Πλήρεις σημειώσεις για Γ Λυκείου Προσανατολισμού 2016

Θεόδωρος Παγώνης

μαθηματικός

2016-2017

γ΄ λυκείου μαθηματικά κατεύθυνσης

Κσκλοθορούν

επίζης

Μαθημαηικά Β΄ Λσκείοσ

Γενικής Παιδείας Αλγεβρα


Καηεύθσνζης


Γενικής Παιδείας Γεωμεηρία

Μαθημαηικά Α΄ Λσκείοσ

Άλγεβρα

Μαθημαηικά Α΄ Λσκείοσ

Γεωμεηρία

Θεόδωρος Παγώνης e-mail: [email protected] https://www.facebook.com.theodoros.pagones http://lisari.blogspot.gr/

2016-2017

- 1 -

2016-2017

Όριο – Συνέχεια συνάρτησης

Παγώνης Θεόδωρος

Μαθηματικός

όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2

- 2 -

§1. τύποσ ςυνάρτηςησ

1) Να γξάςεηε ρσξίο ην ζύκβνιν ηεο απόιπηεο

ηηκήο ηνπο ηύπνπο ησλ ζπλαξηήζεσλ :

α. ( ) | ln 1| f x x β. ( ) 2 | | | 1| f x x x

γ. 4 2( ) | | f x x x δ. ( ) | 2 | f x x

2) Σε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αμόλσλ ζεσξνύκε ηα

ζεκεία 1, 0 , , 0 x θαη 0 , 3 κε 1x .

Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο ζπλάξηεζεο f πνπ

εθθξάδεη ηελ πεξίκεηξν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ζε ζπλάξηεζε ηνπ x .

3) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) x xf x ae e κε

, a . Αλ (0) 10f θαη 1(1) f e , λα βξείηε

ηηο ζηαζεξέο a θαη .

4) Αλ 2( ) 2 3 f x x x λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε

1 2 2 3 ( 1) 14 0 f x f x f .

5) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 4

( ) 12 3

xf x

x. Να

δείμεηε όηη 4

12 3

xf x

x, γηα θάζε

3

2x .

6) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f γηα ηελ νπνία ηζρύεη

2 21 2 2 3 f x x x x , γηα θάζε x . Να

ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο (3)f , (1)f θαη (13)f .

7) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία

ηζρύεη 3 2 4( ) ( ) ( ) 4 f x f x f x x x , γηα θάζε

x . Να ππνινγίζεηε ην (1)f .

§2. πεδίο οριςμού

ςυνάρτηςησ

8) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο κε

ηύπν 2

2

2( ) ln 81

9 8

xf x x

x x.

9) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ:

α. 3 2

2

2 1( )

3 4

x xf x

x x β.

2

3 2

3 1( )

2

x xf x

x x x

γ. 2

2( )

3 2

xf x

x x

10) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ παξαθάησ

ζπλαξηήζεσλ:

α. ( ) 3 7 2 f x x β. 2( ) 4 2009 f x x

γ. 2 2( ) 1 4 5 2 3 f x x x x



α. 2 2

( )1

x xf x

x β.

1 2 3( )

2 4 4

xf x

x



α. ( ) ln 2 1 ln 2f x x x

β. 2( ) ln 3ln 1 ln 2 f x x x x

13) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ:

α. 2

( )1

xf x

x

β.

1( )

1

xf x

x

γ. 2

( )

xf x

x x



α. 2 1

( ) 3

x

f x x β. 21

2( ) 2

x

f x x x

γ. | |

( ) | 2 | 1 x

f x x x


- 3 -



α. 2

8( )

8 7

xf x

x x β. 2

3

6( ) ln 9

1

f x x

x

γ. 3 8

( )2 16

x

xf x δ. 31

( ) 1 ln2 ln

f x xx



α. 1

( )

f xx x

β. 21( ) 1

3 1

f x x

x

γ. 2

2

ln 2 3( )

25

x xf x

x

δ. 2( ) 2 f x x x x

ε. ( ) 5 5 f x x ζη. ( ) 2 1 f x x

17) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο

3

2 22( ) 2

f x x x x .

18) Να βξείηε ην ππνζύλνιν ηνπ 0 , 2 εληόο

ηνπ νπνίνπ νξίδνληαη νη ζπλαξηήζεηο :

α. 1

( ) 2 1 f x xx

β. 1

( )2 1

f xx



α. 1

( )1

xf x

x

β. ( ) ln lnf x x

γ. 2

2

ln 2 3( )

25

x xf x

x δ.

4 2 1( )

13 ln 1

x xf x

x

ε. ( ) f x x ζη.

| | 1 2( )

ln | | 1

x xf x

x

20) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε

| | , 3 6( )

2 2 , 6 12

x a xf x

x x . Να βξείηε:

α. ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f ,

β. ηνλ αξηζκό a ,

γ. ηηο ηηκέο ( 2)f θαη (11)f f .

21) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2 3 , 5 1

( )4 2 , 1 15

x xf x

x x.

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .

β. Να βξείηε ηηο ηηκέο ( 2)f , (3)f , (1)f θαη ( 4)f f

γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε ( ) 6f x .

22) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) f x x a γηα ηελ

νπνία ηζρύεη (13) ( 3) 4 f f . Να βξείηε:

α. ηνλ αξηζκό a ,

β. ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f ,

γ. ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο

2

ln (33)( )

( 2) | |

x f fg x

x f f x.

23) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 3 lnf x x a , γηα

ηελ νπνία ηζρύεη 2( 1) 1f e . Να βξείηε:



γ. ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο

1

( ) ln (2)e

g x f f x fe

.

24) Γίλεηαη ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ ην

0 , 8 . Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο

ζπλάξηεζεο 2( ) 1 g x f x .

25) Να βξείηε ην a ώζηε ην πεδίν νξηζκνύ

ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ λα είλαη όιν ην :

α. 2

2

1( )

1

xf x

x ax β. 2( ) 4 3 f x ax x a

γ. 2

( )2 1

xa

f xa

δ. 2( ) ln ( 1) 2 1f x ax a x a

26) Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηεο παξακέηξνπ , λα

βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ ζπλαξηήζεσλ:

α. 2

2012( )

4

f x

x x β. 2( ) 2 f x x x

27) Σην παξαθάησ ζρήκα είλαη ( ) 3 ,

( ) 7 θαη ( ) 4 . Να εθθξάζεηε ην

εκβαδόλ ηνπ γξακκνζθηαζκέλνπ ρσξίνπ σο ζπλάξηεζε ηνπ ( ) x , όηαλ ην Μ θηλείηαη

πάλσ ζην επζύγξακκν ηκήκα ΑΓ.


- 4 -

§3. άρτια περιττή

ςυνάρτηςη

ςυναρτηςιακέσ ςχέςεισ


( ) 3 53

x

f x , κε

πεδίν νξηζκνύ ην . Να απνδείμεηε όηη ε f

είλαη άξηηα θαη πεξηνδηθή κε πεξίνδν 3

2

.

29) Να εμεηάζεηε αλ ε ζπλάξηεζε

( ) 13 2 3 13 2 3 x x

f x είλαη άξηηα ή

πεξηηηή.

30) Έζησ ζπλάξηεζε : f , γηα ηελ νπνία

ηζρύεη 3 2 3 2( ) ( ) 7 ( ) 2 4 f x af x f x x x x , γηα

θάζε x .

α. Αλ (2) 3f , λα βξείηε ηελ ζηαζεξά a .

β. Να ππνινγίζεηε ην (1)f .

31) Έζησ ζπλάξηεζε : f κε (0) 0f πνπ

ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε

2 ( ) ( ) f x y f x y f x f y , γηα θάζε

, x y .

α. Να ππνινγίζεηε ην (0)f .

β. Να απνδείμεηε όηη, αλ ( ) 0f , ηόηε (2 ) 1 f .


ηζρύεη 25 ( ) 3 ( ) f x f x x x , γηα θάζε x .

Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .

33) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f γηα ηελ νπνία ηζρύεη

( ) 2 ( ) 3 3 f x xf x x , γηα θάζε x . Να

βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .

34) Αλ γηα ηελ ζπλάξηεζε f ηζρύεη

1 1 1( ) 2 3

xf x f x

x x x, γηα θάζε *x ,

ηόηε λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .


( ) 1 ( ) 1 xf x x f x x , γηα θάζε x , ηόηε:

α. λα βξεζεί ην (0)f ,

β. λα απνδεηρζεί όηη ( ) ( ) 2 (0) f x f x f ,

γ. λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .

36) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f ηέηνηα ώζηε

λα ηζρύεη 21 2 5 f x x x , γηα θάζε x .

Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο f .

37) Γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύεη

( ) f x y f x y γηα θάζε , x y θαη

(0) 2012f . Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .

38) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f ηέηνηα ώζηε

γηα θάζε , x y λα ηζρύεη

3 22 6 4 10 f x y f x y x xy x .

α. Να βξεζεί ην (0)f ,

β. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .

39) Έζησ ζπλάξηεζε f , ε νπνία δελ είλαη ε

κεδεληθή ζπλάξηεζε, γηα ηελ νπνία ηζρύεη

2 ( ) ( ) f x y f x y f x f y , γηα θάζε

, x y .

α. Να ππνινγίζεηε ην (0)f .

β. Να απνδείμεηε όηη ( ) ( ) f x f x , γηα θάζε x .

γ. Να απνδείμεηε όηη 2(2 ) 2 ( ) 1 f x f x .


ηζρύεη ( ) ( ) f x f y y x , γηα θάζε

, x y . Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f , αλ

(0) 1f .

41) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο : f ,

όηαλ ηζρύεη 2 2 4( ) 10 ( ) 25 f x x f x x , γηα θάζε

x .


( ) log1

xf x

x.

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο. β. Να δεηρζεί όηη ( ) ( ) f x f x , γηα θάζε fx D .

γ. Να δεηρζεί όηη, γηα θάζε 1 2, fx x D ηζρύεη

1 2

1 2

1 2

( ) ( )1

x xf x f x f

x x.


- 5 -

43) Έζησ ζπλάξηεζε *: f , γηα ηελ νπνία

ηζρύεη 1

2 ( ) ( ) ( ) 55

xf x xyf x f y , γηα θάζε

*, x y . Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .

44) Η ζπλάξηεζε : f ηθαλνπνηεί , γηα θάζε

ηηκή ησλ πξαγκαηηθώλ x , y , ηηο ηαπηόηεηεο

( ) ( ) 8 f x y f x f y θαη

( ) ( ) 5 8 ( ) 8 ( ) 104 f x f y f xy f x f y .

α. Πνηα ζηαζεξή ζπλάξηεζε ηθαλνπνηεί ηηο ηαπηόηεηεο

απηέο; β. Υπνζέηνπκε όηη ε ζπλάξηεζε f δελ είλαη ζηαζεξή

γηα x .

i. Να ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο (0)f θαη (1)f .

ii. Να βξείηε πνιπσλπκηθή ζπλάξηεζε 1νπ βαζκνύ ε νπνία λα ηθαλνπνηεί ηηο δνζκέλεο ηαπηόηεηεο.

§4. γραφική παράςταςη


45) Να βξείηε ηα θνηλά ζεκεία ηεο fC κε ηνπο

άμνλεο x x θαη y y :

α. 2( ) 5 6 f x x x β. ( ) x xf x e e

γ. ( ) 1 f x x x δ. ( ) 1 2 f x x

46) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ θαη ηα ζεκεία

ηνκήο κε ηνπο άμνλεο ηεο ζπλάξηεζεο f κε

ηύπν 21( )

4 4

xf x .

47) Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ κε ηνπο άμνλεο x x θαη y y .

α. 2 2( ) 1 x xf x e β. ( ) 1 2 f x x , 0 ,x

γ. ( ) ln ln 3f x x δ.

2 6( )

2

x xf x

x

ε. 22 3

( )2 1

x xf x

x ζη. ( ) 3 4 f x x

48) Να βξείηε ηα θνηλά ζεκεία ησλ ζπλαξηήζεσλ 2( ) 5 8 f x x x θαη ( ) 1 g x x .

49) Να βξείηε ηα θνηλά ζεκεία ησλ γξαθηθώλ

παξαζηάζεσλ ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ:

α. 2( ) 3 f x x x θαη 3 2( ) 3 g x x x

β. ( ) ln 2 f x x x x θαη ( ) g x x

γ. 2 5( ) 3 xf x θαη 2( ) 3 2 xg x

δ. ( ) ln 1 f x x θαη ( ) 2ln 2 g x x

50) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x ε γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο f βξίζθεηαη θάησ από ηελ

γξαθηθή παξάζηαζε ηεο g , όηαλ:

α. 3( ) f x x x θαη 2( ) 3 2 g x x

β. ( ) 10f x x θαη ( ) 5g x , 0 , 2x

γ. 1

( )2

xf x

x θαη

3 1( )

2 2

g x

x

δ. 3

( ) ln1

f xx

θαη ( ) ln 5 g x x

ε. 22( ) 5 xf x θαη 6 8( ) 5 xg x

ζη. 2( ) lnf x x θαη ( ) ln 2 g x x

51) Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα ηνπ x ζηα νπνία:

α. ε επζεία 4 6 y x είλαη πάλσ από ηελ γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο 3 23( )

2 f x x x .

β. ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο 3 2( ) 7 f x x x βξίζθεηαη πάλσ από ηελ επζεία

7y x .

γ. ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο 2( ) ln ln 1 f x x x βξίζθεηαη θάησ από ηελ γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο ( ) 2ln 3 g x x .

52) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε

2( ) 3 5 2 f x x x .

α. Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .

β. Να απνδεηρζεί όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f

ηέκλεηαη από ηελ επζεία 2 1 y a ζε δπν αθξηβώο

ζεκεία γηα θάζε 1

2a .

53) Γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύεη

32 1 2 (2 )xf x f x x , γηα θάζε x . Να

απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε

δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.


- 6 -

54) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε *: f ηέηνηα ώζηε

γηα θάζε *x λα ηζρύεη

212 ( ) 3 4

xf x xf x x

x.

α. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .

β. Να βξείηε ηα ζεκεία ζηα νπνία ε fC ηέκλεη ηνπο

άμνλεο.

γ. Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε fC δελ

βξίζθεηαη πάλσ από ηνλ άμνλα x x .

55) Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο

2( ) ln 2 f x x x a κε a δηέξρεηαη από

ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. Να βξείηε:



γ. ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε fC βξίζθεηαη θάησ από

ηνλ άμνλα x x ,

δ. ηα ζεκεία ηνκήο ηεο fC κε ηελ επζεία 2ln3y .

56) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) kxf x ae . Αλ ε fC

δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 0 , 5 θαη 21, 5 e ,

λα βξείηε ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο a , k .

57) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) ln 2 f x a x x ,

2 x . Αλ ε fC ηέκλεη ηνλ y y ζην ln 4 θαη ηνλ

x x ζην 2e , λα βξείηε ηα , a .

58) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2 3 2( ) ( ) 4 f x x x θαη

6 2 4

5 3

2 2( )

( ) 3

x x xg x

x x

. Να βξεζνύλ νη

πξαγκαηηθνί αξηζκνί , ώζηε νη γξαθηθέο

παξαζηάζεηο ηνπο λα ηέκλνληαη ζε ζεκεία Α, Β

κε ηεηκεκέλεο – 1 θαη 0 αληίζηνηρα.

59) Να απνδείμεηε όηη νη θνξπθέο ηεο παξαβνιήο 2 4 1 y x x βξίζθνληαη πάλσ ζε κηα

παξαβνιή.

60) Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηηο παξαθάησ

ζπλαξηήζεηο: α. ( ) f x x β. ( ) ln( 2) f x x

γ. ( ) | |f x x δ. 3( ) 1 f x x

ε. 2

( ) 2 1 f x x ζη. ( ) 2f x x

61) Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ


α.

2| 4 |, 2

2( )2

, 2

xx

xf x

xx

β.

1, 0

( ) 2

1 , 2

x xg x

x x

62) Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ


α.

2 , 2

( ) 4, 2

x x

f xx

x

β. 3

ln , 1( )

, 1

x xg x

x x

63) Να βξείηε, κε γξαθηθή κέζνδν , ην πιήζνο ησλ

πξαγκαηηθώλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο ln 0x .

64) Να εμεγήζεηε γξαθηθά αλ ε αλίζσζε ln xx e ,

γηα θάζε 0x είλαη αιεζήο.

§5. ιςότητα ςυναρτήςεων

65) Να εμεηάζεηε αλ είλαη ίζεο νη ζπλαξηήζεηο 3

2

8( )

2 4

xf x

x x θαη

2 2( ) 3 5 11 g x x x x

66) Να εμεηάζεηε αλ είλαη ίζεο νη ζπλαξηήζεηο 2( ) 2 f x x x θαη ( ) 3g x x γηα θάζε 0x .

67) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 3

( ) ln1

xf x

x θαη

( ) ln 3 ln 1 g x x x . Δίλαη νη ζπλαξηήζεηο

απηέο ίζεο ; Υπάξρεη ππνζύλνιν ηνπ ζην

νπνίν απηέο λα είλαη ίζεο;


- 7 -

68) Να εμεηάζεηε αλ νη παξαθάησ ζπλαξηήζεηο f

, g είλαη ίζεο:

α. 1

( )| 1|

xf x

x θαη

2

2

| 9 |( )

9

xg x

x

β. 2 | |

( )| | 1

x xf x

x θαη

3

2( )

1

x xg x

x

γ. 1

( )1

f xx

θαη 2

( )2

xg x

x x

δ.2 9

( ) ln3

xf x

x θαη 2( ) ln 9 ln 3 g x x x

69) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2 2( ) 14 49 14 49 f x x x x x θαη

( ) 2g x x .

α. Να δείμεηε όηη f g θαη λα βξείηε ην επξύηεξν

ππνζύλνιν ηνπ ζην νπνίν είλαη f g .

β. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά, ζην ίδην ζύζηεκα

αμόλσλ, ηηο f , g .

70) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο

( ) 2 1 2 1 f x x x x x θαη

2 , 1 2( )

2 1 , 2

xg x

x x. Να δείμεηε όηη νη

ζπλαξηήζεηο f , g είλαη ίζεο.

71) Γίλνληαη ζπλαξηήζεηο , : f g γηα ηηο

νπνίεο ηζρύεη 2

( ) ( ) 4 ( ) ( )f x g x f x g x , γηα θάζε

x . Να απνδείμεηε όηη νη ζπλαξηήζεηο f θαη g

είλαη ίζεο.

72) Γίλνληαη ζπλαξηήζεηο , : f g γηα ηηο

νπνίεο ηζρύεη

2 2 2( ) ( ) 8 4 ( ) ( ) f x g x x x f x g x , γηα θάζε

x . Να απνδείμεηε όηη νη ζπλαξηήζεηο f θαη

g είλαη ίζεο.

73) Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ηηκέο ησλ πξαγκαηηθώλ

αξηζκώλ a , γηα ηηο νπνίεο είλαη ίζεο νη

ζπλαξηήζεηο 2

2 5( )

7 10

xf x

x x θαη

( )2 5

ag x

x x

.

74) Να πξνζδηνξίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξακέηξνπ

k , ώζηε νη ζπλαξηήζεηο

23 1 1( )

3

k x kf x

x k θαη

7 4( )

4 10

x kg x

x λα είλαη ίζεο.

75) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο : 5 , 5 f κε

2( ) 4 f x a x θαη : , g κε

3 2200 8 16 2000( )

2 20

x x xg x

x

. Να

πξνζδηνξίζεηε ηηο ηηκέο ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ

a , γηα ηηο νπνίεο είλαη f g .

76) Να βξεζνύλ νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί a , ,

ώζηε νη ζπλαξηήζεηο

2( ) 2 1 f x a x x a θαη

2( ) 3 2 3 2 g x a x x a λα είλαη ίζεο.

77) Έζησ , : f g ζπλαξηήζεηο ηέηνηεο

ώζηε (0) 0g θαη γηα θάζε , x y ηζρύεη

2

2 ( ) 1 ( ) ( ) 3 1 6 f x f y g x g y x y . Να

δείμεηε όηη f g .



22 ( ) 1 ( ) ( ) 2 6 3f x f y g x g y x x y .

α. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε x ηζρύεη

22 ( ) 1 2 7 3 f x f x x x .


γ. Να απνδείμεηε όηη f g .

79) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε | | 1 , 2

( ), 2

x xf x

a x

θαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο g ,

όπσο απηή θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα . Να

βξείηε ηνλ a ώζηε λα ηζρύεη f g .



2 24 4 8 0 f x y f x y g y x g y x .

Να δείμεηε όηη f g .


- 8 -

§6. πράξεισ ςυναρτήςεων

81) Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο f g θαη f

g ζηηο

παξαθάησ πεξηπηώζεηο:

α. 2

( )1

xf x

x θαη

2

2

4( )

1

xg x

x

β. ( ) ln 3 f x x θαη ( ) 1 g x x

82) Αλ ( ) 1 f x x x , ( ) 1 g x x x θαη

( ) 1 h x x x , λα βξείηε ηελ ζπλάξηεζε

2f

hg

.

83) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) ln 3 f x x ,

( ) 2 xg x e . Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε

( ) 0

fx

g.

84) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2( ) 2 1 f x x x θαη

1 , 0( )

2 3 , 0

x xg x

x x. Να βξείηε ηηο

ζπλαξηήζεηο 2 f g θαη 2 f

g.

85) Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε f g , ζηηο

παξαθάησ πεξηπηώζεηο:

α.

, , 5( )

4 , 5 , 7

x xf x

x x θαη

2 , 3 , 5( )

5 , 5 ,

x xg x

x x

β.

2 3 , 2 , 5( )

3 1 , 5 , 7

x xf x

x x θαη

2 3 , 3 , 6( )

3 1 , 6 , 8

x xg x

x x

86) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) | 3 | 2 f x x θαη

( ) 3 | 2 1| g x x x . Να γίλεη ε γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f g .

87) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 3 4 , 0

( )2 , 0

x xf x

x x

θαη 1 , 3

( )2 3 , 3

x xg x

x x. Να ιπζεί ε εμίζσζε

2 ( ) ( ) 1 f x g x .

88) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο : f κε 42 ( ) ( ) f x f x x θαη *: g κε

2

13 ( ) 4 ( ) g x g x

x.

α. Να βξεζνύλ νη ηύπνη ησλ ζπλαξηήζεσλ f θαη g .

β. Να νξηζηεί ε ζπλάξηεζε f g .

γ. Να γίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f g .

89) Υπνζέηνπκε όηη κηα ζπλάξηεζε f έρεη πεδίν

νξηζκνύ 0 , 5fD θαη κηα άιιε ζπλάξηεζε g

έρεη πεδίν νξηζκνύ 1, 4 gD . Δπηπιένλ ε g

έρεη ξίδα ηνλ αξηζκό 2. Να βξείηε ην πεδίν

νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο f

h f g gg

.

90) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g , νη

νπνίεο είλαη πεξηηηέο. Να απνδείμεηε όηη:

α. ε f g είλαη άξηηα,

β. ε f g είλαη πεξηηηή.

91) Αλ νη ζπλαξηήζεηο f , g έρνπλ πεδίν νξηζκνύ

ην θαη γηα θάζε x ηζρύεη

( ) ( ) 2 2 ( ) 1 f g x f g x f g x , λα

δείμεηε όηη f g .


- 9 -

§7. σύνθεση συναρτήσεων

92) Αλ ( ) 3 f x x θαη ( ) | |g x x , λα βξεζεί ε

ηηκή (5)g f .

93) Να βξεζνύλ νη ζπλαξηήζεηο g f θαη f g

ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο:

α. 2( ) 9 f x x , ( ) 2 1 g x x

β. ( ) logf x x , 2( ) 1 g x x

94) Αλ ( ) f x x θαη ( ) ln 1 g x x , λα βξείηε :

α. ηε g f θαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο g f ,

β. ηε f g θαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f g .

95) Αλ 2( ) 1 f x x θαη ( ) ln 2g x x , λα βξείηε :

α. ηε g f θαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο g f


96) Αλ ( ) 1 f x x θαη ( ) ln 1 g x x , λα

βξείηε: α. ηε g f θαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο g f


97) Αλ ( ) f x x θαη 2( ) 3 2 g x x x , λα βξείηε:

α. ηε g f θαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο g f


98) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο

3 , 0 3( )

4 , 3 6

x xf x

x x

θαη

2 , 1 4g( )

5 , 4 8

x xx

x x

.

Να νξίζεηε ηελ ζπλάξηεζε f g .

99) Να βξεζεί ε g f ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο:

α. 2( ) f x x , 1 , 4

( )2 1 , 4

x xg x

x x

β. 1 , 0

( )1 , 0

x xf x

x x ,

2 , 2( )

2 , 2

x xg x

x x

100) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2

( )1

xf x

x. Να

βξεζεί ε ζπλάξηεζε f f .


2

6( )

4

x xf x

x

.

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f θαη λα

απινπνηήζεηε ηνλ ηύπν ηεο.

β. Να νξίζεηε ηελ ζπλάξηεζε f f .

102) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( )

axf x

x a

κε

2 a θαη ( ) 4 4 g x x x . Να δείμεηε όηη:

α. ( ) f f x x , γηα θάζε x a

β. ( ) g g x x , γηα θάζε 0 , 4x

103) Αλ ( )1 | |

xf x

x θαη ( )

1 | |

xg x

x, ηόηε λα

απνδείμεηε όηη γηα θάζε x ηζρύεη ( ) g f x x .

104) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) 2 1 f x x θαη

2( ) ln 9 g x x . Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε

( ) 0g f x .

105) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g κε

(2) 2g f θαη 2( ) 3 4 f g x x x , γηα θάζε

x . Να δείμεηε όηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ

ζπλαξηήζεσλ f θαη g έρνπλ έλα ηνπιάρηζηνλ

θνηλό ζεκείν.

106) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) 4f x x θαη

( ) 4 2 4g x x κε . Αλ νη ζπλαξηήζεηο

f f θαη g g είλαη ίζεο, λα βξείηε ηνλ αξηζκό .

107) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) ln 1 f x x x .

Να δεηρζεί όηη: α. Η f έρεη πεδίν νξηζκνύ ην .

β. Αλ ( ) g x x , ηόηε f g f .


- 10 -


( )2

axf x

x. Να βξεζεί

ν a ώζηε γηα θάζε 2 x λα ηζρύεη

( ) f f x x .

109) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) 2 3 f x x , 2( ) g x ax x θαη 2( ) 4 2 h x x x . Να

πξνζδηνξίζεηε ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο a , ,

γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη g f h .

110) Δίλεηαη ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ 0 ,1

Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ ζπλαξηήζεσλ:

α. 2f x β. 4f x γ. lnf x δ. 1xf e

111) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2( ) 4 f x x x ,

2( ) 1 g x x θαη ( ) 2 h x x . Να νξίζεηε ηελ

ζπλάξηεζε f g h .

112) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : 16 , 5 f θαη νη

ζπλαξηήζεηο ( ) 3 4 g x x θαη 2( ) 9 h x x . Να

βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο

( ) ( ) ( ) x f g x f h x .

113) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) xf x e , 2( ) g x x

θαη ( ) h x x . Να γξάςεηε θαζεκία από ηηο

παξαθάησ ζπλαξηήζεηο σο ζύλζεζε ησλ f , g θαη

h :

α. 2

( ) xx e β. 2( ) xx e

γ. 4

( ) xx e δ. 4 2( ) xx e

114) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2( ) 4 f x x ax θαη

( ) 1 g x x .

α. Να βξεζεί ν a ώζηε ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο

f g λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν , a a .

β. Να βξεζεί ν a ώζηε ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο

f g λα βξίζθεηαη πάλσ από ηνλ άμνλα x x , γηα θάζε

x .

115) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : *f θαη ε

ζπλάξηεζε 1

( ) ln1

xg x

x

.

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f g .

β. Αλ επηπιένλ ηζρύεη ( ) 1x f g x , λα βξείηε ηε

ζπλάξηεζε f .

γ. Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f

είλαη ζπκκεηξηθή σο πξνο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.

116) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2

2

1( )

2

xf x

x θαη

( ) 3 g x x a . Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ

πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ a γηα ηηο νπνίεο δελ νξίδεηαη

ε ζύλζεζε g f .

117) Θεσξνύκε ζπλάξηεζε : f ηέηνηα

ώζηε λα ηζρύεη 2( ) 3 4 f f f x x x , γηα θάζε

x . Να δείμεηε όηη (2) 2f .

118) Αλ 2( ) f f x x x , γηα θάζε x , λα

βξείηε ην (0)f .

119) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία

ηζρύνπλ ( ) 4 9 f f x x θαη

( ) 8 f f f x x a γηα θάζε x , όπνπ a

πξαγκαηηθόο αξηζκόο.

α. Να απνδείμεηε όηη 4 9 4 ( ) 9 f x f x γηα θάζε

x .

β. Να δείμεηε όηη (3) 3f .

γ. Να βξείηε ηνλ αξηζκό a .

δ. Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε f .

120) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο g ζηηο παξαθάησ

πεξηπηώζεηο:

α. ( ) 3 2 f x x , 2( ) 4 2 g f x x x , x

β. ( ) 2 7 f x x , 2( ) 1 g f x x x , x


( ) 2 1 f x x θαη 2( ) 4 4g f x x . Να νξίζεηε

ηελ ζπλάξηεζε g .

122) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο f θαη g γηα ηηο

νπνίεο ηζρύνπλ ( ) 2 1f g x x θαη 3 2

( )1

xg x

x

.

Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο ζπλάξηεζεο f .

123) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 2 xf x e θαη ε

ζπλάξηεζε : 2 , g .

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο g f .

β. Αλ επηπιένλ ηζρύεη 3( ) xg f x x e , λα βξείηε

ηελ ζπλάξηεζε g .


- 11 -


( ) 3 2 g x x θαη 2( ) 3 6 10 g f x x x . Να

βξείηε:

α. ηελ ζπλάξηεζε f ,

β. ηα x γηα ηα νπνία ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f

βξίζθεηαη πάλσ από ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο g .


( ) 2 3 g x x θαη ( ) 2 1 15 x xg f x e e . Να

βξείηε: α. ηελ ζπλάξηεζε f ,

β. ηα ζεκεία ηνκήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f

κε ηνπο άμνλεο.

126) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο g εάλ ( ) 5 3 f x x

θαη 2 1 , 2

( )4 , 2

x xg f x

x x.

127) Αλ νη ζπλαξηήζεηο f θαη g είλαη άξηηεο θαη ε

ζπλάξηεζε g f νξίδεηαη ζην , λα απνδείμεηε όηη

ε g f είλαη άξηηα.

§8. μονοτονία συνάρτησης

128) Να βξεζεί ε κνλνηνλία ησλ παξαθάησ


α. 5 3( ) 3 2 5 7 f x x x x β. ( ) 4 1 g x x

γ. 3( ) 2 2 ln h x x x δ. 3 2( ) 2 8 xx x e

129) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε

( ) 2 3ln f x x x είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην

δηάζηεκα 0 , .

130) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηηο

παξαθάησ ζπλαξηήζεηο: α. ( ) 1 | | f x x x β. ( ) 1 | | g x x x

γ.

52 , 0( )

1 , 0

x xh x

x x δ.

2 , 1( )

3 ln 1 , 1

xe x xx

x x

131) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε 2 2( ) 4 4 10 25 f x x x x x είλαη ζηαζεξή

ζην 2 , 5 .

132) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε θαη

γλεζίσο αύμνπζα ζην Δ, ηόηε λα απνδείμεηε όηη ε

ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην Δ.

133) Έζησ f , g δπν ζπλαξηήζεηο κε θνηλό πεδίν

νξηζκνύ ην δηάζηεκα Δ, νη νπνίεο παίξλνπλ ζεηηθέο

ηηκέο γηα θάζε x θαη νη νπνίεο είλαη γλεζίσο

αύμνπζεο ζην Δ. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε

1 1

f g είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην Δ.

134) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε θαη

γλεζίσο αύμνπζα ζην Δ θαη ( ) 0f x , γηα θάζε

x ηόηε λα απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε 1

f είλαη

γλεζίσο θζίλνπζα ζην Δ.

135) Έζησ ζπλάξηεζε f νξηζκέλε θαη γλεζίσο

κνλόηνλε ζην Δ. Αλ γηα θάζε x ηζρύεη ( ) 0f x ,

λα απνδείμεηε όηη θαη ε ζπλάξηεζε ( ) ( )g x f x

είλαη γλεζίσο κνλόηνλε ζην Δ κε ην ίδην είδνο κνλνηνλίαο.

136) Έζησ νη ζπλαξηήζεηο f θαη g νξηζκέλεο ζε

έλα δηάζηεκα Δ θαη γηα θάζε x ηζρύεη ( ) 0f x

θαη ( ) 0g x . Να απνδείμεηε όηη:

α. αλ νη f , g είλαη γλεζίσο αύμνπζεο ζην Δ, ηόηε ε

ζπλάξηεζε f g είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην Δ.

β. αλ νη f , g είλαη γλεζίσο θζίλνπζεο ζην Δ, ηόηε ε

ζπλάξηεζε f g είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην Δ.

137) Έζησ νη ζπλαξηήζεηο f θαη g κε Δ πεδίν

νξηζκνύ ηεο g f . Να απνδείμεηε όηη ε g f

είλαη:

α. γλεζίσο αύμνπζα ζην Δ, όηαλ νη f θαη g έρνπλ ην

ίδην είδνο κνλνηνλίαο ζην Δ,

β. γλεζίσο θζίλνπζα ζην Δ, όηαλ νη f θαη g έρνπλ

δηαθνξεηηθό είδνο κνλνηνλίαο ζην Δ.


- 12 -

138) Μηα ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο

κνλόηνλε ζην θαη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε

δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1, 3 θαη 7 ,11 . Να

απνδείμεηε όηη: α. (0) (3) 14 f f .

β. Γηα θάζε 6 , 7a ηζρύεη 1 3 22 f a f a .

139) Δίλεηαη γλεζίσο κνλόηνλε ζπλάξηεζε

: f , ηεο νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε

δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1, 5 θαη 2 , 7 .

α. Να βξείηε ην είδνο ηεο κνλνηνλίαο ηεο f .

β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε | | 4 6 5 0 f f x .

140) Έζησ ζπλάξηεζε : f γλεζίσο

θζίλνπζα. α. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε ( ) ( ) g x f x x είλαη

γλεζίσο θζίλνπζα.

β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε 2 4 5 20 2 9 20x x xa a x x ,

0 1 a .

141) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε

3( ) 1 ln 1 xf x x x e .

α. Να κειεηεζεί ε κνλνηνλία ηεο ζπλάξηεζεο f .

β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε 3ln 1 1 xx x e .


6 8( ) 1

10 10

x x

f x .

α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα.

β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε 6 8 10 x x x .

γ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε 2 2 1 2 1 2

6 8 6 8

10 10 10 10

x x x x

.

143) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) ln f x x x .

α. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε f σο πξνο ηελ

κνλνηνλία.

β. Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x ε fC βξίζθεηαη

θάησ από ηελ επζεία 1y .

γ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε

2 2 4 4

2 1 4 4 ln2 1

xx x

x

.

144) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 2 xf x x .


κνλνηνλία.

β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε 23 2 6 22 2 5 6 x x xx x .

145) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 1 xf x a x ,

0 1 a .

α. Να κειεηήζεηε ηελ κνλνηνλία ηεο ζπλάξηεζεο.

β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε 2 2 1 0 xa x , 0 1 a .

γ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε 2 1 7 2 6 x xa a x x ,

0 1 a .


( ) ln 1f x xx

.

Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:

α. 1

ln 1xx

.

β. 2 1 3

ln2 2 1

a a

a a

.

γ.

2 1 3ln

2 2 1 2

a a

a a a

.

147) Δίλεηαη γλεζίσο θζίλνπζα ζπλάξηεζε

: f , ηεο νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε

δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 2 . Θεσξνύκε

επίζεο θαη ηελ ζπλάξηεζε

( ) 3 ( ) ( ) g x f x f f x .

α. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε g σο πξνο ηελ

κνλνηνλία. β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε

3 | | 1 | | 1 f x f f x .

148) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g , γηα

ηηο νπνίεο ηζρύεη ( ) 2 5 4 g x f x f x , γηα

θάζε x θαη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο

θζίλνπζα. α. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε g σο πξνο ηελ

κνλνηνλία.

β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε 2 0 xg e .

149) Η ζπλάξηεζε : f είλαη γλεζίσο

κνλόηνλε θαη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε

δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 0 , 2 θαη 2 , 0 .Να

ιύζεηε ηελ αλίζσζε

2 3 1 5 3 6 f x f x f x f x .

150) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : 0 ,f γηα ηελ

νπνία ηζρύεη ( ) ln ( )f xe f x x γηα θάζε x .

Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο

θζίλνπζα.


- 13 -


ηζρύεη 3 ( ) ( )f x f x x γηα θάζε x .

α. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο

αύμνπζα. β. Να βξείηε ην (0)f .

γ. Να βξείηε ην πξόζεκν ηεο ζπλάξηεζεο 3( ) ( )g x xf x .


2009 2011

( ) 2010 1 1 2009 f x x x .

α. Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία.

β. Να βξείηε ην (0)f .

γ. Να βξείηε ην πξόζεκν ηεο f .


αύμνπζα κε (1) 0f .

α. Να βξείηε ην πξόζεκν ηεο f .

β. Να ιύζεηε ηηο αληζώζεηο 25 0 f θαη

2 5 7 5 f f .

γ. Να δείμεηε όηη: αλ , a κε 02

a

, ηόηε

f a f .

δ. Να βξείηε ην πξόζεκν ηεο ζπλάξηεζεο ( )

( )1

f xg x

x.

154) α. Δίλνληαη ζπλαξηήζεηο , : f g

ηέηνηεο, ώζηε ε g λα είλαη γλεζίσο θζίλνπζα

θαη ε g f λα είλαη γλεζίσο αύμνπζα. Να

απνδείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα.

β. Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f ηέηνηα,

ώζηε ε ζπλάξηεζε ( ) 3( ) ( ) 2 f xh x e f x , λα

είλαη γλεζίσο αύμνπζα.

i. Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία.

ii. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε

2 4

1 10

2 2

f x x f x

.

155) Να ιπζεί ε αλίζσζε 3 29 xx e .

156) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : 0 , 0 ,f

γηα ηελ νπνία ηζρύεη ( ) 3 2( ) 2 ( ) ln 1f xe f x f x x x x , γηα θάζε

0x . Να κειεηεζεί ε ζπλάξηεζε f σο πξνο ηελ

κνλνηνλία.

157) Υπνζέηνπκε όηη κηα ζπλάξηεζε f είλαη

γλεζίσο αύμνπζα ζην θαη γηα θάζε , x y

ηζρύεη ( ) ( ) ( ) f x f y f xy . Να ιπζεί ε αλίζσζε

2 5 4 2 4 1 f x f x f x f x .

158) α. Αλ ε ζπλάξηεζε : ( ) f f είλαη

γλεζίσο αύμνπζα , λα απνδείμεηε όηη γηα θάζε x ηζρύεη ε ηζνδπλακία

( ) ( ) f f x x f x x .

β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε

5

5 51 1 1 x x x x x .

§9. ακρότατα συνάρτησης

159) Να βξεζνύλ ηα αθξόηαηα ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ:

α. ( ) 3 | 2 | 5 f x x β. 2( ) 4 1 f x x x

γ. 2 1( )

2 f x x x

160) Να βξεζνύλ, αλ ππάξρνπλ, ηα αθξόηαηα ηεο

ζπλάξηεζεο 3 2 , 3

( )14 , 3

x xf x

x x.

161) Δίλεηαη ε πεξηηηή ζπλάξηεζε : f , ηεο

νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε δηέξρεηαη από ην

ζεκείν 5 ,1 . Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε

2( ) ( ) 2 ( ) 4 g x f x f x έρεη ειάρηζην, ην νπνίν θαη

λα βξείηε.

162) Δίλεηαη ε πεξηηηή ζπλάξηεζε : f , ηεο

νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε δηέξρεηαη από ην

ζεκείν 3 , 1 . Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε

2

2 ( )( )

1 ( )

f xg x

f x έρεη ειάρηζην ην 1 m θαη κέγηζην

ην 1 .


- 14 -

163) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε 2

2

1( )

1

x xf x

x x, έρεη ειάρηζην

1

3m θαη κέγηζην

3 .

§10. 1-1 συνάρτηση

164) Να εμεηαζηνύλ εάλ είλαη 1 – 1 νη παξαθάησ

ζπλαξηήζεηο:

α. 2

( )1 2

x

xf x

β. ( ) 3 1 f x x

γ. ( )

x x

x x

e ef x

e e δ.

1( )

1

xf x

x

165) Να απνδείμεηε όηη είλαη 1 – 1 ε ζπλάξηεζε

1 2( )

1

x

x

ef x

e.

166) Να απνδείμεηε όηη είλαη 1 – 1 ε ζπλάξηεζε

2( ) f x x x , 0 ,2

x

.

167) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3 2( ) 3 4 f x x x .

α. Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο γξαθηθήο

παξάζηαζεο ηεο f κε ηνλ άμνλα x x .

β. Να εμεηάζεηε αλ ε f είλαη 1 – 1.


ηζρύεη 2 3 3 ( ) 1 x f x x f x , γηα θάζε

x .

α. Να βξείηε ηηο ηηκέο (0)f θαη (2)f .

β. Να εμεηάζεηε αλ ε f είλαη 1 – 1.

169) Να απνδείμεηε όηη δελ είλαη 1 – 1 ε


2

1( )

1

xf x

x, x .

170) Να εμεηαζηνύλ εάλ είλαη 1 – 1 νη παξαθάησ


α.

3 2 , 2 , 3( )

4 , 4 , 7

x xf x

x x

β. 3 , 0

( )2 1 , 0

x xf x

x x


ηζρύεη ( ) f f x x , γηα θάζε x . Να

απνδείμεηε όηη: α. ε f είλαη πεξηηηή,

β. ε f είλαη 1 – 1.


ηζρύεη 3( ) ( ) 3 2 f f x f x x , γηα θάζε x .

Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.

173) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : 0 , f κε ηελ

ηδηόηεηα 5( ) 3 ( ) ln 2 1 f x f x x , γηα θάζε 0x .

Να απνδείμεηε όηη θαη ε f είλαη 1 – 1 ζην 0 , .


2( ) 5 9 f f x x x θαη 2( ) ( ) 3 g x x xf x , γηα

θάζε x . Να απνδείμεηε όηη:

α. (3) 3f .

β. Η g δελ είλαη 1 – 1.

175) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f , γηα ηελ

νπνία ηζρύεη 2( ) 3 4 f f x x x , γηα θάζε x

Να απνδείμεηε όηη: α. (2) 2f .

β. Η ζπλάξηεζε 2( ) ( ) 4 g x x xf x δελ είλαη 1 – 1.

176) Να ιπζνύλ νη παξαθάησ εμηζώζεηο:

α. 71 xe x β. ln 1 2 x x

177) Να απνδείμεηε ε ζπλάξηεζε ( ) xf x a x ,

0 1 a είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην . Σηε

ζπλέρεηα λα ιύζεηε σο πξνο ηελ εμίζσζε

2 4 2 2 4 2 a a .

178) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3( ) f x x x .

α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.

β. Να ιπζεί ε εμίζσζε 3 3

1 1 x xe x e x .


- 15 -

179) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) ln f x x x .


β. Να ιπζεί ε εμίζσζε 2

2

1ln

1

xx x

x.

180) Η ζπλάξηεζε : f ηθαλνπνηεί ηελ

ζρέζε 3( ) ( ) 2 3 f f x f x x , γηα θάζε x .

α. Να δείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.

β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε 32 4 f x x f x .

181) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f , ηέηνηα ώζηε

γηα θάζε x , λα ηζρύεη 3 3( ) ( ) 27 8 f x f x x .


β. Να ιπζεί ε εμίζσζε ( ) 0f x .

γ. Να ιπζεί ε εμίζσζε 2ln 2ln 3f x f x .

182) Δίλεηαη ζπλάξηεζε *: f , γηα ηελ νπνία

ηζρύεη ( ) 2 ( ) f f x x f x , γηα θάζε x .


β. Να βξείηε ηελ ηηκή (3)f .

γ. Να ιπζεί ε εμίζσζε

1 | | 1 2 0 f x f x f x .

183) Γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύνπλ

( ) 9 4 f f x x θαη ( ) 27 13 f f f x x , γηα

θάζε x .


β. Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε f .

γ. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα.

184) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε

7 75 5

ln 4 1 ln 3 5 2 3 5 2 4 14 1 3 5

x x x xx x

185) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3( ) 8 xf x x , x .


β. Να ιπζεί ε εμίζσζε 23 3 1 8 1 8 x x xx x .

γ. Να ιπζεί ε αλίζσζε 3 38 27 9 0 x x .

186) Αλ ε ζύλζεζε f g είλαη 1 – 1 ζην ζύλνιν

Α, λα απνδείμεηε όηη θαη ε g είλαη 1 – 1 ζην Α.

187) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g γηα ηηο

νπνίεο ηζρύεη 3( ) 3 ( ) 2 g f x x f x , γηα θάζε

x . Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.

188) Να απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη ζπλάξηεζε

: f ε νπνία είλαη 1 – 1 θαη ηθαλνπνηεί ηελ

ζρέζε 4 2 22 1 f x f x .

189) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 5 3

1 1 13 3 0 x x xe x e x e x .

β. 2 23 3

2 2 22 1 2 2 3 4 2 2 x x x xx x x x .

190) Αλ ε ζπλάξηεζε : f είλαη γλεζίσο

κνλόηνλε θαη ηζρύεη ( ) 2 f x f y f x y , γηα

θάζε , x y , λα δείμεηε όηη ( ) 2 f x x .

191) Έζησ : 0 , 0 , f ζπλάξηεζε

ηέηνηα ώζηε ( ) ( )f f x xf x . Να δείμεηε όηη:

α. ε f είλαη 1 – 1,

β. (1) 1f ,

γ. Αλ 0 , 0 , f , ηόηε ( )

f xf x

x, γηα

θάζε 0 , x .

192) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε * *: f ηέηνηα

ώζηε γηα θάζε , x y λα ηζρύεη ( ) ( ) ( )f xy f x f y .

Αλ ε εμίζσζε ( ) 1f x έρεη κνλαδηθή ξίδα, λα

απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη 1 – 1.

§11. αντίστροφη

συνάρτηση

193) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε 3 47 5

( )2

xef x έρεη αληίζηξνθε θαη λα ηελ βξείηε.


- 16 -

194) Να βξεζεί, αλ ππάξρεη, ε αληίζηξνθε ησλ

παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ:

α. ( ) 3 2 f x x β. 3 1

( )1

xg x

x

γ. ( ) 8 3 h x x δ. ( ) 5 ln 2x x

ε. 2 , 3

( )2 5 , 3

x xf x

x x

ζη. ln 2 , 0 1

( )1 , 1

x xg x

x x

195) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 32 1

( )5

xf x .

α. Να κειεηεζεί σο πξνο ηελ κνλνηνλία. β. Να δείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ

1f .

196) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : 2 , f κε

2( ) 4 5 f x x x .


β. Να βξείηε ηελ 1f .

197) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : , 4 f κε

2( ) 8 10 f x x x .




3

1( ) ln

8

xf x

x.

α. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη ε 1f .


γ. Να βξείηε ηα ζύλνια ηηκώλ ησλ ζπλαξηήζεσλ f

θαη 1f .

199) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3( ) 2 1 xf x e .



γ. Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο γξαθηθήο

παξάζηαζεο ηεο 1f κε ηνπο άμνλεο.


( )1

xf x

x. Να

εμεηάζεηε αλ ηζρύεη 1f f .

201) Να βξεζνύλ ηα θνηλά ζεκεία ηεο γξαθηθήο

παξάζηαζεο ηεο ( ) 2 1 f x x θαη ηεο 1f .

202) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) 1 f x x ,

1, x θαη 2( ) g x x , , 0 x . Να

απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g f είλαη γλεζίσο

αύμνπζα θαη λα ιπζεί ε εμίζσζε 1( )

g f x x .

203) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) 1 xf x e θαη

1( )

1

x

x

eg x

e.

α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη «1 – 1» θαη λα βξείηε

ηελ 1f .

β. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη πεξηηηή.

γ. Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε 1g f .

204) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 2 f x a x ,

, a . Να βξεζνύλ ηα a , ώζηε ε f λα

αληηζηξέθεηαη θαη λα ηζρύεη 1f f .

205) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : 0,f γηα ηελ

νπνία ηζρύεη ln ( ) 1x

f x f xe

γηα θάζε

0,x


β. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1 θαη λα νξίζεηε

ηελ 1f .

206) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f , ηέηνηα

ώζηε γηα θάζε x , ηζρύεη 3 ( ) 6 ( ) 3 0 f x f x x .

Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα

βξεζεί ε 1f .

207) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f , ε νπνία έρεη

ζύλνιν ηηκώλ ην θαη ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε 3 ( ) 2 ( ) 0 f x f x x , γηα θάζε x .

α. Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f

δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. β. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη αληηζηξέςηκε.

γ. Να νξίζεηε ηελ 1f .

208) Δίλεηαη ζπλάξηεζε *: f γηα ηελ

νπνία ηζρύεη 3 ( ) ( ) 1 0 f x xf x , γηα θάζε *x .

α. Να απνδείμεηε όηη ( ) 0f x , γηα θάζε *x .

β. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.

γ. Να βξείηε ηελ αληίζηξνθε ηεο f .


( ) f θαη ( ) f f g f x x γηα θάζε x .

Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη όηη ηζρύεη 1( ) ( ) ( ) f x f x g x , γηα θάζε x .


- 17 -

210) Οη ζπλαξηήζεηο , : f g έρνπλ ηελ

ηδηόηεηα 3( ) 3 ( ) 3 g f x x f x , γηα θάζε x

Να δείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη.

211) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) 4 2 f x x θαη 1( ) 2 ( ) 1 g x f x . Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε 1g .


ηζρύεη (2) 10f θαη ( ) 3 5 f f x x , γηα θάζε

x .

α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη αληηζηξέςηκε.

β. Να ππνινγίζεηε ην 1(2)f .

γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε 1 | | 2 5 2 f f x .

213) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3( ) 2 10 f x x x .


β. Να βξεζεί ε ηηκή 1( 10) f .

γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε 1( ) ( ) f x f x .

δ. Να ιπζεί ε αλίζσζε 1 3 12

1

xf

x.

214) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 5( ) 1 f x x x .


β. Να ππνινγίζεηε ην 1(1)f .

γ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε 1 2 12 3 5 f x f x .


κνλόηνλε θαη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε δηέξρεηαη

από ηα ζεκεία 1, 5 θαη 3 , 8 .

α. Να ιπζεί ε εμίζσζε 1 23 3 3 3

f f x x .

β. Να ιπζεί ε αλίζσζε 1 2 102 8

1

xf f

x.


κνλόηνλε θαη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε δηέξρεηαη

από ηα ζεκεία 3 , 2 θαη 5 , 9 .

α. Να ιπζεί ε εμίζσζε 1 22 9

f f x x .

β. Να ιπζεί ε αλίζσζε 1 2 8 2 2

f f x x .

217) Δίλεηαη ζπλάξηεζε f γηα ηελ νπνία ηζρύεη

( ) 3 2 f f x x , γηα θάζε x .

α. Να δείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη.

β. Να δείμεηε όηη 3 2 3 ( ) 2 f x f x .

γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε ( ) f x x .


ηζρύεη 5 32 ( ) ( ) f x f x x x x , γηα θάζε x .

α. Να δείμεηε όηη ε f είλαη πεξηηηή.

β. Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία.


ηζρύεη 3 ( ) 2 ( ) 4 0 f x f x x , γηα θάζε x .

α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 - 1.

β. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο 1f .

γ. Να ππνινγίζεηε ην (0)f θαη ην 3

4

f .

δ. Να ιπζεί ε εμίζσζε 1( ) ( ) f x f x .

220) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f κε ζύλνιν

ηηκώλ ην γηα ηελ νπνία ηζρύεη 3 ( ) 2 ( ) 0 f x f x x .


β. Να νξίζεηε ηελ ζπλάξηεζε 1f .

γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε ( 9 15) 1f x x .

221) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε f ε νπνία είλαη

γλεζίσο θζίλνπζα ζην θαη ζπλάξηεζε g γηα

ηελ νπνία ηζρύεη ( ) ( ) g x f x x , γηα θάζε x .

α. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη γλεζίσο

θζίλνπζα ζην .

β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε

2 22 2 2 2 f x x x f x x x .

γ. Αλ ( ) 2 2f x x , γηα θάζε 0 , x λα

εμεηάζεηε αλ νξίδεηαη ε 1g . Σηελ πεξίπησζε πνπ

νξίδεηαη, λα βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ θαη ηνλ ηύπν ηεο.

222) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g γηα

ηηο νπνίεο ε g f θαη ε g είλαη 1 - 1 ζην θαη

επηπιένλ ( ) 3 2f f x x , γηα θάζε x .

α. Να δείμεηε όηη θαη ε f είλαη 1 - 1.

β. Να δείμεηε όηη (1) 1f .

γ. Αλ επηπιένλ ηζρύεη 31 1 xg f e x , γηα θάζε

x κε 1(1) 5 g , λα ππνινγίζεηε ηελ ηηκή 1(5)f .


- 18 -

223) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g θαη ε

ζπλάξηεζε g f ε νπνία είλαη 1 - 1.

α. Να δείμεηε όηη θαη ε f είλαη 1 - 1.

β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε 2 22 1 3 1 f x f x x .

γ. Αλ ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα λα ιύζεηε ηελ

αλίζσζε 1 2 11 1 f x f x .

224) Θεσξνύκε f , g ζπλαξηήζεηο ηέηνηεο ώζηε

γηα θάζε x λα ηζρύεη ( ) 3 2 2 ( ) f x f x g x .

α. Απνδείμηε όηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ f , g

έρνπλ έλα ηνπιάρηζηνλ θνηλό ζεκείν.

β. Αλ γηα θάζε x ηζρύεη 2( ) 2 1 f x f x x x

λα βξεζνύλ νη ηύπνη ησλ f , g θαη ην θνηλό ζεκείν

ησλ fC , gC .

γ. Να εμεηάζεηε αλ νξίδνληαη νη ζπλαξηήζεηο 1f θαη 1g .

§12. πεπεραςμένο

όριο ςτο χο

225) Να γίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ησλ

παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ θαη ζηε ζπλέρεηα λα βξείηε ηα δεηνύκε όξηα:

α. 1

( ) f xx

, 0

( )limx

f x β. 3( ) f x x ,

0

( )limx

f x

γ. 2 1

( )1

xf x

x ,

1

( )limx

f x δ. ( ) | | 1 f x x ,

0

( )limx

f x

ε. | 1 |

( )1

xf x

x ,

1

( )limx

f x

ζη.

2 1 , 2

( ) 6, 2

x x

f xx

x

, 2

( )limx

f x

226) Με βάζε ην παξαθάησ ζρήκα, λα

ππνινγηζηεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο

0 3 3

( ) ( ) ( )lim lim lim

x x x

f x f x f x .

227) Σην παξαθάησ ζρήκα δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο f . Να βξείηε ηα

παξαθάησ όξηα:

α. 0

( )limx

f x , 0

( )limx

f x , 0

( )limx

f x

β. 2

( )limx

f x , 2

( )limx

f x , 2

( )limx

f x

γ. (2)f

228) Σην παξαθάησ ζρήκα δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο f . Να βξείηε ηα

παξαθάησ όξηα:

α. 0

( )limx

f x , 0

( )limx

f x , 0

( )limx

f x

β. 2

( )limx

f x , 2

( )limx

f x , 2

( )limx

f x

γ. (2)f


- 19 -

229) Δίλεηαη ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζην

0 0, ,a x x γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ

0

3( ) 4lim

x x

f x θαη 0

( ) 3 4lim

x x

f x , όπνπ

. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ , ώζηε λα

ππάξρεη ην 0

( )limx x

f x .

230) Δίλεηαη ζπλάξηεζε f γηα ηελ νπνία ην

πεδίν νξηζκνύ ηεο πεξηέρεη έλα ζύλνιν ηεο

κνξθήο 0 0, ,a x x . Αλ 2

0

( )lim

x x

f x e θαη

0

2( )lim

x x

f x e λα βξεζεί ν , ώζηε λα

ππάξρεη ην 0

( )limx x

f x .


ηζρύνπλ 2

( ) 2lim

x

f x θαη 2

( ) 2lim

x

f x ,

όπνπ , . Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ θαη

γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη 2

( ) 5lim

x

f x .


ηζρύεη 0

2 4lim

h

f h . Να βξείηε ηα όξηα:

α. 2

( )limx

f x β. 2

( ) 4lim

x

f x

γ. 2

( ) 1lim

x

f x δ. 2

( ) 6lim

x

f x


ηζρύνπλ 2

( ) 1lim

x

f x θαη 2

( ) 5 9lim

x

f x ,

όπνπ . Αλ ππάξρεη ην όξην 2

( )limx

f x , ηόηε

λα βξείηε: α. ηελ ηηκή ηνπ ,

β. ην όξην 0

2lim

h

f h ,

γ. ην όξην 2

( ) 5lim

x

f x .

234) Αλ 2

( ) 5lim

x

f x θαη 2

( ) 3lim

x

g x , λα

ππνινγίζεηε ην όξην 3

22

( ) 5 ( )

( ) 1lim

x

f x g x

g x.

235) Αλ 1

( )lim

x

f x θαη 2

1

5 ( )2

( ) 1lim

x

f x

f x,

λα βξείηε ην .

236) Να βξεζεί, αλ ππάξρεη, ην όξην ηεο

ζπλάξηεζεο f ζην ζεκείν 0x , όηαλ:

α. ( ) f x x , 0 0x β. ( ) f x x , 0

2

3x

γ. ( ) f x x , 0

97

6x

237) Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ όξηα:

α. 2012

1lim

x

x β. 2

2

2

16lim

x

x x

γ. 5 4 3 2

1

1lim

x

x x x x δ. 400

1lim

x

x

ε. 3 2

2 2 2lim

x

x x x

x ζη.

2

0

5 25

2 1lim

x

x

x

238) Αλ 1

( )lim

x

f x , 1

( )lim

x

g x m ,

1

5 ( ) 2 ( ) 60lim

x

f x g x θαη

1

7 ( ) 3 ( ) 85lim

x

f x g x , λα βξείηε ηνπο

πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο θαη m .

239) Έζησ ζπλαξηήζεηο f , g γηα ηηο νπνίεο

ηζρύεη 2

[ ( ) 2 ( )] 3lim

x

xf x g x θαη

2

[ ( ) 1 4 ( )] 5lim

x

f x x g x . Να βξεζνύλ ηα

2

( )limx

f x θαη 2

( )limx

g x .


α. 2

1

2

1lim

x

x x

x β.

22

2

6lim

x

x

x x

γ. 2

21

2

3 2lim

x

x x

x x δ.

2

0

5 25lim

x

x

x

ε. 3 2

32

3 9 2

3 2lim

x

x x x

x x

ζη.

3 2

22

2

4lim

x

x x x

x

δ. 3

42

8

16lim

x

x

x ε.

2

51

2

1lim

x

x x

x

ζ. 3 2

23

2 5 4 3

6lim

x

x x x

x x η.

2 3

1

2 3

1 1lim

x x x


α. 0

4 16lim

x

x

x β.

0 1 3 1lim

x

x

x

γ. 0

1 1lim

x

x

x δ.

1

5 2

1lim

x

x

x


- 20 -


α. 5

2 10

5 5lim

x

x

x β.

4

4

3 5lim

x

x

x

γ. 0

2 2lim

x

x

x δ.

20

5 5

4 4lim

x

x

x

ε. 2

22

1 2 1 6

5 7lim

x

x x

x x ζη.

3

0

1 1

1 1lim

x

x

x


ηζρύεη 2

( ) 2lim

x

f x . Να βξείηε ην όξην

3

22

( ) 8

4 ( ) 12lim

x

f x

f x.


ηζρύεη 3

( ) 2lim

x

f x . Να βξείηε ηα όξηα:

α. 2

3

( ) 4

( ) 7 3lim

x

f x

f x β.

23

( ) 2 ( )

( ) 5 3lim

x

f x f x

f x


, 3( ) 3

3 5 , 3

xx

f x x

x x

. Να βξείηε, αλ ππάξρνπλ,

ηα όξηα:

α. 4

( )limx

f x β. 2

( )limx

f x γ. 3

( )limx

f x


2

2

1, 1

3 2( )

3 5 2, 0 1

xx

xf x

x xx

x x

. Να βξείηε, αλ

ππάξρεη, ην όξην 1

( )limx

f x .


2

2

2, 4 0

4 2

( ) 1 , 0 2

2, 2

3 2

x xx

x

f x x x

x xx

x x

.


