

ArrAA

φθr

φrθrr

rAB φr

φθr

ο.πεπερασμένπαραμένειναγινόμενοτοώστε

ούτωςέντασηςμεγάληςρεύμααπόδιαρρέεταιαλλά,εμβαδόμικρό

πολύέχειπουβρόχοςΑμπεριανόςέναςείναιδίπολομαγνητικόιδανικόΤο

Iam

Ia

208 ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

.4

sin,0εδώόπου,

sin

ˆsinˆˆ

sin

12

0

2 r

mAAA

ArrAA

φθr

φrθrr

rAB φr

φθr

.sinˆcosˆ24

sinˆsinˆ

sin

1

4:Άρα

3

0

22

2

0

θr

r

m

r

rθr

θ

rr

r

mB

δίπολοΙδανικόδίπολοΦυσικό

209 ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

.4

έχουμεπερίπτωσητηναυτήνΣε2

0 rmr

rA

1.ˆ

4:λοιπόνΕίναι

2

0

r

rmrAB

yxxzzyzyx xmymzzmxmyymzmxr

rzryrx

mmm

zyx

r

rm

ˆˆˆ

1ˆˆˆ

3

333

3

:Όμως

και

ˆˆˆ

:Άρα333

3

rxmymrzmxmrymzm

zyx

zyx

r

rm

yxxzzy

333 r

zmxm

zr

xmym

yr

rm xzyx

x

.3333

355

22

5

22

555

22

zyxxzy

x zmymr

x

r

rxm

r

zrm

r

zm

r

ymx

r

yrm

210 ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

:αλλιώςή,333

:Όμως3555

22

r

m

r

xzmymxmzmym

r

x

r

rxm xzyx

zyx

.3

353 r

m

r

xrm

r

rm x

x

:βρίσκουμεΟμοίως

353353

3,3r

m

r

zrm

r

rm

r

m

r

yrm

r

rm z

z

y

y

δηλαδή,3

4:Τελικά

353

0

r

m

r

rrm

r

rmB

.ˆˆ34

:διπόλουμαγνητικούΠεδίο3

0 mrrmr

B

.ˆˆ34

1:διπόλουηλεκτρικούΠεδίο

3

0

prrpr

E

x

y

zO

211 ΔΥΝΑΜΗ – ΡΟΠΗ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ

πλαίσιο.στοδύναμητηνβρούμεΘαμικρή.πολύείναιτετραγώνουτου

πλευράηότιΥποθέτουμε.πεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεται

καιέντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπλαίσιοότετραγωνικότιΈστω

aB

I

.σημείοστοπεδίουμαγνητικούτουτιμήηΈστω OBO

I

A

CD,:είναιτουμήκοςκατάΤότε

0

x

OOAx

BxBBOA

.:τουμήκοςκατάενώ

00

yx

ODCy

Ba

x

BxBBDC

:είναικαιτμήματαταδέχονταιπουδύναμηηΕπομένως CDOA

a

DC

a

OACDOA

CDOA dxBxIdxBxIBldIBldIFF00

ˆˆ

00

2

00

ˆˆˆy

By

y

BzIadx

y

BxIaFF zya

CDOA

x

y

zO

212 ΔΥΝΑΜΗ – ΡΟΠΗ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ

πλαίσιο.στοδύναμητηνβρούμεΘαμικρή.πολύείναιτετραγώνουτου

πλευράηότιΥποθέτουμε.πεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεται

καιέντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπλαίσιοότετραγωνικότιΈστω

aB

I

I

A

CD:καιτμήματα

ταγιαέχουμεΟμοίως

ACOD

:είναικαιτμήματασταδύναμηηΕπομένως ACOD

000

,

yx

OAC

y

OODy

By

x

BaBB

y

ByBB

aa

AC

a

ODACOD dxx

ByIadyByIdyByIFF

00

00ˆˆˆ

.ˆˆ00

2

x

Bx

x

BzIaFF zx

ACOD

00

2 ˆˆy

By

y

BzIaFF zy

CDOA

x

y

zO

213 ΔΥΝΑΜΗ – ΡΟΠΗ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ

πλαίσιο.στοδύναμητηνβρούμεΘαμικρή.πολύείναιτετραγώνουτου

πλευράηότιΥποθέτουμε.πεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεται

καιέντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπλαίσιοότετραγωνικότιΈστω

aB

I

I

A

CD καιˆˆότιλοιπόνΒρήκαμε00

2

y

By

y

BzIaFF zy

CDOA

.ˆˆ00

2

x

Bx

x

BzIaFF zx

ACOD

είναιδύναμη

ολικήηΆρα

.ˆˆˆ

0000

2

y

By

x

Bx

y

B

x

BzIaFFFFF zzyx

ACODCDOA

τελικάβρίσκουμεέτσικαι0όμωςΕίναι000

z

B

y

B

x

BB zyx

Bmy

By

x

Bx

z

BzIaF zzz

000

2 ˆˆˆ

.τετραγώνουτουροπήδιπολικήμαγνητικήηείναιˆόπου 2zIam

214 ΔΥΝΑΜΗ – ΡΟΠΗ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ

.ˆκατεύθυνσηγενικήπροςροπήέχειπουδίπολομαγνητικόςστοιχειώδε

εοποιόδηποτγιαισχύειδηλαδήισχύ,γενικήέχειτύποςΟ

n

BmF

προκύπτειπαραπάνωοιόπωςύςσυλλογισμοπαρόμοιουςΜε

ότιπροκύπτεισχέσητηνΑπό UF

.είναιπεδίοσεμέσαδιπόλουμαγνητικούενέργειαδυναμικήη BmUBm

.:ροπήδέχεταιπεδίοσεμέσαροπήςδίπολομαγνητικόότι BmNBm

ότιδείχνουνκαισχέσειςΟι BmNBmU

.τοπροςπαράλληλαίζεταιπροσανατολ

πεδίοσεμέσαροπήςδίπολομαγνητικό

B

Bm

.ροπήςδίπολοηλεκτρικόιδανικόγια

καισχέσειςτιςμεπαρόμοιεςείναι

ισμόςπροσανατολσχετικόςοκαισχέσειςπαραπάνωΟι

p

EpNEpU

215 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΔΙΠΟΛΟΥ

.ˆˆ34

πεδίομαγνητικόδημιουργείδίπολομαγνητικόότιδειΈχουμε

3

0 mrrmr

B

1122 δίπολοπροςωςθέσησεβρεθείροπήςδίπολοανΕπομένως, mrm

ενέργειαδυναμικήέχειδιπόλωντωνζεύγοςτοτότε

.

ˆˆ3

4 3

12

12212121012

r

rmrmmmBmU

διπόλωνηλεκτρικώνζεύγους

περίπτωσηστηνκαιΌπως

.τοπροςπαράλληλαίζεταιπροσανατολ

δίπολομαγνητικόόδοκιμαστικτο

1

2

B

m

216

.ισορροπίαςκατάστασητηνρείτενται.περιστρέφοναμπορούνκαι

απόστασησταθερήσεβρίσκονταιροπήςμέτρομεδίπολαμαγνητικάΔύο

a

m

.

4

ˆˆ3

4ασηςαλληλεπίδρενέργειαςτης

ίησηελαχιστοποτηναπόπροκύπτειισορροπίαςκατάστασηΗ

3

12

122121210

r

rmrmmmU

ΔΙΠΟΛΟ ΣΤΗΝ ΓΕΙΤΟΝΙΑ ΔΙΠΟΛΟΥ: ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ

:ταΠαραδείγμα

:0,θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)1 21 aymmxmm

.0

030

4,ˆˆ

3

012

a

mUxr

.

4

003

4,ˆˆ

3

2

0

3

2

012

a

m

a

mUyr

:,0θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)2 21 axmmxmm

.

