LER 02 LISTA DE EXERC ICIOS RESOLVIDOS 02 · inicias. Do enunciado temos 1 2 c n = ac n 1 e 1 2 c n...

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TURMA 2012: Modelagem Matem´ atica - PRA31 Prof. Jos´ e A. D´avalos Chuquipoma LER 02 - LISTA DE EXERC ´ ICIOS RESOLVIDOS 02 Data para submiss˜ ao na Plataforma Moodle: 18/08/2014 Quest˜ ao 1 Considere um capital inicial c 0 aplicado a uma taxa mensal α. Encontre o valor de resgate futuro c n , no nesimo mˆ es, supondo que o regime de juros seja composto, isto ´ e, c n+1 - c n = αc n , com n 1. Solu¸ ao: A equa¸ c˜ao caracter´ ıstica ´ e r = 1+α, logoasolu¸c˜ ao geral ´ e c n = k(1+α) n , utilizando a condi¸ c˜aodecapital inicial c 0 = c(0) = k, temos que a solu¸c˜ ao do problema de valor inicial ser´ a c n = c 0 (1 + α) n , n 0. Quest˜ ao 2 Pesquisadores estimam que a dinˆamica populacional das til´ apias ´ e dado pelo seguinte enunciado: a diferen¸cadapopula¸c˜ ao de til´ apias no mˆ es n e no mˆ es anterior ´ e proporcional ao n´ umero de til´ apias presentes no segundo est´agio. Se a popula¸ c˜ao inicial de til´apias ´ e p 0 , e transcorrido o primeiro mˆ es a popula¸c˜ ao ´ e p 1 = p 0 , fazer a modelagem matem´atica do problema de encontrar a popula¸ c˜aodetil´ apias em qualquer mˆ es n 2. Solu¸ ao: Do enunciado temos que a modelagem matem´ atica do problemas ´ e feita atrav´ es do seguinte problema de valor inicial para uma equa¸c˜ ao de diferen¸ca linear de segunda ordem homogˆ enea (PVI ) p n = p n-1 + αp n-2 p(0) = p 0 , p 1 = p 0 , onde α ´ e a constante de proporcionalidade, p n representa o n´ umero de til´ apias presente no mˆ es n e p(0) = p 0 ,p 1 = p 0 ao as condi¸c˜ oes inicias. A equa¸c˜ ao caracter´ ıstica do (PVI) ´ e r 2 - r - α = 0, cujas ra´ ızes s˜ ao r 1 = 1+ 1+4α 2 e r 2 = 1 - 1+4α 2 , r 1 6= r 2 . Asolu¸c˜aogeral´ e dada por p n = C 1 r n 1 + C 2 r n 2 , onde C 1 ,C 2 ao constantes a ser determinadas. Utilizando as condi¸c˜ oes iniciais encontramos que C 1 = p 0 - r 1 p 0 - p 0 r 1 - r 2 = p 0 [1 + 1+4α] 2 1+4α e C 2 = p 0 - C 1 = - p 0 [1 - 1+4α] 2 1+4α . 1

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TURMA 2012: Modelagem Matematica − PRA31Prof. Jose A. Davalos Chuquipoma

LER 02 − LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS 02

Data para submissao na Plataforma Moodle: 18/08/2014

Questao 1

Considere um capital inicial c0 aplicado a uma taxa mensal α. Encontre o valor de resgate futuro cn,no n-esimo mes, supondo que o regime de juros seja composto, isto e, cn+1 − cn = αcn, com n ≥ 1.

Solucao:

A equacao caracterıstica e r = 1+α, logo a solucao geral e cn = k(1+α)n, utilizando a condicao de capitalinicial c0 = c(0) = k, temos que a solucao do problema de valor inicial sera cn = c0(1 + α)n, ∀n ≥ 0.

Questao 2

Pesquisadores estimam que a dinamica populacional das tilapias e dado pelo seguinte enunciado: adiferenca da populacao de tilapias no mes n e no mes anterior e proporcional ao numero de tilapiaspresentes no segundo estagio. Se a populacao inicial de tilapias e p0, e transcorrido o primeiro mes apopulacao e p1 = p0, fazer a modelagem matematica do problema de encontrar a populacao de tilapiasem qualquer mes n ≥ 2.

Solucao:

Do enunciado temos que a modelagem matematica do problemas e feita atraves do seguinte problemade valor inicial para uma equacao de diferenca linear de segunda ordem homogenea

(PV I)

pn = pn−1 + αpn−2

p(0) = p0, p1 = p0,

onde α e a constante de proporcionalidade, pn representa o numero de tilapias presente no mes n ep(0) = p0, p1 = p0 sao as condicoes inicias. A equacao caracterıstica do (PVI) e r2 − r − α = 0, cujasraızes sao

r1 =1 +√

1 + 4α

2e r2 =

1−√

1 + 4α

2, r1 6= r2.

A solucao geral e dada porpn = C1r

n1 + C2r

n2 ,

onde C1, C2 sao constantes a ser determinadas. Utilizando as condicoes iniciais encontramos que

C1 = p0 −r1p0 − p0r1 − r2

=p0[1 +

√1 + 4α]

2√

1 + 4α

e

C2 = p0 − C1 = −p0[1−√

1 + 4α]

2√

1 + 4α.

