Post on 08-Jan-2020
MATEMATICKA FIZIKA II, 30.09.2009.
1. Odrediti svojstvene vrednosti i normirane svojstvene vektore za sledece operatore:
a) Lz = −ı ∂∂φ
; b) L2z = − ∂2
∂φ2 ; c) A = −ı ∂∂φ
+a sin φ; φ je azimutalni ugao. Da li su navedeni operatori autoadjungovani?20b.
2. a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu K8.b) Indukcijom sa podgrupe H = 1,−1, ı,−ı naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe K8. . . . . . . . . . 20b.
3. Reprezentacija grupe D4 je definisana sa D(C4)(~ex, ~ey, ~ez) = (~ey,−~ex,−~ez) i D(U)(~ex, ~ey, ~ez) = (−~ey,−~ex,−~ez). Nacisimetrijski adaptirani bazis za ovu reprezentaciju. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b.
4. Pokazati da je grupa transformacija definisanih sa: T (x) = ax+bcx+d
, ad − bc 6= 0 homomorfna sa grupom linearnihtransformacija ravni: x′ = ax + by, y′ = cx + dy; ad − bc 6= 0 Odrediti jezgro ovog homomorfizma. Odrediti njihovuLie-jevu algebru. Razmotriti realan i kompleksan slucaj (a, b, c, d ∈ IR; a, b, c, d ∈ C/ ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b.
MATEMATICKA FIZIKA II, 14.09.2009.
1. Pokazati da Fourier-Plancherel-ov operator, u prostoru L2(IR) defnisan na sledeci nacin: Ff(t) = 1√2π
∫
IRe−ıtsf(s)ds,
komutira sa Hamiltonijanom linearnog harmonijskog oscilatora. (HLHOf(t) = −f ′′(t) + t2f(t).) . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
2. Pokazati izomorfizam grupe (u odnosu na kompoziciju funkcija) generisane funkcijama g(x) = 1−x i f(x) = 1/x i S3.Zatim pokazati da je dejstvom permutacije σ ∈ S4 na elemente a, b, c, d u izrazu x = a−c
b−c: a−d
b−d, zadan homomorfizam
grupe S4 na S3. Sta je jezgro ovog homomorfizma? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20b. (25b.)
3. a) Indukcijom sa ciklicne podgrupe odrediti neekvivalentne ireducibilne reprezentacije (IRe) grupe D3.b) Zatim odrediti IRe grupe D3h = C2 ⊗ D3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
4. U prostoru L2(IR4) dejstvo Poincare-ove grupe (P4 )je definisano tzv. ”pasivnom reprezentacijom” na sledeci nacin:D(g)f(x) = f(g−1(x)), g ∈ P4, x ∈ IR4. Odrediti operatore iz L2(IR4) koji reprezentuju generatore grupe P4 20b. (25b.)
MATEMATICKA FIZIKA II, 26.06.2009.
1. Operator A : C[0, 1] → [0, 1] je definisan formulom: (A(x))(t) = x(0) + tx(1). Ispitati osobine operatora A i odreditimu spektar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20b. (25b.)
2. Grupa G je zadana preko dva generatora a i b i generatorskih relacija ab = b−1a; ba = a−1b. Odrediti klase konjugacije,invarijantne podgrupe i faktor grupe za grupu G. Hint: najpre odrediti red elemenata a i b . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
3. Naci Clebsch-Gordan-ove koeficijente za sve kombinacije ireducibilnih reprezentacija grupe S3. . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
4. Naci koreni sistem algebre so(1, 3, IR). Nacrtati tezinski dijagram njene ireducibilne reprezentacije sa nomenklaturom[0, 2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
MATEMATICKA FIZIKA II, 08.04.2009.
