Post on 22-Dec-2015
description
130, grupa 2, 140 Završni ispit iz MATEMATIKE 1, 13. veljače 2012.
Ime i prezime: Dio: 1. 2. 3.(zaokružite dio gradiva koji odgovarate)
1. dio 2. dio 3. dio1 2 3 Σ 1 2 3 Σ 1 2 3 Σ
1. dio
1. (6 bodova) Odrediti kompleksne brojeve z za koje vrijedi: |z+zi| = 2√
2, Re(z3) = 4√
3i 3π
2< arg(z) < 2π.
2. (a) (5 bodova) Riješiti sustav
x− y − z = 0
x + y − 3z = 2
2x + 3y − 5z = 7.
(b) (4 boda) Odrediti jednadžbu ravnine koja sadrži pravac x−32
= y+41
= z−2−3
i paralelnaje s pravcem x+5
4= y−2
7= z−1
2.
3. (a) (6 bodova) Kako definiramo skalarni i vektorski produkt dvaju vektora? Napisatidva svojstva skalarnog produkta i dva svojstva vektorskog produkta dvaju vektora.
(b) (4 boda) Koliki je kosinus kuta izmedju vektora −→a = 2−→i −3
−→j +
−→k i
−→b =
−→i +
−→j ?
2. dio
1. (a) (4 boda) Odrediti domenu funkcije
f (x) =
√ln
(x
x + 1
).
(b) (5 bodova) Pokazati da funkcija y = eα·arcsin x zadovoljava jednadžbu(1− x2)y′′ − xy′ − α2y = 0.
2. (6 bodova) Odrediti normalu na krivulju y = x ln x koja je paralelna s pravcem2x− 2y + 3 = 0.
3. (a) (5 bodova) Kada kažemo da je funkcija parna, a kada da je neparna? Provjeritiparnost funkcije f(x) = 2x3+3 sin x−x
x2 .
(b) (5 bodova) Kako definiramo derivaciju funkcije u točki? Primjenom te definicijeodrediti derivaciju funkcije f(x) = cx, ako je c konstanta.
130, grupa 2, 140 Završni ispit iz MATEMATIKE 1, 13. veljače 2012.
3. dio
1. (9 bodova) Odrediti domenu, nultočke, asimptote, lokalne ekstreme, intervale monotonostii zakrivljenosti, te skicirati graf funkcije
f(x) =(x− 1)2
(x + 1)3.
2. (a) (3 boda) Ispitati konvergenciju reda
x− x3
3 · 3!+ · · ·+ (−1)n+1 x2n−1
(2n− 1) · (2n− 1)!+ · · · .
(b) (3 boda) Odrediti
limn→∞
(1− 2 + 3− 4 + · · · − 2n√
n2 + 1
).
3. (a) (5 bodova) Što je gomilište niza i koja je razlika izmedju gomilišta i limesa niza?
(b) (5 bodova) Odrediti gomilišta nizova an = (−1)n·n2n+5
i bn = 1n−(−1)n . Koji je od ta
dva niza konvergentan i zašto?
130, grupa 2, 140 Završni ispit iz MATEMATIKE 1, 13. veljače 2012.
Rješenja:
1. dio
1. z = 2(cos 35π
18+ i sin 35π
18
).
2. (a) (3, 2, 1).
(b) 23x− 16y + 10z − 153 = 0.
2. dio
1. (a) (−∞,−1).
2. x− y − 3e−2 = 0.
3. dio
1. domena: R\{−1}asimptote: x = −1, y = 0.
lokalni ekstremi: Tmax
(5, 2
27
), Tmin (1, 0), xinf = 5± 2
√3.
2. (a) Konvergira za svaki realan broj x.
(b) −1.
130, grupa 1 Završni ispit iz MATEMATIKE 1, 13. veljače 2012.
Ime i prezime: Dio: 1. 2. 3.(zaokružite dio gradiva koji odgovarate)
1. dio 2. dio 3. dio1 2 3 Σ 1 2 3 Σ 1 2 3 Σ
1. dio
1. (6 bodova) Odredite rješenja jednadžbe
z4 + 16√2(cos 5π
12+ i sin 5π
12
) = (−1 + i)7 .
2. (a) (5 bodova) Riješite sustav
x + y + z = 6
3x− 2y − z = 0
5x + 2y − 4z = 6.
(b) (4 boda) Odredite ortogonalnu projekciju N točke M (1, 0, 1) na ravninu
π...3x + 4y + 5z + 2 = 0.
3. (a) (7 bodova) Kako definiramo duljinu vektora? Što je jedinični vektor? Što suprikloni kutevi vektora −→a 6= −→
0 ?
(b) (3 boda) Koliki kut vektor −→a =−→i +
−→k zatvara s koordinatnim osima x i y.
2. dio
1. (a) (4 boda) Odredite domenu funkcije i njene nultočke
f (x) =
√x2 + 5x− 6
x + 6.
(b) (5 bodova) Nađite 1012− tu derivaciju funkcije y = xex u točki x = 0.
2. (6 bodova) Korištenjem geometrijskog ekstrema na krivulji y =√− ln x nađite točku
najbližu točki T (0, 0).
