Post on 19-Jan-2017
lisari teaμ…αντικές ικανότητες
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Ομάδα Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών
Οικονομίας και Πληροφορικής
Μοιραζόμαστε μαζί σας 23 εμπνεύσεις
της τελευταίας στιγμής!
Επιμέλεια προτάσεων: lisari team
Συντονιστής: Παύλος Τρύφων
Σχολικό έτος: 2015-2016
__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
ΙΔΕΑ 1η: Εύρεση συνόλου τιμών από συναρτησιακή σχέση, με χρήση του ορισμού του συνόλου
τιμών.
Παράδειγμα 1
Αν f f x 4x 3, για κάθε x 1R τότε f R R
Υπόδειξη
Πράγματι, εύκολα δείχνουμε ότι η f είναι 1 1 . Αρκεί να αποδείξουμε ότι fR R , δηλαδή για
0y R , αναζητούμε 0x R τέτοιο, ώστε:
(εναλλακτικά: αν 0y R τότε για 0
0
y 3x f
4
έχουμε
0 0 0
0 0
y 3 y 3 y 3f x f f f f 4 3 y f
4 4 4
R R )
ΙΔΕΑ 2η: Από μία σχέση της μορφής 2f x dx 0
με να προκύπτει ότι f x 0 στο
, . Εναλλακτικά: Αν f ορισμένη και συνεχής στο , , με f x dx 0
και f x 0
χωρίς η f να είναι παντού μηδέν στο , τότε
Παράδειγμα 1
Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση f : 0,1 R με την ιδιότητα
1
x 2
0
14 e f x f x dx 1
e
Υπόδειξη
1 1 1
21x 2 x 2 x x x
00 0 0
14 e f x f x dx 1 4 e f x f x dx e ... e 2e f x 1 dx 0
e
Αν η συνάρτηση 2
x xx e 2e f x 1 δεν ήταν παντού μηδέν στο 0,1 τότε
1
2x x
0
e 2e f x 1 dx 0, άτοπο.
f 1 1
0
0 0 0 0 0 0 0
3 f yf x y f f x f y 4x 3 f y x
4
__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
Άρα x 0 στο 0,1 οπότε x
1f x , x 0,1
2e .
Παράδειγμα 2
Αν για , 1 ισχύει 2 2
2 x 1dx2
, αποδείξτε ότι
Υπόδειξη
2 2
2 x 1dx 2 x 1dx xdx x 2 x 1 dx 0 12
Όμως
x 2 x 1 0, για κάθε x 1 (με την ισότητα να ισχύει μόνο για x 2 )
Άρα αν
, . . x 2 x 1 dx 0,
άτοπο από τη σχέση 1
ΙΔΕΑ 3η: Διαφορική εξίσωση με ορισμένο ολοκλήρωμα
Παράδειγμα 1
1
0
f x f x xf x dx 1 f 0 1
Υπόδειξη
Θέτουμε: 1
0
A xf x dx 1 άρα η δεδομένη σχέση γίνεται:
xe
xf x f x A ... f x A A 1 e
Όμως
1 1
x x
0 0
A xf x dx 1 A x A A 1 e dx 1 ... A 0 f x e
ΙΔΕΑ 4η: Εμβαδόν μεταξύ συνάρτησης, εφαπτομένης σε σημείο καμπής της και κατακόρυφων
ευθειών εκατέρωθεν του σημείου καμπής.
__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
(H κυρτότητα της συνάρτησης θα καθορίσει τη σχετική της θέση ως προς την εφαπτομένη…)
ΙΔΕΑ 5η: Ορισμένο ολοκλήρωμα που περιέχει τη ζητούμενη συνάρτηση και είναι σταθερό ως
προς τη μεταβλητή παραγώγισης.
Παράδειγμα 1
1
0
f x 1 1 3xt f t dt
Υπόδειξη
Θέτουμε: 1 1
0 0
A f t dt tf t dt οπότε
1 1 1
0 0 0
f x 1 1 3xt f t dt 1 f t dt 3x tf t dt 1 A 3 x
Είναι
1 1 1
0 0 0
2 5 8A f t dt 1 A 3 t dt ... B tf t dt ... A f x 2x
3 3 3
ΙΔΕΑ 6η: Επίλυση (ή πλήθος ριζών) εξίσωσης f x g x , όπου η f παρουσιάζει ελάχιστο στο
0x το k και η g παρουσιάζει μέγιστο στο 0x το k .
