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TURMA 2012: Modelagem Matematica − PRA31Prof. Jose A. Davalos Chuquipoma
LER 02 − LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS 02
Data para submissao na Plataforma Moodle: 18/08/2014
Questao 1
Considere um capital inicial c0 aplicado a uma taxa mensal α. Encontre o valor de resgate futuro cn,no n-esimo mes, supondo que o regime de juros seja composto, isto e, cn+1 − cn = αcn, com n ≥ 1.
Solucao:
A equacao caracterıstica e r = 1+α, logo a solucao geral e cn = k(1+α)n, utilizando a condicao de capitalinicial c0 = c(0) = k, temos que a solucao do problema de valor inicial sera cn = c0(1 + α)n, ∀n ≥ 0.
Questao 2
Pesquisadores estimam que a dinamica populacional das tilapias e dado pelo seguinte enunciado: adiferenca da populacao de tilapias no mes n e no mes anterior e proporcional ao numero de tilapiaspresentes no segundo estagio. Se a populacao inicial de tilapias e p0, e transcorrido o primeiro mes apopulacao e p1 = p0, fazer a modelagem matematica do problema de encontrar a populacao de tilapiasem qualquer mes n ≥ 2.
Solucao:
Do enunciado temos que a modelagem matematica do problemas e feita atraves do seguinte problemade valor inicial para uma equacao de diferenca linear de segunda ordem homogenea
(PV I)
pn = pn−1 + αpn−2
p(0) = p0, p1 = p0,
onde α e a constante de proporcionalidade, pn representa o numero de tilapias presente no mes n ep(0) = p0, p1 = p0 sao as condicoes inicias. A equacao caracterıstica do (PVI) e r2 − r − α = 0, cujasraızes sao
r1 =1 +√
1 + 4α
2e r2 =
1−√
1 + 4α
2, r1 6= r2.
A solucao geral e dada porpn = C1r
n1 + C2r
n2 ,
onde C1, C2 sao constantes a ser determinadas. Utilizando as condicoes iniciais encontramos que
C1 = p0 −r1p0 − p0r1 − r2
=p0[1 +
√1 + 4α]
2√
1 + 4α
e
C2 = p0 − C1 = −p0[1−√
1 + 4α]
2√
1 + 4α.
1
Portanto o numero de tilapias presente no mes n e dado por
pn =p0[1 +
√1 + 4α]
2√
1 + 4α
(1 +√
1 + 4α
2
)n
− p0[1−√
1 + 4α]
2√
1 + 4α
(1−√
1 + 4α
2
)n
, ∀n ≥ 0.
Questao 3
Cientistas percebem que a dinamica populacional de celulas cancerigenas no cerebro (glioblastomas)obedecem o seguinte comportamento: a metade de celulas presentes no instante n e diretamente propor-cional a quantidade de celulas presentes no instante anterior e diretamente proporcional a quantidadede celulas presentes no instante n− 2. Se a populacao inicial de celulas e c0, e passado o primeiro mesc(1) = c1, encontrar um modelo matematico que determine o numero de glioblastomas em qualquermes n ≥ 2 sabendo que as celulas aumentam em numero em relacao ao tempo.
Solucao:
Seja cn o numero de celulas glioblastomas presente no cerebro no mes n e c(0) = c0, c1 as condicoesinicias. Do enunciado temos 1
2cn = acn−1 e 1
2cn = bcn−2, onde a e b sao as constantes de proporcionali-
dade. Tomando em conta o crescimento das celulas devemos considerar que a > 0 e b > 0, aqui fazemosuso da hipoteses de simplificacao presente nas etapas da modelagem matematica. Logo a modelagemmatematica do problemas e feita atraves do seguinte problema de valor inicial para uma equacao dediferenca linear de segunda ordem homogenea
(PV I)
cn = acn−1 + bcn−2
c(0) = c0, c(1) = c1.
A equacao caracterıstica do (PVI) e r2 − ar − b = 0, cujas raızes sao
r1 =a+√a2 + 4b
2e r2 =
a−√a2 + 4b
2, r1 6= r2.
A solucao geral e dada porcn = A1r
n1 + A2r
n2 ,
onde A1, A2 sao constantes a ser determinadas. Utilizando as condicoes iniciais encontramos que
A1 + A2 = c0
r1A1 + r2A2 = c1.
Logo, o sistema anterior admite como solucao os valores
A1 = c0 −r1c0 − c1r1 − r2
e A2 =r1c0 − c1r1 − r2
Portanto o numero de celulas cancerigenas presente no mes n e dado por
cn = (c0 −r1c0 − c1r1 − r2
)
(a+√a2 + 4b
2
)n
+r1c0 − c1r1 − r2
(a−√a2 + 4b
2
)n
, ∀n ≥ 0.
2
Questao 4
Uma massa ligada a uma mola realiza movimentos verticais, observa-se que a soma dos deslocamentosverticais em intervalos de tempos [n, n+ 2] e zero para todo n ∈ N . Determinar o modelo matematicodo problema de encontrar os deslocamentos verticais em cada instante de tempo n, se a posicao inicialda mola e zero e no instante seguinte o deslocamento e um.
Solucao: Se yn representa o deslocamento vertical no instante n, o modelo matematico do problema edado pelo o problema de valor inicial:
(PV I)
yn+2 + yn = 0
y0 = 0, y1 = 1.
A equacao caracterıstica er2 + 1 = 0
cujas raızes saor1 = i r = −i.
Logo, a solucao e yn = ρ (c1 cos(ωn) + c2sen(ωn)) onde c1, c2 sao constantes e
ρ =√a2 + b2 =
√1 = 1 e ω = arccos(a/ρ) = arccos(0) =
π
2.
Portanto,
yn = c1 cos(π
2n) + c2 sen(
π
2n), c1, c2 constantes.
Das condicoes iniciais temos
y0 = c1 cos(π
20) + c2 sen(
π
20) = c1 = 0,⇒ c1 = 0.
Analogamente,
y1 = c2 sen(π
2) = c2 = 1,⇒ c2 = 1.
Portanto, a solucao do problema de valor inicial e
yn = sen(nπ
2), ∀n ≥ 0.
Questao 5
A concentracao de uma substancia poluente cn (em quilogramas) em um tempo n (em horas )se propagaem uma lagoa de acordo com o seguinte modelo matematico
(PV I)
cn = acn−1 − a2
4cn−2
c(0) = c0, c(1) = c1,
onde a > 0. Encontrar um modelo matematico que determine a quantidade de substancia poluentepresente em qualquer hora n ≥ 2.
3
Solucao:
A equacao caracterıstica do (PVI) e r2 − ar + a2
4= 0, cujas raızes sao
r1 = r2 =a
2.
A solucao geral e dada por
cn = (A1 + A2n)(a
2
)n
,
onde A1, A2 sao constantes a ser determinadas. Utilizando as condicoes iniciais encontramos que
A1 = c0
(A1 + A2)a2
= c1.
Logo, o sistema anterior admite como solucao os valores
A1 = c0 e A2 =2c1a− c0.
Portanto a quantidade de substancia poluente presente na lagoa na hora n e dado por
cn =(c0 +
2nc1a− c0n
)(a
2
)n
, ∀n ≥ 0,
isto e, a solucao e
cn =(c0(1− n) +
2nc1a
)(a
2
)n
, ∀n ≥ 0,
4