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Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret. Section 1. Filtration. (Ω fini). On appelle filtration (F n ) n=0,...,N une suite croissante de tribus, c’est à dire n = 0, ..., N - 1, F n ⊂F n+1 . On peux associer à cette suite de tribu une suite de partitions (associées) (P n ) n=0,...,N . Les partitions sont de plus en plus fine au sens suivant: Definition On dit qu’une partition P est plus fine qu’une partition P 0 si pour tout bloc d’information A ∈P , il existe un bloc d’information A 0 ∈P 0 tel que A A 0 . Alors (exercice) F⊂F 0 si et seulement si la partition associée à F 0 est plus fine que la partition associée à F . Philippe Bich Probabilités appliquées à la finance.

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Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.Section 1. Filtration. (Ω fini).

On appelle filtration (Fn)n=0,...,N une suite croissante de tribus,c’est à dire

∀n = 0, ...,N − 1,Fn ⊂ Fn+1.

On peux associer à cette suite de tribu une suite de partitions(associées) (Pn)n=0,...,N . Les partitions sont de plus en plus fineau sens suivant:

Definition On dit qu’une partition P est plus fine qu’unepartition P ′ si pour tout bloc d’information A ∈ P, il existe unbloc d’information A′ ∈ P ′ tel que A ⊂ A′.

Alors (exercice) F ⊂ F ′ si et seulement si la partition associéeà F ′ est plus fine que la partition associée à F .

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Ainsi, si (Fn)n=0,...,N est une filtration, et si (Pn)n=0,...,N une lasuite de partition associée, cette suite de partition est de plusen plus fine (mais pas croissante pour l’inclusion!).

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Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.Section 2. Arbre associé à une Filtration.

On peux définir l’arbre associé à la filtration ainsi:1) A chaque date n = 0, ...N, ... les sommet de l’arbre sont lesblocs d’informations de la partition Pn associée à la tribu Fn2) Les branches de l’arbre relient un bloc A ∈ Pn et un blocA′ ∈ Pn+1 du moment que A′ ⊂ A.

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Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.Section 3. Probabilités de transition associée à uneFiltration.

Si (Ω,A,P) espace probabilisé et (Fn) une filtration (enparticulier, Fn sous tribu de A), on définit les probabilités detransition sur les différentes branches de l’arbre associé à lafiltration ainsi:Si une branche de l’arbre relient un bloc A ∈ Pn et un blocA′ ∈ Pn+1 (donc A′ ⊂ A), la probabilité (en tant que nombre réeldans [0,1]) associée à cette branche est par définitionP(A′ | A) = P(A′∩A)

P(A) = P(A′)P(A) .

Pour tout noeud définit par un bloc A ∈ Pn à la date n, celadéfinit une distribution de probabilités sur les noeuds suivantA′ ∈ Pn+1 : A′ ⊂ A en n + 1 puisque∑

A′∈Pn+1:A′⊂A

P(A′ | A) = 1.

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Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.Section 4. Processus adapté (Ω fini).

Soit un espace probabilisé (Ω,A,P).

Définition On appelle processus stochastique à temps discret,entre les dates t = 0 et t = N, noté (Xk )k=0,...,N , la donnéed’une suite X0, ...,XN de variables aléatoires sur (Ω,A,P).

Définition Soit F = (Fn)n=0,...,N une filtration. On dit que leprocessus stochastique (Xk )k=0,...,N est F-adapté si pour toutn, Xn est Fn- mesurable, i.e. ...

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Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.Section 5. Martingale (Ω fini).

Soit un espace probabilisé (Ω,A,P), et X = (Xk )k=0,...,N unprocessus stochastique à temps discret, ainsi queF = (Fn)n=0,...,N une filtration.

Definition On dit que le processus stochastique X est uneF-martingale si:(1) Le processus stochastique X est F-adapté.(2) Pour tout n = 0, ...,N − 1, E(Xn+1 | Fn) = Xn.