β. Να βξείηε, αλ ππάξρνπλ, ηα όξηα:

i. 0

( )limx

f x ii. 2

( )limx

f x

248) Να βξείηε ηα δεηνύκελα όξηα ησλ παξαθάησ


α. 1

( )limx

f x ,

2

3

2, 1

1( )

8, 1

3

x xx

xf x

xx

β. 0

( )limx

f x , 2

1 1, 1 0

( )

, 0

x xx

xf x

x xx

x


α. 2

20

3 2 | |

3 | |lim

x

x x

x x β.

2 2

5

| 5 | 7 10

5lim

x

x x x x

x

γ. 1

9 | 2 | 3 | |

1limx

x x

x

δ.

23

| 3 | 10 | 4 | 10

9lim

x

x x

x

ε. 2

2

| 2 | 2

2lim

x

x x x

x ζη.

2

2

| 3 | 2 | 1| 7

2lim

x

x x

x

δ. 2 2 32 3

| |lim

x a

ax a x a

x a ε.

2

2

4 | 2 | | 7 | 3

| | 2lim

x

x x

x

ζ. 2

1

| 1 |

1lim

x

x

x


α. 6

2 4 4

| 6 |lim

x

x

x β.

2

3 | 1| 2 | 4 | 7

1 1lim

x

x x

x

γ. 2

22

| 5 11 |

4lim

x

x x

x ε.

2

21

2 3 1

3 8 10lim

x

x x x

x x

δ.

2

1

| 13 | 13

1lim

x

x x

x ζη.

2 3

23

3 9

9lim

x

x x x x

x


α. 2

1

11

lim

x

xx

x β.

3 4

51

3lim

x

x x x

x x

γ. 2

31

1

1lim

x

x

x δ.

3 5

641

3

3lim

x

x x x

x x x

ε. 5 3

3 50lim

x

x x

x x ζη.

2

4

4 8 16

12 5 4lim

x

x x x

x x

δ. 3 2

21

2

3 2lim

x

x x x

x x ε.

3

22

4 1 25

4lim

x

x x

x

ζ. 44

332

2

2lim

x

x

x η.

3 22

1 2 1lim

x x x x x

ηα. 2

1

1 1

1lim

x

x x

x ηβ.

2

21

1

1lim

v v

x

x x

x


- 21 -

252) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : 1, f , γηα

ηελ νπνία ηζρύεη 2

( ) 3lim

x

f x . Να βξείηε ην όξην

2

2

( ) 2 ( ) 5 ( ) 5

( ) 1 2lim

x

f x f x f x

f x.

253) Δίλεηαη πνιπώλπκν ( ) x , ηνπ νπνίνπ ε

γξαθηθή παξάζηαζε δηέξρεηαη από ην ζεκείν

1, 3 . Να βξείηε ην όξην

2 2

21

( ) 2 ( ) 2

3 2lim

x

x x x x x

x x.

254) Αλ 1

2 ( ) 5 2 2lim

x

f x x , λα βξεζεί ην

1

( )limx

f x .

255) Αλ γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύεη

2

5 ( ) 18

( ) 3lim

x

f x

f x, λα βξείηε ην

2

( )limx

f x .

256) Αλ γλσξίδνπκε όηη 0

( )0

( )lim

x x

f x a

f x a, λα

βξείηε ην 0

( )limx x

f x .

257) Αλ 0

( ) 1lim

x

f xm

x, λα απνδείμεηε όηη

0

( ) 1lim

x

f x .

258) Αλ γηα ηελ ζπλάξηεζε : f ηζρύεη

0

( )4

1 1lim

x

f x x

x, ηόηε λα βξεζεί ην

0

( )limx

f x


ηζρύεη όηη 2

2

( ) 8 6lim

x

xf x x . Να βξείηε, αλ

ππάξρνπλ, ηα όξηα 2

( )limx

f x θαη

2

2

( ) 5 ( )

( ) 1 2lim

x

f x f x

f x.

260) Αλ 1

( ) 11

1lim

x

f x

x, λα βξείηε ην

2

1

( ) 1

1lim

x

x f x

x.

261) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f ηέηνηα

ώζηε 2

2

( ) 2 3lim

x

f x x x . Να απνδείμεηε

όηη 2

22

( ) 2 ( ) 32

( ) 1lim

x

f x f x

f x.


ηζρύεη όηη 2

2

( ) 52

4lim

x

f x x

x. Να βξείηε, αλ

ππάξρνπλ, ηα όξηα:

α. 2

( )limx

f x β.

2

( ) 3

2lim

x

f x

x

γ. 2

22

( ) 2 ( ) 3

6 8lim

x

f x f x

x x

263) Αλ 1

( ) 22

1lim

x

f x

x

λα βξείηε ηα όξηα:

α.1

( ) 2

( ) 2 2lim

x

f x

f x β.

1

( ) 2 ( ) 7 5

( ) 2lim

x

f x f x

f x

γ.1

1

( ) 7 ( ) 2 5lim

x

x

f x f x

264) Αλ 2

( ) 13

2lim

x

f x

x, λα βξείηε ην

2

( ) 2

2lim

v v

x

x f x

x.

265) Αλ γηα ηηο ζπλαξηήζεηο , : f g ,

ηζρύνπλ 0

( ) 13lim

x

f x

x θαη

0

( ) 21lim

x

g x

x,

ηόηε λα βξείηε ηα παξαθάησ όξηα:

α. 0

( )limx

f x β. 0

( )limx

g x γ.

20

( ) ( ) 4lim

x

f x g x x

x x


ηηο νπνίεο ηζρύεη όηη

2

2

( ) 2 ( ) 412

2 5 3lim

x

f x x g x x

x θαη

2

2

( ) 2 ( ) 28

2 2lim

x

f x x g x x x

x. Να βξείηε, αλ

ππάξρνπλ, ηα όξηα 2

( )limx

f x θαη 2

( )limx

g x .


- 22 -

267) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g . Αλ

21

( )5

3 2lim

x

f x

x x θαη

2

1

( ) 12

1lim

x

g x x

x, λα

βξεζεί ην 1

( ) ( )lim

x

f x g x .


ηηο νπνίεο ηζρύεη όηη

2

3

( ) 7 4 6lim

x

f x x θαη

3

( ) 2 1 2lim

x

g x x . Να βξείηε ην όξην

3

( )

( )lim

x

f x

g x.

269) Να βξείηε ην a αλ ηζρύεη

3 2 2

2

7 8 16 26lim

x

ax a x x a .

270) Να βξείηε ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο

θαη , ώζηε λα ηζρύεη 2

21

25

3 2lim

x

x x

x x

.

271) Αλ 2

1

45

1lim

x

ax x

x

λα βξείηε ηα

, a .

272) Αλ 22 3 5

( )2

ax xf x

x

, λα βξεζνύλ ηα

, a ώζηε 2

( ) 6lim

x

f x .

273) Να βξεζνύλ ηα , a , ώζηε :

α. 3 2

21

2 3 8 1

21lim

x

a x x x

x

β. 3 2

2

1 12

2lim

x

a x x x

x

γ.

22

| 1| | 3 | 46

3 2lim

x

a x x

x x

274) Να βξείηε ηα , a , ώζηε

2

2

5 5

2 3lim

x

x ax

x

.

275) Αλ 10 15 5

( )1

ax xf x

x

, λα βξεζνύλ νη

, a ώζηε 1

( ) 20lim

x

f x .


2( )

3 2

x ax xf x

x x

κε , a , γηα ηελ νπνία ηζρύεη 1

( ) 2lim

x

f x .

Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ a θαη θαζώο θαη ην

όξην 1

( ) 2

1lim

x

f x

x.

277) Τν όξην 3

21

3

1lim

x

x x a

x, ππάξρεη θαη είλαη

πξαγκαηηθόο αξηζκόο. α. Να βξείηε ηνλ πξαγκαηηθό αξηζκό a .

β. Να ππνινγίζεηε ην παξαπάλσ όξην.

278) Να βξεζεί ν a ώζηε ε ζπλάξηεζε

2

2

5 3( )

9

x a x af x

x λα έρεη όξην πξαγκαηηθό

αξηζκό ζην ζεκείν 0 3x . Γηα ηελ ηηκή ηνπ a πνπ

βξήθαηε λα ππνινγίζεηε ην 3

( )limx

f x .

279) Να βξείηε ηα , a , ώζηε ην όξην ηεο

ζπλάξηεζεο 2

2

2 2( )

1

ax xf x

x, ζην ζεκείν 0 1x

, λα είλαη ίζν κε 1.


2

2 , 1( )

2 , 1

ax xf x

x x a x

. Να βξεζνύλ ηα

, a , ώζηε ε fC λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν

2 , 2 θαη λα ππάξρεη ην 1

( )limx

f x .

281) Αλ 3

2, 2

2( )

8, 2

2

axx

xf x

xx

x

, λα βξεζνύλ

ηα , a , ώζηε ε ζπλάξηεζε f λα έρεη όξην

ζην 0 2x πξαγκαηηθό αξηζκό.


2

2 , 1

( ) 3 1 , 1 2

2 , 2

x ax x

f x x x

x x a x


, a , ώζηε λα ππάξρνπλ ηα 1

( )limx

f x θαη

2

( )limx

f x .


- 23 -

283) Να βξεζνύλ ηα , a , ώζηε λα ππάξρεη

ην 4

( )limx

f x , όπνπ

2

2

, 4( ) 2

2 , 4

x ax

f x x

x x x

.


2

2 , 1

( ), 1

1

x ax a x

f x ax xx

x


, , a ώζηε ε fC λα ηέκλεη ηνλ άμνλα y y

ζην ζεκείν κε ηεηαγκέλε 2 θαη λα ππάξρεη ην

1

( )limx

f x .

285) Να βξεζεί ν m , ώζηε λα ππάξρεη ην

1

( )limx

f x , όπνπ

3 1 10, 1

31( )

1, 1

1

m

xx x

xf x

xx

x

.


( )2

a x xf x

x

όπνπ , a , γηα ηελ νπνία ππάξρεη ην

2

( )limx

f x θαη είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο. Να

βξείηε ηνπο αξηζκνύο a θαη , θαζώο θαη ην

2

( )limx

f x .


( )3

x axf x

x

όπνπ , a , γηα ηελ νπνία ππάξρεη ην

3

( )limx

f x θαη είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο. Να

βξείηε ηνπο αξηζκνύο a θαη , θαζώο θαη ην

3

( )limx

f x .


22 2 1( )

3

x a x af x

x όπνπ a , γηα ηελ

νπνία ηζρύεη 3

( )lim

x

f x . Να βξείηε:

α. ηνπο αξηζκνύο a θαη ,

β. ην όξην 2

23

2 ( ) 50

( ) 6 ( ) 5lim

x

f x

f x f x.


ηζρύεη 2 20 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 f x g x g x g x θαη

2

( ) 0lim

x

g x . Να βξεζεί ην 2

( )limx

f x .


ηζρύεη 2| ( ) ( ) | f x g x x θαη 0

( ) 0lim

x

g x . Να

βξεζεί ην 0

( )limx

f x .

291) Αλ ηζρύεη 2 2 3

( )1 4

x x xf x

x, γηα

θάζε 1x , λα βξείηε ην 1

( )limx

f x .

292) Αλ ηζρύεη 3 5

3 1 1 ( ) 24

xx x f x ,

γηα θάζε 0x , λα βξείηε ην 1

( )limx

f x .

293) Να βξείηε ην 2

( )limx

f x , αλ γηα θάζε x ,

ηζρύεη 4 1 3 2 ( ) 4 7 12 x x f x x .

294) Αλ 22 | 1 | ( ) 2 2 3 x f x x x x , γηα

θάζε x , λα βξείηε ην 1

( )limx

f x .

295) Αλ 2( ) 5 3 4 f x x , γηα θάζε x , λα

βξείηε ην 2

( )limx

f x .

296) Αλ 22 5 ( ) 2 x x f x x , γηα θάζε x , λα

βξείηε ην 0

( )limx

f x θαη ην 0

( )lim

x

f x

x.


ηζρύεη 2( ) ( ) 2 3 xf x f x x x , γηα θάζε x

θαη ην 1

( )limx

f x ππάξρεη θαη είλαη πξαγκαηηθόο

αξηζκόο. Να βξείηε ην 1

( )limx

f x .


ηζρύεη 2 22 7 5 ( ) 4 x x f x x x , γηα θάζε

2 , 6x . Να βξείηε ηα όξηα:

α. 3

( )limx

f x β.

3

( ) 2

3lim

x

f x

x


- 24 -

299) Έζησ : f ζπλάξηεζε ηέηνηα ώζηε 2 23 ( ) 3 x x f x x x , γηα θάζε x . Να


0

( ) (0)3lim

x

f x f

x x.


ηζρύεη 2 ( ) 12 3 22 x x f x x , γηα θάζε x

Να βξείηε ηα όξηα:

α. 1

( )limx

f x β.

1

( ) (1)

1lim

x

f x f

x


ηζρύεη 2( ) 2f x x , γηα θάζε x . Να βξείηε ηα

όξηα:

α. 0

( )limx

f x β.

0

( ) 4lim

x

f x x

x


ηζρύεη 2 2( ) 2 ( ) 4 4 4 xf x f x x x x , γηα θάζε

x . Να βξείηε ην όξην 2

( )limx

f x .


ηζρύεη 2

2( ) 6 ( )3

3

f x xf xx x

x

, γηα θάζε 3 x .

Να βξείηε ην όξην 0

( )limx

f x .


ηζρύεη 2 ( ) 6 ( )f x xf x , γηα θάζε x . Να βξείηε

ην όξην 0

( )limx

f x .


ηζρύεη 2( ) 3 xf x x x , γηα θάζε x θαη ην όξην

0

( )limx

f x ππάξρεη θαη είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο.

Να βξείηε ηα όξηα:

α. 0

( )limx

f x β.

2

0

( ) 3 ( ) 1 ( ) 4

( ) 1 2lim

x

f x f x f x

f x

306) Αλ , : f g θαη ηζρύεη

0

2 2( ) ( ) 0lim

x x

f x g x , λα απνδείμεηε όηη

0 0

( ) ( ) 0lim lim

x x x x

f x g x .

307) Αλ , : f g θαη ηζρύεη

0

( ) ( ) 0lim

x x

f x g x θαη 0

( ) ( ) 0lim

x x

f x g x ,

λα απνδείμεηε όηη:

α. 0

2 2( ) ( ) 0lim

x x

f x g x

β. 0 0

( ) ( ) 0lim lim

x x x x

f x g x


( ) ( 3)f x f x , γηα θάζε x θαη

2

[ ( ) 2 5] 4lim

x

f x x , λα βξείηε ην 1

( )limx

f x .

309) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη άξηηα θαη

2

[ ( ) 3 4] 5lim

x

f x x , λα βξείηε ην 2

( )limx

f x .

310) Γηα ηελ ζπλάξηεζε f ηζρύεη

( ) f a x f x x , γηα θάζε x θαη

[2 ( ) 2 ] 1lim

x a

f x x a , λα βξείηε ην 0

( )limx

f x .

311) Αλ γηα ηελ πεξηηηή ζπλάξηεζε f ηζρύεη

2

( ) 3lim

x

f x , ηόηε λα βξεζεί ην

4

2 2lim

x

f x f x .

312) Δίλεηαη άξηηα ζπλάξηεζε : f ώζηε

λα ηζρύεη 2

3

( )2

9lim

x

f x x

x. Να βξείηε ηα όξηα:

α. 3

( )limx

f x β. 3

( )limx

f x

313) Έζησ : 0 , f ζπλάξηεζε γηα ηελ

νπνία ηζρύεη ( ) ( ) f xy f x f y , γηα θάζε

, 0x y θαη επηπιένλ 1

( )1

1lim

x

f x

x. Αλ a

ζεηηθόο αξηζκόο, λα βξείηε ην ( ) ( )

lim

x a

xf x af a

x a.

314) Δίλεηαη ζπλάξηεζε :f γηα ηελ νπνία

ηζρύνπλ 3

( ) 32

3lim

x

f x

x

θαη

3

3

( ) ( )40

3lim

x

f x af x

x

, όπνπ ,a . Να

βξείηε:

α. ην όξην 3

( )limx

f x

β. ηνπο αξηζκνύο ,a


- 25 -

315) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : *f γηα ηελ


( )4

2lim

x

f x

x

. Θεσξνύκε επίζεο

ζπλάξηεζε g γηα ηελ νπνία ηζρύεη

2

( ) ( ) ( )

2 ( )4 4

f x f x g x

x f xx x

γηα θάζε 2x . Να

βξείηε, αλ ππάξρνπλ, ηα όξηα:

α. 2

( )limx

f x

β. 2

( )limx

g x


( ) ( ) f x y f x f y xy , γηα θάζε , x y

θαη επηπιένλ ηζρύεη 0

( ) 0lim

x

f x , λα απνδείμεηε

όηη ηζρύεη 0

0( ) ( )lim

x x

f x f x .

317) Αλ ηζρύεη ( ) ( ) f x y f x f y xy , γηα

θάζε , x y θαη 0

( ) 11lim

x

f x

x, ηόηε λα

ππνινγίζεηε ην 2

1

( ) (1)

1lim

x

x f x f

x.

318) Έζησ : f ζπλάξηεζε γηα ηελ νπνία

ηζρύεη ( ) ( ) f x y f x f y xy , γηα θάζε

, x y θαη 0

( )4lim

x

f x

x. Να βξείηε ην

( ) ( )lim

x a

f x f a

x a, a .

319) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : 0 , f γηα ηελ

νπνία ηζρύεη ( ) ( ) f xy f x f y , γηα θάζε

, 0x y θαη επηπιένλ 1

( ) 0lim

x

f x . Να

απνδείμεηε όηη: α. (1) 0f .

β. 0

0( ) ( )lim

x x

f x f x , γηα 0 0x θαη 0 1x .

320) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : 0 , f γηα ηελ

νπνία ηζρύεη ( ) ( ) f x y f x f y , γηα θάζε

, x y θαη επηπιένλ 0

( ) 1lim

x

f x . Να

απνδείμεηε όηη: α. (0) 1f .

β. 0

0( ) ( )lim

x x

f x f x , γηα 0 x .


α. 0

6

1lim

x

x

x

β.

2

4

3 2lim

x

x

x

γ.

2

2

3lim

x

x x

x

δ.

2

1lim

x

x

x

ε. 3

0lim

x

x x

x

ζη.

30

lim

x

x x

x


α. 2

0lim

x

x

x x

β.

0 4 2lim

x

x

x

γ. 2

0 9 3lim

x

x x x

x

δ.

20 4 2

lim

x

x x

x

ε. 2

20

9 3lim

x

x x

x

ζη.

20 4 2

lim

x

x x x

x


α. 0

limx

x

x

β.

0lim

x

x

x

γ. 2

0

1lim

x

x

x

δ.

20

1 2lim

x

x

x

ε. 2

1lim

x

x

x

ζη.

2 2

20

1

4 2lim

x

x x

x

δ. 2

0

1lim

x

x

x

ε.

2 1

1lim

x

x

x


α. 0

1

1lim

x

x x x

x

β.

20

1lim

x

x x

x

γ. 2

0

4 4

3lim

x

x x

x x


α. 3

5 30 2

lim x

x

x x

β.

3

0

1lim

x

x x

x

γ. 2

20

2 1lim

x

x x

x


α. 0

limx

ax

x

β.

0lim

x

ax

x

, 0a

γ. 0

limx

ax

x

, 0a


- 26 -

327) Να βπεθούν ηα παπακάηω όπια:

α. 0

3lim

x

x

x

β.

0

4lim

x

x

x

γ.

2

20

5lim

x

x

x

δ. 0

9

3lim

x

x

x

ε.

0

4

5lim

x

x

x

ζη.

0

3 5lim

x

x x

x


α. 0

9 3

4lim

x

x

x β.

0

2lim

x

x x

x

γ. 2009

19720

limx

x

x

δ.

0

3

4 2lim

x

x

x

ε. 2

20

limx

x

x

ζη.

3

30 2

lim x

x

x x x

329) Να ςπολογιζηεί ηο όπιο lim

x a

x a

x a

.


α. lim x

x

x

β.

1

1

1lim

x

x

x

γ.

3 21

1 2 1

2lim

x

x

x x x

δ.

2 2

lim x

x

x

ε.

4 4

lim

x

x x

x

ζη.

2 2lim

x

x

x


α. 0 2 3

lim

x

x x

x x

β.

2 3

20

3 5

5 1lim

x

x x

x x x

γ. 0 2 5

lim

x

x x

x x

δ.

2

0

2lim

x

x x

x x

ε. 2 2

20

2

3lim

x

x x

x x x

ζη.

3 4

2 20

3 4lim

x

x x

x x

332) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη 2

2, 0

1 1( )

5 9, 0

3 4

x xx

x xf x

x xx

x x

. Να βπείηε, αν

ςπάπσει, ηο 0

( )limx

f x .

333) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη

3 2

3, 0

( )3 3 5

, 03

x xx

xf x

x x x xx

x x

. Να βπείηε,

αν ςπάπσει, ηο 0

( )limx

f x .

334) Να ςπολογιζηεί ηο όπιο

0

2 ...lim

x

x x vx

x

, v , 3v .

335) Δίνεηαι ζςνάπηηζη : f για ηην οποία

ιζσύει 0

( )6

1 1lim

x

f x x

x

. Να βπείηε ηα όπια:

α. 0

( )limx

f x β.

0

( )lim

x

f x

x γ.

2

20

( )

4 2lim

x

xf x x

x


ιζσύει 0

( )3lim

x

xf x

x x. Να βπείηε ηα όπια:

α. 0

( )limx

f x β.

20

( ) 3lim

x

xf x x

x x


ιζσύει 0

( )2lim

x

f x

x. Να βπείηε ηα όπια:

α. 0

( )limx

f x β.

0

5

6 3lim

x

f x x

x x


ιζσύει 2

0

( ) 32lim

x

f x x

x x


α. 0

( )lim

x

f x

x β.

0

2 1 1

5lim

x

f x x

x


ιζσύει 2

0

( ) 54

2lim

x

f x x

x x


α. 0

( )lim

x

f x

x β.

20

( ) 3

1 1lim

x

f x x x x x

x


- 27 -

340) Δίνονηαι ζςναπηήζειρ , : f g για ηιρ

οποίερ ιζσύοςν 0

( )2

5lim

x

f x x

x και

0

( ) 73lim

x

g x x

x


α. 0

( )limx

f x και

0

( )limx

g x

β. 2

0

( ) ( ) 3

1lim

x

f x g x x

x

341) Να βπείηε ηοςρ ππαγμαηικούρ απιθμούρ a

και , ώζηε να ιζσύει:

α. 2

0

23

lim

x

x ax

x

β.

0

3 41

5lim

x

x a x

x

342) Για μια ζςνάπηηζη f ιζσύει 0

( )1lim

x

f x

x,

να βπείηε ηο

2 20

2 ( ) 3

2lim

x

xf x f x x

x x

.

343) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη : f ηέηοια

ώζηε

1

1( ) 1

2

21lim

x

xf x

x

. Να

ςπολογιζθούν ηα όπια:

α. 1

( )limx

f x β.

1

( ) 1

1lim

x

f x

x


ιζσύει 0

( )lim

x

f x


α.

0lim

x

f x

x

β.

0

2 ( )lim

x

f x f x

x

345) Έζηω : f ζςνάπηηζη για ηην οποία

ιζσύει ( ) ( ) f x y f x f y x y , για κάθε

, x y , (0) 0f και 0

( ) 10lim

x

f x

x. Να

βπείηε ηο ( ) ( )

lim

x a

f x f a

x a, a .


α. 0

1lim

x

xx

β. 3

0

5lim

x

xx

γ. 2

0

1lim

x

xx

δ. 2

0

13lim

x

x xx

ε. 2

0

13 2lim

x

xx

ζη. 2

0

1

1 1lim

x

x

xx


α. 0

1lim

x

xx

β.

2

0

1

lim

x

xx

x

γ. 0

1lim

x

x x

x x

348) Αν ιζσύει 2 35 3 ( ) 3 x x f x x x , για

κάθε x , να βπείηε ηα 0

( )limx

f x και

0

( )lim

x

f x

x.

349) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη : f , ηέηοια

ώζηε για κάθε x , ιζσύει

2 | | ( ) 2 | | x x x f x x x x . Να βπείηε:

α. (0)f β. 0

( )limx

f x γ.

0

( )lim

x

f x

x

350) Αν ιζσύει 2( ) 1 2 1 f x x x x , να

δείξεηε όηι:

α. 1

( ) (1)lim

x

f x f β.

1

( ) (1)1

1lim

x

f x f

x

351) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη : f , για ηην

οποία ιζσύει ( ) 3 f x x x x , για κάθε

x . Να βπείηε ηα όπια:

α. 0

( )lim

x

f x

x β.

0

5

3lim

x

f x

x

352) Αν : f ζςνάπηηζη για ηην οποία για

κάθε x , ιζσύει 2( ) 3 f x x x x , να

ςπολογιζηούν ηα όπια:

α. 0

( )limx

f x β.

0

6 2

( )lim

x

x x

xf x x

353) Αν ιζσύει 41( ) f x x x

x , για κάθε

1 1, 0 0 ,

2 2

x , να βπείηε ηο 0

( )limx

f x .

354) Αν ιζσύει 2 21( ) xf x x x

x , για κάθε

*x , ηόηε να βπεθεί ηο 0

( )limx

f x .


- 28 -

355) Αν ιζσύει 2 21 1( )f x x x

x x , να

δείξεηε όηι 0

( ) 0lim

x

f x .

356) Αν για ηην ζςνάπηηζη : f ιζσύοςν

0

( )lim

x

f x a και 3 1( ) f x x x

x για κάθε

*x , ηόηε να πποζδιοπίζεηε ηον απιθμό a


ιζσύει 0

( )lim

x

f x και

2( ) 3 4 2 xf x x x x για κάθε x . Να

βπείηε ηο .


ιζσύει 0

( )lim

x

f x και ( ) 2 3 f x x x x

για κάθε x . Να βπείηε ηο .


ιζσύει 2 2( ) 2 ( ) 0 f x f x x , για κάθε x .

Να βπείηε ηα όπια:

α. 0

( )limx

f x β.

2

0

( ) 1

( ) 1lim

x

f x

f x

360) Οι ζςναπηήζειρ f , g είναι οπιζμένερ

κονηά ζηο 0x . Αν 0 0

( ) ( ) 0lim lim

x x x x

f x g x και

( ) ( ) 0 f x g x , κονηά ζηο 0x , να αποδείξεηε όηι

0

3 3

2 2

( ) ( )0

( ) ( )lim

x x

f x g x x

f x g x

.

361) Οι ζςναπηήζειρ f , g είναι οπιζμένερ

κονηά ζηο και για κάθε 0x ικανοποιούν ηην

ζσέζη 2 2 2 4 2( ) ( ) x f x g x x

x

. Να

ςπολογιζηούν ηα όπια 0

( )limx

f x και 0

( )limx

g x .

362) Δίνεηαι ζςνάπηηζη f ηέηοια ώζηε να

ιζσύει 0

( ) 2011lim

x

f x και 0

( ) 2012lim

x

f x . Να

βπείηε ηα παπακάηω όπια:

α. 3

0lim

x

f x x β. 3

0lim

x

f x x

γ. 2 4

0lim

x

f x x δ. 2 4

0lim

x

f x x


α. 2

20

1 1lim

x

x

x

β. 3 2

21

1

1lim

x

x x x

x

364) Να ςπολογιζηούν, αν ςπάπσοςν, ηα

παπακάηω όπια:

α.

0lim

x

x

x

β. 0

1

1lim

x

x x

x x

γ. 2

20

limx

x x

xx

§13. μη πεπεραςμένο

όριο ςτο χο

365) Να ςπολογίζεηε ηα παπακάηω όπια, αθού ππώηα ζσεδιάζεηε ηιρ ανηίζηοισερ γπαθικέρ

παπαζηάζειρ:

α. 2

1

1

2 1lim

x x x β.

0

1

1lim

x x γ.

3

1

3lim

x x

366) Να ςπολογίζεηε, αν ςπάπσοςν, ηα παπακάηω όπια:

α. 2

3

5

6 9lim

x

x

x x β.

3

22

8

4 4lim

x

x

x x

γ. 2

1

5 6

| 1|lim

x

x x

x δ.

2

2

5 6

2 | 2 |lim

x

x x

x x

ε. 0

1 1

| |lim

x x x ζη.

22

3

4lim

x

x

x

367) Να ςπολογίζεηε, αν ςπάπσοςν, ηα


α.

22

4 5

2lim

x

x

x β.

21

3

2 4 2lim

x

x

x x

γ. 3 2

0

2 5

2lim

x

x

x x δ.

2

23

1

4 3lim

x

x

x x

ε.

2

44

3 2

4lim

x

x x

x ζη.

2

51

3 3

1lim

x

x x

x


- 29 -



α. 2

21

1

2 4 2lim

x

x

x x β.

1

| 2 | 3

| 1|lim

x

x

x

γ. 3

1

3 12

3 2lim

x

x

x x δ.

3 21

3

1lim

x

x

x x x

ε. 2

3 21

1

3 3 1lim

x

x

x x x ζη.

31

3 10

1lim

x

x

x



α.

21

1

1lim

x

x

x β.

23

| 2 | 7

9lim

x

x

x γ.

23

| 1| 5

9limx

x

x

370) Να βπεθούν, αν ςπάπσοςν, ηα παπακάηω

όπια:

α. 0

2

1lim

x

x

x

β.

0

3 1

1lim

x

x

x γ.

0

3 1lim

x

x

x x

371) Να βπεθούν, αν ςπάπσοςν, ηα παπακάηω όπια:

α. 2

1

2 1

| | 1lim

x

x x

x β.

1

5

3 2lim

x

x

x x

γ. 5

9

3 5 15lim

x

x

x x x x


όπια:

α. 2

1

1 3

1 1lim

x x x β.

1

1 3

1 1lim

x x x

γ. 2

2

1 3

2 4 4lim

x x x x


όπια:

α. 2

0

| |lim

x

x

x β.

2

30

lim

x

x x

x γ.

2

20

2 | |lim

x

x x

x


όπια: α.

30

4 2lim

x

x

x

β.

2

31

3 2

1lim

x

x x

x

γ. 3

0

9 3

1 1lim

x

x

x


όπια:

α. 3

0lim

x

x

x

β.

30

5lim

x

x

x

γ.

40

1lim

x

x

x


όπια:

α. 3

0

4 2lim

x

x

x

β.

2

30

9 3

3lim

x

x

x x

γ.

3

0

1

1 1lim

x

x

x

377) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη

2

2

1 1, 0

( )

, 0

xx

xf xx

xx

. Να βπείηε, αν

ςπάπσει, ηο 0

( )limx

f x .

378) Δίνονηαι ζςναπηήζειρ , :f g για ηιρ

οποίερ ιζσύοςν 2 ( ) 1x f x x και ( ) 2x g x x ,

για κάθε x . Να βπείηε, αν ςπάπσοςν, ηα


α. 0

( )limx

f x

και 0

( )limx

g x

β. 0

2 ( ) 3 ( )limx

f x g x

γ. 3

0

( ) ( ) ( )limx

g x f x g x


ιζσύει όηι 1

( )lim

x

f x . Να βπείηε, αν

ςπάπσοςν, ηα όπια:

α.1

10

( )lim

x f x β.

1

2 ( ) 1

( ) 1lim

x

f x

f x

γ.

2

21

( ) ( ) 1

( ) 5lim

x

f x f x

f x



( )lim

x



α. 2

1

( )lim

x f x β.

2

2

( ) 3 ( )

( ) 2lim

x

f x f x

f x

γ. 3

3 22

4 ( ) 3 ( ) 1

( ) 2 ( ) 2lim

x

f x f x

f x f x δ.

2

3 22

( ) 4 ( ) 3

( ) 2 ( ) 3lim

x

f x f x

f x f x

ε. 2

2

4 ( ) 9 ( )lim

x

f x f x ζη.

3

2

( ) 5 ( )

( ) 3lim

x

f x f x

f x


- 30 -



( )lim

x



α. 1

1( )

( )lim

x

f xf x

β. 2

1

5 ( ) ( ) 1lim

x

f x f x

γ. 2

1

( ) 2 ( ) 1

( ) 5lim

x

f x f x

f x δ.

2

21

( ) ( ) 1

( ) 3 ( ) 2lim

x

f x f x

f x f x



( )lim

x

f x . Να βπείηε, αν ςπάπσει,

ηο όπιο 2

2

( ) 4

( ) 3 ( ) 5lim

x

f x x x

f x f x.

383) Να ςπολογίζεηε ηα παπακάηω όπια, για ηιρ

διάθοπερ ηιμέρ ηων παπαμέηπων:

α. 2

2 4 4lim

x

x a

x x, a β.

2

1 1lim

x

x a

x, a

γ. 3

0lim

v

x

x

x

, *v

384) Να βπεθούν ηα παπακάηω όπια, για ηιρ

διάθοπερ ηιμέρ ηηρ παπαμέηπος:

α.

2

1 1 1lim

x

x a

x x β.

2

2

5

2lim

x

x x

x

γ. 2 2

21

5 1

4 3lim

x

ax x a

x x

385) Για ηιρ διάθοπερ ηιμέρ ηος , να

βπεθούν ηα παπακάηω όπια:

α. 2

3

27

| 3 |lim

x

x

x

β.

2 2

1

3 2

| 1|lim

x

x x

x

386) Να βπεθούν ηα όπια, για ηιρ διάθοπερ ηιμέρ

ηων παπαμέηπων , a :

α.

2

22 2

lim

x

x a

x β.

2

0

2lim

x

ax x

x

γ. 2 2

1

2 3

1lim

x

ax a x

x x x x δ.

2 2 2

21

2 2

1lim

x

a x x

x

ε. 3

0

| | | |lim

x

x a x a

x ζη.

2

20

lim

x

x a a

x

387) Αν 2

| 2 | | 4 | 2( )

5 6

a x xf x

x x

, να

βπεθούν ηα , a ώζηε 2

( ) 10lim

x

f x .

388) Αν 2

1 | 1 |lim

x

x ax

x

, να βπεθούν ηα

, a .

389) Αν 2

21

2 4

2 1lim

x

ax x

x x

, να

βπεθούν οι , a .

390) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη 2 7 12

( )

x xf x

x a,

a . Να βπείηε ηο 4

( )limx

f x για ηιρ διάθοπερ

ηιμέρ ηος a .


3

10, 2

2( )

2, 2

2

x xx

xf x

x xx

x

με . Να βπείηε

ηο 2

( )limx

f x για ηηρ διάθοπερ ηιμέρ ηος .

392) Να βπείηε ηο , ώζηε να ιζσύει:

α. 2

2

3

8lim

x

x

x x β.

2

3 21 2

lim

x

x

x x x

γ. 2

2 24lim

x

x

x x


5( )

3

xf x

ax x με

, a , για ηην οποία ιζσύοςν 3

( )lim

x

f x

και 1

( )lim

x

f x . Να βπείηε ηηρ ηιμέρ ηων a ,

.

394) Αν 1

( ) 1 8lim

x

f x x , να βπεθεί ηο

1

( )limx

f x .

395) Να βπεθεί ηο όπιο ηηρ ζςνάπηηζηρ f ζηο

ζημείο 0 1x , όηαν:

α. 1

4

( )lim

x

x

f x β.

1

( )

2lim

x

f x

x

γ. 2

1

( ) 3 2lim

x

f x x


- 31 -


ιζσύει 2

0

( ) 3lim

x

x f x . Να βπείηε ηα όπια:

α. 0

( )limx

f x β. 0

( ) 3lim

x

f x x x

397) Να βπεθεί ηο 2

( )limx

f x , όηαν:

α. 2

2

1

( )lim

x

x x

f x β.

2

2

( ) 2

5 3lim

x

f x x

x

γ. 2

2

( )4

4lim

x

xf x

x

δ.

2

32

( ) 4

6 2lim

x

f x x

x x

398) Να βπεθεί ηο 0

( )limx

f x , όηαν:

α. 2

0

4 5

2 ( )lim

x

x x

x x f x

β.

2 2

20

2 3

4 2 ( )lim

x

x x

x x x f x

399) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη : f , ηέηοια

ώζηε 2 2

20

( )

1 1lim

x

f x x x

x

. Να βπεθεί ηο

όπιο 0

( )limx

f x .


οποία ιζσύει 2

2 ( ) 3lim

x

x f x . Να βπείηε ηα

όπια:

α. 2

( )limx

f x β.

2

2

( ) ( ) 5

( ) 7lim

x

f x f x

f x

γ. 2

2

2012 ( )

( ) 3 ( ) 13lim x

f x

f x f x


ιζσύει 2

2

4 4 ( ) 4lim

x

x x f x . Να βπείηε ηα

όπια:

α. 2

( )limx

f x β. 2

2

( ) 2 ( ) 3 1lim

x

xf x f x x

402) Αν 2

21

( )

1lim

x

f x x

x

, να βπεθεί ηο

1

( )limx

f x .


οποία ιζσύει 3

5

( ) 2lim

x

x

f x. Να βπείηε ηα

όπια:

α. 3

( )limx

f x β.

2

3

( ) 2

( ) 4lim

x

f x

f x

γ. 2

3

4

( ) 4 ( ) 4lim

x

x

f x f x

404) α. Αν 2

2 5

( )lim

x

x

f x, να ςπολογίζεηε ηο

2

( )limx

f x .

β. Αν

21

3

3 1 ( )

9 1lim

x

x f x

x, να ςπολογίζεηε

ηο 1

3

( )limx

f x .

γ. Αν 2

0

1

( )lim

x

x

f x

, να ςπολογίζεηε ηο

0

( )limx

f x .


ιζσύει 0

( )2

3lim

x

xf x


α. 0

( )lim

x

f x

x β.

0

( ) 4 ( )lim

x

f x f x

x

406) α. Αν 0

( )

( )lim

x x

f xή

g x και

0

( )lim

x x

f x , ηόηε να ςπολογίζεηε ηο όπιο

0

( )limx x

g x .

β. Να βπεθεί ο a , ώζηε 3

2 2

3

6lim

x a

x ax a

x x a.

407) Αν f , g ζςναπηήζειρ ώζηε

2

2

( ) 1

2lim

x

f x x

x και

2

2

( ) 4

1lim

x

g x x

x, να βπείηε ηο

2

( ) ( )lim

x

f x g x .


- 32 -

408) Δίνονηαι ζςναπηήζειρ , : f g για ηιρ

οποίερ ιζσύοςν 2

2

( ) 3

2lim

x

f x x x

x και

2

2

2

( ) 3lim

x

x x

g x x, να βπείηε ηο

2

( )

( )lim

x

f x

g x .


ιζσύει 2

3 20

2( )

3lim

x

xf x

x x

. Να βπείηε ηα

όπια:

α. 0

( )limx

f x β.

2

0

( ) 13 ( ) 7

( ) 21lim

x

f x f x

f x


ιζσύει 0

( ) 31lim

x

xf x x

x


α. 0

( )limx

f x β.

0

2 ( ) 5

( ) 2lim

x

f x

f x


ιζσύει

1

( ) 3 2

lim

x

xf x x

x. Να βπείηε ηα

όπια:

α. 1

( )limx

f x β. 2

1

( ) 3 ( ) 5 4 ( )lim

x

f x f x f x


ιζσύει 2

1

( )

3lim

x

x f x


α. 1

( )limx

f x β.

2

1

( ) 3 ( )lim

x

f x f x

γ.2

1

1

( )lim

x

x

f x δ.

2 2

21

( ) 5 ( ) ( ) 2

( ) 3 ( ) 1lim

x

f x f x f x

f x f x

413) Έζηω : f ζςνάπηηζη ηέηοια ώζηε

( ) ( ) ( ) ( ) f x f y yf x xf y xy , για κάθε

, x y . Να βπεθεί ηο 3

0

( )lim

x

f x

x.

§14. όριο ςυνάρτηςησ ςτο άπειρο


α. 45 3 6lim

x

x x β. 45 7 7lim

x

x x

γ. 3 22 6 11lim

x

x x δ. 3 25 4 9 1lim

x

x x x

ε. 3 22lim

x

x x x ζη. 3 25 9lim

x

ax x , 0a


α. 2 2011

2

4 3 2012lim

x

x x

x β.

5

5 4

4 1lim

x

x

x x

γ. 2

5

4 2012

1lim

x

x

x δ.

3 2

3 2

3 2

5 1lim

x

x x x

x x

ε. 5 3

5

4

2 4 6lim

x

x x x

x x ζη.

4 3

2

2 5 6

21lim

x

x x x

x x


α. 22 3

1 1lim

x

x x

x x β.

3 2

2 3lim

x

x x

x x

γ. 2 23 4

1 1lim

x

x x x x

x x δ.

3 2 1

2lim

x

x x x

x x

417) Να βπείηε ηα παπακάηω όπια:

α. 6 3 2 4

3 2 2

5 7 3 2

3 11lim

x

x x x x x

x x x x x

β. 2

2

3 5 6 2 3

13 1lim

x

x x x

xx x

γ. 3 2 25 7

13 21lim

x

x x x

x x

418) Να βπείηε ηα παπακάηω όπια:

α. 3 2

2

2 5 3 7

2 5lim

x

x x

x x β.

3

2 2

3 2

3lim

x

x x

x x x

γ. 2

3

2 3

11lim

x

x x x

xx δ.

5 3

2 4

3 2

1 2lim

x

x x x x

x x


- 33 -

419) Να βπείηε ηα παπακάηω όπια :

α. 3 2 35 2lim

x

x x x

β. 3 2 33 1lim

x

x x x

γ. 3 2 3 25 2 3 5lim

x

x x x x

δ. 3 2 4 23 1 1lim

x

x x x x


α.

2 2

3 2 3

5 13 7

3 5lim

x

x x x

x x x β.

3 2 3

2 2

6 6

2 3lim

x

x x x x

x x x

γ.

2 2

3 3 2

6 3

1lim

x

x x x

x x x δ.

3 3

3 2 3 2

4 1

1lim

x

x x x

x x x x

421) Να βπεθούν ηα παπακάηω όπια :

α. 2 5 3

4 8lim

x

x

x β.

3 2

3

5 1

8 6lim

x

x x x

x x

γ.

2 2

3 3

3 1 6

5 1 2 6lim

x

x x x

x x x x


α. 24 3lim

x

x x x β. 29 2lim

x

x x x

γ. 23 5lim

x

x x x δ. 3 3 2 1limx

x x x

ε. 2 5 2lim

x

x x x ζη. 4 4 32 3lim

x

x x x x

δ. 24lim

x

x x x ε.

23 16 25lim

x

x x x


α. 2 22 1lim

x

x x x β. 2 24 3 1lim

x

x x x

γ. 2 22 3 1lim

x

x x x δ. 2 24 9 5lim

x

x x x

ε. 3 33 2 38 2 27 1lim

x

x x x x x


α. 2

6 5

4 7lim

x

x

x x β.

2 5 6

5lim

x

x x

x

γ.

2

2

3

1 2lim

x

x x

x x δ.

2

2

4 5 3

2lim

x

x x x

x x x

ε. 2

2

3

1 2lim

x

x x

x x ζη.

2 2

2 2

5 2

4 4lim

x

x x x

x x x


α.2 21 3

1lim

x

x x x

x β.

2 2

2

5 3

4 7lim

x

x x x

x x

γ. 2

2

4 3 1 2

9 2 3lim

x

x x x

x x x δ.

2 2

2

9 5 4 3

3 1lim

x

x x x

x x x


α. 2

2 1 3lim

x

x x x

x x x β.

2

2

2

1lim

x

x x

x x

γ. 1

lim x

x

x δ.

2

2

1

5lim

x

x x

x x

ε. 2

1 1lim

x

x x

x x ζη.

2

2

5

3lim

x

x x

x x


α. 2 1lim

x

x x x β. 23 9 1lim

x

x x x

γ. 2 2 2lim

x

x x x δ. 2 22 3 2 1lim

x

x x

ε. 24 3 2lim

x

x x ζη. 24 16 1lim

x

x x x


α. 2 21 1 2lim

x

x x x x x

β. 2 21 1 2lim

x

x x x x x

γ. 2 216 2 1 1 5lim

x

x x x x x

δ. 2 216 2 1 1 5lim

x

x x x x x

ε. 2 2 23 2 9 4 16 1lim

x

x x x x

ζη. 2 2 23 2 9 4 16 1lim

x

x x x x

429) Έζηω η ζςνάπηηζη

2012 2012 2012

2012

1 2 ... 2012( )

2011

x x xf x

x.

Να βπείηε ηο ( )limx

f x .


α. 2 22 2lim

x

x x x x β. lim

x

x x x x

γ. lim

x

x x x x


- 34 -

431) Να βπείηε ηο όπιο

2 34 2 3lim

x

x x για ηιρ διάθοπερ

ηιμέρ ηος .

432) Να βπείηε ηο όπιο

3 23 5 2lim

x

x x x για ηιρ

διάθοπερ ηιμέρ ηος .

433) Αν , a , να βπείηε ηα παπακάηω όπια:

α. 31 3 2lim

x

a x x

β. 3 23 2 2lim

x

a x a x a

434) Αν a , να βπείηε ηα παπακάηω όπια:

α. 23 3 5

5 2lim

x

a x x

x β.

3 2

2

2 3

1lim

x

ax a x x

x x

γ. 2 2

2

1 8

3 8lim

x

a x a x

x δ.

3 2

2

1 3

1lim

x

a x ax x

x x

435) Για ηιρ διάθοπερ ηιμέρ ηος a , να βπείηε

ηα παπακάηω όπια:

α.

2

3

4 3 1

2 1lim

a

x

x xx

x x β.

2 3 2

2 2

1 1

1 2lim

x

a x ax

a a x a x

γ.

3

2

1 3 5

2lim

x

a x x

ax x δ.

3 2

2

2 2

3 4 1lim

x

a x x x

a x x

436) Να ςπολογίζεηε ηο όπιο 26 7

2 5lim

x

x xx

x

για ηιρ διάθοπερ ηιμέρ ηος

.

437) Να ςπολογιζθούν ηα παπακάηω

(παπαμεηπικά) όπια:

α. 2 21 1lim

x

kx x x

, k

β. 2 2lim

x

x x x

,

γ. 2 1 1lim

x

x x ax ,

a

δ. 2 1lim

x

x x ax

, , a

438) Αν a , να βπείηε ηα παπακάηω όπια:

α. 2 29 1 4 5lim

x

x x x ax

β. 2 29 1 4 5lim

x

x x x ax

439) Αν , a , να βπείηε ηα παπακάηω όπια:

α. 2

lim

x

x x ax β. 2 2lim

x

x x ax

440) Να βπείηε ηιρ ηιμέρ , a ώζηε να ιζσύει

22 3 74

3 13lim

x

a x a x

x

.

441) Να βπείηε ηιρ ηιμέρ , a ώζηε

3

2

2 10

1lim

x

xax

x .

442) Αν 3 2

2

3 4 3( )

1

x x xf x ax

x x , να

βπεθούν οι , a ώζηε ( ) 3lim

x

f x .

443) Να βπεθούν ηα , a ώζηε:

α. 2 4 5 1lim

x

x x ax

β. 2 1 1lim

x

x x ax

γ. 2 2 1lim

x

ax x x x

δ. 2 49 4 2 1 2

3lim

x

x x a x

444) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη 2( ) 4 ln lnf x x x x a με , 0a . Να

βπεθούν οι a , ώζηε 5

( )4

lim

x

f x .

445) Να βπεθεί ο 0 , a , ώζηε

24 8 2 ln 0lim

x

x x x a .

446) Να βπείηε ηιρ ηιμέρ , , a ώζηε

4 2 26 5 1lim

x

x x ax x .

447) Να βπεθούν οι , , a ώζηε

32

2

22

1lim

x

xax x

x .


- 35 -


ηζρύεη 2 29 1 2 ( ) 1 x x f x x x . Να βξεζεί

ην ( )

limx

f x

x

.


ηζρύεη 2( ) 4 3 1 2 ( ) 1 1 f x x x x f x , γηα θάζε

x . Να βξείηε ηα όξηα:

α. ( )limx

f x β.

2 ( ) 3 ( ) 2 ( )

2 ( ) 1lim

x

f x f x f x

f x


2

2

11 ( )

2

xx x f x

x, γηα θάζε 0x , λα βξεζεί

ην ( )limx

xf x .

450) Έζησ f ζπλάξηεζε γηα ηελ νπνία ηζρύεη 2 2 23 1 ( ) 3 5 x x x f x x x , γηα θάζε 0 , x .

Να βξείηε ην ( )limx

f x .


ηζρύεη 3 2 3 26 5 2 ( ) 6 2 7 x x f x x x , γηα θάζε


α. ( )limx

f x β.

2

( )

3 5lim x

f x

x x

γ. 3

( )

2 13lim x

f x

x x δ.

4 3

( )

2lim x

f x

x x x


ηζρύεη 3 2 3 22 3 ( ) 2 3 5 x x f x x x γηα θάζε


α. ( )limx

f x β.

3

( )limx

f x

x γ.

3

3 2

3 ( ) 5 2

( ) 3 1lim

x

f x x x

f x x x


ηζρύεη 2 3

2

2 3

4 2 4 2( ) 4 ( )

1 1

x x x xf x f x

x x γηα

θάζε 1x . Να βξείηε ην ( )limx

f x .


α. 1

limx

xx

β. 4 1limx

xx

γ. 1

limx

xx

δ.2

1 1limx xx

ε. limx

x

x

ζη.

4

3limx

x

x

δ. 3

5limx

x

x

ε. 2 1

1lim

x

xx


α. 3

lim x

x

x

β.

2 3 2lim x

x x

x x

γ. 3 2

4 1lim

x

x x

x

δ. 2 3 5lim

x

x x x

ε.2 2 3 1

5lim

x

x x

x x ζη.

2 3 2

5lim

x

x x

x


α. 23lim

x

x x β. 2 2 4

lim

x

x x

x x

γ. 2 4

lim x

x

x x

δ. 2

1

lim x

xx

x x x

ε.

2 3

2

12

3 4lim

x

x xx

x

ζη.2 3

2 2

32 5

4 3lim

x

x x

x x x

457) Να ππνινγίζεηε, αλ ππάξρνπλ, ηα παξαθάησ

όξηα:

α.ln

limx

x

x

β.2 1

limx

x

x

e

γ. limx

x

e x

δ.

0

1lnlim

x

xx


ηζρύεη ( ) 1 x f x x , γηα θάζε 0x . Να βξείηε

ην όξην 2

( )limx

f x

x.


ηζρύεη 2 2( ) 2 3 4 x x f x x x , γηα θάζε x . Να

βξείηε ην όξην 3

( )lim

x

f x x

x

.


- 36 -

460) Έζησ : f ζπλάξηεζε ώζηε ( ) 0f x ,

γηα θάζε x . Αλ ηζρύεη 2 2 3

3( )

lim

x

x x x

f x,

λα βξεζεί ην ( )limx

f x .

461) Έζησ : f ζπλάξηεζε ώζηε ( ) 0f x ,

γηα θάζε x . Αλ ηζρύεη 2 3 2

1( )

lim

x

x x x

f x,

λα βξεζεί ην ( )limx

f x .


ηζρύεη 2( ) 2

32 1

lim

x

xf x x x

x. Να βξείηε ην όξην

( )limx

f x .


ηζρύεη ( ) 4 3lim

x

f x x . Να βξείηε ηα όξηα:

α. ( )

limx

f x

x β.

2

2 ( ) 7

( ) 4 2 1lim

x

f x x

xf x x x


ηζρύεη 2( ) 4 1 6lim

x

f x x . Να βξείηε ηα όξηα:

α. ( )limx

f x β.

( )

1limx

f x

x

465) Αλ ε ζπλάξηεζε : f είλαη πεξηηηή θαη

ηζρύεη 2( ) 1 4lim

x

f x x x x , λα βξεζεί ην

( )limx

f x .

466) Η ζπλάξηεζε : f είλαη πεξηηηή θαη

ηζρύεη 2 2 2( ) 2 1lim

x

x f x x x . Να βξείηε

ηα ( )limx

f x θαη ( )limx

f x .

467) Να βξεζεί πνιπώλπκν ( ) x , όηαλ

2

( )3

2 1lim

x

x

x x θαη

21

( )3

2 3lim

x

x

x x.

468) Να βξείηε ηα όξηα:

α. 12 3 5lim

x x x

x

β. 12 3 5lim

x x x

x

γ. 1 2 3limx x

x

δ.

4

12lim

x

x x


α. 3 2 4 5

2 3 5lim

x x

x xx

β. 3 2 4 5

2 3 5lim

x x

x xx


α. 5 3 4 7

2 3 5 7lim

x x

x xx

β. 1

2

3

3lim

x x

x xx

e

e

γ. 1 2 3

1 5lim

x x

x xx e

δ. 1

1

2 3 2

2 3 2lim

x x

x xx

ε. lim

x x

x xx

e e

e e ζη.

1

2

2

4lim

x x

x xx

e

e


α. 9 3 2 3lim

x x x

x

β. 5 8

5 3 3 7lim

x x

x xx

472) Να ππνινγηζζνύλ ηα παξαθάησ όξηα:

α. 1 2

2 1

4 3 3 2

2 3 5 2lim

x x

x xx

β. 1 2 2

2 2 2 1

4 3 9 2

2 3 18 2lim

x x

x xx

x x

x x

γ. 1 2

2 1

4 3 3 2

2 3 5 2lim

x x

x xx

δ. 1 2 2

2 2 2 1

4 3 9 2

2 3 18 2lim

x x

x xx

x x

x x


α. 1

1

2

2lim

x x

x xx

, 0 1

β. 2 3

2 2 2

4

2lim

x x

x xx

, 0 1

γ. 1

3

2 3

2lim

x x

x xx

, 0 1

δ. 1 2

1

3 2 5

2 2lim

x x

x xx

a

a, 0 1 a


α. 2

2

3ln 7 ln 1

2ln ln 3lim

x

x x

x x

β. ln 2 5 ln 3lim

x

x x

γ. 2

2

ln 2ln 3

2ln 4lim

x

x x

x δ.

2

2

ln 4

ln 3ln 2lim

x

x

x x

ε. 2

3 ln 2

ln 3ln 2lim

x

x

x x ζη. 21 ln lnlim

x

x x


- 37 -


όξηα:

α. 2 22ln 1 ln 3limx

x x x

β. ln 3 5limx x

x

x

γ. 2ln lnlimx

x x x

δ. 2ln 3lnlimx

x x x


α. 2 2

2 2

2 35 7

3 1lim

x x

x

a a

a a, a

β. 3 4lim

x x

x

a , 1a

477) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : 0 , f ηέηνηα

ώζηε 1

( ) 5 x xe f x ex

. Να δείμεηε όηη

( ) 5lim

x

f x .


α. 2ln 200limx

x x x

β. 2 1lim

x

x x x

γ. 24 1 2lim

x x x

x

e e e


όξηα:

α.

3 1

1

1

2lim

x

x

x

β.

3 5 6

42limx x

x

x

γ.

2

5limx x

x

x

e

δ.

2 23 6 4 21

2lim

x x x

x

ε.

22

limx x x

x

e

ζη.

3

ln 6log 5

ln 3lim

x

x e

x e

x

480) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) ln 2 4 1f x x x .

Να βξείηε:

α. ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f

β. ην όξην ( )limx

f x

γ. ην όξην ( )limx

f x

481) Αλ , : 0 , f g θαη ηζρύεη

2 23 ( ) 2 ( ) 0lim

x

f x g x , λα απνδείμεηε όηη

( ) ( ) 0lim lim

x x

f x g x .

482) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : 0 , f g

ηέηνηεο ώζηε ( ) ( ) 0lim

x

f x g x θαη

( ) ( ) 0lim

x

f x g x . Να απνδείμεηε όηη

( ) ( ) 0lim lim

x x

f x g x .

483) Έζησ , : f g ζπλαξηήζεηο γηα ηηο

νπνίεο ηζρύνπλ ( )

2lim

x

f x

x x θαη

2 ( ) 5lim

x

x x g x . Να βξείηε ην

( ) ( )lim

x

f x g x .

484) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο *, : f g κε

( ) ( )lim lim

x x

f x g x . Να απνδείμεηε όηη

2 2

4 4

( ) ( )0

( ) ( )lim

x

f x g x

f x g x.

485) Αλ , 0 , a , λα βξεζνύλ ηα όξηα

2 12 6lim

x x

x xx

a

a

θαη

2 2 12lnlim

x x

xx

a ex

e.

486) Αλ ε : f δελ είλαη ζηαζεξή θαη γηα θάζε

, x y ηζρύεη 2 ( ) ( ) f x y f x f y , ηόηε:

α. λα βξείηε ην (0)f ,

β. λα απνδείμεηε όηη ( ) 0f x , γηα θάζε x ,

γ. λα απνδείμεηε όηη 1

( )4 ( )

f xf x

, γηα θάζε x ,

δ. λα απνδείμεηε όηη ( ) 0 ( )lim lim

x x

f x f x .


- 38 -

§15. συνέχεια συνάρτησης

487) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ ζπλέρεηα ζην 0x

ηηο παξαθάησ ζπλαξηήζεηο:

α. 2 3 , 1

( )3 1 , 1

x xf x

x x,

0 1x

β. 1 , 1

( )1 , 1

x xf x

x x,

0 1 x

γ. 2009 , 0

( ), 0

x xf x

x x,

0 0x

δ. 1 , 0

( )1 , 0

x xf x

x x,

0 0x

488) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ ζπλέρεηα ζην 0x

ηηο παξαθάησ ζπλαξηήζεηο:

α. 2 3 , 0

( )3 , 0

x xf x

x x, 0 0x

β.

3 22, 2

( ) 2

4 , 2

x xx

f x x

x

, 0 2x

γ.

1 3, 10

( ) 10

2009 , 10

xx

f x x

x

, 0 10x

δ.

2 7 4, 3

( ) 2 6

10 , 3

xx

f x x

x

, 0 3x

489) Να εμεηάζεηε αλ είλαη ζπλερείο νη παξαθάησ


α.

2

1, 0

( ) 0,5 , 0

2 , 0

xx

x

f x x

x

xx

β.

2

3, 0

( ) 3 , 0

3, 0

xx

x

f x x

x xx

x

490) Να εμεηάζεηε αλ είλαη ζπλερείο νη παξαθάησ


α.

2 2, 1

( ) 1

3 ln , 1

x xx

f x x

x x x

β.

2

, 0( )

1 , 0

x xx

f x x

x

491) Να εμεηάζεηε αλ είλαη ζπλερείο νη παξαθάησ ζπλαξηήζεηο:

α. 2 1

, 0( )

0 , 0

x xf x x

x

β.

2 | 2 | | 2 | 5, 1

( ) 1

2 , 1

x x xx

f x x

x

492) Αλ ( ) 2 3 f x x θαη 0 , 3

( )2 , 3

xg x

x, λα

εμεηάζεηε σο πξνο ηελ ζπλέρεηα ηελ ζπλάξηεζε

g f .

493) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ ζπλέρεηα ηηο

παξαθάησ ζπλαξηήζεηο:

α.

1, 0

( )

0 , 0

x xf x x

x

β.

3 1, 0

( )

1 , 0

x xf x x

x

γ.

2 3 10 4, 1

3 3( )1

, 14

x

xx

f x

x

494) Να βξεζνύλ ηα , a ώζηε ε ζπλάξηεζε

f λα είλαη ζπλερήο.

α.2

, 3

( ) 9 , 3

2 5 , 3

ax x

f x x

a x x

β.

2

( ) 1

1

ax

f x

x

, 1

, 1

, 1

x

x

x

γ.

2 2, 1

( ) 1

3 1 , 1

x xx

f x x

ax x

δ.

22( 1) , 1( )

ln , 1

a x xf x

ax x

ε.

2 ,( )

1 ,

xa x

f x x

ax x

ζη.

22 1, 0

( )

3 , 0

x ax

f x x

x


- 39 -

495) Να βξεζνύλ ν a ώζηε ε ζπλάξηεζε f λα

είλαη ζπλερήο.

α.

22 1, 1

( ) 1

, 1

x xx

f x x

a x

β.

2 7 16 6, 5

( ) ( 5) 1

2 , 5

x xx

f x x x

x

496) Να βξεζνύλ ν a ώζηε ε ζπλάξηεζε f λα

είλαη ζπλερήο.

α.

4 , 4

( ) 8, 4

4

ax x

f x x xx

x

β.

2

, 01 2

( ) , 021 1

2 , 0

axx

x

xf x x

x

x

497) Να βξεζεί ην a ώζηε ε ζπλάξηεζε

( 1) 12 ,

22

( )

11 ,

xa x x

xf x

ax x

λα είλαη

ζπλερήο.

498) Να βξεζνύλ ηα , a ώζηε λα είλαη

ζπλερήο ε ζπλάξηεζε

5 ,2

( ) ,2 2

2 3 ,2

x x

f x a x x

x x

.

499) Έζησ ε ζπλάξηεζε

2

2

9 2( )

xf x

x a

, 0

, 0

x

x. Να πξνζδηνξίζεηε ηα

, a ώζηε ε f λα είλαη ζπλερήο ζην 0 0x θαη ε

γξαθηθή ηεο παξάζηαζε λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν

1, 6 .

500) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f , ηέηνηα ώζηε

λα ηζρύεη 2 21 4 ( ) 4 9 x x f x x x ,γηα θάζε

x .

α. Να απνδεηρζεί όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην ζεκείν

0 2x .

β. Να βξεζεί ν a , ώζηε ε ζπλάξηεζε

3

( ) 5, 2

( ) 2

8 , 2

f xx

g x x

a x

λα είλαη ζπλερήο ζην 0 2x .

501) Η ζπλάξηεζε : f , είλαη ζπλερήο θαη ε

γξαθηθή ηεο παξάζηαζε δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε

( ) , 0( )

0 , 0

f x xg x x

x

είλαη ζπλερήο ζην 0 0x .

502) Δίλεηαη ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην 0 2x , γηα

ηελ νπνία ηζρύεη 22 ( ) 5 3 26 x f x x x γηα θάζε

x . Να ππνινγίζεηε ην (2)f .

503) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 0 3x

θαη 3

7 ( ) 54

2 ( ) 3lim

x

f x

f x, λα βξείηε ην (3)f .

504) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 0 0x θαη

20

( ) 32lim

x

xf x x

x x

. Να βξείηε ην (0)f .

505) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 0 2x

θαη

2

2 ( )4 3

2lim

x

xx f x

x

. Να βξείηε ην (2)f

506) Αλ ε ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην 0 0x θαη

γηα θάζε x ηζρύεη 2( ) xf x x x , λα

ππνινγίζεηε ην (0)f .

507) Αλ ε ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην 0 0x θαη

γηα θάζε x ηζρύεη 4( ) 2 2 xf x x x , λα


508) Η ζπλάξηεζε : f είλαη ζπλερήο θαη

ηζρύεη 2 23 ( ) 3 x x xf x x x , γηα θάζε x .

Να βξείηε ην (0)f .


- 40 -

509) Έζησ : f ζπλερήο ζπλάξηεζε γηα ηελ

νπνία ηζρύεη 2 1( ) x f x x

x , γηα θάζε 0x . Να

βξείηε ην (0)f .

510) Η ζπλάξηεζε : f είλαη ζπλερήο θαη γηα

θάζε x ηζρύεη 2 2( ) 2 x a f x x ax a . Να

δείμεηε όηη ( ) 3f a a .


2, 0

( )

2 , 0

xx

f x x

x x

.

α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην 0 0x .

β. Αλ ( ) ( ) g x x f x λα απνδείμεηε όηη ην

0

( ) (0)lim

x

g x g

x είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο.

512) Αλ γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύεη 2 2( ) 4 ( ) 4 0 f x f x x , γηα θάζε x , λα

απνδείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην ζεκείν 0 0x .

513) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο : f , όηαλ γηα θάζε x ηζρύεη

2( ) 2 1 ( ) f x x x x xf x .

514) Αλ γηα ηελ ζπλάξηεζε : f ηζρύεη

2 2 2( ) 1 x f x x x , γηα θάζε x θαη ε

γξαθηθή ηεο παξάζηαζε δηέξρεηαη από ην ζεκείν

30 ,

2

λα δείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην

0 0x . Επίζεο λα γξάςεηε ηνλ ηύπν ηεο f .

515) Αλ ππάξρεη ην 1

( ) (1)

1lim

x

f x f

x θαη είλαη

πξαγκαηηθόο αξηζκόο , λα απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 0 1x .

516) Γηα ηελ ζπλάξηεζε f ηζρύεη

0

ln0

( )lim

x

x ea

f x θαη

1(0) f

a. Να δείμεηε όηη ε

f είλαη ζπλερήο ζην 0 0x .

517) Αλ 0

( 3)5lim

x

f x

x θαη ε ζπλάξηεζε f

είλαη ζπλερήο ζην 3, λα βξείηε ην 3

( ) (3)

3lim

x

f x f

x.

518) Αλ ε f δελ είλαη ζπλερήο ζην 2, λα δείμεηε

όηη δελ ππάξρεη ζην ην 0

( 2) (2)lim

x

f x f

x.


ηζρύεη 2 31 12 ( ) 2 x x f x x x

x x , γηα θάζε

*x . Αλ ε fC δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ

αμόλσλ, ηόηε: α. Να δείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην

0 0x .

β. Να ππνινγίζεηε ηα όξηα:

i. 0

( )lim

x

f x

x

ii.

2 5

2 20

( ) 5

4lim

x

x f x xx

x x

520) Έζησ : f ζπλάξηεζε ζπλερήο ζην

0 2x θαη 2

22

( )2

4lim

x

x f x

x.

α. Να βξείηε ην (2)f .

β. Να ππνινγίζεηε ην όξην 2

( ) 2 (2)

2 2lim

x

xf x f

x.

521) Έζησ ε ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζην θαη

ζπλερήο ζην 0 x . Αλ ( ) 0f x , γηα θάζε x

θαη γηα θάζε , x y ηζρύεη ( ) ( ) ( )f x y f x f y λα

απνδείμεηε όηη:

α. 0

( ) 1lim

x

f x

β. ε f ζπλερήο , γηα θάζε x .

522) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία

ηζρύνπλ ( ) ( ) ( )f x y f x f y , γηα θάζε , x y θαη

(0) 0f . Να απνδείμεηε όηη:

α. Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην ζεκείν 0 0x , ηόηε ε f

είλαη ζπλερήο ζην .

β. Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην ζεκείν a , ηόηε ε f

είλαη ζπλερήο ζην .

523) Έζησ ε ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζην * θαη

ζπλερήο ζην 0 1x .

Αλ (1) 0f θαη γηα θάζε *, x y ηζρύεη

( ) ( ) ( )f xy f x f y λα απνδείμεηε όηη:

α. (1) 1f

β. ε f ζπλερήο , γηα θάζε *x .


- 41 -

524) Έζησ : f , δηάθνξε ηεο ζηαζεξήο

ζπλάξηεζεο, ηέηνηα, ώζηε ( ) ( ) ( ) f x y f x f y , γηα

θάζε , x y . Να απνδείμεηε όηη αλ ε f είλαη

ζπλερήο ζην 1x , ηόηε είλαη ζπλερήο ζ’ όιν ην .

525) Έζησ : f ζπλάξηεζε πνπ ηθαλνπνηεί

ηηο ζπλζήθεο ( ) ( ) ( )f x y f x f y , γηα θάζε , x y

, (0) 0f θαη 0

( ) 11lim

x

f x

x.

α. Να απνδείμεηε όηη (0) 1f θαη ( ) 0f x , γηα θάζε

x .

β. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην .

γ. Να ππνινγίζεηε ηα όξηα ( ) ( )

lim

x a

f x f a

x a θαη

( ) ( )lim

x a

xf x af a

x a.

526) Έζησ ζπλάξηεζε : f ηέηνηα ώζηε λα

ηζρύεη ( ) ( ) ( )f x y f x f y x y , γηα θάζε

, x y . Αλ (0) 0f θαη 0

( ) 11lim

x

f x

x, ηόηε:

α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην 0 0x .

β. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην .

γ. Να ππνινγίζεηε ην όξην ( ) ( )

lim

x a

f x f a

x a.

527) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : , 1 ,14 4

f

κε

ηελ ηδηόηεηα ( ) ( )

( )1 ( ) ( )

f x f yf x y

f x f y, γηα θάζε

, ,4 4

x y

.

α. Να βξείηε ην (0)f

β. Να δείμεηε όηη, αλ ε f ζπλερήο ζην 0 0x , ηόηε

είλαη ζπλερήο ζε όιν ην πεδίν νξηζκνύ ηεο.

528) Έζησ : f ζπλάξηεζε ζπλερήο ζην *a γηα ηελ νπνία ηζρύεη 2 ( ) 2 ( ) f x y f x f y ,

γηα θάζε , x y . Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην 0 0x ,

λα δείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην .


ηζρύεη ( ) ( ) ( ) 5( 1)( 1) f xy f x f y x y , γηα θάζε

, x y . Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην 0 1x , λα

δείμεηε όηη είλαη ζπλερήο ζην .

530) Έζησ *: f ζπλάξηεζε ηέηνηα ώζηε λα

ηζρύεη ( ) ( )

xf f x f y

y, γηα θάζε *, x y . Αλ ε

f είλαη ζπλερήο ζην 0 1x , λα δείμεηε όηη είλαη

ζπλερήο ζην * .


ηζρύεη ( ) ( ) 2 ( ) 2f x y f x y f y x , γηα θάζε

, x y θαη 0

( )1lim

h

f h

h. Να δείμεηε όηη:

α. ε f είλαη ζπλερήο ζην ,

β. ( ) ( )

2lim

x a

f x f aa

x a .

532) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g , ηέηνηεο

ώζηε γηα θάζε x λα ηζρύεη 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) 5 4 ( ) f x g x f x g x x . Να

απνδείμεηε όηη νη ζπλαξηήζεηο f , g είλαη ζπλερείο

ζην 02

x

.

533) Έζησ : f ζπλάξηεζε ηέηνηα ώζηε λα

ηζρύεη 3 2( ) 2 ( ) 2009 ( ) f x f x x f x , γηα θάζε

x . Να δείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην ζεκείν

0 2010x .

534) Έζησ : f ζπλάξηεζε ώζηε

( ) ( ) f x f y x y , γηα θάζε , x y ( 0 ).

Να δείμεηε όηη:

α. Η f είλαη ζπλερήο.

β. Αλ 0 ,1 , ε εμίζσζε ( ) f x x δελ κπνξεί λα έρεη

δπν δηαθνξεηηθέο ξίδεο.

535) Έζησ , : f g ζπλαξηήζεηο γηα ηηο

νπνίεο ηζρύνπλ

2

2

0

( )( ) 0lim

x

g xf x

x θαη

(0) (0) 0 f g .

α. Να δείμεηε όηη νη ζπλαξηήζεηο f , g είλαη ζπλερείο

ζην ζεκείν 0 0x .

β. Να ππνινγηζηεί ην όξην 0

( ) ( )

1 1lim

x

f x g x x

x

.


- 42 -

536) Γίλεηαη ζπλάξηεζε : f , γηα ηελ

νπνία ππνζέηνπκε όηη είλαη ζπλερήο ζην ζεκείν

0 0x θαη 0

( ) 165lim

x

f x x

x.

α. Να απνδεηρζεί όηη ην ζεκείν 0 , 4 αλήθεη ζηελ

γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f .


( ) (0)lim

x

f x f

x.

γ. Να απνδείμεηε όηη

2

0

( ) 4 (0) 3

43 8 5

lim

x

x f x f xx

x x x

.

537) Αλ 0 , x , λα κειεηήζεηε ωο πξνο ηελ

ζπλέρεηα ηηο ζπλαξηήζεηο f , g κε

1

1

4( )

4lim

v v

v vv

xf x

x θαη

1

1 1

5 3 2( )

4 3 2lim

v v v

v v vv

x eg x

x e.

538) Να κειεηήζεηε ωο πξνο ηελ ζπλέρεηα ηηο

ζπλαξηήζεηο 2 1 2

2( )

1lim

v

vv

x xf x

x θαη

2

( )1

lim

vx

vxv

x e xg x

e.

539) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g γηα ηηο

νπνίεο ηζρύεη 2 2 2 2( ) ( ) 1 f x x g x x , γηα θάζε

x . Να απνδείμεηε όηη νη ζπλαξηήζεηο f , g είλαη

ζπλερείο ζηα ζεκεία 1 1x θαη 2 1 x .

§16. βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων

540) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε

x x x έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα

ζην δηάζηεκα 0 ,2

.

541) Αλ a , λα απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε

99 9 27 5 ( ) x a x x a x a έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην δηάζηεκα ,a .


x x

x x

έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην ,4 4

.

543) Έζηω ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην . Να

απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 5 3 ( ) f x x f x έρεη

κηα ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην 0 ,1 .

544) Έζηω ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην κε

( ) ( )f a f . Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε

( ) 2 ( )( )

3

f a ff x

έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην

,a .

545) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην ,a .

Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε ( ) ( ) ( )

f x f a f

x a a

κε

( ) 0f a , έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην ,a .

546) Έζηω f ζπλάξηεζε ζπλερήο ζην 0 ,1 γηα

ηελ νπνία ηζρύεη (1) 0 (0) f f . Να απνδείμεηε όηη

ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 0 0 ,1x ώζηε

3

0 0 0( ) 2 ( ) f x f x x .

547) Έζηω ε ζπλάξηεζε f νξηζκέλε θαη ζπλερήο

ζην ,a κε ( ) 0f a . Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη

0 ,x a ηέηνην ώζηε λα ηζρύεη

0 0

( ) ( )( ) ( )

f a ff x x a

a

.

548) Αλ ε ζπλάξηεζε : , f a είλαη ζπλερήο,

λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη ,t a ηέηνην ώζηε λα

ηζρύεη 1 1

( )

f ta t t

.

549) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 1,1 θαη

( 1) 0 f . Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 2( 1) ( ) ( 1) 3x f x x x , έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα

ζην 1,1 .


- 43 -

550) Έζηω ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην ,a γηα

ηελ νπνία ηζρύεη 2 2( ) ( ) 10 ( ) 6 ( ) 34 f a f f f a .

Να απνδείμεηε όηη ε f έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα

ζην ,a .

551) Να απνδεηρζεί όηη ε ζπλάξηεζε

3 2 5( )

2 2

x xf x x

παίξλεη ηελ ηηκή – 4

γηα θάπνην 0 2 , 1 x .

552) Θεωξνύκε ηηο ζπλαξηήζεηο 2( ) f x x ax

θαη 2( ) g x x ax κε 0 . Αλ

1 2( ) ( ) 0 f g κε 1 2 , λα απνδείμεηε όηη

ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 0 1 2,x ηέηνην ώζηε

0 03 ( ) ( ) 0 f x g x .

553) Αλ a είλαη πξαγκαηηθή ξίδα ηεο εμίζωζεο 2 0 x x θαη ην είλαη πξαγκαηηθή ξίδα ηεο

εμίζωζεο 2 0 x x κε , , 0 θαη

a , λα απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 210

2 x x

έρεη πξαγκαηηθή ξίδα 0 ,x a .

554) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 0 ,1 . Αλ

3 (0) 5 (1) 0 f f , λα απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε

( ) 0f x έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην 0 ,1 .

555) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε , ε εμίζωζε

2 x x

έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην

0 ,2

.

556) Έζηω f ζπλερήο ζπλάξηεζε ζην 0 ,1 , γηα

ηελ νπνία ηζρύεη 1 ( ) 0 f x , γηα θάζε x . Να

απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 0 0 ,1x

ώζηε 2

0 0 0( ) ( ) 0 f x f x x .

557) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 0 , 2 κε

(0) (2)f f . Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε

( ) ( 1) f x f x έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην 0 ,1 .

558) Έζηω f ζπλερήο ζπλάξηεζε ζην ,a . Αλ

2 21 ( ) 1 ( ) 0 a f a f , λα απνδείμεηε όηη ε

εμίζωζε ( ) 0f x έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην

,a .

559) Έζηω f ζπλερήο ζπλάξηεζε ζην 0 ,1 . Αλ

22 2(0) 16 (1) 4 (0) (1) 8 f f f f , λα

απνδείμεηε όηη ε f έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην

0 ,1 .

560) Γίλεηαη ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην ,a

γηα ηελ νπνία ηζρύεη ε ζρέζε 7 ( ) 9 ( ) 0 f a f . Να

απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε ( ) 0f x έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην ,a .

561) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην θαη

ηζρύεη 1 κε , ζεηηθνί αξηζκνί, λα

απνδείμεηε όηη ππάξρεη , a , ώζηε

( ) ( ) ( ) f f a f .

562) Έζηω f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζην ,a

κε ( ) ( ) 0 f a f . Να δεηρζεί όηη ε εμίζωζε

( ) 0f x έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην δηάζηεκα

,a .

563) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο f θαη g νξηζκέλεο

θαη ζπλερείο ζην δηάζηεκα ,a κε ( ) ( )f a g

θαη ( ) ( )f g a . Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη

0 ,x a ηέηνην, ώζηε 0 0( ) ( )f x g x .

564) Οη ζπλαξηήζεηο f θαη g είλαη ζπλερείο ζην

,a θαη κε ζύλνιν ηηκώλ ην ,a . Να

απνδείμεηε όηη ππάξρεη , a ηέηνην, ώζηε

( )( ) g f .

565) Έζηω : , ,f a a κηα ζπλερήο

ζπλάξηεζε. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη , a

ηέηνην ώζηε ( ) f .


- 44 -

566) Έζηω f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζην ,a

κε ( ) ( ) f a f a . Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη

, a ηέηνην ώζηε ( ) ( )

f f a

a

.

567) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε x a x ,

0 1 a , 0 έρεη ηνπιάρηζηνλ κηα ζεηηθή

πξαγκαηηθή ξίδα κηθξόηεξε ή ίζε ηνπ a .

568) Οη ζπλαξηήζεηο , : f g είλαη ζπλερείο

θαη γηα θάζε x ηζρύεη 2 2( ) ( ) 2 f x g x . Να

απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε ( ) ( )f x g x x έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην 1,1 .

569) Έζηω f ζπλερήο ζπλάξηεζε γηα ηελ νπνία

ηζρύνπλ 12

f

θαη 4 2( ) 1x xf x x x , γηα

θάζε 0 ,2

x

. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε

( ) 22

f x x x

, έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην

0 ,2

.

570) Έζηω f , g ζπλαξηήζεηο ζπλερείο ζην

δηάζηεκα Γ θαη 0 . Αλ γηα θάζε x ηζρύεη

( ) ( ) f x g x cx , c θαη ε εμίζωζε ( ) 0f x έρεη

ζην Γ δύν ξίδεο 1 , 2 εηεξόζεκεο, λα δείμεηε όηη ε

εμίζωζε ( ) 0g x έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην

1 2, .

571) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : 1, f e , κε

3 ln( )

1

x xf x

x. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη

0 1,x e ηέηνην, ώζηε 0

1( )

ef x

e.

572) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε a νη γξαθηθέο

παξαζηάζεηο ηωλ ζπλαξηήζεωλ 5 2 4 2( ) 11 2 f x x a x x θαη 2( ) 3 7 g x x ax

έρνπλ έλα θνηλό ζεκείν κε ηεηκεκέλε 0 1, 0 x .

573) Οη ζπλαξηήζεηο f , g είλαη ζπλερείο ζην

,a θαη ηζρύεη ( ) ( ) ( ) ( ) f a f g a g . Να

απνδείμεηε όηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηνπο έρνπλ

έλα ηνπιάρηζηνλ θνηλό ζεκείν .

574) Έζηω , : f g ζπλερείο ζπλαξηήζεηο

ηέηνηεο ώζηε γηα θάζε x λα ηζρύεη

2 ( ) ( ) 0a f x a g x a x , *, a θαη

0 a . Αλ ε fC ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζε δπν

ζεκεία Α θαη Β, εθαηέξωζελ ηεο αξρήο ηωλ αμόλωλ, λα απνδείμεηε όηη ε gC ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζε έλα

ηνπιάρηζηνλ ζεκείν κεηαμύ ηωλ Α θαη Β.

575) Γίλεηαη ε ζπλερήο ζπλάξηεζε : , *f a

θαη ε εμίζωζε 2( ) ( ) 0f a x x f κε , ε

νπνία δελ έρεη πξαγκαηηθέο ξίδεο. Να απνδείμεηε όηη

ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα x x

ζε έλα ηνπιάρηζηνλ ζεκείν κε ηεηκεκέλε 0 ,x a .

576) Έζηω , :f g ζπλερείο ζπλαξηήζεηο γηα

ηηο νπνίεο ηζρύεη όηη ( ) ( ) 0af x g x x γηα θάζε

x , όπνπ , , *a . Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο

f ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζηα ζεκεία κε ηεηκεκέλεο

1 θαη 2 κε

1 20 . Να απνδείμεηε όηη ε

γξαθηθή παξάζηαζε ηεο g ηέκλεη ηνλ x x

ζε έλα

ηνπιάρηζηνλ ζεκείν.


,a θαη ηζρύεη ( ) ( ) ( ) ( ) f a f g a g . Να

απνδείμεηε όηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηνπο έρνπλ

έλα ηνπιάρηζηνλ θνηλό ζεκείν .


,a θαη ηζρύνπλ ( ) ( )f a g a , ( ) ( )f g . Αλ ε

f είλαη γλεζίωο αύμνπζα θαη ε g γλεζίωο

θζίλνπζα, λα απνδείμεηε όηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ f , g έρνπλ έλα κόλν θνηλό

ζεκείν κε ηεηκεκέλε 0 ,x a .

579) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 3 3 1 0 x x

έρεη κνλαδηθή ξίδα ζην δηάζηεκα 1, 0 .

580) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 2 x x έρεη

αθξηβώο κηα ξίδα ζην δηάζηεκα 0 , .

581) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 3 2 xe x έρεη

κνλαδηθή ξίδα ζην δηάζηεκα 0 ,1 .

582) Να δεηρζεί όηη ε εμίζωζε 3 2 0 x ax , 0a

έρεη κηα κόλν πξαγκαηηθή ξίδα ζην δηάζηεκα 0 , 2 .


- 45 -

583) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 1 0 vx vx ,

* 1, 2 v έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζε θαζέλα

από ηα δηαζηήκαηα 0 ,1 θαη 1, 2 .

584) Αλ γηα ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο , ,a

ηζρύεη 0 a , ηόηε λα απνδείμεηε όηη ε

εμίζωζε 0

a

x a x x

έρεη κηα ξίδα ζην

δηάζηεκα ,a θαη κηα ξίδα ζην δηάζηεκα , .

585) Να δεηρζεί όηη ε εμίζωζε

1 1 10

ln ln ln

x a x x κε 0 a έρεη

δπν ηνπιάρηζηνλ ξίδεο ζην δηάζηεκα ln , lna .

586) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 4 3 220 25 1 x x x x έρεη δπν ηνπιάρηζηνλ ξίδεο

ζην 1,1 .

587) Να δεηρζεί όηη ε εμίζωζε 1

2x x έρεη,

ηνπιάρηζηνλ δπν ξίδεο ζην δηάζηεκα 0 , .

588) Αλ , a κε 0 θαη 1 a ,

α. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 3 2 0 x ax έρεη

δπν ηνπιάρηζηνλ ξίδεο ζην δηάζηεκα 1,1 .

β. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 3 2 0 x ax έρεη

αθξηβώο 3 ξίδεο ζην .

589) α. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 2 2 2

02 2

x x x

, , , 0 έρεη αθξηβώο δπν

ξίδεο ζην δηάζηεκα 2 , 2 .

β. Αλ 1 , 2 είλαη νη ξίδεο ηεο παξαπάλω

εμίζωζεο, λα απνδείμεηε όηη 2 2

2

1 2

1 1

2

.

590) Γίλεηαη ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην . Να

δείμεηε όηη ζπλάξηεζε 2( ) 4 ( ) 2 1 g x x f x x

έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην .

591) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην θαη

ηζρύεη (2) (6) 10 (3) (5) f f f f . Να απνδείμεηε

όηη ππάξρνπλ , a κε 8 a ηέηνηνη ώζηε λα

ηζρύεη ( ) ( ) 10 f a f .


( 3) 0 f . Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη 3 , 5 a

ηέηνην ώζηε 8

( ) (5) ( 3)3

f a f fa

.

593) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην κε

( ) 0f x , γηα θάζε x . Να απνδείμεηε όηη γηα

θάζε , a κε a ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ

, a ηέηνην ώζηε ( ) ( ) ( ) (3 ) a f f .

594) Να πξνζδηνξίζεηε ην a , ώζηε ε εμίζωζε 2 2 4 0 ax x λα έρεη πξαγκαηηθή ξίδα ζην

δηάζηεκα 1,1 .

595) Η ζπλάξηεζε : , f a a ( 0a ) είλαη

ζπλερήο θαη έρεη ζύλνιν ηηκώλ ην ,a a . Να

δείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ηέκλεη ηηο

επζείεο 1 : y x θαη 2 : y x ηνπιάρηζηνλ ζε έλα

ζεκείν.


ηζρύνπλ 22 ( 1) ( 1) ( ) 1 x x f x x , γηα θάζε

x θαη 1

( )2

1lim

x

f x

x. Να δείμεηε όηη ε επζεία

: 3 2 y x θαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f έρεη

έλα ηνπιάρηζηνλ θνηλό ζεκείν κε ηεηκεκέλε 0x ζην

δηάζηεκα 1,1 .

597) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 2ln 4 10 x x x

έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην δηάζηεκα 0 ,1 .

598) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 23 ln 1x x x

έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην δηάζηεκα 0 ,1 .

599) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 3ln 2 f x x x .


β. Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f

ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζε έλα κόλν ζεκείν.

600) Γίλνληαη , a κε 2 1 a . Να

απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 3 xa x x έρεη

κνλαδηθή ιύζε.


- 46 -

601) Γίλεηαη ζπλάξηεζε :f ζπλερήο θαη

γλεζίωο αύμνπζα, κε (1) 2f . Θεωξνύκε ηελ

ζπλάξηεζε ( ) x xg x f e e , x .

α. Να απνδείμεηε όηη ε g είλαη γλεζίωο θζίλνπζα.

β. Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο g

ηέκλεη ηνλ άμνλα x x

ζε έλα αθξηβώο ζεκείν κε

ηεηκεκέλε 0 0,1x .


3

2

, , 1

( ) ( 1), 1 ,

7 8

xa x

f x a xx

x x

.

α. Να βξεζεί ν a ώζηε ε f λα είλαη ζπλερήο.

β. Γηα ηελ ηηκή ηνπ a πνπ βξήθαηε λα δείμεηε όηη ε

εμίζωζε ( ) 4 2 xf x e έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ

αξλεηηθή ξίδα.

603) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 4 3 2( ) 2f x x ax ax

κε a .

α. Να απνδείμεηε όηη ( 1) 0f .

β. Να βξείηε ηα όξηα ( )limx

f x

θαη ( )limx

f x

.

γ. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε ( ) 0f x έρεη δπν

ηνπιάρηζηνλ ξίδεο.

604) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 0 ,1 κε

(0) (1)f f . Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε *v , ε

εμίζωζε 1

( )

f x f xv

έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα

ζην 0 ,1 .


ππάξρεη a ώζηε λα ηζρύεη ( ) f f a a . Να

απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε ( ) f x x έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ πξαγκαηηθή ξίδα.


(0) 0f , (1) 3f θαη (2) 3 f . Να απνδείμεηε όηη

ε εμίζωζε 2 ( ) 4f x έρεη ηνπιάρηζηνλ ηξεηο ξίδεο

ζην 0 , 2 .

607) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) f x ax x ,

0a . Αλ 5 3 3 0 a , λα απνδείμεηε όηη ε

εμίζωζε ( ) 0f x έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην

0 , 2 .


,a κε ( ) 0 ( ) f a f θαη ( ) 0 ( ) g g a . Να

απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε ( ) ( ) ( )( ) f x g x x a x

έρεη δπν ηνπιάρηζηνλ ξίδεο ζην ,a .

609) Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε 2 2 1 0 x x , 1

έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην δηάζηεκα 0 ,1 .

610) Αλ f ζπλάξηεζε γηα ηελ νπνία ηζρύεη

4 2 1( ) xf x x ax x

x , γηα θάζε *x θαη

(0) 0 f a , ηόηε:

α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην 0.

β. Να ππνινγίζεηε ηα ( )limx

f x θαη ( )limx

f x .

γ. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε ( ) 0f x έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην .

611) Γίλεηαη ε ζπλερήο ζπλάξηεζε : ,1f

κε 1

(0) (1)2

f f θαη ζπλερήο ζπλάξηεζε

1: ,

2g

κε (2) 3g

θαη (3) 1g . Να


α. ππάξρεη 1 0 ,1x κε 1 1( ) 2f x x ,

β. ππάξρεη 2 2 , 3x κε 2 2( )g x x ,

γ. ππάξρεη κε ( )( )

fg

.

612) Να απνδεηρζεί όηη θάζε πνιπώλπκν πεξηηηνύ

βαζκνύ έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ πξαγκαηηθή ξίδα.

613) Έζηω 2( ) ( 3 2) ( ) f x x x h x , γηα θάζε x

, όπνπ h ζπλερήο ζπλάξηεζε ζην . Αλ νη αξηζκνί

1 1 , 2 2 είλαη δπν δηαδνρηθέο ξίδεο ηεο

εμίζωζεο ( ) 0f x , λα απνδεηρηεί όηη (1) (2) 0 h h .

614) Να βξείηε ην πξόζεκν ηεο ζπλάξηεζεο

( ) f x x x , 0 , 2x .

615) Να βξείηε ην πξόζεκν ηωλ ζπλαξηήζεωλ : α. ( ) ( 5)( 4)( 7)( 6) 504 f x x x x x

β. 3 22 2( ) 4 1 27 1 f x x x x x

γ. ( ) 3 2 1 f x x x


- 47 -

616) Να βξείηε, γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ x , ην

πξόζεκν ηεο ζπλάξηεζεο ( ) 3 9 7 xf x x .

617) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην θαη

ηζρύεη (3) (6) (2014) 0 f f f , λα απνδείμεηε όηη ε

εμίζωζε ( ) 0f x έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην .

618) Έζηω : 2 , 2 f ζπλερήο ζπλάξηεζε

ώζηε 2 23 1 2 ( ) 9 x f x , γηα θάζε 2 , 2 x . Να

δείμεηε όηη ε f δηαηεξεί πξόζεκν ζην 2 , 2 .

619) Έζηω : 0 , f ζπλερήο ζπλάξηεζε

ώζηε 2 42 3 ( ) 2 x f x , γηα θάζε 0 ,x . Να

δείμεηε όηη ε f δηαηεξεί πξόζεκν ζην 0 , .

620) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην ,a a

θαη ηζρύεη 2 2 2 2 2 2( ) x a f x a κε 0 , γηα θάζε

, x a a . Να δείμεηε όηη ε f δηαηεξεί πξόζεκν

ζην ,a a .

621) Αλ : 1, f ζπλερήο ζπλάξηεζε θαη

γηα θάζε 1x ηζρύεη 2

( ) 1 11

f x xx

. Να

δείμεηε όηη ε f δηαηεξεί πξόζεκν ζην 1, .

622) Γίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε : f κε

( ) 0f x γηα θάζε x ηεο νπνίαο ε γξαθηθή

παξάζηαζε ηέκλεη ηνλ άμνλα y y ζην ζεκείν 3. Να

βξείηε ην όξην 3 2( 2) 5 3 1lim

x

f x x x .


( ) 0f x γηα θάζε x . Να ππνινγίζεηε ην όξην 5 2

2

(1) (5) 2 5

(3) 5 3lim

x

f x f x x

f x x.

624) Γίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε :f γηα

ηελ νπνία ηζρύεη 0

( ) 3

1 1lim

x

xf x x

x

θαη ε εμίζωζε

( ) 0f x έρεη κνλαδηθέο ξίδεο ηηο – 1 θαη 3. Να

βξείηε:

α. ηελ ηηκή (0)f

β. ην όξην 0

( ) lnlimx

f e x

γ. ην όξην 2 2 3 (1)limx

x x f x


( ) 0f x γηα θάζε x . Να απνδείμεηε όηη ε

εμίζωζε 2( ) 4 xxf x x e έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ

ιύζε ζην 2 , 2 .

626) Γίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε : f γηα ηελ

νπνία ηζρύεη όηη 3 2 5 2( ) 2 ( ) 1 x f x x f x x x , γηα

θάζε x . Να δείμεηε όηη ( ) 0f x , γηα θάζε x


( ) f x x , γηα θάζε x . Δπίζεο ε γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο f δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 , 2 .

Να απνδείμεηε όηη:

α. ( ) f x x , γηα θάζε x ,

β. ππάξρεη 1,1 ηέηνην ώζηε ( ) 1f .


ηελ νπνία ηζρύεη 3 2 5 2( ) 2 ( ) 1x f x x f x x x , γηα

θάζε x .

α. Να βξείηε ην (1)f .

β. Να απνδείμεηε όηη ( ) 0f x γηα θάζε x .

629) Γίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε : 3 , 3 f ,

γηα ηελ νπνία ηζρύεη 2 2 ( ) 9 x f x , γηα θάζε

3 , 3 x .

α. Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε ( ) 0f x .

β. Αλ επηπιένλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f δηέξρεηαη

από ην ζεκείν 0 , 3 , λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .

630) Γίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε : 0 , f ,

γηα ηελ νπνία ηζρύεη 2 2 ( ) 1 x f x , γηα θάζε

0 ,x θαη επηπιένλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f

δηέξρεηαη από ην ζεκείν , 12

.

α. Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε ( ) 0f x .

β. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .

631) Γίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε : f , γηα

ηελ νπνία ηζρύεη 2 ( ) 2 ( ) 5 f x xf x , γηα θάζε x .

Δπηπιένλ ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε δηέξρεηαη από ην

ζεκείν 2 , 1 .

α. Να απνδείμεηε όηη ( ) 0f x , γηα θάζε x .


γ. Να βξείηε ην ( )limx

f x .


- 48 -


ηελ νπνία ηζρύεη 2 2 2( ) 4 ( ) 4f x f x x x x γηα

θάζε x . Δπηπιένλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f

ηέκλεη ηνλ άμνλα y y ζην ζεκείν κε ηεηαγκέλε 2. Να

βξείηε:

α. ηνλ ηύπν ηεο f ,

β. ην όξην 0

( ) 2lim

x

f x x

x

.

633) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο

f γηα ηελ νπνία , γηα θάζε x ηζρύεη

2 ( ) 1 ( ) 0 x xf x e f x e θαη επηπιένλ (0) 1f .

634) Να βξείηε όιεο ηηο ζπλερείο ζπλαξηήζεηο

: f γηα ηηο νπνίεο, ηζρύεη 2 2( ) 2 1 f x x x ,

γηα θάζε x .

635) Να βξείηε όιεο ηηο ζπλερείο ζπλαξηήζεηο : f γηα ηηο νπνίεο, ηζρύεη 2 2 2( ) 4 ( ) 4 f x f x x x x , γηα θάζε x .

636) Να βξείηε όιεο ηηο ζπλερείο ζπλαξηήζεηο

: f γηα ηηο νπνίεο, ηζρύεη

22 2 2( ) 1 2 1 2 ( ) f x x x f x , γηα θάζε x .

637) Να βξείηε όιεο ηηο ζπλερείο ζπλαξηήζεηο : f γηα ηηο νπνίεο γηα θάζε x , ηζρύεη

22 ( ) 2 ( ) x

x

xe f x f x

e θαη επηπιένλ (0) 0f .

638) Έζηω : 1, 4f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε

γηα ηελ νπνία ηζρύεη 2 2 ( ) 3 4x f x x , γηα θάζε

1, 4x .

α. Να βξείηε ηηο ξίδεο ηεο εμίζωζεο ( ) 0f x .

β. Αλ επηπιένλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ηέκλεη ηνλ

άμνλα y y ζην ζεκείν κε ηεηαγκέλε – 2, λα βξείηε ηνλ

ηύπν ηεο f .

639) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 5 3( ) 5 10f x x x x .

Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη 1, 2 ηέηνην ώζηε

( ) 50f .

640) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην ,a ,

λα δείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 0 ,x a

ώζηε 0

( ) 2 ( )( )

3

f a ff x

.

641) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην ,a .

Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη 0 ,x a ηέηνην , ώζηε

0

7 ( ) 3 ( )( )

10

f a ff x

.

642) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 1, 3 .

Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη 1, 3 ηέηνην, ώζηε

(1) (2) (3)( )

3

f f ff .

643) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην 0 ,1 .

Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη 0 ,1 ηέηνην, ώζηε

1 1 1 1( ) 4 5 11

20 4 5 11

f f f f .

644) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην ,a θαη

έζηω 1 2 3, , ,x x x a . Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη

, a , ηέηνην ώζηε

1 2 310 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 5 ( ) f f x f x f x .

645) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 1,1 .

Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε a , ππάξρεη έλα

ηνπιάρηζηνλ 1,1 , ηέηνην ώζηε

5 ( ) 2 ( ) 3 ( ) f f a f a .


έζηω 1 2, ,..., ,vx x x a . Να απνδείμεηε όηη

ππάξρεη , ηέηνην ώζηε

1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) vvf f x f x f x .


έζηω 1 2, ,..., ,vx x x a . Να απνδείμεηε όηη

ππάξρεη , ηέηνην ώζηε

1 2 3( 1) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ... ( ) vv v f f x f x f x vf x .


- 49 -

648) Αλ ε ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην ,a , λα

δείμεηε όηη ππάξρεη 0 ,x a ηέηνην, ώζηε

0

1( ) 2 ( ) 3 4 ( )

9 2

af x f a f f

.

649) Γίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε

: 0 , 3 0 ,f . Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη

0 0 , 3x ηέηνην, ώζηε 0( ) (1) (2)f x f f .

650) Γίλεηαη ζπλερήο θαη κε ζηαζεξή ζπλάξηεζε

: 0 ,1f γηα ηελ νπνία ηζρύεη 5 (0) (1) 0f f .


α. ην (0) (1)

2

f f αλήθεη ζην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f .

β. ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 0 ,1 ηέηνην, ώζηε

( ) 2 (0)f f .

651) Η ζπλάξηεζε : f είλαη ζπλερήο κε

(8) 5f θαη γηα θάζε x ηζρύεη ( ) ( ) 2f x f f x .

Να βξεζεί ην (3)f .

652) Η ζπλάξηεζε : f είλαη ζπλερήο κε

(10) 9f θαη γηα θάζε x ηζρύεη ( ) ( ) 1f x f f x

. Να βξεζεί ην (2)f .


,a θαη γηα θάζε ,x a ηζρύεη ( ) ( )f x g x .

Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη 0 , ηέηνην ώζηε

( ) ( ) f x g x , γηα θάζε ,x a .

654) Αλ ε ζπλάξηεζε : , f a είλαη ζπλερήο,

λα απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ πξαγκαηηθνί αξηζκνί ,

ηέηνηνη ώζηε 2 ( ) ( ) ( ) f x f x .


γηα θάζε ,x a ππάξρεη ,y a ηέηνην ώζηε

1( ) ( )

2f y f x . Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη

, a ηέηνην ώζηε ( ) 0f .

656) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3( ) 10 f x x x . Να

βξεζνύλ νη εηθόλεο ηωλ δηαζηεκάηωλ:

α. 2 ,1 β. 1, 4

γ. , 3 δ. 2 ,

657) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 2 ln xf x e x . Να

βξεζνύλ νη εηθόλεο ηωλ δηαζηεκάηωλ:

α. 1, e β. 0 , 4

γ. 0 , δ. 1,

658) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 2 ln xf x e x .

α. Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ θαη ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο. β. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε ( ) f x a , a έρεη

κηα ηνπιάρηζηνλ πξαγκαηηθή ξίδα.

659) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) ln 1xf x e x x .

α. Να κειεηήζεηε ηελ f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία.

β. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f .

γ. Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f

ηέκλεη ηνλ x x αθξηβώο ζε έλα ζεκείν.

660) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 1( ) ln 1 xf x e x .

α. Να δείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα.

β. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο f .

γ. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 1 ln 2 xe x , έρεη

κνλαδηθή ιύζε.

δ. Να εμεηάζεηε αλ ππάξρνπλ 1 2, 0 , x x ηέηνηα

ώζηε 2 2

1 1 2 236 ( ) 12 ( ) 9 ( ) 24 ( ) 17 0 f x f x f x f x .

661) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 2 1 f x x x ,

0 ,2

x

.

α. Να δείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα.


γ. Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε ( ) 0f x έρεη κνλαδηθή ξίδα

ζην 0 ,2

.

662) Γίλεηαη ζπλάξηεζε : f , ε νπνία είλαη

γλεζίωο αύμνπζα ζην , 3 θαη γλεζίωο θζίλνπζα

ζην 3 , . Αλ ( ) 4lim

x

f x , (3) 3f ,

( )lim

x

f x .

α. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f .

β. Να βξείηε ην πιήζνο ηωλ ξηδώλ ηεο εμίζωζεο ( ) 0f x .

γ. Να εμεηαζζεί αλ ε εμίζωζε ( ) 4f x έρεη ξίδα.

δ. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ a , λα βξείηε ην

πιήζνο ηωλ ξηδώλ ηεο εμίζωζεο ( ) 1 f x a .


- 50 -


( ) ln( 2) ln( 2) 3 f x x x .

α. Να κειεηεζεί ωο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη λα βξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο.

β. Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε

ηελ 1f .

664) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2 2 3 , 1

( )5 , 1

x x xf x

x x.

α. Να κειεηεζεί ε f ωο πξνο ηελ ζπλέρεηα, ηελ

κνλνηνλία θαη λα βξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο.

β. Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε

ηελ 1f .

665) Να δείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο


( ) xf x e ηέκλεη ηελ δηρνηόκν ηνπ 1νπ

θαη 3νπ ηεηαξηεκνξίνπ ζε έλα κόλν ζεκείν.

666) Να δείμεηε αλ f είλαη πνιπωλπκηθή

ζπλάξηεζε πεξηηηνύ βαζκνύ ηόηε ε εμίζωζε ( ) f x a κε a έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ πξαγκαηηθή

ξίδα.

667) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 2ln ln f x x x x

, 0x .

α. Να βξείηε ηα όξηα 0

( )limx

f x θαη ( )limx

f x .

β. Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε ( ) 0f x έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ζεηηθή ξίδα πνπ είλαη θαη ξίδα ηεο εμίζωζεο 3 2 1 x x x .

668) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ θαη

ζύλνιν ηηκώλ ην ,a . Αλ γηα θάζε 1 2, ,x x a

ηζρύεη 1 2 1 2

1( ) ( )

2 f x f x x x , λα δείμεηε όηη:


β. Η ζπλάξηεζε ( ) ( ) g x f x x , είλαη γλεζίωο

θζίλνπζα ζην ,a .

γ. Υπάξρεη κνλαδηθό 0 ,x a , ώζηε 0 0( ) f x x .

- 51 -

2016-2017

διαφορικός λογισμός



διαφορικός λογισμός κεφάλαιο 3

- 52 -

§1. παράγωγοσ ςυνάρτηςησ ςε ςημείο

1) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 5 2 f x x x . Να

βξείηε ηελ παξάγωγν ηεο ζην 0 4x .

2) Να εμεηαζηεί αλ νη παξαθάηω ζπλαξηήζεηο είλαη παξαγωγίζηκεο ζην ζεκείν 0x :

α. 3( ) 2 f x x x , 0 2 x β. 2( ) | 3 | f x x x , 0 3 x

γ.5

( ) f xx

, 0 1x δ. 2( ) 5f x x x , 0 3x

3) Να βξείηε ηελ παξάγωγν ζην 0x , ηωλ παξαθάηω

ζπλαξηήζεωλ:

α. ( ) ( 5) 5 f x x x , 0 5x

β. 2( ) | 2 | 4 f x x x , 0 2x

γ. 2( ) 6 7 ( 3) | 3 | f x x x x x , 0 3x

δ. 2( ) 7 10 2 f x x x x , 0 2x


2

, 2( )

9 8 , 2

x x xf x

x x x. Να βξείηε, αλ

ππάξρεη, ην (2)f .

5) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2 , 2

( )3 , 2

x x xf x

x x. Να

βξείηε, αλ ππάξρεη, ην (2)f .

6) Να εμεηαζηεί αλ νη παξαθάηω ζπλαξηήζεηο είλαη

παξαγωγίζηκεο ζην ζεκείν 0x :

α. 2( ) f x x , 0 0x

β.

2

2

3 5 , 1( )

3 4 5 , 1

x x xf x

x x, 0 1x

7) Να εμεηάζεηε αλ ε ζπλάξηεζε

2 1, 0

( )

1 , 0

x xf x x

x x

, είλαη παξαγωγίζηκε

ζην 0 0x .

8) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε 3

2

| |, 0

( )

0 , 0

xx

f x x

x

είλαη ζπλερήο ζην 0 0x

αιιά δελ είλαη παξαγωγίζηκε ζην ζεκείν απηό.

9) Έζηω ε ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζην θαη γηα

θάζε x ηζρύεη 2( ) f x x . Να απνδείμεηε όηη

(0) (0) 0 f f .

10) Γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύεη 22 ( ) 1 x f x x , γηα θάζε x . Να βξείηε

ην (0)f .

11) Η ζπλάξηεζε : f είλαη ζπλερήο ζην

ζεκείν 0 0x θαη γηα θάζε x ηζρύεη 2 2 2 23 ( ) x x xf x x x . Να απνδείμεηε όηη

ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην ζεκείν 0 0x .

12) Να βξείηε ην (0)f , αλ ε f ζπλερήο ζην

0 0x θαη γηα θάζε πξαγκαηηθό x ηζρύεη

2 3 6( ) x f x x x .

13) Έζηω : f ζπλάξηεζε ηέηνηα, ώζηε

2 2( ) 3 5 f x x x , γηα θάζε x . Να

απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη:

α. ζπλερήο ζην ζεκείν 0 0x ,

β. παξαγωγίζηκε ζην ζεκείν 0 0x .

14) Η ζπλάξηεζε : f ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε 3

( ) ( )f x f y x y , γηα θάζε , x y . Να

δείμεηε όηη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην ηπραίν

ζεκείν 0x .

15) Η ζπλάξηεζε : f ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε

2

( ) ( ) f a f a , γηα θάζε , a . Να

δείμεηε όηη αλ ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην

ζεκείν 0x , ηόηε 0( ) 0 f x .


- 53 -

16) Αλ ε ζπλάξηεζε : f είλαη πεξηηηή θαη

γηα θάζε x ηζρύεη | | ( ) x f x x x .


β. Να εμεηάζεηε αλ ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην

0 0x .

17) Η ζπλάξηεζε : f είλαη παξαγωγίζηκε

ζην 0 0x θαη γηα θάζε x ηζρύεη

2 2( ) 4 ( ) 2 0 f x f x x x . Να βξείηε ην

(0)f .

18) Έζηω , : f g ζπλαξηήζεηο ηέηνηεο ώζηε

γηα θάζε x ηζρύνπλ ( ) ( ) 1 g x f x θαη

23 4 ( ) 2 2 x f x x x .

α. Να δείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην ζεκείν 0 1x .

β. Να βξείηε ηα (1)f θαη (1)g .

19) Θεωξνύκε ηηο ζπλαξηήζεηο , : f g

ηέηνηεο ώζηε 2( ) ( ) ( ) ( ) g x f x g x x a , γηα

θάζε x ( a ). Αλ ε g είλαη παξαγωγίζηκε

ζην ζεκείν 0 x a , λα δείμεηε όηη θαη ε f είλαη

παξαγωγίζηκε ζην ζεκείν απηό κε ( ) ( ) f a g a .

20) Έζηω , : f g ζπλαξηήζεηο

παξαγωγίζηκεο ζην 0 x , γηα ηηο νπνίεο

ηζρύνπλ 0 0( ) ( )f x g x θαη ( ) ( )f x g x , γηα θάζε

x . Να δείμεηε όηη 0 0( ) ( ) f x g x .

21) Οη ζπλαξηήζεηο , : f g είλαη

παξαγωγίζηκεο ζην 0 5x θαη ηθαλνπνηνύλ ηηο

ζπλζήθεο (5) (5)f g θαη ( ) ( ) 5 f x x g x , γηα

θάζε x . Να δείμεηε όηη (5) (5) 1 g f .

22) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g νη

νπνίεο είλαη παξαγωγίζηκεο ζην 0 x a θαη

ηθαλνπνηνύλ ηηο ζπλζήθεο ( ) ( )f a g a θαη 2 2( ) ( ) f x x g x a , γηα θάζε x . Να δείμεηε

όηη ( ) ( ) 2 g a f a a .

23) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο f , g θαη h

νξηζκέλεο ζην Α, γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ ( ) ( ) ( ) f a g a h a θαη ( ) ( ) ( ) f x g x h x , γηα

θάζε x A ( a A ). Αλ νη f θαη h είλαη

παξαγωγίζηκεο ζην a θαη ηζρύεη ( ) ( ) f a h a , λα

απνδείμεηε όηη θαη ε g είλαη παξαγωγίζηκε ζην

a θαη ηζρύεη ( ) ( ) ( ) f a g a h a .

24) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : 0 , f ηέηνηα

ώζηε λα ηζρύεη 3 2( ) ( ) 1 f x x f x , γηα θάζε

x . Να δείμεηε όηη:

α. 0

( ) 1lim

x

f x ,

β. (0) 0 f .


ζην ζεκείν 0 0x θαη γηα θάζε 0x ηζρύεη

3 2 2 3( ) ( ) ( ) f x xf x x f x x . Να δείμεηε όηη

(0) 1 f .

26) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : 0 , f ηέηνηα

ώζηε λα ηζρύεη 3 3( ) ( ) 1 f x x f x , γηα θάζε

x . Να απνδείμεηε όηη: α. Η f είλαη ζπλερήο ζην ζεκείν 0 0x .

β. Η f είλαη παξαγωγίζηκε ζην ζεκείν 0 0x θαη λα

βξεζεί ην (0)f .


γηα θάζε x ηζρύεη 2 3 3( ) 2 ( ) 1 x f x f x x .

Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην

0 1x .

28) Γίλεηαη ζπλάξηεζε : f , παξαγωγίζηκε

ζην 0, γηα ηελ νπνία ηζρύεη 3 2( ) 8 ( ) 3 f x x x f x x x , γηα θάζε x .

Να βξείηε ην (0)f θαη ην (0)f .

29) Η ζπλάξηεζε : 0 , f είλαη ζπλερήο

ζην ζεκείν 0 0 , x θαη γηα θάζε 0x

ηζρύεη 0 02 ( ) ( ) ( ) x f x xf x xf x . Να απνδείμεηε

όηη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0x κε

παξάγωγν 0

0

0

2 ( )( )

f xf x

x.

30) Έζηω , : f g ζπλαξηήζεηο ηέηνηεο ώζηε 2 2 4( ) ( ) f x g x x , γηα θάζε x . Να δείμεηε

όηη (0) (0) 0 f g .

31) Γίλεηαη ζπλάξηεζε f γηα ηελ νπνία ηζρύεη

( ) ( ) ( ) 10( 1)( 1) f xy f x f y x y , γηα θάζε *, x y θαη (1) 5 f . Να απνδείμεηε όηη ε f

είλαη παξαγωγίζηκε ζην ηπραίν *

0 x .


- 54 -

32) Αλ γηα ηελ ζπλάξηεζε f ηζρύεη 3 2 2 3( ) 3 3 f x y x x y xy y , γηα θάζε , x y

, λα απνδείμεηε όηη (1) 3 f .

33) Έζηω ε ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζην

0 , A ηέηνηα, ώζηε ( ) ( ) ( ) f x y f x f y ,

γηα θάζε , x y A .

α. Να απνδείμεηε όηη (1) 0f .

β. Αλ (1) 1 f , λα απνδείμεηε όηη ε f είλαη

παξαγωγίζηκε ζην A θαη γηα θάζε x A ηζρύεη

( ) 1 x f x .

34) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε *: f ηέηνηα, ώζηε

λα ηζρύεη ( ) ( ) ( ) 4 f x y f x f y xy , γηα θάζε

, x y . Να απνδείμεηε όηη:

α. Αλ ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0 0x , ηόηε είλαη

παξαγωγίζηκε ζην . β. Αλ ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην a , ηόηε είλαη

παξαγωγίζηκε ζην .

35) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε *: f γηα ηελ νπνία

ηζρύεη ( ) ( ) ( ) f x y f x f y , γηα θάζε , x y .

Αλ (0) 4 f , λα βξείηε ην όξην

2

21

( ) (1)

1lim

x

x f x f

x.

36) Αλ ε ζπλάξηεζε : f είλαη ζπλερήο θαη

ηέηνηα, ώζηε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f y x y f x f y , γηα

θάζε , x y , λα απνδείμεηε όηη ε f είλαη

παξαγωγίζηκε ζην ζεκείν 0 x κε παξάγωγν 2

0 0( ) ( ) f x f x .

37) Η ζπλάξηεζε : 0 , f είλαη

παξαγωγίζηκε ζην ζεκείν 0 1x κε (1) 5 f θαη

γηα θάζε , 0 , x y ηζρύεη

2 2 2 2( ) ( ) ( ) f xy f x f y x y x y . Να δείμεηε

όηη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζε θάζε

0 0 , x κε παξάγωγν 0 0

0

3( ) 2 f x x

x.


ηζρύεη 2

2

( )3

2lim

x

f x x

x. Να βξείηε, αλ ππάξρεη,

ην (2)f .


ηζρύεη 3

1

( )10

1lim

x

f x x

x. Να απνδείμεηε όηη ε

f είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0 1x .

40) Η ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε ζην θαη

ηζρύεη 2

1

( )10

3 2lim

x

f x

x. Αλ ε f είλαη

ζπλερήο ζην 0 1x , λα δείμεηε όηη (1) 5 f .

41) Αλ 2( ) ( ) g x x x f x , x κε

21

( ) 35

3 2lim

x

f x

x x θαη ε f είλαη ζπλερήο ζην

0 1x , λα βξείηε ην (1)g .

42) Αλ (0) 0f θαη 2

20

( ) 4 ( )4lim

x

f x xf x

x, λα

δείμεηε όηη (0) 2 f .


θαη ηζρύεη

2

30

1( )

1lim

x

f x xx

x

, λα δείμεηε όηη ε



θαη ηζρύεη

0

2 315lim

h

f h

h, λα δείμεηε όηη ε



θαη ηζρύεη 2

0

(2 3 ) 58lim

h

f h h

h, λα

απνδεηρζεί όηη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην

0 2x θαη λα βξεζεί ην (2)f .


θαη ηζρύεη 2

0

(3 2 ) 17lim

h

f h h

h, λα

απνδεηρζεί όηη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην

0 3x .

47) Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην 0 x a θαη ηζρύεη

0

( ) 24

2lim

h

f a h

h h, λα βξείηε ην ( )f a .


- 55 -

48) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 3 2 ( ) g x x x f x ,

x , όπνπ f είλαη ζπλάξηεζε ζπλερήο ζην

0 1x . Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη

παξαγωγίζηκε ζην 0 1x .

49) Αλ γηα ηελ ζπλάξηεζε f ηζρύνπλ (0) 3f ,

(0) 2 f θαη ε f είλαη ζπλερήο ζην 0 0x , λα

βξείηε ην (0)g , όηαλ:

α. 2( ) 2 ( ) g x x f x x β. ( ) ( )

( )

xg x f x

f x

50) Η ζπλάξηεζε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην

0 2x κε (2) 2 f θαη (2) 3 f . Να βξεζεί ε

(2)g όηαλ 2( ) ( ) 2 1 g x x f x x .

51) Αλ γηα θάζε x ηζρύεη 4( ) ( ) f x g x x κε

(0) 0g θαη (0) 1 g . Να βξείηε ην (0)f .

52) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f κε (1) (2)f f

θαη 2 (1) (2) f f . Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε

2 , 1( )

4 3 , 1

f x xg x

f x x, είλαη παξαγωγίζηκε

ζην 0 1x .


ζην 0 6x . Αλ

3 , 2( )

5 4 , 2

f x xg x

f x x, λα

απνδείμεηε όηη ε g είλαη παξαγωγίζηκε ζην

0 2x αλ θαη κόλν εάλ (6) 0 f .

54) Αλ ( ) | | ( ) g x x a f x , x θαη ε ζπλάξηεζε

f είλαη ζπλερήο ζην a , λα δείμεηε όηη ε g

είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0 x a αλ θαη κόλν εάλ

( ) 0f a .

55) Αλ ε ζπλάξηεζε f παξαγωγίδεηαη ζην a ,

ηόηε λα ππνινγίζεηε ην ( ) ( )

lim

x a

xf x af a

x a.

56) Αλ νη ζπλαξηήζεηο f , g είλαη παξαγωγίζηκεο

ζην a , λα βξείηε ην ( ) ( ) ( ) ( )

limx a

g a f x f a g x

x a

57) Γίλεηαη ζπλάξηεζε : f ε νπνία είλαη

παξαγωγίζηκε ζην a κε ( ) ( ) f a f a . Να

δείμεηε όηη ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )lim

x a

xf x af a f a af a

xf a af x f a af a.

58) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην

ζεκείν 0 x θαη *, a , λα ππνινγηζηνύλ

ηα όξηα:

α. 0 0

0

( ) ( )lim

h

f x f x h

h β. 0 0

0

( ) ( )lim

h

f x ah f x

h

γ. 0 0

0

( ) ( )lim

h

f x ah f x

h δ. 0 0

0

( ) ( )lim

h

f x h f x h

h

ε. 0 0

0

( ) ( )lim

h

f x ah f x h

h

59) Έζηω , : f g ζπλαξηήζεηο κε

(0) (0) 0 f f θαη ( ) , 0

( )

0 , 0

f x xg x x

x

.

α. Να δείμεηε όηη ε g είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0 0x .


( ) 7

4 2lim

x

f x xx

x x

.


0 7x κε (7) 8 f . Να ππνινγίζεηε ην όξην

1

5 2 (7)

1lim

x

f x f

x.

61) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f , ηέηνηα ώζηε

γηα θάζε x , λα ηζρύεη 4( ) 5 2 f x x x .

α. Να βξεζεί, αλ ππάξρεη, ην (0)f .

β. Να ππνινγηζηεί ην όξην

0

4 2

5 3lim

x

f x f x

f x f x.


0 0x κε (0) 0f θαη γηα θάζε x ηζρύεη

( ) 2 ... 2010 2011 f x f x f x x . Να


(0)1005

f .

63) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3 2 2

2

1 , 1( )

, 1

x x a x xf x

x a x. Να βξεζεί ν

a , ώζηε ε ζπλάξηεζε f λα είλαη

παξαγωγίζηκε ζην ζεκείν 0 1x .


- 56 -


( )1 , 1

a x xf x

ax a x.

Να βξεζεί ν a , ώζηε ε ζπλάξηεζε f λα

είλαη παξαγωγίζηκε ζην ζεκείν 0 1x .

65) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2 23 , 1

( )5 4 , 1

x a x xf x

x a x.

Να βξεζεί ν a , ώζηε ε ζπλάξηεζε f λα

είλαη παξαγωγίζηκε ζην ζεκείν 0 1x .


2 2

1 , 1

( ) 1, 1

1

x x

f x x a xx

x

. Να βξεζεί ν a ,

ώζηε ε ζπλάξηεζε f λα είλαη παξαγωγίζηκε


67) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f κε

1, 0

( )

0 , 0

ax xf x x

x

. Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ

a ώζηε ε ζπλάξηεζε f λα είλαη



2

, 1( )

3 , 1

x ax xf x

x x

. Να βξείηε ηα

, a ώζηε ε ζπλάξηεζε f λα είλαη


69) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηωλ , a ώζηε ε

ζπλάξηεζε ,

( ),

x xf x

ax x

λα είλαη

παξαγωγίζηκε ζην ζεκείν 0 x .

70) Να βξείηε ηα , a ώζηε νη παξαθάηω

ζπλαξηήζεηο λα είλαη παξαγωγίζηκεο ζην 0 1x .

α. 3 , 1

( ), 1

x xf x

ax x β.

3

2

, 1( )

2 , 1

ax x xf x

x x x

γ. 2

1, 1

( ) 1

, 1

xf x x

ax x

71) Να βξείηε ηα , a ώζηε νη παξαθάηω


α.

2

2

, 12( )

3 , 1

axx

xf x

x x

β.

3

2

4 (2 1) , 1( )

3 4 , 1

x a x xf x

a x a x

72) Να βξεζνύλ νη , a ώζηε ε ζπλάξηεζε

24 , 0( )

, 0

ax x xf x

x x λα είλαη



2 2 1( )

2lim

vx

vxv

x ax ef x

e

. Γηα πνηεο ηηκέο

ηωλ , a ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην

ζεκείν 0 0x .


3 2 6, 2

( ) 2

2 1 , 2

ax x xx

f x x

x x


, , a ώζηε ε ζπλάξηεζε f λα είλαη


75) Να βξείηε ηα , , a ώζηε νη παξαθάηω


α.

2

3

3 , 1

( ) 2 , 1

2 , 1

ax x x

f x x

x x x

β.

3 2 2, 1

( ) 1

2 1 , 1

ax x xx

f x x

x x


ζην ζεκείν 0 x . Να βξεζεί ν a ώζηε ε

ζπλάξηεζε 0 0

0

( ) ,( )

2 ,

x x f x x xg x

a x x λα

είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0x .


