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CIRCUITOS DE CA
PROF. MARIO LUIZ F. LAMAS
CURSO DE ELETRNICA
v=VM . sen t i=IM . sen (t + /2)
NDICE
1. Indutncia - pg. 1
1.1. Campo Indutor e Permeabilidade Magntica, 1
1.2. Histereses Magntica, 2 1.3. Cicuito Magntico, 4 1.4. Definio de Indutncia, 5 1.5. Associaes de Indutores, 10
2. Fundamentos de CA - pg. 15
2.1. Fonte de Tenso Alternada Senoidal, 14
2.2. Ciclo, Perodo e Frequncia, 15
2.3. Valor Mdio das Grandezas Alternadas, 16
2.5. Valor Eficaz das grandezas Alternadas, 17
2.6. Representao Fasorial das Ondas Senoidais, 20
3. Circuitos Puros R, L e C - pg. 26
3.1. Circuitos Puramente Resistivos, 26
3.2. Circuitos Puramente Capacitivos, 28
3.3. Circuitos Puramente Indutivos, 30
4. Circuitos RLC Srie e Paralelo - pg. 34
4.1. Circuitos RC Srie, 34
4.2. Circuitos RL Srie, 35
4.3. Circuitos RLC Srie, 39
4.4. Circuitos RLC Srie, 44
5. Mtodo dos Nmeros Complexos Circuitos RLC - pg. 50 5.1. Reviso de Nmeros Complexos, 50
5.2. Representao complexa de Grandezas Eltricas, 54
6. Potncia em CA - pg. 62
6.1. Potncia Ativa, Reativa e Aparente, 62
6.2. Fator de Potncia, 64
6.3. Correo do fator de Potncia, 66
6.4. Potncia Aparente Complexa, 69
7. Gerador Trifsico - pg. 74
7.1. Alternador Monofsico de Induzido Rotativo, 74
7.2. Alternador Trifsico Bipolar de Induzido Rotativo, 74
7.3. Agrupamento das Fases em Estrela e em Tringulo, 76
7.4. Potncia dos Circuitos Trifsicos, 80
Indutncia 1
1. INDUTNCIA
1.1. CAMPO INDUTOR )H(
e PERMEABILIDADE MAGNTICA ()
Nas duas bobinas ao lado, nota-se que o nmero de espiras e a corrente que as atravessa a
mesma. No entanto, o comprimento das linhas de induo em cada caso diferente, ou seja, o
comprimento do circuito magntico diferente. No solenide mais curto obtm-se maior
intensidade de campo indutor porque h maior concentrao de corrente e espiras por unidade de
comprimento do circuito magntico. Sabe-se que o campo magntico oriundo da corrente, no
entanto, a geometria do condutor vai determinar se o poder de magnetizao que esta corrente
produz ser intenso ou no.
A fim de levar em conta o grau de concentrao da corrente, para efeitos de magnetizao,
foi criada a grandeza INTENSIDADE DE CAMPO MAGNTICO )H(
. Esta grandeza tambm
chamada de intensidade de campo indutor, campo indutor ou campo magnetizante. O campo indutor
uma grandeza vetorial, cujo sentido o mesmo das linhas de induo. O mdulo do campo
indutor a razo entre as ampre-espiras magnetizantes e o comprimento do circuito magntico em
questo. A unidade da intensidade de campo indutor no Sistema Internacional Ampre-
espira/metro ou Ampre/metro, j que espira uma grandeza adimensional (nmero puro).
Sejam trs solenides (espiras acomodadas numa forma tubular) de mesmas dimenses,
mesmo nmero de espiras e mesma corrente, porm com ncleos de materiais diferentes. Como se
pode observar no desenho, a ao de um mesmo campo indutor H produz diferentes indues e
fluxos em funo do material onde se estabelece o campo magntico.
A grandeza que caracteriza a qualidade magntica do material a permeabilidade
magntica (), sendo portanto, anloga condutividade (inverso da resistividade) para os materiais eltricos. Permeabilidade magntica absoluta ou simplesmente permeabilidade a constante de
proporcionalidade que relaciona campo indutor H com a induo produzida B. Pode ser considerada
como sendo a facilidade com que o material do meio atravessado pelas linhas de induo ou a
facilidade com que um material magnetiza-se.
H H H B B B
N,IFerro
N,IAr
N,ILiga especial
H . B
Indutncia 2
A
m.T
Ae
m.T
m/Ae
T
u(H)
u (B))u(
A unidade de permeabilidade
magntica est indicada ao lado.
Pode-se provar que T.m/A eqivale a
Henry/metro (H/m).
No caso da eletricidade tem-se condutividade nula nos materiais isolantes. No entanto, no
magnetismo, no existe o isolante magntico. Um dos piores meios de propagao do campo
magntico o vcuo e tem permeabilidade magntica absoluta (o) com um valor bem definido.
T.m/A.104o
7
Este meio tomado como referncia na comparao entre os materiais magnticos. Em
funo disto, define-se como permeabilidade relativa ( r ), a razo entre a permeabilidade absoluta de um dado material e a permeabilidade do vcuo.
u (r ) = adimensional
Dai, tem-se que: 0r .
Sabe-se que: e que: Logo, deduz-se que:
A permeabilidade relativa, simplesmente, diz quantas vezes o material mais permevel do
que o vcuo. Os materiais podem ser classificados de acordo com a sua permeabilidade, sendo que
eles podem ser denominados de materiais diamagnticos, paramagnticos e ferromagnticos.
Os materiais diamagnticos possuem permeabilidade constante e pouco menor que a do
vcuo, ou seja, estes materiais imantam-se muito pouco e em sentido contrrio ao do campo indutor.
Em funo disto so fracamente repelidos pelos ms. Como exemplos, podemos citar o bismuto,
cobre, gua, prata, e ouro.
Os materiais paramagnticos possuem permeabilidade constante e pouco maior que a do
vcuo, ou seja, estes materiais imantam-se muito pouco e no mesmo sentido do campo indutor. Em
funo disto so fracamente atrados pelos ms. Como exemplos, podemos citar o mangans,
estanho, cromo, oxignio lquido, ar ( temperatura de 0C e presso de 1 atm).
Os materiais que possuem mais importncia e tm mais utilizao so os materiais
denominados ferromagnticos. Eles possuem permeabilidade relativa muito maior do que 1, ou
seja, sua permeabilidade absoluta , notadamente, muito maior que a do vcuo. O valor da
permeabilidade destes materiais muito alta, porm varivel com a variao do campo indutor H.
Como exemplos, podemos citar: ferro, nquel, cobalto e aos especiais. O p magntico da fita K-7
, geralmente, constituda de xido de ferro (ou dixido de cromo).
1.2. HISTERESES MAGNTICA
A fim de se observar todos os estgios de magnetizao e
desmagnetizao de um material magntico, podemos introduzir este
material num solenide percorrido por uma corrente eltrica
contnua varivel. Anotando-se valores do campo indutor H e da
induo magntica B, poderamos montar um grfico (veja o grfico
a seguir).
or
I . N H
I . N . B 0
. H . B
Indutncia 3
B
H
Eletrom
mpermanente
Observando-se o grfico, vamos,
inicialmente, aumentar o campo indutor, de
modo que a induo magntica vai
crescendo (de 0 at 1), chegando-se ao
ponto de saturao magntica. Reduzindo-
se o campo indutor, a induo decresce, mas
com um certo atraso (linha 1 - 2), ou seja, o
material mantm, para cada valor de campo
indutor, uma induo magntica superior ao
que ele tinha na fase inicial de
magnetizao. Quando o campo indutor
anula-se (H=0), ainda resta um pequeno
magnetismo, ou seja, mesmo sem o campo
indutor externo os ims elementares
mantm-se parcialmente orientados.
Este magnetismo retido no material denominado de magnetismo (induo) residual. De
modo a anular este magnetismo (desmagnetizar o material) deveramos inverter o sentido da
corrente no solenide (campo indutor contrrio ao anterior) e ir aumentando, gradativamente, at
que a induo seja anulada (B=0). Aplicando-se um campo indutor -HC, a induo magntica B se
anularia. O campo indutor necessrio para causar este efeito denominado de campo coercitivo.
Nota-se na seqncia da anlise grfica que teremos um outro ponto de saturao magntica (ponto
4), porm com polaridade contrria ao ponto de saturao anterior.
Reduzindo-se a excitao na bobina magnetizadora, a induo magntica diminui at chegar
ao ponto 5 (H = 0), sobrando uma induo residual negativa. Para anular esta induo residual deve-
se inverter o campo e aument-lo at alcanar HC. Continuando-se a aumentar o campo indutor
chega-se novamente saturao no sentido positivo. Como percebeu-se, o valor da induo
magntica segue o valor do campo indutor H com um certo atraso, ou seja, quando H chega a zero,
B ainda no foi anulado. Histeresis, em grego, significa atraso.
Na construo de ms permanentes mais
aconselhvel materiais que se caracterizassem por
possurem induo residual elevada e campo coercitivo
tambm elevado. Assim sendo, teramos uma boa
induo de trabalho e os ms seriam difceis de serem
desmagnetizados. Como exemplos de materiais
utilizados podemos citar o ao com alto teor de carbono
e o ferrite. Aps o corte do campo indutor, alguns
tomos voltam a sua posio original, mas muitos deles
no conseguem este retorno, devido aos tomos de
carbono, os quais no sentem a ao do campo,
dificultando, ento, os movimentos dos tomos. No caso de ncleos de eletroms o importante
que a induo magntica seja alta para pequenos valores de H (alta permeabilidade) e que a induo
residual e o campo coercitivo sejam baixos, de modo que, ao se extinguir a corrente, a induo
residual seja anulada rapidamente.
Como exemplos de materiais utilizados para ncleos de eletroms podemos citar o ao-doce
e o ao-silcio. Estes materiais tm alta permeabilidade e pequeno campo coercitivo, porm tm alta
induo residual, o que no chega a ser problema, pois facilmente anulada, j que o campo
coercitivo muito baixo.
