Kernphysik I

Grundlegende Eigenschaften der Atomkerne:

• Rutherford-Streuung

• Wirkungsquerschnitt

Rutherford-Streuung

2

22

rvb

dtd

rdtdmrmmvbvmrL

=

===×=

φ

φωrrrDrehimpulssatz

Geiger und Marsden, zwei Mitarbeiter von Rutherford, untersuchten α-Streuung an dünnenFolien an der Universität Manchester. Die Apparatur bestand aus einer evakuiertenKammer, einer kollimierten Ra-Quelle R (kinetische Energie der α-Teilchen T = 4.78 MeV)und einem ZnS Szintillator S, der um eine dünneGold- oder Silberfolie F im Zentrum derKammer geschwenkt werden konnte.

Rutherford-Streuung Wiederholung

Klassische Beschreibung der Streuexperimente durch Rutherford

• Target und Projektil punktförmig mit Ladungen +Z1e bzw. +Z2e.

• Elektromagnetische Wechselwirkung (Coulombkraft)

• Keine Spins, keine magnetischen Momente der Streupartner

• Keine Targetanregung (elastische Streuung)

• Target (Au) ist viel schwerer als Projektil 4He (Masse m, Geschwindigkeit v), Rückstossenergie vernachlässigbar, sonst Rechnung im Schwerpunktsystem

rdt

vbd

rvb

dtd

rdtdmr mmvbvmrL

22

22

=φ

=φ

φ=ω==×=

rrrDrehimpulssatz

Senkrechte Abstand zur Strahlachse:b – Stoßparameter, impact-ParameterStoßparameter b

Streuwinkel θZ1e

Z2e

Rutherford-Streuung

Stoßparameter bStreuwinkel θ

Z1e

Z2e

21 2

2

( ) 2 2 21 2 1 2

( ) 2

Betrachte Impuls relativ zu Achse n vor dem Stoß: - sin 2 nach dem Stoß: sin 2

Impulsänderung:

2 sin 2 cos

Drehimpulserhaltung:

cos 2cos 2

mv θ/mv θ/

Z Z ep mv θ/ dtr

Z Z e Z Z ep dvb vb

π θ

π θ

φ

θφ φ

∞

−∞

−

− −

+

Δ = = ⋅

Δ = ⋅ = ⋅

∫

∫

v

21 2 1 2

2 2

1 1tan 2Z Z e Z Z c

mv b mv bαθ = =h

rdt

vbd

rvb

dtd

rdtdmr mmvbvmrL

22

22

=φ

=φ

φ=ω==×=

rrrDrehimpulserhaltung:

Rutherford-Streuung

Intergration und Kreisfunktionen

Stoßparameter bStreuwinkel θ

Z1e

Z2e

b1

mvcZZ

b1

mveZZ

2tan

2cos2vb

eZZdcosvb

eZZp

dtcosr

eZZ2θ/sinmv2p

2θ/sinmv2θ/sinmv

221

2

221

221

2)(

2)(

221

2

221

h

v

α==θ

θ⋅=φφ⋅=Δ

φ⋅==Δ

+

∫

∫

θ−π

θ−π−

∞

∞−

:erhaltungDrehimpuls

:rungImpulsände

:Stoß dem nach - :Stoß dem vor

n Achse zu relativ Impuls Betrachte

Beziehung zwischen Stoßparameter und Streuwinkel ist die Ablenkfunktion.

Für den Vergleich der Rechnung mit den Ergebnisse von Rutherford benötigtman jedoch die Zählrate als Funktion des Streuwinkels.

WirkungsquerschnittWirkungsquerschnitt WQDer Wirkungsquerschnitt entspricht der Fläche, die ein Projektil treffen muß, um eine bestimmte Reaktion auszulösen. WQ ist verknüpft mit der Wahrscheinlichkeit, daß in einem Streuexperiment eine Wechselwirkung eintritt.

