Post on 02-Jan-2020
L’integrale stocastico Formula di Ito
Verso l’integrale stocastico
Una versione più corretta di
dS(t) = σS(t)dX (t) + µS(t)dt
è la sua forma integrale
S(t) = S(0) +
∫ t
0σS(u)dB(u) +
∫ t
0µS(u)du
Ricordando che S è un processo che descrive la dinamica deiprezzi, B = X è il moto browiano, quello che abbiamo scritto èl’integrale di un processo (cioè di una funzione stocasticaanziché deterministica) rispetto al moto browniano!
L’integrale stocastico Formula di Ito
Verso l’integrale stocastico
Passi l’integrale di una funzione aleatoria del tipo∫ t
0X (u)du
che possiamo interpretare come il valore di un’area che varia alvariare della funzione integranda, cioè della traiettoria delprocesso X . Ma ∫ t
0X (u)dB(u)
come si interpreta? O più semplicemente, se f è una funzionedeterministica, cosa significa∫ t
0f (u)dB(u) ?
L’integrale stocastico Formula di Ito
Un passo indietro
Prendiamo f e g due funzioni, con g derivabile. Si può sempreintendere ∫ t
0f (u)dg(u) =
∫ t
0f (u)g′(u)du
Se g non è derivabile, ma ha variazione limitata (ad esempiog(x) = |x |), si può sempre calcolare l’integrale di f rispetto allavariazione di g come segue
limn→∞
n−1∑i=1
f (si)(g(si+1)− g(si))
presi i punti 0 < s1 < · · · < si < · · · < sn < t .
L’integrale stocastico Formula di Ito
Un passo avanti
Purtroppo se come g prendiamo la traiettoria del motobrowniano, si ha che questa è non differenziabile e in più èanche a variazione illimitata (FVt(B) = +∞). Servono quindialcuni condizioni sul nostro processo in modo da compensare ilcomportamento bizzarro del moto browniano. Torniamo al casogenerale e proviamo a definire l’integrale stocastico in analogiaa quanto visto sopra∫ t
0X (u)dB(u) = lim
n→∞
n−1∑i=1
X (si)(B(si+1)− B(si))
cercando di capire cosa serve
L’integrale stocastico Formula di Ito
Un passo avanti
Se X (si) è indipendente dall’incremento (B(si+1)− B(si)), siha che
E {X (si)(B(si+1)− B(si))}2 =EX 2(si)E(B(si+1)− B(si))2
=EX 2(si) · (si+1 − si)
quindi, riprendendo la nostra definizione di integrale stocasticoe utilizzando la proprietà di indipendenza, abbiamo
limn→∞
E
{n−1∑i=1
X (si)(B(si+1)− B(si))
}2
=
∫ t
0EX 2(u)du
L’integrale stocastico Formula di Ito
Un passo avanti
Infatti
E
{n−1∑i=1
X (si)(B(si+1)− B(si))
}2
=
E
{n−1∑i=1
X (si)2(B(si+1)− B(si))
2
}+ A =
n−1∑i=1
EX (si)2(si+1 − si)
dove il termine A contenente i prodotti incrociati è nullo per leproprietà di B.
L’integrale stocastico Formula di Ito
Integrale stocastico
Quindi, in definitiva l’integrale stocastico esiste se esiste finito∫ t
0EX 2(u)du
e se il X (u) è indipendente da B(s)− B(u) (con s > u), ovverose X è un processo adatto alla filtrazione generata dal motobrowniano (diremo semplicemente “adattato”). Quando esiste,l’integrale stocastico rispetto al moto browniano è definito comeprecedentemente introdotto.
L’integrale stocastico Formula di Ito
Ipotesi e contro esempio
Abbiamo visto che l’esistenza dell’integrale stocastico èdeterminata dalla condizione∫ t
0EX 2(u)du < ∞
Supponiamo di prendere X (s) = s−1B(s) e verifichiamo lacondizione∫ t
0EX 2(u)du =
∫ t
0u−2EB2(u)du =
∫ t
0u−2udu
=
∫ t
0u−1du = ln t − ln0 = ∞
Se invece scegliamo come X (s) = B(s) allora la condizione èrispettata ∫ t
0EB2(u)du =
∫ t
0udu =
t2
2< ∞
L’integrale stocastico Formula di Ito
ancora sulle ipotesi
Oltre alla condizione di integrabilità sul momento secondo dellafunzione integranda, c’è anche quella sulla adattabilità delprocesso integrando alla filtrazione del moto browniano. Asesempio, un processo del tipo X (s) = B(s + 1) non è più unprocesso adattato. Inoltre, nella definizione si è scelto dicalcolare il processo integrando nel punto iniziale di ciascunintervallo (si , si+1). Se invece avessimo scelto di procedere,come si fa per l’integrale ordinario, prendendo il punto centraledell’intervallo, avremmo ottenuto il seguente integrale diStratonovich∫ t
0X (u)dB(u) = lim
n→∞
n−1∑i=1
X(
si + si+1
2
)(B(si+1)− B(si))
che rispetta le regole ordinarie di calcolo integrale ma non puòessere utilizzato in finanza poiché viene meno l’ipotesi diadattabilità.
