Lycée Chrestien de Troyes cbea MP1819

Matrices symétriques réelles positives

Le lac de Thoune aux reflets symétriques - Huile sur toile - Ferdinand Hodler - 1909

Proposition 1. (Matrices symétriques réelles positives) Soit M ∈ Mn(R) une matrice symétrique. Notons λ1, . . . ,λr ses valeurspropres (que l’on sait être réelles) deux-à-deux distinctes. Alors :(∀X ∈Mn,1(R), tX M X ≥ 0

) ⇐⇒ (λ1 ≥ 0, . . . ,λr ≥ 0) .

Une matrice symétrique réelle vérifiant l’une des deux propriétés de l’équivalence (donc les deux) est appelée matrice symétriqueréelle positive.

Démonstration. =⇒ Supposons que pour tout X ∈Mn,1(R), tX M X ≥ 0.

Soit k ∈ J1,r K. Soit Xk ∈Mn,1(R) un vecteur propre associé à la valeur propre λk (en particulier Xk est non nul). Alors :

0 ≤ tXk M Xk = tXk λk Xk =λktXk Xk =λk ‖Xk‖2 (1)

où la norme ‖·‖ est la norme associée au produit scalaire usuel sur Mn,1(R) défini par :

∀X =

x1...

xn

∈Mn,1(R), ∀Y =

y1...

yn

∈Mn,1(R) ⟨X , Y ⟩ :=n∑

i=1xi yi .

Par séparation, ||Xk || > 0. De (1), on déduit alors λk ≥ 0.

⇐= Supposons λ1 ≥ 0, . . . ,λr ≥ 0.

Appliquons le théorème spectral à la matrice M . Il existe P ∈ On(R) et une matrice diagonale D = Diag(β1, . . . ,βn

) ∈ Mn(R)telles que : Alors :

tP M P = D. (2)

Version du 1er avril 2019 [21h13] 1 David Blottière

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Les matrices M et D étant semblables surR, elles ont le même spectre surR (les valeurs propres sont les racines du polynômecaractéristique et deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique). On en déduit que pour tout i ∈ J1,nK, ilexiste (un unique) k ∈ J1,r K tel que βi =λk . Par conséquent :

∀i ∈ J1,nK, βi ≥ 0. (3)

Soit à présent X ∈Mn,1(R).tX M X = tX P D tP X [cf. (2)]

= t(

tP X)

Diag(β1, . . . ,βn

)tP X

= tY Diag(β1, . . . ,βn

)Y

où Y := tP X . Introduisons les composantes de Y . Soit Y =

y1...

yn

. On calcule :

tX M X = tY Diag(β1, . . . ,βn

)Y =

n∑i=1

βi y2i . (4)

De (3) et (4), on déduit tX M X ≥ 0.Q.E.D.

Proposition 2. (Matrices symétriques réelles définies positives) Soit M ∈ Mn(R) une matrice symétrique. Notons λ1, . . . ,λr sesvaleurs propres (que l’on sait être réelles) deux-à-deux distinctes. Alors :(∀X ∈Mn,1(R) \ {0}, tX M X > 0

) ⇐⇒ (λ1 > 0, . . . ,λr > 0) .

Une matrice symétrique réelle vérifiant l’une des deux propriétés de l’équivalence (donc les deux) est appelée matrice symétriqueréelle définie positive.

Démonstration. Adapter les arguments exposés dans la démonstration de la proposition 1. Q.E.D.

Version du 1er avril 2019 [21h13] 2 David Blottière