Integrale stochastique

Plan

L’integrale stochastique generale

Integrale de Wiener

Exemples

Processus d’Ito

Formule d’Ito

Formule de Black & Scholes

Le processus B est un mouvement Brownien etFB

t , t ≥ 0

est sa

filtration naturelle.

1

1 L’integrale stochastique generale

On cherche a definir ∫ t

0

θs dBs

quand θs, s ≥ 0 est un processus stochastique.

Definition 1.1 On dit que θt, t ≥ 0 est un bon processus s’il est

(FBt )-adapte, caglad, et si

E

[∫ t

0

θ2s ds

]< +∞

pour tout t > 0.

2

1.1 Cas des processus etages

Ce sont les processus du type

θnt =

pn∑i=0

θi11]ti,ti+1](t)

ou pn ∈ IN, 0 = t0 ≤ t1 . . . ≤ tpnet θi ∈ L2(Ω,Fti

, P ) pour tout

i = 0, . . . , pn. On definit

It(θn) =∫ t

0

θns dBs =

pn∑i=0

θi(Bti+1∧t − Bti∧t)

3

Proprietes:

E [It(θn)] = 0

Var [It(θn)] = E

[∫ t

0

(θns )2 ds

].

Les processus It(θn) et I2t (θn) − ∫ t

0(θn

s )2ds sont des martingales.

4

1.2 Cas general

Si θ est un bon processus, il existe θn, n ≥ 0 suite de processus

etages telle que

E

[∫ t

0

(θs − θns )2 ds

]→ 0

quand n ↑ +∞. Il existe une v.a. It(θ) de carre integrable telle que

E[|It(θ) − It(θn)|2

]→ 0

quand n ↑ +∞. On pose

It(θ) =∫ t

0

θs dBs

pour tout t ≥ 0.

5

Proprietes:

E [It(θ)] = 0

Var [It(θ)] = E

[∫ t

0

θ2s ds

].

Linearite :

It(a1θ1 + a2θ

2) = a1It(θ1) + a2It(θ2).

Proprietes de martingale : Pour tout bon processus θ, les

processus

t → It(θ) et t → It(θ)2 −∫ t

0

θ2sds

6

sont des (FBt )-martingales continues.

E[(It(θ) − Is(θ))2

∣∣FBs

]= E

[∫ t

s

θ2udu

∣∣FBs

].

Propriete d’isometrie : Pour tous bons processus ϕ, θ et tout

s, t ≥ 0, on a

E [Is(ϕ)It(θ)] = E

[∫ s∧t

0

θuϕu du

].

Le processus

It(θ)It(ϕ) −∫ t

0

θuϕu du

est une (FBt )-martingale.

7

Proposition 1.2 Pour tout t ≥ 0 on a∫ t

0

Bs dBs =12(B2

t − t).

8

Il est possible de definir It(θ) sous la seule condition∫ t

0

θ2s ds < +∞ p.s.

Cependant, t → It(θ) n’est plus necessairement une martingale.

Definition 1.3 Soit Ft, t ≥ 0 une filtration et Xt, t ≥ 0 unprocessus (Ft)-adapte. On dit que X est une (Ft)-martingale

locale s’il existe une suite τn, n ≥ 0 de (Ft)-temps d’arret telleque

P [τn → +∞] = 1

et le processus Xn : t → Xt∧τnest une martingale pour tout n ≥ 0.

Definition 1.4 On dit que θt, t ≥ 0 est un bon processus locals’il est caglad, (FB

t )-adapte, et si∫ t

0

θ2s ds < +∞ p.s.

9

pour tout t > 0.

Soit θ un bon processus local. On peut definir It(θ) pour tout

t > 0, qui est une martingale locale. De meme, en prenant la meme

suite de temps d’arret, on montre que le processus

It(θ)2 −∫ t

0

θ2s ds

est une martingale locale.

10

1.3 Le crochet

Definition 1.5 Si Z est une martingale locale continue , < Z >

est l’unique processus croissant continu (Ft)-adapte tel que

t → Z2t − < Z >t soit une (Ft)-martingale locale.