24

23

4,ˆˆ

3

2

0

3

2

0

3

2

012

a

m

a

m

a

mmmUxr

:0,θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)3 21 axmmxmm

x

y

z

x

y

z

x

y

z

217 MΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ ΑΤΟΜΩΝ

IέντασηςρεύμααπόδιαρέεταιπουπλαίσιοκυκλικόότιδειΈχουμε

,ˆροπήδιπολικήμαγνητικήέχει 2zrIm

.ˆ22

1ˆˆˆδηλαδή 222 zrvrzrvzr

dt

ds

ds

dqzr

dt

dqm

ται.περιστρέφεπουφορτίοολικότοείναι2όπου Qr

.μάζασείαντιστοιχεαυτόφορτίοτοότιΈστω M

,2

ˆ2

ˆ2

1:Τότε L

M

QzvrM

M

QzvrQm

άτομα.σταπυρήνεςτουςαπόγύρωνηλεκτρονίωτων

κίνησητηνγιανεφαρμοστούναμπορούνπεριγραφή,νικήκβαντομηχα

σωστήτηνμεσχέσησεατελείςείναιπαρότιί,συλλογισμοπαραπάνωΟι

I

.ˆ2zRIm

x

y

.συστήματοςτουστροφορμήολικήηˆόπου zvrML

218 MΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ ΑΤΟΜΩΝ

.συστήματοςτουστροφορμήολικήηόπου,2

:Είναι LLM

Qm

,2

:άτομοσευηλεκτρονίοενόςκίνησηκυκλικήτηνγιαΈτσι, Lm

em

e

πυρήνα.τοναπόγύρωυηλεκτρονίοτουστροφορμήτροχιακήη

καιυηλεκτρονίοτουφορτίοτοκαιμάζαηείναικαιόπου

L

eme

.2

ροπήμαγνητικήτροχιακήεμφανίζειάτομοτοτότεάτομο

κάποιοσενηλεκτρονίωτωνστροφορμήτροχιακήολικήηείναιΑν

Lm

em

L

e

L

ανάλογο.κλασικό

χωρίςιδιότητακβαντικήκαθαράείναιπουspinτουλόγωσωστάπιο

,ροφής"ιδιοπεριστ"λόγωστροφορμήέχειηλεκτρόνιοκάθες,Ταυτοχρόνω

S

!2όμωςόπου,2

:ροπήδιπολικήspinκαιυπάρχειΈτσι s

e

sS gSm

egm

219 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΥΛΙΚΩΝ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΣΗ

άτομο.ένασεροπήδιπολικήμαγνητικήκάποιαδίνειροπής

διπολικήςμαγνητικήςspinτηςκαιτροχιακήςτηςσυνδυασμόςΟ

m

ις.κατευθύνσετυχαίεςκατά

ατόμωντωνροπέςδιπολικέςτιςίσουνπροσανατολνατείνουνκινήσεις

θερμικέςτυχαίεςοια,θερμοκρασίμηδενική-μηηπεπερασμένΣε

μαγνήτιση.ιεμφανίζετανααποτέλεσμαμεδίπολα,ατομικά

ταβαθμόκάποιοσείζειπροσανατολπεδίουμαγνητικούΕφαρμογή

όγκου.μονάδαανάροπήδιπολικήμαγνητικήτηνωςμαγνήτισητην

ορίζουμεδιπόλωνμαγνητικώνκατανομήμίαφέρειπουυλικόέναΓια

rM

.ροπήδιπολικήυπάρχειθέσηστηνόγκοστοιχειώδηΣε drMmdrd

.rrwrw

wmdAd

md

μεθέσηστηˆ

4

δυναμικόκόδιανυσματιδημιουργείροπήΗ

2

0

220 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΥΛΙΚΩΝ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΣΗ

.rrwrw

wmdAd

md

μεθέσηστηˆ

4

δυναμικόκόδιανυσματιδημιουργείροπήΗ

2

0

1.ˆ

4είναιτηςλόγωστοδυναμικόολικόΤο

2

0

d

w

wrMrArMr

ισχύεινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε ΄Αρα.ˆ1

ˆ1

2r

r

rrr

r

.ˆ1

τότεμεταβλητήτηνγιαβαθμίδαηείναιαν2w

w

wrrw ww

Επομένως.ˆ1άρακαιόμωςΕίναι 2wwwrwr

.1

4

0

d

wrMrA r

.όμωςΕίναι

CfCffC

fCCfCf

2.4

:,1

γιαΆρα 0

d

w

Md

w

MrAMC

wf r

r

221 ΔΕΣΜΙΑ ΡΕΥΜΑΤΑ

2.4

:Άρα 0

d

w

Md

w

MrA r

r

.:ταυτότηταμαθηματικήηόμωςΙσχύει S

adCdC

3.4

:Επομένως 0

S

r

w

adMd

w

MrA

MJb

ρεύματοςπυκνότηταχωρικήορίσουμεΑν

διπόλων.μαγνητικώνκώνμικροσκοπιπαρουσίατηνμε

ισχετίζονταπουρευμάτωνδέσμιωνπυκνότηταήεπιφανειακ

καιχωρικήτηορίζουνˆκαισχέσειςΟι nMKMJ bb

έχουμετότεˆρεύματοςπυκνότηταήεπιφανειακκαι nMKb

4.4

0

S

bb

w

adrKd

w

rJrA

222 ΜΑΓΝΗΤΙΣΗ – ΠΕΔΙΟ Η

μαγνήτιση.μεισχετίζονταδενπουρεύματαδηλαδήρεύματα,

ελεύθερακαιαλλάδέσμια,υπάρχουνχώρουτουπεριοχήσεότιΈστω

.καιείναιρεύματοςπυκνότητεςςαντίστοιχεοιότιακόμηΈστω fb JJ

MJJJJB fbf

000:τότεΕίναι

1.1

00

ff JMB

JMB

2.:μορφήτηνπαίρνει1ηορισμότονΜε0

fJHMB

H

,:ισχύειμορφήκήολοκληρωτιΣε fC

IldH

.βρόχοτονσύνοροέχει

πουεπιφάνειααπόμέσαπερνάειπου

ρεύμαελεύθεροσυνολικότοόπου

C

S

I f

fJ

C

S

.0τότεσχήμαστοόπωςτηνεδιατρέχουμΑν fIC

223 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ

HM m

σχέσηηισχύειμέσαμαγνητικάγραμμικάταΓια

υλικού.τουτηταεπιδεκτικόμαγνητικήηείναιόπου m

HHMHB m

1:βρίσκουμεΈτσι 00

μέσου.τουηταδιαπερατότμαγνητικήηείναι1όπου 0 m

Τύποι μαγνητικής συμπεριφοράς:

ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΚΟ: Απουσία εγγενούς Μ, απόκριση σε

εξωτερικό H, M παράλληλο στο H , χm > 0 (π.χ. Ο2, Al, Pt, κ.ά.)

ΔΙΑΜΑΓΝΗΤΙΚΟ: Απουσία εγγενούς Μ, απόκριση σε εξωτερικό

H, M αντι-παράλληλο στο H, χm < 0 (π.χ. Cu, Au, Ag, κ.ά.)

Κατηγοριοποίηση ανάλογα με την απόκριση σε εφαρμοζόμενο

μαγνητικό πεδίο H

224 ΠΡΟΒΛΗΜΑ

κυλίνδρου.τουεκτόςκαιεντόςπεδίομαγνητικότοΒρείτε

.ˆότιέστωτουάξονάστονπαράλληλημαγνήτιση

ομοιόμορφημιαέχειακτίναςκαιμήκουςάπειρουκύλινδροςΈνα

zMMM

R

z

bK

bK

bK

.0ρεύματοςδέσμιου

πυκνότηταχωρικήσείαντιστοιχεαυτήμαγνήτισηΗ

MJb

.ˆˆˆˆρεύματοςδέσμιου

πυκνότηταήεπιφανειακσείαντιστοιχεΕπίσης

MrzMnMKb

1βρόχος

ll

2βρόχος

.,,βρίσκουμε1βρόχοτονΓια babrBarB

.0άρα,0Είναι RrBrB

ρεύμαπερνάει2βρόχοτοναπόΜέσα

.MlKlI

2βρόχοτονγιαβρίσκουμεΈτσι

ς.σωληνοειδέστομέσα,ˆ00 zMBMlBl

225 ΠΡΟΒΛΗΜΑ

ύς.σωληνοειδοτουεκτόςκαιεντόςπεδίομαγνητικό

τοβρεθείνα,έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταικαιμήκουςμονάδαανά

σπείρεςέχειςσωληνοειδέτοΑν.τηταςεπιδεκτικόυλικόγραμμικό

απόγεμάτοείναιακτίναςκαιμήκουςαπείρουςσωληνοειδέΈνα

I

n

R

m

I

z.:σχέσητηνήσουμεχρησιμοποιΘα f

CIldH

.,,βρίσκουμε1βρόχοτονΓια babrHarH

.0 RrHB

ρεύμαελεύθεροπερνάει2βρόχοτοναπόΜέσα

.nIlI f

2βρόχοτονγιαβρίσκουμεΈτσι

ς.σωληνοειδέστομέσα,znIHnIlHl

1βρόχος

l

τελικά,0είναιπηνίοτοαπόέξωΕπειδή M

l

2βρόχος .ˆ1,:γιαΕπίσης 0 znIBHMRr mm

226 Σιδηρομαγνητισμός, Αντισιδηρομαγνητισμός

Τύποι μαγνητικής συμπεριφοράς:

Κατηγοριοποίηση με βάση την ύπαρξη (εγγενούς) μαγνήτισης

ΣΙΔΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ: Εγγενής μαγνήτιση, παράλληλες μαγνητικές

ροπές, του ίδιου μεγέθους (π.χ. Fe, Ni, Co)

ΣΙΔΗΡΙΜΑΓΝΗΤΙΚΟ: Εγγενής μαγνήτιση, παράλληλες μαγνητικές

ροπές, ανόμοιου μεγέθους (π.χ. Fe3O4)

ΑΝΤΙΣΙΔΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ: Εγγενής μαγνήτιση, αντι-παράλληλες

μαγνητικές ροπές, του ίδιου μεγέθους (π.χ. Cr, NiO, κ.ά.)

ΣΙΔΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΑΝΤΙΣΙΔΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΣΙΔΗΡΙΜΑΓΝΗΤΙΚΟ

227 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM, ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ

αγωγό.στονπαντούκαι0τότεΕίναι.ισορροπία

τικήηλεκτροστασεπουαγωγώνάσυμπεριφορτηνεξετάσαμετώραΜέχρι

όVE

E

0E

0E

EJ

.0καιρεύμααπόδιαρρέεται

αγωγόςοτότεδυναμικούδιαφοράκάποιασε

αιδιατηρούνταγωγούτουόμωςάκραταΌταν

E

φορτίουπυκνότηταμηδενικήσυνολικάέχειαγωγόςοΕπειδή

1.0:δίνειPoissonεξίσωσηη 2 V

αγωγού.τουάκρασταδυναμικούδιαφορά

νηεπιβαλλόμετηνσυνθήκεςσυνοριακές

με1τηναπόεταιπροσδιορίζδυναμικόΤο

τηνκαιπεδίοτοβρίσκουμεΚατόπιν VE

αγωγού.τουααγωγιμότητηείναιόπου,ρεύματοςπυκνότητα EJ

ισχυρά.πολύείναιδενπου

πεδίαγιαισχύεικαιOhmτουνόμοςωςγνωστήείναισχέσηΗ EJ

228 ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ, ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ

.αγωγούτουαντίστασητην

ουμεπροσδιορίσναμπορούμετότεδιαρρέειτον

πουρεύματοςέντασηολικήτηνκαιαγωγούτου

άκρασταδυναμικούδιαφοράτηνβρούμεΑν

IVR

I

V

D

:λοιπόνΕίναι .2

S

C

S

C

sdE

ldE

sdJ

ldER

αγωγού.τουαντίστασηειδικήηείναι1όπου,3τότε

διατομήστηνπαντούίδιαηείναιααγωγιμότητηπουπερίπτωσηΣτην

S

C

sdE

ldER

S

0τηςλύσηημήκουςκαιδιατομήςσταθερήςαγωγόένανΓια 2 VLA

.)(,0συνθήκεςοριακέςμεδίνει 21121 VLxVVxVVVL

xVxV

.καιβρίσκουμεΈτσι 1212

A

L

AE

VVRLVVE

0E

EJ

229 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM: ΠΡΟΒΛΗΜΑ

τιμές.σταθερέςσειδιατηρείταεπιφάνειαςέξωκαιμέσατηςδυναμικότοαν

αγωγούτουαντίστασηηβρεθείΝα.αςαγωγιμότητυλικόαγώγιμοαπό

γεμάτοςείναιμεχώροςΟσημείο.ένααπόαπόστασηηΈστω 21

rrrr

O1r

2r

.με2και1ότιΈστω 122211 VVVVrVVrV D

.:είναισυμμετρίαςσφαιρικήςΛόγω rVrV

:είναινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε

.sin

1sin

sin

112

2

222

2

2

2

φ

f

r

f

rr

fr

rrf

.21συνθήκεςτιςμε30τηνλύσουμεΘα 2 V

:δίνει3η0Επειδή φVV

4.0 121

22

r

CCrVC

r

Vr

r

Vr

r

:έχουμε4και

21τιςΑπό

.και2

122

1

121

r

CCV

r

CCV .11:Έτσι

12

21121112

rr

VrrCrrCVV

D

230 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΣΦΑΙΡΙΚΟΥ ΦΛΟΙΟΥ

αγωγού.τουαντίστασηηβρεθείΝα.αςαγωγιμότητυλικόαγώγιμοαπό

γεμάτοςείναιμεχώροςΟσημείο.ένααπόαπόστασηηΈστω 21

rrrr

O1r

2r

.με2και1ότιΈστω 122211 VVVVrVVrV D

.ˆsin

1ˆˆˆ:Άρα

2

1

r

Cr

φ

V

rφ

r

V

r

VrVE

.μελύσητηνΒρήκαμε12

211

12

rr

VrrC

r

CCrV

D

είναιακτίναςσφαίρααπόμέσαλοιπόνρεύμαΤο rS

.44 1

2

2

1 Crr

CadEadJI

SS

:αντίστασητηνγιαβρίσκουμεΤελικά.