B(T) B M
-B M
-H M
H M H(Ae/m)
-H C
H C
B r
-B r
0
2
1
4
3
5
6
Indutncia 4
No grfico ao lado, existem duas curvas que
representam o comportamento magntico de dois
materiais diferentes. Percebe-se que aplicando um
mesmo campo indutor H(Ae/m), as indues
magnticas B(T) sero diferentes. Isto ocorre
porque os materiais no possuem a mesma
permeabilidade magntica, ou seja, a
permeabilidade do material X superior a do
material Y.
No obtm-se uma linha reta, pois o
crescimento de B no linear em relao a H. No
caso de uma curva relativa ao ar, teramos uma
linha reta quase paralela ao eixo do H, com uma
pequena inclinao.
Os fenmenos de histerese so em funo do atrito e da inrcia a que os pequenos ms
elementares ficam submetidos e isto representa perda de energia. A rea contida no ciclo de
histerese resulta proporcional a energia perdida durante as operaes. Os ncleos ferro-magnticos,
de um modo geral, apresentam perdas quando submetidos a campos magnticos variveis no tempo.
Quando um material magntico submetido a um campo magnetizante, seus ms
elementares orientam-se com certa dificuldade, devido ao atrito interno que existe entre os mesmos.
Tal atrito tambm existe quando o material submetido a um campo desmagnetizante. Quanto
maior for a dificuldade de magnetizar e desmagnetizar um material, maior ser esse atrito e maior a
energia dissipada em forma de calor, ou seja, maior ser a perda por histerese magntica.
Uma medida dessas dificuldades de magnetizao e desmagnetizao o campo coercitivo.
Os materiais duros, que tm campo coercitivo elevado, apresentam muitas perdas por histerese. Para
reduo dessas perdas deve-se usar material de baixo campo coercitivo, induo magntica baixa
(material no saturado) e reduzir a freqncia de variao do fluxo, quando for possvel. Assim,
para trabalhos envolvendo correntes alternadas conveniente que esta rea seja a menor possvel,
pois o material est permanentemente magnetizando-se e desmagnetizando-se e isto implica em
muita perda de energia.
1.3. CIRCUITO MAGNTICO
Num circuito eltrico existe uma grandeza denominada de resistncia eltrica, a qual
depende do comprimento do fio condutor, do material de que ele feito e da rea de sua seo
transversal. Esta grandeza constitui a oposio oferecida corrente. No caso de um circuito
magntico tambm existe uma oposio oferecida ao estabelecimento de um fluxo magntico, a
qual denominada de relutncia magntica (). Quanto maior o comprimento deste circuito magntico maior ser a oposio oferecida ao fluxo e quanto maior a rea da seo transversal do
ncleo magntico menor ser a relutncia.
Obviamente, a relutncia depende tambm da permeabilidade magntica do
ncleo. Portanto, para o clculo de relutncia temos a relao ao lado.
Sendo o comprimento em m , a rea em m2 e a permeabilidade em T.m/A e sabendo-se que
T=Weber/m2, a unidade de serA.e/Wb, conforme quadro abaixo. A unidade de relutncia pode
ser, tanto Ampre por Weber como Ampre.espira por Weber, sendo que mais comum esta
ltima.
A .
A.e/Wbou Wb/Am.T
A
m.A
m.T
m)(u
22
H
B
X
Y
0
Indutncia 5
i .N L
i
Com estas definies, podemos expressar a LEI DE HOPKINSON, que tambm
conhecida como a Lei de Ohm do eletromagnetismo. Esta lei diz que, num circuito magntico o
fluxo diretamente proporcional fora magnetomotriz aplicada (N . I causa dos fenmenos magnticos) e inversamente proporcional relutncia magntica do circuito.
Logo, temos:
I.N
ou
A Lei de Hopkinson poderia ser
comparada a Lei de Ohm, sendo a primeira
aplicada a um circuito magntico e a segunda
aplicada a um circuito eltrico.
No circuito magntico, temos uma
fora magnetomotriz (f.m.m. N.I) aplicada
a bobina, um fluxo magntico () que constante ao longo do circuito e uma
relutncia total (t), a qual poder ser dividida em duas parcelas, relutncia do
ncleo magntico(n) e relutncia do entreferro (espao de ar ; ef). No caso do circuito eltrico
acima, temos uma fora eletromotriz () aplicada ao circuito, uma corrente (I) que a mesma ao longo do circuito e uma resistncia total (Rt).
Na prtica, geralmente impossvel fazer a distribuio das espiras ao longo de todo o
ncleo magntico, ou seja, normalmente a bobina colocada num ou dois locais de forma a ser
possvel a sua construo de maneira simples. Este procedimento traz como resultado um fenmeno
indesejvel, que a disperso magntica, a qual ser desprezada no nosso estudo. Na realidade,
sempre existe uma certa quantidade de linhas de induo saindo do caminho limitado pelo ncleo.
1.4. DEFINIO DE INDUTNCIA
Considere um circuito formado por um
solenide alimentado por um gerador que fornece
corrente contnua, a qual origina um campo magntico,
cujas linhas de induo so linhas fechadas que se
concatenam (atravessam) com o solenide. Seja o fluxo magntico concatenado com o circuito, podemos
dizer que ele diretamente proporcional a intensidade
da corrente. Duplicando i, teremos uma duplicao de
B, duplicando, pois, . A constante de proporcionalidade L denominada de INDUTNCIA ou coeficiente de auto-induo. No caso de uma bobina com N
espiras teramos a relao ao lado.
Assim como existe o componente denominado de resistor que tem a
propriedade caracterizada como resistncia, tambm existe o componente
denominado de indutor (smbolos ao lado), o qual possui a propriedade
conhecida como indutncia. Esta grandeza pode ser medida atravs de um
indutmetro.
Tem uma indutncia de 1 henry (1H), a espira onde, por exemplo, a corrente sofre uma
variao de 1A, de modo que a variao de fluxo seja de 1Wb.
I . N .
Indutncia 6
R L
No caso de circuitos que contm bobinas, teremos uma elevada indutncia, a qual ser ainda
maior quando introduzirmos um ncleo magntico no seu interior. Em funo disto, denomina-se
uma bobina de indutor. No caso da introduo de um ncleo magntico no interior de uma bobina,
tem-se um campo magntico indutor H que no muda para uma determinada corrente i, mas
aumenta consideravelmente a induo magntica B, pois B = . H, refletindo num aumento substancial na variao de fluxo.
No caso, ento, de solenides com muitas espiras enroladas em ncleos magnticos teremos
indutncia de valor elevado. Comparando a indutncia de um circuito onde temos um condutor
retilneo com a indutncia de um circuito constitudo por um condutor enrolado no formato de
espiral (bobina), conclui-se que a indutncia no primeiro caso muito menor do que no segundo.
Considerando o circuito ao lado, onde temos um
solenide, uma chave e uma fonte de tenso contnua, quando
fecharmos a chave, a corrente comea a crescer rapidamente.
Enquanto a corrente est crescendo, as linhas de induo
comeam a se expandir atravs do circuito e esta induo
magntica corta a bobina. Consequentemente teremos o surgimento de uma f.e.m. auto-induzida, conforme foi visto
quando estudamos a Lei de Faraday. Esta f.e.m. de auto-induo
atua de modo a se opor ao crescimento da corrente, de acordo
com o que vimos no estudo da Lei de Lenz.
Sabe-se que L= N. / i e que = -N./t. Logo podemos afirmar que o valor da f.e.m. induzida obtida atravs da
expresso ao lado.
No circuito ao lado, temos uma fonte CC, um resistor, um indutor
e uma chave aberta. Vamos analisar a diferena na produo de uma
f.e.m. considerando o circuito sem o resistor e com o resistor.
Sabe-se que o valor da f.e.m. auto-induzida
depende da rapidez da variao da corrente, ou seja,
quando mais rpida a variao da corrente, maior
ser o valor desta f.e.m. e o seu valor funo
tambm do valor da corrente, pois correntes maiores
produzem campos magnticos mais intensos. O
aumento deste campo equivale a um nmero maior
de linhas de induo cortando a bobina, ou seja, a f.e.m. auto-induzida ser elevada. O tempo de
energizao de um indutor, quando ele passa a ser
alimentado diretamente por uma fonte CC no
instantneo, embora seja muito pequeno (grfico de
I1). Ligando-se um resistor em srie com o indutor
pode-se retardar este tempo, fazendo com a corrente
cresa mais lentamente (grfico de I2).
A INDUTNCIA DE UM CIRCUITO REPRESENTA A CAPACIDADE QUE O CIRCUITO POSSUI EM GERAR UMA F.E.M. DE AUTO-INDUO QUE SE
OPONHA AS VARIAES DE CORRENTE.
Um circuito tem uma indutncia de 1H quando, por exemplo, ele se deixa induzir por 1V,
sempre que a corrente variar na razo de 1A por segundo.
t
I1
t
I2
SEM
RESISTOR
COM
RESISTOR
retardo
tiL / .
Indutncia 7
Assim como no circuito RC temos uma constante de tempo, no circuito RL
tambm existe uma constante de tempo dada pela relao ao lado.
A f.e.m. induzida sempre de sentido tal que se ope variao imposta (Lei de Lenz). Este
efeito particularmente notvel quando da abertura de chaves que interrompem repentinamente a
corrente do circuito. A corrente no pode cair instantaneamente a zero, pois isto implicaria numa
f.e.m. induzida infinita tendendo a manter a corrente. Esta f.e.m. aparece como uma tenso entre os
terminais da chave interruptora e causa o aparecimento de uma fasca.
Em resumo, a corrente no se reduz a zero
instantaneamente, mas mantm-se pela fasca.
Tambm, quando se liga a chave, a corrente no
assume seu valor contnuo repentinamente, mas leva
um determinado tempo, funo da indutncia do
circuito. Nos grficos ao lado, nota-se que a variao
da corrente mais lenta no fechamento (t0) do que
na abertura (t2) do circuito. Portanto, o pico de
tenso (f.e.m. ) neste ltimo caso mais intenso. Isto comprovado atravs da observao da constante de
tempo =L/R, pois na abertura da chave temos o surgimento de ar entre seus contatos, ou seja, uma
resistncia de valor elevadssimo.