Παράδειγμα 1
__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
ΙΔΕΑ 7η: Διαφορική…με το σύμβολο
Παράδειγμα 1
Αν συνάρτηση f : [0,1] R παραγωγίσιμη στο 0,1 με
x 1 x 1 x 1x e 1 f x e 0,1 x f , 1e x x
Να αποδείξετε ότι ή f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο 0,1
Υπόδειξη
Για x 0 και x 1 βρίσκουμε f 0 0 και f 1 0 . Είναι:
x 1 x 1 x 1e 1 xe f x 1 0x e f x
και αν υποθέσουμε ότι 0, ά x 0,1f x τότε ισοδύναμα:
x 1 x 1 x 1
2
e 1 xe f x x0
f x
e 1 f x
x 1x e 1
f x0
Από το θεώρημα Rolle για την
x 1x e 1g x
f x
στο 0,1 , υπάρχει 0,1 τέτοιο ώστε:
g 0 το οποίο είναι άτοπο. Άρα η f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο 0,1
ΙΔΕΑ 8η: Συνδυασμός θεωρήματος μέγιστης και ελάχιστης τιμής με θεώρημα Fermat
__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
Παράδειγμα 1
Αν f : α,β R συνεχής στο α,β , παραγωγίσιμη στο α,β με
f α,β 1,2 και f α 0,f β 1.
Αποδείξτε ότι υπάρχουν 1 2x ,x α,β τέτοια, ώστε
1 2f x f x 0
Υπόδειξη
Η f παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο α,β , ως συνεχής σε αυτό.
Όμως
f , 1,2 , f 0, f 1
Άρα υπάρχουν 1 2 1 2x ,x α,β : f x 1 και f x 2
Από το θεώρημα Fermat, 1 2f x f x 0
ΙΔΕΑ 9η: Εύρεση του τύπου μιας συνάρτησης με συμπλήρωση τετράγωνου και διαφορική
ταυτόχρονα.
Παράδειγμα 1
Να βρεθεί πολυωνυμική συνάρτηση f : R R με
f 0 2 , f 0 0 και 2 4 2f x 2f x x 2x , για κάθε xR
Υπόδειξη
2 24 2 4 2
22 2 2
g x
f x 2f x x 2x f x 2f x 1 x 2x 1
f x 1 x 1 f x 1 x 1, x
R
Η g διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R (γιατί;) και g 0 1 0 . Άρα
__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
3 3f 0 0
2 2 x xf x 1 x 1 f x x 2 f x 2x c f x 2x
3 3
,
η οποία επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες
ΙΔΕΑ 10η: Όριο μηδενικής επί φραγμένης, που να χρειάζεται όμως να βρούμε σύνολο τιμών της.
Παράδειγμα 1
Δίνεται η συνάρτηση ln x
f x , x ex
. Να αποδείξετε ότι:
α) 1
f e, 0,e
β)
x
3x
2
x x xf e e 0
x 2016 ln xlim
Υπόδειξη
α) Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο e, , άρα
x
1f e, f x , f e ... 0,
elim
β) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε για x e
2
x0
3 3x 2016x x
2 2
x x 1 x x x 1 x0 f e e 0 f e e
ln x e x 2016 ln x e x 2016
και το συμπέρασμα έπεται από το κριτήριο παρεμβολής…
ΙΔΕΑ 11η: Όριο μηδενικής επί φραγμένης , με φραγμένη κάποια συνάρτηση της οποίας όμως το
σύνολο τιμών θα προκύπτει από το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.
Παράδειγμα 1
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
2f x x 1 x
α) Αποδείξτε ότι η f είναι αντιστρέψιμη στο πεδίο ορισμού της
β) Αποδείξτε ότι
__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
x 0
2016 1x f x 0lim
Υπόδειξη
α) Βρίσκουμε
fD 0,1 και 2
1 xf x 0
2 x 1 x
στο 0,1
β) Σύνολο τιμών της f είναι το
ή ,
f 0,1 f 0 ,f 1 1,1
, δηλαδή το πεδίο ορισμού της 1f είναι το 1,1 ,
οπότε έχει νόημα η εύρεση του x 0
2016 1x f xlim
Για κάθε x 1,1 είναι
1 2016 1 20160 f x 1 0 x f x x
και το ζητούμενο προκύπτει από το κριτήριο παρεμβολής.
