Post on 15-Sep-2018
Integrale stochastique
Plan
L’integrale stochastique generale
Integrale de Wiener
Exemples
Processus d’Ito
Formule d’Ito
Formule de Black & Scholes
Le processus B est un mouvement Brownien etFB
t , t ≥ 0
est sa
filtration naturelle.
1
1 L’integrale stochastique generale
On cherche a definir ∫ t
0
θs dBs
quand θs, s ≥ 0 est un processus stochastique.
Definition 1.1 On dit que θt, t ≥ 0 est un bon processus s’il est
(FBt )-adapte, caglad, et si
E
[∫ t
0
θ2s ds
]< +∞
pour tout t > 0.
2
1.1 Cas des processus etages
Ce sont les processus du type
θnt =
pn∑i=0
θi11]ti,ti+1](t)
ou pn ∈ IN, 0 = t0 ≤ t1 . . . ≤ tpnet θi ∈ L2(Ω,Fti
, P ) pour tout
i = 0, . . . , pn. On definit
It(θn) =∫ t
0
θns dBs =
pn∑i=0
θi(Bti+1∧t − Bti∧t)
3
Proprietes:
E [It(θn)] = 0
Var [It(θn)] = E
[∫ t
0
(θns )2 ds
].
Les processus It(θn) et I2t (θn) − ∫ t
0(θn
s )2ds sont des martingales.
4
1.2 Cas general
Si θ est un bon processus, il existe θn, n ≥ 0 suite de processus
etages telle que
E
[∫ t
0
(θs − θns )2 ds
]→ 0
quand n ↑ +∞. Il existe une v.a. It(θ) de carre integrable telle que
E[|It(θ) − It(θn)|2
]→ 0
quand n ↑ +∞. On pose
It(θ) =∫ t
0
θs dBs
pour tout t ≥ 0.
5
Proprietes:
E [It(θ)] = 0
Var [It(θ)] = E
[∫ t
0
θ2s ds
].
Linearite :
It(a1θ1 + a2θ
2) = a1It(θ1) + a2It(θ2).
Proprietes de martingale : Pour tout bon processus θ, les
processus
t → It(θ) et t → It(θ)2 −∫ t
0
θ2sds
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sont des (FBt )-martingales continues.
E[(It(θ) − Is(θ))2
∣∣FBs
]= E
[∫ t
s
θ2udu
∣∣FBs
].
Propriete d’isometrie : Pour tous bons processus ϕ, θ et tout
s, t ≥ 0, on a
E [Is(ϕ)It(θ)] = E
[∫ s∧t
0
θuϕu du
].
Le processus
It(θ)It(ϕ) −∫ t
0
θuϕu du
est une (FBt )-martingale.
7
Proposition 1.2 Pour tout t ≥ 0 on a∫ t
0
Bs dBs =12(B2
t − t).
8
Il est possible de definir It(θ) sous la seule condition∫ t
0
θ2s ds < +∞ p.s.
Cependant, t → It(θ) n’est plus necessairement une martingale.
Definition 1.3 Soit Ft, t ≥ 0 une filtration et Xt, t ≥ 0 unprocessus (Ft)-adapte. On dit que X est une (Ft)-martingale
locale s’il existe une suite τn, n ≥ 0 de (Ft)-temps d’arret telleque
P [τn → +∞] = 1
et le processus Xn : t → Xt∧τnest une martingale pour tout n ≥ 0.
Definition 1.4 On dit que θt, t ≥ 0 est un bon processus locals’il est caglad, (FB
t )-adapte, et si∫ t
0
θ2s ds < +∞ p.s.
9
pour tout t > 0.
Soit θ un bon processus local. On peut definir It(θ) pour tout
t > 0, qui est une martingale locale. De meme, en prenant la meme
suite de temps d’arret, on montre que le processus
It(θ)2 −∫ t
0
θ2s ds
est une martingale locale.
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1.3 Le crochet
Definition 1.5 Si Z est une martingale locale continue , < Z >
est l’unique processus croissant continu (Ft)-adapte tel que
t → Z2t − < Z >t soit une (Ft)-martingale locale.