Montrez que cela implique que E(Xn) est constante avec n.

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Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.Section 5. Martingale (Ω fini).

Illustration martingale: Chaque photo montre une "grille" deplus en plus précise, représentant le suite des partitions quireprésente la filtration. Sur chaque bloc de la partition, la"variable" aléatoire prend la même valeur, qui est le niveau degris du bloc. Le fait d’être une martingale se lit par...

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Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.Section 5. Martingale (Ω fini).

Soit un espace probabilisé (Ω,A,P), et X = (Xk )k=0,...,N unprocessus stochastique à temps discret, ainsi queF = (Fn)n=0,...,N une filtration.

Definition On dit que le processus stochastique X est uneF-sous-martingale si:(1) Le processus stochastique X est F-adapté.(2) Pour tout n = 0, ...,N − 1, E(Xn+1 | Fn) ≥ Xn.

Montrez que cela implique que E(Xn) est croissante avec n.

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Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.Section 5. Martingale (Ω fini).

Soit un espace probabilisé (Ω,A,P), et X = (Xk )k=0,...,N unprocessus stochastique à temps discret, ainsi queF = (Fn)n=0,...,N une filtration.

Definition On dit que le processus stochastique X est uneF-sur-martingale si:(1) Le processus stochastique X est F-adapté.(2) Pour tout n = 0, ...,N − 1, E(Xn+1 | Fn) ≤ Xn.

Montrez que cela implique que E(Xn) est décroissante avec n.

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Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.

Remarquer que dire que X est F-adapté, i.e. que Xn estFn mesurable pour tout n, est pareil que dire que à toutedate n, Xn prend les même valeurs en des w ∈ Ω dans unmême bloc d’information à la date n, i.e. à tout noeud à ladate n, on a une valeur (et pas plus) de Xn.Remarquer que dire que E(Xn+1 | Fn) ≤ Xn est pareil quedire que la valeur de Xn en tout bloc d’information A ∈ Pnest l’espérance des valeurs de Xn+1 dans les blocsA′ ∈ Pn+1 qui sont reliés à A, i.e. A′ ⊂ A, par rapport auxprobabilité de transitions, i.e.:

Xn(A) =∑

A′∈Pn+1:A′⊂A

P(A′ | A)Xn+1(A′)

ou pour simplifier, on note Xn(A) la valeur commune desXn(w) quand w ∈ Ω et pareil pour Xn+1(A′).

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Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu

Attention: dans ce titre, continu est ici utilisé au sens ducontraire de "discret", pas au sens d’une fonction continue.

Definition: probabilité sur R.

On veux définir une probabilité sur R, ou sur unsous-ensemble E de R.Intuitivement, cela doit permettre de représenter ladistribution de fréquence d’un caractère "continu" (unetaille, un prix d’action, etc etc)...En général, pas une bonne approche de définir P(a)pour tout a ∈ E .

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Quantitative Questions from Wall street Job interviews

Soit P une probabilité définie sur (E ⊂ R,A), un espacemesuré. Alors l’ensemble D = a ∈ E : P(a) > 0 estdénombrable.

Un élément a ∈ D est appelé un atome de P. Ainsi, si l’on veuxdéfinir P via les P(a) (comme on peux le faire pour probasfinies ou dénombrables), alors on aboutira...à une probadiscrète (définie sur D dénombrable), puisqu’on peux éliminerles autres points...

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Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section1) tribu Borélienne

L’idée est de définir plutôt P par l’intermédiaire des P(]−∞, x ]pour tout x réel.Si P est définie sur un espace mesuré (R,A),etre capable dedéfinir P(]−∞, x ] necessite que A contienne ]−∞, x ] maisaussi les intersections ou unions dénombrables e tel ensemble,...et en fait la tribu engendrée par de tel ensemble.

Proposition La tribu engendrée par les ensembles ]−∞, x ]est aussi la tribu engendrée par les ouverts ]a,b[, i.e.l’ensemble B(R) appelée tribu borélienne.