Observe no grfico que a polaridade da tenso no fechamento do circuito, ao se estabelecer
uma corrente, contrria a polaridade da tenso na abertura do circuito. A fasca que salta na
abertura da chave pode asssumir dimenses grandes, quando o circuito for de alta indutncia e a
corrente normal for muito intensa (motores de grande potncia). Freqentemente se quer evitar as
fascas, porque ela vai oxidando os contatos da chave.
No circuito analisado anteriormente, quando a corrente atinge o seu valor mximo,
determinado pela tenso e resistncia do circuito, ela no varia mais. Assim sendo, no teremos
mais variao de fluxo, desaparecendo a f.e.m. de auto-induo. No caso de corrente contnua, a
indutncia s afeta a corrente no circuito quando o mesmo ligado ou desligado, ou quando
alguma condio do circuito for alterada, pois s nestas ocasies teremos fluxo magntico varivel.
Se, no entanto, uma bobina for alimentada por uma tenso alternada, o efeito da indutncia estar
sempre presente no circuito, pois a corrente sofre uma variao permanente e uma f.e.m. estar
sendo induzida durante todo o perodo da corrente alternada.
1.5. APLICAES PRTICAS DE INDUTNCIA
- Resistor de fio
Ao lado, temos um resistor de fio enrolado em dupla espiral.
Assim, os efeitos magnticos se anulam, pois a corrente passa em
sentido contrrio nas espiras que esto lado a lado. Desta forma,
temos uma indutncia nula, fazendo com que o resistor tenha
apenas o efeito resistivo (apenas resistncia).
- Circuitos com capacitor ou resistor
No caso de circuitos com elevada indutncia, poderamos utilizar a montagem ao lado. O circuito RC em paralelo com a chave tenderia a
evitar o aparecimento de fascas no instante de abertura da chave. O
capacitor iria atuar no sentido de armazenar as cargas que circulariam no
referido instante.
t
i
t t0 t1 t2 t3
fasca
L
R
L
Indutncia 8
5H neon
6V
ch
Rede 110V 60hz
110V/60hz
+Vcc
M Circuito Digital
+Vcc
Uma outra forma de eliminar as fascas seria atravs da
utilizao de um resistor, conforme esquema ao lado. Convm
salientar que devemos fechar a chave K antes de abrir ch, pois assim
a f.e.m. auto-induzida na bobina, provocaria a circulao de uma
corrente na malha superior do circuito, onde est o resistor.
- Circuito com lmpada neon
Ao lado, temos uma fonte de C.C., uma chave, um
indutor e uma lmpada neon. A diferena entre a lmpada neon
e a lmpada comum que a primeira exige uma determinada
tenso (tenso de ignio) para acender (70V). Quando
fecharmos a chave, observaremos que a lmpada no acende.
Conclui-se que a f.e.m. auto-induzida no indutor no muito
elevada. Quando abrirmos a chave, a lmpada acender
momentaneamente, indicando que a f.e.m. induzida entre os terminais do indutor e da lmpada que
est em paralelo, maior do que a tenso de ignio. Isto se justifica, pois as variaes de corrente e
fluxo no instante de abertura ocorrem de uma forma extremamente rpida, rapidez esta que no
ocorreu no fechamento do circuito.
- Rel com diodo
Ao lado, temos um circuito digital que controla o funcionamento de um motor eltrico, sendo que o
transistor atuar como chave para operar o rel. A
colocao de um diodo em paralelo com a bobina do rel
tem a funo de evitar a queima do transistor no
momento em que o rel desligado, pois quando este
chaveamento ocorre teremos uma variao brusca do
fluxo magntico na bobina, gerando nesta, a induo de
uma tenso, de acordo com as Leis de Faraday e de Lenz.
O diodo, ento, devidamente conectado, atua como curto-
circuito no processo de desernegizao da bobina. O
diodo inclusive denominado de elemento supressor neste caso.
1.6. FATORES INFLUENTES NA INDUTNCIA
Sabe-se que a variao de B no interior de um solenide igual a:
I . N . B
Sabendo-se tambm que = B . A e que I
NL
. , teremos: =
I . N . . A
Como:
N
I.L , teremos:
N
IL
.. =
I . N . . A . Logo, obtm-se:
2N .A . L
A indutncia de uma bobina sem ncleo magntico constante, pois a permeabilidade
magntica possui um valor fixo (relutncia constante) e a indutncia de uma bobina com ncleo
magntico varivel, em funo da variao da permeabilidade. Como comum os indutores serem
usados numa faixa onde a permeabilidade no sofre variao significativa, podemos admitir que a
indutncia dos circuitos magnticos com ncleos tambm uma constante do circuito (exceto
quando estes ncleos magnticos estiverem prximos do ponto de saturao).
L ch
K
Indutncia 9
N NA B
A B
Comparando a indutncia de uma bobina sem ncleo magntico com a indutncia de uma
bobina com ncleo magntico, deduziramos que no primeiro caso (sem ncleo) a indutncia seria
muito menor, pois a relutncia muito maior.
Exemplo: Numa bobina houve uma reduo de corrente de 100A para 90A num intervalo de tempo
de 1ms e, com isto, gerou-se uma f.e.m. auto-induzida de 20V. Qual a indutncia da bobina?
i=I2 I1 = 90 - 100 i=-10A
t
iL.
001,0
10.L20
10A
0,001s . 20VL 2mH 0,002H L
a) Noes de Indutncia-mtua
Considerando o desenho ao lado, onde existem duas bobinas
prximas, uma da outra, teremos o fluxo magntico de uma bobina
enlaando as espiras da outra. Se na bobina A circular uma corrente
varivel, surgir um fluxo varivel, o qual dar origem a uma f.e.m. (f.e.m.
auto-induzida) na prpria bobina e tambm uma f.e.m. na bobina B (f.e.m.
de mtua-induo), a qual tem um sentido tal que tenta impedir a variao
do fluxo na primeira bobina (segundo Lenz).
Existe um coeficiente, denominado de indutncia-mtua que
mede o acoplamento magntico existente entre as duas bobinas. Este
coeficiente depende do nmero de espiras das duas bobinas e da posio
relativa das bobinas.
Ao lado, temos trs casos de acoplamentos magnticos. No
primeiro, temos duas espiras colocadas perpendicularmente entre si, de
modo que o acoplamento magntico nulo. No segundo, temos um
acoplamento magntico mdio, ou seja, uma determinada quantidade de
fluxo produzido numa espira consegue atingir a outra espira. E no terceiro
caso, temos um acoplamento magntico mximo, pois uma espira est
colocada dentro da outra.
No circuito ao lado, temos duas bobinas, sendo
uma delas alimentada por uma fonte de C.C. e a outra
tem, entre seus terminais, um miliampermetro.
Considerando-se que as bobinas esto prximas, de modo
que o fluxo produzido por uma atinge a outra, podemos
afirmar que existir corrente induzida na bobina da
direita, desde que o fluxo atravs dela varie. Isto ser
obtido nos instantes de abertura ou de fechamento da
chave, sendo que no instante de abertura a variao de fluxo mais rpida, obtendo-se, ento, uma
tenso induzida muito elevada. Tambm apareceria corrente induzida na segunda bobina se uma das
bobinas fosse movimentada, pois assim tambm ocorreria uma variao de fluxo magntico.
Quando se deseja a induo permanente de f.e.m. se utiliza corrente alternada.
=20V I1 = 100A
I2 = 90A
t = 0,001s L=?
Indutncia 10
b) Aplicao prtica da mtua-induo
Normalmente, a energia eltrica transmitida
em corrente alternada (CA) pelo fato de podermos
utilizar transformadores, pois em corrente contnua
(CC) isto no seria possvel. Quando esta transmisso
ocorre em distncias muito elevadas (acima de
500km), recorre-se a CC, a qual torna-se mais
vantajosa (menor nmero de fios e fios mais finos).
-Transposio de condutores
As linhas telefnicas podem ser influenciadas
por f.e.m. das linhas de distribuio em baixa tenso.
Por este motivo, deve existir uma distncia segura
entre as duas.
Normalmente para tenses de baixa tenso em
380/220V, a distncia mnima de 0,6m. Como influncia da f.e.m. de mtua-induo podemos
citar tambm o caso da transposio das linhas de distribuio. Nas linhas de distribuio ou de
transmisso trifsicas, pode ocorrer a mtua-induo entre os trs condutores, pois as distncias
entre eles so pequenas. Em transmisso mais comum a transposio, devido s linhas serem de
grandes distncias (geralmente centenas de quilmetros).
Pode-se equilibrar o fenmeno da mtua-induo por meio da transposio das fases.
Se os condutores estiverem eqidistantes, a f.e.m. de mtua-induo equilibrar-se- e a tenso entre
eles no final do trecho ser igual. Caso o sistema no seja equilibrado, ocorrer uma desigualdade
de tenso entre os trs condutores, o que no desejvel que acontea.
1.7. ASSOCIAES DE INDUTORES
A associao de indutores deve ser considerada sob dois aspectos: sem indutncia mtua e
com indutncia mtua. Em qualquer dos dois casos, podemos associar os indutores em srie e em
paralelo, sendo que ser analisado, no nosso caso, somente situaes sem indutncia mtua.
10: Associao em srie
Na associao em srie sem indutncia mtua, as bobinas
devero estar dispostas de tal modo que o campo magntico de uma
no possa induzir uma f.e.m. nas outras. Como estaro em srie, a
mesma corrente fluir em todas, e elas estaro sujeitas a mesma variao de corrente. As f.e.ms. so
calculadas por:
Mas, no circuito srie, tem-se: 21t
Sabe-se que: 21 iii
Portanto:
a c b a
usinageradora
cargab a c b
c b a c
Alta tenso (CA)
13,8kV ou 22kV
Baixa tenso (CA)
380/220V
Linha telefnica
48V - (CC)
d=0,6m
t
iL
t
iL
t
iLtt
222
111
.
.
.
t
iL
t
iL
t
iLt
.
.