- 57 -


ζην ζεκείν 0 0x , κε (0) 2f θαη (0) 1 f . Να

βξείηε ην ώζηε ε ζπλάξηεζε

3

2

( ) , 0( )

2 ( ) , 0

f x xg x

f x x λα είλαη παξαγωγίζηκε




βξεζνύλ ηα , a ώζηε ε ζπλάξηεζε

3 ( ) , 0( )

, 0

f x xg x

ax x x λα είλαη παξαγωγίζηκε

ζην 0 0x .



βξεζνύλ ηα , a ώζηε ε ζπλάξηεζε

2

2

( ) , 1( )

2 , 1

f x xg x

ax x x λα είλαη παξαγωγίζηκε

ζην 0 1x .

80) Αλ νη ζπλαξηήζεηο , : f g είλαη

παξαγωγίζηκεο ζην 0 0x θαη

2

3 2

( ) 2 , 0( )

( ) 2 ( ) 4 , 0

f x xg x

f x f x x. Να βξεζνύλ νη

αξηζκνί (0)f θαη (0)f .


παξαγωγίζηκεο ζην 0 0x θαη ηζρύεη

32 ( ) 6 ( ) 1 , 0( )

3 ( ) 4 , 0

f x f x xg x

f x x, λα βξεζνύλ νη

αξηζκνί (0)f , (0)g , (0)f θαη (0)g .


παξαγωγίζηκεο ζην 0 0x θαη ηζρύεη

3 ( ) 3 ( ) 4 , 0( )

( ) 1 , 0

f x f x xg x

f x x, λα βξεζνύλ νη

αξηζκνί (0)f , (0)g , (0)f θαη (0)g .


0 x a λα δείμεηε όηη θαη ε ζπλάξηεζε

2

2

( ) ,( )

2 ( ) ( ) ( ) ,

f x x ag x

f a f a x a f a x a είλαη

παξαγωγίζηκε ζην 0 x a .


a ( 0a ) λα βξείηε ηα όξηα:

α. ( ) ( )

lim

x a

f x f a

x a β.

2 2( ) ( )lim

x a

f x f a

x a


a θαη ( ) ( ) 0 f a f a a , λα βξείηε ηα

όξηα:

α. 2 2

2 2

( )

3 2lim

x a

f x a

x ax a β.

2 2

0 2lim

h

f a h f a h

h


0 2x θαη 2

22

( ) 3 5 54

4lim

x

f x x x

x, λα βξείηε

ην (2)f .

87) Έζηω : f ζπλάξηεζε παξαγωγίζηκε

ζην 0 0x . Αλ 0

( ) (2008 )1lim

x

f x f x

x, λα


(0)2007

f .

88) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία

ηζρύεη 0 0( ) ( ) f x f x κε 0 x θαη

0

3 3

0

0

( ) ( )81lim

x x

f x f x

x x. Να βξείηε ην 0( )f x .


0 2x θαη

0

2 3 16lim

h

f h

h. Να δείμεηε όηη:

α. (2) 2 f ,

β. 2

22

( ) 3 13

3 2lim

x

f x x x

x x.

90) Αλ ε ζπλάξηεζε : 0 , f είλαη

παξαγωγίζηκε ζην 0 1x θαη γηα θάζε x

ηζρύεη 2 2( ) 3 ( ) 4 f x f x x . Να βξείηε ην (1)f .


- 58 -

91) Αλ ε ζπλάξηεζε f ηζρύνπλ (0) 2f θαη

(0) 4 f λα βξείηε ηελ (0)g , όηαλ:

α. 4

( ) 2( )

g x xf x

β. 3( ) ( ) g x f x x

92) Έζηω : f ζπλάξηεζε ζπλερήο ζην

0 x . Να δείμεηε όηη αλ 0( ) 0f x θαη ε

ζπλάξηεζε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0x ηόηε

θαη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0x θαη ηζρύεη

0 0( ) ( ) f x f x .

93) Αλ νη ζπλαξηήζεηο f , g είλαη παξαγωγίζηκεο

ζηα ζεκεία 0 3x θαη

0 0x αληίζηνηρα θαη

ηζρύεη 2 2 4 2( ) 3 18 81 f x g x x x γηα θάζε

x , λα δείμεηε όηη: α. (3) (0) 0 f g ,

β. 2 2

(3) (0) 36 f g .

94) Θεωξνύκε ζπλάξηεζε f ζπλερή ζην 0 x

ώζηε 0 0

( ) 2 30lim

x x

f x x

x x. Να απνδείμεηε όηη ε

επζεία : 2 3 y x εθάπηεηαη ζηελ γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο f ζην ζεκείν 0 0, ( )A x f x .

95) Έζηω νη ζπλαξηήζεηο f , g νξηζκέλεο ζην

θαη παξαγωγίζηκεο ζην 0 x .

Αλ ( ) 0g x , γηα θάζε x , 0( ) 0 g x θαη νη

εθαπηόκελεο ηωλ γξαθηθώλ παξαζηάζεωλ fC θαη gC

ζηα ζεκεία 0 0, ( )A x f x θαη 0 0, ( )B x g x αληίζηνηρα

ηέκλνληαη ζηνλ άμνλα x x , λα απνδείμεηε όηη

0 0

0 0

( ) ( )

( ) ( )

f x f x

g x g x.


2

34 8 , 0 , 1( )

2 40 , 1 ,

x xf x

x x. Να βξείηε ηελ

εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο ζην ζεκείν

1, (1) f . Γέρεηαη εθαπηνκέλε ζην ζεκείν

0 , (0) f ηεο κνξθήο y ax ;

97) Έζηω ε παξαγωγίζηκε : f γηα ηελ νπνία

ηζρύνπλ 3

( ) 21

3lim

x

f x x

x θαη (5) 6f .

α. Να απνδείμεηε όηη (3) 6f .

β. Να βξείηε ηελ εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC

ζην ζεκείν 3 , (3)A f .

γ. Να απνδείμεηε όηη ε επζεία : 2 y x ηέκλεη ηελ

fC ζε έλα ηνπιάρηζηνλ ζεκείν κε ηεηκεκέλε

0 3 , 5x .

98) Έζηω ε παξαβνιή 2: c y x . Να απνδείμεηε

όηη: α. δελ ππάξρνπλ δπν δηαθνξεηηθέο εθαπηόκελεο ηεο

c πνπ είλαη παξάιιειεο,

β. από ην ζεκείν 1

,4

a , 0a δηέξρνληαη δπν

θάζεηεο κεηαμύ ηνπο εθαπηόκελεο ηεο c .

99) Έζηω ε ζπλάξηεζε 2

2

ay

x (ηζνζθειήο

ππεξβνιή). Να απνδείμεηε όηη ην εκβαδόλ ηνπ

ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεηαη από κηα εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο θαη

ηνπο άμνλεο x x θαη y y είλαη ζηαζεξό, ίζν κε 2a .

100) Έζηω ε ζπλάξηεζε 2( ) 3 f x x ax , γηα

θάζε a . Αλ Α θαη Β είλαη ηα ζεκεία ζηα

νπνία ε fC ηέκλεη ηνλ άμνλα x x , λα

πξνζδηνξίζεηε ην a , ώζηε νη εθαπηνκέλεο

ηεο fC ζηα Α θαη Β λα είλαη θάζεηεο.


- 59 -

§2. παραγωγίςιμεσ ςυναρτήςεισ

101) Να βξεζεί ε παξάγωγνο ηεο ζπλάξηεζεο f

ζην ζεκείν 0x , όηαλ:

α. ( ) f x x , 0 1x β. 3( ) f x x , 0 0x

γ. 2011( ) f x x , 0 1x δ. ( ) f x x , 0 100x

ε. 3( ) f x x , 0 8x ζη. ( ) 2010f x , 0 1 x

102) Να βξεζεί ε παξάγωγνο ηεο ζπλάξηεζεο f

ζην ζεκείν 0x , όηαλ:

α. 2( ) f x x , 0 1x β.

( ) lnf x x , 0 7x

γ. ( ) f x x , 0

2

3x

δ. ( ) f x x , 0

7

6x

103) Να βξεζεί ε παξάγωγνο ηωλ ζπλαξηήζεωλ

α. 1

3( )

f x x β. 3

1( ) f x

x

γ. 1

( ) f xx

δ. 5 3

2( ) f x

x

104) Να βξεζεί ε παξάγωγνο ηωλ ζπλαξηήζεωλ:

α. 4 , 0

( ), 0

x xf x

x x

β.

2

, 0( )

, 0

x xf x

x x

γ. , 0

( ), 0

x

x xf x

e x

105) Να βξεζεί ε δεύηεξε παξάγωγνο ηωλ


α. 3

, 0( )

, 0

x xf x

x x

β.

2

5

, 0( )

, 0

x xf x

x x


3 1, 0

( )

0 , 0

x x xf x x

x

. Να κειεηεζεί ωο

πξνο ηελ ζπλέρεηα ε ζπλάξηεζε f , θαζώο

επίζεο θαη ε ύπαξμε θαη ζπλέρεηα ηεο f .

107) Έζηω ε ζπλάξηεζε f νξηζκέλε θαη

ζπλερήο ζην . Αλ γηα θάζε , x y ηζρύεη

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f y x y f x f y , λα απνδείμεηε όηη

ε f είλαη παξαγωγίζηκε παληνύ ζην θαη

ηζρύεη 2( ) ( ) f x f x , x .

108) Έζηω : f ζπλάξηεζε γηα ηελ νπνία

ηζρύεη 2 2( ) 3 2 5 ( ) f x y x y xy y y f x , γηα

θάζε , x y . Να δείμεηε όηη ε f είλαη

παξαγωγίζηκε θαη λα βξείηε ηελ ( )f x .

109) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε * *: f γηα ηελ

νπνία ηζρύεη ( ) ( ) ( ) f xy xf y yf x , γηα θάζε *, x y . Αλ (1) 2011 f , λα δείμεηε όηη ε f

είλαη παξαγωγίζηκε θαη λα βξείηε ηελ ( )f x .

110) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f ε νπνία

είλαη παξαγωγίζηκε κε (0) (0) 0 f f θαη γηα

θάζε , x y ηζρύεη 3( ) ( ) ( ) f x y f x f y x y y . Να δείμεηε όηη

3( ) 1 f x x , γηα θάζε x .

111) Έζηω : 2 , 2 f ζπλάξηεζε γηα

ηελ νπνία ηζρύεη 4 ( ) 4 ( )

( )4 ( ) ( )

f x f yf x y

f x f y, γηα

θάζε , x y . Αλ ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην

ζεκείν 0 0x κε (0) 4 f , λα δείμεηε όηη:

α. ( ) 2f x , γηα θάζε x .

β. Η f είλαη πεξηηηή.

γ. Η f είλαη παξαγωγίζηκε.


- 60 -

§3. κανόνεσ παραγώγιςησ

Παραηήρεζε: Σηελ εύξεζε ηωλ παξαγώγωλ ζηηο

παξαθάηω ζπλαξηήζεηο, όπνπ ππάξρνπλ πεξηνξηζκνί ελλννύληαη.

112) Να βξεζεί ε παξάγωγνο ηωλ παξαθάηω

ζπλαξηήζεωλ: α. ( ) xf x x e β. 5( ) ln f x x x

γ. ( ) f x x x δ. 10( ) f x x x

ε. 8( ) 9 f x x x ζη. 4( ) ln f x x x x

113) Να βξεζεί ε παξάγωγνο ηωλ παξαθάηω ζπλαξηήζεωλ:

α. ( ) ln6xf x x e β. ( )f x x x

γ. 7 2( ) 7xf x x x δ. 3( ) lnf x x x


α. ( ) 3ln 5 xf x x e β.

2

( ) 2 22

x

f x x

γ. ( ) 2 3 f x x x δ. 3( ) 5f x x

ε. 5 ln

( )2 3

x x

f x ζη. ( ) 5 ln 2011 xf x


ζπλαξηήζεωλ: α. ( ) lnf x x x β. 10( ) xf x x e

γ. 2( ) f x x x δ. ( ) xf x e x

ε. 4( ) 7 xf x x ζη. ( ) f x x x


α. 5

( ) xe

f xx

β. 5

( )ln

f xx

γ. 2

ln( )

xf x

x δ.

5 2( )

3

xf x

x

ε. 2

3( )

1

xf x

x ζη.

3

1( )

2 5

f x

x x



α. 4( ) 2 xf x x x β.

1 2( )

1 2

xf x

x

γ. ( ) 2 3 f x x x x δ.

2( )

1 3

xf x

x

ε. 2 3

( )3 2

x xf x

x x

ζη.

3ln 2( )

4 ln 5

xf x

x

δ. 2 3( ) 1 4 1 2 f x x x ε.

5

2

5 2( )

3ln 6

x xf x

x x

ζ. 2

3ln( )

2 3

x

x xf x

x e


ζπλαξηήζεωλ: α. 2( ) ln 3 xf x x x β. 5( ) 2 xf x x x e


α. 3 2( ) f x x β. 3 4( ) f x x γ. ( ) xf x x

δ. ( ) logf x x


ζπλαξηήζεωλ: α. 2011( ) lnf x x β. 3( ) lnf x x γ. 2( ) lnf x x

δ. 2011( ) lnf x x ε. 3( ) lnf x x ζη. 2( ) lnf x x


α. 2010( ) f x x β. 4( ) f x x γ. 2( ) f x x

δ. 2010( ) f x x ε. 4( ) f x x ζη. 2( ) f x x


ζπλαξηήζεωλ: α. ( ) 3f x x β. 2 6( ) 5 xf x γ. ( ) f x x

δ. 10

( ) 2 3 f x x ε. ( ) 3 5 f x x

ζη. 3 2( ) 2011 f x x δ. 2( ) ln 2 f x x

ε. ( ) lnf x x ζ. 3( ) 1 f x x



α. 2( ) ln 1 f x x β. 2( ) f x x

γ. 2( ) f x x δ. 2 ln( ) x xf x e

ε. 2ln( ) x xf x e ζη.

2( ) ln lnf x x x

δ. 3( ) f x x ε.

( ) lnf x x


- 61 -



α. 4

3 2( ) 5f x x x β. 4 2

2( )

1f x

x x

γ. 2 3( ) x xf x e δ. ( ) 2 xf x


α. ln( ) xf x x β. 2( ) 1 x

f x x

γ. ( ) x

f x x

δ. 3

( ) xf x x

ε. 1

( ) xf x x ζη. 2ln( ) xf x x

δ. 3

( ) xf x x ε. ( ) x

f x x



α. ( ) xf x x β. ( ) xxf x x

γ. 2( ) x

f x x δ.

1( ) 1

x

f xx



α. 2( ) ln 1 f x x x β. 3 2 3( ) f x x x

γ. 2 2( ) f x x x δ. 2 2( ) lnf x x


α.3 2

4

3 2 , 1( )

5 , 1

x x xf x

x x x

β. 2( ) | |f x x x

γ. 2 1

, 0( )

0 , 0

x xf x x

x

δ. 3 2( ) 1 f x x x


α.3

2

2 6 , 1( )

3 5 , 1

x xf x

x x β.

21 1, 0

2 2( )

2 , 0

x x xf x

x x x

γ. 3( ) | 1 | f x x x δ. 2 2( ) f x x x x



α.3

3 2

, 0( )

1 , 0

x x x xf x

x x x

β.

2

8 , 0 , 4( )

, 4 ,

x xf x

x x


, λα βξεζνύλ νη παξάγωγνη ηωλ παξαθάηω

ζπλαξηήζεωλ: α. ( )( ) f xg x a β. 2( ) lng x f x

γ. 3( ) ( )g x f x δ. 3 4( ) 1 g x f x

ε. 2

1 1( )

g x f

x x

ζη. 2( ) ln ln g x f x x


, λα βξεζνύλ νη παξάγωγνη ηωλ παξαθάηω

ζπλαξηήζεωλ: α. ( ) g x f x β. 2( ) ( )g x f x

γ. 2 3( ) g x f x x δ. 3 2( ) g x f x

ε. 5 ( )

( )ln

x f x

g xx

ζη. 2

1 ( )( )

1

f xg x

x

δ. 2 1( )

g x x f

x ε. 3 2( ) ln 1 g x f x

133) Να απνδείμεηε όηη

1 1 1

aax x ax x ax ax

a a a

, *a .

134) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε

1( ) ln

1

f x

x, 1 x επαιεζεύεη ηελ εμίζωζε

( )( ) 1 f xxf x e .


( ) ln2

f xx

. Να

δείμεηε όηη ( )3 ( ) 2 3 0 f xxf x e .

136) Μηα παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f

ηθαλνπνηεί, γηα θάζε x , ηελ ηζόηεηα 3 5 ( )( ) f xf x x e . Να απνδείμεηε όηη ( ) 0 f x .


- 62 -

137) Οη ζπλαξηήζεηο f , g είλαη παξαγωγίζηκεο

ζην κε 32

g

, 2

2

g e

θαη

( ) xf g x e x x , γηα θάζε x . Να

δείμεηε όηη (3) 2 f .


θαη γηα θάζε x ηζρύεη 3 4 8 2 f x x x x .

Να βξείηε ην (2)f .

139) Αλ f , g ζπλαξηήζεηο παξαγωγίζηκεο ζην

κε (1) 2g θαη 2 ( ) 44 1 g xf x e , γηα θάζε

x , λα δείμεηε όηη (3) (1) f g .

140) Μηα ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζην 0 ,

είλαη παξαγωγίζηκε θαη ηζρύεη 2 3f x x , γηα

θάζε 0x . Να ππνινγηζηεί ε (4)f .

141) Αλ γηα ηηο παξαγωγίζηκεο ζην

ζπλαξηήζεηο f , g ηζρύνπλ (1) 5g , ( ) 0 g x

θαη 2( ) ( )f g x g x , λα βξείηε ηελ (5)f .

142) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) ln 2x xf x e . Να

βξείηε, αλ ππάξρεη, ην όξην ( )limx

f x

.

143) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2 3( ) xf x x e . Να

βξείηε, αλ ππάξρνπλ, ην όξηα:

α.

( )

( )limx

f x

f x

β.

0

6 ( ) ( )

( )lim

x

f x f x

f x

144) Έζηω :f παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε,

ηεο νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε δηέξρεηαη από

ην ζεκείν 1, 2 . Θεωξνύκε επίζεο ηηο

ζπλαξηήζεηο 3 2( ) ( )g x f x f x θαη

2( ) ln ( ) ( ) 2h x f x f x . Αλ ηζρύεη (1) 40g

λα βξείηε ην (1)h .


( ) x axf x e γηα ηελ

νπνία ηζρύεη (0) 2f .

α. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ a .

β. Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε ( ) ln ln ( )g x f x . Να

βξείηε: i. ην πεδίν νξηζκνύ ηεο g ,

ii. ην όξην ( ) ( )limg x

x

e g x

.

146) Γίλεηαη παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε

:f γηα ηελ νπνία ηζρύεη

( ) ( ) 1f x f x x x γηα θάζε

x . Αλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f

δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1,1 , λα βξείηε:

α. ην ζεκείν ηνκήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f

κε ηνλ άμνλα y y ,

β. ην (0)f ,

γ. ην όξην 0

( ) 1lim

x

f x x

x

.

147) Να βξείηε κε ζηαζεξό πνιπώλπκν ( )x γηα

ην νπνίν ηζρύεη (2016) (1) 2 θαη

2

( ) 4 ( )x x , γηα θάζε x .

148) Να βξείηε πνιπώλπκν ( )x γηα ην νπνίν

ηζρύεη 3 2( ) ( ) 2 9 9x x x x x γηα θάζε x .

149) Να βξείηε κε κεδεληθό πνιπώλπκν ( )x γηα

ην νπνίν ηζρύεη 2

( ) 1 ( )x x x γηα θάζε

x .

150) Έζηω ( )x έλα πνιπώλπκν 2νπ βαζκνύ. Να

απνδείμεηε όηη γηα θάζε x ηζρύεη

2(0)( ) (0) (0)

2x x x

.

151) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) | 3 | ( ) f x x g x ,

x , όπνπ g ζπλάξηεζε ζπλερήο ζην . Αλ

ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην , λα βξείηε ην

( 3)g .

152) Έζηω όηη γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε

: f ηζρύεη ( ) ( ) 2 f x f xe e x , γηα θάζε

x . Να βξείηε ηελ ( )f x , ωο ζπλάξηεζε ηεο

( )f x .

153) α. Να βξείηε ηελ παξάγωγν ηεο

ζπλάξηεζεο 3 1

, 0( )

0 , 0

x xf x x

x

.

β. Να κειεηήζεηε ωο πξνο ηελ ζπλέρεηα ηηο

ζπλαξηήζεηο f θαη f .


- 63 -


2

, 0( )

0 , 0

xx

f x x

x

. Να βξείηε ηελ f θαη

λα δείμεηε όηη είλαη ζπλερήο ζην ζεκείν 0 0x .


0 ,1 κε (0) (1)f f θαη (0) (1) f f λα

εμεηάζεηε αλ ε ζπλάξηεζε

12 , 0

2( )

12 1 , 1

2

f x x

g x

f x x

είλαη ζπλερήο θαη

παξαγωγίζηκε.

156) Οη ζπλαξηήζεηο f , g είλαη νξηζκέλεο ζην

. Αλ ε ζπλάξηεζε f δελ είλαη παξαγωγίζηκε

ζην 0 x θαη ε ζπλάξηεζε

4 2( ) 1 ( ) ( ) h x x f x x g x είλαη

παξαγωγίζηκε ζην 0x , λα απνδείμεηε όηη ε

ζπλάξηεζε g δελ είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0x .


παξαγωγίζηκε θαη γηα θάζε , 0 , x y ηζρύεη

( ) ( ) ( ) f xy f x f y . Αλ (1) 2 f λα δείμεηε όηη

2( ) f x

x, γηα θάζε 0 , x .

158) Έζηω : f ζπλάξηεζε ηέηνηα ώζηε

(0) 0f θαη ( ) ( ) ( )f x y f x f y , γηα θάζε , x y

Να δείμεηε όηη: α. Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην 0 ηόηε είλαη ζπλερήο ζην

.

β. Αλ ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0 ηόηε είλαη

παξαγωγίζηκε ζην .

159) Έζηω : f ζπλάξηεζε ηέηνηα ώζηε

( ) ( ) ( ) 3 f x y f x f y xy , γηα θάζε , x y .

Αλ ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0 λα δείμεηε όηη

είλαη παξαγωγίζηκε ζην .

160) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f , ηέηνηα

ώζηε λα ηζρύεη 2

( ) ( ) f x f y x y , γηα θάζε

, x y . Να απνδείμεηε όηη ( ) 0 f x , γηα θάζε

x .

161) Έζηω κηα ζπλάξηεζε : f

παξαγωγίζηκε ζην 0 0x κε (0) 0f ,

(0) 2011 f θαη g κηα ζπλάξηεζε πνπ

ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε 21 ( ) ( ) ( ) 1 f x g x f x x , γηα θάζε x .

Να απνδείμεηε όηη (0) 2011 g .


θαη γηα θάζε x ηζρύεη 2 32 3 f x f x . Να

ππνινγηζηεί ην όξην 3

1

( ) 1

1lim

x

x f x

x.


θαη γηα θάζε x ηζρύεη 2 32 21 f x f x x .

Να ππνινγηζηεί ην όξην 3

1

( ) 7

1lim

x

x f x

x.

164) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) 2 xf x x e

θαη ( ) xg x e .

α. Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο (0)f θαη (0)g .

β. Να ππνινγίζεηε ην όξην

0

2 2

1lim

x

xx

x e

e.

165) Έζηω : f παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε

ηέηνηα ώζηε 2 3 23 1 2 5 4 xf e f x x x ,

γηα θάζε x . Να ππνινγίζεηε ην όξην 2

21

( ) 4

3 2lim

x

f x

x x.


2

, 0( )

0 , 0

xx

f x x

x

.

α. Να βξείηε ηελ ( )f x θαη λα δείμεηε όηη είλαη

ζπλερήο.

β. Να ππνινγίζεηε ηα όξηα 10

( )lim

x

L f xx

θαη

2

20

1 1 ( )

lim

x

x f xL

x x.

167) Να βξείηε ηελ δεύηεξε παξάγωγν ηωλ

παξαθάηω ζπλαξηήζεωλ:

α.3 2

4

3 2 , 1( )

5 , 1

x x xf x

x x x

β.

2

2

1 , 1( )

2 , 1

x x xf x

x x x


- 63 -

168) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3 2

4

, 1( )

5 , 1

ax x xf x

x x x


, , a ώζηε ε ζπλάξηεζε f λα είλαη δπν

θνξέο παξαγσγίζηκε ζην 0 1x .

169) Η ζπλάξηεζε : f είλαη δπν θνξέο

παξαγσγίζηκε. Θεσξνύκε ηελ ζπλάξηεζε

2( ) ln 1 g x f x . Να απνδείμεηε όηη:

α. Αλ (ln 2) 2 (0) f f , ηόηε (0) (1) g g .

β. Αλ 8 (ln5) 3 (ln5) f f , ηόηε (2) 0 g .

170) Η ζπλάξηεζε f είλαη δπν θνξέο

παξαγσγίζηκε ζην θαη γηα θάζε x ηζρύεη

( ) 0f x . Αλ ( ) ( )x

g x f x , ηόηε:

α. Να βξείηε ηελ ( )g x .

β. Αλ (1) 1f θαη (1) 2 (1) f f , λα δείμεηε όηη

(1) 0 g .


παξαγσγίζηκε ζην . Αλ 3( ) g x x f x ,

x λα δείμεηε όηη ε g είλαη δπν θνξέο

παξαγσγίζηκε ζην θαη λα βξείηε ηελ 2

g

.

172) Γίλεηαη ε δπν θνξέο παξαγσγίζηκε

ζπλάξηεζε :f . Να απνδείμεηε όηη:

α. αλ ε f είλαη άξηηα, ηόηε ε f είλαη άξηηα,

β. αλ ε f είλαη πεξηηηή, ηόηε ε f είλαη πεξηηηή.

173) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) xf x e x .

α. Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη.

β. Να βξείηε ηελ 1 (1)f .

174) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( )f x x κε

,2 2

x

.


β. Να βξείηε ηελ 1 ( )f x .



3 59f x x . Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο (1)f θαη

(1)f .

176) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη δπν θνξέο

παξαγσγίζηκε ζην θαη

(2) (2) (2) 0 f f f λα βξείηε ηελ πξώηε θαη

ηελ δεύηεξε παξάγσγν ηεο ζπλάξηεζεο

2

3 4 , 2( )

6 , 2

f x xg x

f x x.

177) α. Αλ 1

( ) f xx

, λα δείμεηε όηη

( )

1

!( ) ( 1)

v v

v

vf x

x , *v .

β. Αλ ( ) xf x xe , λα δείμεηε όηη ( ) ( ) v xf x x v e ,

*v .

178) Θεσξνύκε ηηο ζπλαξηήζεηο

, : 0 ,f g κε 1

( )f x xx

θαη

6( ) ( )g x x f x x .

α. Να βξείηε ην όξην ( )limx

f x

.

β. Να βξείηε ην όξην ( )limx

g x

.

γ. Να βξείηε ην ( )g x .

δ. Να βξείηε ην όξην 0

( )limx

g x

.

ε. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ

20 ,

ηέηνην ώζηε ( ) 0g .

179) Αλ ( ) 2 xf x e x , λα δείμεηε όηη ν ξίδεο

ηεο εμίζσζεο ( ) 0 f x είλαη δηαδνρηθνί όξνη

αξηζκεηηθήο πξνόδνπ, ελώ νη αληίζηνηρεο ηηκέο

ηεο f είλαη δηαδνρηθνί όξνη γεσκεηξηθήο

πξνόδνπ.


2( )

2 3

x axf x

x x

,

1, 3 x . Να βξεζνύλ ηα , a ώζηε

2

( ) 1lim

x

f x θαη 5 (0) 3 (0) 9 f f .

181) Αλ 1 2( ) 2 ... vf x a x a x a vx , *v θαη γηα θάζε x ηζρύεη ( ) f x x ,

ηόηε: α. Να βξείηε ην (0)f .

β. Να δείμεηε όηη 1 22 ... 1 va a va .


- 64 -

§4. εφαπτομένη καμπύλης

182) Να βξείηε ηελ εμίζσζε εθαπηνκέλεο ζην

ζεκείν 1, (1) f ηεο ζπλάξηεζεο

2( ) ln 1 f x x , x .

183) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3( ) 12 lnf x x x κε

0x . Να βξείηε, αλ ππάξρεη, ηελ εμίζσζε ηεο

εθαπηνκέλεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f

ζην ζεκείν 2 , (2)f .

184) Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ησλ θακπύισλ ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ ζην

ζεκείν 0 0, x f x , όηαλ:

α. 3 2( ) 2f x x x , 0 2 x β. 2( ) 3f x x , 0 x

γ. 3( ) 2 ln f x x x , 0 2x δ. 3( ) xf x x e , 0 1 x

ε. 2 5

( )2

xf x

x, 0 3 x ζη.

1 ln( )

1 ln

xf x

x, 0 1x


2

1 , 0( )

1 , 0

x xf x

x x x . Να δείμεηε όηη νξίδεηαη

ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν 0 ,1 θαη

λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο.

186) Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ

ησλ θακπύισλ ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ κε ζπληειεζηή δηεύζπλζεο , όηαλ:

α. 2( ) 8 2 f x x x , 4 β. ( ) lnf x x x , 2

γ. ( ) f x x x , 2 δ. 3( ) lnf x x , 3

187) Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ,

ησλ θακπύισλ ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ, νη νπνίεο ζρεκαηίδνπλ κε ηνλ άμνλα x x γσλία ,

όηαλ:

α.2

( )2

xf x

x,

3

4

β. 22

( ) 255

f x x , 4

γ. 2( ) 4 f x x , 075 δ. 2( ) 1 f x x , 045

188) Να βξείηε ηνλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ηεο

εθαπηνκέλεο ηεο θακπύιεο ηεο ζπλάξηεζεο

( )

xf x

x x

ζην ζεκείν ,

2 2

f

.

ηελ ζπλέρεηα λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο.

189) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3 2( ) 2 2 f x x x x .

Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC

, ε νπνία:

α. Δθάπηεηαη ζην ζεκείν 3 , 3 f .

β. Γηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 3 .

γ. Δίλαη παξάιιειε ζηελ επζεία 1 : 5 2 0 x y .

δ. Δίλαη θάζεηε ζηελ επζεία 2 : 0 x y .

190) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο

ηεο fC ηεο ζπλάξηεζεο 3( ) 12 2 f x x x ,

όηαλ: α. Δθάπηεηαη ζην ζεκείν κε ηεηκεκέλε

0 1x .

β. Γηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 26 .

γ. Δίλαη θάζεηε ζηελ επζεία 1

: 715

y x .

δ. Δίλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα x x .

191) Να εμεηάζεηε αλ ππάξρεη εθαπηνκέλε ηεο

fC ζην ζεκείν 0 0, x f x , όηαλ:

α. ( ) | 2 | f x x , 0 2x β. 3 2( ) f x x , 0 0x


( ) 1 2 3 1f x x x x Να βξείηε, αλ ππάξρεη,

ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC ζην

ζεκείν 2 , (2)f .

193) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f γηα ηελ

νπνία ηζρύεη 23 2 ( ) 2 5 6 x f x x x , γηα θάζε

x . Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο

ηεο fC ζην ζεκείν 2 , (2) f .


ηζρύεη ln ln f x x x x , γηα θάζε 0x .

α. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .

β. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC ζην

ζεκείν 1, (1) f .


- 65 -

195) Να βξείηε ηηο εθαπηνκέλεο ηεο γξαθηθήο

παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο 3

2

, 0( )

, 0 6

x xf x

x x ζηα θνηλά ηεο ζεκεία κε

ηελ επζεία : 5 6 0 x y .


( )1

xf x

x.

α. Να βξείηε ηα ζεκεία ηεο fC ζηα νπνία νη

εθαπηόκελεο είλαη παξάιιειεο ζηνλ άμνλα x x .

β. Να βξεζνύλ νη ηηκέο ησλ , a , ώζηε ε επζεία

: y ax λα εθάπηεηαη ηεο fC ζην ζεκείν

3 , (3) f .

197) Να απνδείμεηε όηη ε επζεία : 6 4 y x

εθάπηεηαη ζηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο

ζπλάξηεζεο 3 2( ) 2 f x x x x .

198) Αλ 31( ) 4ln

3 f x x x , λα δείμεηε όηη ε

επζεία 4

: 2 4ln 23

y x εθάπηεηαη ηεο fC

θαη λα βξείηε ην ζεκείν επαθήο.

199) Η ζπλάξηεζε : f παξαγσγίδεηαη θαη


2 2 3( ) 1 ( ) 3 2 f x x f x x x , γηα θάζε x .

Να δείμεηε όηη ε επζεία 3 y x εθάπηεηαη ηεο

fC θαη λα βξείηε ην ζεκείν επαθήο.

200) Γηα ηελ παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε f ηζρύεη

ε ζρέζε (2 ) (2 ) 2 f x f x x , γηα θάζε x

Να δείμεηε όηη ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν

2 , (2)A f είλαη θάζεηε ζηελ επζεία : y x .

201) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 4 (4 2) 4 1 f x x a x a .

α. Να απνδείμεηε όηη ε fC δηέξρεηαη από ζηαζεξό

ζεκείν Α, γηα θάζε a .

β. Να βξείηε πνηα ηηκή ηνπ a ε επζεία

: 2 3y x εθάπηεηαη ηεο fC ζην ζεκείν Α.

202) Να βξείηε ηα ζεκεία κε ίδηα ηεηκεκέλε ζηα νπνία νη εθαπηόκελεο ζηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο

ησλ ζπλαξηήζεσλ 3 2( ) 2 2 1 f x x x x θαη 2( ) 2 10 5 g x x x είλαη παξάιιειεο. Να

γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ απηώλ.

203) Να βξείηε ην ζπλεκίηνλν ηεο γσλίαο πνπ

ζρεκαηίδνπλ νη εθαπηόκελεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο

3 2( ) 4 3 1 f x x x x ζηα ζεκεία κε ηεηκεκέλεο

1 0x θαη 2 1x .

204) Να δείμεηε όηη νη εθαπηόκελεο ηεο γξαθηθήο

παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο 2

2

3 1( )

3

xf x

x ζηα

ζεκεία 0 , 1 x , δηέξρνληαη από ηελ αξρή ησλ

αμόλσλ θαη είλαη θάζεηεο κεηαμύ ηνπο.

205) Να δείμεηε όηη νη εθαπηόκελεο ηεο γξαθηθήο

παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο 21( )

8f x x ζηα

θνηλά ζεκεία κε ηελ επζεία : 2 y ax , 0a

είλαη θάζεηεο.

206) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 3 5f x x x θαη

ε επζεία ( ) : 7y x . Να βξείηε ην εκβαδόλ

ηνπ ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεηαη κε ηελ επζεία ( ) θαη ηηο εθαπηόκελεο ηεο fC ζηα ζεκεία

ηνκήο ηεο κε ηελ ( ) .


3 21 1( ) 2

3 2 f x x x x . Να βξεζνύλ νη

εμηζώζεηο ησλ εθαπηόκελσλ ηεο fC πνπ

ηέκλνπλ ηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο ζε ζεκεία πνπ

ηζαπέρνπλ από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.

208) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) f x x . Να

βξεζνύλ δπν ζεκεία Μ , Λ ηεο fC ζηα νπνία νη

εθαπηόκελεο ηεο fC λα είλαη θάζεηεο θαη ην

κήθνο ηνπ ηκήκαηνο ΜΛ λα είλαη ην ειάρηζην δπλαηό.


- 66 -

209) Η ζπλάξηεζε : f είλαη παξαγσγίζηκε

θαη γηα θάζε x ηζρύεη 2( ) 2 ( ) g x x x f x .

Αλ ε επζεία :3 1 0 x y εθάπηεηαη ηεο fC

ζην ζεκείν 2 , (2) f , λα βξείηε ηεο εμίζσζε

ηεο εθαπηνκέλεο ηεο gC ζην 2 , (2) g .

210) Γίλεηαη ε παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε

: g θαη ε ζπλάξηεζε

2 3( )2

x x xf x g e

. Αλ ε επζεία

: 5 3 y x εθάπηεηαη ηεο gC ζην ζεκείν

2 , (2) g , λα βξείηε ηεο εμίζσζε ηεο

εθαπηνκέλεο ηεο fC ζην ζεκείν 3 , (3) f .

211) Έζησ , : f g ζπλαξηήζεηο κε

( ) 0g x , γηα θάζε x , ηέηνηεο ώζηε ε g λα

είλαη παξαγσγίζηκε θαη 2 ln( ) 6 ( )

( )

xf x x g x

g x,

γηα θάζε 0 , x . Αλ 1

(1)2

g θαη 1

(1)6

g ,

λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC

ζην ζεκείν 1, (1) f .


παξαγσγίζηκεο θαη γηα θάζε x ηζρύεη 2( ) ( ) 3 4 f x g x x x . Αλ ε επζεία 2x

ηέκλεη ηελ fC ζην Α θαη ηελ gC ζην Β λα

δείμεηε όηη ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην Α θαη ε

εθαπηνκέλε ηεο gC ζην Β ηέκλνληαη ζε ζεκείν

ηνπ άμνλα y y .

213) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) f x ax x , *a . Να απνδεηρζεί όηη αλ ε εμίζσζε ( ) 0f x

έρεη δπν άληζεο ξίδεο 1x , 2x γηα λα είλαη θάζεηεο

νη εθαπηόκελεο ηεο fC ζηα ζεκεία 1 , 0 x θαη

2 , 0 x πξέπεη 1 , όπνπ 2 4 a .

214) Έζησ νη ζπλαξηήζεηο ( ) xf x e θαη

( ) ln g x x . Αλ ε fC ηέκλεη ηνλ άμνλα y y ζην

ζεκείν Α θαη ε gC ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζην Β,

λα απνδείμεηε όηη ε επζεία ΑΒ είλαη θνηλή

εθαπηνκέλε ησλ fC , gC ζηα ζεκεία Α θαη Β

αληίζηνηρα.

215) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2( ) 3 5 2 f x x x

θαη 1

( )

x

g xx

. Να βξείηε , αλ ππάξρνπλ , ηηο

θνηλέο εθαπηόκελεο ησλ fC , gC ζηα θνηλά ηνπο

ζεκεία.

216) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2( ) ln f x a x x

θαη 2( ) 2 g x x x a , κε *a θαη . Να

βξείηε ηηο ηηκέο ησλ a θαη ώζηε νη γξαθηθέο

παξαζηάζεηο ησλ fC , gC λα έρνπλ θνηλή

εθαπηνκέλε ζην θνηλό ηνπο ζεκείν κε

ηεηκεκέλε 0 1x .

217) Γίλεηαη νη ζπλαξηήζεηο 2( ) 2f x x x θαη 2( ) 5 6g x x x . Να βξείηε ηηο θνηλέο

εθαπηόκελεο ησλ fC θαη gC .

218) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2( ) 3 4f x x x

θαη 2( ) 4g x x x . Να βξείηε ηηο θνηλέο

εθαπηνκέλεο ησλ fC , gC .

219) Να βξείηε ηηο θνηλέο εθαπηόκελεο ζηηο

γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ ζπλαξηήζεσλ

2( ) f x x θαη 1

( ) g xx

.


- 67 -

220) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2( ) 2 f x x ax θαη 2( ) g x x κε , a . Η επζεία κε εμίζσζε

: 2y x είλαη θνηλή εθαπηνκέλε ησλ fC , gC .

α. Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο a θαη .

β. Να απνδείμεηε όηη νη fC θαη gC έρνλ θη άιιε θνηλή

εθαπηνκέλε, ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε.

221) Γίλεηαη νη ζπλαξηήζεηο 2( ) 4f x x ax θαη

2( ) 2 1 16g x x a x κε a . Η

εθαπηόκελε ηεο fC ζην ζεκείν ηεο 3 , (3)f

θαη ε εθαπηνκέλε ηεο gC ζην ζεκείν ηεο

5 , (5)g είλαη κεηαμύ ηνπο παξάιιειεο. Να

βξείηε: α. ηνλ αξηζκό a ,

β. ηελ θνηλή εθαπηνκέλε ησλ fC θαη gC .

222) Έζησ f ζπλάξηεζε παξαγσγίζηκε ζην

κε ( ) 0f x , γηα θάζε x θαη

( ) ( ) ( )g x f x ax , 0a . Αλ 0 0, x y θνηλό

ζεκείν ησλ fC , gC λα δείμεηε όηη νη fC , gC

δέρνληαη θνηλή εθαπηνκέλε ζην Α.

223) Αλ ( ) xf x e θαη ( ) 4 a xg x e , λα βξεζεί

ην a ώζηε νη fC θαη gC λα έρνπλ θνηλή

εθαπηνκέλε ζε θάπνην θνηλό ηνπο ζεκείν.


2

2( )

1

x axf x

x x. Γηα

πνηεο ηηκέο ηνπ a έρεη κηα κόλν εθαπηνκέλε

παξάιιειε ζηνλ άμνλα x x .

225) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3 2( ) 5 f x x ax x . Να βξεζνύλ νη ηηκέο ησλ

, a ώζηε ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην

ζεκείν 1, 8 , λα:

α. έρεη θιίζε 7,

β. ζρεκαηίδεη γσλία 3

4

κε ηνλ άμνλα x x ,

γ. είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία :3 2 0 x y ,

δ. είλαη θάζεηε ζηελ επζεία : 5 15 0 x y ,

ε. δηέξρεηαη από ην ζεκείν 4 , 2 .


2

2 3( )

1

x axf x

x x

.

Να βξεζνύλ νη ηηκέο ησλ ,a ώζηε ε fC λα

δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 1 θαη ε

εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν 1, ( 1) f

λα είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 5 10 0 x y .

227) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( )

a x x

f xx

. Να

βξεζεί ν a ώζηε ε θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο

ηεο fC ζην ζεκείν 3

,12

λα είλαη ίζε κε

2

228) Να βξεζεί ν a ώζηε ε γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο ( ) xf x a , λα έρεη

εθαπηνκέλε ηελ επζεία : y x .

229) Γηα πνηα ηηκή ηνπ a ε επζεία

: 2 y ax εθάπηεηαη ζηελ γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο ( ) lnf x x . Πνην

είλαη ην ζεκείν επαθήο;


( ), 2

ax x

f xx

x

. Να βξεζνύλ νη ηηκέο ησλ

, , a , ώζηε ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην

ζεκείν 2 , (2) f λα είλαη παξάιιειε ζηελ

επζεία : 2 3 0 x y .

231) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) xf x x a e .

α. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ a ώζηε λα ππάξρεη

εθαπηνκέλε ηεο fC πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ

αμόλσλ. β. Γηα πνηα ηηκή ηνπ a ε εθαπηνκέλε πνπ

δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ είλαη κνλαδηθή;

ηελ πεξίπησζε απηή λα βξείηε ην ζεκείν επαθήο.

232) Έζησ : f παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε

γηα ηελ νπνία ηζρύεη x xf xe a e , γηα θάζε

x , , a κε 0 .

α. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC ζην

ζεκείν κε ηεηκεκέλε 0 0x .

β. Γηα πνηα ηηκή ηνπ ε παξαπάλσ εθαπηνκέλε

δηέξρεηαη από ην ζεκείν , a ;


- 68 -

233) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) ln f x x x ax ,

a . α. Να βξείηε ηα ζεκεία Μ ηεο fC ζηα νπνία νη

εθαπηόκελεο είλαη παξάιιειεο ζηνλ άμνλα x x .

β. Να δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ βξίζθνληαη πάλσ ζε

ζηαζεξή επζεία όηαλ ην a δηαηξέρεη ην .

234) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2 3( ) f x x x . Από ην

ζεκείν , ( ) a f a θέξλνπκε εθαπηνκέλε ηεο

fC .

α. Να δείμεηε όηη ε εθαπηνκέλε απηή ηέκλεη ηελ fC

ζην ζεκείν 01 2 ,Q a y .

β. Αλ ην ζεκείν Α θηλείηαη πάλσ ζηελ fC λα βξείηε ηνλ

γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ κέζνπ ηνπ ηκήκαηνο ΑQ.


2( ) 4 4 f x x a x θαη νη επζείεο

: 2 1 3 y a x a a , a .

α. Να δείμεηε όηη γηα θάζε a ε επζεία εθάπηεηαη

ηεο fC .

β. Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ επαθήο ησλ παξαπάλσ επζεηώλ.

236) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( )

x

x af x

e, a

θαη Μ ζεκείν ηεο fC ζην νπνίν ε εθαπηνκέλε

είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα x x . Να βξείηε ηνλ

γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ Μ όηαλ ην a δηαηξέρεη ην

.

237) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) xf x e x , * .

α. Να βξεζεί ην ζεκείν Μ ηεο fC ζην νπνίν ε

εθαπηνκέλε δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.

β. Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ ζεκείνπ Μ όηαλ

ην δηαηξέρεη ην * .


( ) f xx

, 0x . Να

απνδείμεηε όηη: α. Από θάζε ζεκείν , 0 a , 0a ηνπ άμνλα x x

δηέξρεηαη κηα κόλν εθαπηνκέλε ηεο fC ε νπνία θαη λα

βξεζεί.

β. Αλ ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζ’ έλα ζεκείν , ( ) f

ηέκλεη ηνπο άμνλεο x x θαη y y ζηα ζεκεία Α θαη Β

αληίζηνηρα ηόηε:

i. ην Κ είλαη κέζν ηνπ ΑΒ, ii. ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΑΒ είλαη ζηαζεξό.

239) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3( ) 2 1 f x x . Να

απνδείμεηε όηη: α. Η εθαπηνκέλε ηεο fC ζε νπνηνδήπνηε ζεκείν

, ( ) a f a , 0a έρεη κε απηή θαη άιιν θνηλό ζεκείν

Ν. β. Η θιίζε ηεο fC ζην Ν είλαη ηεηξαπιάζηα από ηελ

θιίζε ηεο fC ζην Μ.

240) α. Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε 24 ln 1 1 x x

έρεη κνλαδηθή ξίδα πνπ βξίζθεηαη ζην

δηάζηεκα 21 , e .

β. Να δείμεηε όηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ

ζπλαξηήζεσλ ( ) lnf x x θαη 2( ) g x x

δέρνληαη κνλαδηθή εθαπηνκέλε.

241) Αλ 2

( )2

3 2lim

x

f x

x x θαη

0

( ) 38lim

x

f x

x, λα βξεζεί ε πνιπσλπκηθή

ζπλάξηεζε f , όηαλ ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην

ζεκείν 0 2x είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα x x .

242) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη ηζρύεη

0

( ) 2 35lim

x

f x x

x

λα βξείηε ηελ εμίζσζε

ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC ζην ζεκείν κε

ηεηκεκέλε 0 0x .

243) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην ζεκείν

0 2x θαη

1

2 8 1 23

1 3lim

x

f x x

x. Να βξείηε

ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC ζην

ζεκείν 2 , (2) f .

244) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 21

( )2

x xf x e e

θαη 2 2( ) 4 22

x

g x x .

α. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC

ζην ζεκείν 0 , (0) f .

β. Να δείμεηε όηη:

i. ε επζεία εθάπηεηαη ηεο gC ,

ii. γηα 0x ε βξίζθεηαη θάησ από ηελ fC θαη

πάλσ από ηελ gC ,

iii. νη fC , gC έρνπλ κνλαδηθό θνηλό ζεκείν.


- 69 -

245) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 4 2 2( ) 2 1 f x x a x , *a . Να δείμεηε όηη:

α. ππάξρνπλ ηξία ζεκεία ηεο fC ζηα νπνία νη

εθαπηόκελεο είλαη παξάιιειεο ζηνλ x x ,

β. ηα ζεκεία απηά είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ θαη όηη αλ 1 a , ην ηξίγσλν είλαη νξζνγώλην.

246) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g γηα

ηηο νπνίεο ηζρύεη 2 4 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) f x g x f x g x , γηα

θάζε x . Αλ ε g είλαη παξαγσγίζηκε θαη ην

ζεκείν , 0 a αλήθεη ζηελ gC λα δείμεηε όηη ε

fC έρεη ζην ζεκείν , ( ) a f a νξηδόληηα

εθαπηνκέλε.

247) Έζησ f παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε ζεηηθώλ

ηηκώλ θαη ( ) ( ) 5 g x f x x . Να απνδείμεηε όηη

νη f , g έρνπλ ζε θάζε θνηλό ηνπο ζεκείν, θνηλή

εθαπηνκέλε.

248) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) xf x e θαη

( ) xg x e . Η εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν

0 0, ( ) x f x ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζην ζεκείν Γ

θαη ε εθαπηνκέλε ηεο gC ζην 0 0, ( ) x g x

ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζην ζεκείν Γ . Να δείμεηε

όηη: α. ( ) 2 .

β. Σν ηξίγσλν ΑΓΓ είλαη ηζνζθειέο.

γ. Σν ζεκείν Β είλαη νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΓΓ.

§5. ρυθμός μεταβολής

249) Η ζέζε ελόο θηλεηνύ, ην νπνίν θηλείηαη θαηά

κήθνο ελόο άμνλα, ηε ρξνληθή ζηηγκή t sec

δίλεηαη από ηνλ ηύπν 3 2( ) 6 15 11 f t t t t ,

0 5 t . α. Να βξεζεί ε αξρηθή ηαρύηεηα ηνπ θηλεηνύ. β. Πνηα ρξνληθή ζηηγκή ε ηαρύηεηα ηνπ είλαη

6 κνλ/sec; γ. Να βξεζεί ε επηηάρπλζε πνπ έρεη ην θηλεηό ηελ

ρξνληθή ζηηγκή 4t sec, θαζώο θαη ε ρξνληθή ζηηγκή

πνπ ε επηηάρπλζε είλαη κεδέλ.

250) Σν θόζηνο παξαγσγήο ( ) x θαη ε ηηκή

πώιεζεο ( ) x , x κνλάδσλ ελόο πξντόληνο

δίλεηαη από ηηο ζπλαξηήζεηο 2( ) x x θαη

3 21 3( ) 6 500

3 2 x x x x . Να βξεζεί:

α. Η ζπλάξηεζε ( ) x πνπ δίλεη ην θέξδνο από ηελ

πώιεζε ησλ x κνλάδσλ ελόο πξντόληνο.

β. Πόηε ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ θέξδνπο κεδελίδεηαη

θαη πόηε είλαη ζεηηθόο;

251) Η ζέζε ελόο θηλεηνύ , ην νπνίν βξίζθεηαη

πάλσ ζηνλ άμνλα x x , δίλεηαη από ηελ ζρέζε 3 2( ) 6 9 4 x t t t t , 0t .

α. Πνηεο ρξνληθέο ζηηγκέο ην θηλεηό βξίζθεηαη ζηνλ

νξηδόληην άμνλα; β. Να βξεζεί ε ηαρύηεηα ηνπ θηλεηνύ 2t .

γ. Να βξεζνύλ νη ζέζεηο ηνπ θηλεηνύ ζηηο νπνίεο απηό εξεκεί.

252) Σν κήθνο ελόο νξζνγσλίνπ απμάλεηαη κε

ξπζκό 5 cm/sec, ελώ ην πιάηνο ηνπ ειαηηώλεηαη κε ξπζκό 3 cm/sec. Να βξεζνύλ:

α. ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο πεξηκέηξνπ ηνπ νξζνγσλίνπ,

β. ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ εκβαδνύ ηνπ νξζνγσλίνπ όηαλ ην κήθνο ηνπ είλαη 2 cm θαη ην πιάηνο ηνπ 1 cm.


- 70 -

253) Οη δηαζηάζεηο ελόο παξαιιεινγξάκκνπ

κεηαβάιινληαη κε ηξόπν ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ λα δηαηεξείηαη ζηαζεξό. Να απνδεηρζεί όηη ν

ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο βάζεο ηνπ, ηελ ρξνληθή ζηηγκή

0t πνπ ε βάζε είλαη δηπιάζηα ηνπ ύςνπο,

είλαη ίζε κε 02 ( ) t .

254) Σν κήθνο ελόο θύθινπ απμάλεηαη κε ξπζκό 3 cm/sec. Σε ρξνληθή ζηηγκή

0t , θαηά ηελ νπνία

ην εκβαδόλ ηνπ θύθινπ είλαη 100π cm2, λα

βξεζνύλ: α. ε αθηίλα ηνπ θύθινπ,

β. ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο αθηίλαο ηνπ θύθινπ,

γ. ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ εκβαδνύ ηνπ θύθινπ.

255) Σν εκβαδόλ θπθιηθνύ ηνκέα δίλεηαη από ηνλ

ηύπν 21

2 R , όπνπ R είλαη ε αθηίλα ηνπ θαη

ε επίθεληξε γσλία ζε αθηίληα. Να βξείηε ηνλ

ξπζκό κεηαβνιήο: α. ηνπ εκβαδνύ Δ σο πξνο ηελ γσλία , όηαλ ε αθηίλα

R είλαη ζηαζεξή κε 4R κ.,

β. ηνπ εκβαδνύ Δ σο πξνο ηελ αθηίλα R , όηαλ ε γσλία

είλαη ζηαζεξή κε 3

rad,

γ. ηεο αθηίλαο R σο πξνο ηελ γσλία , όηαλ ην

εκβαδόλ Δ είλαη ζηαζεξό κε 25 η.κ. θαη 10R κ.

256) Η πιεπξά x ελόο ηεηξαγώλνπ κεηαβάιιεηαη

ζε ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ t . Σε ρξνληθή ζηηγκή

πνπ 10x cm, λα βξείηε ην ξπζκό κε ηνλ νπνίν

κεηαβάιιεηαη ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαγώλνπ, όηαλ ν ξπζκόο αύμεζεο ηεο πεξηκέηξνπ απηνύ είλαη

0,3 cm/sec.

257) Η κηα θάζεηε πιεπξά x ελόο νξζνγσλίνπ

ηξηγώλνπ απμάλεηαη κε ξπζκό 7 cm/sec ελώ ε

άιιε θάζεηε πιεπξά y ειαηηώλεηαη κε ξπζκό

9 cm/sec. Όηαλ 6x cm θαη 8y cm λα

βξείηε: α. ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ππνηείλνπζαο s ηνπ

ηξηγώλνπ, β. ην ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ εκβαδνύ ηνπ ηξηγώλνπ.

258) Σν ύςνο ελόο ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ ΑΒΓ κε

ζηαζεξή βάζε 16 cm κεηαβάιιεηαη κε

ξπζκό 5 cm/sec. Αλ ηε ρξνληθή ζηηγκή 0t ην

ζεκείν Α απέρεη από ηελ πιεπξά ΒΓ 6 cm , λα

βξεζνύλ: α. ν ξπζκόο κεηαβνιήο ησλ ίζσλ πιεπξώλ,

β. ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ εκβαδνύ ηνπ ηξηγώλνπ.

259) ε έλα νμπγώλην θαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ

κε 10 cm, ε πιεπξά ΒΓ απμάλεη κε

ξπζκό 2 3 cm/sec. Αλ x θαη

, λα

βξεζεί: α. ην εκβαδόλ Δ ηνπ ηξηγώλνπ ζπλαξηήζεη ησλ x ,

β. ην x ζπλάξηεζε ηεο γσλίαο ,

γ. ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο γσλίαο ηελ ρξνληθή

ζηηγκή 0t πνπ ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ηζόπιεπξν,

δ. ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ εκβαδνύ Δ ηε ρξνληθή

ζηηγκή 0t πνπ ην ηξίγσλν είλαη ηζόπιεπξν.

260) Αλ ζε έλα ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ ε πεξίκεηξνο απμάλεηαη κε ξπζκό 3 cm/sec, λα

βξεζεί: α. κε ηη ξπζκό κεηαβάιιεηαη ε πιεπξά ηνπ ηξηγώλνπ,

β. κε ηη ξπζκό κεηαβάιιεηαη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ

όηαλ απηό είλαη ίζν κε 3 cm2.

261) Να βξεζεί ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ όγθνπ ελόο νξζνγσλίνπ παξαιιειεπηπέδνπ κε

δηαζηάζεηο x , 2x , 2 1x , όηαλ 4x .

262) Έλα κπαιόλη, ζρήκαηνο ζθαίξαο,

θνπζθώλεη κε ξπζκό κεηαβνιήο ηεο αθηίλαο

2 cm/sec. Να βξείηε κε ηη ξπζκό απμάλεηαη ν όγθνο ηνπ θαη κε ηη ξπζκό απμάλεηαη ε επηθάλεηα

ηνπ, όηαλ ε αθηίλα ηνπ είλαη 1 cm. (Γίλεηαη όηη 24 r )

263) Μηα ζθαηξηθή κπάια θνπζθώλεη θαη ε

αθηίλα ηεο απμάλεη ζύκθσλα κε ηνλ ηύπν

6 3 r t , όπνπ t ν ρξόλνο ζε sec, κε 0 , 2t

θαη r ην κήθνο ζε m. Να βξείηε ην ξπζκό

αύμεζεο ηνπ όγθνπ ηεο ζθαηξηθήο κπάιαο όηαλ 1t sec.

264) Μηα ζθαηξηθή κπάια από ρηόλη ιεηώλεη κε ηξόπν ώζηε ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ όγθνπ ηεο

λα είλαη αλάινγνο κε ην εκβαδόλ ηεο επηθάλεηαο

ηεο. Να δείμεηε όηη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο αθηίλαο ηεο είλαη ζηαζεξόο.

265) Σν ύςνο ηνπ λεξνύ ζε έλα θπιηλδξηθό

δνρείν αλεβαίλεη κε ξπζκό 10

cm/sec. Αλ ε

αθηίλα ηεο βάζεο ηνπ δνρείνπ είλαη 8 cm, λα ππνινγίζεηε ην ξπζκό κε ηνλ νπνίν απμάλεη ν

όγθνο ηνπ λεξνύ. (Γίλεηαη όηη 2V r h )


- 71 -

266) Σν ύςνο θαη ε αθηίλα ηεο βάζεο ελόο νξζνύ

θπιίλδξνπ απμάλνπλ κε ξπζκό 1% θαη 2% αληίζηνηρα θάζε κέξα. Να βξείηε ην ξπζκό

αύμεζεο ηνπ όγθνπ ηνπ θπιίλδξνπ.

267) Η επηθάλεηα ελόο θύβνπ κεηαβάιιεηαη κε

ξπζκό a cm2/sec. Να βξείηε ηνλ ξπζκό

κεηαβνιήο ηνπ όγθνπ ηνπ θύβνπ, όηαλ ε

επηθάλεηα ηνπ είλαη cm2. (Γίλεηαη όηη 3V x )

268) ε έλα θαηαθόξπθν ηνίρν βξίζθεηαη ζηεξεσκέλε πιάγηα κηα ζθάια κήθνπο 5 m. Σν

θάησ κέξνο ηεο ζθάιαο αξρίδεη λα γιηζηξά κε ξπζκό 1 m/sec. Σε ρξνληθή ζηηγκή

0t πνπ ην

θάησ κέξνο ηεο ζθάιαο απέρεη από ηνλ ηνίρν

3m, λα βξείηε: α. ζε ηη ύςνο είλαη ζηεξεσκέλε ε ζθάια, β. κε ηη ξπζκό πέθηεη ην πάλσ κέξνο ηεο ζθάιαο,

γ. κε ηη ξπζκό κεηαβάιαηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεηαη από ηελ ζθάια, ηνλ ηνίρν θαη ην

έδαθνο,

δ. κε ηη ξπζκό κεηαβάιιεηαη ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη

ε ζθάια κε ηνλ ηνίρν.

269) Μηα ζθάια κήθνπο 20 m είλαη

ζηεξεσκέλε ζην ηνίρν ελόο θηηξίνπ. Αλ ην θάησ

κέξνο ηεο ζθάιαο γιηζηξάεη ζην έδαθνο κε ξπζκό 2 m/sec, πόζν γξήγνξα πέθηεη ε θνξπθή

ηεο ζθάιαο όηαλ απηή απέρεη 12 m από ην έδαθνο;

270) Έλαο βαξθάξεο ζε κηα πξνβιήηα ηξαβάεη ηε

βάξθα ηνπ ρξεζηκνπνηώληαο έλα ζρνηλί ην νπνίν είλαη δεκέλν ζηε βάξθα ζε ζεκείν πνπ βξίζθεηαη

30 cm πάλσ από ηε ζηάζκε ηνπ λεξνύ. Σν ζρνηλί δηέξρεηαη από κηα ηξνραιία πνπ ππάξρεη

ζηελ πξνβιήηα 2,3 m πάλσ από ηελ ζηάζκε ηνπ

λεξνύ. Αλ ηξαβάεη ην ζρνηλί κε ηαρύηεηα 2 m/sec, πόζν γξήγνξα πιεζηάδεη ε βάξθα ηελ

πξνβιήηα, όηαλ απηή απέρεη 7 m από ηελ βάζε ηεο;

271) Γπν απηνθίλεηα Α θαη Β θηλνύληαη θαηά

κήθνο δπν θάζεησλ νδώλ ΑΓ θαη ΒΓ κε ηαρύηεηεο 50 km/h θαη 100 km/h αληίζηνηρα. Να

βξείηε: α. κηα ζπλάξηεζε πνπ λα δίλεη ηελ απόζηαζε ησλ δπν

απηνθηλήησλ ζε ζρέζε κε ηηο απνζηάζεηο ησλ νρεκάησλ από ην ζεκείν Γ,

β. ηελ απόζηαζε ησλ δπν νρεκάησλ ηελ ρξνληθή

ζηηγκή 0t θαηά ηελ νπνία ην Α όρεκα απέρεη από ηελ

δηαζηαύξσζε 800m θαη ην Β 600m, γ. ηνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηεο απόζηαζεο ΑΒ σο πξνο ην

ρξόλν ηελ παξαπάλσ ρξνληθή ζηηγκή 0t .