ΙΔΕΑ 12η: Διερεύνηση πλήθους ριζών εξίσωσης (παραμετρική)
Παράδειγμα 1
Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 1 x ,x R . Για τις διάφορες τιμές του R να βρεθεί το πλήθος
των ριζών της εξίσωσης
2
3
2
3x 1f x 1 1
2 1
Υπόδειξη
Δείχνουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R , άρα 1-1. Αν 2
3 3xg x x 1
2 τότε
1 f g x f λ g x λ
Βρίσκουμε τελικά
1 1
g , 1 , , g 1,0 1, , g 0, 1,2 2
1λ 1 ή λ
2
11 λ
2
1λ ή λ 1
2
μοναδική ρίζα τρεις ρίζες δύο ρίζες
__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
ΙΔΕΑ 13η: Η ιδιότητα o o
x x x x
2f x 0 f x 0lim lim
.
Παράδειγμα 1
Δίνεται συνάρτηση f : r r για την οποία ισχύει
2
xlim f x 4f x 1 3
Να βρείτε το xlim f x
Υπόδειξη
Έχουμε
22
x xlim f x 4f x 4 0 lim f x 2 0
Επίσης ισχύει
2
x xlim f x 2 lim f x 2 0 0
και
f x 2 f x 2 f x 2
Οπότε από κριτήριο παρεμβολής έχουμε
x xlim f x 2 0 lim f x 2
ΙΔΕΑ 14η: Δίνεται η γραφική παράσταση της f και ζητούνται μονοτονία / ακρότατα /
κυρτότητα / σημεία καμπής της f ή σημεία της fC όπου η εφαπτομένη την «διαπερνά» (όλα να
προκύπτουν από το διάγραμμα).
Δεν πάμε μακριά…άσκηση 4 σελ. 277 σχολικού βιβλίου αποτελεί ένα καλό παράδειγμα!
__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
ΙΔΕΑ 15η: Ανισοτική σχέση ορισμένου ολοκληρώματος που να προκύπτει από διακρίνουσα
τριωνύμου.
Παράδειγμα 1
Να αποδείξετε ότι για κάθε xR ισχύει
1 1 1
0
2 2
0
2
0x dt ttdt dt2x t t 1 1 0
και στη συνέχεια να δείξετε ότι:
1
0
2 dt2
t t 13
Υπόδειξη
1 1 1 1
0
22 2 2
0
2
0 0x dt t dttdt 2x x dt t 1 t1 t t 1
που ισχύει για κάθε xR
Η δοσμένη σχέση είναι τριώνυμο ως προς x και για να ισχύει για κάθε xR πρέπει και αρκεί Δ 0 .
Οπότε:
1 11 1 1 1
0 0 0 00 0
1
2 32 22 2
1
0 0
2
22 2
t t 1 tdt 1 0 t tt t
4 dt 4 t 1 0
2
dt dt t2 3
2dt dt t 1 t0 t t 1
33
ΙΔΕΑ 16η: Ακρότατα δίκλαδης συνάρτησης – ειδική περίπτωση ακροτάτου σε κλειστό άκρο του
πεδίου ορισμού δίκλαδης συνάρτησης.
__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
Παράδειγμα 1
Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης
xxe x 0
f x0 , x 0
Υπόδειξη
Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 και ολικό μέγιστο στο 1!
ΙΔΕΑ 17η: Εύρεση συνάρτησης οι τιμές της οποίας εμπεριέχονται σε όριο (ιδέα αποκλειστικά από
το βιβλίο της lisari team).
