Elementi matemati•cke logike - gf.unsa.ba · PDF fileGlava 1 Elementi matemati•cke...

download Elementi matemati•cke logike - gf.unsa.ba · PDF fileGlava 1 Elementi matemati•cke logike 1.1 Pojam iskaza Neka je zadan neprazan skup I takav da se za svaki element skupa I mo•ze

If you can't read please download the document

Transcript of Elementi matemati•cke logike - gf.unsa.ba · PDF fileGlava 1 Elementi matemati•cke...

  • Glava 1

    Elementi matematickelogike

    1.1 Pojam iskaza

    Neka je zadan neprazan skup I takav da se za svaki element skupa I mozeutvrditi da li posjeduje odredeno svojstvo ili ga ne posjeduje. Elementi skupaI nazivaju se iskazi i obicno se oznacavaju malim slovima latinice p, q, r, . . .Cinjenica da iskaz p I posjeduje uoceno svojstvo oznacava se sa (p) = >, dokse cinjenica da iskaz q I ne posjeduje uoceno svojstvo oznacava sa (q) = .

    Tipican primjer skupa I je skup svih izjavnih recenica (izjavnih u uzemsmislu) nekog govornog (npr. bosanskog) jezika. Uoceno svojstvo, koju pos-jeduje svaka izjavna recenica, je njena istinitost. Drugim rijecima svaka iz-javna recenica je tacna (istinita) ili netacna (lazna). U ovom primjeru iskazi surecenice:

    Sarajevo je glavni grad Bosne i Hercegovine. Bihac je najveci grad u Bosni i Hercegovini. U svakom trouglu moze se upisati krug. Oko svakog cetverougla moze se opisati krug.

    Pri tome su prvi i treci iskaz tacni, dok su drugi i cetvrti netacni. Ranijeupotrebljeni termin izjavna recenica u uzem smislu zahtijeva ipak dodatnoobjasnjenje. Naime, postoje izjavne recenice cija se istinitost ne moze utvrditi.Takve su npr. recenice:

    Mozda cu doci, a mozda ne. Zedan sam.

    i one nisu iskazi. Upitne i uzvicne recenice, npr.:

    1

  • 2 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATICKE LOGIKE

    Koliko je sati? ili Ustani!

    takode nisu iskazi. Upravo ovaj primjer opravdava opsteprihvacenu terminologijukojom se umjesto fraze posjedovanje odredenog svojstva koristi fraza istini-tosna vrijednost. I u ovom tekstu ce uglavnom biti zastupljena upravo ovaterminologija.

    Sljedeci primjer skupa I ima izuzetno vaznu prakticnu realizaciju. Sada suelementi skupa I prekidaci koji mogu biti u jednom od dva moguca polozaja.Prekidac moze biti ukljucen (posjeduje uoceno svojstvo, tacan je) ili iskljucen(ne posjeduje uoceno svojstvo, netacan je).

    Naravno, svaka matematicka formula takode predstavlja (tacan ili netacan)iskaz. Npr.:

    3 9 (netacan iskaz), 4 + 8 = 12 (tacan iskaz), itd.

    1.2 Logicke operacije i iskazne formule

    Slobodno govoreci, logicka operacija je postupak kojim se iskaz-u/ima pridruzujeiskaz. Unarne opeacije djeluju na jedan iskaz, dok binarne opeacije djeluju nadva iskaza. Na skupu iskaza moguce je definisati cetiri unarne i sesnaest bina-rnih operacija. Medu njima se isticu jedna unarna (negacija) i cetiri binarneopeacije (konjunkcija, disjunkcija, implikacija i ekvivalencija). Slijede definicijeovih logickih operacija.

    Definicija 1 Neka je zadan iskaz p. Negacija iskaza p, u oznaci p, je iskazkoji ima suprotnu istinitosnu vrijednost od iskaza p.

    Oznaka p cita se na jedan od sljedecih nacina: ne p, nije p, negacija iskaza p.Definicija 2 Neka su zadani iskaz p i iskaz q. Konjunkcija iskaza p i iskazaq, u oznaci p q, je iskaz koji je tacan kada su tacni i iskaz p i iskaz q. U svimpreostalim slucajevima konjunkcija iskaza p i iskaza q je netacna.