L’integrale stocastico Formula di Ito
Proprietà dell’integrale stocastico
E∫ t
0X (s)dB(s) = 0
Var∫ t
0X (s)dB(s) =
∫ t
0EX 2(s)ds∫ t
0adB(s) = a
∫ t
0dB(s) = aB(t)∫ t
0(aX (s) + Y (s))dB(s) = a
∫ t
0X (s)dB(s) +
∫ t
0Y (s)dB(s)
L’integrale stocastico Formula di Ito
Esempio di calcolo
Proviamo a calcolare direttamente l’integrale stocastico del tipo∫ T0 B(s)dB(s). Con alcuni passaggi algebrici si può mostrare
che
12
n−1∑j=0
(B(si+1)− B(si))2 =
12
B(tn)2 −n−1∑j=0
B(si)(B(si+1)− B(si))
noi dobbiamo calcolare il limite per n →∞ di
n−1∑i=1
B(si)(B(si+1)− B(si)) =12
B(tn)2 − 12
n−1∑j=0
(B(si+1)− B(si))2
che sarà pari a
12
B2(t)− 12[B, B](t) =
12
B2(t)− 12
t
L’integrale stocastico Formula di Ito
Verso la formula di Ito
Quindi ∫ t
0B(s)dB(s) =
12
B2(t)− 12
t
mentre, per l’integrale classico, presa f deterministica, conf (0) = 0 come per il moto browniano, si ottiene∫ t
0f (s)df (s) =
∫ t
0f (s)f ′(s)ds =
12
f 2(t)
Le due formule differiscono perché in quella dell’integralestocastico vi è un termine correttivo in più rispetto a quelladell’integrale ordinario.
L’integrale stocastico Formula di Ito
Verso la formula di Ito
Quindi ∫ t
0B(s)dB(s) =
12
B2(t)− 12
t
mentre, per l’integrale classico, presa f deterministica, conf (0) = 0 come per il moto browniano, si ottiene∫ t
0f (s)df (s) =
∫ t
0f (s)f ′(s)ds =
12
f 2(t)
Le due formule differiscono perché in quella dell’integralestocastico vi è un termine correttivo in più rispetto a quelladell’integrale ordinario.
L’integrale stocastico Formula di Ito
Verso la formula di Ito
Una versione generale del risultato precedente è fornita dallemma (o formula) di Ito, che è l’equivalente della formula diTaylor per i processi.
In realtà è molto di più in quanto permette di calcolare gliintegrali stocastici anche di funzioni di moti browniani (come ilvalore delle opzioni) del tipo f (B(t)).
L’integrale stocastico Formula di Ito
Se prendiamo f e g differenziabili, possiamo sempre scrivere
ddt
f (g(t)) = f ′(g(t))g′(t)
e quindi
f (g(t)) = f (g(0)) +
∫ t
0f ′(g(s))g′(s)ds
ovvero
f (g(t)) = f (g(0)) +
∫ t
0f ′(g(s))dg(s)
L’integrale stocastico Formula di Ito
Lemma di Ito per il moto browniano
Sostituendo a g il moto browniano B si avrebbe
f (B(t)) = f (0) +
∫ t
0f ′(B(s))dB(s)
ma la formula precedente non è corretta. Si dimostra inveceche
f (B(t)) = f (0) +
∫ t
0f ′(B(s))dB(s) +
12
∫ t
0f ′′(B(s))ds
fatte salve alcune condizioni di regolarità su f .
L’integrale stocastico Formula di Ito
Esempio
Supponiamo di avere f (x) = x2 e di voler calcolare f (B(t)).Dalla formula di Ito
f (B(t)) = f (B(0)) +
∫ t
0f ′(B(s))dB(s) +
12
∫ t
0f ′′(B(s))ds
otteniamo
B2(t) = 02 +
∫ t
02B(s)dB(s) +
12
∫ t
02ds
da cui si ricava ∫ t
0B(s)dB(s) =
12
B2(t)− 12
t
L’integrale stocastico Formula di Ito
formula di Ito e integrale stocastico
Come si vede, la formula di Ito è molto utile percalcolare l’integrale stocastico.