3. (a) (5 bodova)Definirajte limes funkcije. Kako definiramo neprekidnost funkcije unekoj točki, a kako na skupu točaka?
(b) (5 bodova) Koje vrste prekida imamo? Navedite primjere.
130, grupa 1 Završni ispit iz MATEMATIKE 1, 13. veljače 2012.
3. dio
1. (9 bodova) Odredite domenu, nultočke, asimptote, lokalne ekstreme, intervale monotonostii zakrivljenosti, te skicirajte graf funkcije
f(x) =x3 + 2x2 + 7x− 3
2x2.
(Napomena: točku infleksije ne treba provjeravati.)
2. (a) (3 boda) Ispitajte konvergenciju reda (uključujući rubove)
x +x2
20+ · · ·+ xn
n · 10n−1+ · · · .
(b) (3 boda) Odredite
limn→∞
(1
1 · 2+
1
2 · 3+ · · ·+ 1
(n− 1) · n
).
3. (a) (5 bodova) Što je apsolutna konvergencija? Da li apsolutna konvergencija nekogreda povlači i konvergenciju tog reda? Navedite primjer apsolutno konvergentnogreda.
(b) (5 bodova) Opišite konvergenciju reda∑ 1
np
u ovisnosti o parametru p. Ispitajte konvergenciju reda∑
1√n3
.
130, grupa 1 Završni ispit iz MATEMATIKE 1, 13. veljače 2012.
Rješenja:
1. dio
1. z1 = 1 +√
3i, z2 = −√
3 + i, z3 = −1−√
3i, z4 =√
3− i.
2. (a) (2, 2, 2).
(b) N(
25,−4
5, 0
).
2. dio
1. (a) D = (−∞,−6) ∪ [1,∞), N (1, 0).
(b) y(1012) (0) = 1012.
2. x =√
22
, y =√
ln 2.
3. dio:
1. domena: R\{0}asimptote: x = 0, y = 1
2x + 1.
lokalni ekstremi: Tmax
(1, 7
2
), Tmax
(−3,−11
6
), Tmin
(2, 27
8
).
2. (a) Konvergira za x ∈ [−10, 10).
(b) 1.
Popravni ispit iz MATEMATIKE 1, 2013/14.
1. (10 bodova) Skicirajte i odredite u Gaussovoj ravnini sve kompleksne brojeve z za kojevrijedi
|z + 2 + i| ≤ 2
Im z > (Re z)2 − 2 .
2. (14 bodova) Rije²ite matri£nu jednadºbu
XB − A = CB, ako su
A =
1 0 20 −1 03 4 0
, B =
1 2 10 1 22 4 1
, C =
−8 5 31 2 1−3 4 0
.
3. (a) (8 bodova) Zadane su to£ke £etverokutaA(1,−2, 2), B(1, 4, 0), C(−4, 1, 1) iD(−5,−5, 3).
Na�ite koliko iznosi a = (−→AB −
−−→BC) · (
−→AB ×
−−→DC).
(b) (12 bodova)Odredite jednadºbu ravnine koja prolazi presjekom pravaca
p1 . . .x− 1
1=
y − 2
1=
z + 3
2i p2 . . .
x− 2
1=
y + 3
2=
z − 5
1
a okomita je na pravac
p3 . . .x
2=
y + 1
0=
z − 2
1.
4. (8 bodova) Odredite limes niza
an =3n + (−2)n
3n+1 + (−2)n+1+
(n+ 1
n− 1
)n
.
5. (18 bodova) Odredite domenu, nulto£ke, asimptote, lokalne ekstreme i intervale mono-tonosti te skicirajte graf funkcije
f(x) =5− x
9− x2.
6. (a) (10 bodova) De�nirajte linearnu nezavisnost vektora i rang matrice. Kako odre-
�ujemo rang matrice? Odredite rang matrice
[1 −210 α
]u ovisnosti o parametru
α.
(b) (10 bodova) De�nirajte limes, limes s lijeva i zdesna i neprekidnost funkcije realnevarijable.
(c) (10 bodova) De�nirajte Cauchyjev niz. Koja je veza izme�u konvegrencije niza isvojstva da je niz Cauchyjev. Pokaºite da je niz an = 1
nCauchyjev.
Popravni ispit iz MATEMATIKE 1, 2013/14.
Rje²enja:
1. {(x, y) ∈ R2 : (x+ 1)2 + (y + 1)2 ≤ 4, y > x2 − 2}.
2. X =
3 3 −25 1 −12 2 −1
.3. a) a = 0
b) π...2x+ z − 27 = 0
4. L = 13+ e2.
5. Df = R�{−3, 3}, N.T. N(5, 0), vert. asimptote x = −3, x = 3, horiz. asimptota y = 0,lokalni ekstremi: Tmin(1,
12), Tmax(9,
118), f padaju¢a na ⟨−∞,−1⟩∪⟨9,+∞⟩, a rastu¢a na ⟨1, 9⟩.
130, 140 Popravni ispit iz MATEMATIKE 1, 26. kolovoza 2013.