Par polarite, on peut definir le crochet de deux (Ft)-martingales

locales M et N en ecrivant

< M, N >t =12

(< M + N >t − < M >t − < N >t) .

Le crochet < M, N > est aussi l’unique processus a variation finie

tel que le processus MN− < M, N > soit une martingale locale.

11

Enfin, la proposition suivante donne enfin de < M, N > uneimportante construction trajectorielle :

Proposition 1.6 Soient M et N deux martingales localescontinues. Alors p.s. pour tout t ≥ 0,

< M, N >t = limn→+∞

2n∑i=1

(Mtni− Mtn

i−1)(Ntn

i− Ntn

i−1)

ou tni , i = 0 . . . 2n designe la subdivision reguliere sur [0, t].

< I(θ) >t =∫ t

0

θ2s ds et < I(θ), I(ϕ) >t=

∫ t

0

θsϕsds.

On dit que deux martingales continues sont orthogonales si leurcrochet est nul, c’est-a-dire si leur produit est une martingale. Parexemple, deux Browniens independants sont des martingalesorthogonales.

12

2 Cas particulier: Integrale de Wiener

13

2.1 Definition

On note L2(IR+) l’ensemble des (classes d’equivalence des)

fonctions boreliennes f de IR+ dans IR de carre integrable,

c’est-a-dire telles que∫ +∞0

|f(s)|2 ds < ∞.

C’est un espace de Hilbert pour la norme

||f ||2 =(∫ ∞

0

f2(s) ds

)1/2

.

14

2.1.1 a. Fonctions en escalier

Pour f = 11]u,v] , on pose∫ +∞0

f(s)dBs = B(v) − B(u).

Soit f une fonction en escalier, f(s) =∑i=n

i=1 fi−111]ti;ti+1](s) on

pose ∫ +∞

0

f(s)dBs =i=n∑i=1

fi−1 (B(ti) − B(ti−1)) .

La variable aleatoire I(f)def=∫ +∞0

f(s)dBs est une variable

gaussienne d’esperance nulle et de variance∫ +∞0

f2(s)ds.

L’integrale est lineaire : I(f + g) = I(f) + I(g). Si f et g sont des

fonctions en escalier E(I(f) I(g)) =∫

R+ f(s) g(s) ds. Le processus I

est un processus gaussien, c’est une martingale.

15

2.1.2 b. Cas general

Si f ∈ L2(IR+), il existe une suite fn de fonctions en escalier quiconverge (dans L2(IR+)) vers f , c’est-a-dire qui verifie∫ ∞

0

|fn − f |2(x) dx →n→∞ 0.

Dans ce cas, la suite fn est de Cauchy dans L2(IR+). La suite dev.a. Fn =

∫∞0

fn(s) dBs est une suite de Cauchy dans l’espace deHilbert L2(Ω) (en effet ||Fn − Fm||2 = ||fn − fm||2 →n,m→∞ 0),donc elle est convergente. On pose

I(f)def=∫ ∞

0

f(s) dBs = limn→∞

∫ ∞

0

fn(s) dBs

la limite etant prise dans L2(Ω).On dit que I(f) est l’integrale stochastique (ou integrale deWiener) de f par rapport a B.

16

Le sous-espace de L2(Ω) forme par les v.a.∫∞0

f(s)dBs coıncide

avec l’espace gaussien engendre par le mouvement Brownien.

17

2.2 Proprietes

• L’application f → I(f) est lineaire

I(f + g) = I(f) + I(g)

et isometrique de L2(IR+) dans L2(Ω)

E (I(f) I(g)) =∫

IR+f(s)g(s) ds.

• La variable I(f) est une v.a. gaussienne centree de variance∫IR+ f2(s)ds appartenant a l’espace gaussien engendre par

(Bt, t ≥ 0) et elle verifie pour tout t

E

(Bt

∫IR+

f(s)dBs

)=∫ t

0

f(s)ds . (2.1)

La propriete (2.1) est en fait une caracterisation de l’integrale

18

stochastique au sens ou si pour tout t, E(ZBt) =∫ t

0f(s)ds, alors

Z =∫ ∞

0

f(s)dBs.