44 21

12

12

21 rr

rr

rr

Vrr

V

I

VR

D

D

D

231 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

.αντίστοιχακαιδυναμικάέχουνκαιεπιφάνειεςοιαν

αγωγούτουαντίστασηηβρεθείΝα.αςαγωγιμότητυλικόαπόγεμάτοςείναι

0καιμεχώροςΟάξονα.τοναπόαπόστασηηΈστω

2121

21

VVrrrr

Lzrrrzr

O1r

2r

.:είναισυμμετρίαςςκυλινδρικήΛόγω rVrV

:νεςσυντεταγμέ

ςκυλινδρικέΣε

δίνει3ηκαι11

2

2

2

2

22

2

z

ff

rr

fr

rrf

.21συνθήκεςοριακέςτιςμε

30εξίσωσητηνλύσουμεΘα 2

V

4.ln0 121 rCCrVCr

Vr

r

Vr

r

:έχουμε4και

21τιςΑπό

.ln

lnln

121

121

rrVC

VrrC

D

D.ˆˆˆˆ:Άρα 1

r

Cr

z

Vz

r

V

r

VrVE

:είναιακτίναςκύλινδροαπόπερνάειπουρεύμαΤο r

,22 1LCrLEI

.2

lnείναιαντίστασηητελικάκαι 12

L

rrIVR

D

232 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΕΝΗ ΣΦΑΙΡΑ

σφαίρας.τηςεκτόςκαιεντόςπεδίομαγνητικό

τοβρεθείΝα.μαγνήτισηομοιόμορφηφέρειακτίναςΣφαίρα R

x

y

z

rφ

0ρεύματοςδέσμιου

πυκνότηταχωρικήσείαντιστοιχεαυτήμαγνήτισηΗ

MJb

rMnMKbˆˆρεύματοςδέσμιουπυκνότηταήεπιφανειακκαι

:είναισημείοστοδυναμικόκόδιανυσματιΤο P

.sinκαιcos2,ˆόπου 2

0

22

00 dφdRdaRrRrwrRrw

M

.cosˆsinˆότικαιˆθέσηςδιάνυσμα

έχειςπαρατήρησησημείοτοότιθεωρήσουμενα

μπορούμεγενικότητατηαπόκάτιχάσουμεναΧωρίς

00 zxMMzrr

P

P

cosˆsinsinˆcossinˆcosˆsinˆ zφyφxzxMKb

.sinsinsinˆcossincossincosˆsinsincosˆ φzφyφxM

,sin

44

2

000

w

dφdRK

w

daKrA b

S

b

233 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΕΝΗ ΣΦΑΙΡΑ

σφαίρας.τηςεκτόςκαιεντόςπεδίομαγνητικό

τοβρεθείΝα.μαγνήτισηομοιόμορφηφέρειακτίναςΣφαίρα R

x

y

z

rφ

.cos2,ˆόπου 0

22

00 RrRrwrRrw

M

P

,sin

44:στοΕίναι

2

000

w

dφdRK

w

daKrAP b

S

b

.cossincossincosκαι

sinsinsin,sinsincos:Έχουμε

φMK

φMKφMK

y

zx

0sin,0sin:Είναι0

2

00

2

0

φdφdgDAφdφdfCA zx

.τηςόρουπρώτουτουστοσυνεισφοράηιμηδενίζεταΟμοίως yy KA

0

0

22

0

2

0

cos2

sincos

4

sin2:βρίσκουμεΈτσι

RrRr

dMRAy

1

1

0

22

0

2

0

0

0

22

0

2

0

22

sin

cos2

coscos

2

sin

RurRr

uduMR

RrRr

dMRAy

234 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΕΝΗ ΣΦΑΙΡΑ

σφαίρας.τηςεκτόςκαιεντόςπεδίομαγνητικό

τοβρεθείΝα.μαγνήτισηομοιόμορφηφέρειακτίναςΣφαίρα R

x

y

z

rφ

M

P

,3

2:είναισφαίραςτηςεσωτερικόστοΤελικά 0MB

.3

4ροπήδιπολικήέχεικαι

κέντροστοβρίσκεταιπουδιπόλουαυτόμε

ίδιοείναιπεδίοτοεξωτερικόστοενώ

3

MR

m

σφαίρας.τηςεσωτερικό

στοπεδίομαγνητικόολικότοακυρώσουνναρεύματα

άεπιφανειακκατάλληλαδυνατόνείναιότιόμαστεαντιλαμβανˆ

ρεύματοςπυκνότηταήεπιφανειακσείαντιστοιχεμαγνήτισηηΕπειδή

nMK

M

b

235 Βραβεία Nobel Φυσικής περί τον μαγνητισμό

2007 (A. Fert, P. Grünberg): for the discovery of giant magnetoresistance

1970 (L. Neel): for fundamental work and discoveries concerning

antiferromagnetism and ferrimagnetism which have led to important

applications in solid state physics

1955 (P. Kusch): for his precision determination of the magnetic moment of the

electron

1952 (F. Bloch, E. Purcell): for their developments of new methods for nuclear

magnetic precision measurements and discoveries in connection therewith

1944 (I. Rabi): for his resonance methods for recording the magnetic

properties of atomic nuclei

1943 (O. Stern): for his contribution to the development of the molecular ray

method and his discovery of the magnetic moment of the proton

1902 (H. Lorentz, P. Zeeman): in recognition of the extraordinary service they

rendered by their researches into the influence of magnetism upon radiation

phenomena

1977 (P. W. Anderson, N. Mott, J. van Vleck): for their fundamental theoretical

investigations of the electronic structure of magnetic and disordered systems

236 ΗΛΕΚΤΡΕΓΕΡΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ

ρεύμα.απόδιαρρέεταιπουβρόχοςέναςΈστω C

τότεφορτίων,τωνκίνησητηνγιαυπεύθυνηείναιπου

φορτίουμονάδαανάδύναμημίαυπάρχειβρόχουτουμήκοςκατάΑν f

sf

δύναμημίατηςπεριοχήστην

δημιουργείπουπηγήμίαέχουμεκυκλώματαηλεκτρικάαμιγώςΓια

DC

sC

s ldfldfEff

καιβρίσκουμεΈτσι

πεδία.τικάηλεκτροσταγια0αφού CldE

.:βρόχοστοντηςολοκλήρωμα

οεπικαμπύλικλειστότοδύναμητικήηλεκτρεγερωςορίζουμε

C

ldfΗΕΔCf

ΗΕΔ

βρόχο.τονόλοσεκινηθούνναφορτίατααναγκάζει

καικύκλωματοόλοσευπάρχειπουπεδίοηλεκτρικόένακαι E

237 ΗΛΕΚΤΡΕΓΕΡΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

.δύναμημίατηςπεριοχήστην

δημιουργείπουπηγήμίαέχουμεκυκλώματαηλεκτρικάαμιγώςΓια

sf

βρόχου.τουσημείωνδύομεταξύσταθερήιδιατηρείταπου

τάσηδυναμικούδιαφοράσείαντιστοιχεαυτήδύναμηηΣυνήθως

ς.αντιδράσειικέςηλεκτροχημμε

τάσηδημιουργείμπαταρίαΜία

φωτός.απορρόφησηηπροκαλείπου

διεγέρσειςκέςηλεκτρονιατιςμετάση

δημιουργείστοιχείοκόιφωτοβολταΈνα

.ηλεκτρόδιαδύοστα

ενεργειώνκώνηλεκτρονιατωνμεταξύ

διαφοράτηναπόταιδημιουργείτάσηη

λιθίουμπαταρίαμίασε,παράδειγμαΓια

238 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ

B

239 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΗΕΔ

πεδίο.μαγνητικόομογενές-μημεπεριοχήσεμέσαπλαισίουαγώγιμου

ενόςκίνησητηναπόκαιπροκύψειναμπορείδύναμητικήΗλεκτρεγερ

A

B C

D

.ˆδύναμηδέχεταιπλευράστηνφορτίοκάθεΤότε yqvBBvqFABq

xy

.ρεύμαρέεικαιαιαναπτύσσετΈτσι IvBhldqFldfΗΕΔB

Aόs

h

I

.:Επομένωςdt

dΗΕΔΗΕΔBhv

dt

dxBh

dt

d

.ροήπερνάειτοαπότότε,είναιπεδίοστομέσα

βρίσκεταιπουπλαισίουτουάξονατονκατάμήκοςτοστιγμήτηνΑν

BhxABCDxB

xt

.ˆταχύτηταμε

κινείταιπλαίσιοορθογώνιο

ότικαιˆπεδίο

μαγνητικόυπάρχειπεριοχή

σκιασμένηστηνότιΈστω

xvv

zBB

B

240 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΗΕΔ

πεδίο.μαγνητικόομογενές-μημεπεριοχήσεμέσαπλαισίουαγώγιμου

ενόςκίνησητηναπόκαιπροκύψειναμπορείδύναμητικήΗλεκτρεγερ

A

B C

D

xy h

I 1.:Επομένως dtdΗΕΔ

πλαίσιο.

ορθογώνιοκαιπεδίομαγνητικόομογενέςγια

μόνοόχικαιισχύγενικήέχει1κανόναςΟ

.πεδίουμαγνητικούτουαλλαγήήτου,σχήματόςτουαλλαγή

πλαισίου,τουκίνησηαπόεπέλθειναμπορείροήςτηςμεταβολήΗ

B

E

πεδίοηλεκτρικόυπάρχειότιιπρουποθέτεφορτίουκίνησηόμωςΕφόσον

ώστεπεδίοδημιουργείροήςμαγνητικήςτηςαλλαγήηότιδεχόμαστε E

.

SSSC

adBdt

dadEadB

dt

d

dt

dldEΗΕΔ

τότεχρόνοτονμεσταθερή

παραμένειεπιφάνειαηΑν S 2.

t

BEad

t

BadE

SS

v

241 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ FARADAY – ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ LENZ

Faraday.τουνόμοςωςκαιγνωστός,2tBE

B

A

B C

D

xy

άI

v

τικής.ηλεκτροστατης0σχέσητηντροποποιεί2Η E

αστρόβιλα.είναιδενοποίαταπεδίαηλεκτρικάνδημιουργούπεδία

μαγνητικάεναμεταβαλλόμχρονικάFaradayτουνόμοτομεΣύμφωνα

ότανΠ.χ.,ροής.μαγνητικήςτηςμεταβολή

στηναντιδρούν""συστήματαφυσικάτα:Lenz

τουνόμοστονοδηγείκανόναςΟ ΗΕΔ

μειώνεται.τοαπόμέσαΦροήηˆ ABCDxvv

.τοαπόμέσαΦροήτηναυξήσεινατείνειοποίοτοπεδίο

μαγνητικόδημιουργείπλαίσιοτοτότεδιαρρέειπουρεύμακόκκινοΤο

ABCDBABCD

.τοαπόμέσαΦροήτηνμειώσεινατείνειθα

οποίοτοπεδίομαγνητικόδημιουργείθαδιαρρέειτοθαπουρεύμα

μπλετοτότεαριστερά,ταπροςπλαισίουτουκίνησητηναλλάξουμεΑν

ABCD

BABCD

v

άI

242 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ LENZ

z

I

I

I

B

Φ

t

dt

d

t

243 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ FARADAY: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

χρόνου.τουσυναρτήσειράβδουτηςταχύτητατηνΒρείτεαφήνουμε.την

αμέσωςκαιταχύτητααρχικήμεδεξιάταπροςράβδοτηνΣύρουμε

τους.επίπεδόστοκάθετοείναιπουπεδίουμαγνητικούπαρουσίαμε

ράγεςπαράλληλεςδύοσεπάνωολισθαίνειμάζαςκαιμήκουςΡάβδος

0v

ml

B

xy :δίνειΝεύτωνατουνόμος2Ο ος

h

:βρίσκουμε1τηναπόΕπομένως

.όπου3,2222

mR

hBCCdt

v

dvv

R

hB

dt

dvm

.lnln:δίνει3τηςλύσηΗ 0000

Cttv

vevtvCtvvtdC

v

vd

.όπου,ρεύμαφθίνονένασείαντιστοιχελύσηΗ 000

R

BhvIeItI Ct

.ˆδύναμηδέχεταιρεύμααπόδιαρρέεταιράβδοςηΌσο xIhBBldIFIC

R .όπου,R

BhvIIhB

dt

dvmFx

244 ΕΠΑΓΟΜΕΝΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

.20και1ισχύειτότεπεδίομαγνητικό

ενομεταβαλλόμ-χρονοαπόμόνοταιδημιουργείπεδίοηλεκτρικότοΑν

E

t

BE

:εξισώσειςτιςμεάποψημαθηματική

απόόμοιεςείναιαυτέςεξισώσειςΟι .40και30 BJB

.4-3τωνσύστηματογιαούνταιχρησιμοποιπουαυτέςόπως

τεχνικέςόμοιεςμελύνεται2-1τωνσύστηματοΕπομένως,

.σχέσηηείναιτηςανάλογοτο,παράδειγμαΓια 0dt

dldEIldB

CC

.ˆ2

δίνειηακτίναςκύκλοκάθετο

γιατότερεύματοςπυκνότηταομογενήέχουμεανΠ.χ.,

00

r

IBIldBr

J

C

.ˆ

22δίνειητότε

ομογενέςενομεταβαλλόμ-χρονοέχουμεανΑντίστοιχα

2

Br

Edt

rBdrEldE

B

C

245 ΕΠΑΓΟΜΕΝΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ

άξονα.τονπροςωςστιγμήχρονικήσε

δίσκοςοδέχεταιπουροπήτηνΒρείτε.σταθεράθετικήμεˆ

πεδίομαγνητικόαλλόμενοχρονομεταβυπάρχειπεριοχήΣτηναξόνων.