Ime i prezime:
1 2 3 4 5 6 7 Σ
1. (8 bodova) Odredite sve z ∈ C koji zadovoljavaju jednadºbu
z3 =(1−
√3i)5 (√
3 + i)13
.
2. (8 bodova) Odredite domenu funkcije
f(x) =ln x+4
x2−9√−x2 + 5x− 4
.
3. (12 bodova) Odredite domenu, nulto£ke, asimptote, lokalne ekstreme, intervale monotonosti,to£ke in�eksije, intervale zakrivljenosti, te skicirajte graf funkcije
f(x) =x
x2 − 1.
4. (8 bodova) Rije²ite matri£nu jednadºbu
(A−1X)−1 = X−1B + A
ako su A =
[2 −20 1
]i B =
[0 1−1 1
].
5. (7 bodova) Ispitajte konvergenciju reda
∞∑n=1
4nn!
nn.
6. (7 bodova) Odredite jednadºbu ravnine koja prolazi pravcem
p1 . . .x− 1
2=
y − 2
3=
z − 3
4
a paralelna je s pravcem
p2 . . .x
3=
y − 1
1=
z
0.
7. (a) (10 bodova) Kako de�niramo linearnu zavisnost odnosno nezavisnost vektora?Napi²ite primjer tri linearno zavisna vektora u R3, te jedan od njih prikaºite kaolinearnu kombinaciju preostala dva.
130, 140 Popravni ispit iz MATEMATIKE 1, 26. kolovoza 2013.
(b) (10 bodova) Kako de�niramo konveksnost i konkavnost? Koja su svojstva grafakonveksne i konkavne funkcije? Odredite intervale zakrivljenosti funkcije f (x) = x3.
(c) (10 bodova) De�nirajte red brojeva i sumu reda. Kako glasi nuºan uvjet konver-gencije reda brojeva? Dajte (i objasnite) primjer iz kojeg se vidi da to nije i dovoljanuvjet.
Rje²enja:
1. z = 26(cosπ2+2kπ
3+ i sin
π2+2kπ
3), k = 0, 1, 2.
2. Df = ⟨3, 4⟩.3. Df = R�{−1, 1}, N.T. N(0, 0), vert. asimptote x = −1, x = 1, horiz. asimptota y = 0,nema lokalnih ekstrema, f pada na cijeloj Df , Tinf .(0, 0),konkavna je na ⟨−∞,−1⟩ ∪ ⟨0, 1⟩, akonveksna na ⟨−1, 0⟩ ∪ ⟨1,+∞⟩.
4. X =
[1 −112
1
].
5. Red divergira.
6. π...− 4x+ 12y − 7z + 1 = 0.
130,140 Popravni ispit iz Matematike 1, 27. veljače 2012.
Ime i prezime
1. 2. 3. 4. 5. 6.∑
1. (8 bodova) Vektori ~a = (2, 3, 1), ~b = (5, 6, 4), ~c = (−1, 5, 3) razapinju par-alelopiped. Odrediti duljinu one visine paralelopipeda koja je okomita na bazuodredjenu vektorima ~a i ~b.
2. (7 bodova) Izračunati limx→0
(1 + tg2
√x) 1
2x .
3. (10 bodova) Zadana je funkcija f(x) =√
1− log2(x− 1). Odrediti njenudomenu i derivaciju.
4. (10 bodova) Odrediti domenu, nultočke, asimptote, intervale monotonosti i
zakrivljenosti, te skicirati graf funkcije f(x) =x4
x3 − 1.
5. (10 bodova) Funkciju f(x) = ln√
x− 1 razviti u Taylorov red oko točkex0 = 2, te odrediti područje konvergencije dobivenog reda.
6. (a) (10 bodova) Što je inverzna matrica? Dokažite da vrijedi(AB)−1 = B−1 · A−1. Odredite X ako vrijedi (AX−1)
−1= B.
(b) (10 bodova) Opišite načine zadavanja funkcija i navedite primjere. Dokažiteda kružnica x2 + 2x + y2 − 3 = 0 ima parametarsku jednadžbux = −1 + 2 sin t, y = 2 cos t, t ∈ [−π, π].
(c) (10 bodova) Kako definiramo konveksnost i konkavnost? Koja su svo-jstva grafa konveksne i konkavne funkcije? Što je točka infleksije i kadapostoji? Navedite primjer funkcije konveksne na cijelom području defini-cije.
130,140 Popravni ispit iz Matematike 1, 27. veljače 2012.
Rješenja:
1. v = 5√
63
.
2.√
e.
3. D{ = 〈1, 3].
4. Asimptote: x = 1, y = x. Tmin
(3√
4, 43
3√
4), Tmaks (0, 0), Tinf
(− 3√
2,−23
3√
2).
5. f(x) = 12
∞∑n=1
(−1)n−1 (x−2)n
n, x ∈< 1, 3].
130 - grupa 2, 140 1. kolokvij iz Matematike 1, 2012/13
Ime i prezime
1. 2.(a) 2.(b) 3.(a) 3.(b) 4.(a) 4.(b) 5.∑
1. (5 bodova) Izra£unajte sve z ∈ C za koje je z3 + 1 = i5.