    Oznaka p q cita se kao p i q.Definicija 3 Neka su zadani iskaz p i iskaz q. Disjunkcija iskaza p i iskazaq, u oznaci p q, je iskaz koji je netacan kada su netacni i iskaz p i iskaz q. Usvim preostalim slucajevima disjunkcija iskaza p i iskaza q je tacna.

    Oznaka p q cita se kao p ili q.Definicija 4 Neka su zadani iskaz p i iskaz q. Implikacija iskaza p i iskaza q,u oznaci p q, je iskaz koji je netacan kada je iskaz p tacan, a iskaz q netacan.U svim preostalim slucajevima implikacija iskaza p i iskaza q je tacna.

  • 1.2. LOGICKE OPERACIJE I ISKAZNE FORMULE 3

    Oznaka p q cita se na jedan od sljedecih nacina: p implicira q, iz p slijedi q,ako p onda q, uslov p je dovoljan za uslov q, uslov q je potreban za uslov p.

    Definicija 5 Neka su zadani iskaz p i iskaz q. Ekvivalencija iskaza p i iskazaq, u oznaci p q, je iskaz koji je tacan kada iskazi p i q imaju jednake istinitosnevrijednosti, a netacan kada iskazi p i q imaju razlicite istinitosne vrijednosti.

    Oznaka p q cita se na jedan od sljedecih nacina: p je ekvivalentno sa q, vazip ako i samo ako vazi q, uslov p je potreban i dovoljan uslov za q

    Navedene operacije mogu se definisati i pomocu sljedece tabele:

    p q p p q p q p q p q> > > > > >> > > > > > > > >

    Koristeci definiciju, trivijalno je dokazati osnovne osobine logickih operacija.Osobine negacije

    1. (p) = pOsobine konjunkcije

    1. p p = ,2. p > = p i3. p = .Osobine disjunkcije

    1. p p = >,2. p > = > i3. p = p.Osobine implikacije

    1. p p = p,2. p > = >,3. p = p,4. > p = p i5. p = >.Osobine ekvivalencije

    1. p p = ,

  • 4 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATICKE LOGIKE

    2. p > = p i3. p = p.Djelovanjem logickih operacija na vise od dva iskaza dobijaju se tzv. iskazne

    formule.

    Definicija 6 Iskazna slova su simboli kojima se oznacavaju iskazi.

    Iskazna slova su iskazne formule. Ako su P i Q iskazne formule, onda su i P, PQ,PQ,P Q i P Q

    takode iskazne formule.

    Iskazne formule mogu se dobiti samo primjenom prethodna dva pravila.Prilikom djelovanja, dogovorom se usvaja da najvisi prioritet ima negacija,

    zatim konjunkcija, disjunkcija i implikacija, dok najnizi prioritet ima ekvivalen-cija. Ukoliko se zeli promjeniti redosljed izvrsavanja logickih operacija koristese zagrade. Tako je npr. > > = > = >, dok je (> >) = > = .

    1.3 Zadaci

    Zadatak 1 Odrediti istinitosne vrijednosti sljedecih iskaza:

    1. 5 je prirodan broj,

    2.13

    je iracionalan broj,

    3. NZD(12, 24) = 8,

    4. 13 je prost broj,

    5. 5 (8) = 5 8,

    6.38 11

    6=

    3324

    =118

    ,

    7. 0.2 0.3 = 0.6,8.

    9 = 3,

    9.15

    >13,

    10.67

    >78,

    11. | 1| 1,12. |3 2| = |3| |2| i13. | 5 2| = | 2|+ 5.

  • 1.3. ZADACI 5

    Zadatak 2 Na odgovarajucem mjestu napisati broj, tako da dobijeni iskaz budetacan:

    1. . . . je najmanji prirodan broj.

    2. . . . je najveci negativni cijeli broj.

    3. . . . nije ni pozitivan, ni negativan broj.

    4. . . . je najveci element skupa{

    12,13,14,25

    }.

    5. . . . je najmanji element skupa{

    12,13,14,25

    }.

    6. . . . je najveci prirodan broj ciji je kvadrat manji od 100.

    7. . . . je jedini prost broj u skupu {8, 9, 10, 11}.8. . . . je jedini slozen broj u skupu {5, 7, 9, 11, 13}.