τωναρχήστηντουκέντροτομεεπίπεδοστοβρίσκεταιδίσκοςΟ

.φορτίουπυκνότηταομοιόμορφηφέρειακτίναςδίσκοςαγώγιμος-Μη

0

zt

bzbttB

xy

R

Rdt

dldE

CακτίναςκύκλογιαδίνεισχέσηΗ

2ˆ:είναιροπήΗ

bdqrrEdqrN

.ˆ2

ˆ2

22

rbBr

rEdt

rBdrrE

RR

drrbzrb

rdrrzNzr0

3

0ˆ

22ˆ:άρακαιˆˆˆόμωςΕίναι

.ˆ4

ˆ4

24

zbRQ

zRb

N

x

yz

246 ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ .καιέντασηςρεύματααπόιδιαρρέοντακαιβρόχοιΔύο 2121 II

1

2

11011

ˆ

4πεδίομαγνητικόδημιουργείBΟ

C w

wldIB

:2βρόχοτοναπόμέσαπερνάειπουροήκαι 2

.222

2121212 CSS

ldAadAadB

.4

όμωςΕίναι1

1101

C w

ldIA

.

4:Άρα 121

21102

2 1

IMw

ldldI

C C

21

21021

τουτηταςσυμμετρικόΛόγωβρόχους.δύοτουςγιαεπαγωγής

αμοιβαίαςςσυντελεστήοείναι4

ποσότηταΗ2 1

ldld

w

ldldM

C C

2.βρόχοστονρεύματοςτουλόγω1βρόχοτοναπό

μέσαροήτηνδίνειόπου,ισχύει,τουκαι

2

2121211221

I

IMMMrrw

.θέσηςδιάνυσμαέχειBBστονσημείοτυχαίοότιΈστω 2121 rr

O

1I

2I

1r

w

2r

247 ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ

βρόχους.δύοτουςγιαεπαγωγήςαμοιβαίας

ςσυντελεστήοείναι14

ποσότηταΗ2 1

21021

C C w

ldldM

βρόχων.δύοτωνθέσησχετικήτηνκαιτικάχαρακτηρισγεωμετρικά

τααπόμόνοεξαρτάταιεπαγωγήςαμοιβαίαςςσυντελεστήO

.ολοκλήρωμα

οεπικαμπύλιδιπλότομευπολογίσουναδύσκολοείναικανόνα

κατάπράξηστηναλλάιδιότητα,γεωμετρικήωςεπαγωγής

αμοιβαίαςσυντελεστήτονδώσειμαςναμπορεί1τύποςΟ

248 ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ – ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ

.ότιΕίδαμε.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπου

2βρόχοςκαιέντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπου1βρόχοςΈστω

12122

1

IΜI

I

,:ρεύματοςτουέντασηςτηςανάλογηείναιβρόχουτου

ίδιουτουλόγωβρόχοορευματοφόραπόπερνάειπουροήηΟμοίως,

LII

βρόχου.τουςαυτεπαγωγήςσυντελεστήλεγόμενοςοείναιόπου L

ύς.σωληνοειδοτουακτίνατην

απόμεγαλύτεροπολύείναιτοότιΥποθέτουμεσπείρες.πυκνές

φέρειπουμήκουςςσωληνοειδέέχουμεότιπαράδειγμαγιαΈστω

lN

l

.μείσοκαιομογενές

προσέγγισηκατάείναιύςσωληνοειδοτουπεδίομαγνητικότοΤότε

00 Il

ΝnIB

ςσωληνοειδέτοαπόμέσαροήολικήΗσπείρας.κάθετηςακτίναη

όπου,ροήπερνάεισπείρακάθεαπόΜέσα2

0 RIl

NRBAί

.είναι 22

0 lNRILN ύί

249 ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

;συστήματοςτουεπαγωγήαμοιβαίαηείναιΠοιασπείρες.

μεςσωληνοειδέάλλοένοπεριτυλιγμείναιέςσωληνεοειδτο

απόΓύρωύς.σωληνοειδοτουακτίνατηναπόμεγαλύτεροπολύ

είναιτοότιΥποθέτουμε.ακτίναέχεικαισπείρεςπυκνές

φέρειπουμήκουςςσωληνοειδέέχουμεότιπαράδειγμαγιαΈστω

2

11

N

lRN

l

.μείσοκαιομογενές

προσέγγισηκατάείναιςσωληνοειδέμέσα

τοδημιουργείπουπεδίομαγνητικόΤο

11

01101 Il

ΝInB

.Φείναιςσωληνοειδέέξωτο

απόπερνάειπουΦροήηΕπομένως,

2

1122

2

RBN

.:βρίσκουμεΈτσι2

1210

1

221

l

RNN

IM

1I

250 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΜΕ ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ

dt

dIL

dt

d

δύναμη

τικήηλεκτρεγερεπιπλέονμίαδημιουργείπηνίου

ενόςαυτεπαγωγήηLenzτουνόμοτονμεΣύμφωνα

ρεύματος.τουμεταβολήηείναιοποίαςτηςπηγήπηνίο,το

απόμέσαροήςτηςμεταβολήτηνελαττώσεινατείνειπου

μπαταρία.μίααπόπ.χ.,δύναμητικήηλεκτρεγερυπάρχει

αντίστασηκαιςαυτεπαγωγήπηνίοειπεριλαμβάνπουκύκλωμαέναΣε

VΗΕΔ

RL

D

.ΦτότεπηνίοτοαπόμέσαροήμαγνητικήηείναιΦΑνdt

dIL

dt

dLI

L

R

ΔV

.:ΗΕΔολικήυπάρχειαντίστασηςτηςάκρασταΕπομένωςdt

dILV D

1.:έχουμεΈτσι IRdt

dILV D

.ηείναι1τηςλύσητότε

χρόνοτοναπόεξαρτάταιδενΗΕΔηΕάν

RVCetI

V

LRt D

D

.όπου,11τότε00Αν RLeR

Ve

R

VtII tLRt

D

D

251 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ LC

.(1) δυναμικού διαφοράαι αναπτύσσετ πλάκες

στις ανάμεσα τότε πυκνωτή, του πλάκεςστις νοαποθηκευμέείναι που

φορτίο τοQ και πυκνωτήεπίπεδου ενός ταχωρητικότη ηείναι C Aν

CQVC

Q Q-

L

C

(2).dt dILV

είναι Lτηςάκρα σταΗητότεL, αυτεπαγωγή

διατρέχει πουρεύματοςτουένταση ηείναι ΙΑν

L

D

(3). 0ισχύει ναπρέπει τότεσειράσε

ενωθούν L αυτεπαγωγή ηκαιCπυκνωτήςο Όταν

CL VV

:)είναι( βρίσκουμε (3)και(2) (1),τιςΑπό dtdQΙ

(4). 002

2

C

Q

dt

QdL

C

Q

dt

dIL

εςαντιστοιχί τιςβάση με ελατηρίου

τουεξίσωση τηνμε ίδιαείναι (4) H

ελατηρίου. τουσταθερά η C όπου ,C1 , , ελCMLxQ

,φcos και φsinδίνει (4) τηςΛύση 00000 tQItQQ

.1ω όπου 0 LC

LV

CV

I

252 ΡΕΥΜΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ

2S

1S

Q

Q

ι.φορτίζοντανααρχίζουνέτσικαιτάση

μεσυνδέονταιπυκνωτήενόςοπλισμοίΟιI

.βρίσκουμεκαμπύλη

στηνAmpereτουνόμοτονεεφαρμόσουμΑν

0 IldBCC

C

;ρεύματοδιαπερνάεπιφάνειαποιαΌμως I

.τότεεπιφάνειακόκκινητηνθεωρήσουμεΑν 1 IIS

!0προφανώςτότεεπιφάνειατηνμπλετην

σύνοροέχειπουεπιφάνειαωςθεωρήσουμεόμωςΑν

2 ISC

τοκαιθείσυμπεριληφναπρέπειθαAmpereτουνόμοστονρεύμα

οσυνηθισμέντοαπόεκτόςότιδεχόμενοςαντίφασητηνέλυσεMaxwell

dt

dQI

πουροήηλεκτρικήηείναιόπου,ςμετατόπισηρεύμα 0

S

ee

d adEdt

dI

.βρόχοΑμπεριανότονσύνοροέχειπουεπιφάνειατηναπόμέσαπερνά C

253 ΡΕΥΜΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ ωςAmpereτουνόμοτονετροποποίησMaxwellοΈτσι