Par polarite, on peut definir le crochet de deux (Ft)-martingales
locales M et N en ecrivant
< M, N >t =12
(< M + N >t − < M >t − < N >t) .
Le crochet < M, N > est aussi l’unique processus a variation finie
tel que le processus MN− < M, N > soit une martingale locale.
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Enfin, la proposition suivante donne enfin de < M, N > uneimportante construction trajectorielle :
Proposition 1.6 Soient M et N deux martingales localescontinues. Alors p.s. pour tout t ≥ 0,
< M, N >t = limn→+∞
2n∑i=1
(Mtni− Mtn
i−1)(Ntn
i− Ntn
i−1)
ou tni , i = 0 . . . 2n designe la subdivision reguliere sur [0, t].
< I(θ) >t =∫ t
0
θ2s ds et < I(θ), I(ϕ) >t=
∫ t
0
θsϕsds.
On dit que deux martingales continues sont orthogonales si leurcrochet est nul, c’est-a-dire si leur produit est une martingale. Parexemple, deux Browniens independants sont des martingalesorthogonales.
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2 Cas particulier: Integrale de Wiener
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2.1 Definition
On note L2(IR+) l’ensemble des (classes d’equivalence des)
fonctions boreliennes f de IR+ dans IR de carre integrable,
c’est-a-dire telles que∫ +∞0
|f(s)|2 ds < ∞.
C’est un espace de Hilbert pour la norme
||f ||2 =(∫ ∞
0
f2(s) ds
)1/2
.
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2.1.1 a. Fonctions en escalier
Pour f = 11]u,v] , on pose∫ +∞0
f(s)dBs = B(v) − B(u).
Soit f une fonction en escalier, f(s) =∑i=n
i=1 fi−111]ti;ti+1](s) on
pose ∫ +∞
0
f(s)dBs =i=n∑i=1
fi−1 (B(ti) − B(ti−1)) .
La variable aleatoire I(f)def=∫ +∞0
f(s)dBs est une variable
gaussienne d’esperance nulle et de variance∫ +∞0
f2(s)ds.
L’integrale est lineaire : I(f + g) = I(f) + I(g). Si f et g sont des
fonctions en escalier E(I(f) I(g)) =∫
R+ f(s) g(s) ds. Le processus I
est un processus gaussien, c’est une martingale.
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2.1.2 b. Cas general
Si f ∈ L2(IR+), il existe une suite fn de fonctions en escalier quiconverge (dans L2(IR+)) vers f , c’est-a-dire qui verifie∫ ∞
0
|fn − f |2(x) dx →n→∞ 0.
Dans ce cas, la suite fn est de Cauchy dans L2(IR+). La suite dev.a. Fn =
∫∞0
fn(s) dBs est une suite de Cauchy dans l’espace deHilbert L2(Ω) (en effet ||Fn − Fm||2 = ||fn − fm||2 →n,m→∞ 0),donc elle est convergente. On pose
I(f)def=∫ ∞
0
f(s) dBs = limn→∞
∫ ∞
0
fn(s) dBs
la limite etant prise dans L2(Ω).On dit que I(f) est l’integrale stochastique (ou integrale deWiener) de f par rapport a B.
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Le sous-espace de L2(Ω) forme par les v.a.∫∞0
f(s)dBs coıncide
avec l’espace gaussien engendre par le mouvement Brownien.
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2.2 Proprietes
• L’application f → I(f) est lineaire
I(f + g) = I(f) + I(g)
et isometrique de L2(IR+) dans L2(Ω)
E (I(f) I(g)) =∫
IR+f(s)g(s) ds.
• La variable I(f) est une v.a. gaussienne centree de variance∫IR+ f2(s)ds appartenant a l’espace gaussien engendre par
(Bt, t ≥ 0) et elle verifie pour tout t
E
(Bt
∫IR+
f(s)dBs
)=∫ t
0
f(s)ds . (2.1)
La propriete (2.1) est en fait une caracterisation de l’integrale
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stochastique au sens ou si pour tout t, E(ZBt) =∫ t
0f(s)ds, alors
Z =∫ ∞
0
f(s)dBs.