272) ην έλα άθξν ζρνηληνύ κήθνπο 45m δέλνπκε βάξνο Β. Σν άιιν άθξν Α ζύξεηαη ζην έδαθνο κε

ηαρύηεηα 2 m/sec αθνύ πξώηα ην ζρνηλί πεξάζεη από κηα ηξνραιία πνπ βξίζθεηαη ζε ύςνο

20m από ην έδαθνο. Να βξείηε ην ξπζκό

αλύςσζεο ηνπ βάξνπο Β ηελ ρξνληθή ζηηγκή 0t

θαηά ηελ νπνία είλαη 10 5 m.

273) Έλα κπαιόλη αλέξρεηαη θαηαθόξπθα πάλσ

από έλα ζεκείν Β ηνπ εδάθνπο κε ηαρύηεηα 140 m/min. Έλαο παξαηεξεηήο βξίζθεηαη ζην

ζεκείν Α ηνπ εδάθνπο, 500 m καθξηά από ην Β. Να βξείηε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο γσλίαο ,

πνπ ζρεκαηίδεη κε ην έδαθνο θαη ηελ επζεία πνπ ζπλδέεη ηνλ παξαηεξεηή κε ην κπαιόλη, σο πξνο

ην ρξόλν t ηελ ρξνληθή ζηηγκή 0t πνπ ην

κπαιόλη βξίζθεηαη ζε ύςνο 500 m.

274) Έζησ : 0 , f κε ( )f t λα είλαη ε

πνζόηεηα ελόο αληηβηνηηθνύ πνπ έρεη

απνξξνθεζεί από ην αλζξώπηλν ζώκα θαηά ηελ ρξνληθή ζηηγκή t γηα ηελ νπνία ηζρύεη

499( ) 1 2

t

f t . Να βξεζεί ε ρξνληθή ζηηγκή 1t

θαηά ηελ νπνία ν ξπζκόο απνξξόθεζεο ηνπ αληηβηνηηθνύ από ην αλζξώπηλν ζώκα είλαη ίζνο

κε ην 1

16 ηνπ ξπζκνύ απνξξόθεζεο θαηά ηελ

ρξνληθή ζηηγκή 0 0t .

275) εκείν Μ θηλείηαη ζηελ επζεία κε εμίζσζε

4 1 y x . Αλ ε ηεηκεκέλε ηνπ Μ απμάλεη κε

ξπζκό 2 cm/sec, λα βξείηε ην ξπζκό κεηαβνιήο

ηεο απόζηαζεο ηνπ Μ από ην ζεκείν 4 , 0

ηελ ρξνληθή ζηηγκή πνπ ην Μ έρεη ηεηκεκέλε 4.

276) εκείν Μ θηλείηαη ζηελ επζεία :3 2 6 x y . Αλ θαηά ηελ ρξνληθή ζηηγκή 0t

βξίζθεηαη ζην ζεκείν 2 , 0 θαη ηελ ρξνληθή

ζηηγκή t ε ηεηαγκέλε ηνπ είλαη 23t , λα βξείηε ην

ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηεηκεκέλεο ηνπ όηαλ ην

ζεκείν βξεζεί πάλσ ζηνλ άμνλα y y .


- 72 -

277) ην παξαθάησ ζρήκα δίλεηαη έλα

θαξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ θαη ηα

ζεκεία 0 , 3 θαη 6 , 0 .

α. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ΑΒ.

β. Έλα ζεκείν Μ θηλείηαη ζην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ (μεθηλώληαο από ην Α), ώζηε ε ηεηκεκέλε ηνπ λα

απμάλεηαη θαηά 2κνλ/sec. Έζησ επίζεο Κ θαη Λ νη πξνβνιέο ηνπ ζεκείνπ Μ ζηνπο άμνλεο x x θαη y y

αληίζηνηρα. Να βξείηε ηνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ

εκβαδνύ ηνπ ΟΚΜΛ, ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ:

i. ην ΟΚ είλαη ηεηξαπιάζην ηνπ ΟΛ, ii. ην ΟΚΜΛ είλαη ηεηξάγσλν.

278) Σα άθξα Α θαη Β ελόο επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΒ = 10 cm «νιηζζαίλνπλ» επί ησλ

εκηαμόλσλ Ox θαη Oy αληίζηνηρα. Αλ ηελ

ρξνληθή ζηηγκή 0t , πνπ ην ζεκείν Α απέρεη από

ηελ αξρή 0 , 0 ησλ αμόλσλ 6cm, ε ηαρύηεηά

ηνπ είλαη 4 m/sec, λα βξεζεί:

α. ε ηαρύηεηα ηνπ ζεκείνπ Β,

β. κηα ζπλάξηεζε πνπ λα ζπλδέεη ην εκβαδόλ Δ ηνπ ηξηγώλνπ κε ηελ πιεπξά ΟΑ,

γ. ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ εκβαδνύ Δ ηελ ρξνληθή ζηηγκή 0t .

279) ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αμόλσλ δίλεηαη

ην ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΟΑΒ 0 , 0 , , 0 a ,

0a . Έλα ζεκείν Μ θηλείηαη από ην Ο πξνο ην Α

κε ηαρύηεηα cm/sec. Αλ Κ είλαη ε

πξνβνιή ηνπ Μ ζηελ επζεία ΑΒ, λα βξεζνύλ: α. ην εκβαδόλ ( )E t ηνπ ηξηγώλνπ ΜΟΚ σο ζπλάξηεζε

ηνπ ρξόλνπ t ,

β. ηνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ εκβαδνύ ( )E t ηελ

ρξνληθή ζηηγκή 0t , πνπ ην Μ βξίζθεηαη ζην Α.

280) Έλα ζεκείν Μ θηλείηαη πάλσ ζηελ παξαβνιή

κε εμίζσζε 22 1 y x . Η ηαρύηεηα ηεο

ηεηαγκέλεο ηνπ είλαη 3 cm/sec. Να βξεζεί ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ηεηκεκέλεο ηνπ ηελ

ρξνληθή ζηηγκή 0t πνπ είλαη 8x cm.

281) Έλα ζεκείν Α εθηειεί αξκνληθή ηαιάλησζε

πάλσ ζηνλ άμνλα x x κε ζέζε 4 2 x t θαη

έλα δεύηεξν ζεκείν Β ζηνλ άμνλα y y κε ζέζε

2 y t . Να βξείηε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ

εκβαδνύ Δ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΑΒ ηελ ρξνληθή ζηηγκή

0 4t sec, όηαλ 2

.

282) Έλα ζεκείν Λ θηλείηαη πάλσ ζηελ παξαβνιή 23 5 3 y x x

κε (t) 0x . Να βξείηε ην ζεκείν

ηεο παξαβνιήο ζην νπνίν ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ηεηαγκέλεο y ηνπ ζεκείν Λ είλαη 7–πιάζηνο

από ηνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηεηκεκέλεο x .

283) Έλα ζεκείν Ρ θηλείηαη ζηελ θακπύιε y x

κε 4dx

dt cm/sec. Σε ρξνληθή ζηηγκή 0t πνπ

είλαη 3x , λα βξείηε:

α. ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηεηαγκέλεο y σο πξνο ην

ρξόλν, β. ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο απόζηαζεο ηνπ Ρ από ην

ζεκείν 2 , 0 ,

γ. ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο γσλίαο πνπ ζρεκαηίδεη ε

ΑΡ κε ηνλ x x .

284) Έλα ζεκείν Α θηλείηαη πάλσ ζε άμνλα θαη ε

ηαρύηεηα ηνπ (ζε cm/sec) ηελ ρξνληθή ζηηγκή t

δίλεηαη από ηνλ ηύπν 2 1( ) 2

2 t t . Αλ ηελ

ρξνληθή ζηηγκή 0 0t ε ζέζε ηνπ ζηνλ άμνλα

είλαη 0( ) 1 x t cm, ηόηε λα βξείηε:

α. ηελ ζέζε ηνπ ζεκείνπ ηελ ρξνληθή ζηηγκή

1 3t sec,

β. ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο ηελ ρξνληθή

ζηηγκή 1 3t ,

γ. ην δηάζηεκα πνπ δηαλύεη από ηελ ρξνληθή ζηηγκή

0 0t κέρξη ηελ ρξνληθή ζηηγκή 1 3t .

285) Μηα κεηαβιεηή νξζή γσλία

ηέκλεη

ηελ παξαβνιή κε εμίζσζε 2y x ζηα ζεκεία Α

θαη Β. Η ηεηκεκέλε Ax ηνπ Α κεηαβάιιεηαη κε

ξπζκό 3 cm/sec. Να βξεζνύλ:

α. νη ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ Α θαη Β σο ζπλάξηεζε ηνπ Ax .

β. ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ εκβαδνύ ηνπ ηξηγώλνπ

ΑΟΒ ηελ ρξνληθή ζηηγκή πνπ είλαη 2Ax cm.


- 73 -

286) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) lnf x x , 0x θαη

ην ζεκείν , ( ) a f a ηεο fC .

α. Να βξείηε ηελ εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο

fC ζην ζεκείν Μ.

β. Γηα πνηα ηηκή ηνπ 0a ε εθαπηνκέλε δηέξρεηαη

από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ; γ. Αλ ην ζεκείν Μ απνκαθξύλεηαη από ηνλ άμνλα y y

κε ζηαζεξή ηαρύηεηα 2 m/sec, λα βξείηε ηνλ

ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Μ ωο πξνο ην ρξόλν t ηελ ρξνληθή ζηηγκή

0t θαηά ηελ νπνία

ε εθαπηνκέλε ζην Μ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ

αμόλωλ.

287) Έζηω ε ζπλάξηεζε ( ) 1 ln f x x θαη ην

ζεκείν Α πνπ ε εθαπηνκέλε ζε απηό

δηέξρεηαη από ην ζεκείν 0 ,1 .

α. Να βξείηε ηελ εμίζωζε ηεο .

β. Αλ έλα θηλεηό Μ θηλείηαη θαηά κήθνο ηεο θακπύιεο

fC θαη θαζώο πεξλάεη από ην Α ε ηεηκεκέλε ηνπ x

ειαηηώλεηαη 4 cm/sec, λα βξείηε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηεηαγκέλεο ηνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ην θηλεηό

πεξλάεη από ην Α.

288) Έλα ζεκείν Μ θηλείηαη ζηελ γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο 3

( ) 1 f x x . Η

ηεηκεκέλε ηνπ Μ θηλείηαη κε ζηαζεξό ξπζκό 1,

πάλω ζηνλ άμνλα Ox . Να βξείηε:

α. Μηα ζρέζε πνπ λα ζπλδέεη ηελ γωλία πνπ

ζρεκαηίδεη ε εθαπηνκέλε επζεία ηεο γξαθηθήο

παξάζηαζεο ηεο f ζην Μ κε ηνλ άμνλα x x θαη ηελ

ηεηκεκέλε x ηνπ ζεκείνπ Μ.

β. Τνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηεο γωλίαο ηελ ρξνληθή

ζηηγκή πνπ ε εθαπηόκελε επζεία ζην Μ είλαη

παξάιιειε ζηελ επζεία : 3 2 0 x y .

289) Έλα ζεκείν , x y θηλείηαη θαηά κήθνο

ηεο θακπύιεο 3

2

xy , έηζη ώζηε λα ηζρύεη

( ) ( ) x t x t . Αλ ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην

Μ ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζην ζεκείν Ρ , λα βξείηε

ηνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ Ρ όηαλ 3 x .

290) Έζηω Δ ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ

νξίδνπλ ηα ζεκεία , 0 x , 0 , xe , 0 , 0

κε 0x . Αλ ην x κεηαβάιιεηαη κε ξπζκό

κεηαβνιήο 3 cm/sec, λα βξείηε ην ξπζκό

κεηαβνιήο ηνπ Δ όηαλ 4x cm.

291) Έζηω Δ ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ

νξίδνπλ ηα ζεκεία 0 , 0 , , 0 x θαη

0 ,1 ln x κε 1x . Αλ ην x κεηαβάιιεηαη κε

ξπζκό κεηαβνιήο 2 m/sec, λα βξείηε ην ξπζκό

κεηαβνιήο ηνπ Δ όηαλ 4x m.

292) Θεωξνύκε εκηθύθιην ΑΟΒ αθηίλαο 3R cm

θαη ηελ ΟΓ θάζεηε ζηελ ΑΒ ζην Ο. Σεκείν Μ

θηλείηαη από ην Γ πξνο ην Β πάλω ζην εκηθύθιην

ώζηε ε γωλία

λα ειαηηώλεηαη κε

ξπζκό 24

rad/sec. Να βξείηε ηνλ ξπζκό

κεηαβνιήο ηεο απόζηαζεο ηνπ Μ από ηελ δηάκεηξν ΑΒ όηαλ 2t sec.

293) Σεκείν Μ θηλείηαη θαηά ηελ αξλεηηθή θνξά

ζε θύθιν κε θέληξν Ο θαη αθηίλα 3R cm. Αλ ε

πξνβνιή ηνπ Μ ζηε δηάκεηξν ΑΒ θηλείηαη κε

ζηαζεξή ηαρύηεηα 2 cm/sec, από ην Α πξνο ην Β, λα βξείηε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο απόζηαζεο

ηνπ ζεκείνπ Μ από ην Α όηαλ 060

.

294) Έλαο πεδνπόξνο μεθηλάεη από ην ζεκείν Α

ελόο θπθιηθνύ δξόκνπ αθηίλαο 4 km θαη βαδίδεη κε ζηαζεξή ηαρύηεηα 2 km/h. Να βξείηε ην

ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ κήθνπο ηεο δηαδξνκήο θαη ηεο αληίζηνηρεο ρνξδήο ωο πξνο ην ρξόλν t

θαηά ηελ ρξνληθή ζηηγκή 0t πνπ ε επίθεληξε

γωλία δηαγξαθήο είλαη ίζε κε 3

.


- 74 -

§6. θεώρημα Rolle

295) Να εμεηάζεηε αλ ηζρύεη ην Θ. Rolle γηα ηηο

παξαθάηω ζπλαξηήζεηο ζην δηάζηεκα ,a ,

θαη αλ ηζρύεη λα βξείηε ηηο ξίδεο ηεο εμίζωζεο

( ) 0 f x ζην ,a .

α. 3 2( ) 1 f x x , 1,1 β. ( ) lnf x x ,5

,6 6

γ. 2( ) | | f x x x , 1,1

296) Έζηω ε ζπλάξηεζε : 0 ,1 f κε

1, 0

2( )

11 , 1

2

x x

f x

x x

. Να εμεηάζεηε αλ

ηθαλνπνηνύληαη νη ζπλζήθεο ηνπ ζεωξήκαηνο ηνπ

Rolle.




( ) 0 f x ζην ,a .

α. 21 , 1

( )2 , 1

x xf x

x x, 0 , 2

β. 2

2

4 12 , 2( )

4 16 , 2

x x xf x

x x x, 6 , 0




( ) 0 f x ζην ,a .

α.

1, 0

( )

0 , 0

x xf x x

x

,

10 ,

β.

2

, 0 , 12( )

1 1 , 1 , 2

xx

f x

x x

, 0 , 2

299) Να βξείηε ηνπο , , a ώζηε νη

παξαθάηω ζπλαξηήζεηο λα ηθαλνπνηνύλ ηηο

ππνζέζεηο ηνπ Θ. Rolle ζην δνζκέλν δηάζηεκα θαη λα βξείηε ηηο ξίδεο ηεο εμίζωζεο ( ) 0 f x

ζην δηάζηεκα απηό.

α.

2

, 2 , 0( )

, 0 , 2

ax xf x

x x x

, 2 , 2

β. 2

, 2 1( )

1 , 1 2

x xf x

x ax x

, 2 , 2

γ. 2

2

, 0( )

2 , 0

x ax xf x

x x x

, 2 , 2

δ. 2

3 2

, 0( )

3 , 0

x ax xf x

x x x x

, 1,1


2

( 3) 2( )

( 1) 1

a xf x

ax x

, 1

, 1

x

x.

α. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ έηζη , ώζηε ε f λα είλαη

ζπλερήο. β. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ a έηζη , ώζηε ε f λα είλαη

παξαγωγίζηκε.

γ. Να βξείηε ηνπο a , θαη έηζη, ώζηε γηα ηελ f

λα ηζρύεη ην ζεώξεκα Rolle ζην δηάζηεκα 3 , 5 θαη ε

fC λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 ,12 .

301) Έζηω ε ζπλάξηεζε 2

2( )

4 4

x mx rf x

qx x

, [ 1 , 0)

, [0 ,1]

x

x. Να

πξνζδηνξίζεηε ηα , , m r q ώζηε ε f λα

ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ζεωξήκαηνο

Rolle ζην δηάζηεκα 1,1 .

302) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 1, 2 ,

παξαγωγίζηκε ζην 1, 2 θαη ηζρύεη

(2) ( 1) 15 f f . Να δείμεηε όηη:

α. Η ζπλάξηεζε 2( ) ( ) 5 g x f x x ηθαλνπνηεί ζην

1, 2 ηηο ππνζέζεηο ηνπ Θ Rolle.

β. Υπάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 1, 2 ηέηνην ώζηε

( ) 10 f .


- 75 -


θαη (3) 0f . Να δείμεηε όηη:

α. Η ζπλάξηεζε ( ) ln ( ) g x x f x ηθαλνπνηεί ζην 1, 3

ηηο ππνζέζεηο ηνπ Θ Rolle.

β. Υπάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 1, 3 ηέηνην ώζηε

( ) ln ( ) 0 f f .


θαη πεξηηηή. Να δείμεηε όηη:

α. Η ζπλάξηεζε ( ) (5 ) ( ) g x x f x ηθαλνπνηεί ζην

0 , 5 ηηο ππνζέζεηο ηνπ Θ. Rolle.

β. Υπάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 0 , 5 ηέηνην ώζηε

( ) (5 ) ( ) f f .


κε (1) 10f θαη (3) 12f .

α. Να βξείηε ηνπο , a ώζηε ε ζπλάξηεζε 2( ) ( ) g x f x x ax λα ηθαλνπνηεί ζην 1, 3 ηηο

ππνζέζεηο ηνπ Θ Rolle.

β. Να δείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 1, 3

ηέηνην ώζηε ( ) 2 3 f .


παξαγωγίζηκε κε 6( ) (0)f a e f , 0a . Αλ γηα

ηελ ζπλάξηεζε ( ) ln ( ) 2 g x f x x a ηζρύνπλ νη

ππνζέζεηο ηνπ Θ Rolle ζην 0 , a , ηόηε:

α. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ a .

β. Να δείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 0 , 3

ηέηνην ώζηε ( ) 2 ( ) f f .

307) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) lnf x x x . Να


α. ε f ηθαλνπνηεί ηηο ππνζέζεηο ηνπ ζεωξήκαηνο Rolle

ζην δηάζηεκα 1,2

,

β. ε εμίζωζε x xx e έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην

1 ,2

.

308) Η ζπλάξηεζε : , f a κε 0 a

είλαη πεξηηηή, ζπλερήο ζην ,a θαη δπν θνξέο

παξαγωγηζίκε ζην ,a . Αλ ( ) ( )f a f

δείμηε όηη ππάξρεη , a ηέηνην ώζηε

( ) 0 f .

309) α. Η ζπλάξηεζε : f είλαη

παξαγωγίζηκε θαη δελ είλαη 1 – 1. Να δείμεηε όηη

ε εμίζωζε ( ) 0 f x έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ

πξαγκαηηθή ξίδα. β. Η ζπλάξηεζε f είλαη άξηηα θαη

παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα Γ. Να δείμεηε όηη

ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ ηέηνην ώζηε

( ) 0 f .

γ. Η ζπλάξηεζε : f είλαη παξαγωγίζηκε

θαη πεξηνδηθή. Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε

( ) 0 f x έρεη άπεηξεο ξίδεο.

δ. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην ,a

θαη παξαγωγίζηκε ζην ,a κε ( ) 0 f x

γηα θάζε ,x a . Να δείμεηε όηη

( ) ( )f a f .

310) Αλ ε εμίζωζε 4 3 2 8 5 0 x ax x x έρεη

ηέζζεξηο ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο, λα δείμεηε

όηη 2 8

3a .

311) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3 2( ) f x x ax x κε 0 θαη 0 . Αλ ε

εμίζωζε ( ) 0f x έρεη ηξεηο πξαγκαηηθέο ξίδεο,

λα δείμεηε όηη κηα κόλν είλαη αξλεηηθή.


παξαγωγίζηκε ,a θαη ππάξρεη , a

ηέηνην ώζηε ( ) ( ) f a f . Αλ ( ) 0 f x γηα

θάζε ,x a , λα δείμεηε όηη ππάξρεη αθξηβώο

έλα 0 ,x a ηέηνην ώζηε 0( ) f x .


:f γηα ηελ νπνία ηζρύεη 1 ( ) 3f x θαη

( ) 1f x γηα θάζε x . Να απνδείμεηε όηη

ππάξρεη κνλαδηθό 0 0 ,1x ηέηνην, ώζηε

0

0 0( )x

f x e x .

314) α. Έζηω : , f a ζπλερήο ζην

,a θαη παξαγωγίζηκε ζην ,a . Αλ ε

παξάγωγνο f δελ έρεη ξίδα ζην δηάζηεκα

,a , ηόηε λα απνδείμεηε όηη ε f έρεη ην

πνιύ κηα ξίδα ζ’ απηό ην δηάζηεκα.

β. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 1 0 x x κε

0 1 , έρεη αθξηβώο κηα πξαγκαηηθή ξίδα.


- 76 -

315) Έζηω ε ζπλάξηεζε

( ) ( )( )( ) f x x a x x κε , , a θαη

a . Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε

( ) 0 f x έρεη δπν ξίδεο ζην δηάζηεκα ,a .

316) Έζηω : , f a δπν θνξέο

παξαγωγίζηκε. Αλ ππνζέζνπκε όηη ε f

κεδελίδεηαη γηα ηξία δηαθεθξηκέλα ζεκεία, λα

απνδείμεηε όηη ππάξρεη ,c a ηέηνην, ώζηε

( ) 0 f c .

317) Αλ νη ζπλαξηήζεηο f , g θαη νη παξάγωγνη

ηνπο f , g είλαη ζπλερείο ζην δηάζηεκα ,a

θαη ηζρύεη 0 f g f g ζ’ απηό ην δηάζηεκα,

ηόηε λα δεηρζεί όηη κεηαμύ δπν δηαδνρηθώλ ξηδώλ

ηεο f ππάξρεη ξίδα ηεο g .


: 0 ,f γηα ηελ νπνία ηζρύεη

2 ( ) 4 ( ) 2 3xf x f x x e γηα θάζε 0x . Να

απνδείμεηε όηη ε fC ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ην

πνιύ ζε έλα ζεκείν.

319) Να απνδείμεηε όηη νη παξαθάηω εμηζώζεηο έρνπλ ην πνιύ κηα ξίδα.

α. 3 22 3 6 10 0 x x x β. 3 5 1 0 xe x x

γ. 3 24 6 0 x x ax , 3a δ. 2 2 5 0x x

320) Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε 3 25

4 03 2

x xx έρεη ην πνιύ κηα ξίδα ζην

δηάζηεκα 2 , 3 , γηα θάζε .

321) Να απνδεηρζεί όηη ε εμίζωζε 3 24 18 21 x x a x δελ κπνξεί λα έρεη δπν

δηαθνξεηηθέο ξίδεο ζην δηάζηεκα 1, 2 .

322) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 1 0 x xxe e

δελ έρεη νύηε ζεηηθή νύηε αξλεηηθή πξαγκαηηθή

ξίδα.

323) Να απνδείμεηε όηη νη παξαθάηω εμηζώζεηο

έρνπλ ην πνιύ δπν ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο.

α. 8 2 7 0 x x β. 4 3 2 1 0 x x x x

γ. 22 3 5 0 x x δ. 4 3 2 2 0 x ax a x x

, 0a

324) Να απνδεηρζεί όηη ε εμίζωζε 4 3 22 3 0 x x x ax έρεη ην πνιύ δπν

πξαγκαηηθέο ξίδεο, γηα θάζε , a .

325) Αλ , , a κε 0a , λα απνδείμεηε όηη

ε εμίζωζε 4 3 2 22 6 0 x ax a x x έρεη ην

πνιύ δπν πξαγκαηηθέο ξίδεο.

326) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 3 24 3 0 xe x x x έρεη ην πνιύ ηξεηο

πξαγκαηηθέο ξίδεο.

327) Να απνδεηρζεί όηη ε εμίζωζε 5 33 5 5 1 0 x x x έρεη κηα αθξηβώο πξαγκαηηθή

ξίδα.

328) Να απνδείμεηε όηη νη παξαθάηω εμηζώζεηο

έρνπλ κνλαδηθή ξίδα, ζην δηάζηεκα πνπ δίλεηαη.

α. 1 x x , 0 , β. 1 1 ln xe x , 0 ,

γ. 2 4x x , δ.

2 2ln 1 0x x , 1,

ε. 1 x xe xe , ζη.

3 5x x a , , 0 , 4a

329) Να απνδείμεηε όηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο

ηωλ ζπλαξηήζεωλ 3 5( ) 3 xf x e x θαη 3( ) 5 xg x e x έρνπλ έλα κόλν θνηλό ζεκείν

πνπ βξίζθεηαη πάλω ζηνλ άμνλα y y .


: 1, 2f γηα ηελ νπνία ηζρύεη 1 ( ) 2f x

θαη ( ) 1f x γηα θάζε 1, 2x . Να απνδείμεηε

όηη ε fC ηέκλεη ηελ επζεία y x ζε έλα

αθξηβώο ζεκείν.

331) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2( ) f x x θαη

( ) g x x x x . Να απνδείμεηε όηη νη fC θαη

gC έρνπλ δπν αθξηβώο θνηλά ζεκεία πνπ έρνπλ

ηεηκεκέλεο 1 , 0 x θαη 2 0 ,x .

332) Η ζπλάξηεζε : 0 ,1 f είλαη

παξαγωγίζηκε κε 0 ( ) 1 f x θαη ( ) 1 f x , γηα

θάζε 0 ,1x . Να δείμεηε όηη ππάξρεη κόλν έλαο

αξηζκόο 0 0 ,1x ηέηνηνο ώζηε 0 0( ) f x x .


- 77 -

333) Η ζπλάξηεζε : 0 ,1 0 ,1f είλαη

ζπλερήο ζην δηάζηεκα 0 ,1 θαη παξαγωγίζηκε

ζην δηάζηεκα 0 ,1 κε | ( ) | 1f x , γηα θάζε

0 ,1x . Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη κνλαδηθό

0 ,1 ώζηε ( ) f .


δηάζηεκα 1, e κε 0 ( ) 1 f x θαη ( ) 0 f x , γηα

θάζε 1,x e . Να δείμεηε όηη ππάξρεη κόλν έλαο

αξηζκόο 0 1,x e ηέηνηνο ώζηε

0 0 0 0( ) ln f x x x x .

335) α. Αλ v άξηηνο ζεηηθόο αξηζκόο θαη 0a ,

λα δείμεηε όηη ε εμίζωζε v v vx a x a , έρεη

αθξηβώο κηα πξαγκαηηθή ξίδα.

β. Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε 2012 2012 5035 3 16 x x

Παραηήρεζε : Έζηω f ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζ’ έλα

δηάζηεκα Γ. Αξρηθή ή παξάγνπζα ηεο f ζην Γ ιέγεηαη

θάζε ζπλάξηεζε F πνπ είλαη παξαγωγίζηκε ζην Γ θαη

ηζρύεη ( ) ( ) F x f x , γηα θάζε x .

336) Να βξεζεί ζην δηάζηεκα 0 , κηα

παξάγνπζα ( )F x ηεο ζπλάξηεζεο ( )f x , όηαλ:

α. ( ) 2f x x β. 2( ) 3f x x γ. 4( ) f x x

δ. 3

2( ) f x

x ε. ( ) f x x ζη. ( ) f x x

δ. 2010

( ) f xx

ε. ( ) xf x e ζ. ( ) 5 xf x

337) Να βξεζεί ζην δηάζηεκα , a κηα

παξάγνπζα ( )F x ηεο ζπλάξηεζεο ( )f x , όηαλ:

α. 2( ) 3 10 7 f x x x β.

4 3

2

3( )

x x xf x

x

γ. 2

( )2011

f xx


0 , . Να βξεζεί ζην δηάζηεκα 0 ,

κηα παξάγνπζα ( )G x ηεο ζπλάξηεζεο ( )g x ,

όηαλ:

α. 2( ) ( ) 3 6 g x f x x x β. ( ) ( ) ( ) xg x e f x f x

γ. ( )

( ) ln ( ) f x

g x x f xx

δ. ( ) ( )

( )

x

f x f xg x

e

339) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 3 24 3( 1) 2 x a x x a κε , a έρεη

κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην δηάζηεκα 0 ,1 .

340) Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε 23 2 ax x a

κε , a έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην

δηάζηεκα 0 ,1 .

341) Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε 26 6 2 3 0 ax x a κε , a έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην δηάζηεκα 0 ,1 .

342) Αλ 3 1 a , λα δείμεηε όηη ε εμίζωζε 23 2 3 0 x ax κε , a έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ πξαγκαηηθή ξίδα.


:f γηα ηελ νπνία ηζρύεη (2) (1) 16f f .

Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ

1, 2 ηέηνην, ώζηε 2( ) 3 6f .

344) Γίλεηαη ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην 1, 2

θαη παξαγωγίζηκε ζην 1, 2 , κε (2) 2f θαη

(1) 1f . Να απνδείμεηε όηη:

α. ππάξρεη 1 1, 2 ηέηνην, ώζηε

1 1 1( ) 3 ( )f f ,

β. ππάξρεη 2 1, 2 ηέηνην, ώζηε 2

2

2

( )( )

ff

,

γ. ππάξρεη 3 1, 2 ηέηνην, ώζηε 3 3 3( ) ( )f f .


:f γηα ηελ νπνία ηζρύεη (1) (0)f f e .

Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε ( ) 2 xf x x e έρεη

κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην 0 ,1 .


:f , ηεο νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε

ηέκλεη ηνλ θαηαθόξπθν άμνλα ζην 2 θαη ηνλ

νξηδόληην άμνλα ζην 4

. Να απνδείμεηε όηη ε

εμίζωζε 2 3( ) 2 1 0x f x x έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην δηάζηεκα 0 ,4

.


- 78 -


22 3 3 4 0 x x x x x έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην δηάζηεκα 0 , .

348) Αλ 1 , 2 είλαη ξίδεο ηεο εμίζωζεο xe x x κε 1 2 , λα δείμεηε όηη ε

εμίζωζε 1 xe x x x έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην 1 2, .

349) Να απνδείμεηε όηη κεηαμύ δπν ηπραίωλ

ξηδώλ ηεο εμίζωζεο 1xe x βξίζθεηαη κηα

ηνπιάρηζηνλ ξίδα ηεο εμίζωζεο 1 0 xe x .

350) Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε x x , έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην δηάζηεκα 1 , ( 1)v v ,

γηα θάζε *v .


ηέηνηα ώζηε λα ηζρύεη 2( 1) ( ) f a e f a γηα θάζε

a . Να δείμεηε όηη:

α. Δθαξκόδεηαη ην Θ. Rolle γηα ηελ ζπλάξηεζε

2

( )( )

x

f xg x

e ζην δηάζηεκα , 1a a .

β. Υπάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ , 1 a a ηέηνην ώζηε

( ) 2 ( ) f f .

352) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 0 ,1 ,

παξαγωγίζηκε ζην 0 ,1 θαη γηα θάζε 0 ,1x

ηζρύεη 3

0 ( ) 1 f x x . Να δείμεηε όηη:

α. Η ζπλάξηεζε

( ), 0 1

( ) 1

0 , 1

xf xx

g x x

x

ηθαλνπνηεί ηηο

ππνζέζεηο ηνπ Θ. Rolle ζην δηάζηεκα 0 ,1 .

β. Υπάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 0 ,1 ηέηνην ώζηε

( )( )

1

ff

.


:f κε 2(1)f e e θαη 2

(2)2

ef . Να

απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ

0 1, 2x ηέηνην, ώζηε 0 02

0 0 0( ) 0x x

x f x e x e .

354) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην ,a ,

παξαγωγίζηκε ζην ,a θαη ( ) ( ) 0 f a f .

Αλ ,c a θαη ( )

( )

f xg x

x c, λα απνδεηρζεί όηη

ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ , a ηέηνην ώζηε

( ) ( )g f .

355) Έζηω ε ζπλάξηεζε ( )( ) ( )( ) f xg x e x a x

κε , a . Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο

ζην ,a θαη παξαγωγίζηκε ζην ,a , λα


0 ,x a ηέηνην, ώζηε λα ηζρύεη

0

0 0

1 1( )

f x

a x x.


:f γηα ηελ νπνία ηζρύεη (0) 23

f f

.

Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ

0 ,3

ηέηνην, ώζηε

( ) ( ) 0f f .

357) Έζηω κηα ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην

δηάζηεκα ,a θαη παξαγωγίζηκε ζην

δηάζηεκα ,a κε 3 3( ) ( ) f a f a . Να

απνδείμεηε όηη ππάξρεη , a ηέηνην ώζηε

2( ) 3 f .

358) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 0 , a

θαη παξαγωγίζηκε ζην 0 , a . Να απνδείμεηε όηη

ππάξρεη 0 , a ηέηνην ώζηε ( ) ( ) f f a .

359) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 0 , a

θαη παξαγωγίζηκε ζην 0 , a κε (0) ( )f f a .

Να δείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ

0 , a ηέηνην ώζηε ( ) ( ) f a f .


παξαγωγίζηκε ζην 1, 2 θαη (2) 2 (1)f f . Να

δείμεηε όηη ππάξρεη 1, 2 ηέηνην ώζηε

( )( )

ff

.


- 79 -


παξαγωγίζηκε ζην 0 ,1 . Να δείμεηε όηη ππάξρεη

0 ,1 ηέηνην ώζηε ( )

(1) (0)2

ff f

.


,a a , 0a θαη πεξηηηή. Να δείμεηε όηη ε

εμίζωζε ( ) ( ) af x f a έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα

ζην ,a a .


θαη ηζρύεη 3(0) (1)f e f . Να δείμεηε όηη ππάξρεη

0 ,1 ηέηνην ώζηε ( ) 3 ( ) 0 f f .


:f κε (2) 0f . Να απνδείμεηε όηη ε

εμίζωζε ( ) ( ) 0f x xf x έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ

ιύζε ζην δηάζηεκα 0 , 2 .


:f γηα ηελ νπνία ηζρύεη (2)

(1)

fe

f . Να


1, 2 ηέηνην, ώζηε 2 ( ) ( )f f .


1, e θαη ( ) (1) 1 f e f . Να δείμεηε όηη ππάξρεη

1, e ηέηνην ώζηε 1

( ) f

.


,a , παξαγωγίζηκεο ζην ,a κε

( ) ( ) 0 f x g x , γηα θάζε ,x a . Αλ

( ) ( )

( ) ( )

f a g

f g a

, λα δείμεηε όηη ππάξρεη , a

ηέηνην ώζηε ( ) ( )

0( ) ( )

f g

f g

.

368) Έζηω *: f παξαγωγίζηκε

ζπλάξηεζε. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη

ηέηνην ώζηε 2

2 ( )( )

1

ff

.

369) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f είλαη παξαγωγίζηκε

ζην δηάζηεκα 0 ,1 , (0) 0f θαη ( ) 0f x , γηα

θάζε 0x , λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη 0 ,1

ηέηνην ώζηε 2 ( ) (1 )

( ) (1 )

f f

f f

.


παξαγωγίζηκε ζην 0 ,1 θαη (0) (1) 0 f f . Να

δείμεηε όηη ε εμίζωζε ( ) ( )

0

f x f x

x x έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην 0 ,1 .


παξαγωγίζηκε θαη ε επζεία : 3 y x ηέκλεη

ηελ fC ζε ηξία δηαθνξεηηθά ζεκεία. Να δείμεηε

όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 0 x ηέηνην ώζηε

0( ) 0 f x .


παξαγωγίζηκε ζην ,a θαη ηζρύνπλ

2( ) 3f a a , 2( ) 3f , 2( ) 3f κε

, a . Να δείμεηε όηη ππάξρεη έλα

ηνπιάρηζηνλ 0 ,x a ηέηνην ώζηε 0( ) 6 f x .

373) Η ζπλάξηεζε f είλαη ηξεηο θνξέο

παξαγωγίζηκε ζην ,a θαη ηζρύνπλ

( ) ( )f a f , ( ) ( ) 0 f a f . Να δείμεηε όηη

ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ , a ηέηνην ώζηε

( ) 0 f .

374) Η f είλαη δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην

0 , a θαη 1

( ) f a

, 1

( ) fa

, 1

( ) fa

,

όπνπ , a . Να απνδεηρζεί όηη:

α. Υπάξρνπλ , a θαη , ηέηνηα ώζηε

( )( )

ff

θαη

( )( )

ff

.

β. Αλ ε επζεία πνπ νξίδεηαη από ηα ζεκεία , ( ) f

θαη , ( ) f δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ

ηόηε ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ , ηέηνην ώζηε

( ) 0 f .


- 80 -


παξαγωγίζηκε ζην ,a θαη ηζρύνπλ ( ) 0f a ,

( ) 0 f θαη ( ) 0f x , γηα θάζε ,x a . Να

δείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 0 ,x a

ηέηνην ώζηε

2

0

0

0

( )( )

( )

f xf x

f x.

376) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 3ln 2 xf x e x .

Να δείμεηε όηη ε fC έρεη κηα κόλν εθαπηνκέλε


377) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 2 2 xf x e x x .

Να δείμεηε όηη ππάξρεη 0 , 2 ηέηνην ώζηε ε

εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν , ( )f λα

είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα x x . Καηόπηλ λα

απνδείμεηε όηη 2( ) 4 f .

378) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 3ln 7 xf x e x .

Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f έρεη κηα κόλν εθαπηνκέλε


379) Αλ 4 3 2( ) 2 3 6 f x x x x , λα απνδείμεηε

όηη δελ ππάξρνπλ εθαπηόκελεο ηεο fC πνπ λα

είλαη κεηαμύ ηνπο παξάιιειεο.


κε (2) 0f . Να δείμεηε όηη ππάξρεη

ηέηνην ώζηε ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν

, ( ) f λα ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζην ζεκείν

2 , 0 .

381) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 4( ) f x x . Να δείμεηε

όηη νπνηαδήπνηε εθαπηνκέλε ηεο fC έρεη κε

απηή έλα κόλν θνηλό ζεκείν.


3

2( )3 2

axf x x x

, όπνπ

, , , a κε 03 2

a . Να δείμεηε όηη

ππάξρεη 0 ,1 ηέηνην ώζηε ε εθαπηνκέλε

ηεο fC ζην ζεκείν , ( ) f λα είλαη



θαη ε ζπλάξηεζε f είλαη 1 – 1. Να δείμεηε όηη

θάζε εθαπηόκελε ηεο fC δελ έρεη κε απηή άιιν

θνηλό ζεκείν εθηόο από ην ζεκείν επαθήο.

384) Γίλεηαη κε κεδεληθή ζπλάξηεζε f ε νπνία

είλαη ζπλερήο ζην ,a κε 0a ,

παξαγωγίζηκε ζην ,a , γηα ηελ νπνία ηζρύεη

( ) ( )

f a f

a

. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη

, a ηέηνην ώζηε ην ζεκείν , ( ) f

λα είλαη κέζν ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο πνπ νξίδεη ε εθαπηνκέλε ( ) ηεο fC ζην ζεκείν Μ

κε ηνπο άμνλεο.

385) Έζηω : , f a ζπλάξηεζε κε

( ) 0f x γηα θάζε ,x a θαη ε ζπλάξηεζε

( ) ( ) xg x e f x . Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο

ζην ,a , παξαγωγίζηκε ζην ,a θαη

ln ( ) ln ( ) a f f a , λα απνδείμεηε όηη:

α. Υπάξρεη , a ηέηνην ώζηε ( ) 0 g .

β. Η εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν , ( ) f

δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, ( ) f .

γ. Αλ ε f είλαη δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην ,a

θαη ( ) 0 g , ηόηε ( ) ( ) f f .


παξαγωγίζηκε ζην ,a κε ( ) 5f a θαη

( ) 5f a . Να δείμεηε όηη ππάξρεη ζεκείν

, ( ) f ηεο fC ζην νπνίν ε εθαπηνκέλε

είλαη θάζεηε ζηελ επζεία : 5 10 0 x y .


: 1, 2f κε 1 ( ) 2f x γηα θάζε 1, 2x

θαη ( ) 1f x γηα θάζε 1, 2x . Να απνδείμεηε

όηη:

α. ππάξρεη κνλαδηθό 0 1, 2x ηέηνην, ώζηε 0 0( )f x x

β. ε εμίζωζε ( ) ( ) ( ) 2 1xf x f x f x x έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην δηάζηεκα 1, 2 .


- 81 -

§7. θεώρημα μέσης τιμής

Θ.Μ.Τ.

388) Να δείμεηε όηη νη παξαθάηω ζπλαξηήζεηο ηθαλνπνηνύλ ηηο ππνζέζεηο ηνπ ζεωξήκαηνο

Μέζεο Τηκήο ζην δηάζηεκα πνπ δίλεηαη θαη λα

βξείηε ηελ ηηκή ηνπ γηα ηελ νπνία ηζρύεη ην

ζπκπέξαζκα.

α. ( ) lnf x x x , 1, e

β.2

3

2 , 0( )

, 0

x x xf x

x x x, 1,1

γ. 2

2

2 3 4 , 1( )

3 5 5 , 1

x x xf x

x x x, 1,1


( )| |

f xx

,

1, 0 x a , 1a . Να απνδείμεηε όηη ε f

δελ ηθαλνπνηεί ηηο ππνζέζεηο ηνπ ζεωξήκαηνο Μέζεο Τηκήο.


2

5 , 1( )

5 6 , 1

x ax xf x

x x x. Να βξείηε ηνπο

, a ώζηε ε f λα ηθαλνπνηεί ζην 0 , 3 ηηο

ππνζέζεηο ηνπ Θ.Μ.Τ. θαη λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ

γηα ηελ νπνία ηζρύεη ην ζπκπέξαζκα.


2

2 , 1

( ) 2 1, 1

1

x x

f x x axx

x

. Να βξεζεί ν a

ώζηε ε f λα ηθαλνπνηεί ζην 0 , 2 ηηο ππνζέζεηο

ηνπ Θ.Μ.Τ. θαη λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ 0 , 2

ώζηε λα ηζρύεη (2) (0) 2 ( ) f f f .


2

3 , 1( )

1 , 1

x x a xf x

x x x. Να βξείηε ηνπο

, a ώζηε ε f λα ηθαλνπνηεί ζην 1, 2

ηηο ππνζέζεηο ηνπ Θ.Μ.Τ. θαη λα βξείηε ηελ ηηκή

ηνπ γηα ηελ νπνία ηζρύεη ην ζπκπέξαζκα.

393) Έζηω ζπλάξηεζε f κε

1 , 0( )

2 , 0

a x x xf x

ax x , , a . Να

βξεζνύλ: α. νη ηηκέο ηωλ κεηαβιεηώλ a , ώζηε λα

εθαξκόδεηαη ην Θ. Μ. Τ. ζην δηάζηεκα 3 , 3 .

β. 3 , 3 ώζηε (3) ( 3)

( )6

f ff .

394) Η ζπλάξηεζε : f είλαη

παξαγωγίζηκε. Αλ 3 (5) (1) 0 f f , λα δείμεηε όηη

ππάξρεη 1, 5 ηέηνην ώζηε ( ) (5) f f .

395) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην

δηάζηεκα ,a , παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα

,a θαη επηπιένλ ηζρύεη όηη ( ) f a ,

( ) f a , λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη , a

ηέηνην ώζηε ( ) 1 f .

396) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην ,a

θαη παξαγωγίζηκε ζην ,a . Αλ

( ) ( ) f a a a θαη ( ) ( ) f a , λα

απνδεηρζεί όηη ππάξρεη , a ώζηε ε

εθαπηνκέλε ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ζην

ζεκείν , ( ) f , λα είλαη παξάιιειε ζηελ

επζεία : ( ) 0 a x y a .

397) Γίλεηαη ζπλάξηεζε f κε 2( ) ( 1)( ) f x x ax , 0a , . Αλ ηζρύεη

2 2 1 a a a

a

, λα απνδείμεηε όηη

ππάξρεη , a ώζηε ε εθαπηνκέλε ηεο

γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f λα είλαη θάζεηε

ζηελ επζεία y x .


- 82 -

398) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 2 , 3 ,

παξαγωγίζηκε ζην 2 , 3 θαη (3) (2) 5 f f . Να

δείμεηε όηη ππάξρεη 2 , 3 ηέηνην ώζηε

( ) 2 f .


παξαγωγίζηκε ζην ,a κε ( ) 0f x γηα θάζε

,x a . Να δείμεηε όηη ππάξρεη , a

ηέηνην ώζηε

( )( )

( )( )

( )

fa

ff ae

f

.


,a , 0a θαη ( ) 0f x γηα θάζε ,x a .

Η επζεία πνπ νξίδεηαη από ηα ζεκεία , ( ) a f a

θαη , ( ) f δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ

αμόλωλ. Να δείμεηε όηη ππάξρεη , a ηέηνην

ώζηε ( ) 1

( )

f

f

.


παξαγωγίζηκε ζην ,a κε ( ) 0 f x γηα θάζε

,x a . Να δείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1 ζην

,a .

402) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην ,

λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλαο αξηζκόο

0 ,1 ηέηνηνο ώζηε γηα 0h λα ηζρύεη

( ) ( )

f x h f x

f x hh

, γηα θάζε x .


παξαγωγίζηκε ζην 1, 5 θαη (5) (1) 14 f f . Να

δείμεηε όηη ππάξρνπλ 1 2, 1, 5 κε 1 2

ηέηνηα ώζηε 1 2( ) ( ) 7 f f .


παξαγωγίζηκε ζην 1, 6 κε (1) 5 f θαη

(6) 7f . Να απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ

1 2, 1, 6 , ηέηνηα ώζηε 1 23 ( ) 2 ( ) 12 f f

405) Έζηω ε ζπλάξηεζε f κε 3( ) 2 f x ax ax x , , , a θαη 0a . Να

απνδεηρηεί όηη ππάξρνπλ εθαπηνκέλεο ηεο γξαθηθήο

παξάζηαζεο ηεο f ζην δηάζηεκα 1,1 νη νπνίεο

ζρεκαηίδνπλ κε ηνλ θαηαθόξπθν άμνλα ίζεο γωλίεο, αλεμάξηεηα από ηηο ηηκέο ηωλ a , , .


θαη παξαγωγίζηκε ζην ,a . Να δείμεηε όηη

ππάξρνπλ 1 2, , , a κε 1 2 ηέηνηα

ώζηε 1 22 ( ) ( ) ( ) f f f .

407) Γίλεηαη ε παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε

: f γηα ηελ νπνία ηζρύεη (4 ) 4 ( )f x f x ,

251

100

f . Να δεηρζεί όηη ππάξρνπλ

πξαγκαηηθνί αξηζκνί 1 2 3, , 1, 4x x x ηέηνηνη ,

ώζηε 1 2 3( ) ( ) ( ) 12 f x f x f x .


θαη παξαγωγίζηκε ζην ,a . Αλ ε επζεία

: 2 5 0 x y δηέξρεηαη από ηα ζεκεία

, ( ) a f a θαη , ( ) f , λα δείμεηε όηη

ππάξρνπλ 1 2 3, , , a ηέηνηα ώζηε

1 2 3( ) ( ) ( ) 6 f f f .


παξαγωγίζηκε ζην 0 ,1 θαη (0) 0f , (1) 1f .

Να δείμεηε όηη ππάξρνπλ 1 2, ,..., 0 ,1v

ηέηνηνη ώζηε 1 2( ) ( ) ... ( ) vf f f v .

410) Γίλεηαη ζπλάξηεζε f παξαγωγίζηκε ζην

δηάζηεκα 1, 1 , θαη ηζρύεη

(1) ( 1) f f . Να απνδεηρζεί όηη ππάξρνπλ

πξαγκαηηθνί αξηζκνί 1 2, ,..., 1, 1 x x x

ηέηνηνη ώζηε 1 2( ) ( ) ... ( ) 0 f x f x f x .


,a κε ( ) ( )f a f , ηόηε λα δείμεηε όηη

ππάξρνπλ 1 2, , a ηέηνηα ώζηε

1 23 ( ) 2 ( ) 0 f f .


- 83 -

412) Δίλεηαη παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε

:f γηα ηελ νπνία ηζρύεη (10) 9 (1)f f . Να


α. ππάξρνπλ 1 2, 1,10 κε 1 2 , ώζηε

1 2( ) 2 ( ) 3f f ,

β. ππάξρνπλ 1 2, 1,10x x κε 1 2x x , ώζηε

1 24 ( ) 5 ( ) 9f x f x .


: ,f a γηα ηελ νπνία ηζρύεη

( ) 2f a a θαη ( ) 3 4f a . Να

απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ 1 2, ,a κε

1 2 , ώζηε 1 22 ( ) 3 ( ) 10f f .

414) Αλ ε ζπλάξηεζε f ηθαλνπνηεί ηηο ππνζέζεηο

ηνπ ζεωξήκαηνο ηνπ Rolle ζην δηάζηεκα ,a ,

λα απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ , , a

ηέηνηα, ώζηε λα ηζρύεη ( ) ( ) 0 f f .

415) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην ,a a ,

παξαγωγίζηκε ζην ,a a θαη ( ) f a a ,

( ) f a a . Αλ ( ) 1 f x γηα θάζε , x a a

λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ (0)f .


0 ,1 κε (0) 0f θαη (1) 1f . Να δείμεηε όηη

ππάξρνπλ 1 2, 0 ,1x x ηέηνηα ώζηε

1 2

1 12

( ) ( )

f x f x.


κε (10) 10 f θαη (11) 10f . Να δείμεηε όηη

ππάξρνπλ 1 2, 10 ,11x x ηέηνηα ώζηε

1 2

1 1 1

( ) ( ) 10

f x f x.

418) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 1 , a ,

παξαγωγίζηκε ζην 1, a κε (1) 1f θαη

( ) f a a . Να δείμεηε όηη:

α. Υπάξρεη 1, a ηέηνην ώζηε ( ) 1 f a .

β. Υπάξρνπλ 1 2, 1, a ηέηνηα ώζηε

1 2( ) ( ) 1 f f .


παξαγωγίζηκε ζην 0 ,1 κε (0) 1f θαη

(1) 0f . Να δείμεηε όηη:

α. Υπάξρεη 0 0 ,1x ηέηνην ώζηε 0 0( ) f x x .

β. Υπάξρνπλ 1 2, 0 ,1x x ηέηνηα ώζηε

1 2( ) ( ) 1 f x f x .


παξαγωγίζηκε ζην 0 ,1 κε (0) 0f θαη

(1) 1f . Να δείμεηε όηη:

α. Υπάξρεη 0 ,1c ηέηνην ώζηε ( ) 1 f c c .

β. Υπάξρνπλ , 0 ,1 ηέηνηα ώζηε ( ) ( ) 1 f f .


παξαγωγίζηκε ζην ,a κε ( ) f a θαη

( ) f a . Να δείμεηε όηη:

α. Υπάξρεη , a ηέηνην ώζηε ( ) f .

β. Υπάξρνπλ 1 2, , a ηέηνηα ώζηε

1 2( ) ( ) 1 f f .

422) Δίλεηαη ζπλάξηεζε :f δπν θνξέο

παξαγωγίζηκε, ηεο νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε

δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1, 5 , 2 , 4 θαη

3 , 2 . Να απνδείμεηε όηη:

α. ππάξρνπλ 1 2, 1 , 3x x κε 1 2x x , ώζηε

1 2( ) ( ) 0f x f x ,

β. ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 1, 3 ώζηε ( ) 0f .


: ,f a κε ( ) ( )f a f .

α. ππάξρεη 0 ,x a ώζηε 05 ( ) 2 ( ) 3 ( )f x f a f ,

β. ππάξρνπλ 1 2, , ,a κε 1 2 ώζηε

1 2

3 2 5

( ) ( ) ( )f f f

.


,a θαη ηζρύεη

2 23 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 10 10 f f a f f a a . Να

απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ 1 2, ,x x a ηέηνηα

ώζηε 1 2( ) ( ) 2 f x f x .


- 84 -


θαη ε f είλαη 1 – 1. Να δείμεηε όηη ε

εθαπηνκέλε ζε θάζε ζεκείν ηεο fC δελ έρεη κε

ηελ fC άιιν θνηλό ζεκείν εθηόο από ην ζεκείν

επαθήο.


,a θαη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα. Αλ

( ) 0 ( ) f a f , λα δείμεηε όηη:

α. Υπάξρεη , a ηέηνην ώζηε ( ) 0f .

β. Ιζρύεη ( ) ( )

0

f a f

a

.


έρεη ζπλερή παξάγωγν ζην ,a θαη ππάξρεη

0 ,x a ηέηνην ώζηε 0

0

( ) ( )0

( ) ( )

f f x

f a f x

. Να

απνδείμεηε όηη ππάξρεη , a ώζηε

( ) 0 f .

428) Υπνζέηνπκε όηη γηα ηελ ζπλάξηεζε f

ππάξρεη ε f ζην δηάζηεκα ,a θαη όηη

( ) 0f a , ( ) ( ) 0 f f . Να απνδείμεηε όηη

( ) 0 f γηα έλα ηνπιάρηζηνλ , a .


θαη δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην ,a . Αλ

ππάξρεη , a ηέηνην ώζηε 2 a θαη

2 ( ) ( ) ( ) f f a f , λα δείμεηε όηη ππάξρεη

, a ώζηε ( ) 0 f .


παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα ,a θαη ηζρύεη

( ) ( )

2 2

a f a ff


ππάξρεη , a ηέηνην, ώζηε ( ) 0 f .


δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην ,a θαη ηζρύεη

( ) ( ) ( ) ( )

f f a f f

a

γηα θάπνην , a .

Να δείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ

, a ώζηε ( ) 0 f .

432) Έζηω ζπλάξηεζε f νξηζκέλε θαη ζπλερήο

ζην ,a θαη δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην

,a . Αλ , a ηέηνηνο, ώζηε ηα a , ,

θαη ηα ( )f a , ( )f , ( )f λα είλαη δηαδνρηθνί

όξνη αξηζκεηηθήο πξνόδνπ, λα απνδείμεηε όηη

ππάξρεη , a ηέηνηνο ώζηε ( ) 0 f .


δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην ,a κε

( ) ( ) 0 f a f . Να δείμεηε όηη:

α. Αλ ππάξρεη , a κε ( ) 0f , ηόηε ππάξρεη

, a ηέηνην ώζηε ( ) 0 f .

β. Αλ ππάξρεη , a κε ( ) 0f , ηόηε ππάξρεη

, a ηέηνην ώζηε ( ) 0 f .

434) Έζηω ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην ,a ε

νπνία έρεη ζπλερή δεύηεξε παξάγωγν ζην

,a . Αλ ηζρύεη ( ) ( ) 0 f a f θαη ππάξρνπλ

αξηζκνί , , a κε ( ) ( ) 0f f , λα


α. Υπάξρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ηεο εμίζωζεο ( ) 0f x

ζην δηάζηεκα ,a .

β. Υπάξρνπλ 1 2, , a ηέηνηα ώζηε

1 2( ) ( ) 0 f f .


παξαγωγίζηκε θαη , a κε a .

α. Αλ ( ) ( )

( )2

f a ff x

, γηα θάζε x , λα

απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ , a ,

ηέηνην ώζηε ( ) 0 f .

β. Αλ ( ) ( )

2 2

a f a ff


ππάξρεη , a ηέηνην ώζηε ( ) 0 f .


παξαγωγίζηκε θαη ( ) 0 f x , γηα θάζε x . Να

απνδεηρζεί όηη δελ ππάξρνπλ ζηελ fC ηξία

ζπλεπζεηαθά ζεκεία.

437) Η ζπλάξηεζε : f είλαη

παξαγωγίζηκε. Αλ ππάξρεη a ηέηνην ώζηε

( ) ( ) f x f a γηα θάζε x , λα δείμεηε όηη

( 1) 2 ( ) f a f a .


- 85 -


κε (0) 0f θαη 1 ( ) 2 f x γηα θάζε x . Να

δείμεηε όηη 2 ( ) x f x x γηα θάζε , 0 x

θαη ( ) 2 x f x x γηα θάζε 0 , x .

439) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 2 ,

, παξαγωγίζηκε ζην 2 , κε (2) 0f θαη

0 ( ) 1 f x γηα θάζε 2 , x . Να δείμεηε

όηη 0 ( ) 2 f x x , γηα θάζε 2 , x .


1, 5 θαη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην 1, 5

Να δείμεηε όηη (1) (5) (2) (4) f f f f .

441) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην θαη ε

f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα. Να δείμεηε όηη:

α. 3 (2) (4) 2 (1) f f f

β. (7) (6) (6) (6) (5) f f f f f

γ. (0) (6) (2) (4) f f f f

δ. (4) (4) (3) (3) f f f f


0 , 2 θαη ηζρύνπλ (0) 3f , ( ) 2 f x γηα θάζε

0 , 2x . Να δείμεηε όηη γηα θάζε 0 , 2x

ηζρύεη 1 ( ) 7 f x .


θαη γηα θάζε 1, 3x ηζρύεη 1 ( ) 3 f x . Να

δείμεηε όηη 2 (1) (3) 6 (1) f f f .


0 ,1 , παξαγωγίζηκεο ζην 0 ,1 θαη ηζρύεη

(0) 3f , (1) 1g

5 ( ) 8 f x θαη 2 ( ) 4 g x , γηα θάζε

0 ,1x .

Να δείμεηε όηη 9 (1) (0) 14 f g .

445) Να απνδεηρζνύλ νη παξαθάηω αληζώζεηο:

α. ln

a a

a a

, 0 a

β.

a

a a

a e e a

e e e

, a

γ. 2

21

2

aae

a ae , 0 ,1a

446) Θεωξνύκε ζπλάξηεζε g ε νπνία είλαη

παξαγωγίζηκε ζην θαη γηα ηελ νπνία ηζρύεη

1 ( )ln ( ) 2 ( )ln x g x x g x x g x x , γηα θάζε

0 , x . Αθνύ δείμεηε όηη, ε ( ) ( ) lnf x g x x

ηθαλνπνηεί ην Θ.Μ.Τ. ζην 1, 2 , ζηελ ζπλέρεηα

λα δείμεηε όηη 1 2

(2)ln 2 ln 2

g .

447) Να απνδεηρζνύλ νη παξαθάηω αληζώζεηο :

α. ( ) a h a h a ,

02

a a h

β.

1 1 1ln

1

x

x x x,

0x

γ. 1 1

v vv va

va va

,

a , v άξηηνο

δ.

1

a

aae e

a

,

0 a

ε. 1 1

ln 11 1

x x, 0x

ζη. a ae e e ae ,

0 a

δ. 1

ln 0

xe x

, 0x ε. 1 1 x xx e xe ,x

448) Να δείμεηε όηη 2

2 ln 22

e

e θαη

5 1 3

18 2 36

.

449) α. Να απνδείμεηε όηη 1 1 x xx e xe , γηα

θάζε x .

β. Να βξεζεί ην όξην 0

1lim

x

x

e

x.

450) Να απνδείμεηε όηη:

α. 1

ln 1

x

x xx

, γηα θάζε 0x .

β. 1

ln1

1lim

x

x

x θαη

3

ln 10lim

x

x

x.

451) α. Η ζπλάξηεζε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην

θαη ηζρύεη ( ) f x , γηα θάζε x .

Να δείμεηε όηη γηα θάζε 1 2, x x ηζρύεη

1 2 1 2( ) ( ) f x f x x x .

β. Να δείμεηε όηη 3

ln3

aea

e .


α. 5 7 8 4 x x x x β. 3 7 4 6 x x x x


- 86 -

453) Η ζπλάξηεζε : f είλαη ηξεηο θνξέο

παξαγωγίζηκε θαη ηζρύεη ( ) ( ) f f a a κε

a .

α. Να δείμεηε όηη ππάξρεη 0 ,x a ηέηνην ώζηε

0( ) 1 f x .