. 21
... 21 LLLt
Indutncia 11
20: Associao em paralelo
Na associao em paralelo sem indutncia mtua no haver
acoplamento magntico entre as bobinas e a f.e.m. induzida ser a mesma
em todos os indutores. Cada ramo do circuito apresentar, geralmente,
uma razo de variao de corrente diferente. No circuito paralelo tem-se:
21tiii
21tiii
E ainda: 21t
Temos tambm: 2
2
1
1
t L
t .i
L
t .i
L
t.i
21t L
t .
L
t .
L
t.
...
L
1
L
1
L
1
21t
Observa-se assim, que as equaes da associao de indutores so respectivamente
semelhantes as da associao de resistores.
Um exemplo de aplicao de indutores em srie e em paralelo seria no caso do
transformador dos equipamentos eltricos que funcionam tanto em 110V como em 220V. Quando a
chave seletora do equipamento colocada em 110V as duas bobinas do primrio do transformador
so conectadas em paralelo, sendo que a tenso em cada bobina a mesma (110V). Quando a
tenso da rede 220V, atravs da chave seletora as bobinas ficam associadas em srie, podendo
assim o primrio receber a tenso de 220V. Neste caso ento, a tenso dobrou em relao ao
primeiro caso, mas o nmero de espiras tambm dobrou, de modo que a tenso induzida no
secundrio no muda de valor, fazendo com que o equipamento continue funcionando dentro das
suas caractersticas nominais. Atualmente todo este processo feito atravs de um circuito
eletrnico, o qual efetua esta seleo de uma forma automtica.
t
iL
t
iL
t
iLtt
222
111
.
.
.
VS 110V VS 220V
Indutncia 12
PROBLEMAS PROPOSTOS
01. O circuito magntico ao lado, cujo ncleo de ao-silcio, possui um comprimento de 38cm e seo transversal de
9cm2. Utilizando-se o grfico a seguir e sabendo-se
tambm que a corrente na bobina vale 57mA, de modo
que a induo magntica corresponde a 0,6T , determine:
a)o nmero de espiras do circuito e o fluxo magntico.
b)a corrente que deveria circular, para produzir o mesmo
fluxo anterior, admitindo-se que o ncleo fosse de ao
fundido.
02. Um solenide de 1m de comprimento e de 2000 espiras circulares com 5cm de raio est colocado num plano perpendicular a um campo magntico de 0,1T, o qual anulado num
intervalo de tempo igual a 2s. Determine o valor da f.e.m. induzida no solenide e tambm o
valor de sua indutncia.
03. Calcule o valor da indutncia total entre as extremidades do circuito abaixo.
1,40
1,20
1,00
0.80
0,60
0.40
0.20
B(T)
100 200 300 400 H(Ae/m)
CURVAS B-H ( H 400 AE/M)
A: ferro fundido
B: ao fundido
C: ao-silcio D: ferro-nquel
D
C
C
B
A
10mH 10mH 1mH 1mH
1mH 2mH
8mH 30mH 3mH 6mH
1,8mH 1mH 1mH
20mH 3mH 3mH 1mH
Indutncia 13
04. Um solenide com ncleo de ar possui uma indutncia de 8mH, seo transversal de 10cm2 e 500 espiras. Considerando-se que circula por ele uma corrente de 10A, determine o valor da
induo magntica existente no interior do solenide.
05. Um toride (figura ao lado) com ncleo de ferrite de permeabilidade relativa igual a 100 enrolado com 470 espiras,
sendo que sua seo transversal vale 4cm2 e seu comprimento
mdio vale 10cm. Quanto vale sua indutncia?
06. Calcule a indutncia de um toride com seo transversal de 12,56cm2, comprimento mdio de 75,36cm e de 1000 espiras, considerando que a permeabilidade magntica do ncleo vale
32x10-4
H/m.
07. Um indutor de 0,15H percorrido por uma corrente constante de 0,4A. De modo que aparea nos terminais da bobina uma f.e.m. auto-induzida de 3V, a corrente citada deveria ser anulada
(zerada), em qual intervalo de tempo?
08. A auto-indutncia (ou simplesmente indutncia) de uma bobina formada por 400 espiras muito unidas igual a 8mH. Qual o valor do fluxo magntico atravs da bobina quando esta
percorrida por uma corrente de 5mA?
09. Num enrolamento circula uma corrente de 15A, a qual produz um fluxo magntico de 400Wb. Sabendo-se que a corrente decresce a zero em 5ms, de modo a induzir uma f.e.m. de 70V,
determine o nmero de espiras e a indutncia da bobina.
10. Uma bobina cilndrica de 100mm de comprimento, 100 espiras e seo
transversal de 4mm de dimetro possui
ar no seu interior. Determine o valor da
indutncia da bobina.
11. Calcule novamente a indutncia no exerccio acima, considerando que o ncleo de ferrite, sendo a suja permeabilidade magntica relativa r=2000.
12. O grfico ao lado mostra a variao da corrente num
indutor de 4mH em funo
do tempo. Determine o
valor da tenso mdia no
indutor entre:
a) 0 e 2miliseg; b) 2 e 4miliseg; c) 4 e 9miliseg.
Fundamentos de CA 14
2. FUNDAMENTOS DE CORRENTE ALTERNADA
At o momento nos
preocupamos somente com
tenses e correntes contnuas, ou
seja, aquelas que possuem
mdulo e sentido constantes no
tempo, conforme exemplos ao
lado.
Uma tenso ou corrente dita alternada quando muda periodicamente de mdulo e sentido.
Dependendo da forma como varia a grandeza em funo do tempo, existem diversos tipos de
tenses e correntes alternadas, ou seja, diversas formas de onda: quadrada, triangular, senoidal, etc.
Entre elas a mais importante a senoidal porque assim gerada, transmitida e distribuda a energia
eltrica.
2.1. FONTE DE TENSO ALTERNADA SENOIDAL
O smbolo e a conveno de sinais da fonte de tenso senoidal esto
representados na figura ao lado. Os sinais representados na figura so os
convencionados como positivos. Isto significa que quando a tenso tiver
valor instantneo positivo, a polaridade do terminal superior ser positiva e
a polaridade do terminal inferior ser negativa. Quando a tenso tiver valor
instantneo negativo, o terminal superior ser negativo e o inferior
positivo. A tenso positiva produz corrente positiva.
Para exemplificar, observe a seqncia da figura abaixo.
No instante t1, a tenso positiva com
mdulo 100 V. Como positiva, pela
conveno adotada, o terminal superior
positivo e o terminal inferior negativo.
No instante t2 a tenso -50 V, isto
significa que a diferena de potencial entre os
terminais da fonte 50 V e a polaridade
inverteu em relao ao instante t1, o terminal
superior se tornou negativo e o terminal
inferior positivo.
t(s) t(s)
i(A) v(V)
_-
+ i
v
100V
-50V
t1
t2
i
t
i
t
i
t
Fundamentos de CA 15
v(V)
t(ms) 2,5 5,0
+200V
-200V
7,5 10,0
onde:
v = valor instantneo da tenso ( V );
VM = valor mximo ou de pico da tenso ( V );
= freqncia angular ou velocidade angular ( rad/s );
t = instante de tempo considerado ( s );
As correntes que circulariam em cada instante de tempo seriam as representadas nos
circuitos a seguir.
Para determinar-se a tenso em cada instante de tempo, utiliza-se a seguinte expresso:
Exemplo: A expresso matemtica de
uma tenso alternada aplicada a um
resistor a seguinte:
v = 200.sen 628 t (Volts). Determine:
a) a tenso mxima e a freqncia
angular;
VM=200 V ; =628 rad/s b) a tenso no instante t = 3 ms;
v=200.sen628(rad/s).0,003(s)=190 V
c) representar grficamente a forma de
onda da tenso.
2.2. CICLO, PERODO E FREQNCIA
As tenses e correntes alternadas so formas de onda peridicas, isto , se repetem em dados
intervalos de tempo. Define-se como ciclo, um conjunto de valores que se repetem periodicamente.
A parte do ciclo acima do eixo dos tempos recebe a denominao de semiciclo positivo e a
parte do ciclo abaixo do eixo dos tempos denominada semiciclo negativo. O tempo transcorrido
para completar um ciclo o perodo ( T ) e a sua unidade o segundo ( s ). A
freqncia ( f ) de uma grandeza alternada o nmero de ciclos que ocorrem por
segundo. Portanto, a freqncia se refere a rapidez com que a tenso ou corrente
alternada troca de sentido. A unidade antiga de freqncia era ciclos/segundo, que
hoje em dia recebe a denominao de Hertz ( Hz ). Em praticamente todo o Brasil a freqncia 60
Hz. Em muitos pases da Europa a freqncia 50 Hz. Na figura abaixo temos uma onda senoidal
com perodo T = 0,2 s ( tempo de um ciclo ) e ocorrem cinco ciclos a cada segundo, portanto a
freqncia f = 5 Hz.
_+
-
i
100V
_+
- i
50V
v = VM . sen t
v ou i
f
1T
Fundamentos de CA 16
2.3. VALOR MDIO DAS GRANDEZAS ALTERNADAS
O valor mdio denominado componente CC de uma forma de onda e representa o valor
que um voltmetro ou ampermetro de corrente contnua mediriam para a onda.
O valor mdio a mdia aritmtica dos valores instantneos, calculada no intervalo de
tempo de um perodo. Para isso, determina-se a rea formada entre a curva e o eixo dos tempos e
divide-se esta rea pelo perodo.
Imd a corrente mdia ou componente CC forma de onda. A tenso mdia
Vmd ) pode ser determinada pelo mesmo processo.
EXEMPLO : Calcular o valor mdio da corrente i.
Obs.:
# cada diviso horizontal = 2,5 ms # cada diviso vertical = 20 mA
rea (marcada)= 100mA x 2,5ms - 20mA x 7,5ms = 100As
Imd = 100 As/10ms = 10 mA
Em se tratando de correntes senoidais, o valor mdio em um perodo zero, porque a
rea positiva igual a rea negativa. Porm, em alguns casos pode ser til conhecer o valor mdio
para meio perodo, que dado pelas equaes abaixo.
