GERİDEN KESTİRME YÖNTEMİ

Arazide bir P noktasından koordinatı, çevrede koordinat değerleri bilinen A, B ve C gibi en az üç komşu noktaya olan

doğrultu değerlerin ölçülmesi yada bu doğrultuların farkı şeklinde elde edilen α, β açıları yardımıyla belirlenmesi işlemine

Geriden kestirme hesabı denir.

Collins Yöntemi

Bu yöntemde, koordinatı bilinen üç nirengi noktasından ve üzerine alet kurularak bu nirengi noktalarına giden doğrultuların

arasındaki ve açı ölçü değerlerinden faydalanarak P gibi bir kestirme noktasının koordinatlarını hesaplamada,

yardımcı bir collins noktasından faydalanılır.

Şekil 44: Collins Yöntemi

B

P

CA

β α

αβ

Q

ε δ

δ ε

P kestirme noktasından B nirengi noktasına çizilen doğrultunun A, P ve C noktalarından geçen çemberi kestiği Q yardımcı

noktasına collins yardımcı noktası adı verilir.

Çember geometrisinden; APB=ACQ, BPC=QAC PCA=PQA, CQP=CAP açıları aynı yayı gören çevre açılar olduğundan

birbirine eşittirler. Böylece, problem ardı sıra uygulanabilen iki adet önden kestirme problemi çözümüne dönüşmüş olur.

Birinci önden kestirme probleminde; Q noktasının koordinatları A ve C koordinatları bilinen nirengi noktalarından

faydalanarak bir önden kestirme çözümü ile kolayca denetimli bir şekilde bulunabilir. Sonra, ve açıları hesaplanabilir;

δ = (BQ) – (QC) ve ε = (QA) – (BQ)

Ancak, burada yapılacak hesaplamalarda dikkat edilmesi gereken bir önemli husus; B noktasının çemberin içinde mi yoksa

dışında mı olduğudur. Eğer dışında ise; , ve açılarının hesaplanması için verilen formüller olduğu gibi kullanılır.

İçerisinde ise; o zaman bu formüllerde yer alan (BQ) açıklık açısı yerine 200g ilave edilmiş değeri, (BQ+200g ) şeklinde

alınarak elde edilen açıklık açısı kullanılarak işlemler yapılır. Şekilden de görüldüğü gibi, ve açıları aynı zamanda aynı

yayı gören A ve C noktalarındaki CAP ve PCA çevre açılarına da olmaktadır. Bu özellikten faydalanarak A ve C

noktalarından yapılacak ikinci bir önden kestirme hesabı ile ACP üçgeninden P noktasının koordinatları hesaplanır.

Örnek 1: Aşağıda verilen ölçülere göre 100 nolu nirenginin koordinatını hesaplayınız.

NN Y X101 40297.286 564800.140102 40699.927 564912.226103 40800.032 564599.852

α = 68.0341 β = 59.1432

NN Sağa Yukarı DN BN Doğrultu101 540297.286 564800.140 100 101 0.0000102 540699.927 564912.226 102 68.0341103 540800.032 564599.852 103 127.1773

(101-103-100) üçgeninde

Q

103

100

101

102

φ λ

λ

φ

α

β

αβ

(101-103-Q) üçgeninde

Örnek 2: Verilen ölçülere göre 122 numaralı noktanın koordinatını hesaplayınız.

NN Y X110 510826.262 424014.897120 513985.838 421581.819121 516073.420 425974.471

DN BN Doğrultu122 120 0.00000

110 26.0190121 69.9219

α = 26.0190 β = 43.9029

(121-120-Q) üçgeninde122

120

110121

α

β

φ

ψ

β

α

φ

ψ

(121-122-120) üçgeninde

Cassini Yöntemi

Cassini yöntemine göre; P geriden kestirme noktasının koordinatını hesaplamak için ABP ve BPC noktalarından geçen iki

farklı çemberlerin kesişim noktalarından hareket edilerek çözüm yapılır. Bu iki çemberin kesişim noktalarından biri

koordinatı bilinen B noktası olurken diğer kesişim noktası koordinatları hesaplanmak istenen P kestirme noktası olmaktadır.

Şekilden de görüldüğü gibi, çemberlerin B noktasından çizilen çaplarının diğer uçları cassini yöntemine göre yapılacak

çözümünde kullanılan D ve E yardımcı noktaları olmaktadır. Geometrik özelliği nedeniyle, bu çemberlerde BD ve BE

çaplarını gören DPB, BPE BAD ve ECB çevre açıları 100g yani dik açı olmaktadır. Bu durumda P noktası B noktasından

DE doğrusuna inilen dikin ayak noktası olmaktadır.

Şekil 44: Cassini Yöntemi

A, B ve C noktaları nirengi noktası olduğundan koordinatları da bilinmektedir. aralarındaki (AB) açıklık açısı ve AB

kenar uzunluğu, bu noktanın koordinatından faydalanarak,

A

B

C

α β

P

D

E

β

α

formüllerinden hesaplanabilir. Sonra, ABD üçgeninden; AD kenar uzunluğu ile (AD) açıklık açısı,

AD = AB.Cotα ve (AD) = (AB)+100g

olarak hesaplanır. Daha sonra, bu değerlerden faydalanarak, A noktasında koordinat taşımak suretiyle D noktasının

koordinatları birinci temel ödev yardımıyla bulunur.

