Scattering di RutherfordSolo interazione con il campo Coulombiano

Da V=T ricavare dd = (1/4πε0 zZe2 )/T

b= (d/2) cotθ/2

Cu27 Al13 A parita’ di energia e angolo c’e’ un fattore 4 in piu’ di particelle diffuse in Cu rispetto a Al

Dipendenza da 1/ Ekin2

Ekin= p2/2m

Da V=T ricavare dd = (1/4πε0 zZe2 )/T

b= (d/2) cotθ/2b (in fm)

Sezioned’urto misuratadiviso la sezione d’urto calcolata con

Per valori minori di rmin si hanno reazioni nucleari

α240Pu

240PuEα =170MeVθ=1500

Diffusione anelastica CoulombianaVirtual photon

Spettro particelle alfaLa vita media del 2+

è piu’ lunga del tempo di interazione del proiettile con il bersaglio e quindi Si ha assorbimentodi un fotone da 2+→4+

Minimi per θ ∼λ/R

Il nucleo assorbe fortemente i nucleoni e quindi l’analogia della diffrazione da un disco opacoe’ valida

La superficie ha una diffusivita’(i minimi non vanno a zero)

Figura di diffrazione per la luce incidente Su una apertura circolare Per luce con λ = 20Raggio

Scattering elasticoper neutroni da 14 MeV da Pb

A 600 la distanza tra proiettilee bersaglio e’ di 12.6 fm (vedi Rutherford ) e l’interazione nucleare si ha a 11.8 fm

Per neutroni da 14 MeV la Sezione d’urto e’ diversa

208Pb

208PbEp= 1050 MeV

30

Ad angoli all’indietro la sezione d’urto di Rutherford e’ piccola

Protoni da 14 MeVIl comportamento diffrattivosi ha solo a grandi angoli <600

Ad alte energie la parte Coulombianae’ trascurabile anche a piccolo angoli

Sezione d’urto per la diffusione da un disco assorbente

Esaminiamo le previsioni basate sull’analogia di un disco assorbente

Ad angoli piccoli

Per studiare la diffusione elastica in presenza di effetti diSi usa il modello ottico

U(r) = V( r) + i W( r)

Descrive la diffusione

E’ responsabile dell’assorbimento

U(r) =-V0 –iW0 r<R U(r) =0 r>R

eikr/r con k = sqrt(2m(E+ V0 +iW0) k e’ complesso k = kr + iki

exp (ikr r) exp (-kir) /r la densita’ di probabilita’ radiale e’ e2kir

L’onda e’ attenuata quando passa attraverso il nucleo

W0 >0 da’ una perdita di intensita’

Se W0 < E+ V0 si ha

k∼sqrt (2m(E+ V0)/hbar2 ) +iW0 /2 sqrt (2m/ hbar2 x 1/(E+V0) )

V(r) = -V0/1+exp (r-R)/a)

d =1/ki (3fm)

V0 = 40 MeVE= 10 MeV

d =1/W0 sqrt (hbar2 (E+ V0)/2m )

W0 = 11 MeV

Reazioni di Nucleo CompostoPer parametri di impatto minori del raggio del nucleo bersaglioSi ha uno scattering dei nucleoni incidenti con quelli del bersaglio.Questi a loro volta fanno altre collisioni e dopo un numero di queste Collisioni l’energia incidente e’ ripartita tra i nucleoni del sistema combinato Proiettile + bersaglio.C’e una distribuzione statistica di energia e la probabilita’ che un nucleone Guadagni abbastanza energia per uscire (in analogia con l’evaporazione di una Molecola in un liquido riscaldato)

Lo stato intermedio e’ chiamato nucleo composto

A+X →C* →Y+bDecadimento (possono essere piu’ di uno e di tipo

diverso)Nucleo composto

La reazione puo’ essere vista come processo a due stadi, Formazione e decadimento

La probabilita’ di decadimento a uno specifico stato finale e’ indipendente da come si e’ formato il nucleo composto

Il modello di nucleo composto funziona Bene a basse energie (fino a circa 10 MeV/u)e nuclei medio pesanti

Distribuzione angolare isotropa

Al crescere dell’energia si evaporano piu’ particellet =10-16 – 10-18 s

Reazioni dirette

Avvengono prevalentemente sulla superficie del nucleo t =10-22 s

Il nucleone trasferito ha momento lineare p e si collocasu un orbita con momento angolare l

p = pa – pb

l=Rp

Consideriamo la reazione (d,p) su 90Zr Q= 5 MeV per Ep =10 MeV

Poiche’ pa ∼pb = 140 MeV/c si ha

Per un fissato valore del momento angolare ci si aspetta il protone uscente a l=0→ 00 l=1 → 140 l=2 → 290 l=3 →440

(d,p) su 90Zr

l =1

θ ∼ 150Massimo a θ ∼ 00

Per un fissato valore del momento angolare ci si aspetta il protone uscente a l=0→ 00 l=1 → 140 l=2 → 290 l=3 →440