2. (a) (5 bodova) Cramerovim pravilom rije²ite sustav
x− y − z = 0
x+ y − 3z = 2
2x+ 3y − 5z = 7.
(b)
3. (a) (5 bodova) Odredite jednadºbu ravnine Π koja sadrºi pravac
p...x−32
= y+41
= z−2−3
i paralelna je s pravcem p...x+54
= y−27
= z−12.
(b)
4. (a) (5 bodova) Odredite domenu funkcije
f (x) =√x2 − 5x+ 6 + log2 (x− 4) .
(b)
5. (5 bodova) Izra£unajte
limx→2
x2 + x− 6
2− 3x+ x2.
Rje²enja:
1. z0 =6√2(cos 3π
12+ i sin 3π
12
),
z1 =6√2(cos 11π
12+ i sin 11π
12
),
z2 =6√2(cos 19π
12+ i sin 19π
12
).
2. (a) (3, 2, 1) .
3. (a) Π . . . 23x− 16y + 10z − 153 = 0.
4. (a) Df = ⟨4,+∞⟩.
5. limx→2x2+x−62−3x+x2 = 5.
130 - grupa 1 1. kolokvij iz Matematike 1, 2012/13
Ime i prezime
1. 2.(a) 2.(b) 3.(a) 3.(b) 4.(a) 4.(b) 5.∑
1. (5 bodova) Izra£unajte sve z ∈ C za koje je 4z3 =(√
3− i)5.
2. (a) (5 bodova) Za koji realni parmetar a ∈ R sustav
x+ y − z = 3
ax− 2y + 3z = 7
3x+ 4y − z = 0
nema rje²enje.
(b)
3. (a) (5 bodova) Odredite jednadºbu ravnineΠ koja prolazi to£kamaA(1, 2, 0)i B (−1, 0, 1), a paralelna je pravcu p...x−1
3= y
−1= z+1
2.
(b)
4. (a) (5 bodova) Odredite domenu funkcije
f (x) =
√log2
x− 1
x+ 2.
(b)
5. (5 bodova) Izra£unajte
limx→1
x2 − 2x+ 1
4x− x2 − 3.
Rje²enja:
1. z0 = 2(cos 7π
18+ i sin 7π
18
),
z1 = 2(cos 19π
18+ i sin 19π
18
),
z2 = 2(cos 31π
18+ i sin 31π
18
).
2. (a) a = −73.
3. (a) Π . . .− 3x+ 7y + 8z − 11 = 0.
4. (a) Df = ⟨−∞,−2⟩.
5. limx→1x2−2x+14x−x2−3
= 0.
130-Grupa 2, 140 1. kolokvij iz Matematike 1, 2011/12.
Ime i prezime
1. 2. 3. 4. 5.∑
1. (6 bodova) U skupu kompleksnih brojeva odrediti ona rješenja jednadžbe
z6 =(2 + 2
√3i
)3
za koja je Im(z) > 0.
2. (4 boda) Gaussovom metodom eliminacije riješiti sustav linearnih jednadžbi
2x1 − 3x2 + x3 + 1 = 0
x1 + x2 + x3 = 6
3x1 + x2 − 2x3 = −1.
3. (5 bodova) Zadani su vektori: −→a =−→i − −→
j −−→k ,
−→b = 3
−→i + 2
−→j −
−→k i
−→c = 4−→i + 3
−→j − 5
−→k . Odrediti vektor −→v koji je okomit na vektore −→a i
−→b i
za kojeg vrijedi −→v · −→c = 38.
4. (5 bodova)
a) Zapisati nazive skupova brojeva N, Z, Q, R te objasniti što su elementisvakog od tih skupova. Objasniti pojmove diskretnog i gustog skupa, teza gore navedene skupove brojeva napisati koji su diskretni, a koji gusti.
b) Dokazati da za kompleksan broj z vrijedi z · z = z · z = |z|2.
5. (5 bodova)
a) Dokazati da je inverzna matrica matrice A ∈Mn, ukoliko postoji, jedin-stvena.
b) Definirati skalarni produkt vektora −→a i−→b te nabrojati barem četiri svo-
jstva tog produkta. Za proizvoljna dva vektora zadana u bazi {−→i ,−→j ,−→k },
izvesti formulu za skalarni produkt tih dvaju vektora.
Rješenja:
1. z1 =√
3 + i, z2 = 2i, z3 = −√
3 + i.
2. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.
3. −→v = −6−→i + 4
−→j − 10
−→k .
1
130 - grupa 1 1. kolokvij iz Matematike 1, 2011/12
Ime i prezime
1. 2.(a) 2.(b) 3.(a) 3.(b)∑
1. (6 bodova) U kompleksnoj ravnini skicirajte skup to£aka z ∈ C koje zado-voljavaju uvjete
Im(z2 + 1
)≥ 2 (Im z)2 ,
|z + i| < 3.
2. (a) (4 boda) Rije²ite sustav Cramerovim pravilom
2x− 3y + z + 1 = 0
x+ y + z = 6
3x+ y − 2z = −1.