WQ ist abhängig von: - Energie - Art der Wechselwirkung- an der Reaktion beteiligten Streupartnern

Anschauliche Interpretation: "Wirksame" Fläche eines Kerns, die zu Reaktion führt. Grobe Abschätzung: Geometrische Fläche

Einheit: 1 barn (b) = 10-28 [m2] 1 millibarn (mb)= 10-27 [cm2]

Geometrische Wahrscheinlichkeit für Reaktion

N Anzahl der StreuzentrenF Flächeσ Wirkungsquerschnitt

Totaler Wirkungsquerschnitt

Fba

baNI

N

ANN

N⋅

=⋅

=•

=

•

•

•

en/FlächeStreuzentrchen/Zeit Strahlteilonen/Zeitder Reakti Zahlσ

Die Targetfläche fällt bei der Berechnung heraus, wenn man die Anzahl derStreuzentren in der Targetfolie berechnet. Voraussetzung: dünne Folie, Streuzentren überlappen nicht bzw schirmen sich nicht ab.

Definitionen:

Strahl TargetStrom Flächen

dichte

Reaktionsrate und Luminosität

Luminosität:

σ

φ

⋅=

⋅⋅=⋅=⋅=•

−

LN

sNvnNNIL baabaFba ][cmit Einhe 1-2

Mit der Flächendichte der Streuzentren, dem Teilchenstrom im Strahl und demWirkungsquerschnitt ergibt sich die Zahl der Streuungen (Reaktionen) pro Sekunde:

Fba NIN ⋅⋅=

•

σ

dθdb

θb

dΩdσ

ddd

dbbd

⋅=

−==Ω

=

sin

)cos(2sin2

2

W.Q. ellerdifferenti und tionAblenkfunk Raumwinkel in Teilchen eauslaufend

Ringfläche durch Teilchen eEinfallend

θπθθπ

πσ

Differentieller Wirkungsquerschnitt

RaumwinkelhteFlächendicchen/Zeit Strahlteilonen/Zeitder Reakti Zahl)(

••=

Ωθσ

dd

• dσ/dΩ ist ein Mass für die Wahrscheinlichkeit, daß ein Teilchen in den Winkelbereich zwischen θ und θ + dθ gestreut wird.

• Differentieller W.Q. beschreibt die Winkelverteilung der gestreuten Teilchens.

Rutherford-Streuung

2sin1

E4eZZ

dd

2sin41

mveZZ

2sin21

2sin21

mveZZ

2sin21

sin2cos

mveZZ

2sin21

2sin2cos

sin1

mveZZ

2sin21

mveZZ

2cotmv

eZZsin

1ddb

sinb

dd

2cotmv

eZZ

2tan1

mveZZb

b1

mveZZ

2tan

4

2221

4

2

2

221

3

2

2

221

3

2

2

221

2

2

2

221

22

221

2

221

2

221

2

221

2

221

θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Ωσ

θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

θθ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

θθ

θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

θθ

θ

θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

θθ

θ=

θθ=

Ωσ

θ=θ

=⇔=θ

Diff. Wirkungsquerschnitt der Rutherford Streuung

Nebenrechnung

Ablenkfunktion

Diff WQ

Rutherford-Streuung

( )

221 2

4

221 2 4

14 sin 2

Mit Impulsübertrag: 1 1elastische Streuung: sin2 2 2

12

umgekehrt proportional zur vierten Potenz des Impulsübertrages

Dieses Er

Z Z edd E

q p pq qp pp mv

d Z Z med q

σθ

ϑ

σ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟Ω ⎝ ⎠

′= −

′= = =

=Ω

r r r

r r

gebnis erhält man auch bei der quantenmechanischen Berechnungmit Störungstheorie und der Born'schen Näherung.

Rutherfords Reaktion auf das überraschende Ergebnis:"It was quite the most incredible event that ever happened to me in my life. It was almost as incredible as if you had fired a 15-inch shell at a piece of tissue paperand it came back and hit you."

θ θ

( )

2

24

22

pEm

p mE

=

=

Rutherford-Wirkungsquerschnitt

• diff. W.Q. - fällt mit 1/ sin4θ/2 mit Winkel θ ab, Übereinstimmung mit Beobachtungen von Geiger, Marsden. ⇒ Atom besteht aus einem harten Kern und Ladung +Ze.