1. Pokazati da je Fourier-ov transform step funkcije (u(t) = 0, t ≤ 0; 1, t > 0) U(ω) = πδ(ω) + 1ıω
. Hint: izraziti stepfunkciju preko antisimetricne funkcije sgn(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
2. Paulijeve matrice σk, definisane su na sledeci nacin: σ1 =
(0 11 0
)
, σ2 =
(0 −ıı 0
)
, σ3 =
(1 00 −1
)
, σkσl =
δklI + ı∑3
d=1 εklmσm. Pokazati da je skup svih mogucih proizvoda generisanih sa ıσ1 i ıσ2 grupa. Odrediti red grupe,klase konjugacije, invarijantne podrupe i faktor grupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
3. Odrediti simetrijski adaptirani bazis za regularnu reprezentaciju grupe D3. Regularna reprezentacija grupe G reda nje matricna reprezentacija DR(G) u prostoru C/ n, definisana sa DR
ij(gk) = δ(gig−1j , gk) = δ(g−1
i gkgj , e). . . . . . . 20b. (25b.)
4. Pokazati da je vektorski prostor IR3 sa standardno definisanim vektorskim proizvodom (IR3,×), izomorfan algebriso(3, IR). Eksplicitno odrediti bar jedan izomorfizam V : IR3 → so(3, IR) ( za proizvoljno x ∈ IR3 odrediti a ∈ so(3, IR),tako da vazi: V (x) = a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
MATEMATICKA FIZIKA II, 16.02.2009.
1. Polazeci od generatrise e2st−s2
=∑∞
n=0 Hn(t) sn
n! , odrediti 〈m | x | n〉 =∫ ∞−∞ xe−x2
Hn(x)Hm(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
2. Paulijeve matrice σk, definisane su na sledeci nacin: σ1 =
(0 11 0
)
, σ2 =
(0 −ıı 0
)
, σ3 =
(1 00 −1
)
, σkσl =
δklI + ı∑3
d=1 εklmσm. Pokazati da je skup svih mogucih proizvoda generisanih sa σ1 i σ2 grupa. Odrediti red grupe,klase konjugacije, invarijantne podrupe i faktor grupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25b.
3. Odrediti simetrijski adaptirani bazis za potprostor koji odgovara dvodimenzionalnoj IR-i grupe C4v. Regularnareprezentacija grupe G reda n je matricna reprezentacija DR(G) u prostoru C/ n, definisana sa DR
ij(gk) = δ(gig−1j , gk) =
δ(g−1i gkgj , e). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
4. Pokazati da je matricu rotacije za ugao Ω oko orta n, moguce napisati na sledeci nacin: R(n, Ω) = exp(−ıΩn ·T), pricemu je T = (T1, T2, T3), a [Tk]lm = −ıεklm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
MATEMATICKA FIZIKA II, 03.07.2008.
1. Ako je raspodela g(x, n) definisana na sledeci nacin (kao n-ta iteracija funkcije f(x)): g(x, 1) ≡ f(x) = ||x| − 1|,g(x, n) = f(f(...f
︸ ︷︷ ︸
n
(x))), odrediti g′′(x, 20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
2. a) Indukcijom sa ciklicne podgrupe odrediti neekvivalentne ireducibilne reprezentacije (IRe) grupe D3.b) Zatim odrediti IRe grupe D3h = C2 ⊗ D3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
3. Matrice D(C4) =
(0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
)
i D(Ux) =
(0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0
)
definisu permutacionu reprezentaciju grupe D4. Naci vektore
koji pripadaju potprostoru za ireducibilnu reprezentaciju E1,−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
4. Pokazati da su grupe SO(2, IR) =
(cos(ϕ) − sin(ϕ)sin(ϕ) cos(ϕ)
)
| ϕ ∈ [0, 2π) i SO(1, 1, IR) =
(cosh(t) sinh(t)sinh(t) cosh(t)
)
| t ∈ IR
razlicite realne forme grupe SO(2, C/ ) =
(cos(z) − sin(z)sin(z) cos(z)
)
| z ∈ C/ . Pokazati da su hiperbole koje pripadaju
familiji x2 − y2 = k | k ∈ IR invarijantne na dejstvo grupe SO(1, 1, IR) (analogno invarijantnosti kruznica iz familijex2 + y2 = k2 | k ∈ IR na dejstvo grupe SO(2, IR)). Skicirati dejstvo grupe SO(1, 1, IR) na pojedine tacke hiperbole.Hint: dejstvo grupe SO(1, 1, IR) razmatrati u koordinatnom sistemu koji je u odnosu na pocetni zarotiran za ugao π
4u kojem je familija hiperbola zadana sa xy = k | k ∈ IR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
MATEMATICKA FIZIKA II, 14.02.2008.