(b) (5 bodova) Zadane su to£keA(4, 3,−2), B(6, 6, 4) i C(10, 5,−5). Pokaºiteda vektori
−→AB i
−→AC mogu biti dva brida kocke. Odredite vektor
−−→AD tako
da−−→AD bude brid te kocke.
3. (a) (7 bodova) �to je inverzna matrica? Dokaºite da su slijede¢e tvrdnjeekvivalentne: detA = 0 i A je regularna matrica.
(b) (3 boda) Za koji x ∈ R je matrica A =
[2− x 13 + x 0
]regularna?
Rje²enja:
1. {y ≥ 0 ∩ x ≥ y ∩ x2 + (y + 1)2 < 9} ∪ {y < 0 ∩ x ≤ y ∩ x2 + (y + 1)2 < 9}.
(a)
xyz
=
123
.(b)
∣∣∣−→AB∣∣∣ =∣∣∣−→AC∣∣∣ = 7,
−→AB ·
−→AC = 0;
−−→AD1 = −3
−→i + 6
−→j − 2
−→k ,
−−→AD2 =
3−→i − 6
−→j + 2
−→k .
130, grupa 1 1. kolokvij iz MATEMATIKE 1, 2013/14.
Ime i prezime:
1 2 3 4 5 Σ
1. (6 bodova) Rije²ite jednadºbu u skupu kompleksnih brojeva
z4 +
(1 + i
1− i
)43
= −(cos π + i sin π).
2. (6 bodova) Odredite matricu X koja je rje²enje matri£ne jednadºbe
X−1B = C−1 −X−1AC−1, pri £emu je
A =
[1 20 1
], B =
[2 13 0
]i C =
[0 21 4
], te odredite X−1.
3. (5 bodova) Na�ite jednadºbu pravca koji prolazi to£kom T (1, 1,−3), a okomit je naravninu odre�enu pravcima
p1 . . .x− 2
−1=
y − 1
2=
z − 2
0i
p2 . . .x− 5
2=
y − 2
3=
z − 3
1.
4. a) (4 boda) Odredite domenu funkcije
f (x) =
√ln
(x− 3
x2 − 4
).
b) (4 boda) Izra£unajte (bez kori²tenja L'Hospitalovog pravila)
limx→4
3−√5 + x
1−√5− x
.
5. a) (5 bodova) De�nirajte linearnu nezavisnost vektora i rang matrice. Kako odre�ujemo
rang matrice? Odredite rang matrice[−1 23 α
]u ovisnosti o parametru α.
b) (5 bodova) �to je jedini£ni vektor vektora −→a = −→0 ? �to su prikloni kutevi vektora
−→a = −→0 ? Koliki kut vektor −→a =
−→i +
−→k zatvara s koordinatnim osima x i y.
c) (5 bodova) Kako de�niramo slijede¢e vrste funkcija: ome�ena, strogo rastu¢a, pa-daju¢a, periodi£ka? Navedite po jedan primjer za svaku od tih vrsta funkcija.
130, grupa 1 1. kolokvij iz MATEMATIKE 1, 2013/14.
Rje²enja:
1. z = 8√2(cos
π4+2kπ
4+ i sin
π4+2kπ
4), k = 0, 1, 2, 3
2. X =
[2 100 7
], X−1 =
[12
−57
0 17
]3. p . . . x−1
2= y−1
1= z+3
−7
4. a) Df =⟨−2, 1−
√5
2
]∪[1+
√5
2, 2⟩
b) -13
130, grupa 2, 140 1. kolokvij iz MATEMATIKE 1, 2013/14.
Ime i prezime:
1 2 3 4 5 Σ
1. (6 bodova) Skicirajte u kompleksnoj ravnini sve z ∈ C za koje je
|z − (1− i)| ≥ 1, Re(z · z)− 2Re z ≤ 8 i Im < 0.
2. (6 bodova) Odredite λ ∈ R tako da sustav
x1 + 3x3 = −3
2x1 + λx2 + x3 = −2x1 + 2x2 − λx3 = 1
ima jednoparametarsko rje²enje, te odredite to rje²enje.
3. (5 bodova) Na�ite jednadºbu pravca koji prolazi to£kom T koja je sjeci²te pravca
p1 . . .x− 1
2=
y − 2
−4=
z + 3
5
i ravnineπ . . . x+ y + 4z − 9 = 0,
a okomit je na ravninu π.
4. a) (4 boda) Odredite domenu funkcije
f (x) =√x2 + x− 12 + log
(x− 1
x+ 3
).
b) (4 boda) Izra£unajte (bez kori²tenja L'Hospitalovog pravila)
limx→3
√x2 − 2x+ 6−
√x2 + 2x− 6
x2 − 4x+ 3.
5. a) (5 bodova) Kako mnoºimo matrice? Koja su svojstva mnoºenja matrica? IzraziteX iz jednadºbe A+BX = C −X ako su A,B i C poznate matrice.
b) (5 bodova) De�nirajte skalarni i vektorski produkt. Navedite po jednu primjenu (iprimjer za tu primjenu) svakog od tih produkata.
c) (5 bodova) Kako de�niramo kompoziciju funkcija? Da li je kompozicija funkcijaasocijativna? Zadane su funkcije
f (x) = 3x2, g (x) = x− 10 i h (x) = cos x.