Παράδειγμα 1
Για μία συνάρτηση f : 1, R ισχύει
x
2 22 2016 2014
2015
2f 2 ln 1 x x 10,
xlim
για κάθε 1
Αποδείξτε ότι 22x x
f x x 1 ln x 1 , x 12
Υπόδειξη
Υποθέτουμε ότι υπάρχει α 1 για το οποίο
2 222f 2 ln 1 0
τότε
x x
2 22 2016 2014
2 22
2015
2 22
2 22
2f 2 ln 1 x x 12f 2 ln 1 x
x
, 2f 2 ln 1 0,
, 2f 2 ln 1 0
lim lim
που σε κάθε περίπτωση είναι άτοπο. Άρα 22x x
f x x 1 ln x 1 , x 12
.
ΙΔΕΑ 18η: Ορισμένο ολοκλήρωμα και ύπαρξη κρίσιμου σημείου συνάρτησης.
__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
Παράδειγμα 1 (εμπνευσμένο από την άσκηση 11 σελ. 340 σχ. βιβλίου)
Έστω μια συνάρτηση f με f συνεχής και 0
f x f x xdx 2f 1
Αποδείξτε ότι η f έχει τουλάχιστον ένα κρίσιμο σημείο.
Υπόδειξη
Κάνοντας δύο φορές κατά παράγοντες ολοκλήρωση στο 0
f x xdx
και χρησιμοποιώντας τη
σχέση 1 βρίσκουμε f 0 f και το συμπέρασμα προκύπτει από το θεώρημα Rolle!
ΙΔΕΑ 19η: Δίνεται η 1f και ζητείται όριο που περιέχει την f ή κάποια τιμή 0f x (ιδέα
αποκλειστικά από το βιβλίο της lisari team).
Παράδειγμα 1
Έστω f μία συνεχής και 1 1 συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της, η οποία έχει αντίστροφη τη
συνάρτηση 1 3f x x 2x 3 , x R . Να δείξετε ότι
3 2
x 0
f x x 3x 1lim 12
f x 1L
1
f 05
Υπόδειξη
Στη σχέση 1 3f x x 2x 3 , x R , αντικαθιστούμε όπου x το f x , οπότε:
3f x 2f x 3 x , για κάθε xR
Άρα το ζητούμενο όριο γράφεται:
x 0
u 1
23 3 3
u f x
x 0u 1
23 3 3
f x f x 2f x 3 3 f x 2f x 3 1
f x 1
u u 2u 3 3 u 2u 3 1... 12
u 1
lim
lim
1f 1 0 f 0 1 .
Αφού 1f f x x , x R θα είναι
__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
1x 0 x 0
f x f 0 f x 1lim l
fim
x 0 xf
Θέτουμε u f x , άρα x 0 x 0limu limf x f 0 1
, f είναι συνεχής στο 0. Έτσι προκύπτει:
1 1 1 11x 0 u 1 u 1 u 1
1
f x 1 u 1 1 1 1 1lim lim lim lim
5f fu u u 1f x f fff 1
u 1 u 1
ΙΔΕΑ 20η: Μονοτονία συνάρτησης και επίλυση συναρτησιακής εξίσωσης (ιδέα αποκλειστικά
από το βιβλίο της lisari team).
Παράδειγμα 1
Δίνεται συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο [0,1] . Να λύσετε την εξίσωση
3 2015 2 4 2016f x f x ... f x f x f x .. f x , x [0,1] (1)
Υπόδειξη
Η εξίσωση (1) έχει δύο προφανείς λύσεις τις 1 2x 0,x 1 .
Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1] (χωρίς βλάβη της γενικότητας) και ότι υπάρχει μια ρίζα
0,1 , τότε:
2 2
3 4 3 4
5 6 5 6 3 2015 2 4 2016
2015 2016 2015 2016
f f
f f
f f f f ... f f f .. f ,ά !
............................................
f f
Άρα δεν υπάρχει καμία ρίζα στο διάστημα 0,1 οπότε οι μοναδικές ρίζες της εξίσωσης (1) είναι το 0
και το 1.
ΙΔΕΑ 21η: Υπολογισμός ολοκληρώματος με τη βοήθεια άρτιας – περιττής συνάρτησης.