β. Αλ ππάξρνπλ ζεκεία 1 1, ( ) x f x θαη 2 2, ( ) x f x

ηεο fC κε 1 2 0 1 x x x x ηέηνηα ώζηε νη εθαπηόκελεο

ζε απηά ηεο fC λα είλαη παξάιιειεο ζηελ επζεία

y x , λα δείμεηε όηη ε εμίζωζε ( ) 0 f x έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ξίδα.


θαη ηζρύεη ( ) 2010 f x , γηα θάζε x . Να

δείμεηε όηη:

α. ( ) (0)

2010

f x f

x, γηα θάζε *x .

β. ( )lim

x

f x θαη ( )lim

x

f x .

γ. Η εμίζωζε ( ) 0f x έρεη αθξηβώο κηα πξαγκαηηθή

ξίδα.


,a θαη ηζρύεη ( )lim

x a

f x , ( )lim

x

f x a

.

Να δείμεηε όηη ππάξρεη εθαπηνκέλε ηεο fC πνπ

είλαη θάζεηε ζηελ επζεία : 1 0 x y .

§8. σταθερή συνάρτηση

456) Έζηω ζπλάξηεζε : f . Αλ ε f έρεη

παξαγώγνπο κέρξη 3εο ηάμεο θαη ηθαλνπνηεί ηελ

ζρέζε 2 ( ) 1 ( ) f x x f x , γηα θάζε *x λα

απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη ζηαζεξή.

457) Δίλεηαη ζπλάξηεζε f γηα ηελ νπνία ηζρύεη 2

2

( ) 1

( ) 1

x

x

f x e

f x e, γηα θάζε x . Να απνδείμεηε

όηη νη ζπλαξηήζεηο ( ) ( ) xg x f x e θαη

( ) ( ) xh x f x e δηαθέξνπλ θαηά κηα ζηαζεξά c .


παξαγωγίζηκε θαη γηα θάζε 0 ,x ηζρύεη

( ) ( ) f x x f x .

α. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε ( )

( ) f x

g xx

, 0 ,x

είλαη ζηαζεξή.

β. Αλ 5

46

f

, λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .


παξαγωγίζηκε θαη ηζρύεη 2( ) ( )f x x f x , γηα θάζε

0 , x . Αλ 1

( ) ( ) xg x e f x , λα δείμεηε όηη ε

ζπλάξηεζε g είλαη ζηαζεξή θαη λα βξείηε ηελ

f όηαλ (1) f e .


θαη γηα θάζε x ηζρύεη ( ) 2 ( ) f x xf x .

α. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε 2

( ) ( ) xg x f x e είλαη

ζηαζεξή.

β. Αλ ( 2) 3 f , λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .


κε (0) 8f θαη 2( ) ( ) ln 2 xf x f x , γηα θάζε

x . Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε 2

( ) 2 ( ) xg x f x είλαη ζηαζεξή θαη λα βξείηε ηνλ

ηύπν ηεο f .


κε ( ) 2 f θαη ηζρύεη, γηα θάζε x ηζρύεη

2 2 ( ) 2 ( ) 3 ( ) x f x x f x f x .

α. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε

( ) 2 3 ( )g x x f x , x είλαη ζηαζεξή.

β. Να βξεζεί ε ζπλάξηεζε f .


- 87 -


παξαγωγίζηκε θαη γηα θάζε 0 , x ηζρύεη

22 ( ) ( )f x x f x . Αλ 1(2) 4f e , ηόηε λα δείμεηε

όηη 2

( ) 4

xf x e , 0x .


θαη γηα θάζε x ηζρύεη

21 ( ) ( ) 2x f x f x x x .

α. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε

2( ) 1 ( )g x x f x , x είλαη ζηαζεξή.

β. Αλ (0) 5f , λα βξεζεί ε ζπλάξηεζε f .


: *f γηα ηελ νπνία ηζρύεη όηη 3 2( ) 4 ( )f x x f x θαη (0) 1f .

α. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε :g κε

41( )

( )g x x

f x είλαη ζηαζεξή.


γ. Να βξείηε ην όξην 3 ( )limx

x f x x

.

466) Αλ ( ) 2 ( ) f x f x , γηα θάζε x θαη

(0) 3f , λα δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε

( ) ( ) ( ) g x f x f x , x είλαη ζηαζεξή θαη λα

βξείηε ηνλ ηύπν ηεο g .


: 0 , 0 ,f γηα ηελ νπνία ηζρύεη όηη

(1) 2f θαη 1 2

( )f x fx x

γηα θάζε 0x .

α. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε 1

( ) ( )g x f x fx

είλαη ζηαζεξή. β. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .

468) Η ζπλάξηεζε *: f είλαη

παξαγωγίζηκε θαη γηα θάζε x ηζρύεη

( ) 3 ( ) xf x f x .

α. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε 3

( )( )

f xg x

x είλαη

ζηαζεξή ζηα δηαζηήκαηα , 0 θαη 0 , .

β. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f όηαλ ( 1) 2 f θαη

(1) 5f .


κε (0) 8f θαη 2( ) ( ) ln 2 xf x f x , γηα θάζε

x . Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε 2

( ) 2 ( ) xg x f x είλαη ζηαζεξή θαη λα βξείηε ηνλ

ηύπν ηεο f .

470) Δίλεηαη παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε : *f γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ (2) 2f ,

( 1) 3f θαη 2 ( )

( )f x

f xx


α. Να απνδείμεηε όηη γηα ηελ ζπλάξηεζε 2( ) ( )g x x f x

ηζρύεη ( ) 0g x γηα θάζε *x .



: *f γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ (1) 5f θαη 3 2 3( ) ( ) 2 1x f x x f x x γηα θάζε 0x . Να

βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .

472) Να βξεζεί ε ζπλάξηεζε f , όηαλ:

α. 2( ) 12 4 5 f x x x , x θαη (0) 7f

β. 2

1 ln( )

xf x

x, 0x θαη (1) 2f

γ. 2

2( ) 3 2 1 1f x x x x , x θαη (0) 6f

δ. ( ) f x x x , x θαη ( ) 2f

ε. ( )

x

x xf x

e

, x θαη (0) 1f

ζη. 32 8( ) 3 xf x x e , x θαη ( 2) 12 f

473) Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε : f , όηαλ:

α. ( ) 2 f x , γηα θάζε x κε (0) 2f θαη (2) 12f

β. 2( ) 4 6 4 xf x e x , γηα θάζε x κε (0) 3 f ,

(0) 2 f .

γ. ( ) 0 f x , γηα θάζε x ε fC δηέξρεηαη από ηελ

αξρή ηωλ αμόλωλ θαη ε εθαπηνκέλε ηεο ζην ζεκείν

1, 2 ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα x x γωλία 450.


( ) 2 2 f x x θαη (0) 0f , λα βξεζεί ν ηύπνο

ηεο f .


παξαγωγίζηκε ζην θαη ηζρύεη ( ) 0 f x , γηα

θάζε x . Αλ (0) 1 f θαη (1) 0f , λα βξεζεί

ν ηύπνο ηεο f .


- 88 -

476) Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε : 0 , f

αλ γλωξίδεηαη όηη 2( ) ( )f x x x f x x ,

γηα θάζε 0 ,x θαη ε εθαπηνκέλε ηεο fC

ζην ζεκείν ,2 2

f

δηέξρεηαη από ην

ζεκείν 1, 2 .


: 0 ,f γηα ηελ νπνία ηζρύεη όηη

( ) 0f θαη ( ) ( )xf x f x x γηα θάζε

0x . Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .



(1) 0f θαη ( ) ( )xf x f x x γηα θάζε 0x . Να


479) Να βξεζεί ε παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε

: 0 , f όηαλ 2

1( ) 6 f x x

x, γηα θάζε

0 , x θαη ε fC δηέξρεηαη από ηα ζεκεία

1, 3 θαη 3, 3 e e .

480) Έζηω : , 0 f ζπλάξηεζε ηέηνηα

ώζηε 3

4( ) f x

x, γηα θάζε , 0 x . Να

βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f αλ είλαη γλωζηό όηη

( )2lim

x

f x

x θαη ( ) 2 3lim

x

f x x .

481) Να βξεζεί ε ζπλερήο ζπλάξηεζε

: 0 , f όηαλ γηα θάζε 0 , x

ηζρύεη 2 1

( ) ( )

x

f x f xx

θαη 3(1) 5f e .


ζπλερήο, παξαγωγίζηκε ζην 0 ,1 1, θαη

γηα θάζε 0 ,1 1, x ηζρύεη

( ) ln ( ) xf x x f x . Αλ 1

2

fe

θαη ( ) 5f e , λα

δείμεηε όηη

5ln , 1 ,( )

2ln , 0 ,1

x xf x

x x.

483) Δίλεηαη παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε *: f γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ (2) 2f ,

( 1) 3 f θαη 2 ( )

( ) f x

f xx

, γηα θάζε 0x .

α. Να απνδείμεηε όηη γηα ηελ ζπλάξηεζε 2( ) ( )g x x f x

ηζρύεη ( ) 0 g x , γηα θάζε 0x .


484) Δίλεηαη παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε *: f γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ ( 1) 4 f ,

(1) 3f θαη 2

2

3 2( )

x xf x

x, γηα θάζε 0x .

Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .


: f γηα ηελ νπνία ηζρύεη (2) 11f θαη

21 ( ) 2 3 5 x f x x x , γηα θάζε x . Να


486) Δίλεηαη δπν θόξεο παξαγωγίζηκε

ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία ηζρύεη

(0) 2011f θαη ( ) ( ) 0 f x xf x , γηα θάζε

x . Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .


α. 2

2, 1

( )

3 2 2 , 1

xf x x

x x x

, x , (1) 3f

β. 3 2

2

2 5 , 1

( ) 2 3, 1

xe x x

f x x xx

x

, x , (1) 3f


κε (0) ln 2 f θαη ( ) 1 ( ) f xe f x , γηα θάζε

x .

α. Αλ ( )( ) 1 f xh x e , ηόηε λα δείμεηε όηη ( ) ( ) h x h x ,

γηα θάζε x θαη λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο h .



παξαγωγίζηκε ζην Δ θαη ηζρύεη ( ) ( ) f x f x ,

x . Αλ ππάξρεη 0 x ηέηνην ώζηε

0 0( ) ( ) f x f x , λα δείμεηε όηη 2 2( ) ( ) f x f x ,

γηα θάζε x .


- 89 -


κε (0) 2012f θαη ηζρύεη ( ) 2 ( ) f x f x , γηα

θάζε x , λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .


: f γηα ηελ νπνία ηζρύεη (1) 3f θαη

( ) ( ) xf x f x , γηα θάζε x . Να βξείηε:


β. ην όξην 1

( )lim

x

f xx

.



(0) 4f θαη 3 2( ) 6 ( )xf x e x f x γηα θάζε

x . Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .


:f γηα ηελ νπνία ηζρύεη (0) 0f θαη 3 ( )( ) 4 0f xf x x e γηα θάζε x . Να βξείηε:


β. ην όξην ( ) 5lnlimx

f x x

.


:f γηα ηελ νπνία ηζρύεη

( ) ( ) 0f x xf x γηα θάζε x θαη

(0) 2016f . Να απνδείμεηε όηη ( ) 2016f x γηα

θάζε x .

495) Δίλεηαη παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε : *f γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ (1) 5f θαη

3 2 3( ) ( ) 2 1x f x x f x x γηα θάζε 0x . Να


496) Δίλεηαη παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε : *f γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ (1) 1f ,

( 1) 4f θαη 3 2( ) ( ) 1x f x x f x γηα θάζε

0x .


β. Να ππνινγίζεηε ηα όξηα:

i. 0

( )limx

f x

ii. ( )limx

xf x

iii.

1

( )limx

x

f x

497) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : 0 ,f δπν

θνξέο παξαγωγίζηκε γηα ηελ νπνία ηζρύεη

2

( ) ( ) ( )f x f x f x γηα θάζε x θαη ε

εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν ηεο 0 , (0)f

έρεη εμίζωζε 2 2y x . Να βξείηε:

α. ηηο ηηκέο (0)f θαη (0)f ,

β. ηνλ ηύπν ηεο f .


παξαγωγίζηκεο θαη γηα θάζε x ηζρύνπλ

( ) ( ) ( ) f x f x g x θαη ( ) ( ) ( ) g x g x f x . Αλ

(0) 1f θαη (0) 0g , λα απνδείμεηε όηη 2 2 2( ) ( ) xf x g x e , γηα θάζε x .

499) Δίλνληαη νη παξαγωγίζηκεο ζην ζπλαξηήζεηο f θαη g κε (0) 0f θαη (0) 1g .

Αλ ηζρύεη ( ) ( ) f x g x θαη ( ) ( ) 0 f x g x , γηα θάζε

x , λα απνδεηρζεί όηη:

α. ε ζπλάξηεζε 2 2( ) ( ) ( ) h x f x g x είλαη ζηαζεξή ζην

,

β. 2 2( ) ( ) 1 f x g x , γηα θάζε x ,

γ. αλ 1x θαη 2x είλαη δπν δηαθνξεηηθέο ξίδεο ηεο

εμίζωζεο ( ) 0f x θαη γηα θάζε 1 2,x x x ηζρύεη

( ) 0f x , ηόηε ε εμίζωζε ( ) 0g x έρεη κηα αθξηβώο

ξίδα ζην δηάζηεκα 1 2,x x ,

δ. ( ) f x x θαη ( ) g x x .


(0) (0)f g θαη ( ) ( ) f x g x , γηα θάζε x .

Να δεηρζεί όηη:

α. ππάξρεη ζηαζεξά c ηέηνηα, ώζηε ( ) ( )f x g x cx ,

γηα θάζε x ,

β. αλ 1 θαη 2 κε 1 20 είλαη ξίδεο ηεο εμίζωζεο

( ) 0g x , ηόηε ε εμίζωζε ( ) 0f x έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην δηάζηεκα 1 2, .

501) Δπν ζπλαξηήζεηο f , g είλαη 3 θνξέο

παξαγωγίζηκεο ζ’ έλα δηάζηεκα Δ πνπ πεξηέρεη

ην 0. Αλ ( ) ( ) f x g x , (0) (0) f g ,

(0) (0) f g θαη (0) (0)f g , λα απνδείμεηε όηη:

α. 2( ) ( ) f x g x ax , *a ,

β. νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ f θαη g έρνπλ έλα

κόλν θνηλό ζεκείν ζην νπνίν έρνπλ θνηλή εθαπηνκέλε.

502) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f όηαλ ηζρύεη

( ) ( ) 0 f x af x , γηα θάζε x θαη (0) 2f .


- 90 -


α. ( ) xf x e x x , x θαη ( ) 0f

β. xf e x x , x θαη (1) 0f

504) α. Αλ 2( ) 3 xf x e θαη ( ) ( ) f x g x , γηα

θάζε x , λα βξείηε ηελ ζπλάξηεζε g ,

όηαλ ( ) 2g .

β. Αλ 2

2( ) 2

3

xg x

x θαη ( ) ( ) f x g x , γηα

θάζε x , λα βξείηε ηελ ζπλάξηεζε f ,

όηαλ (0) 4f .


α. 2 2( ) ( ) f x f x x , x θαη (0) 0f

β. 2( ) ( ) 2 xf x f x e , x ( ) 0f x , (0) 1f

γ. ( )( ) f xf x xe , x θαη (0) 0f

δ. ( ) ( ) xf x f x e , x θαη (1) f e

ε. ( )

( )

x x

x x

f x e e

f x e e, x ( ) 0f x , (0) 2f

506) Αλ ( ) x xf x xe e , γηα θάζε x , λα

βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f αλ γλωξίδεηαη όηη ε fC

δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 0 .

507) Να βξεζεί ε παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε

: 1, f , αλ ( )

ln 0( )

f xx x

f x

, γηα θάζε

1, x θαη ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην

ζεκείν , ( ) e f e είλαη θάζεηε ζηελ επζεία

: 2007 x y .

508) Δίλεηαη παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε :f γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ (0) 3f θαη

3 2( ) ( ) 3f x x f x x γηα θάζε x . Να βξείηε

ηνλ ηύπν ηεο f .

509) Να βξείηε ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε : f κε (0) 6f , ε νπνία γηα θάζε x


3 3( ) ( ) 3 0x xf x e f x e .

510) Να βξείηε ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε

: 0 , f κε (1) 2f , ε νπνία γηα θάζε

0 , x ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε

( ) 5ln ( ) 5 0f x x xf x .


: 0 , 0 ,f γηα ηελ νπνία ηζρύεη όηη

5(2)f e θαη ( ) ( ) ln ( ) 2 ( )xf x f x f x xf x γηα

θάζε 0x . Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .


θαη ηζρύεη 2 2 xf x x e , γηα θάζε x . Αλ

(0) 3f , λα βξεζεί ε ηηκή (3)f .


, (0) 2 f θαη 5 6 f x x x , γηα θάζε

x , λα βξεζεί ε εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο

ηεο fC ζην ζεκείν 2 , (2) f .


θαη γηα θάζε 1, x ηζρύεη ln 2 f x x . Αλ

(0) f e , λα δείμεηε όηη ( ) f e e .


παξαγωγίζηκε θαη ηζρύεη ( ) 2 ( ) ( ) 0 f x f x f x

, γηα θάζε x . Αλ (0) 1f θαη (0) 5 f , λα

βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .

516) Να βξείηε ζπλάξηεζε

: 0 , 0 , f γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ

(1) (1) 1 f f θαη 3 ( ) ( ) 2 ( ) 0 x f x xf x f x ,

γηα θάζε 0 , x .

517) Να βξεζεί ζπλάξηεζε : f ε νπνία

είλαη δπν θνξέο παξαγωγίζηκε θαη ηζρύνπλ ( ) ( ) f x f x , γηα θάζε x θαη (0) 1f ,

(0) 1 f .


θαη ε θιίζε ηεο ζην ηπραίν ζεκείν , ( ) x f x

είλαη ίζε κε ην δηπιάζην ηεο ηηκήο ηεο f ζην x .

Αλ (0) 1f , ηόηε λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .


- 91 -

519) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο παξαγωγίζηκεο

ζπλάξηεζεο : f , όηαλ ε fC δηέξρεηαη

από ην ζεκείν 0 , 3 θαη ε εθαπηνκέλε ηεο

fC ζε θάζε ζεκείν 0 0, ( ) x f x έρεη θιίζε

0

2

0

8

4 1

x

x.


ζπλάξηεζεο : 0 , f , αλ είλαη γλωζηό

όηη ε θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC ζε θάζε

ζεκείν ηεο είλαη αλάινγε πξνο ην πειίθν

2 3

( )

x x

f x, ε fC δηέξρεηαη από ην ζεκείν

2 , 7 θαη ε εθαπηνκέλε ζην ζεκείν απηό έρεη

θιίζε 4.


ζπλάξηεζεο : 0 , 0 , f , αλ

γλωξίδεηαη όηη ε θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC

ζε θάζε ζεκείν ηεο είλαη αλάινγε πξνο ην

πειίθν ( )

x

f x, ε fC δηέξρεηαη από ην ζεκείν

1, 3 θαη ε εθαπηνκέλε ζην ζεκείν απηό έρεη

θιίζε 2.

522) Δίλεηαη ε παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε : f . Αλ ε εθαπηνκέλε ζε θάζε ζεκείν

0 0, ( ) x f x ηεο fC ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζην

ζεκείν 01 , 0 x θαη ε fC δηέξρεηαη από ην

ζεκείν 2

11 ,

e

, ηόηε λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο

f .

523) Δίλεηαη ε παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία ηζρύεη ( ) ( ) 1f x f x ,

γηα θάζε x . Αλ (0) 1f , λα απνδεηρζεί όηη:

α. ( ) ( ) 1f x f x , γηα θάζε x

β. ( ) ( ) 1f x f x , γηα θάζε x

γ. ( ) xf x e , γηα θάζε x

524) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f γηα ηελ

νπνία ηζρύεη ( ) ( ) v

f x f y x y , γηα θάζε

, x y ( 2v ). Να δείμεηε όηη ε f είλαη

ζηαζεξή.


νπνία ηζρύεη ( ) ( ) 2 2 1 f x f y x y , γηα

θάζε , x y . Να δείμεηε όηη ε f είλαη

ζηαζεξή.

526) Αλ ε ζπλάξηεζε : f είλαη

παξαγωγίζηκε θαη γηα θάζε , x y ηζρύεη

( ) ( ) f ax y af x f y κε 0a , λα

δείμεηε όηη ε f είλαη ζηαζεξή.

527) Έζηω ζπλάξηεζε *: f παξαγωγίζηκε

ζην ζεκείν 0 0x κε (0) (0) f f θαη

( ) ( ) ( )f x y f x f y , γηα θάζε , x y .

α. Να απνδείμεηε όηη ε f παξαγωγίδεηαη ζε όιν ην .


528) Αλ ε ζπλάξηεζε : f είλαη

παξαγωγίζηκε θαη γηα θάζε , x y ηζρύνπλ

(0) (0) 1 f f θαη ( ) ( ) f x y f x f y xy , λα

δείμεηε όηη ( ) ( ) f x f x x θαη λα βξείηε ηνλ

ηύπν ηεο f .

529) Η ζπλάξηεζε : 0 , f ηθαλνπνηεί

ηελ ζρέζε ( ) ( ) ln ( )f x f x f x , γηα θάζε x

θαη ε fC ηέκλεη ηνλ άμνλα y y ζην ζεκείν Α κε

ηεηαγκέλε y e .


β. Να απνδείμεηε ε επζεία 1 y e x εθάπηεηαη ηεο

fC ζην ζεκείν Α.


παξαγωγίζηκε κε ( ) ( ) 0 f x f x , γηα θάζε

x . Αλ (0) 3f θαη (0) 2 f , λα απνδείμεηε

όηη 22 ( ) ( ) 15 ( ) ( )f x f y f x x f x x ,

x .


κε 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) x f x f x xf x , γηα θάζε x

θαη (0) 4f . Να απνδείμεηε όηη 2

8( )

2

xef x

x,

x .


- 92 -

532) Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο , : f g

πνπ ηθαλνπνηνύλ ηηο ζρέζεηο

22 1 1 1 g x g x x , γηα θάζε x ,

(0) 5f θαη ( ) ( ) f x g x , γηα θάζε x .

§8. μονοτονία συνάρτησης

533) Να κειεηήζεηε ηελ κνλνηνλία ηωλ παξαθάηω ζπλαξηήζεωλ:

α. 2( ) 4 f x x x β. 3 2( ) 3 f x x x

γ. 3 2( ) 2 6 18 f x x x x δ. 3 2( ) 2 3 12 f x x x x

ε. 4 2( ) 4 12 3 f x x x x ζη. 3 2( ) 3 9 2 f x x x x

534) Να κειεηήζεηε ηελ κνλνηνλία ηωλ


α. 1

( ) f x xx

β. ( )1

xf x

x

γ. 2

( )1

xf x

x δ. 2( ) 100 f x x

ε. 2( ) 4 f x x x ζη. 2( ) 5 4 5 f x x x


3 2

6 9 3 , 0( )

3 7 , 0

x x x xf x

x x x.

α. Να εμεηαζηεί αλ είλαη ζπλερήο ζην ζεκείν 0 1x .

β. Να κειεηεζεί ωο πξνο ηελ κνλνηνλία.



α. 2

3 3 , 0( )

4 , 0

x xf x

x x

β. 2

2

, 0( )

2 3 , 0

x x xf x

x x x

γ. 22 5 1 , 1

( )7 3 , 1

x x xf x

x x



α. ( ) f x x x β. 2( ) 9 f x x

γ. 2( ) 4 3 f x x x

538) Να κειεηήζεηε ωο πξνο ηελ κνλνηνλία ηηο παξαθάηω ζπλαξηήζεηο:

α.

3 2

3 2

2 3 , 1( )

2 9 12 4 , 1

x x xf x

x x x x

β. 2( ) 3 6 6g x x x x



α. ( ) 2 1 f x x , 0 ,x

β. 2( ) 1 f x x , 0 ,x

γ. ( ) 2 f x x x , 0 , 2x

540) Να θαζνξηζηεί ην είδνο ηελ κνλνηνλίαο ηωλ παξαθάηω ζπλαξηήζεωλ:

α. ( ) 2 xf x β. 2 3( ) 3 3 3 x x xg x

γ. 1( ) 4 8 4 2 x x xh x

541) Να θαζνξηζηεί ην είδνο ηελ κνλνηνλίαο ηωλ


α. 2( ) lnf x x β. 2( ) xf x x e γ. ( ) lnf x x x

δ.2

( ) x

xf x

e ε.

ln( )

xf x

x ζη. ( ) ln

2

x xe ef x


α. 2

3 2( ) ln f x x

x x

β. 2( ) ln 4 f x x

γ. 2( ) 8ln f x x x δ. 2( ) 2 ln f x x x

ε. 2( ) ln 1 f x x x ζη. 2( ) ln 1 f x x


α. 2

2 3( )

4

xf x

x β.

3 2

10( )

4 9 6

f x

x x x

γ. 2

2

1( )

1

x xf x

x x δ. 21

( )4

f x x x x

ε. 2

ln( )

ln 1

xf x

x

ζη. ( ) ln ln f x x x

δ. ( ) xf x x ε. 2 23

( ) 2 ln 42

f x x x x x x


- 93 -

544) Έζηω : f δπν θνξέο παξαγωγίζηκε

κε ( ) 0f x θαη 2

( ) ( ) ( ) 0f x f x f x , γηα

θάζε x . Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε

( )

( )

f x

f x είλαη γλεζίωο αύμνπζα.


παξαγωγίζηκε ζην , (2) 0 f θαη ( ) 0 f x ,

γηα θάζε x , λα απνδεηρζεί όηη ε f είλαη

γλεζίωο θζίλνπζα γηα , 2 x θαη γλεζίωο

αύμνπζα γηα 2 , x .


παξαγωγίζηκε κε (2) (2) (2) 0 f f f θαη

( ) 0 f x , γηα θάζε x .

α. Να βξείηε ηελ κνλνηνλία ηεο f .

β. Να δείμεηε όηη νη εμηζώζεηο ( ) 0f x θαη ( ) 0 f x

έρνπλ κνλαδηθή ξίδα.

547) Η ζπλάξηεζε : f είλαη ηέζζεξηο

θνξέο παξαγωγίζηκε κε

(1) (1) (1) (1) 0 f f f f θαη (4) ( ) 0f x , γηα

θάζε x .

α. Να βξείηε ηελ κνλνηνλία ηεο f .

β. Να δείμεηε όηη νη εμηζώζεηο ( ) 0f x θαη ( ) 0 f x

έρνπλ κνλαδηθή ξίδα.

548) Να κειεηεζεί ε κνλνηνλία ηωλ ζπλαξηήζεωλ:

α. ln

( )1

xf x

x β.

2

( ) 2 ln2

x

f x x x x

γ.2 3

( ) 12 3

x x

f x x δ. 2( ) xf x e x x

ε. 2( ) 2 2 2 xf x e x x ζη. 2( ) 2 ln f x x x x

δ. 2

( ) 12

x xf x e x

ε. 2( ) 1 f x x x

ζ. 2

ln 1( )

x xf x

x

549) Να κειεηήζεηε ωο πξνο ηελ κνλνηνλία ηελ

ζπλάξηεζε

( )1 ln 1

xf x

x x

.

550) Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ a , ώζηε ε

ζπλάξηεζε 3 2( ) 4 3 12 2 f x x ax x λα είλαη

γλεζίωο αύμνπζα ζην .

551) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ a ε ζπλάξηεζε

3 2( ) 1 1 10 f x a x a x x είλαη γλεζίωο

θζίλνπζα ζην .

552) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ a ε ζπλάξηεζε 3 2( ) ( 2) 3 9 1 f x a x ax ax είλαη γλεζίωο

αύμνπζα ζην .

553) Να δείμεηε όηη γηα θάζε a ε ζπλάξηεζε

3 2 2( ) 2 3( 1) 6 1 5 f x x a x a a x είλαη

γλεζίωο αύμνπζα ζην .

554) Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ a λα

κειεηήζεηε ηελ κνλνηνλία ηωλ παξαθάηω ζπλαξηήζεωλ:

α. 3 2( ) 2 3 6 12 f x ax ax x

β. 3 21( ) 1 2 1

3

af x x a x x

555) Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηωλ ζπλαξηήζεωλ:

α. ( ) ln f x x x x β. ( ) 3 4 5 2 x x xf x

γ. 1

( ) 72

f xx

δ. 2

2

4( )

2

x xf x

x x

556) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο:

α. 2( ) 1 f x x x β. ( ) 3 2 f x x

γ. 2( ) 5 xf x e δ. ( ) 4 ln 1 xf x e

ε. 2

2

1( )

1

x

x

ef x

e ζη.

1( ) ln

1

xf x

x

Να κειεηεζνύλ ωο πξνο ηελ κνλνηνλία, λα βξεζεί ην

ζύλνιν ηηκώλ ηνπο θαη ε ζπλάξηεζε 1f , όηαλ απηή

ππάξρεη.

557) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f κε

33 2 , 3( )

5 3 , 3

xe xf x

x x. Να δείμεηε όηη ε

ζπλάξηεζε είλαη γλεζίωο αύμνπζα θαη λα βξεζεί

ε αληίζηξνθή ηεο.

558) α. Να κειεηήζεηε ηελ κνλνηνλία ηεο

ζπλάξηεζεο ( ) xf x a x , 0 1 a .

β. Αλ 0 1 a λα βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ

πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ ζρέζε

2 4 2 2 2 a a .


- 94 -


ζπλάξηεζεο 3( ) xf x e x .

β. Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε

2 3 31 3 9 23 9 1 x xe e x x .


ζπλάξηεζεο ( ) 2 lnxf x x , 0 ,x .


24 ln 1 2 2 ln 1x xx x .

561) α. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε

4( ) 4 2

3

x

xf x είλαη γλεζίωο αύμνπζα.

β. Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε 4 12 2 3 x x x .


( )1

xef x

x

.

α. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε f ωο πξνο ηελ

κνλνηνλία.

β. Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε 2 2 22 1

x xe e

x x x x

563) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 4( ) lnf x x x .


κνλνηνλία.


4 4

2

2

4 4ln 2 1 4 4

2 1

xx x

x

.

γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε

3 2 4( )f x f x f x f x .

564) Να δείμεηε όηη:

α. 1 0 xe x , γηα θάζε x .

β. Η εμίζωζε 22 2 2 xe x x , έρεη αθξηβώο κηα ξίδα.

565) α. Αλ γηα θάζε x ηζρύεη ( ) 0 f x θαη

( ) 0 g x , λα δείμεηε όηη νη fC , gC έρνπλ ην

πνιύ έλα θνηλό ζεκείν.

β. Αλ ( ) 2 xf x e x θαη 3( ) xg x e x , λα

δείμεηε όηη νη fC , gC έρνπλ έλα κόλν θνηλό

ζεκείν.

566) Να βξεζεί ν , ώζηε ε εμίζωζε 3 2 0 x x x λα έρεη κηα κόλν πξαγκαηηθή

ξίδα.

567) Αλ 3 2( ) 2 3 f x x x a , a , λα βξεζεί ν

a ώζηε ε εμίζωζε ( ) 0f x λα έρεη αθξηβώο

δπν ξίδεο.

568) Αλ 4( ) 4 2 f x x x , λα δείμεηε όηη ε

εμίζωζε ( ) 0f x έρεη δπν κόλν πξαγκαηηθέο θαη

άληζεο ξίδεο.

569) Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε 3 14 3 0

2 x x

έρεη αθξηβώο ηξεηο πξαγκαηηθέο ξίδεο.


α. 3 1 xe x β. ln 1 x x

γ. 5 2 x xe e δ. 2 ln 2 x x x

ε. 5 32 1 x x x x ζη. 32010 2 1 x x x


α. 2 3 5 x x x β. 2 3 4 9 x x x x

γ. 2 x x xe e xe


α. 22 2 2 xe x x β. 22 ln 1 x x x

γ. 1 ln 1xe x

573) Αλ γηα ηηο ζπλαξηήζεηο , : f g

ηζρύνπλ (0) (0)f g θαη ( ) ( ) f x g x , γηα θάζε

x , λα δείμεηε όηη:

α. ( ) ( )f x g x , γηα θάζε , 0 x .

β. ( ) ( )f x g x , γηα θάζε 0 , x .

574) Να απνδείμεηε ηηο αληζώζεηο:

α. 1 xe x , x β. ln 1 x x , 0 , x

γ. xe ex , 1, x δ. ln 1 x x x , 0 , x

ε. 1x xx e , 0 , x ζη. 2x x , 0 , x


α. 1 ln 1 xe x , 0 , x

β. 22 2 2 xe x x , 0 , x

γ. 2

12

x xe x , 0 , x

δ. 3

3

xx x , 0 , x

576) Να ιπζνύλ νη παξαθάηω αληζώζεηο:

α. 2

2

1

1

x

x

ex

e

β. 2ln 1 1xx e x


- 95 -

577) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο

ζπλάξηεζεο ( ) 1 2lnf x x x .

578) α. Να απνδείμεηε όηη x x γηα θάζε

0 ,2

x

.

β. Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : 0 ,2

f

, κε

( )f x ax a x , όπνπ a . Η εθαπηνκέλε ηεο fC

ζην ζεκείν ηεο ,3 3

f

είλαη παξάιιειε ζηελ

επζεία 6 2 2017 0x y .

i. Να βξείηε ηνλ αξηζκό a .

ii. Να απνδείμεηε όηη 3( )f x x γηα θάζε 0 ,2

x

.


ζπλάξηεζεο ( ) x

f xx

, 0 ,

2

x

.

β. Αλ 02

a

, λα δείμεηε όηη

2

a a a

.



( ) xf x xe .

β. Να δείμεηε όηη 1x xx e , γηα θάζε

0 , x .

581) Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα κνλνηνλίαο ηεο ζπλάξηεζεο ( ) ln f x x x θαη θαηόπηλ λα

απνδεηρζεί όηη ηζρύεη 2ee e .

582) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ln

( ) x

f xx

, 0x .

α. Να κειεηήζεηε ηελ f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία .

β. Να απνδεηρζεί όηη ee .

γ. Να απνδεηρζεί όηη x ee x , γηα θάζε 0x .

δ. Να απνδεηρζεί όηη 1 1aaa a , γηα θάζε a e .


ζπλάξηεζεο 2( ) ln 5 xf x x e x .

β. Να ιύζεηε ηελ αλίζωζε

2 42

2

5ln

5

x

x

e xx x

e x.

584) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) xf x x .

α. Να κειεηήζεηε ηελ f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία.

β. Αλ 2x , λα δείμεηε όηη 1

1

xxx x .

γ. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε ln 1

( )ln

xg x

x είλαη

γλεζίωο αύμνπζα ζην 2 , .

δ. Αλ 2 a , λα δείμεηε όηη ln 1 ln 1

aa

.



( )

x x

x

a xf x

κε , 0 , a

, a .

β. Να ιύζεηε ηελ αλίζωζε

22 3

3 63 2

x xa

x xa

.


( )2

x

f x x

.


κνλνηνλία.

β. Να ιύζεηε ηηο αληζώζεηο:

i. 1

62

x

x

ii.

2 22 3 10

21 13 10

2 2

x x x

x x

587) Δίλνληαη νη παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο

, :f g γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη όηη

(0) (0) 0f g θαη ( )( ) 2 f xf x xe θαη

( ) 1x xe g x e γηα θάζε x .

α. Να βξείηε ηνπο ηύπνπο ηωλ f θαη g .

β. Να κειεηήζεηε ηε ζπλάξηεζε ( ) ( ) ( )h x f x g x ωο

πξνο ηελ κνλνηνλία.

γ. Να ιύζεηε ηελ αλίζωζε 2ln 1 1 1xe x x .

588) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε 1x ηζρύεη 24 3 2ln 2 2x x x x .


α. ln aae e

, 0 a

β. 1 1 ae e a , 1 a

γ. 2 2

ln ln2

aa

a

, 0 a

δ. 2 2 1

aa a

a

, 0 a

ε. aa , 1 e ae

ζη. 1ln aa e a , 0a θαη .


- 96 -

590) Να κειεηήζεηε ηελ κνλνηνλία ηεο

ζπλάξηεζεο ln 1

( )ln

xf x

x ζην δηάζηεκα

2 , θαη λα δείμεηε όηη

2ln 1 ln 1 ln x x x , γηα θάζε 2x .

591) Να ιπζεί ε αλίζωζε 2 2 2 2 3 2 x x xa a x x , 1a . Πόηε ηζρύεη ε

ηζόηεηα;

592) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 0 ,

, είλαη δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην 0 , θαη

ηζρύνπλ (0) 0f , ( ) 0 f x , γηα θάζε

0 , x . Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε

( )( )

f xg x

x είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην 0 , .


είλαη δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην ,a κε

( ) 0 f x , γηα θάζε ,x a . Να δείμεηε όηη ε

ζπλάξηεζε ( ) ( )

( )

f x f ag x

x a είλαη γλεζίωο

αύμνπζα ζην ,a .

594) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε

ln ln 2( )

2

xf x

x είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην

2 , .


δηάζηεκα ,a θαη ηζρύνπλ ( ) ( ) 1 f a f θαη

( ) 0 f x , γηα θάζε ,x a , λα απνδεηρζεί όηη

( ) 1f x , γηα θάζε ,x a .

596) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f κε

( ) 0 f x , γηα θάζε x . Να απνδείμεηε όηη αλ

a , ηόηε ηζρύεη ( ) ( )( ) ( ) f x f a x a f a , γηα

θάζε x .

597) Αλ ( ) 6 f x x , γηα θάζε x θαη (0) 4f ,

λα δείμεηε όηη:

α. 2( ) 3 4 f x x , γηα θάζε 0x .

β. 2( ) 3 4 f x x , γηα θάζε 0x .


: 0 ,f γηα ηελ νπνία ηζρύεη (1) 1f

θαη 2( ) 2 1xf x x γηα θάζε 0x .

α. Να απνδείμεηε όηη 2( ) lnf x x x γηα θάζε 1x .

β. Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε 2( ) lnf x x x .

599) Η ζπλάξηεζε : 0 , f είλαη δπν

θνξέο παξαγωγίζηκε κε ( ) 0 f x γηα θάζε

0 , x θαη 0

( ) 0lim

x

f x . Να δείμεηε όηη:

α. ( ) ( ) xf x f x , γηα θάζε 0 , x .

β. Η ζπλάξηεζε ( )

( )2

f x

g xx

είλαη γλεζίωο αύμνπζα

ζην 0 , .

600) Έζηω f ζπλάξηεζε δπν θνξέο

παξαγωγίζηκε ζην ,a κε ( ) 0 f x γηα θάζε

,x a . Αλ ( ) ( ) 0 f a f , λα δείμεηε όηη

( ) 0f x , γηα θάζε ,x a .


παξαγωγίζηκε ζην 0 , 3 θαη ηζρύνπλ

(1) (2) 7 f f , ( ) 0 f x γηα θάζε 0 , 3x .

Να βξείηε ηα πξόζεκα ηωλ παξαγώγωλ (0)f ,

(3)f θαη λα δείμεηε όηη 2

73

f .

602) Έζηω : f ζπλάξηεζε γηα ηελ νπνία

ηζρύεη 4( ) 5 f x x , γηα θάζε x . Να δείμεηε

όηη:

α. ( )lim

x

f x θαη ( )lim

x

f x .

β. Η εμίζωζε ( ) 0f x έρεη αθξηβώο κηα ξίδα ζην .


παξαγωγίζηκε ζην 0 , a θαη ηζρύνπλ

(0) (0) 0 f f θαη ( ) 0 f x , γηα θάζε

0 ,x a .

α. Να κειεηήζεηε ηελ κνλνηνλία ηεο ζπλάξηεζεο

( )

, 0 ,( )

0 , 0

f xx a

g x x

x

.

β. Να δείμεηε όηη ( ) ( )af x xf a , γηα θάζε 0 ,x a .


- 97 -

604) Η ζπλάξηεζε : 0 , f a είλαη δπν

θνξέο παξαγωγίζηκε κε (0) (0) 0 f f θαη

( ) 0 ( ) f a f a . Αλ ε f είλαη ζπλερήο λα


α. ππάξρεη 1 0 , a ηέηνην ώζηε 1( ) 0 f ,

β. ππάξρεη 2 0 , a ηέηνην ώζηε 2( ) 0 f .


παξαγωγίζηκε θαη ηζρύεη 3( ) ( ) xf x e f x x x ,

γηα θάζε x . Αλ 0x είλαη ξίδα ηεο f λα

δείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζ’ έλα

δηάζηεκα ηεο κνξθήο 0 0, x x κε 0 .

606) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f

παξαγωγίζηκε κε ηελ f ζπλερή ζην 0 1x γηα

ηελ νπνία ηζρύνπλ (0) 0f θαη

( ) (1) 1 2 xf x f f x x x , γηα θάζε x .

Να δείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζ’ έλα

δηάζηεκα ηεο κνξθήο 1 ,1 κε 0 .

607) Οη ζπλαξηήζεηο , : 0 , f g είλαη

παξαγωγίζηκεο θαη ηζρύεη 2( ) ( ) xf x g x x e

, γηα θάζε 0 , x . Να δείμεηε όηη

(0) ( ) (0) ( ) f g x g f x , γηα θάζε 0 , x .


θνξέο παξαγωγίζηκε θαη ηθαλνπνηεί ηελ ζπλζήθε

( ) ( ) 0 f f x f x , γηα θάζε 0 , x .

α. Να δείμεηε όηη ( ) f f x x , γηα θάζε 0 , x .

β. Αλ (1) 2f θαη ( ) 5f e , λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο

ζπλάξηεζεο f .

609) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g κε 2 4( ) 8 4 1 ( ) xf x x x g x e , γηα θάζε x .

Αλ νη fC , gC ηέκλνληαη πάλω ζηνλ άμνλα y y ,

λα δείμεηε όηη:

α. Οη fC , gC έρνπλ αθξηβώο έλα θνηλό ζεκείν.

β. Οη fC , gC έρνπλ θνηλή εθαπηνκέλε ζην θνηλό ηνπο

ζεκείν.

610) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) ln 1f x x x x .

α. Να κειεηήζεηε ηε ζπλάξηεζε f ωο πξνο ηελ

κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα.

β. Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε ( ) 0f x .

γ. Αλ ηζρύεη 3 4f a f a , λα βξείηε ηνπο

πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο a θαη .

611) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , :f g κε

1( ) xf x xe θαη 2

( ) 2 1g x x x .

α. Να κειεηήζεηε ηηο ζπλαξηήζεηο f θαη g ωο πξνο

ηελ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα.

β. Να απνδείμεηε όηη 21 2 1xxe x x γηα θάζε

x .

§9. θεώρημα Fermat

612) Να βξεζνύλ ηα θξίζηκα ζεκεία ηωλ παξαθάηω ζπλαξηήζεωλ:

α. 3 2( ) 2 9 24 f x x x x β. 3( ) 12 5 f x x x

γ. 3( ) 2010 f x x x

613) Να βξεζνύλ ηα θξίζηκα ζεκεία ηωλ


α. 2

2

1 , 1( )

3 12 , 1

x xf x

x x x β.

2

2

1 , 1( )

8 , 1

x xf x

x x x



α. ( ) 5 2 7 f x x β. 2( ) 9 f x x

γ. 2( ) 4 f x x x



α. ln | |

( ) x

f xx

β. 2

1 ln( )

xf x

x


- 98 -

616) Να βξεζνύλ νη πηζαλέο ζέζεηο ηνπηθώλ

αθξνηάηωλ ηωλ παξαθάηω ζπλαξηήζεωλ:

α. 4 2( ) 32 6 f x x x β. 3( ) 27 2 f x x x , 5 7 x

γ. 2( ) 2 f x x x δ. ( ) 10 2ln10 x xf x , 0x

ε.

2

2

2 3 , 2 , 1( )

4 , 1 , 3

x xf x

x x x

ζη. 2

3

10 1 , 3( )

12 , 3

x x xf x

x x x


,a κε ( ) ( )f a f , λα δείμεηε όηη ε f έρεη

έλα ηνπιάρηζηνλ θξίζηκν ζεκείν ζην ,a .


κε ζπλερή παξάγωγν θαη ππάξρνπλ 1 2, x x

( 1 2x x ) ηέηνηα ώζηε 2 2

1 2( ) ( ) 0 a f x f x ,

όπνπ , a , | | | | 0 a . Να απνδείμεηε όηη

ε f έρεη έλα ηνπιάρηζηνλ θξίζηκν ζεκείν.

619) Να βξείηε ηελ πνιπωλπκηθή ζπλάξηεζε f ,

όηαλ 2

( ) 3

23 4 6lim

x

f x

x x, (0) 3 f θαη ην

ζεκείν 0 1 x είλαη ζέζε ηνπηθνύ αθξνηάηνπ

ηεο f .

620) Να δείμεηε όηη νη παξαθάηω ζπλαξηήζεηο

δελ έρνπλ αθξόηαηα:

α. 3 2( ) 3 2 f x x x x a , a

β. 5 3 2( ) f x x ax a x a , *a

621) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) ln 8 f x a x x x . Να βξεζνύλ ηα

, a ώζηε ην 0 3x λα είλαη θξίζηκν ζεκείν

ηεο f θαη ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν

1, (1) f λα είλαη θάζεηε ζηελ επζεία

2 0 x y .

622) Να βξεζνύλ νη , a ώζηε ε ζπλάξηεζε 3 2( ) 3 5 f x x ax x , λα παξνπζηάδεη ηνπηθό

αθξόηαην ζηα ζεκεία 1 1x θαη 2

5

9 x .

623) Να βξεζνύλ νη , a ώζηε ε ζπλάξηεζε

2( ) 4 2 ln f x a x a x x , λα

παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην ζηα ζεκεία 1 1x

θαη 2 3x .

624) Να βξείηε ηελ ζπλζήθε κεηαμύ ηωλ

, a ώζηε ε ζπλάξηεζε

5( )

x

a x xf x

e

, λα παξνπζηάδεη ηνπηθό

αθξόηαην ζην ζεκείν 0 0x .

625) Αλ ε ζπλάξηεζε 2( ) 1 ln f x ax x x x

παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην ζην ζεκείν 0 1x ,

λα δείμεηε όηη ην ζύζηεκα 1

( )2 2

ax y

x y, έρεη

άπεηξεο ιύζεηο.

626) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3 2( ) 5 f x ax x x . Να βξεζνύλ νη

, , a ώζηε ε f λα έρεη ζην ζεκείν 0 1x

ηνπηθό αθξόηαην ην 7 θαη ε επζεία 5 y x , λα

είλαη εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν

0 , (0) f .

627) Αλ ηζρύεη x aa x , γηα θάζε 0x , λα

απνδεηρζεί όηη a e όπνπ 0 1 a .

628) Αλ 0a , 1a θαη γηα θάζε x ηζρύεη 2 2 1 xa x x , λα δείμεηε όηη 2a e .

629) Αλ , 0a θαη γηα θάζε x ηζρύεη

1 x xa x , λα δείμεηε όηη 1

a

.

630) Αλ , , 0a θαη γηα θάζε x ηζρύεη

3 x x xa , λα δείμεηε όηη 1a .


- 99 -

631) Αλ , , 0a θαη γηα θάζε x ηζρύεη

3 5 7 15 x x xa , λα δείμεηε όηη 3 5 7 1a .

632) Αλ 0a θαη γηα θάζε 0x ηζρύεη

ln x

x aa

, λα δείμεηε όηη 1a .

633) Αλ 0a , 1a θαη γηα θάζε 0x ηζρύεη

lnx

xa

, λα δείμεηε όηη a e .


παξαγωγίζηκε θαη γηα θάζε 0 , x ηζρύεη

3 3( ) 3 ( ) 1 f x x xf x . Αλ ην ( )f a είλαη ηνπηθό

αθξόηαην ηεο f , λα δείμεηε όηη 1a .


θαη γηα θάζε 0 , x ηζρύεη

2 3( ) ln 5 f x x x . Αλ (1) 2f , λα βξεζεί ην

(1)f .


θαη γηα θάζε x ηζρύεη 2( ) 3 4 f x x x x .

Αλ (0) 4f , λα βξεζεί ην (0)f .


θαη ηζρύεη 3 2( ) 2 5 7 f x x x x , γηα θάζε

x . Αλ (2) 3f , λα δείμεηε όηη (2) 9 f .


θαη γηα θάζε x ηζρύεη 2 2 1( )

4 f x f x . Να

απνδείμεηε όηη (0) (1) f f .


θαη ηζρύνπλ (3) 0f θαη ( )2 ( ) 2 f xe af x , γηα

θάζε x , κε 2a . Να δείμεηε όηη (3) 0 f .


παξαγωγίζηκεο θαη ηζρύνπλ ( ) ( ) 2 f a g a ,

( ) 0g x θαη 3 ( ) 6

5( )

f x

g x, γηα θάζε x . Να

δείμεηε όηη 5 ( ) 4 ( ) g a f a .


παξαγωγίζηκεο θαη ηέηνηεο ώζηε 3 ( ) 1 3 ( ) f x g x

, γηα θάζε x . Αλ ( ) 2f a , ( ) 3g a , λα

απνδείμεηε όηη ( ) 4 ( ) g a f a .


παξαγωγίζηκεο θαη ηζρύνπλ ( ) ( )f a g a θαη 2 2( ) 3 5 ( ) 3 5 f x x x g x a a , γηα θάζε x .

Να δείμεηε όηη ( ) ( ) 6 5 f a g a a .


θαη γηα θάζε x ηζρύεη 3 3 2( ) ( ) 5 10 f x f x x x x . Να δείμεηε όηη ε f

δελ παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην.


θαη γηα θάζε x ηζρύεη 3 5( ) ( ) 2010 xf x f x x e . Να δείμεηε όηη ε f

δελ παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην.


θαη ηζρύεη ( ) ( ) 2 0 f xe f x x x , γηα θάζε

x . Να δείμεηε όηη ε f δελ παξνπζηάδεη

ηνπηθό αθξόηαην.

646) Αλ ε παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε : f

ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε 2 2( ) 1 2 ( )f x x xf x , γηα

θάζε x λα απνδείμεηε όηη ε f δελ έρεη

ηνπηθά αθξόηαηα.

647) Η ζπλάξηεζε : , f a είλαη

παξαγωγίζηκε. Να απνδείμεηε όηη:

α. Αλ ην ( )f a είλαη ηνπηθό ειάρηζην ηόηε ( ) 0 f a .

β. Αλ ην ( )f είλαη ηνπηθό ειάρηζην ηόηε ( ) 0 f .

γ. Αλ ( ) 0 ( ) f a f , ηόηε ππάξρεη 0 ,x a

ηέηνην ώζηε 0( ) 0 f x .

δ. Αλ ( ) ( ) f a f , ηόηε ππάξρεη 0 ,x a

ηέηνην ώζηε 0( ) f x .

648) Η ζπλάξηεζε : , f a . Να δείμεηε

όηη: α. Αλ ( ) 0 f a ηόηε ην ( )f a είλαη ηνπηθό ειάρηζην .

β. Αλ ( ) 0 f ηόηε ην ( )f είλαη ηνπηθό κέγηζην .


- 100 -

649) Γίλεηαη παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f κε

(5) 0 f . Αλ νη ζπλαξηήζεηο f θαη f είλαη 1–1

θαη ε ζπλάξηεζε ( ) ( )g x f f x παξνπζηάδεη

αθξόηαην ζην ζεκείν 0 2x , λα βξείηε ηελ ηηκή

(2)f .


θαη γηα x ηζρύεη ( ) (0)axf x e f , όπνπ

1, 0 ,1 a . Αλ ε εθαπηνκέλε ηεο fC

ζην ζεκείν 0 , (0) f δηέξρεηαη από ην ζεκείν

, a a , λα δείμεηε όηη 2

2(0)

1

af

a.

651) Η ζπλάξηεζε : , f a . Να δείμεηε

όηη:

α. Αλ ( ) 0 f a είλαη ηνπηθό ειάρηζην ηόηε ( ) 0 f a .

β. Αλ ην ( )f είλαη ηνπηθό ειάρηζην ηόηε ( ) 0 f .

652) Η ζπλάξηεζε : , f a είλαη

παξαγωγίζηκε κε ζπλερή παξάγωγν, έρεη ζύλνιν

ηηκώλ , 2 , 5 f a , ελώ ( ) 1f a θαη

( ) 0f . Να δείμεηε όηη:

α. Υπάξρνπλ 1 2, ,x x a ηέηνηα ώζηε

1 2( ) ( ) f x f x .

β. Η εμίζωζε ( ) ( ) 0 f x f x κε *, έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην ,a .

653) Γίλεηαη ζπλάξηεζε : 0 , 3f , δπν

θνξέο παξαγωγίζηκε, γηα ηελ νπνία ηζρύεη

(1) (0) (3) (2)f f f f . Να απνδείμεηε όηη

ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 0 , 3 ηέηνην, ώζηε

( ) 0f .

654) Αλ 2 6 ( ) ( ) 0 x x f x f x , γηα θάζε

2 , 3 x , λα δείμεηε όηη ( ) 0f x , γηα θάζε

2 , 3 x .

§10. ακρότατα συνάρτησης

655) Σηα παξαθάηω ζρήκαηα δίλνληαη νη

γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ παξαγώγωλ ηωλ

ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ f , g , h θαη .

Αλ νη ζπλαξηήζεηο f , g , h θαη παξνπζηάδνπλ ζην

ζεκείν 0x ηνπηθό αθξόηαην, λα βξείηε ην είδνο ηνπ

αθξνηάηνπ.

656) Σην παξαθάηω ζρήκα δίλεηαη ε γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο παξαγώγνπ f κηαο ζπλάξηεζεο

f . Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε f ωο πξνο

ηελ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα.


- 101 -

657) Να βξείηε ηα αθξόηαηα ηωλ παξαθάηω


α. 3 2( ) 2 3 f x x x β. 3 2( ) 2 6 18 7 f x x x x

γ. 4 2( ) 8 f x x x δ. 4 3 2( ) 4 8 3 f x x x x

658) Να βξείηε ηα αθξόηαηα ηωλ παξαθάηω ζπλαξηήζεωλ:

α. 32( ) 2 f x x x

β. 2

( )3

xf x

x

γ. 2

2

2 9( )

4

x xf x

x δ.

2

2

3 4 4( )

1

x xf x

x x

ε.

3

2( )

1

xf x

x ζη.

3( )

3

xf x

x



α. 3( ) xf x x e β. 2

( ) xf x xe

γ. 2( ) 2 3 xf x x x e δ. ( ) lnf x x x

ε. 2( ) ln 1 f x x x ζη. 2

( ) lnf x x

660) Να βξείηε ηα αθξόηαηα ηωλ παξαθάηω ζπλαξηήζεωλ:

α. ( ) f x x x , 0 , 2x

β. ( ) 2 f x x x , 0 , 2x

γ. ( ) 3 3 f x x x , 0 , 2x

δ. ( ) f x x x x , 0 , 2x



α. 2( ) 6 4 1 x xf x e e x

β. 2( ) ln 3ln 3 f x x x x



α. 2 , 2

( )6 , 2

x xf x

x x β.

2

2

1 , 1( )

3 12 , 1

x xf x

x x x

γ. 2( ) 2 f x x x δ. 2 2( ) 2 f x x x x

663) Να βξεζνύλ ηα ηνπηθά αθξόηαηα ηωλ


α. 3

( ) xe

f xx

β.

2

( ) xf x e x , 0 , 2x

γ.

24( ) xf x x e δ. 2( ) | 1 | f x x , 2 2 x

664) Να κειεηεζεί ωο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα

αθξόηαηα ε ζπλάξηεζε

( ) 2011 2012 ln 2011 ln 2012 x xf x x x .

665) Να δείμεηε όηη νη παξαθάηω ζπλαξηήζεηο

δελ έρνπλ αθξόηαηα.

α. 3 2( ) 2 3 6 f x x x x a , a

β. 1

( )

x

f xx

γ. 5 3 2( ) 2 2 3 f x x ax a x a , a

666) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε 4 3 2( ) 3 4 6 f x x x x ax έρεη έλα κόλν

ζεκείν ηνπηθνύ αθξνηάηνπ γηα θάζε , a .

667) Να βξείηε ηνπο , a ώζηε ε

ζπλάξηεζε 2( ) ln 4 3 f x a x x x λα

παξνπζηάδεη ηνπηθά αθξόηαηα ζηα ζεκεία 1 1x

θαη 2 2x . Καηόπηλ λα πξνζδηνξίζεηε ην είδνο

ηωλ αθξνηάηωλ.

668) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε 3 2( ) f x x ax x έρεη δπν ηνπηθά

αθξόηαηα αλ θαη κόλν εάλ 2 3a .

669) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε 4 3 2 2( ) 3 4 6 12 8 f x x ax a x ax , *a έρεη

ην πνιύ έλα ηνπηθό αθξόηαην.

670) Η ζπλάξηεζε 2 2( )

af x x

x , , a

κεδελίδεηαη γηα 1 1x θαη παξνπζηάδεη αθξόηαην

ζην 2 2x .

α. Να βξείηε ηνπο , a .

β. Να βξείηε ην είδνο ηνπ αθξνηάηνπ θαη ηελ ηηκή ηνπ.

671) Αλ ε ζπλάξηεζε 2 6 7

( )2

ax a xf x

ax,

, a , a έρεη δπν ηνπηθά αθξόηαηα πνπ

είλαη αληίζεηνη αξηζκνί, λα δείμεηε όηη 1a .

672) Γίλεηαη ε εμίζωζε 2 2 0 x a x a . Γηα

πνηα ηηκή ηνπ a ην άζξνηζκα ηωλ

ηεηξαγώλωλ ηωλ ξηδώλ ηεο είλαη ειάρηζην θαη

πνηα είλαη ε ηηκή απηνύ.


- 102 -


2 3( )

3 2

xf x

x x. Αλ

1x , 2x είλαη ηα ζεκεία ζηα νπνία ε f

παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην, λα βξείηε ηα

, a ώζηε ε επζεία : y ax λα

δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1 1, ( ) x f x θαη

2 2, ( ) x f x .

674) Να βξείηε ηα ηνπηθά, ηα νιηθά αθξόηαηα θαη

ην ζύλνιν ηηκώλ ηωλ παξαθάηω ζπλαξηήζεωλ

ζην δηάζηεκα πνπ δίλεηαη:

α. 4 3 2( ) 2 2 3 f x x x x , 2 , 2 x

β. 5 4 3( ) 5 5 1 f x x x x , 1, 2 x

γ. 2

2

1( )

1

x xf x

x x, 2 ,1 x

δ. 2 1( ) 4 f x x

x,

1,1

4

x

675) Να βξείηε ηα ηνπηθά, ηα νιηθά αθξόηαηα, ην ζύλνιν ηηκώλ θαη ην πιήζνο ηωλ ξηδώλ ηωλ


α. 3 2( ) 2 6 18 7 f x x x x β. 4 3 2( ) 4 8 3 f x x x x

γ. 4 2( ) 4 2 3 f x x x δ. 3 2( ) 3 f x x x

676) Να βξεζεί ε κέγηζηε θαη ε ειάρηζηε ηηκή ηωλ παξαθάηω ζπλαξηήζεωλ:

α.

2 4( ) 1 8f x x x , 3 ,1x

β. 2

2( ) ln 3 22

xf x x x , 1, 2x

677) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3 2( ) 2 3 12 1 f x x x x .

α. Να κειεηεζεί ε ζπλάξηεζε f ωο πξνο ηελ


β. Να βξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f .

γ. Να βξεζεί ην πιήζνο ηωλ ξηδώλ ηεο εμίζωζεο ( ) 0f x .

678) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) ln 12

xf x x

x

α. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε f

ωο πξνο ηελ


β. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε ( ) 0f x έρεη αθξηβώο

δπν ξίδεο.

679) Να βξεζεί ην πιήζνο ηωλ ξηδώλ ηεο

εμίζωζεο 4 3 28 22 24 0 x x x x γηα .

680) Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ , λα βξείηε

ην πιήζνο ηωλ ξηδώλ ηωλ παξαθάηω


α. 2( ) 3 f x x x β. 3 2( ) 2 3 12 f x x x x

681) Να απνδείμεηε ηηο αληζόηεηεο:

α. 1 xe x , x β. xe ex , 1x

γ. ln 1 x x , 0x δ. 2 1

ln 2 x x xx

, 0x

682) Να απνδείμεηε ηηο αληζόηεηεο :

α. ln 1 x x , 0 , x

β. ln 1 x x x , 0 , x

γ. 2x x , 0 , x

δ. 1x xx e , 0 , x

683) Να απνδείμεηε ηηο αληζόηεηεο :

α. 1 ln 1 xe x , 1, x

β. 2

12 xx

x e , 0 , x

684) α. Να βξεζνύλ ηα αθξόηαηα ηεο


( ) xf x xe , 0 , x .

