Université de Poitiers Année Universitaire 2012/2013

U.F.R. SFA

Master 1ere année

Spécialité PCMHP

.

RAPPORT DE STAGE

.

CEA-Saclay, Service de Recherches de Métallurgie Physique

Etude atomistique de la vitesse de propagation des décrochementsle long d’une dislocation vis dans le Fe-α

Matthieu Aumand

Remerciements

Je remercie François WILLAIME, chef du SRMP, qui m’a permis de travailler au sein de son unité

de recherche.

Je remercie Fabrice LEGENDRE qui a veillé à mon intégration au sein de l’équipe et qui m’a dédié

un bon accueil ainsi qu’un suivi régulier.

Je remercie Laurent PROVILLE, mon tuteur de stage, qui m’a donné l’opportunité d’effectuer un

stage enrichissant, dont l’esprit scientifique éclairé m’aura fait découvrir un travail de recherche passion-

nant, tant par sa nature que par les méthodes de travail ainsi que les réflexions mises en oeuvre. Son sens

du rythme aura su donner la note juste aux réflexions et travaux effectués tout au long de ce stage.

Je remercie les stagiaires, Etienne, Alexandre, Sofia, ainsi que l’équipe de thésards du service, avec

qui il aura été agréable de partager bonne humeur et discussions scientifiques, tant sérieuses que décalées.

Je remercie également l’équipe du SRMP, chercheurs, ingénieurs, techniciens que j’ai cotoyé tout au

long du stage avec lesquels j’ai été heureux de partager le quotidien au sein du service.

Je remercie également le CEA, pour l’accueil au sein de sa structure de recherche.

Table des matières

Table des matières 1

Introduction 2

1 Modèle atomique 4

1.1 Cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Dislocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Mouvement de la dislocation et paires de décrochements . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Potentiel atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Simulation numérique 8

2.1 Conditions et environnement de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Nudged Elastic Band (NEB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Détermination de la position des segments de dislocation . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Résultats de simulation atomique 15

4 Modèle phénoménologique 18

5 Etude de la dissipation dans le cristal 22

5.1 Dissipation d’énergie cinétique dans les couches atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2 Evolution de l’énergie cinétique le long de la dislocation . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Conclusion 26

Conclusion scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Conclusion personnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Bibliographie 29

1

Introduction

Les dislocations sont des phénomènes directement liés à la déformation des matériaux et plus pré-

cisément à la déformation plastique. Décrites au début du 20ème siècle, puis observées dans les années

1950, les dislocations sont aujourd’hui un important thème de travail en modélisation numérique. Il est

primordial de connaître au mieux les matériaux utilisés dans les constructions de tous les jours, ainsi que

ceux qui auront leur place dans les projets futurs. L’acier par exemple, amplement sollicité sous toutes

ses formes et pour une large catégorie d’ouvrages, nécessite l’étude du fer alors que le tungstene est

une priorité dans le cadre de projets d’énergie issue de la fusion nucléaire. À l’aide de techniques de

modélisations en progrès continu ainsi que de modèles physiques de plus en plus précis et complexes,

les dislocations sont au centre des préoccupations des laboratoires de métallurgie, et notamment dans le

centre de Saclay du Commissariat à l’Energie Atomique et aux Energies Alternatives (CEA), en région

parisienne, organisme d’accueil du stage dont les travaux sont présentés ici.

Créé en 1945 à l’initiative du Président de Gaulles, ce centre fut notamment dirigé par le couple

Joliot-Curie. Son lancement, puis l’implantation du centre de Saclay dans les années 1950 aura permis

à la communauté scientifique française de s’affirmer dans le domaine du nucléaire civil et militaire. Au-

jourd’hui les différents centres implantés dans toute la France portent leurs études sur un large éventail

de domaines scientifiques et sont divisés en un nombre considérable de pôles et départements. L’étude

sur laquelle porte ce stage prend part aux recherches du Service de Recherches de Métallurgie Physique

(SRMP) au sein du Département des Matériaux pour le Nucléaire de la Direction de l’Energie Nucléaire

du CEA. Les travaux du SRMP s’appuient sur le développement d’approches théoriques, numériques et

expérimentales. Ce domaine de recherche connaît actuellement un renouveau important, avec d’un côté

les enjeux liés à la durée de vie des matériaux nucléaires de fission et de fusion du futur, et de l’autre

les progrès conjoints des méthodes d’observation et de la modélisation numérique à partir de l’échelle

atomique. Dans l’optique du développement des réacteurs nucléaires dit de “génération IV”, le SRMP

effectue de nombreuses études expérimentales sur les matériaux irradiés qui sont visés pour la concep-

2

tion de ces réacteurs. Une partie du service est, quant à elle, dédiée aux travaux de simulation numérique

dont les problématiques sont essentiellement les dislocations et les matériaux irradiés. Depuis plusieurs

années déjà, l’équipe de simulations produit des publications qui ont permis d’amples progrès dans ces

domaines parfois conjoints, et dont les problématiques peuvent se révéler à caractère industriel. Toutefois,

les concepts fondamentaux de la physique ont également leur place et c’est ainsi que le comportement

des dislocations est au centre de l’attention de certains chercheurs, qui développent ainsi des modèles

numériques de plus en plus perfectionnés, leur permettant de produire des études de plus en plus fines.

En s’appuyant sur la reproduction des résultats obtenus à l’échelle macroscopique, les simulations

numériques vont permettre de représenter le comportement de la matière à l’échelle atomique permet-

tant ainsi d’approfondir la compréhension d’un phénomène. Ce stage s’inscrit donc dans la continuité

des travaux effectués par le SRMP et plus particulièrement par Laurent Proville. Il a consisté à effectuer

un travail de modélisation numérique à l’échelle atomique des paires de décrochements le long d’une

dislocation vis dans le Fe-α afin d’en déduire des informations quant à la dépendance de la vitesse des

décrochements, en fonction de la contrainte imposée au cristal pour une gamme de températures. Récem-

ment Swinburne et al. [1] ont émis un doute quant à la dépendance du comportement de la vitesse des

décrochements avec la température, et c’est à partir de ces incertitudes que le travail présenté ici se base.

Le but est de se rapprocher au mieux des données expérimentales [2–4], grâce au modèle numérique et

ainsi de mieux comprendre les mécanismes.

Dans ses expériences de traction in-situ [2], D. Caillard observe la propagation des dislocations, mais

ne peut suivre précisément le mouvement des décrochements, la fréquence d’acquisition d’images étant

trop faible comparée à la vitesse des dislocations. Les clichés successifs montrent des dislocations dans

des positions éloignées. Il est donc impossible d’observer l’évolution des décrochements grâce à un dis-

positif expérimental. Les simulations peuvent nous éclairer à propos des mécanismes de propagation. Les

modèles théoriques [5, 6] prédisent une solution de type soliton, et l’unique étude de simulation publiée

à ce jour a été effectuée par une approche diffusive du problème sans contrainte [1]. Le développement

d’un calcul afin d’approcher des valeurs de contraintes plus réalistes dans le matériau ainsi que la prise

en compte des effets de température permettraient une avancée dans la problématique de la propagation

des dislocations dans les métaux cubiques centrés comme le Fe et W.

3

Chapitre 1

Modèle atomique

La simulation numérique utilisée pour cette étude porte sur des notions de physique qui seront décrites

dans cette première partie. De la maille du cristal à l’atome, l’outil de simulation se doit de produire

la plus fidèle des analyses du système créé pour l’occasion. L’objectif de mes calculs de dynamique

moléculaire est de développer un modèle de comportement général avec un système physique simple,

les outils de simulation ne permettant pas d’atteindre un haut niveau de complexité. Les systèmes et

phénomènes étudiés dans ce stage sont convenablement représentés par le potentiel de Gordon et al. [7]

qui sera décrit dans la partie suivante.

1.1 Cristal

Les simulations de ce stage portent sur la phase cristalline du fer, nommée phase α, de symétrie

cubique centrée. Dans cette phase, le paramètre de maille du fer est a0 = 2,866Å. Le Fe-α est le système

faisant l’objet de beaucoup d’effort de développement. Le simuler en dynamique moléculaire revient

à utiliser un modèle de potentiel inter-atomique qui traduit le comportement du cristal étudié via des

interactions interatomiques.

1.2 Dislocation

L’objet de notre étude porte sur la dislocation de type vis car elle est le principal vecteur de plasticité

dans les métaux cubiques centrés. Ses caractéristiques quant à la déformation du réseau ont déjà été

étudiées précisément [7] et ne seront donc pas explicitées. La dislocation vis est caractérisée par son

vecteur de Burgers parallèle à la ligne de dislocation comme il est montré sur la Fig. 1.1. Elle porte son

nom car la déformation engendrée est de forme hélicoïdale [8].

4

FIGURE 1.1 – Représentation schématique de la dislocation vis

1.3 Mouvement de la dislocation et paires de décrochements

Peierls a énoncé le concept de vallée de Peierls pour une dislocation étant à son minimum d’énergie,

en 1940 [9]. Ce papier introduit ce qui sera ensuite connu sous le nom potentiel de Peierls correspondant

à l’énergie potentielle de la dislocation. Ce potentiel représente le fait qu’une dislocation déplacée depuis

le creux d’une vallée voit la configuration des atomes de son coeur se modifier et donc celle-ci gagne de

l’énergie. Réciproquement, il faut donner de l’énergie à la dislocation pour lui permettre de franchir ce

potentiel. Tout ce processus est sujet à une description précise dans l’article de Guyot et Dorn [10]. Le

potentiel est une fonction périodique de la position de la dislocation dans le cristal, de période a, corres-

pondant à la distance entre deux rangées atomiques successives dans le plan de glissement ; sa dérivée

donne en principe la contrainte du réseau critallin qui représente la résistance du cristal au mouvement

des dislocations. La contrainte de Peierls (τp) représente la contrainte minimale à appliquer au cristal

pour provoquer un mouvement athermique de la dislocation (à 0 K) d’une vallée de Peierls à une autre.

Cette contrainte doit être appliquée au plan de glissement dans la direction du vecteur de Burgers pour

être effective [11].

À très faible température, lorsque la contrainte appliquée est nulle, la dislocation ne bougera pas de sa

position d’équilibre, notée A0B0C0 en y=−a2 sur la Fig. 1.2. Il faut appliquer une contrainte supérieure ou

égale à la contrainte de Peierls pour déplacer la dislocation dans la vallée suivante sur la position A′′0B′′0C′′0 ,

en y =+a2 . Pour une température nulle, aucun autre déplacement n’est permis à la dislocation. À hautes

températures en revanche, les fluctuations thermiques font osciller la dislocation autour de sa position

moyenne, et si l’énergie d’une fluctuation locale est suffisante, la dislocation critique AB′C apparaît par

la germination d’une paire de décrochements. Les décrochements gauche et droit vont alors se propager

5

FIGURE 1.2 – Déscription schématique du franchissement d’une barrière de Peierls.

sous l’effet de la contrainte le long de la ligne de dislocation, rendant alors possible la mobilité des

dislocations. Un décrochement est un court segment de dislocation coin reliant les deux vallées de Peierls

successives et qui permet au défaut de se propager dans le cristal. Les décrochements se déplacent ainsi

dans des directions respectivements opposées pour le décrochement droit et le décrochement gauche,

permettant à la dislocation de se mouvoir d’une vallée de Peierls à une autre le long du plan de glissement.

1.4 Potentiel atomique

Nos simulations sont effectuées avec un code de dynamique moléculaire qui simulent l’évolution

de la position d’un ensemble d’atomes dans le temps. Chaque atome est alors considéré comme une

masse ponctuelle en interaction mécanique avec ses voisins et il est possible d’exercer des interventions

extérieures sur la boîte de simulation, telles que des effets de température ou bien une contrainte. Il est

alors possible d’obtenir des informations telles que la trajectoire et l’énergie potentielle de chaque atome,

en utilisant un potentiel interatomique adapté au système simulé. Afin de mettre en oeuvre la dynamique

moléculaire pour le Fe-α, chacun des atomes est condidéré individuellement. Il en est de même pour les

interactions avec ses atomes voisins ou même les interactions électroniques grâce à un potentiel EAM

(Embedded Atom Method), qui reproduit au mieux les propriétés des métaux car il prend en compte

l’effet d’interaction à N-corps dû aux électrons ainsi que la description des paires d’atomes. Chaque

atome est alors considéré comme lié à ses voisins dans un rayon de coupure Rc, avec V le potentiel de

l’atome présent en position ri j, F une fonctionnelle d’immersion et ρ la densité électronique autour de

l’atome (i, j). L’énergie potentielle totale du système s’écrit alors :

Etot =12

N

∑i=1

∑j/ri j<Rc

V (ri j)+N

∑Fji=1

∑j/ri j<Rc

ρ(ri j)

(1.1)

Pour simuler les interactions entre les atomes d’un cristal de Fe-α, les paramètres du potentiel sont

6

ajustés afin que les grandeurs caractéristiques soient en accord avec l’expérience, telles que les constantes

élastiques et les énergies caractéristiques de défauts ponctuels élémentaires.

7

Chapitre 2

Simulation numérique

2.1 Conditions et environnement de simulation

L’objectif ici est d’observer la propagation des décrochements le long d’une dislocation franchissant

un potentiel entre deux vallées de Peierls pour différentes contraintes et différentes températures afin

d’en estimer la vitesse. Pour cela il faut construire le chemin de moindre énergie (Minimum Energy

Path, MEP) grâce à un calcul NEB (Nudged Elastic Band) pour chaque valeur de contrainte que nous

souhaitons appliquer à la boîte de simulation. Les effets de température seront simulés ensuite par des

calculs de dynamique moléculaire. La propagation d’une paire de décrochements s’effectuera depuis

une position d’équilibre instable dans le potentiel de Peierls pour lui faire atteindre la vallée de Peierls

suivante. La position de chacun des décrochements au cours du temps sera alors utilisée afin de réaliser

une étude de la vitesse de propagation.

La boîte de simulation est de dimension 14× 208× 18 en nombre de cellules [12] dont les orien-

tations sont X=[112], Y=[111], Z=[110], et contient une dislocation vis a012 <111> {110}. Le potentiel

interatomique utilisé pour ces simulations est le potentiel MPG20 de Gordon et al. [7]. Il offre une repré-

sentation correcte de la structure de cœur compacte de la dislocation vis dans un matériau cubique centré.

De plus il reproduit bien le comportement des phonons [12] pour leur composante longitudinale, et la va-

leur DFT (Density Functional Theory) de la tension de ligne [13]. Quant aux composantes transversales

des phonons, le potentiel de Gordon est le plus proche parmi les potentiels développés pour le fer. Sur

la Fig.2.1, on a reporté un exemple de comparaison des données expérimentales issues de diffusion de

neutrons avec les simulations par les potentiels les plus utilisées pour le fer (EAM MCM2011 et EAM

MPG20). Il est clair que le potentiel EAM de Gordon et al. [7] est celui qui approche au mieux la réalité

quant au comportement des phonons.

8

FIGURE 2.1 – Bande de phonons selon la direction [110] avec différents potentiels EAM (voir légende)et données expérimentales de diffusion de neutrons (symboles)

Il est important de souligner le fait que les potentiels interatomiques utilisés ne sont pas aboutis.

Ceux-ci sont en évolution continue et sont régulièrement améliorés. Néanmoins les caractéristiques d’un

cristal telles que la nature et le comportement des dislocations dans celui-ci, limitent les éléments du

tableau périodique pouvant êtres simulés. Il est donc courant de trouver des études portant sur le fer tel

que celle présentée ici. Ce type d’étude à pour but de définir un modèle simple qui servira aux simulations

futures sur des systèmes plus complexes.

2.2 Nudged Elastic Band (NEB)

La NEB est une méthode de calcul permettant de trouver le MEP dont le tracé indique le chemin né-

cessitant le moins d’énergie à une dislocation pour franchir la barrière de Peierls à contrainte constante.

Il est nécessaire de calculer le MEP car celui-ci évolue en fonction de la contrainte appliquée au cristal

conjointement à la barrière de Peierls [14]. Afin de procéder au calcul NEB qui s’effectue à tempéra-

ture nulle, il faut effectuer au préalable deux trempes de l’échantillon. La première trempe appliquée au

cristal possédant une dislocation vis droite placée dans une vallée de Peierls. La seconde considère la

même dislocation cette fois-ci placée dans la vallée adjacente. Ainsi les configurations relaxées pour les

positions de départ et d’arrivée de la dislocation sont générées. La NEB va construire des images à partir

de ces configurations initiale et finale. Une difficulté réside dans le fait que la dislocation doit parcourir

le chemin le plus direct. Les images sont considérées comme un système d’oscillateurs soumis à des

forces dont certaines composantes sont ensuite arbitrairement inhibées pour le bon déroulement de la

9

simulation ; on obtient alors une “bande élastique”.

Afin d’y parvenir, les composantes des forces qui ne sont pas parrallèles au MEP sont bloquées. Ainsi,

pour la force de rappel entre les oscillateurs, seule la composante parallèle à la tangente de la courbe et

dirigée dans la direction souhaitée de propagation sera retenue pendant le calcul afin de simuler la bande

élastique. Concernant les forces extérieures, ce sera uniquement la composante exerçant une force sur

l’oscillateur dirigée vers la barrière de Peierls qui sera prise en compte, c’est le “nudging”. Ainsi, le seul

mouvement possible au décrochement formé, est celui l’ammenant de la première position relaxée à la

seconde en suivant rigoureusement le MEP.

La bande élastique est composée de N+1 images que nous pouvons noter [R0,R1,R2...,Rn], et dont

les extrémités R0 et Rn sont fixes et données par l’énergie minimale obtenue par les deux trempes. Les

N-1 images intermédiaires sont quant à elles ajustées par un algorithme d’optimisation. La tangente de la

courbe en une image i est calculée à partir des positions des images adjacentes, i-1 et i+1.

Une technique plus juste est d’utiliser le segment normalisé entre les deux, par bissection des deux

vecteurs unitaires.

τi =Ri−Ri−1

|Ri−Ri−1|+

Ri+1−Ri

|Ri+1−Ri|(2.1)

Une normalisation est alors nécessaire :

τ =τ

|τ|. (2.2)

Ce calcul de tangente assure une distance constante entre deux images, à condition que la force de

rappel soit identique en tout point. La somme Fi des forces agissant alors sur une image comprend la

composante de la force de rappel parrallèle à la tangente et celle des forces extérieures, perpendiculaire à

la tangente. Soit :

Fi = Fri |‖−∇V (Ri)|⊥, (2.3)

où les forces extérieures et la force de rappel sont respectivement données par :

∇V (Ri)|⊥ = ∇V (Ri)−∇V (Ri).τi, (2.4)

Fri |‖ = k[(Ri+1−Ri)− (Ri−Ri−1)].τiτi. (2.5)

10

FIGURE 2.2 – Trajectoire NEB pour 100MPa

Ce calcul NEB est néamoins peu sophistiqué et présente des défauts. Afin d’améliorer le calcul, une

version élaborée du calcul de tangente [15] est mise en œuvre. De plus, il est primordial de trouver

l’image qui correspond au plus haut point de la barrière NEB, i.e. le point col où la dislocation est à

l’équilibre, car la configuration atomique de ce point sera utilisée afin de recalculer une trajectoire. Le

nombre d’images NEB étant limité, l’état de point col n’était pas calculé avec grande précision du fait que

la précision NEB augmente avec le nombre d’images. L’état de transition calculé avec la NEB a été mis

en état de départ dans une dynamique moléculaire à température nulle, puis la trajectoire du système a été

suivie. Après un certain temps, la simulation est stoppée puis le vecteur vitesse inversé afin de repousser

le col en sens inverse. Le maximum d’énergie obtenu a alors été retenu comme état de départ pour une

dynamique moléculaire avec température.

2.3 Détermination de la position des segments de dislocation

Pour parvenir à localiser une ligne de dislocation générée dans une boîte de simulation, il est néces-

saire de définir les coordonnées de ses segments. Nous avons utilisé deux méthodes pour y parvenir, dont

l’une est décrite dans un article de L. Proville [14] et la seconde a été mise en œuvre à l’occasion de cette

étude.

Nous décrivons maintenant la première méthode. La loi de Orowan [17] indique que la déformation

engendrée par le déplacement d d’une dislocation dont le vecteur de Burgers est b, vaut bd/L où L est

la dimension de l’échantillon dans la direction de déplacement. Considérons alors deux plans Z+ et Z−

(voir Fig.2.3) situés de part et d’autre du plan de glissement qui subiront des déplacements de directions

opposées. Afin de déterminer les coordonnées de la ligne de dislocation, il faut isoler les colonnes ato-

miques dans la direction [111]. Les coordonnées sont alors discrétisées en tranches xn = nb, n entier,

11

FIGURE 2.3 – Vue de la boîte de simulation avec une tranche d’épaisseur 2b dans la direction X, montrantles atomes du cœur de la dislocation. Les marques (A-F) ainsi que les couleurs (bleu et orange) permettentla distinction des atomes selon leur quantité de déplacement lors du franchissemente de la vallée dePeierls par la dislocation. La paire d’atomes A-D est celle qui subit le plus de déplacement (environ b

3 ),les déplacements subits par les paires C-F et B-E sont deux fois plus petits que celui de la paire A-D [13].

pour que dans chaque colonne [111], un seul atome soit présent dans l’intervalle In =[xn− b

2 ;xn +b2

].

Connaissant le nombre d’atomes N dans chaque intervalle, et notant que le déplacement engendré par le

franchissement d’une barrière de Peierls dans la direction [112] correspond dans notre cas à L/N alors la

déformation due au déplacement d’un segment de dislocation dans l’intervalle In sera b/N. La différence

de déplacement par atome entre les deux plans Z+ et Z− est alors calculée et la position dans le plan de

glissement du segment n le long de la dislocation est définit par :

Yn =ab

∑x0

j∈In∩Z+

(x j− x0j)− ∑

x0j∈In∩Z−

(x j− x0j)

(2.6)

Le terme x0 représente la configuration atomique de la dislocation relaxée dans la vallée de Peierls

initiale. Le facteur ab permet de normaliser la déformation pour chaque vallée de Peierls atteinte au vu

de la loi d’Orowan [17]. Cette technique bien qu’efficace présente le défaut majeur de n’être réellement

utilisable que pour une température nulle. Du fait qu’elle ne considère qu’un seul atome par tranche, elle

ne prend pas en compte les oscillations des atomes environnants et donc le “bruit” causé par la tempéra-

ture qui normalement s’équilibre sur un plus grand ensemble d’atomes, est restitué dans les résultats de

la simulation.

Une seconde méthode a été mise en place afin de palier à ce problème de fluctuations thermiques. Elle

consiste en un premier temps à générer une dislocation dans la boîte de simulation régie par le potentiel de

Gordon et al. [7], puis à minimiser les différences des coordonnées spatiales entre ces atomes et les atomes

d’une boîte contenant la solution élastique d’une dislocation vis de Volterra afin de s’en rappprocher au

mieux.

12

Le champ de déplacement de Volterra est le suivant :

XP′(2, i) = XP′0(2, i)+u, (2.7)

avec pour l’expression du déplacement :

u =bθ

2π, (2.8)

θ = acos[

XP′(2, i)r

]= asin

[XP′0

(2, i)

r

], (2.9)

r =√(XP′0

(1, i)−Xc)2 +XP′0(2, i)2. (2.10)

Soit d la distance permettant de situer le cœur de la dislocation le long d’une colonne [111] d’atomes :

d = ∑i∈In

[XP(2, i)−XP′(2,1)]2. (2.11)

L’utilisation d’une moyenne permet de s’affranchir du bruit engendré par la température, du fait du

nombre d’atomes considérés qui est plus élevé que pour la première méthode. La superposition des

FIGURE 2.4 – Superposition des images NEB issues des deux méthodes de localisation des segments dedislocation.

images NEB (Fig. 2.4) produites par les deux méthodes démontre qu’elles aboutissent au même résultat,

13

et c’est la seconde méthode qui sera mise en œuvre afin de pouvoir simuler un bain thermique tout en

pouvant obtenir des résultats exploitables. Le calcul NEB fournit alors une image de la paire de décro-

chements germée en position d’équilibre instable. Une impulsion générée aléatoirement sur la paire de

décrochements provoquera sa propagation dans le cadre de la statistique de Maxwell-Boltzmann pour un

ensemble microcanonique. Il est alors possible d’appliquer les calculs de dynamique moléculaire afin de

suivre la propagation d’une paire de décrochements le long de la ligne de dislocation soumise à un bain

thermique. Des profils de paire de décrochements seront alors imprimés régulièrement par la simulation

et une exploitation graphique permettra d’en déterminer les vitesses.

14

Chapitre 3

Résultats de simulation atomique

FIGURE 3.1 – a Boîte de simulation. Les atomes sont colorés selon leur énergie potentielle et un modulede cisaillement τyz est appliqué aux surfaces libres (atomes oranges). Une coupe du cristal permet lavisualisation des atomes proches du cœur de la dislocation (atomes verts). b Dislocation vis au repos. cPropagation des décrochements le long de ligne de dislocation.

Les profils de décrochements obtenus sont composés d’une centaine d’images représentant les posi-

tions de la paire de décrochements se propageant dans des directions opposées. Ils sont interpretés afin

de déterminer la vitesse des décrochements en fonction de la température et de la contrainte appliquée à

la boite de simulation. Pour y procéder, il faut déterminer la position moyenne de chaque décrochement

en fonction du temps. Les décrochements ne se propagent pas linéairement sur toute la durée de la simu-

lation ; ils présentent un régime transitoire puis un régime permanent. C’est dans celui-ci que la position

moyenne sera déterminée.

Par identification des bornes du régime permanent, et sachant que chaque impression est effectuée

par intervalle de 0.15 ps, il est possible de déterminer les positions moyennes en fonction du temps, et

alors de calculer la vitesse de chaque décrochement. Comme cela est visible sur la Fig 3, la vitesse du

décrochement est de 17.8 Å.ps−1 pour le décrochement gauche (Fig 3(a)) et de 18.46 Å.ps−1 pour le

décrochement droit (Fig 3(b)). C’est par cette méthode que l’étude a été menée entre 50 MPa et 500 MPa

15

FIGURE 3.2 – Positions des décrochements en fonction du temps sur la totalité de la durée de simulation,puis sur un intervalle choisi pour σ=50MPa et T =1 K

pour une gamme de températures allant de 1 K à 80 K afin de conclure quant à une forme analytique de la

vitesse en fonction de ces deux paramètres. Des calculs ont été effectués au-delà de ces intervalles pour

chacun des paramètres, mais ceux-ci présentent une erreur de calcul trop importante, rendant les résultats

non exploitables.

FIGURE 3.3 – Courbes des vitesses en fonction de la contrainte pour les deux décrochements.

La vitesse en fonction de la contrainte évolue selon une loi non linéaire en σ en tendant vers une valeur

asymptotique. Cette forme correspond à la solution de type soliton. L’existence d’une vitesse maximale

s’explique par le fait que la propagation des décrochements est ralentie par les vibrations engendrées le

long de la ligne. Les valeurs de vitesse obtenues sont de l’ordre de la dizaine d’angstrom par picoseconde.

Pour 50 Å.ps−1 par exemple, soit 5000 m.s−1, qui est proche des extremas, la vitesse correspond à la

vitesse du son dans Fe (5130 m.s−1), montrant ainsi que ce qui limite la propagation des décrochements

est essentiellement lié à leur interaction avec les ondes acoustiques longitudinales, les ondes transversales

16

ayant une vitesse nettement inférieure. Les vitesses maximales relevées ici sont 51 Å.ps−1 et 53 Å.ps−1

respectivement pour le décrochement gauche et le décrochement droit. Les décrochements ne peuvent

dépasser cette vitesse qui correspond à celle des petites ondes produites au sein du cristal qui tendent à

freiner leur propagation. Nous expliquons ceci dans ce qui suit.

17

Chapitre 4

Modèle phénoménologique

Développer une expression de la vitesse en fonction de la contrainte σ s’avère possible grâce au

modèle de tension de ligne, dont les équations qui en découlent peuvent prendre en compte un cœfficient

d’amortissement λ représentant la dispersion de l’énergie cinétique tiré du modèle de Langevin [18].

Le lagrangien d’une dislocation modélisée par le modèle de tension de ligne s’écrit :

LLT(y,σxz) =∫

dx[

ρ

2

(∂y∂t

)2−(

VP(y(x, t))−σxzby(x, t)+T2

(∂y∂x

)2)], (4.1)

où y est le déplacement le long de la ligne pour une position x et à un temps t.

Le potentiel du milieu est noté VP et le cœfficient de tension de ligne est noté T . Ils ont chacun

la dimension d’une énergie par unité de longueur. La force de Peach et Koehler est σxzb. La masse

linéique de la dislocation par unité de longueur est ρ. Par extrêmalisation de l’action associée, l’équation

dynamique est donnée par :

ρytt =−V ′P(y(x))+σxzb+Tyxx−ρλy, (4.2)

où il a été ajouté un terme d’amortissement afin de représenter la dissipation de l’énergie par les vibrations

du cristal.

Pour dériver l’expression analytique de la vitesse d’un décrochement, la forme suivante du poten-

tiel est utilisée : VP = αy2(a− y)2/a4. Avec cette expression du potentiel et en absence de contrainte

extérieure (σ = 0), la solution statique de l’Eq. 4.2 s’exprime sous la forme simple suivante :

y = a(1+ tanh(k0x))/2, (4.3)

avec k0 =√

α/2Ta2. En absence d’amortissement, la solution dynamique s’écrit :

18

y =a2(1+ tanh(

k0√1− v2/c2

(x− vt)))/2, (4.4)

où v est la vitesse de la solution du décrochement et c =√

T/ρ corresponds à la vitesse des ondes de

faibles amplitudes le long de la ligne.

Maintenant que la contrainte appliquée et que l’amortissement sont pris en compte, nous faisons

l’hypothèse que la solution de type soliton présenté dans l’Eq. 4.4 n’est pas altérée par la présence de la

contrainte et de la dissipation de Langevin. Il est nécéssaire à présent de calculer la puissance injectée

par la contrainte aux atomes au cours de la trajectoire d’un décrochement, décrit par l’Eq. 4.4 :

W = σxzb∫

∞

∞ytdx, qui devient W = σxzbav.

L’expression de la chaleur dissipée par unité de temps, en accord avec le terme d’amortissement, peut

être exprimée de la manière suivante : Q = ρλ∫

∞

∞y2

t dx ce qui conduit à Q = ρλa2v2k0/3√

1− v2/c2. En

régime stationnaire de la propagation des décrochements, les grandeurs W et Q doivent être égales ce qui

nous permet de déduire l’expression de la vitesse des décrochements qui prend la forme :

v =3σbλρ

√2Tα√

1+(3σb

λρ

√2Tα

)2/c2

(4.5)

ou

v =3σbλρ

√2T/α√

1+(3σb√

2λ√

ρα)2. (4.6)

T est donné par Ref. [13].

Le cœfficient α : est un paramètre ayant pour but de faire correspondre le modèle numérique au modèle

physique. Présent dans l’équation statique, ce paramètre influe sur la hauteur de barrière de Peierls et sur

la forme du décrochement. Afin de correspondre au mieux à la courbure d’un décrochement simulé par

le potentiel de Gordon et al. [7] avec celui issu du potentiel de Peierls pour une dislocation vis, plusieurs

valeurs de α ont été testée. L’une fait correspondre les parties linéaires des profils et l’autre les courbures.

La valeur retenue est α=0,085 eV/Å, voir Fig. 4.1.

La masse linéique ρ : La masse linéique représente la masse de dislocation par unité de longueur. De

l’expression c =√

T/ρ, on obtient alors ρ = 1,607.10−3eV.ps2/Å3 pour c =53 Å/ps par exemple (vitesse

maximale du décrochement gauche). Cette valeur, divisée par la masse atomique du Fe MFe=0.014831104

19

FIGURE 4.1 – a. Ajustement du paramètre α sur le profil de décrochements. b. Ajustement du parmètreα sur le potentiel de Peierls.

eV.ps2/Å2 et multipliée par le vecteur de Burgers b=2.33 Å. donne alors ρ=0,167, quantité d’atomes de

Fe par vecteur de Burgers.

L’amortissement λ : L’expression de la vitesse proposée dans l’Eq. 4.6 montre l’implication d’un

cœfficient λ. Celui-ci représente l’amortissement de l’énergie cinétique que l’on caractérise avec le dé-

placement d’un atome. Il a pour dimension l’inverse du temps. Nous avons ajusté sa valeur dans l’Eq.

4.6 afin d’obtenir la courbe noire sur la Fig. 4.2, pour laquelle nous obtenons 0,9 THz. Dans la partie

suivante nous tenterons de déterminer sa valeur par des simulations indépendantes des dislocations.

20

FIGURE 4.2 – Modélisation de la loi de mobilité (Eq. 4.6) du décrochement gauche, pour c=53Å/ps.

21

Chapitre 5

Etude de la dissipation dans le cristal

5.1 Dissipation d’énergie cinétique dans les couches atomiques

Cristal parfait

FIGURE 5.1 – a. Profils d’énergie de l’atome central excité à 300K et de ses trois couches d’atomesvoisins. b. Atome central entouré de trois couches sucessives de premiers voisins repertoriés par couleur.

La description du passage d’une dislocation dans le cristal passe par l’étude de l’énergie dissipée

par celle-ci. Il est intéressant d’étudier l’énergie cinétique au sein de la boîte de simulation afin d’en

tirer des conclusions quant à sa relation avec la propagation des décrochements, notamment via le cœffi-

cient d’ammortissement λ. On cherche à déterminer le rôle de celui-ci sur la dépendance de l’Eq. 4.6 en

température. Afin de caractériser la dissipation de l’énergie cinétique, il a été donné à un atome une im-

pulsion équivalente à 300K dans une boîte de simulation d’un cristal parfait, sans dislocations ni surfaces

22

libres. La dissipation de l’énergie cinétique est alors calculée sur les deux couches atomiques succes-

sives de premiers et seconds voisins de l’atome excité. La Fig. 5.1 montre la dissipation de l’énergie de

l’atome central dans les couches d’atomes voisins. On définit ici un temps caractéristique de dissipation

de l’énergie qui est de 0,2 ps pour une impulsion donnée à l’atome central de 140 eV.

Cristal contenant une dislocation

On a ensuite étudié l’effet du passage de la dislocation sur les profils d’énergie cinétique d’une co-

lonne d’atomes allant du cœur de la dislocation jusqu’à une surface libre.

FIGURE 5.2 – Atomes répertoriés (jaune) pour en étudier les profils d’énergie cinétique(σ=200MPa,T=1K).

Comme décrit précédemment, la dislocation est placée dans la boîte de simulation selon la direction

Y [111]. Trois atomes sont répertoriés dans le cœur de la dislocation ainsi qu’une ligne d’atomes afin

de tracer les profils d’énergie en fonction de la distance au coeur de la dislocation. De plus un 10ème

atome placé sur la surface libre a été choisi pour représenter une partie du cristal ne subissant pas de

déformation due au passage de la dislocation. Les résultats ont montré que seul un des trois atomes du

coeur de la dislocation présentait un intérêt d’étude, celui pour lequel le passage du décrochement produit

le plus de déplacement. Pour les autres atomes, il est vite impossible de déterminer la différence entre les

fluctuations en température et celle de l’énergie cinétique, tant elles sont faibles.

Une comparaison de la dissipation de l’énergie dans le cristal parfait et dans le cristal contenant une

dislocation est effectuée afin d’étudier les profils d’énergie cinétique d’atomes choisis dans le cristal.

D’après nos calculs, le temps de dissipation pour les deux systèmes est similaire et s’effectue en 0,2 ps

pour toutes les températures étudiées. Les cœfficients d’amortissement des oscillations dans le coeur de

23

la dislocation et dans le cristal parfait sont similaires. Ceux-ci sont obtenus en ajustant les cœfficients λ

et ω0 dans l’équation : mx =−mλx−mω02x, ω0 la pulsation. Les deux configurations de cristal ont donc

le même comportement au vu de l’énergie cinétique.

FIGURE 5.3 – Profils d’énergie cinétique à 5 K pour un atome (soumis à σ=400MPa) perturbé par undécrochement (a ,b) et pour un atome d’un cristal parfait perturbé par 1

40eV (c). Les échelles en énergiesont communes aux figures a à b, et en temps entre les figures b et c.

5.2 Evolution de l’énergie cinétique le long de la dislocation

Un moyen de visualiser le long de la dislocation le mouvement des décrochements est de s’intéresser

à la variation d’énergie cinétique due au mouvement des atomes lors du passage d’un décrochement.

Après avoir répertorié 16 atomes dans une même colonne selon la direction [111], leurs profils d’éner-

gie sont étudiés. Le passage du décrochement est repéré par un pic d’énergie cinétique dans les profils

d’énergie des atomes. Il est possible avec ces diagrammes de déterminer la vitesse de propagation des

décrochements le long des colonnes atomiques, les positions exactes des atomes étant connues grâce à la

simulation, et à un algorithme de lecture des profils. Les vitesses calculées sont proches, voire identiques

à celles calculées par lecture des profils de décrochements.

L’énergie cinétique est une grandeur fiable pour évaluer la vitesse, mais le paramètre d’amortissement

λ demeure entouré d’incertitudes. Il est difficile en l’état actuel de l’étude d’en tirer des informations afin

de faire le lien entre la dépendance en température de l’Eq. 4.6 et la dissipation de l’énergie cinétique.

24

FIGURE 5.4 – Variation de l’énergie cinétique après le passage du décrochement droit le long de ladislocation pour σ=225MPa et T=1 K. Ici la vitesse répertoriée est 34Å/ps, conformément à l’exploitationdes profils de ligne.

TABLE 5.1 – Comparaison des vitesses du décrochement droit calculées par les profils de décrochementset par les profils d’énergie cinétique en fonction de la contrainte appliquée.

σ (MPa) Vd Prof.(Å/ps) Vd Ecin.(Å/ps)150 24,7 21,9200 32,9 32,8250 35,6 36,2300 38,8 41,4350 42,9 42,5

25

Conclusions

Conclusion scientifique

Aucune approche atomistique sur ce sujet n’avait été entreprise jusqu’à maintenant. Une étude s’en

rapprochant a été publiée début 2013 par Swinburne [1], selon un modèle de diffusion d’Einstein des

décrochements à contrainte nulle et sur une large gamme de températures. Le but ici est de mieux rendre

compte des effets présents au sein d’un matériau pour des conditions courantes d’utilisation. Nous avons

réussi à mettre en œuvre des simulations de propagation de décrochements pour des valeurs de contraintes

entre 50 MPa et 500 MPa, et pour des températures allant de 1K à 80K. L’objectif est tenu pour l’étude

en fonction de la contrainte. Les premières simulations ont abouti à l’ordre de grandeur de la vitesse des

décrochements, environ 50 Å/ps. Le but de ce stage était d’obtenir une loi de mobilité en fonction de

la contrainte appliquée et de la température. Afin de valider le modèle présenté ici, Laurent Proville a

mené parallèlement des calculs sur le modèle de tension de ligne [13] à partir de résultats de la dyna-

mique moléculaire. Ce modèle est moins complet que la dynamique moléculaire, qui contient beaucoup

d’informations, mais permet une modélisation analytique.

L’expression analytique de la vitesse des décrochements déduite du modèle tension de ligne prend

en compte uniquement la contrainte appliquée, et non la température, dont la dépendance est écartée

tant par l’allure des courbes pour différentes températures, que par l’étude des profils d’énergie cinétique

des atomes déplacés par le passage des décrochements. Toutes ces informations tendent à interpréter la

vitesse comme étant indépendante de la température, conformément aux conclusions de Swinburne [1],

contrairement aux travaux d’Eshelby [5] qui prédisent une dépendance linéaire. Dans les valeurs où

il nous est possible d’interpréter les résultats, c’est-à-dire ceux n’étant pas entâchés d’une erreur trop

importante, il n’est pas possible de confirmer ou d’infirmer que la vitesse des décrochements varie en

fonction de la température. On peut cependant affirmer que la variation, si elle existe, n’est pas nette. Sur

une plage de 1 K à 80 K, nous n’avons pas obtenu de variation de plus de 10% du coefficient de Langevin

λ alors que la théorie de Eshelby [5] prévoit une variation proportionelle à la température, soit 8.103%.

26

Nos résultats atomistiques, comme ceux de Swinburne [1], sont donc en profonde contradiction avec la

théorie d’Eshelby.

Cette étude est une avancée dans la compréhension des dislocations, notamment car elle traite de

l’échelle atomique et a pu construire un modèle phénoménologique décrivant la vitesse des décroche-

ments avec une expression analytique. Néanmoins, la précision des calculs numériques ne permet pas

d’étendre les gammes de contraintes et de températures, et une incertitude demeure quant à l’implica-

tion du terme d’amortissement dans l’équation de la vitesse, qui suit une évolution non monotone et

pour lequel de nouveaux calculs seront nécessaires. Afin de comparer notre loi de mobilité aux expéri-

mentations, la vitesse de déformation ε peut être calculée avec la vitesse des décrochements en utilisant

l’équation d’Orowan [17], ε = ρbVdislo où ρ est la densité de dislocations, b le vecteur de Burgers et

Vdislo la vitesse moyenne des dislocations. Au delà de 250 K, les expériences d’observation in situ de D.