1. Izjednacavanjem odgovarajucih Furier-ovih komponenti pokazati da vazi: δ(t) = limσ→01√2πσ
e−t2
2σ2 . . . . . . . . . . . . . .25b.
2. a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu K8. b) Indukcijom sapodgrupe H = 1,−1, j,−j naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe K8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
3. Za grupu K8 odrediti CG serije i CG koeficijente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
4. Pokazati da su bilinearne kombinacije kreacionih i anihilacionih operatora fermionskog tipa za dva stanja, oznacena sap i n (”bilinearne kombinacije” = linearne kombinacije monoma tipa: apan, a†
pan, apa†n, a†
pa†n) zatvorene za operaciju
komutator. Razmatranjem samo elemenata koji ne menjaju broj cestica (jedna kreacija i jedna anihilacija), i koristecismenu t+ = a†
pan, t− = a†nap, t0 = 1
2 (a†pap − a†
nan), b = a†pap + a†
nan, utvrditi Lie-jevu algebru koju ovi elementicine sa komutatorom kao Lie-jevim proizvodom. Kreacioni i anihilacioni operatori fermioskog tipa zadovoljavaju tzv.antikomutacione relacije: [ap, an]+ = [ap, ap]+ = [an, an]+ = [a†
p, an]+ = [ap, a†n]+ = 0; [ap, a
†p]+ = [an, a†
n]+ = 1, pricemu je antikomutator definisan na sledeci nacin: [x, y]+
.= xy + yx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
1
Norma operatora, adjungovani operator, spektar i sv. vektori
1. Ispitati ogranicenost, naci normu i spektar operatora translacije = + na ℝ .
2. Ispitati ogranicenost, naci normu i spektar operatora : ℂ → ℂ , = , = − , neparno + , parno
3. U Hilbertovom prostoru definisan je operator A: = + . Dokazati da je A ogranicen i
naci normu i spektar.
4. Odrediti spektar operatora = − + ciji je domen ℝ .
5. Naci izvod raspodele sa integralnim jezgrom: [ + ]
6. Za operator : → , , , , … = ( , + √ , √ + √ , … naci domen, ispitati
ogranicenost, adjungovanost i spektar.
7. * Neka je linearni operator : ℂ → ℂ definisan na sledeci nacin: , , … , − , , … = + , + , … , + + . Odrediti:
a. normu operatora ‖ ‖
b. adjungovani operator † c. spektar i sv. vektore operatora T.
8. * Linearni operator : ℂ → ℂ je definisan na sledeci nacin: , , … , , … = , , … , , … . Odrediti normu i (diskretan) spektar operatora . Pokazati da su sv.
podprostori operatora beskonacno dimenzionalni.
9. , , … = ( , √ , … , da li je ogranicen, odrediti †, odrediti spektre od i †.
10. , , … = ( , , √ , … , da li je ogranicen, odrediti †.
11. ** Operator : → , definisan je na sledeci nacin: ( , , ,… = , , … , − , … .
a. Odrediti normu operatora ‖ ‖,
b. diskretan spektar i odgovarajuce sv. vektore,
c. adjungovani operator † i njegov diskretni spektar ( † .
12. * Fourier-Plancherel-ov operator je u prostoru ℝ definisan na sledeci nacin: =√ ∫ −ⅈ ⅆℝ . Odrediti mu spektar. Hint: proveriti dejstvo operatora na Hermite-ove
funkcije.
13. * Operator : [ , ] → [ , ] je definisan formulom: ( = + . Ispitati
osobine operatora i odrediti mu spektar.
14. * Odrediti sv. vrednosti i normirane sv. vektore za sledece operatore:
a. = −ⅈ
b. = − 22
c. = −ⅈ + sin je azimutalni ugao. Da li su navedeni operatori autoadjungovani?
15. * Odrediti sv. vrednosti i sv. vektore operatora = 22, ako je domen definisan sa:
a. = ∈ [ , ]: = = ;
b. = ∈ [ , ]: ′ = ′ = ;
c. = ∈ [ , ]: = , ′ = ′ .