β. Να απνδεηρζεί όηη 1x xx e , γηα θάζε

0 , x .

685) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 1 ln 1 xf x e x ,

1 x .

α. Να κειεηεζεί ε ζπλάξηεζε f ωο πξνο ηελ


β. Να βξείηε ηα ζεκεία ζηα νπνία ε fC ηέκλεη ηνλ

άμνλα x x .

γ. Να απνδείμεηε όηη 1 ln 1 xe x , γηα θάζε 1 x .

δ. Αλ είλαη 1 ln 1 xa x , γηα θάζε 1 x λα

απνδείμεηε όηη a e .

686) Να βξεζεί ν κηθξόηεξνο ζεηηθόο αξηζκόο

ώζηε λα ηζρύεη xex


687) Να απνδεηρζεί όηη 22 1 11

xxx x e ,

γηα θάζε x .

688) Να απνδεηρζεί όηη ln ln ln 2 x x y y εάλ

, 0x y θαη 1 x y .


- 103 -

689) Να απνδεηρζεί όηη 1 ( 1) ax a x κε 0x ,

1a .

690) α. Να απνδείμεηε όηη 2 2

ln ln2

aa

a

,

όπνπ 0 a .

β. Αλ a , ζεηηθνί αξηζκνί θαη ηζρύεη

2 3 axx

γηα θάζε 0 , x , λα

απνδείμεηε όηη 2 4a .

691) Να βξεζνύλ νη αθξαίεο ηηκέο ηεο


( ) ln xf x x θαη θαηόπηλ λα

εμεηαζζεί πνηνο από ηνπο αξηζκνύο 2e θαη 2e

είλαη κεγαιύηεξνο.

692) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g κε

( ) 6 5 2 7 x xf x xe e x , 3( ) 4 5 7 xg x x x e .

α. Να απνδείμεηε όηη νη fC θαη gC έρνπλ έλα αθξηβώο

θνηλό ζεκείν θαη θνηλή εθαπηνκέλε ζην ζεκείν απηό.

β. Να βξείηε ηα ηνπηθά αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο ( ) ( ) ( ) h x f x g x , x .

693) Να δεηρζεί όηη ε ζπλάξηεζε

21( ) 4 3f x a x x

a

, x έρεη αθξηβώο

έλα κέγηζην θαη έλα ειάρηζην πνπ δηαθέξνπλ

θαηά

34 1

9

a

a. Πνηα είλαη ε κηθξόηεξε ηηκή ηεο

δηαθνξάο;


θαη γηα θάζε x ηζρύεη 3 2

3 2( ) ( ) ( )3 2

x x

f x f x f x x .

α. Να κειεηεζεί ηελ ζπλάξηεζε f ωο πξνο ηελ

κνλνηνλία. β. Να εμεηάζεηε αλ ε f έρεη αθξόηαηα.

γ. Να δείμεηε όηη ην ζεκείν 0 , 0 είλαη ζεκείν ηεο

fC θαη δελ ππάξρεη θαλέλα ζεκείν ηεο fC ζην 2ν θαη

4ν ηεηαξηεκόξην.


θαη γηα θάζε x ηζρύεη 2 33 ( ) 2 ( ) 2 xf x f x x x e . Να δείμεηε όηη ε f

δελ έρεη ηνπηθά αθξόηαηα.

696) Γίλνληαη ηα ζεκεία 0 , 0 θαη 15

, 04

.

Να βξείηε ζεκείν Μ ζηελ γξαθηθή παξάζηαζε

ηεο ζπλάξηεζεο 1

( ) f xx

, 0x , ώζηε ην

άζξνηζκα ηωλ ηεηξαγώλωλ ηωλ απνζηάζεωλ ηνπ

Μ από ηα ζεκεία Ο θαη Α λα είλαη ειάρηζην.

697) Να βξεζεί ζεκείν Κ ηεο παξαβνιήο κε

εμίζωζε 2 2y x , ηνπ νπνίνπ ε απόζηαζε από

ην ζεκείν 1, 4 , λα είλαη ειάρηζηε. Να

απνδείμεηε ζηελ ζπλέρεηα όηη ε επζεία ΚΜ είλαη

θάζεηε ζηελ εθαπηνκέλε ηεο παξαβνιήο ζην ζεκείν Κ.

698) Να βξείηε ζεκείν Μ ηεο παξαβνιήο 2 2y x

πνπ απέρεη ηελ κηθξόηεξε απόζηαζε από ην

ζεκείν 1, 4 .

699) Να βξείηε ζεκείν Μ ηεο ππεξβνιήο 2 2 1 x y ηνπ νπνίνπ ε απόζηαζε από ην

ζεκείν 0 , 1 είλαη ειάρηζηε.

700) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) f x x θαη ην

ζεκείν 9

, 02

. Να βξείηε ζεκείν Μ ηεο fC

πνπ απέρεη από ην Α ειάρηζηε απόζηαζε.

701) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 8 17 f x x x .

α. Να δεηρζεί όηη ην πιεζηέζηεξν ζεκείν ηεο fC ,

0 0, ( )x f x ζηνλ άμνλα x x είλαη ην ζεκείν πνπ έρεη

εθαπηνκέλε παξάιιειε ζηνλ άμνλα x x .

β. Να βξεζεί ην 0x θαη ε ειάρηζηε απόζηαζε.


- 104 -

702) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) 1 f x ax , 0a

θαη 2

( )1

g xx

.

α. Να δείμεηε όηη, γηα θάζε 0 , a νη fC , gC

έρνπλ δπν θνηλά ζεκεία.

β. Να εθθξάζεηε ηελ απόζηαζε ηωλ παξαπάλω

ζεκείωλ ζπλαξηήζεη ηνπ 0 , a θαη λα βξείηε ηελ

ηηκή ηνπ a γηα ηελ νπνία ε απόζηαζε απηή γίλεηαη

ειάρηζηε.


( ) f xx

, 0x θαη ην

ζεκείν , ( ) a f a ηεο fC . Από ην Μ θέξλνπκε

παξάιιειε ζηνλ άμνλα x x πνπ ηέκλεη ηελ

επζεία 0 x y ζην ζεκείν Ν. Να βξείηε ηνλ *a ώζηε ην κήθνο ηνπ ηκήκαηνο ΜΝ λα είλαη

ειάρηζην.


,a κε ( ) 0f x γηα θάζε ,x a . Αλ ε f

παξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην ζην ζεκείν

0 ,x a , λα δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε

1( )

( )g x

f x παξνπζηάδεη ζην 0x ηνπηθό

ειάρηζην, ην 0

1

( )f x.


κε ζπλερή παξάγωγν θαη γηα θάζε x ηζρύεη

( ) 0 f x . Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε

22ln 1 f x f x .

706) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) ln xf x a e x ,

0a .

α. Να βξεζνύλ ηα ηνπηθά αθξόηαηα ηεο f .

β. Αλ 0x είλαη ζέζε ηνπηθνύ αθξνηάηνπ ηεο f , λα

βξεζεί ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ ζεκείωλ

0 0, ( ) x f x , όηαλ ην a δηαηξέρεη ην 0 , .

707) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ln

( ) x

f xx

.

α. Να κειεηήζεηε ηελ f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα

αθξόηαηα.

β. Να δείμεηε όηη e xx e , γηα θάζε 0x .

γ. Να δείμεηε όηη γηα 0x ηζρύεη 22 ( ) (2) x x f x f θαη ζηελ ζπλέρεηα λα δείμεηε όηη

ε εμίζωζε 22 x x έρεη αθξηβώο δπν ιύζεηο, ηηο 1 2x

θαη 2 4x .

708) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2ln 1

( )2 2

x xf x

x

θαη 2 2( ) 3 ln g x x x .

α. Να κειεηήζεηε ηελ g ωο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα

αθξόηαηα.

β. Να απνδείμεηε όηη 2

( )( )

2

g xf x

x θαη λα κειεηήζεηε

ηελ f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα .


2 2( ) 6 1f x x a x a . Να βξείηε ηελ

ειάρηζηε ηηκή ηεο f όηαλ ην a δηαηξέρεη ην .

710) Γηα πνηα ηηκή ηνπ a ε ειάρηζηε ηηκή ηεο

ζπλάξηεζεο 2 4 2( ) 4 12 f x x ax a a είλαη ε

κέγηζηε δπλαηή.

711) Γηα πνηα ηηκή ηνπ 0 , a ε κέγηζηε

ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο ( ) 2 axf x x e είλαη ε

ειάρηζηε δπλαηή.

712) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3 2( ) f x ax x x κε 0a . Να δείμεηε όηη

αλ ε f έρεη δπν αθξόηαηα ηα νπνία βξίζθνληαη

ζε κηα επζεία πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ

αμόλωλ ηόηε ηζρύεη ε ζρέζε 9 a .

713) Να βξείηε ην ζεκείν , ( ) a f a ηέηνην

ώζηε ε εθαπηόκελε ζηελ γξαθηθή παξάζηαζε

ηεο ζπλάξηεζεο 2( ) 2 f x x x ζην ζεκείν Μ λα

ζρεκαηίδεη κε ηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο , ηξίγωλν

κε ειάρηζην εκβαδόλ.

714) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 8 , 3 1 , 4 a

θαη 2 2 , 3 4 a a .

α. Να δείμεηε όηη γηα θάζε a ηα Α , Β , Γ είλαη

θνξπθέο ηξηγώλνπ.

β. Να βξείηε ηα ζεκεία Β θαη Γ ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ

ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα είλαη ειάρηζην.


- 105 -

715) Οη θνξπθέο ελόο ηξηγώλνπ είλαη ηα ζεκεία

0 , 0 , ,x x , 3 , 0x , όπνπ

02

x

.

α. Να βξείηε ν εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ωο ζπλάξηεζε

ηνπ x .

β. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ x γηα ηελ νπνία ην εκβαδόλ

ηνπ ηξηγώλνπ γίλεηαη κέγηζην. γ. Να ππνινγίζεηε ηελ κέγηζηε ηηκή ηνπ εκβαδνύ ηνπ

ηξηγώλνπ.

716) Να απνδείμεηε όηη: α. απ’ όια ηα νξζνγώληα κε ζηαζεξή πεξίκεηξν, ην

ηεηξάγωλν έρεη ην κέγηζην εκβαδόλ, β. απ’ όια ηα νξζνγώληα κε ζηαζεξό εκβαδόλ, ην

ηεηξάγωλν έρεη ηελ ειάρηζηε πεξίκεηξν.

717) Απ’ όια ηα ηζνζθειή ηξίγωλα κε πεξίκεηξν 24 cm , λα βξείηε εθείλν πνπ έρεη κέγηζην

εκβαδόλ.

718) Απ’ όια ηα νξζνγώληα παξαιιειόγξακκα πνπ έρνπλ ηηο δπν δηαδνρηθέο θνξπθέο ηνπο

πάλω ζηνλ άμνλα x x θαη ηηο άιιεο δπν πάλω

ζηελ παξαβνιή 24 y x , λα βξείηε εθείλν πνπ

έρεη κέγηζην εκβαδόλ.

719) Η ηηκή πώιεζεο ελόο κεραληθνύ

εμαξηήκαηνο είλαη 1.000 €. Τν θόζηνο ηνπ ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ θαηαζθεπήο (ζε ώξεο)

πξνζεγγίδεηαη από ηνλ ηύπν ηεο ζπλάξηεζεο 2 1( ) 250 K t t t . Πόηε πξαγκαηνπνηήζεθε ην

κέγηζην θέξδνο θαη πόζν είλαη απηό;

720) Η ζεηηθή αληίδξαζε ελόο νξγαληζκνύ ζ’ έλα

θάξκαθν πξνζδηνξίδεηαη από ηνλ ηύπν ηεο

ζπλάξηεζεο 2( ) 2f x x x , όπνπ x ε

εκεξήζηα δόζε ηνπ θαξκάθνπ ζε mg . Πνηα είλαη

ε ελδεδεηγκέλε πνζόηεηα δόζεο ηνπ θαξκάθνπ ώζηε λα έρνπκε ηελ κεγαιύηεξε ζεηηθή

αληίδξαζε ηνπ νξγαληζκνύ;

§11. κυρτά-κοίλα συνάρτησης

721) Σην παξαθάηω ζρήκα δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο παξαγώγνπ ( )f x κηαο ζπλάξηεζεο

: f . Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε

ζπλάξηεζε f είλαη θπξηή ή θνίιε.

722) Σην παξαθάηω ζρήκα δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο παξαγώγνπ ( )f x κηαο

ζπλάξηεζεο : f . Να βξείηε ηα

δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε ζπλάξηεζε f είλαη

θπξηή ή θνίιε.

723) Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία νη παξαθάηω ζπλαξηήζεηο είλαη θπξηέο ή θνίιε:

α. 2( ) 6 5 f x x x β. 3( ) 3 f x x x

γ. 4 3( ) 2 f x x x

724) Να κειεηήζεηε ωο πξνο ηα θπξηά – θνίια ηηο ζπλαξηήζεηο:

α. 3

2( )6

x

f x x β. 2

( )1

xf x

x


- 106 -

725) Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία νη

παξαθάησ ζπλαξηήζεηο είλαη θπξηέο ή θνίιε:

α. 3( ) 2 1 f x x β. 2

( ) xf x e

γ. 2ln

( ) x

f xx

δ. 1

( ) 2 xf x

726) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ θπξηόηεηα ηηο

παξαθάησ ζπλαξηήζεηο:

α.

3

3 2

3 6 , 1( )

9 15 , 1

x x xf x

x x x x

β.

3 2

3 2

6 , 1( )

9 2 , 1

x x xf x

x x x

727) Να δείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο

ζπλάξηεζεο 2( ) 3ln 2f x x x x ζηξέθεη ηα

θνίια θάησ ζην δηάζηεκα 0 , .

728) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ a νη παξαθάησ

ζπλαξηήζεηο είλαη θπξηέο ζε όιν ην .

α. 4 3 2 2( ) 6 f x x ax x a

β. 4 3 23( ) 12 5

2 f x x ax x x

729) Να δείμεηε όηη γηα θάζε a ε ζπλάξηεζε

4 3 2 2( ) 2 6 2 3 8 f x x ax a a x x είλαη

θπξηή.

730) Οη ζπλαξηήζεηο f , g είλαη δπν θνξέο

παξαγσγίζηκεο ζην κε ( ) 0 f x θαη ( ) 0 g x

, γηα θάζε x . Αλ ε f ζηξέθεη ηα θνίια άλσ,

λα απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε h f g είλαη

θπξηή ζην .


παξαγσγίζηκε ζην κε ( ) 0 f x , γηα θάζε

x , λα απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε ( )( ) f xg x e είλαη θπξηή ζην .

732) Έζησ : , f a κηα ζπλάξηεζε

ζπλερήο ζην ,a κε ( ) ( ) 0 f a f θαη δπν

θνξέο παξαγσγίζηκε ζην ,a κε ( ) 0 f x ,

γηα θάζε ,x a . Να απνδείμεηε όηη ( ) 0f x ,

γηα θάζε ,x a .


παξαγσγίζηκε θαη θπξηή. Αλ (0) (0) 0 f f , λα

δείμεηε όηη ( ) 0f x , γηα θάζε x .


παξαγσγίζηκε κε (0) (0) 0 f f θαη ( ) 0 f x

, γηα θάζε x . Να δείμεηε όηη:

α. Η f είλαη θνίιε ζην , 0 θαη θπξηή ζην 0 , .

β. Η f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην .


θαη δπν θνξέο παξαγσγίζηκε ζην ,a . Αλ

ππάξρεη , a ώζηε ( ) 0f θαη ε f

ζηξέθεη ηα θνίια θάησ ζην ,a , λα δείμεηε

όηη ( ) ( )

0

f a f

a

.


θνξέο παξαγσγίζηκε. Να δείμεηε όηη ε


( )

g x fx

είλαη θπξηή ζην

0 , αλ θαη κόλν εάλ ε ζπλάξηεζε

( ) ( )h x xf x είλαη θπξηή ζην 0 , .


παξαγσγίζηκε κε 2

( ) ( ) ( )f x f x f x θαη

( ) 0f x , γηα θάζε x . Να δείμεηε όηη:

α. Η ζπλάξηεζε ( ) ln ( )g x f x είλαη θπξηή, γηα θάζε

x .

β. Γηα θάζε 1 2, x x ηζρύεη 1 2

1 2( ) ( )2

x xf f x f x

738) Γίλεηαη παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε

:f ηεο νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε

δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 , 2 θαη 4 , 8 .

Αλ ε f είλαη θπξηή, λα απνδείμεηε όηη:

α. (4) 3f

β. (3) 5f .


:f . Η f είλαη θπξηή θαη ε εθαπηνκέλε

ηεο fC ζην ζεκείν 0, (0)f έρεη εμίζσζε

2 4y x .


β. Να απνδείμεηε όηη ( 3) (3) 8f f .

γ. Να απνδείμεηε όηη ( 2) ( ) 4f x f x γηα θάζε 0x


- 107 -

740) Μηα ζπλάξηεζε : f είλαη δπν θνξέο


3 2

( ) ( ) ( ) 1 xf x f x f x e x . Να

απνδείμεηε όηη: α. ππάξρεη αθξηβώο έλα ζεκείν ηεο γξαθηθήο

παξάζηαζεο ηεο f κε νξηδόληηα εθαπηνκέλε,

β. ε f είλαη θπξηή ζην .

741) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη θπξηή ζην θαη

a , λα απνδεηρζεί όηη

( ) ( ) ( )( ) f x f a f x a , γηα θάζε ,x a .

742) Η ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην

δηάζηεκα Γ θαη ζηξέθεη ηα θνίια πάλσ. Να

απνδείμεηε όηη: α. Γηα θάζε 1 2, x x κε 1 2x x ηζρύεη

1 2

1 2( ) ( ) 22

x xf x f x f .

β. Γηα θάζε *a θαη v , 2v ηζρύεη

2 2 2 3 v v

a a ve e .

γ. 100 200 150100 200 2 150 .

743) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 2 x xf x e e x .

Να δείμεηε όηη:

α. Η f έρεη ειάρηζην ην 0 θαη ε εμίζσζε ( ) 0f x έρεη

κνλαδηθή ξίδα.

β. Η f είλαη θπξηή ζην .

γ. Η f είλαη θνίιε ζην , 0 θαη θπξηή ζην

0 , .

744) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 2 ln f x ax x x ,

0a .

α. Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηα θπξηά θαη θνίια.

β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC

ζην ζεκείν 1, (1) f θαη λα πξνζδηνξίζεηε ην a

ώζηε ε εθαπηνκέλε λα δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.

745) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) lnf x x θαη

( ) lng x x x . Να δείμεηε όηη:

α. Η f ζηξέθεη ηα θνίια θάησ θαη ε g ζηξέθεη ηα

θνίια άλσ ζην 0 , .

β. Οη fC θαη gC έρνπλ θνηλή εθαπηνκέλε ζην θνηλό

ηνπο ζεκείν.

γ. Γηα θάζε 0 , x ηζρύεη ln 1 ln x x x x .

746) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2 1( ) 4 6 xf x x x e


θπξηόηεηα.

β. Να βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν ηεο

1, (1)f .

γ. Να απνδείμεηε όηη 1

2

2

4 6

x xe

x x

γηα θάζε x .


2( ) 2 lnx

f x x x x

, 0x


θπξηόηεηα.

β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC

ζην ζεκείν ηεο 1, (1)f .

γ. Να απνδείμεηε όηη 2ln 2 6 4

xx x x x

γηα

θάζε 0x .


( ) f x x x

κε , θαη . Να δείμεηε όηη:

α. ( ) 5 3

( )

f x

f x x x , γηα θάζε , x .

β. Η ζπλάξηεζε ( ) ln ( )g x f x , ζηξέθεη ηα θνίια

θάησ ζην δηάζηεκα , .

749) Οη ζπλαξηήζεηο , : f g είλαη δπν

θνξέο παξαγσγίζηκεο κε (0) 2f , ( ) ( ) 6f x g x

θαη ( ) ( ) 6 f x g x , γηα θάζε x .

α. Να βξεζνύλ νη ζπλαξηήζεηο f , g .

β. Να δείμεηε όηη νη f , g είλαη θπξηέο.


- 108 -

§12. ςημεία καμπήσ ςυνάρτηςησ

750) Σην παξαθάησ ζρήκα δίλεηαη ε γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο δεύηεξεο παξαγώγνπ ( )f x κηαο

ζπλερνύο ζπλάξηεζεο : f . Αλ ( 1) 0 f

θαη δελ ππάξρεη ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην

ζεκείν 2 , (2)f , ελώ ππάξρεη εθαπηνκέλε ζηα

ζεκεία 3 , ( 3) f θαη 5 , (5)f , ηόηε, λα

βξείηε: α. Τα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε f είλαη θπξηή ή θνίιε.

β. Τηο πηζαλέο ζέζεηο ζεκείσλ θακπήο ηεο f .

γ. Τα ζεκεία ζηα νπνία ε f παξνπζηάδεη θακπή.

751) Σην παξαθάησ ζρήκα δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο δεύηεξεο παξαγώγνπ ( )f x κηαο

ζπλερνύο ζπλάξηεζεο : f . Η f είλαη

παξαγσγίζηκε ζην 1 1 x θαη δελ ππάξρεη ε

εθαπηνκέλε ηεο fC κόλν ζην ζεκείν 5 , (5)f .

Να βξείηε:

α. Τα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε f είλαη θπξηή ή θνίιε.

β. Τα ζεκεία ζηα νπνία ε f παξνπζηάδεη θακπή.

752) Σην δηπιαλό ζρήκα δίλεηαη ε γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο δεύηεξεο παξαγώγνπ ( )f x κηαο

ζπλερνύο ζπλάξηεζεο : f .

α. Αλ ( 3) (2) (8) 0 f f f , λα κειεηήζεηε ηελ

ζπλάξηεζε f σο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα

αθξόηαηα. β. Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε f είλαη θπξηή

ή θνίιε.

γ. Να βξείηε (αλ ππάξρνπλ) ηα ζεκεία ζηα νπνία ε f

παξνπζηάδεη θακπή.

753) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηα θνίια θαη ηα ζεκεία θακπήο ηηο ζπλαξηήζεηο:

α. 3 2( ) 5 3 5 f x x x x β. 3 2( ) 6 12 4 f x x x x

γ. 4 3( ) 4 f x x x δ. 4 3 2( ) 12 48 5 f x x x x

754) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηα θνίια θαη ηα

ζεκεία θακπήο ηηο ζπλαξηήζεηο:

α. 2( ) | |f x x x β. 3 2( ) f x x x

γ. ( ) f x x x , 0 , 2 δ.

2( )

1

xf x

x



α. ( ) xf x xe β.

1

( ) xf x xe

γ. 2( ) 1 xf x x e δ. ( ) lnf x x x

ε. 2( ) ln | |f x x x ζη. 2( ) ln 1 f x x



α. 4( ) 12ln 7 f x x x β. ( ) ln

a xf x

x a, 0a

γ. 3

2 2( )

3

xf x

x a, 0a


23( ) ln

2 4

xf x x x ,

0x . Να κειεηεζεί ε ζπλάξηεζε σο πξνο ηελ

κνλνηνλία ηα αθξόηαηα ηα θνίια θαη ηα ζεκεία

θακπήο.


- 109 -

758) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) ln 2ln 3 f x x x .

Να κειεηεζεί ε ζπλάξηεζε σο πξνο ηελ

κνλνηνλία ηα αθξόηαηα ηα θνίια θαη ηα ζεκεία θακπήο.

759) Να κειεηεζεί ε ζπλάξηεζε 2( ) | | ( 1) f x x x x σο πξνο κνλνηνλία ,

αθξόηαηα, θνίια θαη ζεκεία θακπήο.

760) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3 2 2( ) 4 21 24 2 6 ln f x x x x x x . Να βξείηε ηα

δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε f είλαη θπξηή ή θνίιε

θαη ηα ζεκεία θακπήο ηεο fC , αλ ππάξρνπλ.

761) Να κειεηεζεί ε ζπλάξηεζε 4 3( ) 2 1 f x ax x , 0a σο πξνο κνλνηνλία,

αθξόηαηα, θνίια θαη ζεκεία θακπήο.


4 3

2 2 3 22 5( ) 2 7 5

3 3 2

x axf x a a x a x a

, a . Να δείμεηε όηη γηα θάζε a ε fC δελ

έρεη ζεκεία θακπήο.

763) Γηα πνηα ηηκή ηνπ a ε ζπλάξηεζε

3 2 2 2( ) 1 f x x a a x ax a παξνπζηάδεη

θακπή ζην 0 2x .

764) Να βξεζνύλ νη ηηκέο ησλ , a ώζηε ε

ζπλάξηεζε 3 2( ) f x ax x λα έρεη ζεκείν

θακπήο ην 1, 3 .

765) Αλ 2

2( ) ln2

ax

f x x , λα βξεζνύλ νη

, a ώζηε ε fC λα έρεη ζεκείν θακπήο ην

1, 5 .

766) Να βξεζνύλ νη ηηκέο ησλ κεηαβιεηώλ *, a κε , 0a ώζηε ε ζπλάξηεζε

2

2

1( )

2

axf x

x λα έρεη ζεκείν θακπήο ην

1, 2 .

767) Αλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο 4 3 2( ) 2 f x x ax x , , a δελ έρεη

ζεκεία θακπήο, λα δείμεηε όηη 23 8a .

768) Να απνδεηρζεί όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε

ηεο ζπλάξηεζεο 3 2( ) f x ax x x κε

0a θαη 2 3 a δέρεηαη ζην ζεκείν θακπήο

ηεο νξηδόληηα εθαπηνκέλε.

769) Αλ ε ζπλάξηεζε 3 3( ) ( ) f x x a ax , 0a

, παξνπζηάδεη ζην 0 x a ζεκείν θακπήο, λα

απνδεηρζεί όηη 4

2 12

4

a a

a .

770) Αλ 21( ) 2 xf x e x θαη Μ, Ν είλαη ηα ζεκεία

θακπήο ηεο fC , λα βξεζεί ν ώζηε ε

επζεία ΜΝ λα είλαη θάζεηε ζηελ επζεία

( ) : 5 2 4 0x y .


4 3 2( ) 2 5f x x x a x a . Να βξεζεί ν a

ώζηε νη εθαπηόκελεο ηεο fC ζηα ζεκεία θακπήο

ηεο λα είλαη θάζεηεο.

772) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 3 2( ) 2 3 f x x ax

θαη 2( ) 1 4 1 g x x a x . Να βξεζνύλ νη

, a αλ είλαη γλσζηό όηη ην ζεκείν θακπήο

Α ηεο fC θαη ην ζεκείν Β πνπ αληηζηνηρεί ζην

ηνπηθό αθξόηαην ηεο g ζπκπίπηνπλ.

773) Αλ ε ζπλάξηεζε 5 4 2( ) 1 f x x ax x κε

, a έρεη 7 ,1 fD θαη παξνπζηάδεη ζηα

1 1 x θαη 2 0x ζεκεία θακπήο, ηόηε λα

βξεζνύλ ηα , a θαη ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο

ζπλάξηεζεο.


παξαγσγίζηκε ζην ,a θαη γηα θάζε

,x a ηζρύεη 2 2( ) ( ) 1 f x xf x x . Να

δείμεηε όηη ε fC δελ έρεη ζεκεία θακπήο.

775) Αλ ε : f ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε ( ) 2( ) 1 f x xf x e x x e , γηα θάζε x , λα


α. ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f δελ έρεη ζεκεία

θακπήο, β. ε f έρεη κνλαδηθή ζέζε ηνπηθνύ αθξνηάηνπ.


- 110 -

776) Έζησ ε ζπλάξηεζε f δπν θνξέο

παξαγσγίζηκε ζην . Αλ

2 21 ( ) ( ) 0 x f x xf x , γηα θάζε x θαη

( ) 0f x , λα απνδείμεηε όηη έρεη έλα αθξηβώο

ζεκείν θακπήο.


παξαγσγίζηκε θαη γηα θάζε x ηζρύεη

2 ( )2 3 ( ) 0 f xx x f x xe . Να δείμεηε όηη ε

fC έρεη αθξηβώο έλα ζεκείν θακπήο.

778) Η ζπλάξηεζε : f έρεη ζπλερή

δεύηεξε παξάγσγν θαη γηα θάζε x ηζρύεη

2 ( ) 3 0 xf x x . Να δείμεηε όηη ην ζεκείν

0 , (0)f δελ κπνξεί λα είλαη ζεκείν θακπήο ηεο

fC .

779) Έζησ ε δπν θνξέο παξαγσγίζηκε

ζπλάξηεζε : f . Υπνζέηνπκε όηη ε f

είλαη θπξηή θαη όηη ε f δελ έρεη ζεκεία θακπήο.

Να δεηρζεί όηη ε f είλαη 1 – 1.

780) Αλ ( ) 2 xf x x e κε , λα δείμεηε

όηη ε fC έρεη έλα κόλν ζεκείν θακπήο ηνπ

νπνίνπ λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν όηαλ * .

781) Έζησ ε ζπλάξηεζε ( )

x

x af x

e κε a .

α. Να απνδείμεηε όηη ε fC έρεη κόλν έλα ζεκείν

θακπήο Κ ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ.

β. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ Κ, θαζώο ην a

δηαηξέρεη ην .


( )ln

f xx a

, a .

Να βξείηε ηα ζεκεία θακπήο ηεο fC θαη λα

δείμεηε όηη βξίζθνληαη πάλσ ζε ζηαζεξή επζεία

όηαλ ην a δηαηξέρεη ην .

783) Αλ ( )

x

f x x e , λα δείμεηε όηη γηα θάζε

* ε fC έρεη αθξηβώο έλα ζεκείν θακπήο.

Πνηνο είλαη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ

θακπήο όηαλ ην δηαηξέρεη ην * .

784) Να δείμεηε όηη ηα ζεκεία θακπήο ηεο

ζπλάξηεζεο ( ) x

f xx

βξίζθνληαη πάλσ ζηελ

θακπύιε κε εμίζσζε 4

4

4

y

x.


παξαγσγίζηκε. Αλ ην 0 0, ( ) x f x είλαη ζεκείν

θακπήο ησλ ζπλαξηήζεσλ f θαη 2f , λα

απνδείμεηε όηη ε fC θαη ε 2fC δέρνληαη

νξηδόληηα εθαπηνκέλε ζην ζεκείν Μ.

786) Θεσξνύκε ζπλάξηεζε : f ηέηνηα,

ώζηε (3) ( ) 0f x , γηα θάζε x .

α. Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f έρεη

ην πνιύ έλα ζεκείν θακπήο. β. Να απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη επζεία πνπ λα

εθάπηεηαη ζε δπν δηαθνξεηηθά ζεκεία 1 1, ( ) x f x θαη

2 2, ( ) x f x ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f .


2

1( ) f x ax

x ,

0a . Να δείμεηε όηη ε f δελ κπνξεί λα έρεη

ηαπηόρξνλα αθξόηαηα θαη ζεκεία θακπήο.


, δπν θνξέο παξαγσγίζηκε ζην 3 θαη

ηζρύνπλ (0) 5f , (4) 6f

(2) 0 f , (4) 0 f , (3) 4 f

( ) 0 f x αλ , 3 x θαη ( ) 0 f x αλ

3 , x

( )lim

x

f x θαη ( )lim

x

f x

α. Να βξείηε ηα ηνπηθά αθξόηαηα θαη ηα ζεκεία θακπήο ηεο f .

β. Να θάλεηε κηα πξόρεηξε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f .

789) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) ln f x x x .

α. Να κειεηεζεί ε ζπλάξηεζε f σο πξνο ηα θνίια θαη

ηα ζεκεία θακπήο. β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην ζεκείν

θακπήο. γ. Να δείμεηε όηη:

i. 1 ln x x x , γηα θάζε 0 ,1x .

ii. 1 ln x x x , γηα θάζε 1, x .


- 111 -

790) Έζησ παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε : f

ηέηνηα , ώζηε 3 ( ) 6 ( ) 3 2012 f x f x x , γηα θάζε

x .

α. Να κειεηεζεί ε ζπλάξηεζε f σο πξνο ηελ

κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα. β. Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα βξεζεί

ε 1f .

γ. Να βξεζεί ε εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο

ηεο 1f ζην ζεκείν 10 , (0) f θαη λα απνδείμεηε όηη

«δηαπεξλά» ηελ θακπύιε ηεο 1fC .

791) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f δπν θνξέο

παξαγσγίζηκε γηα ηελ νπνία ηζρύεη ( ) 0 f x γηα

θάζε x θαη ε ζπλάξηεζε g ηέηνηα ώζηε

( ) ( ) 3 ( )g x f x f x γηα θάζε x . Να δείμεηε όηη

αλ ε fC έρεη ζεκείν θακπήο ην 0 0, ( ) x f x

ηόηε ε εθαπηνκέλε ηεο gC ζην ζεκείν

0 0, ( ) x g x είλαη θάζεηε ζηελ επζεία

: 3 6 0 x y .

792) Η ζπλάξηεζε f είλαη ηξεηο θνξέο

παξαγσγίζηκε ζην δηάζηεκα Γ θαη γηα ην εζσηεξηθό ζεκείν 0 x ηζρύνπλ 0( ) 0 f x θαη

(3)

0( ) 0f x . Να δείμεηε όηη ην 0x είλαη ζέζε

ζεκείνπ θακπήο ηεο f .

§13. κανόνεσ De L’ Hospital


α. 0

1lim

x

x

e

x β.

2

0 1lim

xx

x

e x γ.

30

lim

x

x x

x

δ. 1

ln

1lim

x

x

x ε.

20

1lim

x

x x x

x

ζη.

1

1ln

1lim

x

xx

x

δ.0

1lim

x

x

e

x ε.

0

2lim

x x

x

e e x

x x ζ.

2 2

lim x

x

x

η.2

1

20

1lim

x

x

ex

ηα. 0

lim

x x

x

e e

x x

ηβ.

0

1lim

x

x

a

x


α. 2

1lim

x

x

e x

x β.

lnlimx

x

x

γ. 2

lnlimx

x

x δ.

2

lnlim

x

x

e x

x

ε. 2

3 2

lnlim x

x x

x x x ζη.

3 2ln

lnlim

x

x x

x x

δ. 2

2

ln 1

1lim

x

x x

x x ε.

ln 1

ln 2lim

x

x

x

795) Να ππνινγίζεηε ηα παξαθάησ όξηα:

α.

3

1lim

x

x

e x

x

β.

10

lnlimx x

x

e

γ. limx x

x xx

e e

e e

δ. lim

x

x x

x x


α. 3

0

lnlimx

x x β. lim

x

x

xe

γ. 3

lim

x

x

x e δ. 0

ln ln 1lim

x

x x


- 112 -


α. 2lnlim

x

x

x e β. lnlim

x

x x

γ. 2

lim

x

x

x e δ.

1

1 1

1 lnlim

x x x

ε. 1lim

x

x x ζη.

2

2 1 1lim

x

x

x e

δ.2

0lim

x

x

x e

x x

ε. 2 1lim

x

x x


α. 0

lim

x

x

x β.

ln

1

1limx

x

x

γ. 0

limx

x

x

δ. 1

lim

x

x x ε.

12

lim x

x

x x

ζη. 1

1

1lim

x

x

x

δ. lim

x

x

x ε. ln

0

1lim

x

x

x ζ.

11lim

x

x x

η. 0

lnlimx

x

x

ε. 1

0lim x

x

x

ε. 1

22lim

x x x

x

e

799) Να ππνινγίζεηε ηα παξαθάησ όξηα:

α. lnlimx

x

e x x

β. ln 1 2limx

x

e x

800) Να ππνινγηζζεί ην 2

lim

xx

x

e θαη κεηά ην

lim

v

xx

x

e κε *v .

801) Να ππνινγηζζεί ην ln

limx

x

x θαη κεηά ην

(ln )lim

v

x

x

x κε *v .


1 , 02

( )

, 0

x

xx

f xxe x

xx x x

. Να βξείηε ην (0)f .

803) Να βξείηε ηελ παξάγσγν ηεο ζπλάξηεζεο 2 ln , 0

( )0 , 0

x x xf x

x.

804) Να βξείηε ηα , a ώζηε ε ζπλάξηεζε

2

, 0( )

ln , 0

xa xe xf x

x x x x

λα είλαη

παξαγσγίζηκε.


2ln , 0

( ) 2, 0

1

ax e x

f x xx

x

.

α. Να βξείηε ηνλ ζεηηθό αξηζκό a ώζηε ε f λα είλαη

παξαγσγίζηκε ζην .

β. Γηα ηελ ηηκή ηνπ a πνπ βξήθαηε λα γξάςεηε ηελ

εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο

ηεο f ζην ζεκείν κε 0 0x .

806) Η ζπλάξηεζε f λα είλαη παξαγσγίζηκε ζην

θαη γηα θάζε x ηζρύεη 3 ( ) 3 ( ) 3f x f x x x . Να ππνινγίζεηε ην όξην

20

( )lim

x

f x

x.


παξαγσγίζηκε θαη ε ( )f x είλαη ζπλερήο. Να

δείμεηε όηη γηα θάζε x ηζρύεη

2

0

2 ( )( )lim

h

f x h f x f x hf x

h.

808) α. Η ζπλάξηεζε : f είλαη

παξαγσγίζηκε κε ζπλερή παξάγσγν. Να δείμεηε

όηη

0

2 3( )

5lim

h

f x h f x hf x

h.

β. Να βξείηε ηελ παξάγσγν ηεο ζπλάξηεζεο

( ) xg x x .

γ. Να ππνινγίζεηε ην όξην

2 3

0

2 3

5lim

h h

h

h h

h

.

809) Να βξεζεί ν a ώζηε ε ζπλάξηεζε

3 23 1 , 0

( ) ln 1, 0

1

x ax ax a x

f x x xx

x

λα είλαη

ζπλερήο ζην ζεκείν 0 0x .


- 113 -


1, 0

( )

1 , 0

xex

f x x

x

.



β. Η f είλαη παξαγσγίζηκε θαη λα βξείηε ηελ

παξάγσγν ηεο. γ. Η f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην .


: 1,f γηα ηελ νπνία ηζρύεη

3( ) ( ) ln 1 1xf x f x x e γηα θάζε 1x .

Να βξείηε:

α. ηηο ηηκέο (0)f θαη (0)f ,

β. ην όξην 2

0

( )lim

x

f x

x

.


:f κε ζπλερή πξώηε παξάγσγν, γηα ηελ

νπνία ηζρύνπλ 2

0

(0)1

lim tt

tf

e t

θαη

1(0)

lnlim

t

tt

ef

e t

. Να βξείηε:

α. ηελ εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν ηεο 0, (0)f ,

β. ην όξην 2

0

( ) 3

1lim x

x

f x x

e

.


0 , θαη ηζρύνπλ ( ) ( )lim

x

xf x f x a ,

*a , ( )lim

x

f x . Να δείμεηε όηη:

α. ( )lim

x

f x a

β. ( ) 0lim

x

xf x

814) Αλ ln 5 f x x , γηα θάζε 0 , x

θαη ε fC δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 5 , ηόηε:

α. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f θαη ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο.

β. Να βξεζεί ην όξην ( )

( )limx

f x

g x κε ( ) 3 11 xg x e x .

815) Αλ 2( ) 8 xf x e , x , 0

( ) 6lim

x

f x θαη

( )3lim

x

f x

x, ηόηε:

α. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .

β. Να βξεζεί ην όξην ( )

( )limx

f x

g x κε ( ) 3 5 xg x e x .

§14. αςύμπτωτεσ

816) Να βξεζνύλ νη θαηαθόξπθεο θαη νη νξηδόληηεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο

2

2

3 2 5( )

4 4

x xf x

x x.


2

2 5 6( )

1

x x xf x

x . Να βξεζνύλ νη

θαηαθόξπθεο θαη νη πιάγηεο αζύκπησηεο ηεο fC .

818) Να βξείηε ηηο αζύκπησηεο ησλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ ησλ ζπλαξηήζεσλ:

α. 1

( ) 3 f x xx

β. 3

2( )

x xf x

x x

γ. 2 | |

( )2

x xf x

x

δ. ( ) lnf x x x

ε. 2( ) ln 1 f x x ζη. 3( ) ln 2 xf x e

819) Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο γξαθηθήο

παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο 2( ) 4 5 f x x x .

γ. ηηο αζύκπησηεο ηεο fC .


: 5 , 7 7 , f κε 2

2

7( )

12 35

x xf x

x x.

Να πξνζδηνξηζηνύλ νη αζύκπησηεο.

821) Γηα κηα ζπλάξηεζε : f ηζρύεη όηη

3 2

2

2 3 12 3 ( )

x xx f x

x, γηα θάζε *x . Να

εμεηαζηεί αλ ε fC έρεη πιάγηα αζύκπησηε.

822) Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο 2| 1|

( )

x

f xx

.


- 114 -


5( ) 2 3

1

x

x

ef x x

e θαη ( ) 3 2

xg x x

x

. Να

βξεζνύλ νη πιάγηεο αζύκπησηεο ησλ fC θαη gC .


( )1

x x xf x

x

Να βξείηε:

α. ηελ αζύκπησηε ( ) ηεο fC ζην

β. ηα ζεκεία ηνκήο ηεο ( ) θαη ηεο fC

825) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 2017xf x e x .


α. ε fC έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην

β. ε fC ηέκλεη ηελ παξαπάλσ αζύκπησηε ζε άπεηξα

ζεκεία.

826) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( )x

f x xx

.

α. Να βξείηε ηελ αζύκπησηε ( ) ηεο fC ζην .

β. Να απνδείμεηε όηη ε fC θαη ε αζύκπησηε ( ) έρνπλ

άπεηξα θνηλά ζεκεία.

827) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : 0 ,f κε

1

3( ) 5x xf x e x . Να απνδείμεηε όηη ε fC :

α. έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε,

β. δελ έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε.


:f γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ 1

(1)2

f θαη

2( ) 1 2 1 ( )f x x x f x γηα θάζε x . Να

βξείηε:


β. ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f ,

829) α. Να βξείηε ηηο αζύκπησηεο ηεο γξαθηθήο

παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο

2

4, 0

2( )

4 , 0

xx

xf x

x x x

.

β. Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ

ζρεκαηίδνπλ νη αζύκπησηεο.


( )

axf x

x a, 0a .

α. Να βξείηε ηηο αζύκπησηεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο

ηεο f .

β. Αλ Μ είλαη ζεκείν ηνκήο ησλ αζύκπησησλ, λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ ζεκείνπ Μ.



15 ( ) 5 x f x x

x, γηα θάζε x .

Να δείμεηε όηη ε fC έρεη πιάγηα αζύκπησηε.


νπνία ηζρύεη 2 3 25 3 ( ) 2 7 x x x f x x x , γηα

θάζε x . Να δείμεηε όηη ε fC έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ θαηαθόξπθε αζύκπησηε.

833) Να βξεζεί ν a ώζηε ε γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο 2 2

2

9( )

3

x ax af x

x x λα έρεη κνλαδηθή

αζύκπησηε ηελ επζεία : 3x .


23 2 1 3( )

3

x a xf x

x. Να βξείηε ην a

ώζηε ε επζεία : 3 1 y x λα είλαη αζύκπησηε

ηεο fC ζην .


( )2

ax xf x

x

, κε

,a . Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ a θαη αλ ε

επζεία ( ) : 2 1y x είλαη αζύκπησηε ηεο fC

ζην .


21 5( )

3

a x xf x

x

κε , , a .

Να βξεζνύλ νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί a , θαη ώζηε

ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f λα έρεη σο αζύκπησηεο

ηηο επζείεο κε εμηζώζεηο 2 x θαη 3y .

837) Να ππνινγηζηνύλ ηα , a ώζηε ε

γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο 2 2 2 2( ) 9 1 3 f x a x x x a x λα έρεη αζύκπησηε

γηα x ηελ επζεία 0 x y .


- 115 -

838) Να ππνινγηζηνύλ ηα , a ώζηε ε

γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο 2( ) 4 3 f x x x x λα έρεη αζύκπησηε ζην

ηελ επζεία : y ax .

839) Να δεηρζεί όηη αλ ε 23 1

( )2

xf x

x έρεη

πιάγηα αζύκπησηε ηελ επζεία y x ηόηε

ηζρύεη 2 2

2 .

840) Αλ ε επζεία 2 5 y x είλαη αζύκπησηνο

ηεο fC ζην , ηόηε:

α. Να βξεζνύλ ηα όξηα ( )

limx

f x

x θαη ( ) 2lim

x

f x x .

β. Να βξεζεί ν αλ ηζρύεη

2

( ) 41

( ) 2 3lim

x

f x x

xf x x x

.


νπνία ηζρύεη 2( ) 3 4lim

x

xf x x x .

α. Να βξείηε ηελ αζύκπησηε ηεο fC ζην .

β. Αλ ε f είλαη άξηηα λα βξείηε ηελ αζύκπησηε ηεο

fC ζην .

842) Γίλεηαη ζπλάξηεζε :f ηεο νπνίαο ε

γξαθηθή παξάζηαζε έρεη αζύκπησηε ζην Η f

είλαη θπξηή θαη ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην

ηελ επζεία 2 1y x . Να ππνινγίζεηε ην όξην

2 3

( ) ln 1

( ) 2lim

x

x

f x e

x f x x

.

843) Η επζεία : 3 2 y x είλαη αζύκπησηνο ηεο

fC ζην . Να βξεζεί ν ώζηε

2

2

3 ( ) 9 165

( ) 3 4lim

x

f x x x x

xf x x x

.

844) Αλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο

f έρεη ζην αζύκπησηε ηελ επζεία κε

εμίζσζε 4 3 y x , λα ππνινγηζηεί ην όξην

2

2

2 1 ( ) 8 2

( ) ( ) 1 4 3lim

x

x f x x x x

f x x f x x

.

845) Γίλεηαη ε παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε

: f γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

( )lim

x

f x , ( )lim

x

f x θαη ( )

2( )

1

f xf x

e, γηα

θάζε x κε (0) 1 f .

α. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο

αύμνπζα θαη ζηξέθεη ηα θνίια θάησ.

β. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο θαη λα απνδείμεηε όηη έρεη κνλαδηθή ξίδα ηελ 0x .

γ. Να απνδείμεηε όηη ηζρύεη ( )( ) 2 1 f xf x e x , γηα

θάζε x .

δ. Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη , λα βξεζεί ε

αληίζηξνθε ηεο θαη όηη νη fC , 1fC έρνπλ θνηλή

εθαπηνκέλε ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ.

ε. Να βξεζεί ε πιάγηα αζύκπησηε ηεο fC ζην θαη

λα απνδείμεηε όηη δελ έρεη πιάγηα αζύκπησηε ζην .

§15. μελέτη


846) Να θάλεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο : f αλ γλσξίδεηαη

όηη:

( 2) 8 f , (0) 4f , (2) 0f

(2) ( 2) 0 f f

( ) 0 f x , όηαλ | | 2x θαη ( ) 0 f x , όηαλ

| | 2x

( ) 0 f x , όηαλ 0x θαη ( ) 0 f x , όηαλ

0x

847) Να θάλεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε κηαο

ζπλερνύο ζπλάξηεζεο : 1, f αλ

γλσξίδεηαη όηη:

(3) 1f , (5) 4f , (7) 7f , (9) 5f

(3) (7) 0 f f

( ) 0 f x , όηαλ 1, 5x , ( ) 0 f x , όηαλ

5 , 9x , ( ) 0 f x , όηαλ 9 , x

(5) (9) 0 f f

1

( )lim

x

f x , ( ) 0lim

x

f x .


- 116 -

848) Να ζρεδηάζεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε κηαο

ζπλάξηεζεο : f όηαλ γηα θάζε x

ηζρύνπλ: α. ( ) 0f x , ( ) 0 f x θαη ( ) 0 f x .

β. ( ) 0f x θαη ( ) 0 f x


παξαγσγίζηκε ζην * . Σην παξαθάησ ζρήκα

δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο παξαγώγνπ f .

α. Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα κνλνηνλίαο ηεο f .

β. Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε f είλαη

θπξηή ή θνίιε.

γ. Να βξείηε ηα θξίζηκα ζεκεία ηεο f θαη ηα ζεκεία

ηνπηθώλ αθξνηάησλ. δ. Αλ (0) 1f , λα θάλεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε

(κηαο ππνζεηηθήο ζπλάξηεζεο) πνπ λα ηθαλνπνηεί ηηο

παξαπάλσ ζπλζήθεο .

850) Να κειεηεζνύλ θαη λα γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ:

α. 3 2( ) 6 9 2 f x x x x β. 4 3( ) 4 11 f x x x

γ. 2 2

( )1

x xf x

x δ.

3

2

1( )

1

xf x

x

ε. ( ) xe

f xx

ζη. 1

( ) f x xx

δ. 2( ) 2 2 2 xf x e x x ε.

ln( )

xf x

x

851) Αλ ε ζπλάξηεζε

( ) lnf x a x e x e ax , παξνπζηάδεη ηνπηθό

αθξόηαην ζην ζεκείν 0 x b κε 0a θαη

, b e , λα κειεηεζεί θαη λα παξαζηαζεί

γξαθηθά ε ζπλάξηεζε ( )1

xbe xg x

e

ζην

δηάζηεκα 0 , .

852) α. Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε *: f

ηέηνηα ώζηε (1) 1f , ( 1) 2 f θαη γηα θάζε

*x ηζρύεη 1

( ) f xx

.

β. Να παξαζηαζεί γξαθηθά ε ζπλάξηεζε f .

853) α. Να θάλεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο

ζπλάξηεζεο 3( ) 3 1 f x x x .

β. Να βξείηε ην πιήζνο ησλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο

3 3 1 x x , γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ

.

854) Να βξείηε ην πιήζνο ησλ ξηδώλ ηεο

εμίζσζεο 3 22 3 5 0 x x a , γηα ηηο δηάθνξεο

ηηκέο ηνπ a .


( ) ln ln 1 ln2 f x x x .

α. Να ππνινγηζζνύλ ηα όξηα ζηα άθξα ηνπ πεδίνπ

νξηζκνύ ηεο. β. Να γίλεη ν πίλαθαο κεηαβνιώλ ηεο f .

γ. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο f

ζην ζεκείν κε 0 1x .

δ. Να εμεηάζεηε αλ νξίδεηαη ε ζπλάξηεζε 1f θαη αλ

λαη λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο.

ε. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο 1f

ζην ζεκείν κε 0 0x .

ζη. Να απνδείμεηε όηη νη επζείεο , θαη y x

δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείνπ , ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ.

δ. Να θάλεηε γξαθηθή παξάζηαζε ησλ f , 1f ,

θαη .

- 117 -

2016-2017

ολοκληρωτικός λογισμός



ολοκληρωτικός λογισμός κεφάλαιο 3

- 118 -

§1. παράγουςα ςυνάρτηςη

Παραηήρεζε: Σηελ εύξεζε ησλ παξαγνπζώλ ζηηο

παξαθάησ ζπλαξηήζεηο, όπνπ ππάξρνπλ πεξηνξηζκνί ελλννύληαη.

1) Να βξεζνύλ νη παξάγνπζεο ησλ παξαθάησ


α. 2( ) f x x β. 5( ) f x x γ.

1

3( ) f x x

δ. 2

1( ) f x

x ε. ( ) f x x ζη. 3( ) f x x

δ. 3 2( ) f x x ε. ( ) f x x x

2) Να βξεζνύλ νη αξρηθέο ησλ παξαθάησ


α. 3 2( ) 2 5 f x x x x β. 5 3( ) 2 5 1 f x x x x

γ. 3 2

2

1( )

x x xf x

x δ.

8

4

10 3( )

xf x

x

ε. 2

1 1( ) 1 f x

x x ζη.

3

1( )

xf x

x

δ. 1

( ) xf x ex

ε. 2

1 1( ) 3 xf x

xx

3) Να βξεζνύλ νη παξάγνπζεο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ:

α. ( ) f x x x β. ( ) 10 x xf x x e

γ.

31

( )

x

f xx

δ. 2 2

1 1( ) f x

x x



α. 2

( ) 2 f x x β. 3

2( ) 2 1 f x x x x

γ. 4

( ) 5 3 f x x δ. 2( ) 6 5 3 5 f x x x x

ε. 4( ) f x x x ζη. 3( ) f x x x

δ. 2

( ) x

f xx

ε.

3

2( )

xf x

x

ζ. ( ) f x x x η.

3ln( )

xf x

x



α. 1

( )2

f xx

β. 2

( )3 2

f xx

γ. 2

2 3( )

3 2

xf x

x x δ.

2

1( )

2 2011

xf x

x x

ε. ( )1 2

xf x

x

ζη.

1( )

lnf x

x x

δ. ( )1

x

x

ef x

e ε. ( )

1

x

x

ef x

e

ζ. ( )

x x

x x

e ef x

e e η. ( )

x xf x

x x

ηα. ( ) f x x ηβ. ( ) f x x


α. 3 1( ) xf x e β. 2 4( ) 2 1 x xf x x e

γ. ( ) axf x e δ. ( ) xf x x e

ε. ( ) 4 xf x x e ζη. 2 2010( ) xf x xe


α. ( ) 3 5 f x x β. 2( ) 1 2 f x x x x

γ. 2( ) 1 f x x x δ. ( ) 2 1 f x x

ε. 2 3( ) 1 f x x x ζη. 2( ) 2 1 f x x x x



α. 1

( )1

f xx

β. 2

2 3( )

3 9 19

xf x

x x

γ. 2

( )1

xf x

x δ.

2

3( )

5

xf x

x

ε. 1

( )

x

x

ef x

x e ζη.

3

3( )

1

x

x

ef x

e



α. 3( ) 2 xf x β. ( ) xf x a

γ. 32( ) 2 xf x x δ.

22 4 5( ) 1 3 x xf x x

ε. 1

2

1( ) 5 xf x

x

ζη. 2 2( ) 1 4 x xf x x


- 119 -



α. 2

4( )

2f x

x β.

2 2

2 1( )

xf x

x x

γ.

2

2 3( )

1

xf x

x δ.

2

2( )

3f x

x

ε. 2 2

5( )

1

xf x

x ζη.

2( )

1

x

x

ef x

e



α. 2 2

1( )

f x

x x β.

1( )

f x

x x

γ. 2 3

2( )

x xf x

x

δ.

2 2

2 2( )

x xf x

x x

ε. 2( ) f x x ζη. 2( ) f x x

δ. 2( ) f x x ε. 2( ) f x x

Παραηήρεζε: Επεηδή

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x f x g x

όηαλ ζέισ

παξάγνπζα ηεο παξαπάλσ κνξθήο ηόηε :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

h x f x g x g x f x f x g x

h x f x g x c


ζπλαξηήζεσλ: α. ( ) f x x x x β. 2( ) 2 x xf x xe x e

γ. 2 3( ) 3 f x x x x x δ. ( )

x

x xf x

e

ε. ( ) ln x

f x x xx

ζη.

1( ) ln

xf x e xx

Παραηήρεζε: Επεηδή 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

f x g x g x f x f x

g xg x

όηαλ ζέισ παξάγνπζα ηεο παξαπάλσ κνξθήο ηόηε:

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

f x g x g x f x f x f xh x H x c

g x g xg x



α. 21

( )1 2

xf x

x

β.

2

1( )

1

f x

x

γ.2

( )

x xe x e x

f xx

δ.

2 3

2

3( )

x x x xf x

x

ε. 2

( )

x x x

f xx

ζη.

2( )

x x xf x

x



α.2

( ) x

f xx

β.

2

2( )

1

xf x

x

γ.

2

( )

x x

x x

a bf x

a b

δ.1

( )

x

xf x

e

ε. 1

( )1

x

x

ef x

e ζη.

3( )

x

xf x

e

15) Να βξείηε ηηο αξρηθέο ηεο ζπλάξηεζεο

( ) 2 | | 1 f x x , x .

16) Να βξείηε ηηο αξρηθέο ησλ παξαθάησ


α. 23 , 0

( )2 , 0

x xf x

x x

β. ( ) 2 1 f x x


α. 3 2( ) mf x x , m β. 1( ) mf x mx , *m

γ. ( ) m

mf x

x , *m

18) Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε : 0 , f ,

όηαλ ε fC δέρεηαη εθαπηνκέλε ζε θάζε ζεκείν

ηεο , ( ) x f x κε θιίζε

2

1 xx e

x θαη δηέξρεηαη

από ην ζεκείν 1, 1 e .

19) Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε f ζηηο παξαθάησ

πεξηπηώζεηο:

α. 2( ) 3 1 f x x x

θαη (0) 1f

β. 2( ) 1 xf x x e

θαη (0) 0f

γ. ( ) 2 1 f x x

θαη (1) 1 f , (0) 2f δ.

2

1( ) f x

x , 0x

θαη (1) (1) 1 f f

ε.

1

2( )

xef x

x , 0x

θαη (1) 2f

ζη. 2

2( )

1

xf x

x , 1x

θαη ( 2) 1f

20) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο ζπλάξηεζεο

: 0 , f γηα ηελ νπνία ηζρύεη

2 2 1 f x x , 0x θαη (1) 2f .


- 120 -

21) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : 0 , f κε

3

2( ) f x

x, 0x . Αλ ε επζεία : 2 1 y x είλαη

αζύκπησηε ηεο fC ζην , λα βξείηε ηελ f .

22) Η ζπλάξηεζε : 0 , f είλαη δπν θνξέο

παξαγσγίζηκε θαη ηζρύεη 2( ) 2 f x x , γηα θάζε

0 , x . Αλ ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην

ζεκείν 3 , 220 έρεη θιίζε 10, λα βξεζεί ε

ζπλάξηεζε f .

23) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο

: , 0 f γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ

( 1) 1 f θαη 3( ) ( ) xxf x f x x e , γηα θάζε

, 0 x .

24) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : 0 , f γηα ηελ

νπνία ηζρύεη ( ) 2ln f x x , γηα θάζε 0 , x .

Αλ ε fC έρεη ζην ζεκείν 1

1 ,2

νξηδόληηα

εθαπηνκέλε, λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f θαη λα

θάλεηε ηνλ πίλαθα κεηαβνιώλ ηεο.

25) Έζησ ζπλάξηεζε : 0 , f κε ( ) 0f x

γηα θάζε 0 , x θαη 2( ) ( ) 0 f x x f x γηα

θάζε 0x . Αλ 1

(1) fe

, λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο

f .

26) Έζησ κηα ζπλάξηεζε : 0 ,2

f

γηα ηελ


1 ( )( )

f xf x

x, 0 ,

2

x

θαη

(0) 3 f . Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .

27) Έζησ ζπλάξηεζε : 0 , f κε (1) 1f ,

(1) 2 f ε νπνία είλαη δπν θνξέο παξαγσγίζηκε

θαη ηζρύεη, γηα θάζε 0x ε ζρέζε 2 ( ) 2 ( ) x f x f x .

α. Να δείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο.


28) Έζησ κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε : f θαη

F κηα παξάγνπζα ηεο f ζην κε ( ) 0 F x ,

x . Αλ γηα θάζε x ηζρύεη ( ) 2 F x F x

, λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε ( ) 0f x .

29) Έζησ ζπλάξηεζε : f θαη F κηα αξρηθή

ηεο ζην .

α. Αλ ε F δελ είλαη αληηζηξέςηκε, λα δείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ

0 x ηέηνην ώζηε

0( ) 0f x .

β. Αλ ε F είλαη άξηηα, λα δείμεηε όηη ε εμίζσζε ( ) 0f x έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα.

30) Αλ ε F είλαη αξρηθή ηεο : f θαη ηζρύεη

22 4 6 2 F x F x x , γηα θάζε x λα

βξεζνύλ νη ηηκέο (0)f θαη (2)f .


21 1 F x F x x , γηα θάζε x , λα

δεηρζεί όηη (0) 1f θαη (1) 1 f .


2 23 2 1 3 F x x F x x γηα θάζε x ,

λα βξεζνύλ νη ηηκέο (0)f θαη ( 1)f .

33) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f θαη F κηα αξρηθή

ηεο κε ηελ ηδηόηεηα 2( ) ( ) xF x f x e , γηα θάζε

x . Αλ (0) 1f λα βξεζεί ε f .

34) Η ζπλάξηεζε F είλαη κηα παξάγνπζα ηεο f

ζην θαη γηα θάζε x ηζρύεη

2 ( )( ) 2 1 x x F xf x x e . Αλ (1) 3f , λα βξείηε

ηελ ζπλάξηεζε f .

35) Έζησ κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε : f θαη

F κηα παξάγνπζα ηεο f ζην κε ( ) 0 F x ,

x . Αλ γηα θάζε x ηζρύεη ( ) 2 F x F x

, λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε ( ) 0f x .