I .m d MI2
ou Imd = 0,637.IM
V VmdM
2
. ou Vmd = 0,637.VM
A demonstrao exata destas equaes s
pode ser feita atravs de clculo integral
tendo em vista o aspecto da rea formada entre a
curva senoidal e o eixo dos tempos.
perodo
read mI
IM
Im
i ( mA )
t ( ms )
Fundamentos de CA 17
2.4. VALOR EFICAZ DAS GRANDEZAS ALTERNADAS
O valor eficaz de uma forma de onda est relacionado com a potncia dissipada num resistor
pela passagem da corrente alternada por ele.
Supondo-se que por um resistor circule corrente alternada com valor mdio igual a zero,
haver dissipao de potncia porque circula corrente por ele (gerao de calor por efeito Joule),
no importando o sentido desta corrente. Portanto, o valor mdio no adequado para clculo de
potncia em corrente alternada. Para isto criou-se o conceito de valor eficaz.
Uma corrente alternada possui um valor eficaz I quando produz a mesma quantidade de
calor por efeito Joule em um resistor como a que produzida por uma corrente contnua de
intensidade I no mesmo resistor, em um intervalo de tempo de um perodo.
Considerem-se dois circuitos de iguais resistncias eltricas R=100, porm, um percorrido por corrente contnua, de intensidade 1A, e o outro percorrido por uma corrente alternada senoidal
de valor mximo desconhecido.
i i
p p
t t
t t
00 90
0 180
0 270
0 360
0
00 90
0 180
0 270
0 360
0
00 90
0 180
0 270
0 360
0
00 90
0 180
0 270
0 360
0
V V
R R
I Imx
Fundamentos de CA 18
A potncia dissipada pelo resistor em corrente contnua ser constante, porque a corrente
constante, com valor P = R.I2
= 100.12 = 100 W.
A potncia dissipada pelo resistor em corrente alternada ser varivel, porque a corrente
varivel. O valor de potncia em cada instante de tempo determinado pelo quadrado da corrente
no instante e pela resistncia, ou seja:
p = R . i2
onde:
p = potncia instantnea ( W );
R = resistncia ( ); i = corrente instantnea ( A ).
A equao anterior mostra-nos que a potncia instantnea ser sempre positiva, mesmo
quando a corrente for negativa porque neste caso, a corrente elevada ao quadrado, produzir uma
potncia positiva. No instante em que a corrente for zero a potncia tambm ser. Sendo assim, a
curva representativa da potncia em C.A. ser uma senide totalmente deslocada para acima do eixo
dos tempos.
Considerando que a potncia dissipada em C.C. 100W com uma corrente constante de 1A;
se a potncia mdia dissipada no circuito de C.A. for tambm 100W, ento a corrente alternada
senoidal tem um valor eficaz de 1A.
Para produzir uma corrente eficaz de 1A em uma resistncia de 100, a tenso eficaz da
fonte C.A. : 100 . 1A = 100V. Portanto, se a potncia em C.C. for igual a potncia mdia em C.A., tem-se:
Pcc = Pmca
R.I2 = valor mdio de ( R.i
2 )
A intensidade da corrente contnua I igual ao valor eficaz da corrente alternada e i o
valor instantneo da corrente alternada.
R.I2 = R . valor mdio de ( i
2 )
I2 = valor mdio de ( i
2 )
)( 2idemediovalorI
A equao acima mostra que o valor eficaz a raiz quadrada da mdia dos quadrados dos
valores instantneos, ou resumidamente, raiz mdia quadrtica que em ingls Root Mean Square
( abreviado RMS ). Assim, o valor eficaz tambm comumente chamado valor RMS.
Clculo do valor eficaz ou RMS de tenses e correntes senoidais
)( .
)( .
).(
).(
)(
22
22
22
2
2
tsendemediovalorII
tsendemediovalorII
tsenIdemediovalorI
tsenIdemediovalorI
idemediovalorI
M
M
M
M
Como o valor mximo de sen2 t 1, o valor mdio de sen2 t ser . Logo:
I I M .1
2
Fundamentos de CA 19
Onde: I = valor eficaz ou rms da corrente (A);
IM = valor mximo da corrente (A).
Por analogia, a tenso eficaz dada pela seguinte equao:
Onde: V = tenso eficaz ou rms (V);
VM = tenso mxima ou de pico (V).
Para caracterizar a importncia do valor eficaz, vale destacar que:
1o) Atravs dos valores eficazes, o equacionamento para circuitos de C.A. fica semelhante ao
equacionamento para circuitos de C.C. . Por exemplo, para calcular a potncia mdia num resistor:
Pm = valor mdio de R . i2
Pm = R . valor mdio de i2
Mas, valor mdio de i2 = I
2 , portanto Pm = R . I
2
Onde Pm = potncia mdia dissipada no resistor ( W );
R = resistncia ( ); I = corrente eficaz ( A ).
Para calcular a potncia mdia em corrente alternada, utiliza-se o valor eficaz da corrente,
e no o valor mdio, resultando em uma equao idntica a da potncia dissipada por uma
resistncia em corrente contnua.
2o) Os valores de tenso e corrente indicados nos equipamentos de corrente alternada
(transformadores, geradores, motores, lmpadas, chuveiros, etc) so os valores eficazes. J a
potncia indicada nos equipamentos de aquecimento resistivo (fornos e chuveiros) corresponde a
potncia mdia.
3o) Os instrumentos de medida de tenses e correntes alternadas, voltmetros e ampermetros de
c.a., fornecem os valores eficazes.
Exemplo: Uma tenso senoidal de 60Hz e 311V de pico aplicada a um chuveiro de 11. Pede-se: a) A tenso contnua que deve ser aplicada ao chuveiro para que o aquecimento da gua permanea
o mesmo que em C.A..
b) Calcular a potncia mdia dissipada na resistncia do chuveiro.
Clculo do valor eficaz de outras formas de onda
O valor eficaz (ou raiz mdia quadrtica, rms) calculado elevando-se ao quadrado a forma
de onda ponto-a-ponto. A partir disso, obtm-se a mdia dos quadrados dos valores instantneos
atravs da rea formada entre curva ao quadrado e o eixo dos tempos dividida pelo perodo. A
seguir extrai-se a raiz quadrada dessa mdia quadrtica.
2
MII
2
MV
V
VV
V
V V
M
CC
2
311
2220
220 P
V
RW
2 2220
114400
Fundamentos de CA 20
Exemplo: Calcular a potncia mdia dissipada por um resistor de 10 percorrido pela corrente i, cuja forma de onda est apresentada a seguir.
rea(marcada)=80 A2.s
mdia de i2
= 80/2 = 40 A2
I A 40 6 325,
2.5. REPRESENTAO FASORIAL DAS ONDAS SENOIDAIS
As tenses e correntes senoidais podem ser representadas por um vetor, cujo mdulo igual
ao valor mximo da grandeza, que gira em sentido anti-horrio com velocidade angular constante.
Este vetor girante denominado FASOR.
Na figura dada, vemos que medida que o fasor gira a sua projeo no eixo vertical d a
sucesso de valores instantneos da grandeza. Neste exemplo o fasor est representando uma
corrente senoidal, portanto, o comprimento do fasor representa o valor mximo da corrente.
t
i2
1 2 3 4
64
48
32
16
t(s)
i(A)
1 2 3 4
8
W400 = P
325,6 . 10I . RP 22
Fundamentos de CA 21
O ngulo de deslocamento do fasor chamado de ngulo eltrico ( ) , expresso em
radianos eltricos ( rad E ) ou graus eltricos ( E ). Observe que uma rotao completa do fasor
(360E) produz um ciclo de senide. Por isso, pode-se relacionar ngulo eltrico com tempo e dizer
que 360E tempo de um ciclo. Em outras palavras:
360 E ( 2 rad E) 1 T
180 E ( rad E) T
A freqncia angular ( ) representa a velocidade com que gira o fasor, sempre em sentido anti-horrio. Matematicamente, a freqncia angular a relao
entre o ngulo eltrico percorrido e tempo gasto.
A unidade de freqncia angular radianos por segundo ( rd / s ).
Em uma rotao completa do fasor o ngulo eltrico percorrido de 2 rad e tempo consumido igual a um perodo ( T ).
Considerando-se que T = 1 / f , tem-se:
A velocidade de rotao do fasor diretamente proporcional a freqncia f da grandeza.
Tendo em vista as equaes anteriores e o conhecimento da representao fasorial, a
expresso matemtica para as correntes alternadas (i=IM.sen t ) pode ser apresentada, de forma mais genrica, de outras maneiras.
i=IM.sen (t + )
i = IM.sen ( + )
i = IM.sen ( 2f.t + )
Onde representa o ngulo de fase inicial, ou seja, o ngulo formado entre o fasor e a horizontal no instante de tempo t = 0. Na figura dada, no instante t = 0 s o fasor parte da posio
+90 em relao ao eixo horizontal de modo que a expresso matemtica para esta corrente
i = IM. sen (t + 90 ) .
t
2
T
= 2.f
IM
=t
i
Fundamentos de CA 22
Relaes de fase para formas de onda senoidais
# Grandezas defasadas: duas ou mais formas de onda senoidais de mesma freqncia esto
defasadas quando no atingem valores mximos positivos no mesmo instante de tempo.
Na figura a seguir, o ngulo da fase inicial para a corrente i1 0 e o ngulo de fase inicial
para a corrente i2 -60. Assim, as expresses matemticas para as correntes so:
i1 = 10 sen (t + 0 ) ou i1 = 10 sen t
i2 = 10 sen (t - 60 ) A corrente i1 atinge o valor mximo positivo primeiro que a corrente i2 que somente atingir
o valor mximo 60 aps. Nesta situao se diz que a corrente i1 est adiantada de 60 em
relao a corrente i2 , ou da mesma forma, que a corrente i2 est atrasada de 60 em relao a corrente i1..