Na�ite h ◦ (g ◦ f) .
130, grupa 2, 140 1. kolokvij iz MATEMATIKE 1, 2013/14.
Rje²enja:
1. {(x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + (y + 1)2 ≥ 1, (x− 1)2 + y2 ≤ 9 i y < 0}
2. λ = 2,
x1
x2
x3
=
−3− 3λ4 + 5λ
λ
, λ ∈ R
3. p . . . x−31
= y+21
= z−24
4. a) Df = [−4,−3⟩ ∪ ⟨1, 3]b) -1
3
130,140 1. Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1, 1.DIO, 2013./2014.
1. (6 bodova) Skicirajte u Gaussovoj ravnini sve kompleksne brojeve z za koje vrijedi
Im(z2 + 1) ≥ 2Re z,
|z + 1| < 3.
2. (7 bodova) U ovisnosti o parametru λ ∈ R rije²ite sustav jednadºbi
3x + 2y + 3z = 12
2x + y + 2z = 5λx + 2y + z = 4
.
3. (6 bodova) Na�ite jednadºbu ravnine koja prolazi kroz to£ke A(1, 0, 4) i B(−2, 1, 5), aparalelna je s pravcem koji prolazi kroz to£ke P (1,−2, 1) i Q(2, 1, 3).
4. (a) (3 boda) Odredite podru£je de�nicije funkcije
f(x) =arcsin (x− 3)√x2 + 2x− 15
.
(b) (3 boda) Izra£unajte
limx→∞
[x2 + 3x
x+√x2 + 1
sin
(1
x
)].
5. (a) (5 bodova) De�nirajte rang matrice. Kakva je veza rje²ivog sustava Ax = b sa nnepoznanica i ranga matrice A? Kada kaºemo da je sustav Ax = b homogen i kada¢e on imati netrivijalno rje²enje?
(b) (5 bodova) Izvedite vektorsku jednadºbu pravca p zadanog u prostoru pomo¢udviju razlicitih tocaka T1 i T2, pa je zatim raspi²ite u parametarskom i kanonskomobliku u koordinatnom sustavu (O, i, j,k). Kako glase jednadºbe koordinatnih osi uparametarskom obliku?
(c) (5 bodova) Kako de�niramo limes funkcije f : D → K u to£ki x = a, a kakoneprekidnost funkcije f u to£ki x = a? Skicirajte funkciju f (x) = sgn(x), pa za njuprokomentirajte limes i neprekidnost u tocki x = 0.
130,140 1. Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1, 1.DIO, 2013./2014.
Rje²enja:
1. {(x, y) ∈ R2 : (x+ 1)2 + y2 < 9 ∩ ((x ≥ 0 ∩ y ≥ 1) ∪ (x ≤ 0 ∩ y ≤ 1))} .
2. λ = 1 sustav nema rje²enja, λ = 1
xyz
=
121−λ
92λ−141−λ
.
3. π...x− 7y + 10z − 41 = 0.
4. a) Df = ⟨3, 4] ; b) 12.
130-Grupa 2, 140 1. kolokvij iz Matematike 1, 2010/11.
Ime i prezime
1.a) 1.b) 2.a) 2.b) 3.∑
1. a) (5 bodova) Neka je zadan kompleksni broj z1 = cos 5π3
+ i sin 5π3
. Uskupu kompleksnih brojeva riješiti jednadžbu(
−1
2+ i
√3
2
)z2 = −i
∣∣z31
∣∣ .b) (4 boda) Skicirati u kompleksnoj ravnini sve z ∈ C za koje je
|z − (1− i)| ≤ 1, Im z < Re z2 i Re z > 0.
2. a) (5 bodova) Odrediti prirodno područje definicije funkcije
f(x) =√
4− 3x− x3 +
√log
x− 4
x + 2.
b) (4 boda) Odrediti derivaciju funkcije
f(x) =ln(tg2
√x)
x.
3. (7 bodova)
a) Napisati definiciju funkcije i bijekcije funkcije.
b) U zasebnim koordinatnim sustavima skicirati grafove funkcija f(x) = ex,g(x) = tg x i h(x) = 1
xte za svaku od njih odrediti domenu, parnost/neparnost,
limx→−∞
, limx→+∞
i asimptote.
Rješenja:
1. a) (z)0 = cos 5π12
+ i sin 5π12
i (z)1 = cos 17π12
+ i sin 17π12
.
b) {(x, y) ∈ R2 : (x, y) 6= (0,−1) i (x− 1)2 + (y + 1)2 ≤ 1}.
2. a) 〈−∞,−2〉.
b) f ′ (x) = −2 ln(tg√
x)x2 + 2
x√
x sin 2√
x.
1
130, grupa 1 1. kolokvij iz Matematike 1, 2010/11
Ime i prezime
1. 2. 3.∑
1. a) (5 bodova) Rijesite jednadzbu u skupu kompleksnih brojeva i rjesenjaprikazite u algebarskom obliku
(z − 1)2 =
√5
|2− i|(cosπ
2+ i sin
π
2).
b) (4 boda) Skicirajte u kompleksnoj ravnini sve z ∈ C koji udovoljavajuuvjetima |z − 3| ≥ 1 i |z − 1| ≤ |z| .