36) Η ζπλάξηεζε F είλαη κηα παξάγνπζα ηεο 2

( ) xf x e ζην . Να δείμεηε όηη ( )lim

x

F x


- 121 -

37) Η ζπλάξηεζε : f κε 1

12

f έρεη

αξρηθή ζπλάξηεζε ηελ F θαη γηα θάζε x

ηζρύεη (1 ) ( ) 1F x f x . Να απνδείμεηε όηη:

α. ( ) 1 1 F x f x β. ( ) 1 0 F x f x

γ. 1

12

F δ. ( ) 1 1 F x F x .

ε. 1

2( )

x

F x e

38) Έζησ κηα ζπλερή ζπλάξηεζε : f θαη F

κηα αξρηθή ηεο ζην . Αλ (1) 1f θαη

( ) 2 1 f x F x , γηα θάζε x , ηόηε:

α. Να βξείηε ηελ ηηκή (1)F

β. Να δείμεηε όηη ( ) 2 1 F x f x ,

γ. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε ( ) ( ) 2 g x F x F x ,

x είλαη ζηαζεξή.

δ. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .

39) Έζησ : 0 , f κηα ζπλερή ζπλάξηεζε

κε (1) 1f θαη F κηα παξάγνπζα ηεο f . Αλ

ηζρύεη 1 1

( )f x Fx x

, γηα θάζε 0x , λα βξείηε

ηελ f .

40) Δίλεηαη παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε :f

θαη έζησ F κηα αξρηθή ηεο f , γηα ηελ νπνία

ηζρύεη 2 4 21 2 5 2F x F x x x x γηα

θάζε x .


β. Να απνδείμεηε όηη ε fC ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζε

έλα ηνπιάρηζηνλ ζεκείν 0 , 0x , κε 0 1, 3x .

γ. Να απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ 1 2, 1 , 3 , κε

1 2 ώζηε 1 2

1 32

( ) ( )f f

.

41) Έζησ : f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε θαη

F κηα αξρηθή ηεο κε ηελ ηδηόηεηα

2 2 22 ( ) aF x a F x , γηα θάζε x , κε a

Να απνδείμεηε όηη: α. (0) F a θαη (1) F a

β. ε εμίζσζε ( ) 0f x έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην

.

42) Να απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη ζεηηθή

ζπλάξηεζε : f , ηεο νπνίαο κηα αξρηθή

ζπλάξηεζε F λα ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε

2 ( ) ( )F x F x F a x , γηα θάζε *x , a .

43) Να βξεζεί ε παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε

: f , αλ ( )( ) 2 f xf x xe , γηα θάζε x

θαη ε fC δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.

44) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε θαη

ζεηηθή ζην κε 3( ) ( ) 2 2 f x f x x x , γηα θάζε

x θαη (0) 1f λα απνδείμεηε όηη 2( ) 1 f x x , x .

45) Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε : 0 , f αλ

ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f έρεη αζύκπησηε

ηελ επζεία 3 4 y x θαη γηα θάζε 0 , x

ηζρύεη 3

4( ) f x

x.

46) Να βξεζεί ε παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε *: f αλ ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ηπραίν

ζεκείν , ( ) x f x έρεη θιίζε 2

( )

xe

f x θαη ην

ζεκείν 0 ,1 αλήθεη ζηελ fC .

47) α. Να βξείηε ηελ νηθνγέλεηα ησλ θακππιώλ fC

νη νπνίεο ζε θάζε ζεκείν ηεο γξαθηθήο

ηνπο παξάζηαζεο 0 0, ( ) x f x δέρνληαη

εθαπηνκέλε κε ζπληειεζηή δηεύζπλζεο

0 0

x xe e .

β. Πνηα από ηηο παξαπάλσ θακπύιεο δηέξρεηαη

από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.

48) Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε : 0 , f γηα

ηελ νπνία ηζρύνπλ 2

2 2ln( )

xf x

x, γηα θάζε

0 , x , ε fC δηέξρεηαη από ην 1, 5 θαη

ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν Α έρεη θιίζε 3.

49) Τελ ρξνληθή ζηηγκή 0t έλα θηλεηό βξίζθεηαη

ζηελ ζέζε 0x ηνπ άμνλα, έρεη αξρηθή ηαρύηεηα

0 θαη θηλείηαη κε ζηαζεξή επηηάρπλζε ( ) 2a t

cm/sec. Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο ηεο ηαρύηεηαο θαη ηεο ζέζεο ηνπ θηλεηνύ σο πξνο ην

ρξόλν t .


- 122 -

50) Ο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο πνζόηεηαο αιθνόι

ζην αίκα ελόο νδεγνύ δίλεηαη από ηελ

ζπλάξηεζε

2

10( )

1

t

t

ef t

e, όπνπ 0 , 5t ν

ρξόλνο ζε ώξεο κεηά ηελ ρξήζε ηνπ πνηνύ. Η

αξρηθή πνζόηεηα ήηαλ 6 κνλάδεο θαη ν νδεγόο ππνβάιιεηαη ζε αιθνηέζη όηαλ ln 4t . Να

εμεηάζεηε αλ ζα ραξαθηεξηζζεί κεζπζκέλνο όηαλ ε αλώηαηε επηηξεπηή πνζόηεηα είλαη 2,5

κνλάδεο.

51) Έλα θηλεηό, κε αθεηεξία ηελ ζέζε (0) 1x ,

θηλείηαη πάλσ ζε άμνλα θαηά ηέηνην ηξόπν , ώζηε

ε ηαρύηεηά ηνπ θάζε ρξνληθή ζηηγκή t λα είλαη 2( ) 6 t t t m/sec. Να πξνζδηνξίζεηε ηελ

ζέζε θαη ηελ επηηάρπλζε ηνπ θηλεηνύ ηελ ηπραία

ρξνληθή ζηηγκή t . Σην ρξνληθό δηάζηεκα 0 , 4

πνηα είλαη ε θνξά θίλεζήο ηνπ θαη πνην ην

ζπλνιηθό δηάζηεκα;

52) Ο πιεζπζκόο ( )N t , ζε ρηιηάδεο, κηαο θνηλσλίαο

βαθηεξηδίσλ απμάλεηαη κε ξπζκό ίζν κε ην 1

3

ηνπ πιεζπζκνύ. Αλ ν πιεζπζκόο ύζηεξα από κηα ώξα είλαη 1.000 βαθηεξίδηα, λα βξεζεί ν

πιεζπζκόο κεηά από 25 ώξεο.

53) Ο πιεζπζκόο ( )P t , 0 , 20t κηαο πόιεο

απμάλεηαη, κεηά από κηα απνγξαθή, κε ξπζκό

10

t

te άηνκα αλά έηνο. Να βξείηε ηνλ πιεζπζκό

κεηά t έηε, αλ θαηά ηελ απνγξαθή ήηαλ 10.000

θάηνηθνη.

54) Δπν νκόθεληξνη θύθινη έρνπλ γηα 0t αθηίλεο

0 3 cm θαη 0 5R cm αληίζηνηρα. Η αθηίλα

απμάλεηαη κε ζηαζεξό ξπζκό 0,05 cm/sec θαη ε

R κε ξπζκό 0,04 cm/sec. Να βξείηε:

α. Τνπο ηύπνπο ησλ αθηίλσλ ζε ζπλάξηεζε κε ην

ρξόλν t .

β. Πόηε ζα κεδεληζηεί ηνπ εκβαδόλ ηνπ θπθιηθνύ δαθηπιίνπ ηνπο;

γ. Πόηε ζα κεγηζηνπνηεζεί ην εκβαδόλ ηνπ θπθιηθνύ

δαθηπιίνπ ηνπο;

§2. οριςμένο ολοκλήρωμα


δηάζηεκα 2 , 3 θαη 3

2

( ) 5

f x dx ,

2

3

( ) 10

g x dx , λα ππνινγίζεηε ηα

νινθιεξώκαηα:

α. 2

3

( )

f x dx β. 3

2

( ) ( )

f x g x dx

γ. 3

2

5 ( ) 3 ( )

f x g x dx δ. 3

2

( ) ( ) 1

f x g x dx

56) Αλ ( ) 5a

f x dx

θαη ( ) 3 a

g x dx

, ηόηε:

α. λα ππνινγίζεηε ην 2 ( ) 4 ( )a

f x g x dx

,

β. λα βξείηε ηνλ ώζηε 4 ( ) ( ) 2 a

f x g x dx

.

57) Αλ ( ) 1a

f x dx

θαη ( ) 2a

g x dx

, ηόηε:

α. λα ππνινγίζεηε ην ( ) 3 ( )

a

f x g x dx

,

β. λα βξείηε ηνλ a ώζηε ( ) ( ) 1

a

f x ag x dx

.

58) Αλ 2

( )2

x

f xx

θαη

2

( )2

x

g xx

, λα

ππνινγίζεηε ην νινθιήξσκα 6

0

9 ( ) 9 ( ) f x g x dx

59) Να δείμεηε όηη 3 12

2 2

1 3

5 12 2

3 3

x

dx dxx x

.


- 123 -

60) Αλ 3

0

( ) 5 f x dx , 3

8

( ) 2 f x dx θαη

8

10

( ) 1 f x dx , λα ππνινγίζεηε ηα


α. 8

3

( ) f x dx β. 10

3

( ) f x dx γ. 10

0

( ) f x dx

61) Έζησ f ζπλερήο ζην δηάζηεκα 3 , . Να


α. 3 0 1

1 3 0

( ) ( ) ( ) 0 f x dx f x dx f x dx ,

β. 2011 2010 2012 2010

0 2012 2011 0

( ) ( ) ( ) ( ) f x dx f x dx f x dx f x dx ,

γ.

0 3 1 0

2 1 2 3

3 1

2 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0

f x dx f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

.

62) Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην 1, 5 , 4

1

( ) 1 f x dx ,

5

2

( ) 3 f x dx , 4

2

( ) 3 f x dx θαη 5

3

( ) 6 f x dx ,

ηόηε λα δείμεηε όηη 3

1

( ) 1 f x dx .

63) Να ππνινγίζεηε γεσκεηξηθά ηα παξαθάησ νινθιεξώκαηα:

α. 4

1

5 xdx β. 7

3

3 1 x dx γ. 10

2

10

100

x dx

64) Η f είλαη ζπλερήο θαη γλεζίσο αύμνπζα ζην

,a a κε (0) 0f . Να απνδείμεηε γεσκεηξηθά

όηη

( )

1

0 0

( ) ( ) ( ) f aa

f x dx f x dx af a .

§3. θεμελιώδεσ

θεώρημα

ολοκληρωτικού

λογιςμού

Βασικές Στέσεις για τομ Υπολογισμό Ορισμέμοσ

Ολοκληρώματος .

( ) 0

a

f x dx

, αν a , σταθεροί.

( ) ( ) ( ) ( ) a

a

f x dx G x G G a

, όποσ f

σσνετής στο ,a και G μια αρτική της f

στο ,a .

( ) ( ) a

a

f x dx f x

.

65) Να ππνινγηζζνύλ ηα παξαθάησ


α. 1

3

0

4 2010 1 x x dx β. 3

0

2 x x dx

γ. 3

3

1

4 1

x dx δ. 2

2

0

4 3 1 x x dx

ε. 2

1

1

xdx

x ζη.

3

2

2

1

1

x dx

x

δ. 1 2

1

2

x xdx

x



α. 4

3

1

1

dxx

β. 2

1

1

3 2

dxx

γ. 1

2

0

1

2 3

x

dxx x

δ. 0

2

x

dxx

ε. 2

4

xdx

ζη. 4

0

xdx


- 124 -



α. 4

3

1

1

dxx

β. 4

3

1

2 5

dx

x

γ.

5

22

3

1

2

zdz

z z

δ.

1

32

0

1 2 3 t t t dt

ε. 2

3

1

2 1 t dt ζη. 1

2

0

1 u u du

68) Να ππνινγηζζνύλ ηα παξαθάησ νινθιεξώκαηα:

α. 3

2

6

xdx

β. 2

2

0

xdx

γ. 3

4

0

xdx



α. 2

0

2 1 x dx β. 4

1

2 x dx

γ. 3

2

2

1

x dx δ. 4

2

2

2 3

x x dx



α. 5

1

ln 1

x dx β. 2

0

x x dx

γ.

3

4

0

1 2

2

xdx

δ. 4

3

| 1 | | 1 |

| 1 | | 1 |

x x

dxx x



α. 2

1

( )

f x dx , 2

2 1 , 1 1( )

3 3 , 1 2

x xf x

x x x

β. 2

0

( ) f x dx , 2 , 1

( )2 2 , 1

x x xf x

x x


2

, 1

( ) 3 , 1 2

, 2

ax x

f x x x

x a x


, a ώζηε ε f λα είλαη νινθιεξώζηκε ζην

0 , 3 θαη λα ππνινγηζζεί ην 3

0

( ) f x dx .

73) Να ππνινγηζζνύλ ηα νινθιεξώκαηα :

α. 2

1

0

2 x dx

β.

22 4

2

0

x x x dx

74) Να βξεζεί ν *a ώζηε

2 3

0

3 4 5 2 a

x x dx a .

75) Να βξεζεί ν , 0 ώζηε

2

0

2 0 xdx

.

76) Να βξεζεί ν a ώζηε λα ηζρύεη 2 2

2

1 1 1

2 2

1 11

(2 )

a a a a

a a

x x dx xdx x xdx

77) Έζησ : 0 , f ζπλερήο ζπλάξηεζε.

Αλ ηζρύεη

1

2

3 27

9 3

( ) 0

f x dx

, λα βξεζεί ν .

78) Να βξείηε ηνλ πξαγκαηηθό αξηζκό a γηα

ηνλ νπνίν ηζρύεη 3 2 4 2

2 2

5 3 2

ln 6 3 ln2

2 2

a a

a a

x x xdx dx dx

x x.

79) Να βξεζεί ν a ώζηε 1

23 4 11

a

a

x dx .

80) Να βξείηε ηνλ πξαγκαηηθό αξηζκό a γηα ηνλ

νπνίν ηζρύεη 4 6 36

a

a

x dx

.

81) Να βξείηε ηνλ πξαγκαηηθό αξηζκό 0a γηα

ηνλ νπνίν ηζρύεη 1

3 12

a

ax dx

.

82) Να βξείηε ηνλ πξαγκαηηθό αξηζκό a γηα ηνλ

νπνίν ηζρύεη 3 2 4 2

2 2

5 3 2

ln 6 3 ln2

2 2

a a

a a

x x xdx dx dx

x x

.


- 125 -

83) Αλ ηζρύεη όηη 5

4

( ) 4 f x dx , ηόηε λα ππνινγίζεηε

ην νινθιήξσκα 3 5

1 4

( )

xf t dt dx

84) Να ππνινγίζεηε ην νινθιήξσκα

2 5

0 4

4

x y dy dx .

85) Να ππνινγίζεηε ην νινθιήξσκα

2 5

0 4

4

x y dy dx .

86) Να ππνινγίζεηε ηα νινθιεξώκαηα:

α. 2

1

1 3

4

x

dt dx β. 2

2

2

1 1

6

x

y dy dx

87) Να δείμεηε όηη

2

0 0 0

2

x y dt dy dx

.



α. 2 2

1

2

x

x y dy dx β. 4

0 1

ln

e

x ydy dx

89) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) ln 1 g x x . Να

ππνινγίζεηε ηελ ( )g x θαη θαηόπηλ ην

νινθιήξσκα 2

2

0

2

1

x

dxx

.


1, 1

( )

2 1 , 1

xf x x

x x

.

α. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο.

β. Να ππνινγίζεηε ην 2

1

( )

f x dx .

91) Να δείμεηε όηη:

α. 1

1ln

x

x dtt

, 0x β. 0

x

x tdt

γ. 0

1 x

x tdt


α. ln

2 2 x

e

tdt x

t β.

1

ln

x

e

dt e xt t

93) Έζησ κηα ζπλάξηεζε f ε νπνία είλαη ζπλερήο

ζην 1,1 θαη άξηηα. Αλ ε G είλαη κηα αξρηθή

ηεο f ζην 1,1 κε (1) ( 1) 2 G G , λα

ππνινγίζεηε ην 1

0

( ) f x dx .

94) Αλ ε παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο f είλαη

ζπλερήο ζην 0 ,1 θαη ηζρύεη (0) 1f , (1) 2f ,

λα ππνινγίζεηε ηα νινθιεξώκαηα:

α. 1

0

( ) ( ) x

f x f xdx

e β.

1

0

2 ( ) ( ) x f x xf x dx

95) Έζησ κηα ζπλάξηεζε f κε ( ) 0f x θαη 3 ( ) ( ) 0 f x f x , γηα θάζε ,x a . Αλ ( )f a ,

( ) f είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 23 5 1 0 x x ,

λα ππνινγίζεηε ην ( )a

f x dx

.

96) Έζησ κηα ζπλάξηεζε f κε ( ) 0f x θαη 2 ( ) ( )f x f x , γηα θάζε 0 ,1x . Αλ

(1) 2 (0)f f , λα ππνινγίζεηε ην 1

0

( ) f x dx .

97) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη γηα θάζε

x ηζρύεη 2( ) 1 x

a

f t dt x , όπνπ a .

α. Να βξείηε ηελ ( )f x .

β. Να ππνινγίζεηε ην a .

98) Έζησ κηα ζπλάξηεζε : 0 ,1 f κε

2( ) 1 ( ) f x f x , γηα θάζε 0 ,1x . Αλ

(0) (1) 0 f f , λα ππνινγίζεηε ην 1

0

( ) f x dx

99) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη γηα θάζε

x ηζρύεη 2( ) 1 x

a

f t dt x , όπνπ a .

α. Να βξείηε ηελ ( )f x .

β. Να ππνινγίζεηε ην a .


- 126 -

100) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : *f κε ζπλερή

πξώηε παξάγσγν, γηα ηελ νπνία ηζρύεη 1

(0)2

f

Να βξείηε ην νινθιήξσκα

2

2

0

( )

( ) ( )

x x f xdx

f x f x

.

101) Δίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε : 1, 3f

γηα ηελ νπνία ηζρύεη

3 3

2

1 1

( ) 6 ( ) 78f x dx xf x dx .

Να βξείηε:

α. ην νινθιήξσκα

3

2

1

9x dx ,

β. ην ηύπν ηεο f .

102) Αλ :f είλαη ζπλερήο ζπλάξηεζε, λα

απνδείμεηε όηη

3 3

2

1 1

( ) 6 18f x dx xdx .

103) Δίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε :f .

α. Να βξείηε ην νινθιήξσκα

4

2

1

x dx .


2

1

( ) 2 ( ) 21f x xf x dx .

104) Δίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε :f γηα

ηελ νπνία ηζρύεη

2

0

( ) 5f x dx . Να απνδείμεηε

όηη:

α. 2 ( ) 16 8 ( )f x f x γηα θάζε x .

β.

2

2

0

( ) 8f x dx .

105) Η f είλαη ζπλερήο ζην 0 ,1 θαη ηζρύνπλ

1 1

0 0

( ) ( ) 1 f x xdx f x xdx . Να δείμεηε όηη

1

2

0

3( )

2 f x dx .

106) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην ,a .

Αλ m θαη M είλαη ε ειάρηζηε θαη ε κέγηζηε ηηκή

ηεο f ζην ,a , λα απνδείμεηε όηη

( ) a

m a f x dx M a

.

107) Η ζπλάξηεζε : 0 ,1 ,f a είλαη

ζπλερήο. Να δείμεηε όηη

1 1

2

0 0

( ) ( ) f x dx a f x dx a .

108) Αλ a , λα δείμεηε όηη:

α. 1 0 x

a

e x dx

, , a

β. 2 0 a

x x dx

, , 0 , a

γ. ln 1 a a

x xdx x dx

, , 0 , a

δ. 2

12

x

a a

xx dx e dx

, , 0 , a

109) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 1xf x e x .

α. Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα

αθξόηαηα.


2

1

6xe dx

.

110) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2 2( ) ln 1f x x x .

α. Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα

αθξόηαηα.


2

0

1ln 1

3x dx .

111) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 2 6f x x x .

α. Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία.

β. Να απνδείμεηε όηη

1

2

0

2 1 2

9 52 6dx

x x

.

112) Δίλεηαη ζπλάξηεζε :f ,

παξαγσγίζηκε, γηα ηελ νπνία ηζρύεη 7

(1)3

f θαη

2 2 ( ) 2 ( ) 4 2x f x xf x x γηα θάζε x .



γ. Να απνδείμεηε όηη

4

2

6 ( ) 15f x dx

.


- 127 -

113) Δίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε

: 2 , 4 4 , 6f . Να απνδείμεηε όηη

4

2

( )2 6

f xdx

x .

114) Να απνδείμεηε όηη 2

08 3 6

xe edx

x

.

115) Δίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε : 1,f e

γηα ηελ νπνία ηζρύεη όηη

2

1 1

( ) 4 ( )

e e

f x dx x f x x dx . Να βξείηε:


β. ην νινθιήξσκα 1

1

( )

e

dxf x .

116) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : 0 ,2

f

γηα ηελ

νπνία ηζρύεη 2 2

2

0 0

( ) 4 ( )f x dx f x xdx

. Να

βξείηε:

α. ην νινθιήξσκα 2

2

0

4 xdx

,

β. ηνλ ηύπν ηεο f ,

γ. ην νινθιήξσκα 2

0

( )

( )

f xdx

f x

.

§4. μέθοδοι

ολοκλήρωσης

Παραγοντική ολοκλήρωση Ο ηύπνο ηεο ολοκλήρωζες καηά παράγονηες είλαη:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a

a a

f x g x dx f x g x f x g x dx

,

όπνπ f , g είλαη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο ζην ,a .

Παραηήρεζε: Με παξαγνληηθή νινθιήξσζε ππνινγίδνληαη ηα νινθιεξώκαηα πνπ έρνπλ κηα από ηηο

παξαθάησ κνξθέο (όπνπ ( )P x πνιπώλπκν ηνπ x ):

ΜΟΡΦΗ Α΄ . ( ) axP x e dx

, a

ΜΟΡΦΗ Β΄ . 1

( ) P x ax dx

ή 2

( ) P x ax dx

, a

ΜΟΡΦΗ Γ΄ . 1

kxe ax dx

ή 2

kxe ax dx

, , , k a

ΜΟΡΦΗ Γ΄ . ( ) ln P x ax dx

, , a ,

0a

ΜΟΡΦΗ Δ΄ . 1 2

( )

( )

f xdx

g x

ή 2

( ) ( ) f x g x dx

.



α. 1

0

xxe dx β.

1

0

1 xx e dx

γ. 1

2

0

xx x e dx δ.

2

2

1

xxe dx

ε. 2

2

1

xxe dx ζη.

1

2

0

2 1

x

x e dx

δ. 2

2

1

xx e dx ε.

1

2 2

0

1 xx e dx

ζ. 1

2

0

5 xx x e dx


α. 0

x xdx

β. 0

2x xdx

γ. 2

0

x xdx

δ. 0

2x x x dx

ε. 0

2 1 x x dx

ζη. 1

2

0

2 x x xdx


- 128 -



α. 0

2 xe xdx

β. 0

3 xe xdx

γ. 3

0

2 xe xdx

δ. 0

2 xe xdx

ε. 0

2 x xdx

ζη. 3

0

3 2 x xdx



α.2

1

ln x xdx β. 2

1

ln e

xdx γ.

2

ln e

e

xdx

δ. 2

2

1

ln x xdx ε. 2

2

1

ln

xdx

x ζη.

2

3

1

ln

xdx

x

δ. 2

2

1

ln 2

xdx

x ε.

2

2

1

ln 1 x x dx


α.3

2

6

x

dxx

β.

2

2

1 1

xxedx

x γ.

2 2

2

1 2

xx edx

x



α. 2

1

ln x dx β. 2

1

ln x dx

γ. 3

2

6

x xdx

δ. 2

0

ln 1 x x dx

ε.3

2

6

x xdx

ζη. 2

0

ln 1 x x dx


α. 3

3

6

1 dx

x

β.

33

2

6

x x x xe dx

x

γ.

22

2

1

1

1

xx edx

x δ.

2

1

1 ln

xx x edx

x

ε.2

ln

1

x xe dx ζη.

2

21

ln

1

x xdx

x



α. 2

2

ln

1

x xe dx

β.

2

2

0

x

e x dx

γ.

0

1 3 x xdx

δ. 2

0

2

x

e xdx

ε.

10

1

log xdx ζη.

2

4

ln

2

e

e

xdx

x


α. 2

1

( )

f x dx ,

, 0( )

ln 1 , 0

xxe xf x

x x

β. 2

4

( )

f x dx

, 2 , 0

( ) 2

, 0

x xf x

x x x


: , 0 f γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ

( 1) 1 f θαη 3( ) ( ) xxf x f x x e , γηα θάζε

, 0 x .


: 0 , f γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ

1 0 f e θαη 2( ) ln f x x x , γηα θάζε

0 , x .


νπνία ηζρύεη ( ) ( ) f x f x x , γηα θάζε x .

Αλ ε fC δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ, λα


( )2

xf x x x e .

129) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : 0 , f γηα

ηελ νπνία ηζρύεη ( ) 2ln f x x , γηα θάζε

0 , x . Αλ ε fC έρεη ζην ζεκείν 1

1 ,2

νξηδόληηα εθαπηνκέλε, λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο

f θαη λα θάλεηε ηνλ πίλαθα κεηαβνιώλ ηεο.

130) Έζησ 2

1

xx e dx

, .

α. Να ππνινγίζεηε ην .

β. Να βξείηε ηα όξηα lim

, lim

.


- 129 -

131) Να βξείηε ην νινθιήξσκα

2 2

1

1 ln x x dx

, 0 θαη κεηά ην 0

lim

.


ln( )

xf x

x.

α. Να ππνινγίζεηε ην 1

( ) f x dx

, 0 .

β. Να βξείηε ην όξην lim

.

133) α. Να ππνινγίζεηε ην 1

11

t x

t x

edx

e x,

0t .

β. Να βξείηε ην όξην lim

tt

.

134) Έζησ κηα ζπλάξηεζε : 0 ,1 f , ε

νπνία είλαη δπν θνξέο παξαγσγίζηκε κε f

ζπλερή ζην 0 ,1 θαη ν άμνλαο x x εθάπηεηαη

ζηελ fC ζην 1, 0 .

α. Να δείμεηε όηη 1 1

2

0 0

1( ) ( )

2 f x dx x f x dx .

β. Αλ 3

3( )

1

f x

x, λα ππνινγίζεηε ην

1

0

( ) f x dx


παξαγσγίζηκε θαη παξνπζηάδεη αθξόηαηα ζηα

ζεκεία 1, 9 θαη 2 , 2000 . Να

ππνινγίζεηε ην νινθιήξσκα 2

1

( )

xf x dx .

136) Η ζπλάξηεζε : f έρεη ζπλερή

δεύηεξε παξάγσγν θαη ηζρύεη ( ) ( ) af a f ,

όπνπ , a . Να δείμεηε όηη

( ) ( ) ( ) a

xf x dx f a f

.

137) Η ζπλάξηεζε f έρεη ζπλερή παξάγσγν ζην

, παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην ζην ζεκείν

0 2x θαη ε fC δηέξρεηαη από ην ζεκείν

0 ,1 . Αλ 2

0

8( ) 3 ( )

3 xf x f x dx , λα βξείηε

ην (2)f .

138) Η ζπλάξηεζε f έρεη ζπλερή δεύηεξε

παξάγσγν ζην 0 , θαη ηζρύνπλ ( ) 1f ,

( ) 0 f θαη 0

( ) 2 ( ) 2009 f x xf x dx

. Να


139) Αλ ε ζπλάξηεζε f έρεη ζπλερή δεύηεξε

παξάγσγν ζην 0 ,1 θαη ηζρύεη (1) (1) 2 f f

θαη (0) 0f , λα ππνινγίζεηε ην νινθιήξσκα

1

3 2

0

x f x dx .

Ολοκλήρωση με αντικατάσταση

Με ηελ κέζνδν απηή ππνινγίδνπκε νινθιεξώκαηα πνπ έρνπλ ή κπνξεί λα πάξνπλ ηελ κνξθή

( ) ( )a

f g x g x dx

. Η κέζνδνο νινθιήξσζεο κε

αληηθαηάζηαζε εθθξάδεηαη κε ηνλ αθόινπζν ηύπν:

2

1

( ) ( ) ( ) u

a u

f g x g x dx f u du

,

όπνπ ( )u g x , ( )du g x dx θαη 1 ( )u g a , 2 ( )u g .

Περίπηωζε 1ε : Αλ ην νινθιήξσκα πεξηέρεη ξηδηθό

ηεο κνξθήο v ax ηόηε ζέηνπκε vu ax .

Θα έρνπκε ηόηε: vvu ax u ax , 1 vvu du adx

Περίπηωζε 2ε : Αλ ην νινθιήξσκα πεξηέρεη

παξάζηαζε ηεο κνξθήο ( )f xe ηόηε ζέηνπκε ( ) f x u .

Θα έρνπκε ηόηε: ( ) f x u , ( )du f x dx

140) Έζησ :f ζπλερήο ζπλάξηεζε. Να


α. 0

( ) ( )

a

a

f x dx f x a dx

β. ( ) ( )a a

f x dx f x dx


- 130 -



α. 2

3

1

2 1 x dx β. 1

3

2 7x dx

γ. 1

42

0

1 2 3 x x x dx δ.

3

5

2

3

1

dx

x

ε. 2 3

4

14

xdx

x

ζη.

12

5

1

1

5 4

dx

x



α. 0

1

1x xdx

β. 9

4 1

xdx

x

γ.

2

1

ln

e

e

dxx x

δ.

4

2

x

dxx

ε.

2

0

xdx

ζη. 2

0

3 1 x x dx


α. 5

1

ln

ex

dxx

β. 1

ln

1 ln

e

xdx

x x

γ.

1

0 1 ln 1

x

x x

edx

e e


α. 3

1

0

xe dx β.

3

0

2

1

xdx

x

γ. 2

3 2

1

1 x x dx δ. 1 3

02

x

x

edx

e

ε. 4

1

1

xdx

x ζη.

1

0

1

1

xdx

e



α.

1

ln

e xdx

x

β.

1 2

01

x

x

edx

e

γ. 2

1

x dx

x

δ.

2

2

1

x dx

x

ε. 2

2

1

1

2

xe dx ζη.

3

0

2 1

1

xdx

x

δ. 3

2

0

2 1 x x dx ε. 1

0

ln 1 x xe e dx



α. 1

0

xe dx β.

21

1

0

xxe dx γ.

1

2

0 1

x

x

edx

e

δ.2

1

3

0

xx e dx ε.

1

1

0

xe dx ζη.

ln 2

ln

x xe e dx

147) Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα:

α.

1 4

11

x

x

x edx

e

β. 1

2

1

ln 1x x dx

γ. 1

2

0

2 ln 3 x x dx δ. ln 2

2

ln

x xe e dx

ε. ln 2

2

ln

x xe e dx

ζη. 17 4

2

2 1 1

1

x xdx

x

148) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο κνλόηνλε

θαη έρεη ζπλερή παξάγσγν ζην δηάζηεκα ,a ,

λα απνδείμεηε όηη ( )

1

( )

( ) ( ) ( ) ( ) f

a f a

f x dx f x dx f a f a

.


νπνία ηζρύεη 2 f x x x , γηα θάζε

x θαη 1 22 2

f

. Να απνδείμεηε όηη

3 31 2

2 2

f

.


νπνία ηζρύεη 2 xf e x x , γηα θάζε x θαη

2 2 f e . Να απνδείμεηε όηη (1) 0f .

151) Δίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε : 1, 5f

γηα ηελ νπνία ηζρύεη ( ) (6 ) 3f x f x γηα θάζε

1, 5x . Να ππνινγίζεηε ην νινθιήξσκα

5

1

( )f x dx .

152) Δίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε :f γηα

ηελ νπνία ηζρύεη 2( ) ( )f x f x x x γηα θάζε

x . Να ππνινγίζεηε ην νινθιήξσκα

( )f x dx

.


- 131 -


ηζρύεη 21 1 3 2 5 f x f x x x , γηα θάζε

x . Να ππνινγηζζνύλ ην νινθιήξσκα 2

0

( ) f x dx .

154) Αλ f ζπλερήο ζην θαη γηα θάζε x

ηζρύεη 2f a x f a x κε , a , λα


0

( ) 2a

f x dx a .


γηα θάζε x ηζρύεη ( ) f x f a x , 0a . Να

δείμεηε όηη 0 0

( ) ( )2

a a

axf x dx f x dx .

156) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 0 ,1 .

Να δείμεηε όηη 1 1

0 0

1 ( ) f x dx f x dx .

157) Αλ , 0 , a , λα δείμεηε όηη

1 1

0 0

1 1 aax x dx x x dx

.

158) Έζησ f ζπλάξηεζε ζπλερήο ζην . Να


α. ( )

a a

a a

f x dx f x dx .

β. Αλ ( ) ( ) xaf x f x xe κε 0a , ηόηε

1

1

2( )

f x dx

e a .


γηα θάζε x ηζρύεη ( ) af x f x κε

0 a . Να δείμεηε όηη 2

2

4( )

f x dx

a

.

160) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην . Να


α. ( )

a a

f x dx f x dx

β. 0

( ) ( )

a a

a

f x dx f x f x dx

γ. ( ) a a

f x dx f x dx

, , , a .

Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων

Θα εμεηάζνπκε ηώξα πσο κπνξνύκε λα βξνύκε ην

νινθιήξσκα κηαο ξεηήο ζπλάξηεζεο, δειαδή ζα ζεσξήζνπκε νινθιεξώκαηα ηεο κνξθήο

( )a

f x dx

όπνπ f είλαη κηα ξεηή ζπλάξηεζε. Όπσο είλαη γλσζηό

ε f

γξάθεηαη ζαλ πειίθν δπν πνιπσλύκσλ

( )( )

( )

P xf x

Q x

όπνπ ηα Ρ θαη Q έρνπλ βαζκνύο 0m θαη n

αληίζηνηρα.

Έζησ 1

0 1

1

0 1

...( )( )

( ) ...

m m

m

n n

n

b x b x bP xf x

Q x a x a x a, 0 0, 0a b

ηόηε δηαθξίλσ πεξηπηώζεηο:

1. Ο βαζκόο ηνπ ( )P x είλαη κηθξόηεξνο από ηνλ

βαζκό ηνπ ( )Q x δειαδή m n .

Τόηε έρσ (π.ρ.):

22 2

2 2 22

1

2 3 2

2 3 23 2

x

x x x x

A B x E Zx H

x x x xx x x

2. Ο βαζκόο ηνπ ( )P x είλαη κεγαιύηεξνο ή ίζνο από

ηνλ βαζκό ηνπ ( )Q x δειαδή m n .

Σε απηή ηελ πεξίπησζε εθηεινύκε ηελ δηαίξεζε θαη

αθνινπζνύκε ηηο δηαδηθαζίεο πνπ πεξηγξάςακε παξαπάλσ.


α. 1

2

0

2 5

5 6

x

dxx x

β. 3

2

2

2

1

dxx

γ. 10

2

5

5

4 3

x

dxx x

δ. 0

2

1

2 3

3 2

x

dxx x

ε. 0

2

1

3 2

3 2

x

dxx x

ζη. 6

2

5

2

4

dxx x


- 132 -



α. 5

2

4

2 1

2

x

dxx x

β. 11

4 3 2

10

2

2 3

x

dxx x x

γ. 2

2

1

9

7 6

x

dxx x


α. 5 2

2

4

3 7

5 6

x x

dxx x

β. 3

2

2

2 1

x

dxx

γ.12 4 3 2

3 2

10

7 8 5

2 5 6

x x x x

dxx x x

δ. 1

02 1

xdx

x

ε. 7 3

2

6

2

3 2

x x

dxx x

ζη.

3

2

2

1

1

dx

x x

Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Σηνλ ππνινγηζκό νινθιεξσκάησλ ηξηγσλνκεηξηθώλ ζπλαξηήζεσλ ρξήζηκεο είλαη νη παξαθάησ

παξαηεξήζεηο:

1. Αλ ππάξρεη πεξηηηή δύλακε ηνπ x , ηόηε

γξάθνπκε 2 1 2 21 v

v vx x x x x

θαη ζέηνπκε u x .

2. Αλ ππάξρεη πεξηηηή δύλακε ηνπ x , ηόηε

γξάθνπκε 2 1 2 21 v

v vx x x x x

θαη ζέηνπκε u x .

3. Αλ έρσ x ή x ηόηε ζέησ 2

x

u , όπνηε

2

2

1

ux

u ,

2

2

1

1

ux

u θαη

2

2

1

dx du

u.


α. 3

2

6

x

dxx

β.

3

2

6

2 2 7

6

x x

dxx x

γ. 33

6

1

x

dxx

δ.

3

2

6

3 2

x

dxx x

ε. 36

0

x

dxx

ζη. 3 2

0

x xdx



α. 3

6

1

1

dx

x

β. 4 2

0

x x xdx

γ. 3

6

1

x

dxx

δ. 3 4

0

x x xdx

ε. 3

6

1

1

dx

x

ζη. 4 4

0

x x dx



α. 2 23

6

x x

dxx x

β.

3

6

1

dxx x

γ. 3

6

1 dx

x

δ.

3

6

1 dx

x

167) Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα:

α. 32

0

xdx

x x

β. 2

0

1ln

1

xdx

x

γ. 3

6

x x x dx

δ. 3

6

ln x dx

Αναγωγικοί τύποι

Έζησ v έλα αόξηζην νινθιήξσκα κηαο ζπλάξηεζεο,

ζηελ νπνία εκθαλίδεηαη ν θπζηθόο αξηζκόο v .

Υπάξρνπλ πεξηπηώζεηο ζηηο νπνίεο ν ππνινγηζκόο ηνπ

v δελ επηηπγράλεηαη άκεζα αιιά καο νδεγεί ζε έλα

νινθιήξσκα πνπ είλαη ηεο ίδηαο κνξθήο κε ην αξρηθό,

αιιά κε κηθξόηεξν εθζέηε. Δειαδή θαηαιήγσ ζην 1v ,

ζην 2v θ.ν.θ. Έηζη παίξλνπκε ηνπο ιεγόκελνπο

αλαγσγηθνύο ηύπνπο. Σπλήζσο γηα ηελ εύξεζε ή απόδεημε αλαγσγηθώλ ηύπσλ εθαξκόδνπκε

παξαγνληηθή νινθιήξσζε.


- 133 -

168) Να απνδείμεηε όηη:

α. αλ 2

0

v x

v x e dx , *v , ηόηε 2

12 v

v ve v , γηα

θάζε 2v .

β. αλ 1

ln e

v

v xdx , *v , ηόηε 1 v ve v , γηα θάζε

2v .

γ. αλ 2

0

v

v xdx

, *v , ηόηε 2

1

v v

v

v, γηα

θάζε 2v .

δ. αλ 4

1

v

v xdx

, *v , ηόηε 2

1

1

v v

v, γηα

θάζε 2v .

169) Να βξείηε αλαγσγηθό ηύπν γηα ην

νινθιήξσκα 0

ax v

v e xdx

, 2v .

170) Αλ 2

0

v

v xdx

κε *v , λα δείμεηε όηη

γηα θάζε 2v ηζρύεη 2

1

v v

v

v. Καηόπηλ λα

ππνινγίζεηε ην 5 .

171) Αλ 1

ln e

v

v x xdx κε v , λα δείμεηε όηη

γηα θάζε *v ηζρύεη 2

12 v vv e . Καηόπηλ λα

ππνινγίζεηε ην 3 .

172) Αλ 1

3

0

v x

v x e dx κε v , λα δείμεηε όηη

γηα θάζε *v ηζρύεη 3

13 v ve v . Καηόπηλ λα

ππνινγίζεηε ηα 1 θαη 3 .

173) α. Να δείμεηε όηη

22

0 0

a a

v vx a x dx x a x dx .

β. Να ππνινγίζεηε ην νινθιήξσκα

1

20102

0

1 x x dx .

Όλες οι παραπάνω περιπτώσεις



α.

1

22

0 2

xdx

x β.

2

2

0

ln 1 x x dx

γ. 3

2

2

2

ln dx

t t

δ.

2

2

0

2

5

xdx

x

ε. 3 2

0

x xdx

ζη. 2

03

xdx

x



α.1

0

1

1

x

x

edx

xe β.

36

01

xdx

x

γ.

2

2

1 ln

ln

e

e

xdx

x x



α. 2

1

2 1

xdx

x β.

2

31

1 3

1 1

xdx

x

γ. 2

2

1

1 1

xdx

xx δ.

1

2

0

ln 1 x x dx

ε. 1

1

ln x x dx ζη. 0

1

1

dxx x

δ. 3

2

6

x xdx

ε. 3

2

6

1

xe

dxx



α. 1 3

20 10

x

dxx

β. ln 3

2

ln 21

x

x

edx

e

γ. 2

0

x x dx

δ. 1

ln e

x dx

ε.

3

1

ln

e xdx

x

ζη.

2

03

xdx

x

δ. 63

325

1

2 2

dx

x ε.

625

336

1

2

dx

x


- 134 -



α. 6

1

3 x x dx β. 1 2

1

1

xdx

x

γ. 1

3

0

3 2 x x dx δ. 8

31

1

xdx

x

ε. ln 2

0

1 x

dxe

δ. ln 2

01 5

x

x

edx

e

ε. 1

0

xe xe e dx ζ.

1

0

1

1

xdx

e

179) Να βξείηε ηνπο ηύπνπο ησλ ζπλαξηήζεσλ:

α. 3

0

( ) 2 x

tf x e tdt β. 2

0

( ) x

f x t tdt

180) Έζησ 2

1

01 2

xdx

x

,

2

2

0

2

1 2

x

dxx

θαη 3 1 2 .

α. Να ππνινγίζεηε ηα 1 θαη 3 .

β. Να ππνινγίζεηε ην 2 .

181) Έζησ 2

0

x

dxx x

θαη

2

0

xJ dx

x x

.

α. Να δείμεηε όηη J .

β. Να ππνινγίζεηε ηα θαη J .

182) Αλ ε ζπλάξηεζε : ,f a a είλαη

ζπλερήο θαη πεξηηηή, λα απνδείμεηε όηη

( ) 0

a

a

f x dx

.

β. Να ππνινγίζεηε ηα νινθιήξσκαηα:

i.

2 15 2

22

x xdx

x

ii. 1

1

1

1

x

x

x edx

e

183) Δίλεηαη παξαγσγίζηκε θαη πεξηηηή

ζπλάξηεζε :f .

α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη άξηηα.

β. Να ππνινγίζεηε ην 1 2

2

1 2

( ) ( )

| | 21

f x x f x xdx dx

xx

.

184) Αλ ε ζπλάξηεζε : ,f a a είλαη

ζπλερήο θαη άξηηα, λα απνδείμεηε όηη

0

( ) 2 ( )

a a

a

f x dx f x dx

.

185) Αλ f ζπλερήο ζην 1,1 . Να δείμεηε όηη:

α. 0

0 f x xdx

β. 2 2

0 0

f x xdx f x xdx

186) α. Να ππνινγίζεηε ην νινθιήξσκα

0

22 3 t

x

e t t dt .

β. Να ππνινγίζεηε ην όξην ( )lim

x

L x .


γηα θάζε x ηζρύεη 2

2 4

4

( ) x

t xf t e dt e ax

α. Να βξεζνύλ ηα , a .

β. Να βξεζνύλ ηα (4)f θαη (4)f .


θαη ηζρύεη ( ) f x f a x c , γηα θάζε

,x a κε c ζηαζεξά. Να δείμεηε όηη

( ) ( ) ( )2 2

a

a af x dx a f f a f

189) Α. Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g ,

όπνπ ε g είλαη 1 – 1. Αλ ηζρύεη ( ) g f x x ,

γηα θάζε x , λα δείμεηε όηη θαη ( ) f g x x ,

γηα θάζε x . Β. Έζησ ζπλερήο ζπλάξηεζε : f γηα

ηελ νπνία ηζρύεη ( ) ( ) 1 f xe f x x , γηα θάζε

x . Να ππνινγίζεηε ην νινθιήξσκα

0

( ) e

f x dx .


- 135 -

190) Να βξείηε ζπλερή ζπλάξηεζε f γηα ηελ


1

0

( ) ( ) x xe f x dx f x e , γηα θάζε

x .

191) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3( ) xf x e x , x

α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1 θαη λα βξείηε ην

πεδίν νξηζκνύ ηεο 1f .


1

1

1

( )

e

f x dx

.

192) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3( ) 2 3f x x x , κε

x .

α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1 θαη λα βξείηε ην

πεδίν νξηζκνύ ηεο 1f .


6

1

1

( )f x dx

.

193) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : 1,f γηα ηελ

νπνία ηζρύεη 2f e θαη ( ) ln ( ) 0xf x x f x ,



β. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.

γ. Να νξίζεηε ηελ 1f .

δ. Να ππνινγίζεηε ην

2

1

12

1

1

ln

e

x

e

dx e dxx

.

194) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : 1, 2f κε

3( ) 8f x x .


β. Να νξίζεηε ηελ 1f .

γ. Να ππνινγίζεηε ην 2

33 2

1

8 4 4x x x dx .

195) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : 0 ,1f κε

2

( ) xf x e .


β. Να νξίζεηε ηελ 1f .

γ. Να ππνινγίζεηε ην

2

1

0 1

1 1

1 ln1

e

xdx dx

x xx e

.

§6. εμβαδά

196) Να ππνινγηζζεί ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f , ηνλ άμνλα x x θαη ηηο επζείεο

πνπ δίλνληαη παξαθάησ: α. 2( ) 5 6 f x x x , 1 x , 4x

β. 2 3 1

( )

x x

f xx

, 1x , 2x

γ. 2 1

( )2

x xf x

x, 1 x , 2x


πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο

ηεο ζπλάξηεζεο: α. 2( ) 3 2 f x x x , ηνπ άμνλα x x θαη ησλ επζεηώλ

κε εμηζώζεηο 0x θαη 3x .

β. ( ) f x x , ηνπ άμνλα x x θαη ησλ επζεηώλ κε

εμηζώζεηο x θαη x .

198) Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο

ζπλάξηεζεο 2( ) 2 f x x x , ηνλ άμνλα x x

θαη ηηο επζείεο 3 x , 2x .


- 136 -

199) Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο

ζπλάξηεζεο 23 1 , 0

( )2 1 , 0

x xf x

x x ηνλ άμνλα

x x θαη ηηο επζείεο 1 x , 3x .


, 1

( ) ln, 1

xe e x

f x xx

x

.

Να δείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο θαη λα

ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ fC , ηνλ άμνλα x x θαη ηηο

επζείεο 0x , x e .

201) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 4 xf x x e . Να

ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηελ fC , ηνλ άμνλα x x θαη ηηο

επζείεο 1 x , 1x .

202) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2 ln , 0

( )0 , 0

x x xf x

x

α. Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηελ ζπλέρεηα.

β. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ Ε ηνπ ρσξίνπ πνπ

νξίδεηαη από ηα ζεκεία , x y , όπνπ 2 1e x θαη

( ) 0 f x y .


1( )

1

axf x

x.

α. Να βξεζεί ν a ώζηε (0) 2 (0) f f .

β. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ


επζείεο 2x θαη 4x .

204) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ

πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ παξαβνιή 2 4y x ,

ηνλ άμνλα y y θαη ηηο επζείεο 4y , 6y .

205) Δίλνληαη ε ζπλάξηεζε ( ) 2xf x , κε x .

Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηελ fC , ηνλ θαηαθόξπθν άμνλα

θαη ηηο επζείεο 2y θαη 4y .

206) Η ζπλάξηεζε 2( ) 1 xf x x e παξνπζηάδεη

θακπή ζηα ζεκεία , a . Να ππνινγίζεηε ην

εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ

fC , ηνλ άμνλα x x θαη ηηο επζείεο x a , x .

207) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ln

( )2

x

f x xx

,

0x . α. Να βξείηε ην πξόζεκν ηεο f .

β. Να βξείηε ηα όξηα 0

( )limx

f x θαη ( )limx

f x .

γ. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ Ε ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ fC , ηνλ άμνλα x x θαη ηηο επζείεο

1x , 4x .

208) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2 1 , 1

( ), 1

ax xf x

x x.

α. Να βξεζνύλ νη , a ώζηε ε f λα είλαη

παξαγσγίζηκε ζην ζεκείν 0 1x .

β. Γηα ηηο ηηκέο ησλ a , πνπ βξήθαηε, λα

ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη

από ηελ fC , ηνπο άμνλεο x x , y y θαη ηελ επζεία 2x .

209) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) ln 2 f x x x x ,

0x . α. Να κειεηεζεί θαη λα παξαζηαζεί γξαθηθά. β. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηελ fC θαη ηηο επζείεο y x , 1x

θαη 3x e .


- 137 -


3 2

2

3 3 2( )

2

x x xf x

x

α. Να δείμεηε όηη ε επζεία : 1 y x είλαη πιάγηα

αζύκπησηε ηεο fC .

β. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ fC , ηελ αζύκπησηε θαη ηηο

επζείεο 3x , 4x .

211) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( )

x x

x x

e ef x

e e.

α. Να δείμεηε όηη ε επζεία ( ) : 1y είλαη νξηδόληηα

αζύκπησηε ηεο fC ζην .

β. Να ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηελ fC , ηηο επζείεο 1y , 1x θαη

2x .


2

4 9( )

2 3

xf x

x.

α. Να κειεηεζεί θαη λα παξαζηαζεί γξαθηθά.

β. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην ζεκείν

0 , (0) f .

γ. Να βξεζνύλ , a ώζηε

2( )

2 3 2 3

af x

x x

δ. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ Ω πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ fC , ηελ εθαπηνκέλε ζην Α, ηνλ

άμνλα x x θαη ηελ επζεία 2x .

213) Από ην ζεκείν 2 , 3 θέξνπκε ηηο

εθαπηόκελεο 1 θαη 2 πξνο ηελ παξαβνιή κε

εμίζσζε 2 4x y . Να βξεζνύλ:

α. νη εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ 1 θαη 2 ,

β. ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηεο

παξαβνιήο θαη ησλ εθαπηνκέλσλ 1 θαη 2 .

214) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 1 | |( ) 2 | | xf x x e .

α. Να βξεζνύλ ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο f .

β. Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη

από ηελ fC θαη ηηο εθαπηόκελεο ζηα ζεκεία ησλ

αθξνηάησλ.

215) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 2f x x . Αλ είλαη

ε εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f

ζην ζεκείν 22 , 8 a a κε 0a , λα βξείηε ην

εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f , ηελ

εθαπηνκέλε θαη ηνλ θαηαθόξπθν άμνλα.


πεξηθιείεηαη κεηαμύ ησλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ ησλ ζπλαξηήζεσλ ( ) f x x , ( ) g x x

όηαλ 0 ,x .

217) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2( ) lnf x x θαη

( ) lng x x . Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ

πνπ πεξηθιείεηαη από ηηο fC θαη gC .


πνπ πεξηθιείεηαη από ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο

ησλ ζπλαξηήζεσλ ( )f x x , ( ) 2 1 g x x θαη

ηελ επζεία 0x .


πεξηθιείεηαη κεηαμύ ησλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ

ησλ ζπλαξηήζεσλ 2( ) f x x , ( ) 2 g x x θαη

ησλ επζεηώλ κε εμηζώζεηο 2 x θαη 3x .


πνπ πεξηθιείεηαη από ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο

ησλ ζπλαξηήζεσλ ( ) ln 6 f x x , ( ) 3lng x x

θαη ηνπο άμνλεο x x θαη y y .

221) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 1

( )f xx

, κε 0x

, ( )g x x , κε 0x θαη 3 4

( )4

xh x

κε x

Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηε από ηηο fC , gC θαη hC .

222) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 5 4( ) f x x x

θαη 3 6( ) g x x x . Να βξεζεί ην εκβαδόλ

ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηηο fC , gC ηνλ

άμνλα y y θαη ηελ επζεία 2

x

.

223) Έζησ , : f g δπν θνξέο

παξαγσγίζηκε κε (0) (0)f g , (0) 1 (0) f g

θαη 2( ) ( ) ( ) ( ) xf x g x f x g x e , γηα θάζε

x .

α. Να απνδείμεηε όηη ( ) ( ) xf x g x e , γηα θάζε x

β. Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη

κεηαμύ ησλ fC , gC θαη ησλ επζεηώλ κε εμηζώζεηο

0x θαη 1x .


- 138 -

224) Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

ζρεκαηίδεηαη από ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ

ζπλαξηήζεσλ 3( ) f x x , 3( ) g x x θαη ηελ

επζεία κε εμίζσζε 7 3 10 0 x y .

225) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3( ) f x x x ,

0 ,1x . Να βξείηε ηελ επζεία y ax ε νπνία

λα ρσξίδεη ην εκβαδόλ πνπ νξίδεηαη από ηελ fC

θαη ηνλ άμνλα x x ζε δπν ηζεκβαδηθά ρσξία


8( ) 1 f x

x, 0x .

α. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ


επζείεο 2x , 4x .

β. Να βξείηε ηελ επζεία ( ) : y , πνπ ρσξίδεη

ην ρσξίν ζε δπν ηζεκβαδηθά ρσξία. Τη είλαη ε ( ) γηα

ηελ fC ;


( )4 4

xf x

x x θαη

έζησ Ω ην ρσξίν πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ fC ,

ηνλ άμνλα x x θαη ηηο επζείεο 0x θαη 4x .

Να βξείηε ηελ θαηαθόξπθε επζεία πνπ xσξίδεη

ην εκβαδόλ Ω ζε δπν ηζεκβαδηθά ρσξία.


4( ) 4 f x

x, 0x .

α. Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο fC .

β. Η νξηδόληηα αζύκπησηε ηεο fC , ν άμνλαο x x θαη νη

επζείεο 1x , x a κε 1a νξίδνπλ έλα νξζνγώλην.

Η fC ρσξίδεη ην νξζνγώλην απηό ζε δπν ρσξία 1 θαη

2 . Να βξεζεί ν a ώζηε ηα ρσξία απηά λα είλαη

ηζεκβαδηθά.

229) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 1 f x x θαη νη

επζείεο 5y θαη 2 1 y a κε 0 2 a . Να

βξείηε ηνλ a ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ

πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ fC θαη ηηο δνζκέλεο

επζείεο λα είλαη 4 η.κ.

230) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ( ) ηνπ

ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο ( ) lnf x x , ηνλ

άμνλα x x θαη ηηο επζείεο 1x θαη x κε

0 . Καηόπηλ λα ππνινγίζεηε ηα όξηα

0

( )lim

, ( )lim

θαη 1

( )lim

.

231) α. Να βξεζεί ην εκβαδόλ ( ) t ηνπ ρσξίνπ

πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο ( ) xf x e ηνπο

άμνλεο x x , y y θαη ηελ επζεία x t , όπνπ

0t .

β. Να βξείηε ην όξην ( )lim

t

t .

232) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 3 1 xf x x x e .

α. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ( ) t ηνπ ρσξίνπ ηνπ

νπνίνπ ηα ζεκεία , x y ηθαλνπνηνύλ ηηο ζρέζεηο

0 t x όπνπ 0t θαη 0 ( ) y f x .


t

t .


- 139 -

233) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : 0 , f κε

ηύπν ln , 0

( )0 , 0

x x xf x

x.

α. Να δείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην 0 , .

β. Να βξείηε ην εκβαδόλ ( ) t ηνπ ρσξίνπ πνπ


επζείεο 1x , x t κε 0 1 t .

γ. Να βξείηε ην όξην 0

( )lim

t

t .


2

4( )

xf x

x.

α. Να βξεζεί ην εκβαδόλ ( ) a ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηεο fC ηνπ άμνλα x x θαη ησλ

επζεηώλ κε εμηζώζεηο 1x θαη x a κε 0 1 a .

β. Να βξεζεί ην a , ώζηε ( ) 3 a .

γ. Να ππνινγηζηνύλ ηα 0

( )lim

a

a θαη ( )lim

a

a .

235) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 3 1 xf x x x e .

α. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ( ) t ηνπ ρσξίνπ ηνπ

νπνίνπ ηα ζεκεία , x y ηθαλνπνηνύλ ηηο ζρέζεηο

0 t x όπνπ 0t θαη 0 ( ) y f x .


t

t .


2ln 1 , 0( )

0 , 0

x x xf x

x.

α. Να κειεηεζεί ε f σο πξνο ηελ ζπλέρεηα, ηελ

παξαγσγηζηκόηεηα, λα γίλεη ν πίλαθαο κεηαβνιώλ ηεο f θαη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε.

β. Να βξείηε ην εκβαδόλ ( ) a ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηελ fC θαη ηηο επζείεο y x , x a

θαη x e κε 0 a e .

γ. Να βξείηε ην όξην 0

( )lim

a

a .


1( ) 3

2 f x x

x.

α. Να βξείηε ηηο αζύκπησηεο ηεο fC .

β. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ( ) a ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηελ fC , ηελ επζεία 3y x θαη ηηο

επζείεο 1x , x a κε 1a .

γ. Να ππνινγίζεηε ην όξην ( )lim

a

a .

238) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ln

( )2

x x

f xx

θαη

( )2

x

g x .

α. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ( ) a ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηηο fC , gC θαη ηηο επζείεο 1x ,

x a κε 1a .

β. Να ππνινγίζεηε ην όξην 2

( )lim

a

a

a.

239) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( )2

x

x

ef x x

e.

α. Να δείμεηε όηη νη επζείεο y x θαη 1 y x είλαη

πιάγηεο αζύκπησηεο ηεο fC ζην θαη ζην

αληίζηνηρα. β. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ( ) ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηελ fC , ηελ επζεία 1 y x θαη ηηο

επζείεο 2x , x κε 2 .

γ. Να ππνινγίζεηε ην όξην ( )lim

.


( ) xf x xe .


β. Να βξεζνύλ ηα όξηα ( )limx

f x θαη ( )limx

f x .

γ. Να ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηεο 1fC , ηνπ άμνλα x x θαη

ησλ επζεηώλ κε εμηζώζεηο 0x θαη x e .

δ. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηελ fC , ηνπο άμνλεο θαη ηελ

επζεία x a , όπνπ a είλαη ζέζε ζεκείνπ θακπήο ηεο

f .


ln( )

xf x

x, 0x .

α. Να βξείηε ηηο αζύκπησηεο ηεο fC .

β. Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα

αθξόηαηα.

γ. Να βξείηε ηα , a ώζηε ε ζπλάξηεζε

ln( )

a xg x

x

λα είλαη κηα παξάγνπζα ηεο f .

δ. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ( ) ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηελ fC , ηνλ άμνλα x x θαη ηηο επζείεο

1x , x κε 1 .

ε. Να βξείηε ην όξην ( )lim

.


πνπ πεξηθιείεηαη από ηηο θακπύιεο 2 1 y x θαη

3 y x .


- 140 -


( )2

x

x

ef x

e.

α. Να βξείηε ηηο νξηδόληηεο αζύκπησηεο ηεο fC .

β. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ fC , ηνπο άμνλεο θαη ηελ επζεία

ln 2x .


( )

x

x

xef x

e.

α. Να κειεηεζεί σο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα.

β. Να βξεζεί ε πιάγηα αζύκπησηε ηεο fC ζην .

γ. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε ( ) 0f x έρεη κνλαδηθή

ξίδα ζην δηάζηεκα 0 ,1 .

δ. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηελ fC , ηνλ άμνλα x x θαη ηηο επζείεο

1x θαη ln 3x .


( ) ln 1

f x xx

.

α. Να βξείηε ηελ ( )f x , ( )f x θαη λα θάλεηε πίλαθα

κεηαβνιώλ ηεο f .

β. Να δείμεηε όηη ε επζεία y x είλαη πιάγηα

αζύκπησηε ηεο fC θαη λα βξείηε ηα όξηα ( )limx

f x ,

( )limx

f x , 1

( )limx

f x , 0

( )limx

f x .

γ. Να θάλεηε κηα πξόρεηξε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f .

δ. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ( ) a ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηελ fC , ηελ y x θαη ηηο επζείεο

1x , x a κε 0 1 a .

ε. Να βξείηε ην όξην 0

( )lim

a

a .


1

, 0( )

ln 1 , 0

xxe xf x

x x x

.

α. Να δείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη.

β. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ

ζπλαξηήζεσλ f θαη 1f .

247) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : 0, 0,f

κε ηύπν ( ) ln( 1) f x x .

α. Να κειεηεζεί θαη λα παξαζηαζεί γξαθηθά ε f .

β. Να δείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα βξεζεί ε 1f .

γ. Να παξαζηαζεί γξαθηθά ε 1f .

δ. Αλ a , ηόηε:

i. Να ππνινγίζεηε ηα 0

( ) ( ) a

a f x dx θαη

( )

1

0

( ) ( ) f a

J a f x dx . Να δείμεηε όηη

( ) ( ) ( ) a J a a f a .

ii. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηε από ηελ f , ηνλ άμνλα x x θαη ηηο

επζείεο 0x θαη 3x .

iii. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηε από ηελ 1f , ηνλ άμνλα x x θαη

ηηο επζείεο 0x θαη (3)x f .

Πλήρεις σημειώσεις για Γ Λυκείου Προσανατολισμού 2016

Education

Transcript of Πλήρεις σημειώσεις για Γ Λυκείου Προσανατολισμού 2016