Integralno jezgro
16. Naci izvod raspodele sa integralnim jezgrom [ + ] 17. * Polazeci od definicije celog dela preko step funkcije, naci izvod raspodele sa integralnim
jezgrom [ − ].
18. * Neka oznacava integralni operator u prostoru [− , ] sa integralnim jezgrom , = + + . Odrediti (diskretni) spektar i sv. vektore operatora . Reprezentovati operator u
bazisu Legendre-ovih polinoma.
19. * Ispitati autoadjungovanost, pozitivnost i odrediti spektar operatora : [ , ] → [ , ] definisanog na sledeci nacin: = ∫ , ⅆ , pri cemu je , = − , ≤ ≤ ≤− , ≤ ≤ ≤ . Hint: diferencirati sv. jednakost.
20. * Ispitati autoadjungovanost, pozitivnost i odrediti spektar operatora : [ , ] → [ , ] definisanog na sledeci nacin: = ∫ , ⅆ , pri cemu je , = max , , ≤, ≤ . Hint: diferencirati sv. jednakost.
21. * Ispitati autoadjungovanost, pozitivnost i odrediti spektar operatora : [ , ] → [ , ] definisanog na sledeci nacin: = ∫ , ⅆ , pri cemu je , = min , , ≤, ≤ . Hint: diferencirati sv. jednakost.
22. * Neka oznacava integralni operator u prostoru [ , ] sa integralnim jezgrom , = +. Odrediti sv.vrednosti i sv. vektore operatora .
Ostalo
23. * Pokazati da niz funkcija = + 2 2 slabo konvergira ka funk iji. Za „do re“ test funkcije smatrati ogranicene ∞ ℝ funkcije.
24. ** Izjednacavanjem odgovarajucih Fourier-ovih komponenti pokazati da vazi: =ⅈ→ √ − 222.
25. * Polazeci od generatrise − 2 = ∑ !∞= odrediti || =∫ − 2 ⅆ∞−∞ .
26. * Pokazati da Fourier-Plancherel-ov operator, u prostoru ℝ definisan na sledeci nacin: = √ ∫ −ⅈ ⅆℝ , komutira sa Hamiltonijanom linearnog harmonijskog oscilatora.
( = − ′′ + ).
27. * Pokazati da je Fourier-ov transform step funkcije ( = , ≤ ; , > ) = + ⅈ . Hint: izraziti step funkciju preko antisimetricne funkcije .
28. * Ako je raspodela , definisana na sledeci nacin (kao n-ta iteracija funkcije ): , = = ||| − |, , = (… , odrediti ′′ , .
2
Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, faktor grupe i centar
1. ** Za grupu ℎ = ⊗ odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, faktor grupe i
centar.
2. * Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, centar, komutant za grupu , kao i
moguce nacine razlaganja grupe na semidirektni proizvod.
3. * Data je grupa = ∧ . Odrediti klase konjugacije, podgrupe, invarijantne podgrupe i
odgovarajuce faktor grupe.
4. ** Paulijeve matrice , definisane su na sledeci nacin: = , = −ⅈⅈ , =− , = + ⅈ ∑ = . Pokazati da je skup svih mogucih proizvoda
generisanih sa ⅈ i ⅈ grupa. Odrediti red grupe, klase konjugacije, invarijantne podgrupe i
faktor grupe.
5. * Za grupu generisanu matricama: , − odrediti red, klase konjugacije i
invarijantne podgrupe. Na taj nacin je istovremeno definisana i jedna reprezentacija iste grupe.
Da li je tako definisana reprezentacija reducibilna ili ireducibilna?
6. * Za grupu koja se sastoji od svih mogucih kompozicija funkcija generisanih sa = − i = − , odrediti red, klase konjugacije, invarijantne podgrupe, faktor grupe, centar i
komutant.
(a) Klase konjugacije, invarijantne podgrupe i faktor grupe i (b) odrediti IRR
7. **** (a) Indukcijom sa ciklicne podgrupe odrediti neekvivalentne IRR grupe
(b) Zatim odrediti IRR grupe ℎ = ⊗ .
8. *** (a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu 8.