• diff. W.Q. - wächst mit Z2 bei festem Winkel θ- wird unendlich groß für θ -> 0

• Bei sehr kleinen Streuwinkeln wird der Stossparameter b größer als Radius der Elektronenhülle. Kernladung ist abgeschirmt und Ze -> 0.

• Bei Streuung an vollständig ionisiertem Kern divergiert der diff. W.Q. trotzdemfür θ -> 0 sodaß der totale W.Q. für Rutherford-Streuung nicht definiert ist. Eigenschaft der elektromagnetischen Wechselwirkung, die mit der unendlichen Reichweite verbunden ist. Für Wechselwirkungspotentiale, die schneller als 1/r abklingen (z.B. die Kernkraft), bleibt er endlich.

2

1 24

22

14 sin

kin. Energie E 1 2 Feinstrukturkonst.

Z Zdd E

/ mv

θ

ασ

α

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟Ω ⎝ ⎠

=

Differentielle Wirkunsquerschnitt für Rutherfordstreuung:

Rutherford-WirkungsquerschnittDer differentielle Wirkungsquerschnittnimmt sehr stark mit zunehmendemStreuwinkel ab:• Um das Projektil stärker zu streuen istein höherer Impulsübertrag notwendig.Große Impulsüberträge werden aber nurbei kleinen Abständen ermöglicht, also beikleineren Stoßparametern.• ist bei θ = 0 nicht definiert.Dies hat aber keine praktische Bedeutungda das Projektil bei großen Abständen vomTarget vom gesamten Atom gestreut.• ist umgekehrt proportional zur Energie des gestreuten Teilchens.Bei gleichem Streuwinkel muss auf einProjektil höherer Energie auch ein höhererImpuls übertragen werden.• ist proportional zum Quadrat der Ladungvon Projektil und Target.Das hat mit dem Austausch vonPhotonen zu tun und ist typisch fürelektromagnetische Streuung. Wirdspäter genauer erläutert.

Rutherford-Wirkungsquerschnitt• Experiment von Geiger, Marsden:

- Helium auf Gold-, bzw. Silberfolie- Gold: Z1 =79, A=197 Helium: Z2 =2, A=4 kin. Energie T=4.78 MeV

- kürzeste Abstand D = Z1 Z2 α / 2T • (1 + 1/sinθ/2)Dmin = Z1 Z2 α / T Dmin = 48fm

=> Obere Grenze (von 48 fm) für den Radius des Au-Kernes

• Chadwick, Bieler (1921) αp - Streuung an einem Wasserstofftarget Z1 =1, Z2 =2

⇒ signifikante Abweichung des diff. W.Q. von der Rutherfordformel ⇒ endliche Ladungsverteilungen des α und p können Daten nicht beschreiben⇒ starke Wechselwirkung wirkt bei sehr kleinen Abständen ~1 fm⇒Wechselwirkung ändert sich bei sehr kleinen Abständen ~1 fm

Kern-Kern-Streuung

Streuung von hochenergetischen alpha Teilchen bei einem festen Streuwinkel können für eine Abschätzung des Kernradius verwendet werden.

Eisberg, R. M. and Porter, C. E., Rev. Mod. Phys. 33, 190 (1961)

Aus 180 grad Streuung für 27.5 MeV - impact parameter: 7.44 fm- Kleinster Abstand: 12.9 fm. - Kernradius: 7.1 fm

Bessere Methode: Elektronenstreuung

Kern-Kern-Streuung Ausblick

Zusammenfassung

Fba

baNI

N

ANN

N⋅

=⋅

=•

=

•

•

•

en/FlächeStreuzentr chen/ZeitStrahlteil/ZeitReaktionen der Zahlσ

Wirkungsquerschnitt: Einheit: 1barn (b) = 10-28 [m2]

Zahl der Streuungen (Reaktionen) pro Sekunde:

Fba NIN ⋅⋅=

•

σ

RaumwinkelhteFlächendicchen/Zeit Strahlteilonen/Zeitder Reakti Zahl)(

••=

Ωθσ

dd

Differentieller Wirkungsquerschnitt:

σ

φ

⋅=

⋅⋅=⋅=⋅=•

−

LN

sNvnNNIL baabaFba ]1-2[cm Einheit

Luminosität: