Habilitation a diriger des recherches

Etude numerique et mathematique de quelquesmodeles de transition de phase, de separation de

phases et de cristaux liquides

Morgan PIERRE

Laboratoire de Mathematiques et Applications UMR CNRS 6086Universite de Poitiers

6 octobre 2011

Contexte

Equation d’Allen-Cahn :

∂u

∂t= ε2∆u − f ′(u), x ∈ Ω, t ≥ 0,

ou Ω ⊂ Rd est ouvert (d = 3, 2 ou 1), ε > 0 (petit) et f ′ laderivee d’un potentiel double-puits, typiquement

f (s) =1

4(s2 − 1)2 (s ∈ R).

La fonction inconnue u : Ω → R est un parametre d’ordre scalaire

Modele de transition de phase avec interface diffuse

Flot de gradient L2(Ω) de l’energie

E (u) =

∫

Ω

ε2

2|∇u|2 + f (u) dx .

s

1

-1phase 1

phase 2

ε

Interface diffuse

Contexte

Equation de Cahn-Hilliard :

∂u

∂t= −∆(ε2∆u − f ′(u)), x ∈ Ω, t ≥ 0.

modele de separation de phases avec conservation de la masse ;version conservative de l’equation d’Allen-Cahn

Contexte

Equation de Cahn-Hilliard :

∂u

∂t= −∆(ε2∆u − f ′(u)), x ∈ Ω, t ≥ 0.

modele de separation de phases avec conservation de la masse ;version conservative de l’equation d’Allen-CahnFlot des applications harmoniques :

∂u

∂t= ∆u + u |∇u|2 , x ∈ Ω, t ≥ 0,

ou u : Ω → S2 est un parametre d’ordre vectoriel de norme unitemodele de cristaux liquides ; version asymptotique de l’equationd’Allen-Cahn vectorielle

Thematiques

Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard

Thematiques

Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard

avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]

Thematiques

Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard

avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]

Etude de singularites dans des problemes paraboliques

Thematiques

Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard

avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]

Etude de singularites dans des problemes paraboliques

Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique[Cherfils et P.’08]Equation de diffusion visqueuse [P.’08]Flot des applications harmoniques B2 → S2[Merlet et P.’05]

Thematiques

Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard

avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]

Etude de singularites dans des problemes paraboliques

Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique[Cherfils et P.’08]Equation de diffusion visqueuse [P.’08]Flot des applications harmoniques B2 → S2[Merlet et P.’05]

Etude theorique et numerique de problemes stationnaires

Thematiques

Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard

avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]

Etude de singularites dans des problemes paraboliques

Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique[Cherfils et P.’08]Equation de diffusion visqueuse [P.’08]Flot des applications harmoniques B2 → S2[Merlet et P.’05]

Etude theorique et numerique de problemes stationnaires

Modele de champ de phase cristallin [P. et Rougirel]Applications harmoniques B2 → S2 [P.’05 et ’08]

Thematiques

Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard

avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]

Etude de singularites dans des problemes paraboliques

Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique[Cherfils et P.’08]Equation de diffusion visqueuse [P.’08]Flot des applications harmoniques B2 → S2[Merlet et P.’05]

Etude theorique et numerique de problemes stationnaires

Modele de champ de phase cristallin [P. et Rougirel]Applications harmoniques B2 → S2 [P.’05 et ’08]

Convergence vers l’equilibre

Thematiques

Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard

avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]

Etude de singularites dans des problemes paraboliques

Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique[Cherfils et P.’08]Equation de diffusion visqueuse [P.’08]Flot des applications harmoniques B2 → S2[Merlet et P.’05]

Etude theorique et numerique de problemes stationnaires

Modele de champ de phase cristallin [P. et Rougirel]Applications harmoniques B2 → S2 [P.’05 et ’08]

Convergence vers l’equilibre

Modeles ci-dessusDiscretisation d’EDOs [Merlet et P.’10],[Grasselli et P. a p.]

Plan

1 IntroductionContexteThematiques

2 Convergence vers l’equilibre

3 Equation de Cahn-Hilliard avec condition au bord dynamique

4 Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique

5 Applications harmoniques du disque dans S2

6 Conclusion et perspectives

IntroductionConvergence vers l’equilibre

Equation de Cahn-Hilliard avec condition au bord dynamiqueEquation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique

Applications harmoniques du disque dans S2

Conclusion et perspectives

On considere une suite (Un)n≥0 de Rd qui satisfait

ε

(

Un+1 − 2Un + Un−1)

∆t2+

Un+1 − Un

∆t+∇F (Un+1) = Gn+1, (1)

pour tout n ≥ 0, ou ∆t > 0 (pas de temps) et ε ≥ 0. Onsuppose :

F ∈ C 1,1loc (R

d ,R) est semi-convexe pour une constante cF ≥ 0,

c-a-d que W 7→ F (W ) + cF ‖W ‖2 /2 est convexe.

(Gn+1)n∈N est une suite donnee dans Rd verifiant

supn∈N

(

n1+δ∞∑

k=n

∥

∥

∥G k+1

∥

∥

∥

2)

< ∞,

pour une constante δ > 0.

Rq : Gn → 0 donc (1) est asymptotiquement autonome.Morgan PIERRE Habilitation

Theoreme (Grasselli & P. a p.)

Soit (Un)n∈N une suite qui satisfait (1). En plus des hypothesesprecedentes, on suppose que 1/∆t > cF/2, que la suite (Un)n∈N

est bornee et qu’il existe U⋆ ∈ ω((Un)n) tel que F verifie l’inegalitede Lojasiewicz au voisinage de U⋆, c-a-d

‖V − U⋆‖ < σ ⇒ |F (V )− F (U⋆)|1−θ ≤ cL ‖∇F (V )‖ ,

pour des constantes σ > 0, cL > 0 et θ ∈ (0, 1/2].Alors, limn→∞ Un = U⋆ et de plus, il existe une constante C telleque pour tout n > 0,

‖Un − U⋆‖ ≤ Cn−α avec α = min

θ

1− 2θ,δ

2

.

Rq1 : l’exposant α est optimal en general.Rq2 : par definition,

ω ((Un)n) :=

U⋆ ∈ Rd : ∃nk → ∞ tels que Unk → U⋆

.

Elements de preuve

arguments : fonction de Liapounov et inegalite de Lojasiewicz

adaptation en discret du flot de type gradientasymptotiquement autonome :

εU ′′(t) + U ′(t) +∇F (U(t)) = G (t), t ≥ 0,

traite par [Chill et Jendoubi’03], [Ben Hassen’10] (et[Haraux et Jendoubi’98] dans le cas G ≡ 0)

generalisation du cas ε = 0 et (Gn)n ≡ 0 traite par [Merlet etP.’10], [Attouch et Bolte’09] (voir aussi [Absil et al’05]).

Rq : dans le cas ε = 0 et (Gn)n ≡ 0, (1) est l’algorithme proximal(Euler implicite) applique au flot de gradientU ′(t) +∇F (U(t)) = 0, et les hypotheses sur F peuvent etreaffaiblies

Remarque sur le cas ε = 0 et (G n)n ≡ 0

Proposition (Merlet & P.’10)

Soit U ∈ C 1([0,+∞),Rd) une solution (bornee) deU ′(t) = −∇F (U(t)), ou F ∈ C 1,1

loc (Rd) est coercive et satisfait

l’inegalite de Lojasiewicz en un point U⋆ de ω(U(0)), de sorte quelimt→+∞ U(t) = U⋆. Si U⋆ est un minimiseur local de F , alorspour ∆t > 0 assez petit, et pour U0

∆t assez proche de U(0),l’unique suite (Un

∆t)n generee par le schema d’Euler implicite(Un+1

∆t − Un∆t)/∆t = −∇F (Un+1

∆t ) (n ≥ 0) converge vers une limiteU⋆∆t lorsque n → +∞, et de plus, U⋆

∆t → U⋆ lorsque ∆t → 0 etU0∆t → U(0).

Rq : resultat de stabilite : si U0∆t est assez proche de U⋆, alors

toute la suite (Un∆t)n reste proche de U⋆. A relier a un resultat de

[Miranville et Rougirel’06] (voir aussi [Huang’06], [Absil etKurdyka’06] et [Chill,Fasangova et Schatzle’10]).

IntroductionConvergence vers l’equilibre

Equation de Cahn-Hilliard avec condition au bord dynamiqueEquation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique

Applications harmoniques du disque dans S2

Conclusion et perspectives

Probleme : trouver (u,w) : Ω → R × R solution de

ut = ∆w , t > 0, x ∈ Ω, (2)

w = f ′(u)−∆u, t > 0, x ∈ Ω, (3)

(1/Γs)ut = σs∆‖u − g ′s(u)− ∂nu, t > 0, x ∈ Γ, (4)

∂nw = 0, t > 0, x ∈ Γ, (5)

ou Ω est une plaque, i.e.

Ω =(

R/(L1Z))

× (0, L2), L1 > 0, L2 > 0,

de frontiere C∞ : Γ = ∂Ω =(

R/(L1Z))

× 0, Ld. On a Γs > 0,σs > 0 et l’on choisit

f ′(v) = v3 − β2v et g ′s(v) = ksv − hs (β, ks > 0, hs ∈ R).

Morgan PIERRE Habilitation

u dissipe l’energie

E(u) =

∫

Ω

(

1

2|∇u|2 + f (u)

)

dx +

∫

Γ

(σs2

∣

∣∇‖u∣

∣

2+ gs(u)

)

dσ,

et la masse est conservee :∫

Ω u(t) dx =∫

Ω u(0) dx (t ≥ 0).Bibliographie :

Simulations par differences finies : [Fischer, Maass etDieterich’97 et ’98], [Kenzler et al’01]

Etude du probleme continu : [Racke et Zheng’03], [Wu etZheng’04], [Miranville et Zelik’06], [Chill, Fasangova etPruss’06], [Gal’06a], [Gal’06b], [Pruss, Rack etZheng’06], [Gilardi, Miranville et Schimperna’09]

Rq : resultats precedents et suivants valable egalement endimension 3 de domaine et pour des nonlinearites plus generales

Une simulation numerique

Parametres continus : domaine Lx × Ly = 80× 10 ;

f ′(v) = v3 − v/2, g ′s(v) = v , Γs = 10, σs = 0.1.

Parametres discrets : triangulation de 256× 50 rectanglesdecoupes en deux triangles selon la meme diagonalepas de temps δt = 0.1.Elements finis P1 conformes en espace, Euler semi-impliciteen temps.

t = 250animation

⇒ : resultats numeriques similaires a [Kenzler et al’01].

Schema semi-discretise en espace

V =

v ∈ H1(Ω), v|Γ (au sens des traces) ∈ H1(Γ)

,

Famille quasi-uniforme de triangulations Ωhh de [0, L1]× [0, L2](et Ω). Elements finis P1 conformes :

V h =

vh ∈ C 0(Ω), vh|T est affine ∀T ∈ Ωh

.

Probleme discret : trouver (uh,wh) : [0,T ] → V h × V h tels que

(uht , ϕ) = −(∇wh,∇ϕ), ∀ϕ ∈ V h, (6)

(wh, χ) = (f ′(uh), χ) + (∇uh,∇χ) + σs(∇‖uh,∇‖χ)Γ

+(g ′s(u

h), χ)Γ + Γ−1s (uh

t , χ)Γ, ∀χ ∈ V h. (7)

Extension naturelle du schema de [Elliott, French et Milner’89]pour Cahn-Hilliard classique.

Theoreme (Cherfils, Petcu & P.’10)

Pour tout uh0 ∈ V h, le probleme (6)–(7) admet une unique solution

(uh,wh) ∈ C 1([0,+∞);V h × V h) telle que uh(0) = uh0 . De plus,

E(uh(t)) +

∫ t

0

∣

∣

∣wh∣

∣

∣

2

1+ Γ−1

s

∣

∣

∣uht

∣

∣

∣

2

0,Γds ≤ E(uh(0)), ∀t ≥ 0, (8)

et il existe une solution stationnaire (uh, wh) ∈ V h × R telle que

limt→+∞

(uh(t),wh(t)) = (uh, wh).

Rq : l’estimation (8) permet de montrer la convergence de(uh,wh) vers (u,w) sur [0,T ] lorsque h → 0.

Theoreme (Cherfils, Petcu & P.’10)

Soient (u,w) une solution assez reguliere de (2)–(5) et (uh,wh)

une solution de (6)–(7). Si uh(0) = P1,hσs ,ks

(u(0)) et

wh(0) = P1,h(w(0)) (P1,h⋆ projecteur elliptique), alors

sup[0,T ]

(

∣

∣

∣uh − u

∣

∣

∣

0+∣

∣

∣uh − u

∣

∣

∣

0,Γ

)

≤ Ch2,

sup[0,T ]

(

∥

∥

∥uht − ut

∥

∥

∥

−1,h+∣

∣

∣uht − ut

∣

∣

∣

0,Γ

)

≤ Ch2,

(∫ T

0

∥

∥

∥wh − w

∥

∥

∥

2

0ds

)1/2

≤ Ch2,

sup[0,T ]

(

∥

∥

∥uh − u

∥

∥

∥

1+∥

∥

∥uh − u

∥

∥

∥

1,Γ

)

≤ Ch,

(∫ T

0

∥

∥

∥wh − w

∥

∥

∥

2

1+∥

∥

∥uht − ut

∥

∥

∥

2

1+∥

∥

∥uht − ut

∥

∥

∥

2

1,Γds

)1/2

≤ Ch.

Schema totalement discretise

Le schema est Euler implicite a pas constant δt > 0 appliquea (6)–(7). On a f ′′(s) ≥ −β2 et g ′′

s (s) ≥ ks > 0 ∀s ∈ R.

Theoreme (Cherfils, Petcu & P.’10)

Pour tout u0h ∈ V h, il existe une suite (un

h ,wnh )n≥1 satisfaisant le

schema totalement discretise et l’estimation d’energie

E(unh) +

1

2δt

∣

∣unh − un−1

h

∣

∣

2

−1,h+

1

2Γsδt

∣

∣unh − un−1

h

∣

∣

2

0,Γ≤ E(un−1

h ).

(9)pour tout n ≥ 1. De plus, (un

h ,wnh )n≥1 converge vers une solution

stationnaire (uh, wh) lorsque n → +∞. Si δt < δt⋆ := 4/β4, alorsla suite est definie de maniere unique.

Rq : etend un resultat de [Elliott’89] pour Cahn-Hilliard classique

IntroductionConvergence vers l’equilibre

Equation de Cahn-Hilliard avec condition au bord dynamiqueEquation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique

Applications harmoniques du disque dans S2

Conclusion et perspectives

Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique

Gurtin etablit dans [Gurtin’96] plusieurs generalisations del’equation d’Allen-Cahn (et de l’equation de Cahn-Hilliard) :notion de microforces, separation des lois constitutives et des loisde conservation. Une de ces generalisations s’ecrit :

β∂tu+b ·∇∂tu−div(

A∇∂tu)

−α∆u+ f ′(u) = 0, x ∈ Ω, t ≥ 0,(10)

avec Ω ⊂ Rd ouvert borne (d = 1, 2 ou 3), β ≥ 0, b ∈ Rd et Amatrice de taille d symetrique et positive (condition dedissipativite).Etude de (10) dans [Cherfils et Miranville’99] : β > 0, Asymetrique definie positive et f polynome de degre pair acoefficient dominant > 0 et a croissance sous-critique : existenceglobale et unicite de la solution, attracteur de dimension finie.

Morgan PIERRE Habilitation

Probleme : etendre au cas du potentiel logarithmique de derivee

f ′(s) =θ

2ln

(

1 + s

1− s

)

− θcs, s ∈ (−1, 1) (0 < θ < θc).

Question naturelle car f est le potentiel thermodynamique.En dimension d = 1, (10) s’ecrit

ut + buxt − auxxt − αuxx + f ′(u) = 0, x ∈ (0, 1), t > 0, (11)

avecb ∈ R, a > 0 et α > 0.

Pas de principe de comparaison pour (11) [Cherfils et P.’08],contrairement au cas pseudo-parabolique f ′ ≡ 0, b = 0(cf.[DiBenedetto et Pierre’81]) et contrairement au casclassique (b = a = 0, α > 0).

Une simulation numerique

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

uU_0

U_200

U_400

U_600

U_800

U_1000

“Explosion” en temps fini pour le potentiel logarithmique

θ = 1, θc = 2, α = 0.01, a = 1, b = 4.

CB periodiques avec x ∈ T = R/Z (tore). En posantLa,b = I + b.∇− a∆ de domaine H1(T) = H1

per(0, 1), (11) s’ecrit

ut = α∆ L−1a,bu − L−1

a,bf ′(u). (12)

⇒ existence locale pour toute donnee u ∈ C 0(T) telle que |u| < 1dans T (Cauchy-Lipschitz). En revanche, on a

Theoreme (Cherfils & P.’08)

On suppose que f est le potentiel logarithmique et on fixe x0 ∈ T.Alors, pour α > 0 assez petit, il existe T > 0 et

u ∈ C 1([−T , 0];C 0(T)) ∩ C 1([−T , 0);C 2(T))

tels que ‖u(t)‖∞ < 1 pour tout t ∈ [−T , 0), u satisfait (12) sur[−T , 0), u(x0, 0) = 1 et ut(x0, 0) > 0. En particulier, u ne peutpas etre prolonge pour des temps positifs comme une solutionclassique de (12).

Une piste pour definir une solution globale

On a f ′(s) = g(s)− θcs avec g : (−1, 1) → R continue croissantemaximale. Pour b = 0 et a = 1, on recrit (12)

ut = −L−1a,bg(u) + (α∆ L−1

a,b + θcL−1a,b)u.

Dans H = H1(T), l’operateur A = L−11,0g de domaine

D(A) = u ∈ H : g(u) ∈ L2(0, 1) est monotone, car

(Au−Av , u−v)H =

∫ 1

0(g(u)−g(v))(u−v)dx ≥ 0 ∀u, v ∈ D(A).

On montre que A est (multivalue) maximal monotone dans H.

Pour tout u0 ∈ D(A), il existe une unique solution forteu ∈ C ([0,+∞);H) de 0 ∈ ut + Au − Lu, ouL = (α∆ L−1

a,b + θcL−1a,b) est lineaire et borne sur H.

⇒ : cas general en cours d’etude

IntroductionConvergence vers l’equilibre

Equation de Cahn-Hilliard avec condition au bord dynamiqueEquation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique

Applications harmoniques du disque dans S2

Conclusion et perspectives

Soient D le disque unite de R2, de frontiere ∂D = S1, et S2 lasphere unite de R3.Probleme : pour une donnee au bord γ : ∂D → S2, trouveru : D → S2 solution de

−∆u = u |∇u|2 dans D, (13)

u = γ sur ∂D. (14)

Pour γ constant, resultat d’unicite de [Lemaire’78] et pour γ nonconstant, resultats de multiplicite de [Brezis et Coron’83],[Jost’84], [Soyeur’89], [Kuwert’94], [Qing’92a ] et [Qing’92b].Resultat de regularite de [Helein’90] et [Qing’93].

Morgan PIERRE Habilitation

Une application harmonique (solution de (13)) est un pointcritique de

E(u) =1

2

∫

D

|∇u|2 dx dy .

Invariance de E sous l’action de Aut(D)× O(3) (invarianceconforme de domaine et invariance isometrique de S2) dansH1(D, S2) et H1/2(S1, S2). On pose

γa,n : S1 ∋ z 7→ Π−1N (azn) ∈ S2 (a ∈ [1,+∞), n ∈ N⋆),

ou ΠN : S2 → C est la projection stereographique de pole nord etou S1 ≃ z ∈ C : |z | = 1.

Theoreme (P.’08)

Si γ ∈ H1/2(S1, S2) est une donnee au bord non constante dont lestabilisateur est de cardinal infini, alors il existe(g ,T ) ∈ Aut+(D)× O+(3) tel que T γ g−1 = γa,n p.p. dansS1, pour un unique a ≥ 1 et un unique n ∈ N⋆.

Pour tout θ ∈ R/(2πZ) et z ∈ S1, on a a(eiθ z)n = einθ(azn), i.e.que le stabilisateur de γa,n contient le groupe continu de rotations

Gn = (Rθ,Rnθ) : θ ∈ R/2πZ ,

ou Rα = rotation vectorielle de R3 d’angle α par rapport a [0z)Pour γ = γa,n, deux solutions distinctes de (13)–(14) sont

ua,n : z 7→ Π−1N (azn) et ua,n : z 7→ Π−1

N (az−n),

et leur stabilisateur contient Gn.

Theoreme (P.’08)

Si γ = γa,n pour un a ∈ [1,+∞) et un n ∈ N⋆, et si u est unesolution de (13)–(14) distincte de ua,n et ua,n, alors u a unstabilisateur fini. En particulier, l’existence d’un tel u impliquel’existence d’un continuum de solutions au probleme pour la memedonnee au bord γa,n et dans la meme classe d’homotopie, paraction du groupe Gn sur u.

Remarques

Probleme de Brezis : pour (a ≥ 1 et) n = 1 existe-t-il uneextension harmonique de γa,n distincte de ua,n et ua,n ?

Resultats precedents adaptes a des groupes discrets derotation : classification de tous les stabilisateurs finis etbrisure de symetrie discrete ([P.’08] et [P.’05]).

Proposition (P.’08)

Il existe une donnee au bord γ ∈ C 2(S1, S2) dont le stabilisateurest trivial et qui admet au moins deux prolongements harmoniquesdistincts appartenant a une meme classe d’homotopie

Trois minimiseurs homotopes pour γa,n avec a = 1, n = 2

Conclusion et perspectives

Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard

avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]

Etude de singularites dans des problemes paraboliques

Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique[Cherfils et P.’08]Equation de diffusion visqueuse [P.’08]Flot des applications harmoniques B2 → S2[Merlet et P.’05]

Etude theorique et numerique de problemesstationnaires

Modele de champ de phase cristallin [P. et Rougirel]Applications harmoniques B2 → S2 [P.’05 et ’08]

Convergence vers l’equilibre

Modeles ci-dessusDiscretisation d’EDOs [Merlet et P.’10],[Grasselli et P. a p.]