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2.3 Processus lie a l’integrale stochastique
De la meme facon on definit∫ t
0f(s)dBs pour f telle que∫ T
0|f(s)|2 ds < ∞, ∀T , ce qui permet de definir l’integrale
stochastique pour une classe plus grande de fonctions. On notera
L2loc cette classe de fonctions.
20
Theoreme 2.1 Soit f ∈ L2loc et Mt =
∫ t
0f(s)dBs.
a) Le processus M est une martingale continue, la v.a. Mt est
d’esperance 0 et de variance∫ t
0f2(s) ds.
b) Le processus M est un processus gaussien centre de
covariance∫ t∧s
0f2(u) du a accroissements independants.
c) Le processus (M2t − ∫ t
0f2(s) ds , t ≥ 0) est une martingale.
d) Si f et g sont dans L2loc, on a
E(∫ t
0f(u)dBu
∫ s
0g(u)dBu) =
∫ t∧s
0
f(u)g(u)du .
21
2.4 Integration par parties
Theoreme 2.2 Si f est une fonction de classe C1,∫ t
0
f(s) dBs = f(t)B(t) −∫ t
0
f ′(s)Bs ds.
On peut aussi ecrire cette formule
d(Btf(t)) = f(t)dBt + Btf′(t)dt .
22
3 Exemples
23
3.1 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
Theoreme 3.1 L’equation de Langevin
Vt = −∫ t
0
aVsds + σBt + V0, (3.1)
a pour unique solution
Vt = e−taV0 +∫ t
0
e−(t−s)aσdBs. (3.2)
On ecrit l’equation (3.1) sous forme condensee
dVt + aVtdt = σdBt, V0 donne
les donnees du probleme sont la variable aleatoire V0, le Brownien
B et les constantes a et σ.
24
Proposition 3.2 Le processus V , appelle processus
d’Ornstein-Uhlenbeck est gaussien d’esperance et de covariance
E(Vt) = e−taV,
cov[Vs, Vt] =∫ s
0
e−(s−u)aσ2e−(t−u)a du , s ≤ t
En particulier, si V0 est une constante (v = 0)
cov[Vs, Vt] =σ2
2ae−a(s+t)(e2as − 1)
et Var(Vt) =σ2
2a(1 − exp−2at).
25
En ecrivant
Vs = e−saV0 +∫ s
0
e−(s−u)aσdBu
Vse(s−t)a = e−taV0 +
∫ s
0
e−(t−u)aσdBu
on en deduit, pour s ≤ t
Vt = Vse−(t−s)a +
∫ t
s
e−(t−u)aσdBu
ou encore
Vt+s = Vse−ta +
∫ t
0
e−(t−u)aσdBu
ou le processus B defini par Bu = Bs+u − Bs est un MB
independant de Fs (donc de Vs).
26
En particulier
E(f(Vt+s)|Fs) = E(f(Vse−ta + Y )|Fs) = E(f(Vt+s)|Vs) (dans cette
egalite Y est une v.a. independante de Fs) ce qui etablit le
caractere markovien de V .
Le calcul explicite peut se faire en utilisant que
E(f(V (x)s e−ta + Y )|Fs) = Ψ(V (x)
s )
avec Ψ(y) = E(f(ye−ta + Y )) = E(f(V (y)t )) ou V (x) est la solution
de l’equation de valeur initiale x, soit
V(x)t = e−tax +
∫ t
0e−(t−s)aσdBs.
27
Proposition 3.3 La variable aleatoire∫ t
0
Vsds est une v.a.
gaussienne, de moyenne V01−e−at
a et de variance
− σ2
2a3(1 − e−at)2 +
σ2
a2(t − 1 − e−at
a).