19

2.3 Processus lie a l’integrale stochastique

De la meme facon on definit∫ t

0f(s)dBs pour f telle que∫ T

0|f(s)|2 ds < ∞, ∀T , ce qui permet de definir l’integrale

stochastique pour une classe plus grande de fonctions. On notera

L2loc cette classe de fonctions.

20

Theoreme 2.1 Soit f ∈ L2loc et Mt =

∫ t

0f(s)dBs.

a) Le processus M est une martingale continue, la v.a. Mt est

d’esperance 0 et de variance∫ t

0f2(s) ds.

b) Le processus M est un processus gaussien centre de

covariance∫ t∧s

0f2(u) du a accroissements independants.

c) Le processus (M2t − ∫ t

0f2(s) ds , t ≥ 0) est une martingale.

d) Si f et g sont dans L2loc, on a

E(∫ t

0f(u)dBu

∫ s

0g(u)dBu) =

∫ t∧s

0

f(u)g(u)du .

21

2.4 Integration par parties

Theoreme 2.2 Si f est une fonction de classe C1,∫ t

0

f(s) dBs = f(t)B(t) −∫ t

0

f ′(s)Bs ds.

On peut aussi ecrire cette formule

d(Btf(t)) = f(t)dBt + Btf′(t)dt .

22

3 Exemples

23

3.1 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck

Theoreme 3.1 L’equation de Langevin

Vt = −∫ t

0

aVsds + σBt + V0, (3.1)

a pour unique solution

Vt = e−taV0 +∫ t

0

e−(t−s)aσdBs. (3.2)

On ecrit l’equation (3.1) sous forme condensee

dVt + aVtdt = σdBt, V0 donne

les donnees du probleme sont la variable aleatoire V0, le Brownien

B et les constantes a et σ.

24

Proposition 3.2 Le processus V , appelle processus

d’Ornstein-Uhlenbeck est gaussien d’esperance et de covariance

E(Vt) = e−taV,

cov[Vs, Vt] =∫ s

0

e−(s−u)aσ2e−(t−u)a du , s ≤ t

En particulier, si V0 est une constante (v = 0)

cov[Vs, Vt] =σ2

2ae−a(s+t)(e2as − 1)

et Var(Vt) =σ2

2a(1 − exp−2at).

25

En ecrivant

Vs = e−saV0 +∫ s

0

e−(s−u)aσdBu

Vse(s−t)a = e−taV0 +

∫ s

0

e−(t−u)aσdBu

on en deduit, pour s ≤ t

Vt = Vse−(t−s)a +

∫ t

s

e−(t−u)aσdBu

ou encore

Vt+s = Vse−ta +

∫ t

0

e−(t−u)aσdBu

ou le processus B defini par Bu = Bs+u − Bs est un MB

independant de Fs (donc de Vs).

26

En particulier

E(f(Vt+s)|Fs) = E(f(Vse−ta + Y )|Fs) = E(f(Vt+s)|Vs) (dans cette

egalite Y est une v.a. independante de Fs) ce qui etablit le

caractere markovien de V .

Le calcul explicite peut se faire en utilisant que

E(f(V (x)s e−ta + Y )|Fs) = Ψ(V (x)

s )

avec Ψ(y) = E(f(ye−ta + Y )) = E(f(V (y)t )) ou V (x) est la solution

de l’equation de valeur initiale x, soit

V(x)t = e−tax +

∫ t

0e−(t−s)aσdBs.

27

Proposition 3.3 La variable aleatoire∫ t

0

Vsds est une v.a.

gaussienne, de moyenne V01−e−at

a et de variance

− σ2

2a3(1 − e−at)2 +

σ2

a2(t − 1 − e−at

a).