2. a) (5 bodova) Odredite prirodno podrucje definicije funkcije
f(x) =ln x
ln x− 1+ ln
2x− 1
x + 2.
b) (4 boda) Odredite derivaciju funkcije
f(x) = x arcsin(ln√
x).
3. a) (4 boda) Definirajte neprekidnost funkcije u tocki i neprekidnost funkcijena skupu.
b) (3 boda) Ispitajte neprekidnost funkcije
f(x) =
−1, x < 00, x = 01, x > 0
u tocki x0 = 0.
Rjesenja
1. a) z1 = 1 +
√2
2+ i
√2
2, z2 = 1−
√2
2− i
√2
2
b) Uvjetima udovoljavaju svi kompleksni brojevi za x ≥ 12
izvan kruznice(x− 3)2 + y2 = 1
2. a) Df =⟨
12,∞⟩ \ {e}
b) f ′(x) = arcsin(ln√
x) + 1
2√
1−ln2√x
130, 140 Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1, 07. velja£e 2011.
Ime i prezime: Dio: 1. 2. 3.(zaokruºite dio gradiva koji odgovarate)
1. dio 2. dio 3. dio1 2 3 Σ 1 2 3 Σ 1 2 3 Σ
1. dio
1. (7 bodova) Skicirajte u kompleksnoj ravnini sve kompleksne brojeve za koje vrijedi|z| ≤ Im z + 1.
2. (a) (6 bodova) Derivirajte implicitno zadanu funkciju
xy = yx.
(b) (5 bodova) Odredite domenu funkcije
f(x) =
√log2
x+ 3
2x− 4+ 1.
3. (7 bodova)
(a) Kako de�niramo kompoziciju funkcija? Da li je kompozicija funkcija asocijativna?
(b) Zadane su funkcije
f (x) = x2, g (x) = 3x+ 1 i h (x) = sinx.
Na�ite h ◦ (g ◦ f) i (h ◦ g) ◦ f .
Rje²enja:
1. Rje²enje su sve to£ke iznad parabole y = x2−12
2. (a) y′ =ln y− y
x
lnx−xy
(b) Df = ⟨2,∞⟩
2. dio
1. (10 bodova) Odredite domenu, nulto£ke, asimptote, lokalne ekstreme, intervale rasta ipada, te skicirajte graf funkcije zadane sa
f(x) =x2 − x+ 1
x2 + x+ 1.
1
130, 140 Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1, 07. velja£e 2011.
2. (a) (5 bodova) Izra£unajte
limx→1
ln tg πx4
ctg πx2
.
(b) (3 bodova) Ispitajte konvergenciju reda
∞∑n=1
(−1)nn
6n− 5.
3. (7 bodova)
(a) �to je kriti£na, a ²to stacionarna to£ka?
(b) Odredite kriti£ne i stacionarne to£ke funkcije f : R → R zadane izrazom
f (x) = 3√(1− x2).
Rje²enja:
1. domena: R, nulto£ke: nema ih
asimptote: nema vertikalne asimptote
y = 1 je obostrana horizontalna asimptota
lokalni ekstremi: x = −1 je lokalni maksimum, x = 1 je lokalni minimum
intervali monotonosti: f je padaju¢a na⟨−√2, 0
⟩∪⟨0,√2⟩, f je rastu¢a na
⟨−∞,−
√2⟩∪⟨√
2,+∞⟩
2. (a) L = −1
(b) red divergira
3. dio
1. (8 bodova) Gaussovom metodom eliminacije rije²ite sustav
x+ 2y − 4z = 1
2x+ y − 5z = −1
x− y − z = −2
x+ y = 3
2. (a) (5 bodova) Odredite povr²inu trokuta odre�enog to£kama A(1, 0, 1), B(2, 5, 2) iC(2, 2, 1) i duljinu visine va spu²tene iz vrha A.
(b) (5 bodova) Odredite jednadºbu ravnine π koja sadrºi to£ke A(1, 0, 1) i B(2, 5, 2) iparalelna je s pravcem p...x
2= y
3= z−1
1.
3. (7 bodova)
2
130, 140 Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1, 07. velja£e 2011.
(a) �to je inverzna matrica? Ako postoji, da li je inverzna matrica jedinstvena?
(b) Odredite X, ako vrijedi AX = B, A =
[2 13 0
], B =
[−1 14 2
].
Rje²enja:
1.xyz
=121
2. (a) P =√142, va =
√75
(b) π...− 2x− y + 7z − 5 = 0.
3
130,140 Popravni ispit iz MATEMATIKE 1, 21. veljače 2011.
Ime i prezime:
1.a) 1.b) 2. 3.a) 3.b) 4. 5.a) 5.b)∑
1. a) (10 bodova) Riješiti jednadžbu
(1 + i√
3)3(1− i
√3
3
)4 =9
4
(z3 + i23 ·
√3)
.
b) (10 bodova) Naći jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) = ln1− x
x + 5u točki
infleksije te funkcije.