28
3.2 Modele de Vasicek
drt = a(b − rt)dt + σdBt. (3.3)
La forme explicite de la solution est
rt = (r0 − b)e−at + b + σ
∫ t
0
e−a(t−u)dBu.
L’egalite
rt = (rs − b)e−a(t−s) + b + σ
∫ t
s
e−a(t−u)dBu, s ≤ t
etablit le caractere Markovien de r.
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• Si r0 est une constante, rt est une variable gaussienne de
moyenne (r0 − b)e−at + b, et de variance σ2
2a (1 − exp−2at).
• En particulier, ce n’est pas une variable positive.
• Le processus r est gaussien de covariance
Cov(rs, rt) = σ2
2a e−a(s+t)(e2as − 1) pour s ≤ t.
30
Proposition 3.4 Pour tout s < t, l’esperance et le variance
conditionnelle de r sont
E(rt|rs) = (rs − b)e−a(t−s) + b
vars (rt) =σ22a
(1 − e−2a(t−s))
Proposition 3.5 La variable∫ t
0rsds est une variable gaussienne
de moyenne
E(∫ t
0
rsds) = bt + (r0 − b)1 − e−at
a
et de variance − σ2
2a3(1 − e−at)2 +
σ2
a2(t − 1 − e−at
a).
31
On en deduit
E(exp−∫ t
s
ru du |Fs) = exp(−M(t, s) +12V (t, s)) .
32
Ces calculs sont utiles pour valoriser des zero-coupons en finance :
si B(t, T ) est la valeur d’un ZC de maturite T , on a
B(t, T ) = E(exp
(−∫ T
t
rudu
)|Ft)
et
B(t, T ) = exp[b(T − t) + (rt − b)
1 − e−a(T−t)
a
− σ2
4a3(1 − e−a(T−t))2 +
σ2
2a2(T − t − 1 − e−a(T−t)
a)]
33
4 Processus d’Ito
Ce sont des processus ecrits sous la forme
Xt = x +∫ t
0
bs ds +∫ t
0
σs dBs (4.1)
ou b est un processus FBt -adapte tel que∫ t
0
|bs| ds < +∞ p.s.
pour tout t ≥ 0, et σ un bon processus local. On utilise la notation
formelle
dXt = bt dt + σt dBt
X0 = x .
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Le coefficient b s’appelle la derive (ou le drift) du processus, et σ
son coefficient de diffusion.
35
Le processus
t → x +∫ t
0
bs ds
est la partie a variation finie de X, et le processus
t →∫ t
0
σs dBs
la partie martingale de X (c’est a priori une martingale locale). La
decomposition (4.1) du processus X est unique, au sens ou si X
admet une autre decomposition
Xt = x +∫ t
0
bs ds +∫ t
0
σs dBs,
alors b ≡ b et σ ≡ σ. En particulier, X sous la forme (4.1) est une
martingale locale si et seulement si b ≡ 0.
36
En fait, cette representation des martingales locales dans une
filtration Brownienne est caracteristique, independamment de ce
que le processus soit a priori un processus d’Ito :
Theoreme 4.1 [Theoreme de representation des
martingales locales] Soit B un mouvement brownien et M une
FBt -martingale locale continue. Alors il existe x ∈ IR et θ bon
processus local tel que
Mt = x +∫ t
0
θs dBs.
Ce theoreme est extremement important en Finance (marche
complet).
37
Si X1 et X2 sont deux processus d’Ito de decomposition
Xit = x +
∫ t
0
bis ds +
∫ t
0
σis dBs
pour i = 1, 2, leur crochet est par definition le crochet de leurs
parties martingales. Autrement dit
< X1, X2 > = < I(σ1), I(σ2) >=∫ t
0
σ1sσ2
sds.
38
5 Formule d’Ito
On se donne un processus d’Ito reel X de decomposition (4.1) et
une fonction f : IR → IR suffisamment reguliere.
Theoreme 5.1 [Premiere formule d’Ito] Supposons f de classe
C2. Alors
f(Xt) = f(x) +∫ t
0
f ′(Xs)dXs +12
∫ t
0
f ′′(Xs)σ2sds.