    Zadatak 3 Odrediti istinitosne vrijednosti sljedecih iskaza:

    1.23 N 2 > 0.

    2.125

    > 0.4 ( 125

    )2> 0.004.

    3.

    [(12 1

    3

    ):(

    14 1

    5

    )=

    103

    ]

    [(12 1

    3

    ):

    14 1

    5= 7

    ]

    Zadatak 4 Simbolicki napisati sljedece recenice:

    1. Oba prirodna broja a i b su parna.

    2. Barem jedan od prirodnih brojeva a i b je neparan.

    3. Oba prirodna broja a i b su neparna.

    4. Barem jedan od prirodnih brojeva a i b je paran.

    Zadatak 5 Zadani su iskazi p : 23 1, q : Godina ima 8 mjeseci. i

    r : Dijagonale romba su medusobno normalne. Odrediti istinitosnu vrijednostsljedecih formula:

    1. p (q r).

    2.{

    q [p (q r)]} [p (q r)].

    Zadatak 6 Nacrtati elektricna kola koja odgovaraju iskaznim formulama:

  • 6 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATICKE LOGIKE

    1. (p q) (r s).2.

    [(p q) r] s.

    3. (p q) r.

    Zadatak 7 Sastaviti istinitosne tablice sljedecih iskaznih formula:

    1. (p q) r.2. p (q r).

    3.{

    q [p (q r)]} [p (q r)].

    Zadatak 8 Odrediti istinitosne vrijednosti sljedecih iskaza:

    1. 2 + 2 = 4 2 + 3 = 4.2. 3 = 7 5 = 4.3. (2 > 1) Glavni grad Spanije je Torino..

    Zadatak 9 Odrediti vrijednosti promjenjljive x {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} takoda zadana iskazna formula bude tacna:

    1. x > 7 x + 2 < 5.2. x 6= 7 x 2 > 4.3. x 6= 1 x 6= 2 x 6= 3.4. x 2 < 2 x + 1 = 2.

    Zadatak 10 Odrediti vrijednosti promjenjljive x R tako da zadana iskaznaformula bude tacna:

    1. x 2 > 0 2x 10 < 0.2. x 3 > 0 x2 3x + 2 < 0.

    3.x 1x 4 0 3x 15 > 0.

    4. |x| < 4 x 68 x > 0.

    Zadatak 11 Sastaviti istinitosne tablice sljedecih iskaznih formula:

    1. (p q) (q p).

    2.[(p q) p

    ] p.

    3. (p q) (p q).

  • 1.4. TAUTOLOGIJE 7

    4. (p q) (q p).Zadatak 12 Ako je (p q) = > i (p q) = odrediti (q p).

    Zadatak 13 Ako je (p q) = > odrediti (p q), (p q) i (q p).Zadatak 14 Sastaviti istinitosne tablice sljedecih iskaznih formula:

    1. (p q) r.2. (p r) q.

    3.[(p q) (r p)

    ] (q r).

    4.{[p (q r)

    ] (p r) (q r)

    } r.

    5. (p q) {[

    p (q r)] (p r)

    }.

    Zadatak 15 Rijesiti po p, q, r {>,} jednacine:1. [(p q) r] = .2. [(p r) q] = >.

    1.4 Tautologije

    Definicija 7 Iskazna formula koja je tacna za sve vrijednosti svojih iskaznihslova naziva se tautologija.

    Teorema 1 Sljedece iskazne formule su tautologije

    1. p q q p,p q q p.

    2. (p q) r p (q r),(p q) r p (q r).

    3. p (q r) (p q) (p r),p (q r) (p q) (p r).

    4. (p q) p q,(p q) p q.

    5. (p q) (q p).6. p q p q.7. (p q) [(p q) (q p)],

    (p q) [(p q) (q p)].

  • 8 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATICKE LOGIKE

    Dokaz:Tabela istinitosti za sestu formulu glasi

    p q p p q p q F> > > > >> >> > > > > >> > > > >

    odakle se zakljucuje da posljednja formula zaista jeste tautologija. Na isti nacinse dokazuje da su i ostale formule tautologije.

    Treba primjetiti da tautologija 6. omogucava elektricnu realizaciju imp-likacije.

    1.5 Zadaci

    Zadatak 16 Ne koristeci is