I

2S

1S

Q

Q

IC

1.00000dt

dIIIIldB e

dC

:τααποτελέσμαίδιαταδίνειSκαιεπιφάνειεςδύο

στιςνόμουτουεφαρμογήητροποίησητηναυτήνΜε

21S

.πυκνωτήτοναπόέξωείναιτηναπόροήηλεκτρική

περνάειδεναφού3,:δίνειAmpereτου

νόμοςοτότεεπιφάνειατηνήσουμεχρησιμοποιΑν1)

1

0

1

S

IldB

S

C

.τηναπόρεύμαπερνάειδεναφού4,

:δίνειAmpereτουνόμοςοτότεεπιφάνειατηνήσουμεχρησιμοποιΑν2)

2000

2

SIdt

dIldB

S

ed

C

του.διατομήηκαιπυκνωτήτουεντόςπεδίοτοόπου,:Όμως AEEAe

Idt

dQ

dt

dQEA e

00 έτσικαιέχουμεGaussτουνόμοτοΑπό

.αποτέλεσμαίδιοτοόντωςδίνουν4και3οιδηλαδή

254 ΡΕΥΜΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ

ωςAmpereτουνόμοτονετροποποίησMaxwellοΈτσι

I

2S

1S

Q

Q

IC

1.00000dt

dIIIIldB e

dC

βρίσκουμεμορφήκήολοκληρωτιπαραπάνωτηνΑπό

Stokesτουθεωρήματοςτουεφαρμογήμε

2000 SSS

adEdt

dadJadB

SSad

t

EadE

dt

dS

:τότεχρόνοτονμεαλλάζειδενεπιφάνειαηΑν

3.2τηναπόπαίρνουμεέτσικαι 000

SSS

adt

EadJadB

4.:μορφήδιαφορικήηπροκύπτει3τηναπόΤελικά 000t

EJB

πεδία.ηλεκτρικάεναμεταβαλλόμχρονικάαπόκαιαλλά

ρεύματα,απόπροκύπτουνπεδίαμαγνητικάΔηλαδή,

255 ΕΙΔΗ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΥΛΗ

:ύληστηνμέσαρεύματαεξήςταεδιακρίνουμνητισμόΗλεκτρομαγΣτον

.φορτίωνκίνηση:αςαγωγιμότητΡεύμα1) S

f adJdt

dQI

.:ρεύμαΔέσμιο4) MJb

.είναι:ςμετατόπισηΡεύμα2) 00 PEDt

P

t

E

t

DJd

.:πόλωσηςΡεύμα3)t

PJ P

:συνέχειαςεξισώσειςπαρακάτωοινταιικανοποιούΑντίστοιχα

.0:αςαγωγιμότητΡεύμα1)

tJ

f

f

.0:πόλωσηςΡεύμα3)

