Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα

Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης

e-mail: tzygiridis@uowm.gr

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Χρηματοδότηση • Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ψηφιακά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Περιεχόμενα

• Παράγωγος κατά κατεύθυνση.

• Υπολογισμός, γεωμετρική ερμηνεία, ιδιότητες.

• Κλίση συνάρτησης.

• Γραμμική προσέγγιση συνάρτησης.

• Εξίσωση εφαπτόμενου επιπέδου.

4

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Στόχοι

Μετά την ολοκλήρωση της ενότητα, οι φοιτητές:

• θα έχουν κατανοήσει την έννοια και τη σημασία της

παραγώγου κατά κατεύθυνση μίας συνάρτησης πολλών

μεταβλητών,

• θα είναι σε θέση να υπολογίζουν παραγώγους κατά

οποιαδήποτε κατεύθυνση,

• θα μπορούν να προσδιορίζουν την κλίση μιας συνάρτησης

και να την αξιοποιούν κατάλληλα,

• θα μπορούν να προσδιορίσουν εφαπτόμενα επίπεδα.

5

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Ορισμός (1/3)

Η ανάγκη υπολογισμού του ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης f (x,y) πάνω σε οποιαδήποτε από τις άπειρες ευθείες που διέρχονται από το σημείο Ρ οδηγεί στην έννοια της παραγώγου κατά κατεύθυνση.

6

Ρ(x0, y0)

x

y

fx(x0, y0) = ρυθμός μεταβολής της f πάνω

στην y = y0

fy(x0, y0) = ρυθμός μεταβολής της f πάνω στη x = x0

y0

x0

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Ορισμός (2/3)

7

Ρ(x0, y0)

x

y

(x(t), y(t))t

x0

φ

tcosφ

tsinφ

Μοναδιαίο διάνυσμα που προσδιορίζει

την επιθυμητή κατεύθυνση

y0

1 2

cos sin

u u

φ φ

u i j

i j

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Ορισμός (3/3)

Αν είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα, η παράγωγος

μιας συνάρτησης f στο σημείο P(x0,y0) κατά τη διεύθυνση του

ορίζεται ως

αν υπάρχει αυτό το όριο.

Συμβολισμός:

8

0 1 0 2 0 0

0

( , ) ( , )limt

f x tu y tu f x y

t

0 00 0

( , ), ( , )u

f x yD f x y

u

1 2u u u i j

u

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Γεωμετρική ερμηνεία

9

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Υπολογισμός (1/2) • Αν μια συνάρτηση z = f (x,y) έχει συνεχείς παραγώγους fx, fy,

στο σημείο P(x0,y0) του πεδίου ορισμού της, τότε η παράγωγος της f κατά την κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος ισούται με

10

1 2u u u i j

0 00 0 1 0 0 2

( , )( , ) ( , )x y

f x yf x y u f x y u

u

1442 443144444442 44444443

0 0

0 00 0 0 0 1 2

( , )

( , )( , ), ( , ) ,x y

uf x y

f x yf x y f x y u u

u

0 00 0

( , )( , )

f x yf x y

u

u Κλίση της f στο

(x0, y0)

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Υπολογισμός (2/2)

11

Ρ(x0, y0)

y

u

0 0( , )f x y

0 0( , )uD f x y

x

θ

0 00 0 0 0

( , )( , ) ( , ) cos

f x yf x y f x y θ

u

u

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Ιδιότητες (1/3) • Η μέγιστη τιμή της fu(x0,y0) είναι και λαμβάνεται

όταν θ = 0, δηλ. όταν τα διανύσματα και u έχουν την ίδια κατεύθυνση.

• Η ελάχιστη τιμή της fu(x0,y0) είναι και λαμβάνεται όταν θ = π, δηλ. όταν τα διανύσματα και u έχουν αντίθετες κατευθύνσεις.

• Είναι fu(x0,y0) = 0 όταν θ = π/2, δηλ. όταν τα διανύσματα, u είναι κάθετα μεταξύ τους. Άρα σε διευθύνσεις κάθετες στο διάνυσμα κλίσης, η τιμή μιας συνάρτησης δε μεταβάλλεται.

12

0 0( , )f x y

0 0( , )f x y

0 0( , )f x y

0 0( , )f x y

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Ιδιότητες (2/3)

• Σε κάθε σημείο, το διάνυσμα της κλίσης υποδεικνύει την κατεύθυνση του μέγιστου ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης.

13

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Γενίκευση

14

0 0 00 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3

0 0 0

( , , )( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ), ( , , ), ( , , ) ( , , )

( , , )

x y z

x y z

f x y zf x y z u f x y z u f x y z u

u

f x y z f x y z f x y z u u u

f x y z

u

Συναρτήσεις 3 μεταβλητών ( )1 2 3u u u u i j k

Συναρτήσεις n μεταβλητών ( ) 1 2, ,..., nu u uu

1 2

1 2

1 2

1 2

(P)(P) (P) ... (P)

(P), (P),..., (P) ( , ,..., )

(P)

n

n

x x x n

x x x n

ff u f u f u

u

f f f u u u

f

u

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Ιδιότητες (3/3) Αν υπάρχει η παράγωγος κατά την κατεύθυνση του διανύσματος για τις συναρτήσεις f, g, τότε ισχύουν τα ακόλουθα:

Ορίζεται και η παράγωγος 2ης τάξης κατά κατεύθυνση ως

όταν οι εμπλεκόμενες παράγωγοι είναι συνεχείς.

