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Μαθηματικα Γ γυμνασιου σημειωσεις και ασκησεις

### Transcript of Mathimatika g Gymnasiou Shmeiwseis Askiseis

• ( + )2 = 2 + 2 + 2

x2 + x + = 0 , 0

x = 2 4

2

• 1

.

-

-

.. ...

• 1: 3

1.

1.1. ;

: :

+ = + . = . ( + ) + = + ( + ) .( . ) = ( . ).

+ 0 = .1 =

+ () = 0 1 = 1 , 0

.( + ) = . + . .0 = 0

1.2. .

: : :

2 : = ...

= 1 1 = . 0, 0 = 1 = 1

.

( ) = ( ) , , 0

- :

1. . = +

2.

=

3. . = (.)

4.

= ( ) 5. () =

1.3. ;.

: , , , . = x , x2 = ( )2 = . 0 = 0.

1.4. = , , 0.

: : 1 : ( )2 = ( ) ( )2 2 = . 2 : ( )2 = .

• 4 1:

( )2 = ( )2 = .

1.5.

=

0 > 0. : :

1 : 2

= ( )( )

2

2

=

2 : 2

=

2

= 2

=

.

1.5.1. > 0 > 0 + +

+ = + 0. ___________________________________________________________________________________________ 1.6.

= 2003 6 10 2(4 3)3( ) 3( )x x y

x z y z +

+ + 2(x +13 ) 2y ,

x + y = 2003. [. =-2003]

1.7.

= ( ) 115 172412 18 3236 [. =1]

1.8. :

(55 + 55 + 55 + 55 + 55)2.(22 . 22 . 22)2 10.

[. 1012] 1.9. :

(33)3 : 33 + 33 . 33 + 333

3

3. [. 37]

1.10. 3 42 2x yx y+ = 5 -

= 2 22x y

xy+ .

[. =3] 1.11. x = 0,03 y = 310 , -

= 37

3 5 211( ) :

xx yy

. [. =1000]

1.12. x = 2 y = 101 , = 51.(x1 y1 2x1y)

[. - 4825 ]

1.13. 31 21 13 7 4+ + + + = 6. 1.14. 24 6 9 16 = 12. 1.15. : ) 2 3 24 ) 1 12 453 5 4

[. )12 )3] 1.16. :

) 20 615 2

)

[. )2 )] 1.17. :

16 + 2 81 82

+ 2 2 8 7.

[. 14=.7] 1.18. , , - :

2 249 2 4 + + . [. 7]

• 1: 5

1.19. :

= 4 122+ = 8 202

[. =2+ 3 , =4- 5 ]

1.20. x, y , - : 5x 3xy 2y 3x y 3 3 3x y .

1.21. - 12 cm 3 cm.

[. =3cm2] 1.22. :

i) 6 11 6 11 + ii) 19 3 19 3+

[. i)5 ii)4] 1.23. = 3 + 2 = 12 8 , - : + , , ..

[. +=3 3 - 2 , -=3 2 - 3 , =2] 1.24.

i) = 3 3 273+ ii) = 8 2 5 2

8 8+ +

[. i)=6 ii)= 12 ]

1.25. :

3 53 5+ +

3 53 5+

[. 7] 1.26. :

x 3 3 = 5 (1x) [. x=1]

1.27. :

15 1

x =

15 1

x++

[. x= 5 ] 1.28.

5 7 3 13 : 31 3

+ + 6. 1.29. :

5 3 32 1560 :3 5 15 + = 1.

1.30. 27 cm 12 cm 2 3 cm.

5 cm; [. 3 ]

3.1. ( )212

+ ( )21

2 2+ = 1.

3.2. , , .

32

9 2 50

8

3.3. 10 10

4 118 48 4

++

[. 16]

• 6 1:

2.

-

2.1. ;

: , .

2.1.1. , : 5x , 4 1 , 3 2 + 9 , 2,64 + 3 2.2. ;

: , .

2.2.1. : = 2 32 5 8

3(2)2 5(2) 8 = 3.4 + 10 8 = 12 + 10 8 = 14. 2.3. ;

: .

2.3.1. : 3 , , 35 x

2 , 2 34 , 4,35629.

2.4. ;

: .

2.4.1. : 32 25 , 925 , 2,725 .

2.5. ;

: - .

2.5.1. : 52 , 2 , 22 :

52 + 2 + (22) = (5 + 1 2)2 = 42. 2.6. ;

: .

2.6.1. : 3x2 1 , 532 + 3,222 , 62 5 3 + 43 25.

• 4: 7

2.7. ; : .

2.7.1. : 22 , 34

54 , 5x :

(22).( 34 54).(x) = 2( 34 )(1)

2.5.43.x) = 32 479x.

2.8. ;

: , , .