28

3.2 Modele de Vasicek

drt = a(b − rt)dt + σdBt. (3.3)

La forme explicite de la solution est

rt = (r0 − b)e−at + b + σ

∫ t

0

e−a(t−u)dBu.

L’egalite

rt = (rs − b)e−a(t−s) + b + σ

∫ t

s

e−a(t−u)dBu, s ≤ t

etablit le caractere Markovien de r.

29

• Si r0 est une constante, rt est une variable gaussienne de

moyenne (r0 − b)e−at + b, et de variance σ2

2a (1 − exp−2at).

• En particulier, ce n’est pas une variable positive.

• Le processus r est gaussien de covariance

Cov(rs, rt) = σ2

2a e−a(s+t)(e2as − 1) pour s ≤ t.

30

Proposition 3.4 Pour tout s < t, l’esperance et le variance

conditionnelle de r sont

E(rt|rs) = (rs − b)e−a(t−s) + b

vars (rt) =σ22a

(1 − e−2a(t−s))

Proposition 3.5 La variable∫ t

0rsds est une variable gaussienne

de moyenne

E(∫ t

0

rsds) = bt + (r0 − b)1 − e−at

a

et de variance − σ2

2a3(1 − e−at)2 +

σ2

a2(t − 1 − e−at

a).

31

On en deduit

E(exp−∫ t

s

ru du |Fs) = exp(−M(t, s) +12V (t, s)) .

32

Ces calculs sont utiles pour valoriser des zero-coupons en finance :

si B(t, T ) est la valeur d’un ZC de maturite T , on a

B(t, T ) = E(exp

(−∫ T

t

rudu

)|Ft)

et

B(t, T ) = exp[b(T − t) + (rt − b)

1 − e−a(T−t)

a

− σ2

4a3(1 − e−a(T−t))2 +

σ2

2a2(T − t − 1 − e−a(T−t)

a)]

33

4 Processus d’Ito

Ce sont des processus ecrits sous la forme

Xt = x +∫ t

0

bs ds +∫ t

0

σs dBs (4.1)

ou b est un processus FBt -adapte tel que∫ t

0

|bs| ds < +∞ p.s.

pour tout t ≥ 0, et σ un bon processus local. On utilise la notation

formelle

dXt = bt dt + σt dBt

X0 = x .

34

Le coefficient b s’appelle la derive (ou le drift) du processus, et σ

son coefficient de diffusion.

35

Le processus

t → x +∫ t

0

bs ds

est la partie a variation finie de X, et le processus

t →∫ t

0

σs dBs

la partie martingale de X (c’est a priori une martingale locale). La

decomposition (4.1) du processus X est unique, au sens ou si X

admet une autre decomposition

Xt = x +∫ t

0

bs ds +∫ t

0

σs dBs,

alors b ≡ b et σ ≡ σ. En particulier, X sous la forme (4.1) est une

martingale locale si et seulement si b ≡ 0.

36

En fait, cette representation des martingales locales dans une

filtration Brownienne est caracteristique, independamment de ce

que le processus soit a priori un processus d’Ito :

Theoreme 4.1 [Theoreme de representation des

martingales locales] Soit B un mouvement brownien et M une

FBt -martingale locale continue. Alors il existe x ∈ IR et θ bon

processus local tel que

Mt = x +∫ t

0

θs dBs.

Ce theoreme est extremement important en Finance (marche

complet).

37

Si X1 et X2 sont deux processus d’Ito de decomposition

Xit = x +

∫ t

0

bis ds +

∫ t

0

σis dBs

pour i = 1, 2, leur crochet est par definition le crochet de leurs

parties martingales. Autrement dit

< X1, X2 > = < I(σ1), I(σ2) >=∫ t

0

σ1sσ2

sds.

38

5 Formule d’Ito

On se donne un processus d’Ito reel X de decomposition (4.1) et

une fonction f : IR → IR suffisamment reguliere.

Theoreme 5.1 [Premiere formule d’Ito] Supposons f de classe

C2. Alors

f(Xt) = f(x) +∫ t

0

f ′(Xs)dXs +12

∫ t

0

f ′′(Xs)σ2sds.