# Grandezas em fase: duas ou mais formas de onda senoidais de mesma freqncia esto em fase
quando atingem valores mximos positivos no mesmo instante de tempo (figura a seguir).
v1 = V1 .sen t
v2 = V2 .sen t
I1
I2
=t
i1
i2
V2 V1
v2
v1
=t
Fundamentos de CA 23
-VM
VM
v
EXERCICIOS
1. Quais so o perodo e a freqncia de uma tenso que tem 12 ciclos em 46 ms?
2. Para uma onda de 60Hz, qual o tempo decorrido em um deslocamento de 30E do fasor?
3. Uma tenso senoidal de 5V de pico e freqncia 1kHz aplicada a um resistor de 10. Pede-se: a) a expresso matemtica da tenso;
b) perodo e freqncia;
c) tenso mdia e tenso RMS;
d) a potncia mdia dissipada no resistor.
4. Determinar o valor instantneo da corrente i = 80 sen ( 400t - 30 ) A em t=10ms.
5. A amplitude (valor mximo) e a freqncia de uma corrente alternada senoidal valem,
respectivamente, 20mA e 1khz. Determine o valor instantneo da corrente, decorridos 100s aps ela ter atingido o valor zero.
6. Determine o instante de tempo em que uma CA de amplitude 100mA e f=2Mhz atinge 25mA.
7. Determinar as relaes de fase e representar fasorialmente as ondas:
a) v = 60 sen ( 377t +50 ) V ; i = 3 sen ( 377t - 10 ) A.
b) v1 = 311 sen ( 100t + 50 ) V ; v2 = 125 sen ( 100t +10 ) V.
c) i1 = 10 sen ( 377t - 40) A ; i2 = 8 sen ( 377t - 10 )A. Responda na forma:_____ est adiantado(a) de ______ graus em relao a ______.
8. Duas fontes de tenso senoidal de mesma freqncia e com valores mximos de 200V e 100V
esto ligadas em srie. Considerando que as ondas esto defasadas de 90, determinar o valor que um voltmetro CA mede para a associao.
9. Calcular a tenso mdia para a forma de
onda ao lado.
10. No grfico ao lado, a tenso varia de acordo com a
seguinte equao: v = 5 sen . Determine o valor da tenso para:
a) = 400 b) = 0,8 rad
v(V)
t(ms)
Fundamentos de CA 24
11. No grfico ao lado est representado o
comportamento de uma tenso alternada senoidal.
Determine a equao caracterstica desta tenso e os
valores do perodo e da freqncia.
12. Ao lado, temos o desenho da tela de um
osciloscpio, onde no eixo horizontal est
representado o tempo (0,2 miliseg/diviso). A
diviso citada refere-se aos espaos maiores
(quadrados). Determine o valor do ngulo de defasagem entre as duas senides. No esquea que
deve ser considerado os picos mais prximos a fim
de se identificar qual senide est avanada em
relao a outra.
13. Na tela do osciloscpio desenhado ao lado, no eixo vertical est
representada a tenso (0,1V/diviso) e no eixo horizontal est
representado o tempo (50s/diviso). A diviso citada refere-se aos espaos maiores (quadrados). Determine o valor:
a)do perodo
b)da freqncia;
c)de pico a pico da tenso;
d)eficaz da tenso.
14. Considerando que, no grfico ao lado, a tenso
varia de acordo com a equao v = 10 sen 377 t ,
determine os instantes de tempo (em graus, rad e
miliseg) em que a tenso atinge o valor de 4V.
15. Nos dois
grficos dados,
determine em
cada caso:
a) o valor do
perodo;
b) o valor eficaz
da tenso (ou
corrente);
c) a equao
caracterstica da tenso (ou corrente).
v i
Fundamentos de CA 25
-16 mV
16. Sabendo-se que o valor mdio de uma grandeza
alternada senoidal equivale ao nvel CC desta
grandeza, determine o valor mdio da tenso, cujo
comportamento est representado no grfico ao lado.
17. No desenho a abaixo, temos uma fonte CC de 120V que alimenta uma carga consumidora de
3,6W. Determine os valores mximo (valores de pico) de tenso e de corrente relativos ao caso b,
de modo que a potncia nesta situao seja a mesma do caso anterior (3,6W)
18. Nos dois grficos dados, determine em cada caso:
a) o valor do perodo;
b) o valor eficaz da tenso (ou corrente);
c) a equao caracterstica da tenso (ou corrente).
c)
Circuitos Puros R, L e C 26
0 /2 3/2 2 t
VM
IM
3. CIRCUITOS PUROS
A partir de agora passaremos a aplicar as tcnicas da anlise fasorial a circuitos
(monofsicos) alimentados com corrente alternada senoidal.
O termo circuitos monofsicos no exclui que o circuito possa ser alimentado por duas fases ao invs de fase e neutro.
3.1. CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS
O resistor um modelo de circuitos que possuem resistncia eltrica. muito usado para
representar fornos eltricos, chuveiros, lmpadas incandescentes, resistncia de fios, cabos e
tambm a parte resistiva de mquinas, como ser visto adiante.
3.1.1. RELAO ENTRE TENSO E CORRENTE
No circuito representado ao lado temosum resistor
ligado a uma fonte ideal de tenso alternada. A Lei de Ohm
aplicada em qualquer instante a esse circuito resulta v=R.i; a queda de tenso em um resistor diretamente proporcional
corrente que por ele circula, e o diagrama que representa as
variaes da tenso e da corrente ao longo de um perodo
completo em um CPR est indicado na figura abaixo.
Em qualquer instante, a tenso possui o valor
da corrente multiplicado pela resistncia, que
constante. Se a corrente zero, a tenso zero; se a
corrente aumenta, a tenso aumenta; se a corrente
mxima positiva, a tenso mxima positiva, e assim
por diante. Essa relao proporcional, com a tenso e
a corrente tendo o mesmo tipo de variao ao mesmo
tempo caracterstica de CPR e dizemos que, nesses
circuitos, a tenso e a corrente esto em fase.
As equaes relativas a tenso da fonte e a
corrente esto indicadas ao lado, onde se comprova
que estas duas grandezas esto em fase.
Sabe-se que: t sen . R
V
R
vi M
Em t = 900 teremos: i=IM e v=VM . Assim, podemos dizer que: R
V I MM .
Dividindo ambos os membros da igualdade por 2 teremos: 2
RV
2
IM
M .
Logo: R
V I . Utilizando-se ento os valores eficazes de tenso e corrente, a equao
utilizada em CA a mesma utilizada em CC para circuitos puramente resistivos.
R
i
v = 10 sen t
i = 10 sen t
v
Circuitos Puros R, L e C 27
VM
IM
V1
V2
900
1800 270
0 360
0
3.1.2 REPRESENTAO FASORIAL
Os fasores representativos da tenso e da
corrente em um CPR giram com mesma velocidade
angular (pois v e i tm mesma freqncia) e superpostos (pois tm mesma fase).
Exemplo: para o circuito da figura
dada, calcule as quedas de tenso nos
resistores e faa os diagramas v,
i=f(t) e fasorial.
Soluo: a tenso da fonte foi dada
em valor instantneo, portanto
devemos redesenhar o circuito com o
valor eficaz e freqncia.
v = VM.sen t VM = 311 V
VV
2
311
2220VM
= 377 rad/s
f2.
37760Hz
2.
Como os resistores esto em
srie, pode-se somar suas resistncias
para obter a resistncia total ligada
fonte. Rt = 500 + 300 = 800 A corrente :
IV
R
220
8000,275A 275mA
A corrente I, ao passar
pelos resistores, causa quedas de
tenso V1 e V2 nos mesmos.
V1= R1.I = 500.0,275 =137,5V
V2 = R2.I = 300.0,275 =82,5 V
O diagrama v,v1,v2,i=f(t) est indicado ao lado.
O diagrama fasorial fica:
I V
V
I
R1 = 500 R2 = 300
311.sen377t (V)
R1 = 500 R2 = 300
220 V / 60 Hz
t
V2 V1 I V
Circuitos Puros R, L e C 28
2222
1
I
I
I
I
M2
M2
1
md
2
....2...4
2222
MMmd
VCfVCfII
3.2. CIRCUITOS PURAMENTE CAPACITIVOS
O capacitor um elemento capaz de acumular cargas eltricas e ficar carregado,
apresentando tenso em seus terminais, mesmo aps ter sido retirada a fonte. A corrente no o
atravessa; apenas o carrega ou descarrega. Dessa forma, uma corrente contnua s circula durante
um tempo de carga (ou descarga) e quando a tenso no capacitor igualar-se a da fonte, a corrente
deixa de circular. Sua grandeza caracterstica a capacitncia, medida em Farad (F).
3.2.1. RELAO ENTRE TENSO E CORRENTE
A figura ao lado representa um capacitor puro ligado a
uma fonte de C.A.. Essa idealizao muito til, pois apesar de
sempre estar presente o efeito resistivo dos condutores, esse
efeito inexpressivo em muitos casos prticos, sendo ento
desprezado quando se usam bons capacitores industrializados.
A relao V x A para um capacitor i Cv
t .
. Essa
equao sugere que s circula corrente em um capacitor se
houver variao na sua tenso. Lembre-se de que um capacitor
ideal no permite a passagem da corrente de uma placa para
outra, e s circula corrente de carga (quando a tenso aumenta)
ou descarga (quando a tenso diminui).
Agora analisemos a relao VxA para excitao
senoidal. Sabemos que o valor mdio da corrente no capacitor
pode ser calculado por I Cv
tmd .
. Utilizemos um
intervalo no grfico v = f(t) que represente a variao que
ocorre na tenso. Esse intervalo pode ser de 0 a T/4, conforme a
figura dada.
Nesse intervalo, a tenso variou de 0 a VM. Ento:
como T=1/f ; Imd = 4.f.C.VM
Considerando:
Ento:
Como: VM / 2 = V e 2f = ;
REATNCIA CAPACITIVA
Note que h proporcionalidade entre os valores eficazes da tenso e da corrente, e a
constante de proporcionalidade 1/C. Se a tenso for mantida, quanto
maior for essa constante menor ser a corrente e vice-versa. Portanto 1/C representa a oposio circulao de corrente em um CPC, e chamada de
reatncia capacitiva (XC).
v C
i
t
T/4
VM
v
I= .C.V
X1
.C
1
2. .f.CC
I CV C V
Tmd
M
T
M
0 4
4
. .