tJ b

P

.0:ρεύμαΔέσμιο4) MJb

.ή,:AmpereτουΝόμος 000t

DJHJJJ

t

EB fPbf

256 ΡΕΥΜΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

πεδίοπαράγειπουτάσηενηεναλλασσόμσεοςσυνδεδεμένείναι

σταθεράςήςδιηλεκτρικκαιαςαγωγιμότηταγωγόςότιΈστω ε

.2,cos0 ftEE

.cosκαιsin:τότεΕίναι 00 tEJtEt

Df

.Επομένως

fJ

tD

16

0 103είναιτογιατιμήτυπικήμίακαιΕπειδή

m

.Hz1022 1700 f

f

α.ακτινοβολίορατήσε

ίαντιστοιχεπουHz1010απόςμεγαλύτερεσυχνότητεςγιαμόνο

αντιληπτόγίνεταιςμετατόπισηρεύματοσυνθήκες,τιςαυτέςαπόΚάτω

1514 f

257 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL

10

E

2t

BE

30 B

.4000t

EJB

:βρίσκουμε4τηςμέρηδύοστακαιαπόκλισητηνπάρουμεΑν

άρα,00 0000

tJ

t

EJ

t

EJB

Maxwell.εξισώσειςστιςαιεμπεριέχετ0συνέχειαςεξίσωσηη

tJ

.:LorentzδύναμηηκαινητισμούΗλεκτρομαγ

τουθεμέλιοωςυπάρχειMaxwellεξισώσειςτιςαπόΕκτός

BvEqF

:Maxwellτουεξισώσειςωςγνωστέςείναιπουεξισώσειςπαρακάτωστις

στηρίζεταινητισμόςΗλεκτρομαγΚλασσικόςοώνοντας,Ανακεφαλαι

258 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΣΤΗΝ ΥΛΗ

1fD

2t

BE

30 B

.4t

DJH f

:εξισώσεις

έςΚαταστατικEPEDPED e

00 καιόπου,

.και1

όπου,1

0

HMBHMBH m

MJP bb

,

.:πόλωσηςρεύμαλεγόμενοτοορίσουμεναχρειάζεταιΕπίσηςt

PJ P

φορτία.δέσμιαταγια

:συνέχειαςεξίσωσηηισχύειορισμότοναυτόνΜε

tt

PJ b

P

ύλη;στηνμέσαMaxwellεξισώσειςοινταιδιαμορφώνοΠως

:ρευμάτωνδέσμιωνκαιφορτίωνδέσμιωνπυκνότητεςτιςΟρίζουμε

:γράφονταιεξισώσειςοι καιμεγέθηταώνταςΧρησιμοποι HD

259 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ

10 E

2t

BE

30 B .400

t

EB

:μορφήτηνλαμβάνουνMaxwellεξισώσειςοιτότερεύματα,ούτε

φορτία,ούτευπάρχουνδενχώρουτουπεριοχήσεπουπερίπτωσηΣτην

.:2τηςόστροβιλισμτονπάρουμεΑς

t

BE

.:βρίσκουμε4τηνΑπό2

2

00t

E

t

B

.:είναιάλλητηνΑπό 22 EEEE

5.:τηνικανοποιείπεδίοτοΕπομένως2

2

00

2

t

EEE

εξίσωσηκυματική

t

EB

00:παίρνουμε4τηναπόΟμοίως

6.02

2

00

2

2

2

00

2

t

BB

t

BBB

260 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ

:τιςνικανοποιούκαιπεδίαταΕπομένως εξισώσειςκυματικέςBE

6.και5,2

2

00

2

2

2

00

2

t

BB

t

EE

.ταχύτηταμεκύματοςενόςδιάδοσητην

περιγράφειόντωςτότε01

εξίσωσητην

ικανοποιείσυνάρτησημίαανεπόμενα,σταεξηγήσουμεθαΌπως

2

2

2

2

t

ff

f

κυμάτωννητικώνηλεκτρομαγδιάδοσητηννπεριγράφου6και5

εξισώσεωντωνλύσειςοικαιπεδίωντωνπερίπτωσηΣτην BE

κενό.στοφωτόςτουταχύτηταηείναιόπου,11

και00

200 ccc

261 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ

yzzzyyxx BEEBEEEE ,,

yzzzyyxx Ec

BBEc

BBBB22

,,

Ec

BEc

BEc

BBBx

yzzyx

2

ˆ

22

1,,0:τότε0ανΠ.χ.,

.,,0:τότε0Ανˆ

BEBEBEEEx

yzzyx

ισχύουναναφοράςσυστημάτωνδύοτωνμεταξύΤότε.παρατηρητήάλλο

προςωςˆταχύτητασχετικήμεκινείταιπουςπαρατηρητήΈστω

S

xS

:φωτόςτουταχύτηταη,,1

1Lorentzισμοίμετασχηματοι

2

c

c

τότε,καιπεδίαεταιαντιλαμβάνοενώ

,καιπεδίαεταιαντιλαμβάνοαν,Αντίστοιχα

BES

BES

(IV). ,(III) ,(II) ,(I) 2 xcttzzyytxx

262 ΚΥΚΛΩΜΑ RLC

;αντίστασηκαισειράσεεπροσθέσουμκύκλωμαστοανσυμβαίνειΤι RLC

dt

dQRI RVείναι Rτηςάκρα στατάσηητότεL,

αυτεπαγωγήδιατρέχειπουρεύματοςτουένταση ηείναι Ι Αν

R

(1). ισχύει ναπρέπει τότεσειράσε

ενωθούν L αυτεπαγωγή ηκαιCπυκνωτήςο Όταν

RCL VVV

εξίσωσηδιαφορικήτηέτσιΠαίρνουμε

(2). 002

2

C

Q

dt

dQR

dt

QdL

C

QRI

dt

dIL

.,C1 , ,εςαντιστοιχίτιςβάση

μεαπόσβεση με ελατηρίουεξίσωσητηνμε ίδιαείναι (2) H

bRkMLxQ

,φsinδίνει (2)τηςΛύση 0 teQQ t

.2

4και

2

2

1

2όπου

2

L

RCL

R

L

L

R

LV

CV

Q Q-

L

C

R

263 EΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ

είναι κίνησηςεξίσωση H sinωt.FtFότι ε υποθέσουμΑς .tF δύναμη

εξωτερικήδέχεται και C σταθεράς ελατήριο σε δεμένοείναι Μ μάζας Σώμα

0

.αντίστασης δύναμη την γιαςσυντελεστή ο b όπου ,(1) sin0 tFCxxbxM

μορφή ην παίρνει τ(1) η Για 000 MF, aMC, ωbMτ

(2). sin0

2

0 taxxx (3). sin λύση τηνεδοκιμάσουμ Θα 0 txx

πράξεις) κάποιεςαπό (μετά βρίσκουμε (2) στην (3) τηνώνταςΑντικαθιστ

tx

att

sincoscossinsinsincos

0

022

0

22

0

(5). 0cossin και (4) sincos :Άρα 22

0

0

022

0

x

a

(6). tan βρίσκουμε (5) τηνAπό22

0

παίρνουμε(4) τηναπόκαι

,cos,sin δίνει τα μας (6)

(7). 2222

000 ax

264 EΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ

(7). (6), tan (3), sin2222

00022

0

0

axtxx

100Q

5Q

.1για2

11γιαπροκύπτειπλάτοςμέγιστοΤο 0020 Q

Q

0

0x

1

.τηνμεφάσησεταλάντωση0(6)τηναπότότεΑν 0 F

.2φκαιείναιςσυντονισμόια0

000

ax

. και τότε Aν2

0

2

000

M

Fax

:sinτάσηενηεναλλασσόμμε

οσυνδεδέμενείναιπουκύκλωμαγιαδίνει

,C1 , ,ααντιστοιχίΗ

0 tVtV

RLC

bRkMLxQ

.1 00

00

M

F

L

V, a

M

k

LC, ω

b

M

R

Lτ

265 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ

:τιςνικανοποιούκαιπεδίαταΕπομένως εξισώσειςκυματικέςBE

6.και5,2

2

00

2

2

2

00

2

t

BB

t

EE

.ταχύτηταμεκύματοςενόςδιάδοσητην

περιγράφειόντωςτότε01

εξίσωσητην

ικανοποιείσυνάρτησημίαανεπόμενα,σταεξηγήσουμεθαΌπως

2

2

2

2

t

ff

f

κυμάτωννητικώνηλεκτρομαγδιάδοσητηννπεριγράφου6και5

εξισώσεωντωνλύσειςοικαιπεδίωντωνπερίπτωσηΣτην BE

κενό.στοφωτόςτουταχύτηταηείναιόπου,11

και00

200 ccc

266 ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ: ΛΥΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

:διάστασημίασε

τηνεξετάσουμεΑς

εξίσωση

κυματική 1.0

12

2

22

2

t

f

x

f

.1τηςλύσηαποτελείμορφήςτηςσυνάρτησηότιδείξουμεΘα txg

hgtxgtxtxh είναιΤότε.,έστωΌντως,

.:Άρα2

2

2

2

2

2

txhtxhdh

gd

x

h

dh

gd

x

g

txhtxhtxh dh

gd

t

g

dh

dg

t

h

dh

dg

t

g

2

22

2

2

και:ακόμηΕίναι

txhtxh dh

dg

x

h

dh

dg

x

g

και

.1τηςλύσηείναιηδηλαδή,:όντωςότιλοιπόνΒλέπουμε2

22

2

2

txgx

g

t

g

.1τηςλύσηείναιηκαιότιπροκύπτειύςσυλλογισμοπαρόμοιουςΜε txg

;μορφήςτηςήμορφής

τηςσυνάρτησημίαπεριγράφειόμωςεξέλιξηχρονικήΤι

txgtxg

267 ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ: ΛΥΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

:διάστασημίασε

τηνεξετάσουμεΑς

εξίσωση

κυματική 1.0

12

2

22

2

t

f

x

f

.1τηςλύσηείναιηδηλαδή,:όντωςότιλοιπόνΒλέπουμε2

22

2

2

txgx

g

t

g

;μορφήςτηςσυνάρτησημίαπεριγράφειόμωςεξέλιξηχρονικήΤι txg

σχήμα.στοίαντιστοιχε

τηςγράφηματοότιΈστω xg

x

0x xx D

.κατάτηςμετακίνησημε

προκύπτειτηςγράφηματοΤότε

xxg

xxg

D

D

,Αντίστοιχα.0ανδεξιάταπροςτηςγραφήματος

τουμετακίνησητηνπεριγράφεισυνάρτησηηΓια

D

xg

txgtx

.0αναριστεράταπροςμετακίνησηπεριγράφεισυνάρτησηη txg

268 ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ: ΛΥΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

.0ανδεξιάταπροςτηςγραφήματος

τουμετακίνησητηνπεριγράφεισυνάρτησηΗ

xg

txg

.ταχύτηταμεκύματοςδιάδοσησείαντιστοιχε

σχήματοςτουητροποποίησχωρίςγραφήματοςτουμετακίνησηηότιΛέμε

:κύματοςούςημιτονοειδτουαυτήείναιμορφήτυπικήπλέονηκαιαλλάΕιδική

κύματος.τουπλάτοςτοόπου2,sinsin, 000 ftk

xkftkxftxf

κύματος.τουδιάδοσηςταχύτηταηείναιενώ

,περιόδουτηςκαικύματοςμήκουςτουσυναρτήσεισυχνότητα

γωνιακήκαιοκυματάριθμτονορίζουν2

και2

σχέσειςΟι

k

T

kT

k

269 ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ: ΛΥΣΗ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.01

:μορφήτηνέχειδιαστάσειςτρειςσεεξίσωσηκυματικήΗ2

2

2

2

t

ff

2.sin,:κύμαέςημιτονοειδτοείναι1τηςλύσηΜία 0 trkftrf

kf ˆκατεύθυνσητηνκατάδιαδίδεταικαιπλάτοςέχει2κύμαΤο 0

.2συχνότητακαι2κύματοςμήκος,ταχύτηταμε kk

.ονομάζεται2κύματοτιμή,ίδιατηνέχουν

επιπέδουτουσημείαταόλαστιγμήχρονικήκάθεσεΕπειδή

επίπεδοάrk

t

αφού,coscossin:Είναι trkktrktrktrk

.coscos:Επομένως 2

00

2 fktrkkftrkkff

.cos:ακόμηΕίναι 2

2

2

02

2

fkk

ftrkt

ft

f

tt

f

.1τηςλύσηόντωςείναι2ητότεανΔηλαδή k

.ˆˆˆˆˆ kkzkykx

z

rkz

y

rky

x

zkykxkxtrk zyx

zyx

270 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

:τιςνικανοποιούκαιπεδίαΤα εξισώσειςκυματικέςBE

2.1

και1,1

2

2

22

2

00

2

2

2

22

2

00

2

t

B

ct

BB

t

E

ct

EE

:κύματαεπίπεδαταλύση

ωςέχουν2και1Oι .sin0 trkEE

.sin0 trkBB

3.cossin:δίνεισχέσηη 00

trkBtrkE

t

BE

.cossin:όμωςΕίναι trkktrk

4.coscosδίνει3ηΈτσι 00 trkBtrkkE

.καιότιπροκύπτει4τηνΑπό kk

:κενόστοκύματαγια0μεAmpereτουνόμοτοναπόΟμοίως, J

5.coscos 020

1

00

2

trkEc

trkkBt

EB

c

Έτσι.Είναι fAAfAf

271 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

4.coscos:λοιπόνΈχουμε 00 trkBtrkkE

5.coscosκαι 020 trkEc

trkkB

διανύσματαταότικαι0:ότιπροκύπτει5και4τιςΑπό

:νωνσυντεταγμέσύστημαοδεξιόστροφένανδημιουργού,, 00 BEk

,1ˆ,ˆ

0000 Ec

kBBcEk

.ˆδιάδοσηςκατεύθυνση

στηνκάθετεςείναιπουιςκατευθύνσε

σεταιταλαντώνοντοκαιτοκαι

δηλαδήεγκάρσια,είναικύματαΗΜ

ταότιδείχνουνσχέσειςπαραπάνωΟι

k

BE

E

B

k

.:έχουμεπλατών

τωνμέτραταγιαενώ

00 cBE

272 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΕΔΙΩΝ – ΔΙΑΝΥΣΜΑ POYNTING