Si f est a derivees bornees, et σ borne, le processus

f(Xt) − ∫ t

0f ′(Xs)bs ds − 1

2

∫ t

0f ′′(Xs)σ2

sds est une martingale.

Cette formule s’ecrit sous forme condensee

df(Xt) = f ′(Xt)dXt +12f ′′(Xt)σ2

t dt

39

=(

f ′(Xt)bt +12f ′′(Xt) σ2

t

)dt + f ′(Xt)σtdBt

= f ′(Xt)btdt +12f ′′(Xt) d〈X〉t + f ′(Xt)σtdBt.

On utilise souvent la notation

df(Xt) = f ′(Xt)dXt +12f ′′(Xt)dXt · dXt

avec la table de multiplication

dt dBt

dt 0 0

dBt 0 dt

40

En particulier, t → f(Xt) est un processus d’Ito de derive∫ t

0

(f ′(Xs)bs +

12f ′′(Xs)σ2

s

)ds

et de partie martingale ∫ t

0

f ′(Xs)σs dBs.

Quand les derivees sont bornees, l’integrale stochastique

apparaissant dans la formule est une vraie martingale, et on en

deduit :

E [f(Xt)] = E [f(X0)] +∫ t

0

E

[f ′(Xs)bs +

12f ′′(Xs)σ2

s

]ds

E[f(Xt) | FB

s

]= f(Xs) + E

[∫ t

s

(f ′(Xu)bu +

12f ′′(Xu)σ2

u

)du

∣∣∣∣FBs

]

41

Theoreme 5.2 [Deuxieme formule d’Ito] Soit f une fonction

definie sur IR+ × IR de classe C1 par rapport a t, de classe C2 par

rapport a x. On a

f(t, Xt) = f(0, X0)+∫ t

0

f ′t(s, Xs)ds+

∫ t

0

f ′x(s, Xs)dXs+

12

∫ t

0

f ′′xx(s, Xs)σ2

sds.

On peut ecrire cette formule sous forme differentielle :

df(t, Xt) =(

f ′t(t, Xt) +

12f ′′

xx(t, Xt)σ2t

)dt + f ′

x(t, Xt)dXt

= f ′t(t, Xt)dt + f ′

x(t, Xt)dXt +12f ′′

xx(t, Xt)d〈X〉t.

=(

f ′t(t, Xt) + f ′

x(t, Xt)bt +12f ′′

xx(t, Xt)σ2t

)dt

+f ′x(t, Xt)σtdBt

42

Exemple fondamental: Le mouvement brownien geometrique,

ou processus log-normal est defini par l’equation

Xt = x + µ

∫ t

0

Xs ds + σ

∫ t

0

Xs dBs

avec µ, σ ∈ IR. On montre que

Xt = x exp[µt + σBt − σ2t/2

].

Dans le cas ou µ et σ sont des fonctions deterministes :

Xt = x +∫ t

0

µ(s)Xs ds +∫ t

0

σ(s)Xs dBs

Xt = X0 exp−[∫ t

0

µ(s)ds +∫ t

0

σ(s)ds − 12

∫ t

0

σ2(s)ds .

]

43

Theoreme 5.3 [Troisieme formule d’Ito] Soient X1 et X2

deux processus d’Ito issus de x1 (resp. de x2) de coefficient de

derive b1 (resp. b2), de coefficient de diffusion σ1 (resp. σ2) et

portes respectivement par deux Browniens B1 et B2 correles avec

coefficient ρ. On suppose que bi, σi sont FBi

t -adaptes. Soit f une

fonction de IR2 dans IR de classe C2 a derivees bornees. On a

f(X1t , X2

t ) = f(x1, x2) +∫ t

0

f ′1(X

1s , X2

s ) dX1s +

∫ t

0

f ′2(X

1s , X2

s ) dX2s

+12

∫ t

0

(f ′′11(X

1s , X2

s )(σ1

s

)2+ 2 ρ f ′′

12(X1s , X2

s )σ1sσ2

s + f ′′22(X

1s , X2

s )(σ2

s

)2)ds

ou f ′i designe la derivee par rapport a xi et f ′′

ij la derivee seconde

par rapport a xj puis xi, i, j = 1, 2.