(b) Indukcijom sa podgrupe = , − , ⅈ, −ⅈ naci neekvivalentne IRR grupe 8.
9. ** Grupa G je zadata preko dva generatora i generatorskih relacija = − , = − .
Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i faktor grupe za grupu G. Hint: najpre odrediti
red elemenata i .
10. ** Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu .
Indukcijom sa podgrupe = , , , , odrediti neekvivalentne ireducibilne reprezentacije
grupe .
11. * Data je grupa = , , , ⊗ , . Odrediti sve invarijantne podgrupe, a zatim
indukcijom sa podgrupe , , , naci sve ireducibilne reprezentacije grupe .
12. * (a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu .
(b) Indukcijom sa ciklicne podgrupe naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe .
13. * (a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu .
(b) Indukcijom sa podgrupe naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe .
14. * Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, centar, faktor grupe, kao i broj ireducibilnih
reprezentacija za grupu .
15. ** Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu .
Zatim, indukcijom sa podgrupe = , , , naci sve neekvivalentne ireducibilne
reprezentacije za . ~#2.10
16. * Indukcijom sa podgrupe odrediti dvodimenzione ireducibilne reprezentacije grupe .
Ostalo
17. * Pokazati izomorfizam grupe (u odnosu na kompoziciju funkcija) generisane funkcijama =− i = / i . Zatim pokazati da je dejstvom permutacije ∈ na elemente , , , ⅆ
u izrazu = −− : −− zadan homomorfizam grupe na . Sta je jezgro ovog homomorfizma?
3
Standardni bazis (SAB)
1. *** Odrediti st. bazis za reprezentaciju = ⊗ ,− ⊗ ,− grupe
2. ** Metodom grupnih projektora odrediti SAB za representacije grupe u prostoru ℂ
definisanu na sledeci nacin: = √ / /− / −√ / /√ / − / √ / , =−√ / // √ /
3. *** Reprezentacija grupe je definisana sa ( , , = , − , − i =( , , = − , − , − . Naci simetrijski adaptirani bazis za ovu reprezentaciju.
4. * Odrediti st. bazis za regularnu reprezentaciju grupe . Regularna reprezentacija grupe reda
je matricna reprezentacija u prostoru ℂ , definisana sa ⅈ = ( ⅈ − , =( ⅈ− , .
5. * Odrediti st. bazis za podprostor koji odgovara dvodimenzijalnoj IR-i grupe . Regularna
reprezentacija grupe G reda je matricna reprezentacija u prostoru ℂ , definisana sa ⅈ = ( ⅈ − , = ( ⅈ− , .
6. * Odrediti st. bazis za permutacionu reprezentaciju grupe .
7. * Odrediti SAB za subdukciju na ciklicnu podgrupu, tenzorskog kvadrata dvodimenzionalne
ireducibilne reprezentacije grupe .
8. * Naci SAB za tenzorski kvadrat dvodimenzionalne ireducibilne reprezentacije grupe .
9. * Naci SAB za tenzorski kvadrat dvodimenzionalne ireducibilne reprezentacije grupe 8 ( ,− ⊗ ,− .
CG
10. * Naci Clebsch-Gordan-ove koeficijente za sve kombinacije ireducibilnih reprezentacija grupe .
11. * Za grupu 8 odrediti CG serije i CG koeficijente.
12. * Odrediti CG koeficijente i CG serije za IR-e grupe .
Ostalo
13. * Matrice = ) i = ) definisu permutacionu
reprezentaciju grupe . Naci vektore koji pripadaju podprostoru za ireducibilnu reprezentaciju ,− .
14. ** Metodom grupnih projektora odrediti skup 2x2 matrica iz ℂ , koje su invarijantne u odnosu
na dejstvo grupe definisano sa: ∀ ∈ ℂ ∀ ∈ = −
gde je dvodimenzionalna ireducibilna reprezentacija grupe .
15. * Reprezentacija grupe u ℂ je definisana sa: ∀ ∈ ℂ = ⅈ −ⅈ −ⅈ ⅈ , = . Naci matrice koje se pripadaju podprostoru − reprezentacije.
16. Reprezentacija grupe je definisana sa = ) i =)