Παράδειγμα 1
Να υπολογίσετε τα ολοκλήρωμα
__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
1 1 1
1 1 0
3 x 3 x2 x x
x x x
x 1 e x 3ex (1 edx , dx dx
e 1 e 1
1)
1 e
e
Υπόδειξη
2 x x
x x
1 1
1 1
x (1 e eΑ dx dx I J
e 1 1e
)
με
2 x
x
1
1
x (1 eΙ dx 0
e
)
1
,
διότι η συνάρτηση 2 x
x
x (1
1
ef x
)
e
είναι περιττή και
x
x 1
x
11
1 1
eJ dx ln e ln e 1 ln e1
1e1
Η συνάρτηση 3 x
x
x 1 eg x
1 e
είναι άρτια οπότε
3 x 3 x
x x
1 1
1 0
x 1 e x 1 e 1dx 2 dx B ...
1 e 1 e 4
ΙΔΕΑ 22η: Υπολογισμός ολοκληρώματος με χρήση γραμμικής εξάρτησης
(εμπνευσμένο από την άσκηση 7 σελ. 353 σχ. βιβλίου)
Παράδειγμα 1
Δίνονται τα ολοκληρώματα
4 4
0 0
x xdx , dx
x x x x
α) Υπολογίστε τα ,
Β) Υπολογίστε τα ,B
Υπόδειξη
α) Βρίσκουμε
4
0
x xdx
x x 4
και
4 4 4
00 0
x xx x 1dx dx ln x x ln 2
x x x x 2
__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
β) Είναι
2ln 2 2ln 24A , B
1 8 8ln 2
2
ΙΔΕΑ 23η: Επίλυση διαφορικής εξίσωσης σε ένωση διαστημάτων.
Παράδειγμα 1
Έστω η συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη στο R με 2f 1 e και 2xf x 1 2x f x για
κάθε xR . Να δείξετε ότι: 2x 1f x xe , x R .
Υπόδειξη
Για κάθε x 0 έχουμε:
2
2
1 1xf x 1 2x f x f x 2x f x f x 2x f x 0
x x
f x ln x x f x 0
Και καταλήγουμε σε μια κλασική γραμμική διαφορική εξίσωση 1ης τάξης. Πολ/με όλους τους όρους
με το 2ln x x
e
και καταλήγουμε:
2 2 2 2ln x x ln x x ln x x x
1 1 1e f x 0 e f x c f x c e f x c x e
όμως 2f 1 e άρα 1c e οπότε
21 xf x xe , x 0 .
Για x 0 εύκολα βρίσκουμε f 0 0 .
Για κάθε x 0 έχουμε ανάλογα:
2 2 2 2ln x x ln x x ln x x x
2 2 2e f x 0 e f x c f x c e f x c x e
όμως η f είναι παραγώγισιμη R άρα και στο 0x 0 οπότε:
1 2
x 0 x 0
f x f 0 f x f 0lim lim c c
x 0 x 0
οπότε 21 xf x xe , x 0 .
Επομένως 21 xf x xe για κάθε xR .
__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
Μια ακόμα…έμπνευση!
Να προταθούν στις Πανελλαδικές εξετάσεις θέματα παρόμοια (ή και ίδια όπου είναι
εφικτό) με αυτά του σχολικού βιβλίου! Ήρθε η ώρα να στηριχθεί έμπρακτα το σχολικό
εγχειρίδιο.
Προτείνουμε τα παρακάτω θέματα ως ασκήσεις κλειδιά από το σχολικό βιβλίο…
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ
Άσκηση 6 σελ. 148
Άσκηση 4 σελ. 157
Άσκηση 3 - 4 σελ. 176
Άσκηση 3 σελ.182
Άσκηση B1 – 2 – 3 σελ. 187
Άσκηση 3 σελ. 199
Άσκηση 5 – 7 σελ. 200
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Άσκηση 6 σελ. 245
Άσκηση 4 σελ. 250
Άσκηση 7 σελ. 250
Άσκηση 1 σελ. 257
Άσκηση 8 σελ. 270
Άσκηση 4 σελ. 277
Άσκηση 1 σελ. 278
Άσκηση 2 σελ. 278
Άσκηση 6 σελ. 292
Άσκηση 9 σελ. 292
Άσκηση 12 σελ. 294
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Άσκηση Β2 σελ. 349
Άσκηση 1 σελ. 352
Άσκηση 4 σελ. 352
Άσκηση 8 σελ. 353
Άσκηση 10 σελ. 353