.καιπεδίανδημιουργούπουρευμάτωνκαιφορτίων

κατανομήμίαυπάρχειχώρουτουΩπεριοχήμίασεότιΈστω

BE

τηςφορτίοσεπεδίατααπόχρόνοσεπαράγεταιπουέργοΤο qdtdWq

.είναικατανομής vEqdt

dWdtvEqdtvBvEqldFdW

q

q

:είναιέργουσυνολικούτουμεταβολήςρυθμόςοΕπομένως

σχέσειςτιςώνταςΧρησιμοποι1. dJEvEdvEdqdt

dW

:βρίσκουμε2,,2

0

0 t

EE

t

EBEEBBE

t

EJ

B

d

t

EdBEEBd

t

EBE

dt

dW 2

0

0

0

0 2

1

.2

1 2

0

0

d

E

dt

ddBE

t

BB

dt

dW

273 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΕΔΙΩΝ – ΔΙΑΝΥΣΜΑ POYNTING :είναιέργουσυνολικούτουμεταβολήςρυθμόςοΕπομένως

.Poyntingδιάνυσμαλεγόμενοτο1

και22 00

22

0 BESdBE

UΩ

Ω,όγκοστοννηαποθηκευμέείναιπουπεδίωντωνενέργειαςδυναμικήςτης

μέροςτοεύειαντιπροσωπποσότηταηότιείναι2τηςερμηνείαφυσικήΗ U

όπου2,2

1 2

0

0

SadS

dt

dUd

E

dt

ddBE

t

BB

dt

dW

Ω.τοναπόδιαφεύγειήεισρέειενέργειανητικήηλεκτρομαγοποίοτον

μερυθμότονδίνεισύνοροστοολοκλήρωμαόεπιφανειακτοενώ SadSS

ροής.ςενεργειακήπυκνότηταηείναιPoyntingδιάνυσματοΔηλαδή, S

Ωd

BEUώό

0

22

0

22ποσότηταητότεΑν

.δημιουργείαυτήπουπεδίασταισοδύναμα,ή,ρεύματων,καιφορτίων

κατανομήστηννηαποθηκευμέείναιπουενέργειαδυναμικήολικήτηνδίνει

274 ΔΙΑΝΥΣΜΑ POYNTING: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ .ρεύμααπόδιαρρέεταιπουαντίστασηςαγωγόςςευθύγραμμοΈστω IR

πεδίοηλεκτρικόυπάρχειαγωγόστονμέσαότισημαίνειΑυτό

.ˆ2

:πεδίομαγνητικό

προσέγγισηκατάδημιουργείαγωγόςΟ

0

r

IB

.ˆ2

είναιPoyntingδιάνυσματοΕπομένως2

0

rrL

RIBES

.ˆˆ zL

IRz

L

VE

D

LrS μήκουςκαιακτίναςκύλινδροστονπάνωτουολοκλήρωμαΤο

.ˆˆδίνει 2RIdarSdanSadSdt

dW

όόS

R

L

E

S

B

θερμότητα.π.χ.,σε,αιμετατρέπετβέβαιαοποίαηισχύςOhmτου

νόμοτοναπόγνωρίζουμεόπωςεισρέειαντίστασηστηνΕπομένως

2RI

R

I

z

275 ΔΙΑΝΥΣΜΑ POYNTING: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

κύμα;νητικόηλεκτρομαγεπίπεδογιαPoyntingδιάνυσματοείναιΠοιο

trkBBtrkEE

sinκαιsinΕίναι 00

.ˆμε2

000 k

c

EBE

:Poyntingδιάνυσματο

βρίσκουμεκύμαΗΜεπίπεδογιαΕπομένως

.sinˆsinˆ22

00

0

22

0

0

trkkEcc

trkkEBES

.ˆηείναιοποίαηκαιδιαδίδεταιοποίαστην

κατεύθυνσητηνκατάενέργειαμεταφέρεικύματολογικό,είναιΌπως

k

2ροήςπυκνότηταμεορμήκαιμεταφέρειΕπίσης

c

S

.1ροήςπυκνότηταμεστροφορμήκαικαθώς

2Sr

c

276 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗΣ

.χρόνοσεμεταβολή

μίαεπέρχεταιρεύμααπόδιαρρέεταιπουαυτεπαγωγήσεότιΈστω

dtdI

I

.ισχύςταικαταναλώνεεπομένωςκαι

ΗΕΔμίααυτεπαγωγήστηναιαναπτύσσετότισημαίνειΑυτό

dt

dILI

dt

dW

dt

dIL

:είναιτιμήσε0απόςαυτεπαγωγήμιας

ρεύματοανοίξουμεναγιααπαιτείταιπουέργοσυνολικότοΈτσι,

II

.2

1 2

0LIIdILW

I

277 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΗΕΔ

πλαίσιο.τριγωνικότοδιαρρέειπουρεύματοβρεθείνα

ςαυτεπαγωγήφαινόμενααγνοήσουμεκαιείναιμήκουςμονάδαανά

αντίστασηηΑνπεδίο.μαγνητικόομογενέςκάθετοσεμέσαβρίσκεται

σύστημαΤο.ταχύτητασταθερήμεαγωγόςςευθύγραμμοαγωγό

στον πάνωκινείταινααρχίζει0στιγμήχρονικήτηνσημείοτο

απόξεκινώνταςκαιαυτήςγωνίαςτηςδιχοτόμοστηνΚάθετα.σημείο

σε2γωνίαμίαμήκουςαπείρουαγωγόευθύγραμμομεμεΣχηματίζου

tO

O

a

:είναιτρίγωνοτοαπόμέσαπερνάειπουροήμαγνητικήΗ OAB

yxB2

1

B

x.καιtan

2με txax

y :Επομένως

.tan2tanαιαναπτύσσετ 22 atBaBxdt

d

dt

dΗΕΔ

.cos2tan2είναιτουπλευρώντωνμήκοςΤο atatlOAB

.

1sin

sintan2:τελικάΈτσι

2

a

aB

λl

atB

R

ΗΕΔI

I

O

A B

278 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟ ΚΩΝΟ

βάσης.τηςκέντρου

τουκαικώνουτουκορυφήςτηςμεταξύΔδυναμικούδιαφοράτην

Βρείτετου.βάσηςτηςακτίνατηνμείσο,είναικώνουτουύψοςΤο.

φορτίουπυκνότηταήεπιφανειακομοιόμορφηφέρειεπιφάνειακωνικήΜία

C

OV

h

.όπου,4

1τύπογενικότονήσουμεχρησιμοποιΘα

0

rrww

adrV

S

P

,22cos

2φορτίοφέρεικαιακτίνα

έχειύψοςσεπάχουςδακτύλιοςλεπτόςΈνας

zdzdz

rdqzr

zdz

:,0,0σημείοσεδυναμικόστοισυνεισφέρεδακτύλιοςΟ aP

.

2

2:Άρα.

1

4

22

0 220

220

h

P

zaz

zdzV

zaz

zdzdV

O

C

x

y

z

κώνου.τουάνοιγμαγωνιακότοείναι4εδώόπου

279 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟ ΚΩΝΟ

βάσης.τηςκέντρου

τουκαικώνουτουκορυφήςτηςμεταξύΔδυναμικούδιαφοράτην

Βρείτετου.βάσηςτηςακτίνατηνμείσο,είναικώνουτουύψοςΤο.

φορτίουπυκνότηταήεπιφανειακομοιόμορφηφέρειεπιφάνειακωνικήΜία

C

OV

h

1.22222

2:Έτσι

000 2

0

hh

z

zdzV

h

O

.2

2:Άρα

0 220

h

P

zaz

zdzV

2.

222

2

2

2:ακόμηΕίναι

0 220

0 220

hh

C

hhzz

zdz

zhz

zdzV

βρίσκουμετωνολοκληρωμάπίνακεςΑπό

3.22ln1

2

1 22

2baxcbxaxa

aa

bcbxax

acbxax

xdx

.δυναμικούδιαφοράζητούμενητην

1τηνμεμαζίτελικάκαιτοδίνει2στην3τηςΕφαρμογή

OC

C

VVV

V

D