C’est pour cela qu’on considére maintenant des probabilitésdéfinies sur (R,B(R))

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Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section2) Fonction de répartition d’une probabilité.

Définition Si P est une probabilité définie sur (R,B(R)), alorson appelle fonction de répartition de P, notée FP , la fonction deR dans R définie par

FP : IR→ IR,

F (x) = P(]−∞, x ]).

Exemple 1 Cette définition fonctionne aussi quand Pprobabilité finie ou dénombrable.Exemple 2 P sera appelée probabilité uniforme sur [a,b] si safonction de répartion est F (x) = 0 si x < a, F (x) = x−a

b−a six ∈ [a,b] et F (x) = 1 si x ≥ b.

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Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section3) Propriétés d’une fonction de répartition.

Théorème (Admis):Une fonction F : IR→ IR est une fonction de répartition d’unecertaine probabilité sur (R,B(R)) si et seulement si on a lestrois propriétés suivantes:(i) F est croissante.(ii) F est continue à droite.(iii) limx→−∞F (x) = 0 et limx→+∞F (x) = 1.

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Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section4) probabilité à densité.

Définition On appelle densité continue (ou continue parmorceaux) toute fonction f : R→ R continue (ou continue parmorceaux), telle que:i) f est une fonction positive.ii)

∫ +∞−∞ f (u)du = 1.

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Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section4) probabilité à densité.

Définition Pour toute densité continue (ou continue parmorceaux) f : R→ R, on peux définir une probabilité P, parl’intérmédiaire de sa fonction de répartition, par

FP(x) =

∫ x

−∞f (u)du

pour tout x ∈ R.On appelera probabilité à densité de telles probabilités.Interprétation graphique.

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Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section4) probabilité à densité.

Toute probabilité est-elle à densité ? NON

Proposition Si P a une densité f continue (resp. continue parmorceaux), alors sa fonction de répartition est C1 (resp. C1 parmorceaux). (Admis:)Même si la densité n’est pas continue, onobtient toujours au moins une fonction de répartition continue.

Ainsi, si on se donne une probabilité dont la fonction derépartition n’est pas continue, alors elle ne peux avoir dedensité.Exemple Dirac!

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Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section5) Variable aléatoire.

On rappelle qu’une variable aléatoire X à valeurs réelle, définiesur l’espace probabilisé (Ω,A,P), est simplement une fonctionX : Ω→ R telle que pour tout réel x , ”X ≤ x” ∈ A.

DéfinitionOn dira que X a pour fonction de répartition FX si pour toutx ∈ R, P(X ≤ x) = FX (x). Si FX admet une densité f , on ditque X a pour densité f .

Définir la loi de X , c’est donner sa fonction de répartition, ou sadensité si elle existe.

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Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section5) Variable aléatoire.

PropriétéSi X a pour pour densité f , on a aussi

P(X ∈ [a,b]) =

∫ b

af (x)dx .

et peu importe que l’intervalle soit ouvert ou fermé, et on peuxavoir a = −∞ et/ou b = +∞.

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Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section6) Espérance, variance.

b) Espérance, variance d’une variable à densité.

Soit une variable X : Ω→ R de densité f (continue ou continuepar morceaux).On appelle espérance E(X ) de X , quand cela existe, le réel

E(X ) =

∫ +∞

−∞xf (x)dx .

Théoreme (du transfert) Si φ : R→ R, et si X : Ω→ R a pourdensité f , alors

E(φ(X )) =

∫ +∞

−∞φ(x)f (x)dx .

La variance, covariance, ...sont définies à partir de l’espérance,comme dans les cas discrets.

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Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section7) Intégrale De Lebesgue

Motivation: on veux calculer E(X ) dans des cas où la densitén’est pas forcément continue, et pas forcément intégrable ausens classique.... et étendre l’intégrale de Riemann.

L’intégrale de Lebesgue se définit de la manière suivante:

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