Si f est a derivees bornees, et σ borne, le processus
f(Xt) − ∫ t
0f ′(Xs)bs ds − 1
2
∫ t
0f ′′(Xs)σ2
sds est une martingale.
Cette formule s’ecrit sous forme condensee
df(Xt) = f ′(Xt)dXt +12f ′′(Xt)σ2
t dt
39
=(
f ′(Xt)bt +12f ′′(Xt) σ2
t
)dt + f ′(Xt)σtdBt
= f ′(Xt)btdt +12f ′′(Xt) d〈X〉t + f ′(Xt)σtdBt.
On utilise souvent la notation
df(Xt) = f ′(Xt)dXt +12f ′′(Xt)dXt · dXt
avec la table de multiplication
dt dBt
dt 0 0
dBt 0 dt
40
En particulier, t → f(Xt) est un processus d’Ito de derive∫ t
0
(f ′(Xs)bs +
12f ′′(Xs)σ2
s
)ds
et de partie martingale ∫ t
0
f ′(Xs)σs dBs.
Quand les derivees sont bornees, l’integrale stochastique
apparaissant dans la formule est une vraie martingale, et on en
deduit :
E [f(Xt)] = E [f(X0)] +∫ t
0
E
[f ′(Xs)bs +
12f ′′(Xs)σ2
s
]ds
E[f(Xt) | FB
s
]= f(Xs) + E
[∫ t
s
(f ′(Xu)bu +
12f ′′(Xu)σ2
u
)du
∣∣∣∣FBs
]
41
Theoreme 5.2 [Deuxieme formule d’Ito] Soit f une fonction
definie sur IR+ × IR de classe C1 par rapport a t, de classe C2 par
rapport a x. On a
f(t, Xt) = f(0, X0)+∫ t
0
f ′t(s, Xs)ds+
∫ t
0
f ′x(s, Xs)dXs+
12
∫ t
0
f ′′xx(s, Xs)σ2
sds.
On peut ecrire cette formule sous forme differentielle :
df(t, Xt) =(
f ′t(t, Xt) +
12f ′′
xx(t, Xt)σ2t
)dt + f ′
x(t, Xt)dXt
= f ′t(t, Xt)dt + f ′
x(t, Xt)dXt +12f ′′
xx(t, Xt)d〈X〉t.
=(
f ′t(t, Xt) + f ′
x(t, Xt)bt +12f ′′
xx(t, Xt)σ2t
)dt
+f ′x(t, Xt)σtdBt
42
Exemple fondamental: Le mouvement brownien geometrique,
ou processus log-normal est defini par l’equation
Xt = x + µ
∫ t
0
Xs ds + σ
∫ t
0
Xs dBs
avec µ, σ ∈ IR. On montre que
Xt = x exp[µt + σBt − σ2t/2
].
Dans le cas ou µ et σ sont des fonctions deterministes :
Xt = x +∫ t
0
µ(s)Xs ds +∫ t
0
σ(s)Xs dBs
Xt = X0 exp−[∫ t
0
µ(s)ds +∫ t
0
σ(s)ds − 12
∫ t
0
σ2(s)ds .
]
43
Theoreme 5.3 [Troisieme formule d’Ito] Soient X1 et X2
deux processus d’Ito issus de x1 (resp. de x2) de coefficient de
derive b1 (resp. b2), de coefficient de diffusion σ1 (resp. σ2) et
portes respectivement par deux Browniens B1 et B2 correles avec
coefficient ρ. On suppose que bi, σi sont FBi
t -adaptes. Soit f une
fonction de IR2 dans IR de classe C2 a derivees bornees. On a
f(X1t , X2
t ) = f(x1, x2) +∫ t
0
f ′1(X
1s , X2
s ) dX1s +
∫ t
0
f ′2(X
1s , X2
s ) dX2s
+12
∫ t
0
(f ′′11(X
1s , X2
s )(σ1
s
)2+ 2 ρ f ′′
12(X1s , X2
s )σ1sσ2
s + f ′′22(X
1s , X2
s )(σ2
s
)2)ds
ou f ′i designe la derivee par rapport a xi et f ′′
ij la derivee seconde
par rapport a xj puis xi, i, j = 1, 2.