44

Proposition 5.4 [Formule d’integration par parties]

X1t X2

t = x1x2 +∫ t

0

X1s dX2

s +∫ t

0

X2s dX1

s + ρ

∫ t

0

σ1sσ2

s ds.

d(X1X2)t = X1t dX2

t + X2t dX1

t + d〈X1, X2〉t .

45

6 Formule de Black & Scholes

On considere un marche financier comportant un actif dit sansrisque de taux constant r et de prix S0

t = ert et un actif risque dontle prix S verifie

dSt = b St dt + σ St dBt

soit

St = S0 exp[σBt + (b − σ2/2)t

]On fixe un horizon T > 0 et on souhaite donner le prix d’un actiffinancier qui versera h(ST ) a la date T .

Le cas d’un call Europeen de maturite T et de strike K

correspond au cas h(x) = (x − K)+.

46

On procede par duplication (hedging): on forme un portefeuille

constitue d’ α parts de l’actif sans risque (le montant de la richesse

investie dans cet actif est αert) et de βt parts de l’actif risque.

On va trouver un portefeuille auto-financant de valeur terminale

h(ST ). La valeur de ce portefeuille a la date t est

Vt = αtS0t + βtSt .

La condition d’auto-financement se formalise par

dVt = αtdS0t + βtdSt ;

soit

dVt = rVtdt + βtSt ((b − r)dt + σdBt)

47

On suppose que la valeur du portefeuille a la date t est une fonctiondeterministe du temps et de la valeur de l’actif risque, soit V (t, St).

En utilisant la deuxieme formule d’Ito, on calcule

dVt =(

∂V

∂t(t, St) + b St

∂V

∂x(t, St) +

σ2S2t

2∂2V

∂x2(t, St)

)dt

+(

σSt∂V

∂x(t, St)

)dBt.

En identifiant avec la condition d’auto-financement,

σβtSt = σSt∂V

∂x(t, St) soit βt =

∂V

∂x(t, St),

ce qui entraıne alors

rSt∂V

∂x(t, St) +

∂V

∂t(t, St) +

σ2S2t

2∂2V

∂x2(t, St) − rV (t, St) = 0

avec pour condition terminale V (T, ST ) = h(ST ).

48

Comme St est une v.a. qui peut prendre toutes les valeurs de IR+,

on en deduit que V satisfait l’EDP

rx∂V∂x (t, x) + ∂V

∂t (t, x) + 12σ2x2 ∂2V

∂2x (t, x) − rV (t, x) = 0

(6.1)

avec pour condition terminale V (T, x) = h(x).

Dans le cas d’un call europeen h(x) = (x − K)+, et pour σ > 0,

cette equation se resout alors en :

V (t, x) = xN (d1) − Ke−r(T−t)N (d2)

49

ou N est la fonction de repartition d’une v.a. gaussienne standard :

N (x) =1√2π

∫ x

−∞e−u2/2du,

et avec les notations

d1 =1

2σ√

T − t

(ln(xer(T−t)/K

)+

12σ2(T − t)

)et d2 = d1−σ

√T − t.

La quantite∂C

∂x(t, St) = N (d1)

qui represente la couverture du marche, soit le nombre de parts de

l’actif sous jacent utilisees pour repliquer l’option s’appelle le Delta

de l ’option et represente aussi la sensibilite du prix de l option par

rapport au prix du sous jacent.

50

Comme consequence de la formule d’Ito appliquee aux EDS, on

verra plus tard une formule probabiliste pour le prix du call :

C(t, St) = er(t−T )E[(ST − K)+ | Ft

]lorsque le S a pour dynamique

dSt = rStdt + σStdBt .

Cette interpretation est fondamentale en Finance, et fait

intervenir un changement de probabilite.

51