ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

Aναστασία Βελώνη

Τμήμα Η.Υ.Σ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση • Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

Σκοποί ενότητας

Παρουσίαση του μετασχηματισμού Ζ ως εργαλείο μελέτης και επίλυσης Γ.Χ.Α συστημάτων διακριτού χρόνου.

4

Περιεχόμενα ενότητας

1. Η χρήση του Μετασχηματισμού Z στην επίλυση Ε.Δ

2. Ορισμός Z Transform

3. Η χρησιμότητα του Μετασχηματισμού Z στην ανάλυση διακριτών ΓΧΑ συστημάτων

4. Παραδείγματα

5. Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ

6. Αντίστροφος μετασχηματισμός Ζ

7. Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z

8. Τυπολόγιο

9. Λυμένες ασκήσεις εξάσκησης

10. Ασκήσεις Για Λύση

5

Γενικές έννοιες

• Όπως τα αναλογικά συστήματα σχεδιάζονται και αναλύονται με την χρήση των Μετασχηματισμών Laplace, έτσι και στην περίπτωση των συστημάτων διακριτού χρόνου χρησιμοποιείται μια αντίστοιχη τεχνική που λέγεται Μετασχηματισμός Z.

• Όπως ο μετασχηματισμός Laplace μετατρέπει τις διαφορικές εξισώσεις σε αλγεβρικές ως προς s , ο μετασχηματισμός Z μετατρέπει τις εξισώσεις διαφορών σε αλγεβρικές ως προς z. Και οι δύο μετασχηματισμοί αντιστοιχίζουν στα σημεία μιας περιοχής του μιγαδικού επιπέδου μια μιγαδική ποσότητα.

6

Η χρήση του Μετασχηματισμού Z στην επίλυση Ε.Δ

7

Πεδίο z – Πεδίο χρόνου – Πεδίο συχνότητας

8

Ορισμός Z Transform

9

Z-Transform (1)

10

Z-Transform (2)

11

Z-Transform (3)

12

Η χρησιμότητα του Μετασχηματισμού Z στην

ανάλυση διακριτών ΓΧΑ συστημάτων.

Παρέχει δυνατότητες για:

• Αποτελεσματικό υπολογισμό της απόκρισης ενός ΓΧΑ συστήματος (η συνέλιξη στο πεδίο του διακριτού χρόνου y(n) = x(n)> h(n) υπολογίζεται ως γινόμενο στο πεδίο του μετασχηματισμού Z: Y(z)=X(z)H(z) οπότε y(n) = ΙΖΤ(Y(z)).

• Ανάλυση της ευστάθειας ενός ΓΧΑ συστήματος (μέσω του υπολογισμού της περιοχής σύγκλισης).

• Χαρακτηρισμό ενός ΓΧΑ σε σχέση με τη συμπεριφορά του στο πεδίο της συχνότητας (βαθυπερατό φίλτρο, ζωνοπερατό φίλτρο κλπ).

13

z-Plane

14

Σύγκριση επιπέδων s και z

Το επίπεδο s είναι ορθογώνιο ενώ το επίπεδο z είναι πολικό.

Ένα αιτιατό σύστημα διακριτού χρόνου είναι ευσταθές όταν οι πόλοι του βρίσκονται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου.

15

COMPLEX Z - PLANE

16

Απεικόνιση του j άξονα στο πεδίο s στο πεδίο z

17

Απεικόνιση του αριστερού ημιεπιπέδου s στο πεδίο z

18

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #1 (1)

19

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #1 (2)

20

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #1 (3)

Για να υπολογίσουμε το άθροισμα, χρησιμοποιούμε τον τύπο για το άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής σειράς:

21

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #1 (4)

Επομένως ο z-transform της μοναδιαίας βηματικής ακολουθίας είναι

22

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #2 (1)

23

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #2 (2)

24

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #2 (3) Περιοχή σύγκλισης

Η περιοχή σύγκλισης (Region of Convergence - ROC) είναι το εξωτερικό μέρος του κύκλου ακτίνας a.

25

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #3 (1)

26

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #3 (2)

27

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #3 (3) Περιοχή σύγκλισης

Η περιοχή σύγκλισης είναι το εσωτερικό του κύκλου ακτίνας a.

28

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #4 Άθροισμα εκθετικών ακολουθιών (1)

29

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #4 Άθροισμα εκθετικών ακολουθιών (2)

30

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #4 Άθροισμα εκθετικών ακολουθιών (3)

31

Γραμμικότητα

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (1)

32

Χρονική μετατόπιση

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (2)

33

Χρονική μετατόπιση

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (3)

34

Πολλαπλασιασμός με εκθετική ακολουθία

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (4)

35

Πολλαπλασιασμός επί n (Παραγώγιση στο πεδίο z)

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (5)

36

Αντιστροφή χρόνου

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (6)

37

Θεώρημα αρχικής τιμής

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (7)

38

Θεώρημα τελικής τιμής

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (8)

39

Παράδειγμα

40

Συνέλιξη ακολουθιών

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (9)

41

z-Transform Βασικών συναρτήσεων (1)

42

z-Transform Βασικών συναρτήσεων (2)

43

• Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Ζ δίνεται από τη σχέση:

• Όπου c είναι μία κλειστή καμπύλη εντός της περιοχής σύγκλισης της που περικλείει την τομή του πραγματικού και του φανταστικού άξονα του μιγαδικού επιπέδου .