44
Proposition 5.4 [Formule d’integration par parties]
X1t X2
t = x1x2 +∫ t
0
X1s dX2
s +∫ t
0
X2s dX1
s + ρ
∫ t
0
σ1sσ2
s ds.
d(X1X2)t = X1t dX2
t + X2t dX1
t + d〈X1, X2〉t .
45
6 Formule de Black & Scholes
On considere un marche financier comportant un actif dit sansrisque de taux constant r et de prix S0
t = ert et un actif risque dontle prix S verifie
dSt = b St dt + σ St dBt
soit
St = S0 exp[σBt + (b − σ2/2)t
]On fixe un horizon T > 0 et on souhaite donner le prix d’un actiffinancier qui versera h(ST ) a la date T .
Le cas d’un call Europeen de maturite T et de strike K
correspond au cas h(x) = (x − K)+.
46
On procede par duplication (hedging): on forme un portefeuille
constitue d’ α parts de l’actif sans risque (le montant de la richesse
investie dans cet actif est αert) et de βt parts de l’actif risque.
On va trouver un portefeuille auto-financant de valeur terminale
h(ST ). La valeur de ce portefeuille a la date t est
Vt = αtS0t + βtSt .
La condition d’auto-financement se formalise par
dVt = αtdS0t + βtdSt ;
soit
dVt = rVtdt + βtSt ((b − r)dt + σdBt)
47
On suppose que la valeur du portefeuille a la date t est une fonctiondeterministe du temps et de la valeur de l’actif risque, soit V (t, St).
En utilisant la deuxieme formule d’Ito, on calcule
dVt =(
∂V
∂t(t, St) + b St
∂V
∂x(t, St) +
σ2S2t
2∂2V
∂x2(t, St)
)dt
+(
σSt∂V
∂x(t, St)
)dBt.
En identifiant avec la condition d’auto-financement,
σβtSt = σSt∂V
∂x(t, St) soit βt =
∂V
∂x(t, St),
ce qui entraıne alors
rSt∂V
∂x(t, St) +
∂V
∂t(t, St) +
σ2S2t
2∂2V
∂x2(t, St) − rV (t, St) = 0
avec pour condition terminale V (T, ST ) = h(ST ).
48
Comme St est une v.a. qui peut prendre toutes les valeurs de IR+,
on en deduit que V satisfait l’EDP
rx∂V∂x (t, x) + ∂V
∂t (t, x) + 12σ2x2 ∂2V
∂2x (t, x) − rV (t, x) = 0
(6.1)
avec pour condition terminale V (T, x) = h(x).
Dans le cas d’un call europeen h(x) = (x − K)+, et pour σ > 0,
cette equation se resout alors en :
V (t, x) = xN (d1) − Ke−r(T−t)N (d2)
49
ou N est la fonction de repartition d’une v.a. gaussienne standard :
N (x) =1√2π
∫ x
−∞e−u2/2du,
et avec les notations
d1 =1
2σ√
T − t
(ln(xer(T−t)/K
)+
12σ2(T − t)
)et d2 = d1−σ
√T − t.
La quantite∂C
∂x(t, St) = N (d1)
qui represente la couverture du marche, soit le nombre de parts de
l’actif sous jacent utilisees pour repliquer l’option s’appelle le Delta
de l ’option et represente aussi la sensibilite du prix de l option par
rapport au prix du sous jacent.
50
Comme consequence de la formule d’Ito appliquee aux EDS, on
verra plus tard une formule probabiliste pour le prix du call :
C(t, St) = er(t−T )E[(ST − K)+ | Ft
]lorsque le S a pour dynamique
dSt = rStdt + σStdBt .
Cette interpretation est fondamentale en Finance, et fait
intervenir un changement de probabilite.
51