Benzer yol izlenerek, (BC) açıklık açısı ve BC kenar uzunluğu,

olarak hesaplanır. Sonra, CBE dik üçgeninden, CE kenar uzunluğu ve (CE) açıklık açısı,

CE = BC.Cotβ ve (CE) = (CB)-100g

bağıntılarından elde edilir. Daha sonra, C noktasından birinci temel problem çözümüne göre koordinat taşıyarak, E

noktasının koordinatları da hesaplanır. Burada, BP kenarının DE kenarına dik olduğu dikkate alınırsa,

değerleri hesaplanır. Sonuçta, P noktasının koordinatları, açıklık açıları ile yapılan ileriden kestirme problemi çözümündeki

işlemlere benzer şekilde,

ve

eşitlikleriyle denetimli olarak hesaplanabilir. Ancak böyle bir denetim, sadece işlem kontrolunu sağlamaktadır. Ölçü

denetimini sağlamamaktadır.

Örnek 1: Aşağıda verilen ölçülere göre 100 nolu nirenginin koordinatını hesaplayınız.

(103-102-E) üçgeninde

NN Sağa Yukarı DN BN Doğrultu101 540297.286 564800.140 100 101 0.0000102 540699.927 564912.226 102 68.0341103 540800.032 564599.852 103 127.1773

103

100

101

102

αβ

α

β

E

D

O1

O2

NN Y X101 40297.286 564800.140102 40699.927 564912.226103 40800.032 564599.852

α = 68.0341 β = 59.1432

(101-102-D) üçgeninde

Örnek 2: Verilen ölçülere göre 122 numaralı noktanın koordinatını hesaplayınız.

NN Y X110 510826.262 424014.897120 513985.838 421581.819121 516073.420 425974.471

DN BN Doğrultu122 120 0.00000

110 26.0190121 69.9219

α = 26.0190 β = 43.9029122

120

110

121

O1

O2

D

E

α

β

β

α

Keastner Yöntemi

Keastner yöntemine göre bir geriden kestirme noktasının koordinatların hesaplamak bir diğer geriden kestirme yöntemi

çözümüdür. Bu çözümde koordinatları bilinen A(Xa,Ya), B(Xb,Yb), C(Xc,Yc) nirengi noktaları ile kestirme noktasında kurulan

teodolitle ölçülen α, β açılarından faydalanılarak çözüm yapılır. Çözüm sonucunda aranan P(Xp,Yp) noktasının koordinatları

aşağıdaki gibi elde edilir. Bu amaçla önce, a, b uzunlukları ve γ açısı,

bağıntılarından hesaplanır.

B

A

C

α

γ

P

a

b

(BC)

βφ

ψ

S

Şekil 45: Keastner Yöntemi

Sonra ABCP dörtgeninin iç açıları toplamından;

yazılır. Daha sonra da S ortak kenar uzunluğu iki üçgenden faydalanarak hesaplanabilir. Böyle bir işlem için, önce

’dan

μ açısı hesaplanır. Aynı zamanda buradan hesaplanmış olan değeri,

bağıntısına da eşit olmaktadır. Daha sonra Trigonometrik bağıntılardan, bunun

eşit olduğu yazılabilir. Bu eşitliğin düzenlenmesinden de

elde edilir. Bu işlemlerin neticesinde, toplam ve fark şeklindeki η1 ve η2 eşitliklerinden φ, ψ açıları basit bir şekilde

hesaplanır.

Daha sonra, A noktasından P noktasına olan (AP) = (AB)+φ açıklık açısı ve APB üçgeninden AP kenar uzunluğu

hesaplanır. Birinci temel ödev yardımıyla A noktasından başlanarak, P noktasına koordinat taşınarak, bu noktanın koordinat

değerleri hesaplanır. Aynı şekilde B ve C noktalarından da faydalanarak P noktasının koordinatları denetimli bir şekilde

hesaplanır.

Örnek 1: Aşağıda verilen ölçülere göre 100 nolu nirenginin koordinatını hesaplayınız.

54.82531

NN Sağa Yukarı DN BN Doğrultu101 540297.286 564800.140 100 101 0.0000102 540699.927 564912.226 102 68.0341103 540800.032 564599.852 103 127.1773

103

100

101

102

αβ

φ

ψ

γ

NN Y X101 40297.286 564800.140102 40699.927 564912.226103 40800.032 564599.852

α = 68.0341 β = 59.1432

φ = 65.44549; ψ = 104.91849

Örnek 2: Verilen ölçülere göre 122 numaralı noktanın koordinatını hesaplayınız.

NN Y X110 510826.262 424014.897120 513985.838 421581.819121 516073.420 425974.471

DN BN Doğrultu122 120 0.00000

110 26.0190121 69.9219

α = 26.0190 β = 43.9029

122

120

110

121

αβ

φ

ψ

γ

54.1539

φ = 140.0951; ψ = 125.4531