Circuitos Puros R, L e C 29
V
I
900
I
V
900
0 /2 3/2 2 t
VM
0 /2 3/2 2 t
VM
IM
A Lei de Ohm aplicada a um capacitor toma a forma V = XC . I .
Note que deve-se usar os valores eficazes ou os valores mximos, no sendo aplicvel aos
valores instantneos, pois as variaes so defasadas, como veremos a seguir. A unidade de
reatncia capacitiva o ohm ().
Os capacitores se apresentam como circuito aberto para C.C.
X
CC
1
. e como curto-
circuito para C.A. de alta freqncia
X
CC
1
..
3.2.2. DEFASAGENS
Os valores instantneos de tenso e corrente em
um capacitor no so proporcionais. A corrente
proporcional taxa de variao da tenso i C.v
t
;
portanto tenso e corrente em um capacitor no sofrem
as mesmas variaes ao mesmo tempo.
Supomos que uma tenso senoidal seja
aplicada a um capacitor puro. O diagrama v=f(t) est indicado ao lado.
Nos instantes 0 e 360 ocorrem as mximas
variaes positivas, ento i C.v
t
nesses pontos
mxima positiva. No instante 180 ocorre a mxima
variao negativa, e em 90 e 270, v=0. Os valores intermedirios so proporcionais s variaes da
senide; portanto, ligando os pontos, temos a
representao senoidal a seguir.
Conclumos ento que a tenso e a corrente em
um CPC no esto em fase, pois no tm os mesmos
tipos de variaes ao mesmo tempo. Dizemos que
esto defasadas, e como as variaes sofridas pela
corrente so sofridas pela tenso 90E aps, a
defasagem de 90E com a tenso em atraso, ou com a corrente em avano, que d a mesma informao.
As equaes relativas a tenso e a corrente esto indicadas ao
lado, onde se comprova que a corrente est adiantada de 900
em
relao a tenso.
3.2.3. REPRESENTAO FASORIAL
Os fasores representativos da tenso
e da corrente em um CPC giram com
mesma velocidade angular (pois v e i tm a
mesma freqncia) e esto defasados de
90E com a corrente em avano.
v = 10 sen t
i = 10 sen (t + 90)
Circuitos Puros R, L e C 30
3.3. CIRCUITOS PURAMENTE INDUTIVOS O indutor um modelo de circuitos que trabalham com campo magntico criado por sua
corrente. Como qualquer condutor cria campo magntico quando percorrido por corrente, todos os
circuitos tm sua parcela indutiva. Na prtica, porm, s tem importncia o efeito indutivo de
circuitos que precisam do campo magntico para funcionar ou aqueles que so influenciados de
forma significativa por ele. Por exemplo, o campo magntico de um chuveiro to pequeno que no
se fala em efeito indutivo em chuveiros. Eles so, na prtica, puramente resistivos. J um
transformador essencialmente uma mquina indutiva porque necessita do campo magntico para
efetuar sua funo de transformar tenso e/ou corrente.
Assim, o indutor o tpico representante de
mquinas e dispositivos que contm enrolamentos
destinados a criar campo magntico, tais como geradores,
motores, transformadores, eletroms, etc.. Sua grandeza
caracterstica a indutncia L, medida em Henry (H).
O circuito representado na figura a idealizao de
um circuito indutivo puro. Tal circuito no ocorre na
prtica comum, pois sempre est presente o efeito resistivo
dos condutores. No entanto, o estudo do efeito indutivo em
separado de outros efeitos se faz necessrio para que o
aluno possa compreender os agrupamentos que viro a
seguir. No se esquea que muito comum representar-se um indutor da
forma ao lado.
3.3.1. RELAO ENTRE TENSO E CORRENTE
A relao VxA para um indutor v Li
t .
, o que mostra que a coexistncia de tenso
e corrente em um indutor no to simples como em um resistor. No resistor, a queda de tenso
diretamente proporcional corrente (v=R.i), tendo como oposio corrente a resistncia. No
indutor, a queda de tenso diretamente proporcional variao da corrente, tendo como oposio
variao da corrente a indutncia.
Agora aplicaremos a relao V x A para indutores com
excitao senoidal. O valor mdio da tenso no indutor pode ser
calculado com V Li
tmd .
.
Utilizemos um intervalo do grfico i = f(t) que
represente a variao que ocorre na corrente. Esse intervalo
pode ser de 0 a T/4.
Nesse intervalo, a corrente variou de 0 a Im. Ento:
V LI L I
Tmd
M
T
M
0 4
4
. . como T=1/f Vmd = 4.f.L.IM
E considerando que: 2222
1
V 2
2
V
V
V
M
M
md
Ento: 22
.
mdVV
e, para o CPI 2
....2
224.F.L.I M
MILfV
Como IM / 2 = I e 2f =
obtm-se:
L
v
i
t
T/4
IM
V = . L . I
Circuitos Puros R, L e C 31
XL = . L = 2. . f . L
0 /2 3/2 2 t
IM
VM
I
V
900
V
I
900
AMPLIFICADOR
tweeter
woofer L
C
REATNCIA INDUTIVA
Assim como no resistor e no capacitor, h proporcionalidade entre os valores eficazes da
tenso e da corrente. Relembremos: resistor: V=R.I ; capacitor: V=(1/C).I ; indutor: V=.L.I
O fator L representa a oposio que o indutor apresenta circulao de corrente e denominada de reatncia indutiva (XL).
A unidade de reatncia indutiva o ohm. Assim, teremos: V = XL . I .
Os indutores tm a propriedade de se opor a variaes da corrente, sendo essa capacidade
medida pela indutncia. Quanto maior for a indutncia maior ser a dificuldade de circular uma
corrente varivel ( XL = .L ) e quanto mais rpida for essa variao, tambm maior ser a
oposio ( XL = .L ). Se um CPI for percorrido por corrente contnua, ele se apresenta como um curto-circuito (sem oposio passagem de corrente). Se um CPI for percorrido por C.A. de alta
freqncia, ele se apresenta como um circuito aberto (oposio infinita passagem de corrente).
Uma aplicao bem prtica dos circuitos RLC a
esquematizada ao lado, onde temos um sistema de alto-falantes.
No tweeter (dimetro pequeno) so produzidos os sons agudos
(alta freqncia) e no woofer (dimetro grande) so produzidos os
sons graves (baixa freqncia). De modo que os sinais
transmitidos em freqncias diferentes sejam recebidos pelo alto-
falante adequado, eles so associados em paralelo e ligados na
sada do amplificador. Assim, o capacitor bloquear os sinais
transmitidos em baixa freqncia e permitir a passagem de sinais
transmitidos em alta freqncia. Com a colocao de um indutor
no ramo do woofer, teremos a situao inversa.
3.3.2. DEFASAGENS
De forma anloga ao capacitor, o indutor no
possui proporcionalidade entre valores instantneos
de tenso e corrente. A tenso proporcional taxa
de variao da corrente v Li
t .
. Fazendo uma
anlise grfica semelhante ao que foi feito com o
capacitor, obtm-se o grfico ao lado. Dessa forma,
conclumos que a corrente e a tenso em um indutor
esto defasadas de 90E, com a tenso em avano, ou com a corrente em atraso, que a mesma coisa.
As equaes relativas a tenso e a corrente
esto ao lado, onde se comprova que a tenso est
adiantada de 900
em relao a corrente.
3.3.2. REPRESENTAO FASORIAL
Os fasores representativos de tenso
e corrente em um CPI giram com a mesma
velocidade angular (pois v e i tm a mesma freqncia) e com defasagem de 90E, com a tenso adiantada em relao corrente.
i = 10 sen t
v = 10 sen (t + 90)
Circuitos Puros R, L e C 32
0 /2 3/2 2
IM
18,18 t(ms)
EXERCCIOS
1. Sobre um resistor de 2K2 aplica-se uma tenso VRMS=110V ; f=60Hz.
a)Calcule a intensidade da corrente IRMS.
b)Alterando-se a freqncia para 50Hz, o que ocorre com IRMS?
2. Um resistor de 50 ligado a uma fonte CA de VM=300V e f=100Hz. Calcule a intensidade da corrente medida por um ampermetro que est ligado em srie com a carga consumidora.
3. No exerccio anterior, pretende-se substituir a fonte CA por uma CC que produza a mesma
dissipao de energia no resistor. Que valor dever ter a tenso dessa fonte?
4. Uma fonte gera f.e.m. e = 60 . sen 500t (V) e possui resistncia interna r =2. Calcule o valor eficaz da corrente e da tenso no resistor de 1kW / 220V ligado a ela.
5. Calcule a reatncia de um capacitor de 1nF freqncia de 50Hz, 60Hz, 1kHz e 1MHz.
6. Esboce um grfico I=f(f) para um capacitor de 1F
alimentado com 10V, com freqncia varivel de 0 a . Utilize os eixos ao lado.
7. Um capacitor de 77F est conectado numa rede de CA, onde temos Vmx=170V e f=50hz. Determine o valor da corrente medida por um ampermetro ligado em srie com o circuito.
8. Um capacitor de 10F est ligado a uma fonte de tenso v=300sen t, sendo f=60Hz. Calcule o valor instantneo da corrente em t=2ms.
9. Um capacitor de placas planas e paralelas de 5cm x 80cm cada, com um dieltrico de 0,2mm de
espessura e K=500 ligado a uma fonte de 127V / 50Hz. Considerando-o como capacitor puro,
calcule o valor eficaz da corrente que circular.
10. Um capacitor de C=42F ligado a uma fonte de 220V / 60Hz. Calcule o valor da corrente.
11. Calcule a reatncia de um indutor de 1mH freqncia de 50Hz, 60Hz, 1kHz e 1MHz.
12. Por uma bobina de 7mH circula uma corrente (CA) de Imx=14,1A numa freqncia de 50Hz.
Determine o valor da tenso medida por um voltmetro ligado em paralelo com a bobina.
13. Um indutor puro de L=300mH ligado a uma fonte de 127V / 50Hz. Calcule o valor da
corrente medida por um ampermetro ligado em srie com o indutor.