Infatti, la definizione dell’integrale stocastico nonè particolarmente operativa ai fini del calcolodell’integrale stesso!
L’integrale stocastico Formula di Ito
Lemma di Ito: forma differenziale
La formula di Ito
f (B(t)) = f (B(0)) +
∫ t
0f ′(B(s))dB(s) +
12
∫ t
0f ′′(B(s))ds
può essere vista come la versione integrale dello sviluppo diTaylor di f (B(t)) arrestato al secondo ordine, infatti
df (B(t)) = f ′(B(t))dB(t) +12
f ′′(B(t))(dB(t))2 + resto
L’integrale stocastico Formula di Ito
Introduciamo la seguente notazione
∂f (t , x)
∂t= ft(t , x)
∂f (t , x)
∂x= fx(t , x)
∂2f (t , x)
∂x2 = fxx(t , x)
L’integrale stocastico Formula di Ito
Lemma di Ito per processi più generali
Per i processi che possono essere scritti nella forma
X (t) = x +
∫ t
0Y (s)dB(s) +
∫ t
0Z (s)ds
con Y e Z due processi integrabili rispetto a B, si ha che
f (t , X (t)) =f (0, x) +
∫ t
0Y (s)fx(s, X (s))dB(s)
+
∫ t
0ft(s, X (s)) + Z (s)fx(s, X (s))
+12
Y 2(s)fxx(s, X (s))ds
L’integrale stocastico Formula di Ito
Lemma di Ito: forma differenziale
La formula precedente, che risulta piuttosto ostica, permette difatto di lavorare con qualsiasi modello di dinamica dei prezzi.La sua forma differenziale meno impressionante è la seguente
df (t , X (t)) =ft(t , X (t))dt + fx(t , X (t))dX (t)
+12
fxx(t , X (t))(dX (t))2
che non è altro se non lo sviluppo in serie di Taylor di f (t , X (t))nell’intorno del punto f (0, X (0)).
L’integrale stocastico Formula di Ito
Processo di Ornstein-Uhlenbeck
Il processo di OU è della forma
U(t) =
∫ t
0e−λ(t−s)dB(s)
Come possiamo ricavarne la dinamica? Attraverso il lemma diIto nella sua forma differenziale. Dobbiamo riscrivere U(t) nellaforma
X (t) = X (0) +
∫ t
0Y (s)dB(s) +
∫ t
0Z (s)ds
e cercare una opportuna funzione f (t , x) per applicare illemma. Poniamo
f (t , x) = e−λtx , X (t) =
∫ t
0Y (s)dB(s)
Y (s) = eλs Z (s) = 0
L’integrale stocastico Formula di Ito
Processo di Ornstein-Uhlenbeck
Quindi
ft(t , x) =∂
∂te−λtx = −λe−λtx
ft(t , x) =∂
∂xe−λtx = e−λt
ftt(t , x) =∂2
∂x2 e−λtx = 0
ovvero applicando
df (t , X (t)) =ft(t , X (t))dt + fx(t , X (t))dX (t)
+12
fxx(t , X (t))(dX (t))2
abbiamo
dU(t) = −λe−λtX (t)dt + e−λtdX (t) +12× 0(dX (t))2
L’integrale stocastico Formula di Ito
Processo di Ornstein-Uhlenbeck
Ricordando chedX (t) = eλtdB(s)
e che abbiamo posto
U(t) = e−λtX (t)
dadU(t) = −λe−λtX (t)dt + e−λtdX (t)
otteniamodU(t) = −λU(t)dt + dB(t)
L’integrale stocastico Formula di Ito
Esercizi
1) Dimostrare che:∫ t
0sdB(s) = tB(t)−
∫ t
0B(s)ds
2) Calcolare: ∫ t
0B2(s)dB(s)
3) Si utilizzi il lemma di Ito per scrivere le e.d.s. chegovernano i processi
a) X (t) = B2(t)b) X (t) = 2 + t + eB(t)
L’integrale stocastico Formula di Ito
Formula di integrazione per parti
Sia f = f (s) non dipendente da ω, f continua e a variazionelimitata su [0, t ]. Allora, vale la seguente formula di integrazioneper parti ∫ t
0f (s)dB(s) = f (t)B(t)−
∫ t
0B(s)df (s)
[Di cui l’esercizio 1) è un caso particolare
]