Θερμοδυναμική

Ενότητα 7 : Εντροπία

Δρ Γεώργιος Αλέξης

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση • Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

Σκοποί Ενότητας

Η ενότητα αυτή στοχεύει στην εισαγωγή των φοιτητών στη σημασία της έννοιας της εντροπίας τόσο για τα ιδανικά αέρια όσο και για τις καθαρές ουσίες. Με την εμπέδωση της έννοιας αυτής και την επιλογή των κατάλληλων εξισώσεων εκ μέρους των φοιτητών επιλύονται προβλήματα της ειδικότητας του μηχανολόγου μηχανικού. Τέλος, στόχος της ενότητας αυτής αποτελεί η κατανόηση από τους φοιτητές της σημασίας των εν λόγω εννοιών στην μελέτη αφενός και στην επίλυση αφετέρου ενεργειακών προβλημάτων.

4

Περιεχόμενα Ενότητας

• Εντροπία • Διάγραμμα (t-s) • Κύκλος Carnot σε Διάγραμμα (T-s) • Διάγραμμα Mollier (h-s) • Tds Εξισώσεις

• Ελεύθερη ενέργεια Gibbs Ελεύθερη ενέργεια Helmholtz

• Εξισώσεις Maxwell • Εντροπία Ιδανικών Αερίων • Εξίσωση Claudius-Clapeyron • Εξίσωση Bernoulli

5

Εντροπία

Η εντροπία όπως και η ενέργεια, είναι αφηρημένες θερμοδυναμικές έννοιες.

Αυτή είναι μεταβολή εντροπίας λόγω μεταφοράς θερμότητας.

Η μεταβολή της εντροπίας ενός συστήματος μπορεί όμως να προέλθει είτε από την πρόσδοση θερμότητας (αύξηση της εντροπίας), είτε από την απόρριψη θερμότητας (μείωση της εντροπίας), είτε τέλος από διάφορες αναντιστρεπτότητες του συστήματος οι οποίες παράγουν εντροπία.

2

1

12T

δQSS

T

δQdSTdSδQ

pdVδW

Εντροπία (2)

Δηλαδή έχουμε παραγωγή εντροπίας αφ’ ενός από μεταφορά θερμότητας και αφ’ ετέρου από εσωτερικές αναντιστρεπτότητες (τριβή, χημικές αντιδράσεις κ.λπ.). Επομένως όταν δεν προσδίδεται ή απορρίπτεται σ’ ένα σύστημα θερμότητα, δηλαδή δQ=0 αυτό δεν σημαίνει ότι η διεργασία στην οποία υποβάλλεται το σύστημα είναι ισεντροπική, αυτό ισχύει εάν η διεργασία είναι και αντιστρεπτή, δηλαδή:

ΑΔΙΑΒΑΤΙΚΗ + ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΗ = ΙΣΕΝΤΡΟΠΙΚΗ

Εντροπία (3)

Όσον αφορά μια διεργασία η οποία δεν περιλαμβάνει αντιστρεπτότητες η παραγόμενη εντροπία οφείλεται στη μεταφορά θερμότητας και ισχύει:

Σε κυκλική διεργασία ισχύει η ανισότητα του Clausius:

0T

δQSS

2

1

12

2

1

12T

δQSS

2

1

12T

δQSS

Σε αδιαβατική και αντιστρεπτή διεργασία

>0 Διεργασία με πρόσδοση θερμότητας

<0 Διεργασία με απόρριψη θερμότητας

T

δQ

<0 σε μη αντιστρεπτές διεργασίες

0 σε αντιστρεπτές διεργασίες

Εντροπία (4)

Η εντροπία είναι θερμοδυναμική ιδιότητα ?

Η εντροπία καθαρής ουσίας υπολογίζεται από πίνακες κεκορεσμένου υγρού-ατμού με τη σχέση s=xsg+(1-x)sf για κατάσταση εντός της καμπύλης κορεσμού και από πίνακες υπέρθερμου ατμού με γνωστή συνήθως την πίεση και τη θερμοκρασία.

1γ

2γ

2α

1α

1β

2β

2a

1a

1)x(0T

δQ

T

δQ

0T

δQ

T

δQ

1β

2β

1γ

2γT

δQ

T

δQ

1

2

γ

β

α

Διάγραμμα (t-s)

Διάγραμμα (t-s)

x υ

υ

s

t

p

p

h

h

c

t: θερμοκρασία (oC) s: ειδική εντροπία (kJ/kgK) h: ειδική ενθαλπία (kJ/kg) υ: ειδικός όγκος (m3/kg) p: πίεση (bar) x: ποιότητα

Κύκλος Carnot σε Διάγραμμα (T-s)

Επιφάνεια (α34βα) ≡ QH

Επιφάνεια (α21βα) ≡ QL

Επιφάνεια (1234) ≡ W

Βαθμός απόδοσης:

1 2

3

Τ

4

s s1=s4

W

s2=s3

ΤH

ΤL

α β

H

L

34H

21L

H

L

T

T1

)s(sT

)s(sT1

Q

Q1η

Διάγραμμα Mollier (h-s)

h

x υ

υ

t

p, t

p

s

c

t: θερμοκρασία (οC)

s: ειδική εντροπία (kJ/kgK)

h: ειδική ενθαλπία (kJ/kg)

υ: ειδικός όγκος (m3/kg)

p: πίεση (bar)

x: ποιότητα

Tds εξισώσεις

δq-δw=du ....................Tds=du+pdυ

ή dU=TdS-pdV

Ενθαλπία: h=u+pυ ή dh=du+pdυ+υdp ή dh=Tds+υdp ή Tds=dh-υdp

ή dΗ=TdS+Vdp

Ελεύθερη ενέργεια Gibbs Ελεύθερη ενέργεια Helmholtz

Ελεύθερη ενέργεια Gibbs: g=h-Ts ή dg=dh-Tds-sdT………….dg=υdp-sdT αφού Tds=dh-υdp

ή dG=Vdp-SdT (κατά την αλλαγή της φάσης από την υγρή στην αέρια και αντιστρόφως, η

ελεύθερη ενέργεια Gibbs παραμένει σταθερή)

Ελεύθερη ενέργεια Helmholtz: a=u-Ts ή da=du-Tds-sdT………….da=-pdυ-sdT αφού Tds=du+pdυ

ή dA=-pdV-SdT

Εξισώσεις Maxwell

Είναι σχέσεις που συνδέουν τις ποσότητες (p,V,T) με την εντροπία S.

Έστω U=U(S,V) ή

Αλλά: dU=TdS-pdV

Επομένως:

Θα πρέπει δε να ισχύει:

Επομένως:

Εξισώσεις Maxwell (2)

Ομοίως για H=H(S,p) και dΗ=TdS+Vdp προκύπτει:

Για G=G(p,T) και dG=Vdp-SdT:

Για Α=Α(V,T) και dA=-pdV-SdT:

οπότε:

οπότε:

οπότε:

Εντροπία ιδανικών αερίων

Από τις εξισώσεις Tds, έχουμε:

1

2

!

2P12

P

1

2

1

2V12

V

p

pRln

T

T(T)lncss

p

dpR

T

dT(T)cds

υdpdhTds

και

υ

υRln

T

T(T)lncss

υ

dυR

T

dT(T)cds

pdυduTds

cv(T)=du(T)/dT cp(T)=dh(T)/dT pυ=RT

Εντροπία ιδανικών αερίων (2)

Όταν cp, cv σταθερά, τότε: Στην περίπτωση των ιδανικών αερίων μπορούμε να θεωρήσουμε, για μεγαλύτερη ακρίβεια, ότι τα cp και cv είναι συναρτήσεις της θερμοκρασίας, οπότε cp=cp(T) και cv=cv(T).

π.χ. cv(T)=A+BT+CT2+DT3 Και τότε θα πρέπει να υπολογίζονται τα σχετικά ολοκληρώματα.

1

2

1

2v12

υ

υRln

T

Tlncss

1

2

1

2p12

p

pRln

T

Tlncss

Εξίσωση Clausius-Clapeyron

2 3

1

υ

p

4

υg υf

dp

δw=(υg-υf)dp

2 3

1

s

T

4

sg sf

dT

δq=δw=(sg-sf)dT

Εξίσωση Clausius-Clapeyron (2)

Συγκρίνοντας τα δύο εμβαδά στα παραπάνω διαγράμματα, έχουμε:

Αλλά στην περιοχή της αλλαγής της φάσης:

Επομένως:

διότι υg>>υf και pυ=RT

2

fg

sat

2

fg

g

fg

fg

fg

sat RT

hh

pdT

dp

p

RT

hh

Tυ

hh

υυT

hh

dT

dp

2

fg

sat RT

hh

dT

dlnp

ή

Εξίσωση Bernoulli

δq-δw=dh+d(KE)+d(ΔΕ)

Επειδή Tds=dh-υdp ή dh= Tds+ υdp έχουμε:

Tds-δw=Tds+υdp+ d(KE)+d(ΔΕ)

-δw= υdp+ d(KE)+d(ΔΕ)

Για αδιαβατική, άεργο και ασυμπίεστη ροή, μετά την ολοκλήρωση προκύπτει:

0yyg

g

2g

VVppυ 12

cc

21

22

121

Σημείωμα Αναφοράς

© Copyright ΑΕΙ Πειραιά ΤΤ, Αλέξης Γεώργιος, 2016. «Θερμοδυναμική. Ενότητα 7: Εντροπία». Έκδοση: 2.0. Αθήνα 2016.

Τέλος Ενότητας