2.8.1. : (1) 1252 : (33) = 1252 . 31

3 = 5 2

312

3 =

25

312

3

= 42.

(2) (10x2y2) : (5xy4) = (10x2y2) . 41

5xy = 2 2

410

5x y xy

=

22

4105

yx x y

= 2

22xy

.

2.8.2. :

. ___________________________________________________________________________________________ 2.9.

i) 3 32 ii) 1,4x4y5 iii) 22x

y

iv) 4x6-3 v) x 1x vi) (1+ 5 )

2.10. x+y = 2 -: x(x3) + y(y3) + 2xy

[. 10] 2.11. ) 3x2y 7x2y 5x3y5 + 7x2y + + = 5x2y ) 0,632 + 32 35

32 + + 423 =

232 2.12.

(5+4)43 ;

2.13.

2x2 , 12 xy2 , x2y , yx2 , 2x2y2 ,

2

3x , 12 x

2

. 2.14. :

i) 2x2y 3x2y x2y + 21 x2y

ii) 13 xy3 xy3 23 y

3x + 35

6xy

iii) 43 324 2324 1,25342 + 1 45

324

2.15. 3x23y+2 , 2x3y4. , - .

[. =3, =1] 2.16. , : 2+1x2 + 53x+2

2.17. , : 32x2y+7 + 22x+1y12

2.18. :

i) 2xy2 . (3x2y4) ii) ( )323 . ( )234 y iii) 2 325 x y

. ( )yx 35815 iv) 2xy2 . (4x3y) . (x4y6) v) xy . (22) . 435 . (

21 32)

2.19. :

i) ( )3212 . (235) . (34)2 ii) (2x3y2)2 . ( )32 412 x y

• 8 1:

iii) (323)3 . (42)2 . ( )25 613 v) ( ) ( ) ( )3 2 44 2 5 4 3 6 23 2 x y xy ax y

2.20. :

i) 12x8 : (6x5) ii) (2497) : (653) iii) (1823) : (93) iv) 10xy4z3 : (15x3y4z5)

2.21. :

i) [2x3y4 . (6x2y)] : (4x5y7) ii) [(423x) . 5x3) . (

21 6x)] : (14115x4)

iii) (32 3x5)3 : ( 9

4 4x4)2

iv) ( ) ( ) ( )2 3 22 3 4 21 2 3: :3 3 4

• 3: - & 9

3.

-

3.1. ;

: , .

3.1.1. : 52 3 +6 + 2 + 9 2 + 3 2 + = 42 2 + 14 + 3. ___________________________________________________________________________________________ 3.2.

i) 4x2 3x3 + 5x 2x2 + 7 x 2 + 3x2 + 4x3 ii) 5x4 3x2 + 2x 7x4 3x3 1 2x + 4 5x2 iii) x2 + 2x + 3x2 x + 5 4x iv) 23x 62x2 + 53x + 3 24 + x4

3.3. = x23x+1 , = x2+2x+5 = 2x2x3 i) + ii) + + iii)

3.4. :

i) 3x2 [(5x3x) + 4x2 (2x2+6)] + (2x25x) ii) 53 (22+3) + [ (3224) + (2+6)]

3.5. :

i) (2x3) [2x (x22)] {x2[3x+4(x21)]} ii)3x2{x2[x(1x3)]+2x}{2x3 + [x+(x23)3x2]1}4

• 10 1:

4.

4.1. ;

: , - .

4.1.1. : (22).(3 12

32 + 4) = 632 232 + 82.

4.2. ;

: , .

4.2.1. : ( 2).(2 3 4) = 3 32 4 22 + 6 + 8

= 3 52 + 2 + 8 4.2.2. : ,

. ___________________________________________________________________________________________ 4.3. :

(x22y)3y + (xy+y2)(x) + (x+y)(2xy) (x+3)2y2. x = 2 y = 1.

4.4.

2x(2+1) (x+1)(2) x(2+2) + , x.

4.5. . ) (2x+3)(x2+x1) (x21)(x+2) 2x3 , x = 2. ) (x2y2xy2)(2xy) 2x3(x+y) (xy)(2y3), x = 1, y = 2.

4.6. : ) 3x(x21) 4x2(x+2) 3x + 4(x21) ) 5x2(x32x2+4) +(12x)(4x3) x(x1) 2x ) 2(2+2) 3 ()(3) 42 ) 3[x2 (x+4) 3] 2x2[x + (x2)] 5

) 2{ [2(+4)] + 2} 3(22) 4.7. , : ) * .(427+8) = 283 492 + 56 ) * .(3x2+8x7) = 36x5 + * * ) 523( * 92 + * ) = 2057 * + 49

4.8. : ) (3x+1)(2x3) ) (3x22x+4)(2x5) ) (x+2)(x2)(x+5) ) (x+1)(x+2)(x+3)