1

Portanto o numero de tilapias presente no mes n e dado por

pn =p0[1 +

√1 + 4α]

2√

1 + 4α

(1 +√

1 + 4α

2

)n

− p0[1−√

1 + 4α]

2√

1 + 4α

(1−√

1 + 4α

2

)n

, ∀n ≥ 0.

Questao 3

Cientistas percebem que a dinamica populacional de celulas cancerigenas no cerebro (glioblastomas)obedecem o seguinte comportamento: a metade de celulas presentes no instante n e diretamente propor-cional a quantidade de celulas presentes no instante anterior e diretamente proporcional a quantidadede celulas presentes no instante n− 2. Se a populacao inicial de celulas e c0, e passado o primeiro mesc(1) = c1, encontrar um modelo matematico que determine o numero de glioblastomas em qualquermes n ≥ 2 sabendo que as celulas aumentam em numero em relacao ao tempo.

Solucao:

Seja cn o numero de celulas glioblastomas presente no cerebro no mes n e c(0) = c0, c1 as condicoesinicias. Do enunciado temos 1

2cn = acn−1 e 1

2cn = bcn−2, onde a e b sao as constantes de proporcionali-

dade. Tomando em conta o crescimento das celulas devemos considerar que a > 0 e b > 0, aqui fazemosuso da hipoteses de simplificacao presente nas etapas da modelagem matematica. Logo a modelagemmatematica do problemas e feita atraves do seguinte problema de valor inicial para uma equacao dediferenca linear de segunda ordem homogenea

(PV I)

cn = acn−1 + bcn−2

c(0) = c0, c(1) = c1.

A equacao caracterıstica do (PVI) e r2 − ar − b = 0, cujas raızes sao

r1 =a+√a2 + 4b

2e r2 =

a−√a2 + 4b

2, r1 6= r2.

A solucao geral e dada porcn = A1r

n1 + A2r

n2 ,

onde A1, A2 sao constantes a ser determinadas. Utilizando as condicoes iniciais encontramos que

A1 + A2 = c0

r1A1 + r2A2 = c1.

Logo, o sistema anterior admite como solucao os valores

A1 = c0 −r1c0 − c1r1 − r2

e A2 =r1c0 − c1r1 − r2

Portanto o numero de celulas cancerigenas presente no mes n e dado por

cn = (c0 −r1c0 − c1r1 − r2

)

(a+√a2 + 4b

2

)n

+r1c0 − c1r1 − r2

(a−√a2 + 4b

2

)n

, ∀n ≥ 0.

2

Questao 4

Uma massa ligada a uma mola realiza movimentos verticais, observa-se que a soma dos deslocamentosverticais em intervalos de tempos [n, n+ 2] e zero para todo n ∈ N . Determinar o modelo matematicodo problema de encontrar os deslocamentos verticais em cada instante de tempo n, se a posicao inicialda mola e zero e no instante seguinte o deslocamento e um.

Solucao: Se yn representa o deslocamento vertical no instante n, o modelo matematico do problema edado pelo o problema de valor inicial:

(PV I)

yn+2 + yn = 0

y0 = 0, y1 = 1.

A equacao caracterıstica er2 + 1 = 0

cujas raızes saor1 = i r = −i.

Logo, a solucao e yn = ρ (c1 cos(ωn) + c2sen(ωn)) onde c1, c2 sao constantes e

ρ =√a2 + b2 =

√1 = 1 e ω = arccos(a/ρ) = arccos(0) =

π

2.

Portanto,

yn = c1 cos(π

2n) + c2 sen(

π

2n), c1, c2 constantes.

Das condicoes iniciais temos

y0 = c1 cos(π

20) + c2 sen(

π

20) = c1 = 0,⇒ c1 = 0.

Analogamente,

y1 = c2 sen(π

2) = c2 = 1,⇒ c2 = 1.

Portanto, a solucao do problema de valor inicial e

yn = sen(nπ

2), ∀n ≥ 0.

Questao 5

A concentracao de uma substancia poluente cn (em quilogramas) em um tempo n (em horas )se propagaem uma lagoa de acordo com o seguinte modelo matematico

(PV I)

cn = acn−1 − a2

4cn−2

c(0) = c0, c(1) = c1,

onde a > 0. Encontrar um modelo matematico que determine a quantidade de substancia poluentepresente em qualquer hora n ≥ 2.

3

Solucao:

A equacao caracterıstica do (PVI) e r2 − ar + a2

4= 0, cujas raızes sao

r1 = r2 =a

2.

A solucao geral e dada por

cn = (A1 + A2n)(a

2

)n

,

onde A1, A2 sao constantes a ser determinadas. Utilizando as condicoes iniciais encontramos que

A1 = c0

(A1 + A2)a2

= c1.

Logo, o sistema anterior admite como solucao os valores

A1 = c0 e A2 =2c1a− c0.

Portanto a quantidade de substancia poluente presente na lagoa na hora n e dado por

cn =(c0 +

2nc1a− c0n

)(a

2

)n

, ∀n ≥ 0,

isto e, a solucao e

cn =(c0(1− n) +

2nc1a

)(a

2

)n

, ∀n ≥ 0,

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