Caillard [2] montre des mouvements continues de dislocation, au contraire des mouvements à basse tem-

pérature qui est discontinue, avec un certain temps d’attente correspondant au temps moyen nécessaire

pour la nucléation d’un double décrochement. Nous pouvons donc faire l’hypothèse que le mouvement

des dislocations est limité par la vitesse de propagation des décrochements et que la nucléation de paire

de décrochement correspond à un temps d’attente négligeable par rapport au temps nécessaire pour que

chaque décrochement parcourt toute la ligne de dislocation. Dans ce cas, la vitesse moyenne d’une dis-

location est donnée par Vdislo == 2a0Vdecro/L où Vdecro est la moyenne des vitesse de propagation des

décrochements. Dans le régime athermique pour lequel les dislocations se propage de façon continue la

contrainte est environ σ=30MPa. Cette contrainte correspond d’après nos calculs a une vitesse de décro-

chement de Vdecro=500m/s. Avec une densité de dislocations typique des expériences sur mono-cristaux,

ρ=1010m−2, et une longueur de dislocation L = 10 µm, on obtient une vitesse de déformation de 4.10−2

s−1. Les vitesse de déformation expérimentale [4] étant de l’ordre (ε = 8.10−5 s−1), notre calcul est

plus de 2 ordres de grandeur trop élevée. Notre calcul montre qu’il existe des phénomènes importants qui

n’ont pas été pris en compte dans la théorie et qu’il faudra intégrer pour obtenir des prédictions théoriques

fiables.

27

Conclusion personnelle

Les problématiques étudiées lors de mon stage, à savoir la déformation des matériaux, recoupent des

enseignements qui m’ont été dispensés au cours de ma formation de Master 1 de l’Université de Poitiers.

Le travail que j’ai pu effectuer au sein du SRMP au CEA m’aura permis d’approfondir mes connais-

sances dans ces domaines, tant sur le plan scientifique que dans les outils utilisés. Mon rôle a consisté

à utiliser un code de dynamique moléculaire pour que mon encadrant, Laurent Proville, l’optimise afin

de simuler la propagation de paires de décrochements. J’ai ensuite développé sous language FORTRAN

des programmes d’analyse et de gestion de données qui m’ont permis de traiter les résultats des cal-

culs de dynamique moléculaire que j’ai pu lancer afin de réaliser une étude de la mobilité des paires de

décrochements.

Les calculs de dynamique moléculaire fournissent un grand nombre d’informations, et travailler sur

des résultats aussi complets m’aura permis de mieux comprendre les phénomènes physiques existants

au sein d’un matériau, tant par leur nature que par leurs effets. Le suivi d’un projet sur quatre mois au

sein d’un laboratoire de recherche et dans le domaine des simulations numériques, fut une expérience

enrichissante ; notamment l’apprentissage de la gestion du temps de travail, entre l’arrivée des résultats

des calculs achevés provenant du calculateur et le lancement des suivants. L’enjeu est de savoir produire

un travail de qualité dans un temps rythmé et cadencé, nécessitant rigueur et précision d’un point de vue

de la physique mais également du maniement de l’outil informatique. Ceci fut pour moi un challenge que

j’ai eu grand plaisir à relever. Le savoir et les techniques que j’ai pu acquérir durant ces quatre mois au

sein d’un environnement de travail et un encadrement de qualité m’ont permis de voir la physique avec

un regard nouveau. C’est avec un immense plaisir que j’ai pu accomplir au quotidien les tâches qui m’ont

été confiées en ce lieu historique et symbolique, dont j’ai cotoyé le quotidien de ses chercheurs le temps

d’un été.

28

Bibliographie

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[15] G. Henkelman et H. Jonsson, J. Chem. Phys. 113, 9978 (2000).

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[17] E. Orowan, Proc. Phys. Soc. 52, 8 (1940).

[18] P. Langevin, Comptes-Rendus de l’Académie des Sciences 146, 530 (1908).

[19] F.R.N. Nabarro, Proc. R. Soc. London, Ser. A 209, 278 (1951).

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Résumé

Résumé

Cette étude s’est effectuée dans la continuité des travaux de Laurent Proville portant sur les dislo-cations dans le α-Fe. La vitesse des décrochements est une notion abstraite du fait que leur propagationn’est pas observable par l’équipement expérimental actuel [2]. Nous avons voulu déterminer quels étaientles paramètres influant sur la vitesse des décrochements ainsi qu’en développer une loi de mobilité. C’estla dynamique moléculaire qui a été mise en œuvre afin de permettre l’analyse des atomes concernés,conjointement au modèle de tension de ligne [13] qui, en se servant de résultats de la dynamique mo-léculaire, a permis de compléter et valider le modèle. La vitesse de propagation des décrochements estune solution du type soliton avec comme extremum la vitesse des ondes longitudinales dans le Fe, dé-pendant uniquement de la contrainte appliquée aux surfaces libres. La dépendance en température resteincertaine pour la précision de nos calculs. Les rôles du paramètre d’amortissement ainsi que celui de lamasse linéique restent à déterminer dans l’expression de la vitesse. Cependant nos travaux, tout commeceux de Swinburne [1], contredisent la théorie d’Eshelby [5] qui prévoit une variation proportionelle dela vitesse avec la température. La vitesse de déformation calculée avec nos résultats est supérieure auxvaleurs expérimentales [4], montrant ainsi que nos simulations ne tiennent pas compte d’effets d’interac-tions ralentissant la propagation des décrochements. L’étude sera poursuivie afin de lever ces incertitudeset s’effectuera sur des dislocations droites dans une boîte de simulation de faibles dimensions. La propa-gation des dislocation en régime athermique, est également une solution de type soliton. L’étude de cesdislocations devrait permettre grâce à des calculs très précis de lever le voile sur les paramètres de la loide mobilité, ainsi qu’apporter de nouvelles information sur ce modèle.

.

Abstract

This study was in line with the previous work of Laurent Proville led on dislocations in α-Fe. Ac-tual experimental technology [2] does not permit to observe kinks propagation that leaves it at a state ofconcept. The aim was first to develop an analytic model of the kink’s velocity. Secondly, it was to deter-mine the parameters dependances. Molecular dynamics and line tension model [13] were used to developour model. This allowed us to confirm that the kink’s velocity is a soliton solution, with as extrema thespeed of the longitudinal sound in Fe, and only depending of the applied stress upon free surfaces. Thetemperature dependance remain impossible to confirm within our calculations precision. Studying dam-ping and the dislocation linear mass, may help to go further in this direction. Our results, as those ofSwinburne [1], are in contradiction with Eshelby’s theory [5] which predicts a law of motion proportio-nal dependant to temperature. The strain rate with our results turns out to be faster than observed, [4],showing that our calculations do not take in account interactions effects, that slow down the kinks propa-gation. In athermal regime, straight dislocation motion is a soliton solution as well as kinks and a studyin this way may help the understanding of the phenomena.