14. Se a freqncia da fonte da questo anterior subir para 1kHz, qual o novo valor da corrente?
15. Um indutor puro de 3H alimentado com uma tenso mxima
(tenso de pico) VM=400V. Sabendo-se que a corrente varia de
acordo com a senide ao lado, determine o valor instantneo da
corrente quando a tenso est com o valor referente a 225eltricos.
f (Hz)
I(A)
Circuitos Puros R, L e C 33
/2 3/2 2
-/2 0 /2 3/2 2
VM
IM
IM
VM
16. Dados os pares de expresses para tenses e correntes a seguir, determine se o dispositivo
envolvido um capacitor, um indutor ou um resistor e calcule os valores de C, L e R.
a) v=100 sen (t+400) e i=20 sen (t+400) b) v=1000 sen (377t+10
0) e i=5 sen (377t-80
0)
c) v=500 sen (157t+300) e i=1 sen (157t+120
0)
17. Num circuito puro alimentado por CA, a tenso e a
corrente variam de acordo com as equaes a seguir:
i=3 sen (t+300) e v = 2 sen (t - 600). Identifique o ngulo de defasagem entre a tenso e a corrente, represente
estas grandezas no grfico ao lado e diga que tipo de
circuito se trata (carga resistiva, capacitiva ou indutiva).
18. Em que freqncia um indutor de 5mH ter a mesma reatncia de um capacitor de 0,1F?
19. Num circuito puramente indutivo (grfico
representado ao lado) circula uma corrente
i = 10 sen 377t. Sabendo-se que a indutncia do
indutor vale 0,1H, determine o valor mximo (valor
de pico) da tenso.
20. Refaa o problema anterior, considerando uma corrente
i = 10 sen (377t+300) e esboe as curvas de v e i no grfico
ao lado.
21. Faa novamente o problema 19, considerando que a corrente i = 7 sen (377t-700) e esboe as
curvas de v e i num novo grfico.
22. Num circuito puramente capacitivo (grfico
representado ao lado) aplicada uma tenso
v=30 sen 400t . Sabendo-se que a capacitncia
do capacitor vale 1F determine o o valor mximo (valor de pico) da corrente.
23. A expresso para a corrente num capacitor de 100F i = 40 sen (500t + 600). Determine a expresso senoidal (equao caracterstica) para a tenso no capacitor.
24. So dadas a seguir expresses para a corrente em uma reatncia indutiva de 20. Qual a expresso senoidal para a tenso em cada caso?
a) i = 5 sen t b) i = 0,4 sen (t + 600)
25. A seguir so apresentadas as expresses para a tenso aplicada a um capacitor de 0,5F. Qual a expresso para a corrente em cada caso?
a) v = 127,2 sen 754t b)v = 100 sen (1600t-1700)
Circuitos RLC Srie e Paralelo 34
4. CIRCUITOS RLC SRIE E PARALELO
4.1. CIRCUITOS RC SRIE
4.1.1. LEI DAS TENSES DE KIRCHHOFF PARA CA
Aplicamos a Lei de Kirchhoff das tenses ao circuito a seguir, lembrando que as tenses no
podem ser somadas algebricamente, devido s defasagens. Note que temos uma soma fasorial
(vetorial) e no algbrica. Projetando num diagrama os fasores correspondentes s quedas de
tenso, com a corrente no referencial, temos:
O resultado um fasor que representa a tenso aplicada ao conjunto. Esse fasor tem mdulo
igual ao valor eficaz dessa tenso e est atrasado de um ngulo em relao corrente. A corrente
que circula em um circuito RC avana um ngulo (entre 00 e 90) em relao tenso nos extremos do circuito.
Verificamos que o tringulo tem VR e VC como catetos e V como hipotenusa. Aplicando
teorema de Pitgoras, temos V V V2 R2
C
2 ou
Da trigonometria, temos:
4.1.2. DIAGRAMA DE OPOSIES: IMPEDNCIA
Considerando o diagrama fasorial das tenses acima, vamos refazer o diagrama, dividindo
cada tenso considerada pela corrente, que comum aos elementos (pois esto em srie).
V V VR C
VR VC
v
i
VR I
V VC
V V VR2
C
2
senV
V cos
V
V tan
V
V
C R C
R
R
XCZ
VR /I I / I
V / I
VC /I
Circuitos RLC Srie e Paralelo 35
V = Z . I
V
VR VL
i
VR I
V VL
Este novo tringulo tem dimenses de oposio (tensao
corrente
~), onde:
VR /I = R ; VC / I = XC e V / I = Z
Z chamada impedncia do circuito, e corresponde oposio que ele oferece
circulao da corrente. Sua unidade o ohm ().
Aplicando-se o Teorema de Pitgoras no tringulo das oposies obtido, temos Z2=R
2 + XC
2
ou:
Pela trigonometria, temos:
Ento, a Lei de Ohm aplicada a circuitos alimentados com C.A. fica:
Se o circuito for CPR, ela se reduz a V=R.I; se for CPC, se reduz a V=XC.I; genericamente,
V=(oposio).I.
4.2. CIRCUITOS RL SRIE
4.2.1. LEI DAS TENSES DE KIRCHHOFF PARA CA
Aplicamos a Lei de Kirchhoff das tenses ao circuito a seguir, lembrando que as tenses no
podem ser somadas algebricamente, devido s defasagens. Note que temos uma soma fasorial
(vetorial) e no algbrica. Projetando num diagrama os fasores correspondentes s quedas de
tenso, com a corrente no referencial, temos:
O resultado um fasor que representa a tenso aplicada ao conjunto. Esse fasor tem mdulo
igual ao valor eficaz dessa tenso e est adiantado de um ngulo em relao corrente. A corrente
que circula em um circuito RL se atrasa de um ngulo (entre 00 e 90) em relao tenso nos extremos do circuito.
Z R X2 C2
senX
Z cos
R
Z tan
X
R
C C
LR VVV
Circuitos RLC Srie e Paralelo 36
VR/I I/I
V/I VL/I
Verificamos que o tringulo tem VR e VL como catetos e V como hipotenusa. Aplicando
teorema de Pitgoras, temos 2L2
R
2 VVV ou
Da trigonometria, temos:
4.2.2. DIAGRAMA DE OPOSIES: IMPEDNCIA
Considerando o diagrama fasorial das tenses do item anterior, vamos refazer o diagrama,
dividindo cada tenso considerada pela corrente, que comum aos elementos (pois esto em srie).
O segundo tringulo tem dimenses de oposio (tensao
corrente
~), onde:
VR / I = R ; VL / I = XL e V/I=Z
Z chamada impedncia do circuito, e corresponde oposio que ele oferece
circulao da corrente. Sua unidade o ohm (). Aplicando-se o Teorema de Pitgoras no tringulo das oposies, temos: Z
2=R
2 + XL
2 ou
Pela trigonometria, temos:
Vimos, ento, que a Lei de Ohm aplicada a circuitos alimentados com C.A. fica:
2
L
2
R VVV
R
LRL
V
V tan
V
V cos
V
Vsen
R
XL Z
2
L
2 XRZ
R
X tan
Z
R cos
Z
Xsen LL
V = Z . I
Circuitos RLC Srie e Paralelo 37
1 K 10 mF A B
EXERCCIOS
1. Calcule a impedncia ZAB do circuito da figura
dada para = (a)0, (b)500rad/s (c)106 rad/s e (d).
2. Um resistor de 10 e um capacitor de 220F esto ligados em srie a uma fonte de 254V/60Hz. Calcule (a) I, (b) VR, e (c)VC.
3. Calcule (a) I, (b) VR1, (c)VC1, (d) VR2, (e) VC2, (f) VAB, (g) VAC e (h) VBD, no circuito da figura
dada, e faa o diagrama de tenses completo.
4. Se a fonte CA do exerccio anterior fosse substituda por um dnamo (gerador de C.C.) de 220V,
qual seria o valor da corrente I?
5. Deseja-se alimentar uma lmpada incandescente de 100W / 127V a partir de uma fonte de 220V /
60Hz. Calcule qual dever ser a capacitncia do capacitor a ser ligado em srie, de modo que a
lmpada funcione corretamente.
6. Determine o valor do capacitor que deve ser ligado em srie com um resistor de 750 para limitar a corrente em 200mA quando o circuito for submetido a 240V em 400Hz.
7. Considerando o circuito abaixo, faa os diagramas
fasoriais e calcule as quedas V1 e V2. Dados: R=8;
C1=530,5F; C2=265,3F; V=340V; f=60 Hz.
8. Um resistor de 20 est em srie com um capacitor de 0,1F. Em que freqncia a tenso e a corrente estaro defasadas de 40
0?
9. Responda as perguntas abaixo:
a) Um capacitor com ar entre as placas ligado em srie com uma lmpada incandescente a uma
fonte de CA. Se for introduzido um dieltrico de constante K alta, o que ocorre com o brilho da
lmpada? Justifique.
b)Uma bobina com ncleo de ar est ligada em srie com uma lmpada incandescente e uma fonte
CA. O que acontecer com o brilho da lmpada se for introduzido um ncleo de ferro na bobina?
Justifique.
C1 R C2
V ; f
V1 V2
A B C D
R1=20 C1 =100F R2 =15 C2 =300F
220 V / 60 Hz
Circuitos RLC Srie e Paralelo 38
R1 L1 R2 L2
V ; f
V1 V2
10. Uma bobina de R=5 e L=0,5H foi conectada a uma fonte. Calcule o valor da corrente, considerando que a fonte de:
a)CC e fornece V=10V.
b)CA e fornece VRMS=10V em 50Hz.
Compare as correntes e justifique.
11. Atravs de uma bobina de resistncia 2,3 e indutncia 30mH, passa uma corrente de 5A quando nos seus terminais aplicada uma tenso senoidal de 55V. Calcular a freqncia da corrente
que atravessa a bobina.
12. Uma bobina solicita uma corrente de 0,25A quando ligada a uma bateria de 12V, e uma
corrente de 1A quando ligada a uma fonte de 120V, 60Hz. Determinar a resistncia e a indutncia
da mesma.
13. Uma bobina (RL srie) alime