2. (15 bodova) Odrediti područje definicije, nul-točke, asimptote, ekstreme, te skicirati
graf funkcije f(x) = x− 2− 6
x− 1.
3. a) (7 bodova) Odrediti limx→+∞
[x
(√x2 + 1− x
)].
b) (8 bodova) Ispitati konvergenciju reda 1 +1
(1!)2+
22
(2!)2+
32
(3!)2+ · · ·.
4. (10 bodova) Napisati jednadžbu ravnine koja prolazi pravcem p1...x− 3
−2=
y + 1
1=
z
2i
paralelna je s pravcem p2...x + 1
1=
y − 2
3=
z − 1
2.
5. a) (7 bodova) U zasebnim koordinatnim sustavima skicirati grafove sljedećih realnihfunkcija: x3,
√x, ln x i tg x, te za svaku funkciju, ispod njenog grafa, komentirati
sljedeće: domena, nultočke, parnost/neparnost, periodičnost, intervali monotonostii intervali konveksnosti odnosno konkavnosti.
b) (8 bodova) Objasniti što je determinanta, za kakve matrice se definira, te na prim-jeru proizvoljne determinante reda 3 × 3, s elementima (aij), raspisati Laplaceovrazvoj po drugom retku. Kako glasi Cramerovo pravilo i gdje se primjenjuje?
1
130,140 Popravni ispit iz MATEMATIKE 1, 21. veljače 2011.
Rješenja:
1. a) z1 = 1, z2 = −12
+ i√
32
, z3 = −12− i
√3
2.
b) y = −23(x + 2).
2. Df = R\ {1} . Nultočke: (−1, 0), (4, 0).
Pravac x = 1 je obostrana vertikalna asimptota, a y = x−2 je obostrana kosa asimptota.
Ekstremi ne postoje.
3. a) 12.
b) Red konvergira.
4. 4x− 6y + 7z − 18 = 0.
2
130, grupa 1 Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1- 1.dio, 11. velja£e 2013.
Ime i prezime:
1 2 3 4 5 Σ
1. dio
1. (6 bodova) Odredite z ∈ C za koje vrijedi
z3 − 3
2= Im
(3− i
2 + i
)−
√3
2i.
2. (6 bodova) Odredite X iz jednadºbe AX = B + C ako je
A =
[1 20 3
], B =
[0 12 1
]i C =
[1 20 2
].
3. (6 bodova) Odredite udaljenost pravaca
p1 . . .x− 1
2=
y
1=
z + 1
3
i
p2 . . .x
2=
y − 1
1=
z − 1
3.
4. (7 bodova) Za funkciju
f (x) =x2 − 1
ln x+ 1
odredite domenu i asimptote.
5. (15 bodova)
(a) Kako de�niramo linearnu zavisnost odnosno nezavisnost vektora? Navedite primjertri linearno nezavisna vektora u R3.
(b) Kako de�niramo limes funkcije f u to£ki x0? Kada kaºemo da je funkcija neprekidnau to£ki x0. Ispitajte da li je funkcija
f (x) =
2x, x < 00, x = 0
−32x, x > 0
neprekidna u to£ki x0 = 0?
130, grupa 1 Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1- 1.dio, 11. velja£e 2013.
Rje²enja:
1. z = 1(cos5π3+2kπ
3+ i sin
5π3+2kπ
3), k = 0, 1, 2.
2. X =
[−1
31
23
1
].
3. d =√
5914.
4. Df =⟨0, 1
e
⟩∪⟨1e,+∞
⟩,vert. asimp. x = 1
e.
130, grupa 2, 140 Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1- 1.dio, 11. velja£e 2013.
Ime i prezime:
1 2 3 4 5 Σ
1. dio
1. (7 bodova) Odredite sve z ∈ C koji zadovoljavaju jednadºbu√2(cos
π
4+ i sin
π
4
)z3 + (−1− i)7 = 0.
2. (6 bodova) Rije²ite sustav jednadºbi
−2x1 + x2 + 3x4 = −5
3x1 + 2x3 − 2x4 = 13x1 + 2x3 + 2x4 = −1x1 + x2 + 2x3 + x4 = −4
3. (6 bodova) Na�ite jednadºbu ravnine koja sadrºi pravac
p1 . . .x− 1
2=
y − 2
1=
z + 3
3
i okomita je na ravninuπ . . . 2x− 4y + z = 0.
4. (6 bodova) Odredite domenu funkcije
f (x) =ln (x− 2)√x2 − 3x
+ x.
5. (15 bodova)
(a) Napi²ite dva razli£ita oblika za jednadºbu pravca u prostoru R3, te objasnite zna£enjeoznaka koje upotrijebite u tim jednadºbama.
(b) Kako de�niramo limes funkcije? Kako de�niramo neprekidnost? Opi²ite vrsteprekida.
Rje²enja:
1. z = 2(cos3π2+2kπ
3+ i sin
3π2+2kπ
3), k = 0, 1, 2.
2.
x1
x2
x3
x4
=
112
−32
0
t +
0−7
2
0−1
2
.
3. π...− 13x− 4y + 10z + 51 = 0.
4. Df = ⟨3,+∞⟩.