15

2, 0

u u u

u u

u u u

u uu

D f g D f D g

D λf λD f

D fg fD g gD f

gD f fD gfD g

g g

1 2

2 21 2 1 2

...

2

uu x y

xx yy xy

D f f u f uu

u f u f u u f

u

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Παρατηρήσεις

• Αν για μια συνάρτηση z = f (x,y) υπάρχει η παράγωγος κατά

οποιαδήποτε κατεύθυνση, τότε υπάρχουν και οι fx, fy (δεν

ισχύει το αντίστροφο).

• Μια συνάρτηση μπορεί να έχει παράγωγο προς οποιαδήποτε

κατεύθυνση σε ένα σημείο, χωρίς να είναι συνεχής σε αυτό.

• Το διάνυσμα της κλίσης μιας συνάρτησης τέμνει πάντα

κάθετα τις ισοσταθμικές καμπύλες της (δηλ. είναι κάθετο με

τα εφαπτομενικά στις ισοσταθμικές καμπύλες διανύσματα).

16

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Παράγωγος κατά μήκος καμπύλης

• Έστω συνάρτηση f (x,y) και μια καμπύλη C που ανήκει στο

πεδίο ορισμού της f , της μορφής

C: x = x(s), y = y(s)

• Η παράγωγος σε ένα σημείο της καμπύλης ισούται με

την παράγωγο της f κατά την κατεύθυνση του

εφαπτομενικού διανύσματος στο σημείο αυτό.

17

0

ff

s

ε

f

s

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Εφαπτόμενα επίπεδα (1/4)

Έστω η επιφάνεια S που περιγράφεται ως F(x,y,z) = 0

(πεπλεγμένη μορφή). Η παραμετρική καμπύλη

C: x = x(t), y = y(t), z = z(t) θα βρίσκεται πάνω στην S, αν ισχύει

F(x(t),y(t),z(t)) = 0.

Παραγωγίζοντας, έχουμε:

18

1444442 44444314442 4443

0

( , , ) ( ( ), ( ), ( )) 0x y z

F

dF F dx F dy F dz

dt x dt y dt z dt

F F F x t y t z t

Διάνυσμα εφαπτόμενο

στην καμπύλη C

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Εφαπτόμενα επίπεδα (2/4)

Στο σημείο P(x(t0),y(t0),z(t0)) είναι

δηλ. τα δύο διανύσματα είναι κάθετα.

• Το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο P(x0,y0,z0) είναι εκείνο

που διέρχεται από το σημείο P και στο οποίο βρίσκονται όλα

τα εφαπτόμενα διανύσματα της επιφάνειας στο P.

• Το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο P(x0,y0,z0) είναι εκείνο

που διέρχεται από το σημείο P και είναι κάθετο στο διάνυσμα

19

0 0 0 0 0 0( , , ) ( ( ), ( ), ( )) 0F x y z x t y t z t

0 0 0( , , )F x y z

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Εφαπτόμενα επίπεδα (3/4)

20

F

P0(x0,y0,z0)Ρ(x,y,z)

Τα διανύσματα

είναι κάθετα, οπότε:

0 0 00

0 0 0 0P P , )

,

(

,

,

x y zP P PP

x x y y

F F F F

z z

0

0 00

0

0 0 0

P P 0

( ) ( ) ( ) 0

P

x y zP PP

F

F x x F y y F z z

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Εφαπτόμενα επίπεδα (4/4)

Αν η επιφάνεια περιγράφεται ως z = f (x,y), τότε ορίζουμε

οπότε η επιφάνεια περιγράφεται ως

με

και η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου στο σημείο Ρ παίρνει

τη μορφή

21

( , , ) ( , )F x y z f x y z

( , , ) 0F x y z

, , 1x x y y zF f F f F

0 00 0 0( ) ( )x yP P

z z f x x f y y

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Τέλος Ενότητας

22

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Σημείωμα Αναφοράς

• Copyright Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Ζυγκιρίδης Θεόδωρος. «Μαθηματική Ανάλυση ΙΙ». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

https: //eclass.uowm.gr/courses/ICTE260/

23

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Όχι Παράγωγα Έργα Μη Εμπορική Χρήση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

[1] h t t p ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/

Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:

• που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο

• που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο

• που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό

24

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Διατήρηση Σημειωμάτων

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:

– το Σημείωμα Αναφοράς

– το Σημείωμα Αδειοδότησης

– τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων

– το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει)

μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

25