Αντίστροφος μετασχηματισμός Ζ

44

Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z (1)

• Υπάρχουν τρεις μέθοδοι για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού μιας συνάρτησης X(z).

α) Η μέθοδος της ανάπτυξης σε δυναμοσειρά.

β) Η μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων.

γ) Η μέθοδος της Μιγαδικής ολοκλήρωσης (με χρήση του θεωρήματος των ολοκληρωτικών υπολοίπων - residue theorem).

45

Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z (2)

1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ

• Με αυτή τη μέθοδο υπολογίζονται δείγματα του αντίστροφου μετασχηματισμού z και όχι η αναλυτική του έκφραση.

• Διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρανομαστή της συνάρτησης X(z) η X(z) παίρνει τη μορφή μιας σειράς ως προς z .

46

Inverse z Transform

• Μέθοδος της διαίρεσης

Έστω

47

Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z (3)

• 2. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΣΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΜΕΡΙΚΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

• Η ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα (partial fractions expantion) είναι μέθοδος ιδιαίτερα χρήσιμη για την ανάλυση και σχεδίαση συστημάτων, επειδή γίνεται εμφανής η επίδραση οποιασδήποτε χαρακτηριστικής ρίζας ή ιδιοτιμής.

• Βοηθάει να αναπτύσσεται σε μερικά κλάσματα όχι η συνάρτηση X(z) αλλά η X(z)/z.

48

• distrinct real poles

1.Περίπτωση διακεκριμένων πραγματικών πόλων

49

Inverse z Transform (1)

Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – πραγματικοί διακεκριμένοι πόλοι -ΕΦΑΡΜΟΓΗ

50

Inverse z Transform (2)

Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – πραγματικοί διακεκριμένοι πόλοι- ΕΦΑΡΜΟΓΗ

51

Inverse z Transform (3)

Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – πραγματικοί διακεκριμένοι πόλοι- ΕΦΑΡΜΟΓΗ

52

Πόλοι με βαθμό πολλ/τητας n - multiple real poles.

2.Περίπτωση μη διακεκριμένων πραγματικών πόλων

53

Inverse z Transform (1)

Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – πολλαπλοί πόλοι -ΕΦΑΡΜΟΓΗ

54

Inverse z Transform (2)

Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – πολλαπλοί πόλοι -ΕΦΑΡΜΟΓΗ

55

Inverse z Transform (3)

Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – πολλαπλοί πόλοι -ΕΦΑΡΜΟΓΗ

56

3.Περίπτωση μιγαδικών πόλων (complex roots)

• Στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται σύμφωνα με τους τύπους (4) ή (6) ο συντελεστής που είναι αριθμητής στη μία από τις μιγαδικές ρίζες.

• Άρα ο συντελεστής που είναι αριθμητής στον όρο που έχει παρονομαστή τη συζυγή ρίζα της προηγούμενης , θα είναι ο συζυγής του.

57

Inverse z Transform (1)

Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – Μιγαδικοί πόλοι

58

Inverse z Transform (2)

• Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – Μιγαδικοί πόλοι

• Μπορούμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό z χρησιμοποιώντας τους πίνακες ζευγών μετασχηματισμών:

59

Inverse z Transform (3)

• Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – Μιγαδικοί πόλοι

• Οι εκθετικοί όροι μπορούν να μετατραπούν σε ένα συνημίτονο (cosine) με τις παρακάτω μετατροπές:

60

Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – Μιγαδικοί πόλοι

61

1 1( ) 2 ( ) (7)n nF z z dz j residues F z z

Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z (1)

2. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

• Η μέθοδος βασίζεται στην αξιοποίηση της σχέσης του ορισμού του αντίστροφου μετασχηματισμού Ζ.

• Η χρήση της εξίσωσης (2) απαιτεί εφαρμογή του θεωρήματος των υπολοίπων (residue theorem) που δίνεται από τη σχέση (τύπος του Cauchy):

62

Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z (2)

63

Inverse z-Transform με χρήση του MATLAB

64

Τυπολόγιο (1)

65

Τυπολόγιο (2)

66

Τυπολόγιο (3)

67

Λυμένες ασκήσεις εξάσκησης

Z Transform

Άσκηση 1

69

Άσκηση 2

70

Άσκηση 3 (1)

71

Άσκηση 3 (2)

72

Άσκηση 4 (1)

73

Άσκηση 4 (2)

74

Άσκηση 4 (3)

75

Άσκηση 4 (4)

76

Άσκηση 5 (1)

77

Άσκηση 5 (2)

78

Άσκηση 5 (3)

79

Άσκηση 5 (4)

80

Άσκηση 5 (5)

81

Άσκηση 5 (6)

82

Άσκηση 5 (7)

83

Άσκηση 6 (1)

• Βρείτε και σχεδιάστε το σήμα που αντιστοιχεί στο μετασχηματισμό:

84

• Το σήμα x[n] απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα:

Άσκηση 6 (2)

85

Βρείτε τον Z-transform των συναρτήσεων:

Άσκηση 7 (1)

86

Άσκηση 7 (2)

87

Άσκηση 7 (3)

88

Άσκηση 7 (4)

89

Άσκηση 7 (5)

90

Ασκήσεις Για Λύση

Z Transform

Ασκήσεις για λύση (1)

92

Ασκήσεις για λύση (2)

93

Ασκήσεις για λύση (3)

94

Τέλος Ενότητας