Quando il momento orbitale trsferito e’ l lo stato finale in cui si trova il nucleonenel nucleo e’ j =l +/- 1/2

l=4

l=5

La teoria completa per le reazioni dirette X+a →Y+b

Usare l’approssimazione di Born M = ∫ψY* ψb

* V ψXψa dv

V potenziale di interazione ψb e ψa sono trattate come onde piane

Si assume che l’interazione sia solo alla superficie r=R

Si trova che M ∼ dω/dΩ ∼2

K=p/hbar

Le onde piane sono distorte dal nucleo → usare il potenziale ottico

Funzioni d’onda di Shell model (possono anche essere combinazioni lineari di piu’ stati) e quindi non sempre si puo’ usare uno stato puro di shell model

(dω/dΩ)Mis = S (dω/dΩ)Cal

S=1 stato puro di modello a shell

Risultato ottenuto nel caso di 91Zr

Gli stati formati nelle reazioni nucleari sono di due tipi

Nucleo Composto Si formano stati discreti non legati con una certa larghezza(vita media) e la spaziatura tra gli stati e’ minore della larghezza di un singolo stato Si ha un continuo

Nel caso si popolano stati legati le vite medie sono lunghe e le larghezze molto piccole

1ps → Г ∼10-3 eV

Reazioni dirette

Tra questi due estremi si ha un regime di risonanze (stati discreti non legati E>0 ma che si comportano come quasi-legati)

• Hanno un’alta sezione d’urto di formazione• Due modi di decadimento (respingendo la particella incidente) e decadimento γ

Ricordarsi che 1 MeV corrisponde a 6 10-22 s

Rappresentiamo il potenziale nucleare come buca quadrata

Le funzione d’onda entro e fuori la buca devono raccordarsi tra loro e questo puo’ avvenire in diversi modi a seconda del valore della fase dell’onda all’interno della buca (nucleo)

Al variare dell’energia incidente si varia la fase relativa delle onde dentro e fuori la buca di potenziale

risonanza

L’ampiezza dell’onda entro la buca e’ molto minore di quella dell’onda fuori

L’ampiezza dell’onda entro la buca e’ poco minore di quella dell’onda fuori

L’ampiezza dell’onda entro la buca e’ uguale a quella dell’onda fuori si ha la condizione di risonanza

La sezione d’urto ha la forma caratteristica della distribuzionedi energia di uno stato con energia ER e larghezza Г.

Scattering di neutroni da 59Co

(n,γ)

Quando si ha il massimo valore della sezione d’urto un numero minoredi neutroni viene trasmesso

Ex del nucleo = Bn + Ekin,n

Protoni su alluminio(p,p) (p,γ)

Interferenza tra scattering e risonanza

(p,γ) su 23Na

(n,γ)

La distribuzione di energia e’ quella di un tipico decadimento da uno stato non stazionario con larghezza maggiore della risoluzione del rivelatore(corrisponde a una vita media molto breve)

Reazioni tra ioni pesantiA>4 fino a 238U

Studio dell’equazione di stato e della struutura nucleare aTemperatura finita

Il nucleo composto che si forma con le reazioni tra ioni pesanti ha densita’ e Temperature che non possono essere raggiunte con gli ioni leggeri

Evoluzione della densita’ nucleare in funzione del tempo per la collisione 12C+12C a 700 MeV

Le reazioni (HI,xn) permettono di studiare i nuclei lontano dalla valle di stabilita’

x =5-10 → i nuclei ricchi di protoni

studio degli elementi superpesanti

Una caratteristica importante e unica delle reazioni con ioni pesanti e’ il Trasferimento di alti valori del momento angolare

40Ca+197Au Barriera Coulombiana200 MeV

La collisione di grazing a questa energia da l>140

A questi valori il CN non e’ in grado di formarsisi ha la molecola nucleare

Evidenza di questi stati molecolari si ha osservando eccitazionivibrazionali e rotazionali che corrispondono a quelli osservati nelle molecole

J

12C + 12C

Le risonanze nella sezione d’urto corrispondono all’eccitazione di stati rotazionali e vibrazionalidel sistema molecolare nucleare

Popolazione di stati con alto momento angolare (anche >40 hbar).per nuclei deformati gli stati eccitati formato spettri rotazionali

Momento di inerzia

Notare che c’e una deviazione dal comporatmeto previsto

Assumiamo che il momento di inerzia non e’ costante ma aumenta con l’energia di rotazione. Questo effetto e’ detto centrifugal strectchinge non avviene per un corpo rigido ma solo per un fluido

=Ricavare I(I+1)

Da

La relazione tra il momento di inerzia e ω2 misurata sperimentalmente e’

Backbanding che avviene quando L’energia rorazionale e’ maggiore di quella necessaria per rompere una coppia di nucleoni con spin opposti

Quando cio’ succede i nucleoni vanno su due orbite diverse e questo causa la variazione del momento d’inerzia

Trasferimento di particelle alfa da un nucleo pesante

La formazione di alfa all’interno dei nuclei si ha anche quando non si ha decadimento spontaneo alfa

Questo sta alla base del modello alfa cluster nei nuclei 12C spectrum

20Ne spectrum