Techniques d’optimisationProjet : Etude d’une sinusoïde

Contexte A partir de l’acquisition d’un signal électrique

on souhaite retrouver, par la technique des moindres carrés, les caractéristiques de la sinusoïde correspondante :

V(n) = A*sin(2πfinnTs + j) + C

Avec :A = amplitudeC = offsetfin= fréquence d’entré

j = phase

Objectif On fait une acquisition du signal pour

des fréquences Fin connues. On cherche ainsi les paramètres C, A et

j du signal :en = C + A*sin(ωn + j) On linéarise suivant :jen = C + A*cos( )j sin(ωn) +A*sin(j)cos(ωn)

Méthode des moindres carrés linéaires Il nous faut résoudre le système :E(a0,as,ac)= Σ (yi-ai*fi)²

avec a0 = C

as = Acos( )j

ac = Asin( )j

Résolution On obtient le système suivant :

=

du type AX=B, que l’on résout à l’aide Matlab avec les valeurs de yi=data et w fournies.

Résultats A = 1.8231e+03 C = -9.4258 = -0.6916j

en = C + A*sin(ωn + j)

Signal d’erreur et variance

Variance = 2.6394

Variation de la fréquence On décide désormais de faire varier la

fréquence d’entrée du signal dans un domaine de 0,02% et constater l’impact sur les paramètres calculés précédemment.

On applique le même algorithme Matlab, et on stocke A, C et j pour chaque fréquence.

Tracé des paramètres

Application à acq2 A = 1820 C = -9.3 = -0.18j

en = C + A*sin(ωn + j)

Méthode des moindres carrés non linéaires (partie 3)

On cherche a modéliser le comportement du signal :en = C + A*sin(ωn + j)

or, ici ωn n’est pas connu. Il nous faut maintenant résoudre le

système suivant :

E(C,A, ω, j)= Σ(C + A*sin(ω*n + j)-data)²

Système étudié On cherche à minimiser l’erreur. On obtient 4 équations:

- f1 = = 2*Σ(C + A*sin(ω*n + j)-data) = 0

- f2 = = 2*Σ(C + A*sin(ω*n + j)-data)*sin(ω*n + j) = 0

- f3 = = 2*Σ(C + A*sin(ω*n + j) -data)*A*n*cos(ω*n + j) = 0

- f4 = = 2*Σ(C + A*sin(ω*n + j)-data)*A*cos(ω*n + j) = 0

Résolution (1) On utilise la méthode itérative de

NewtonXk = Xk-1 + [J(Xk-1)]-1*F(Xk-1)

J la matrice Jacobienne:

J =

Résolution (2) Cette méthode étant itérative, on se

sert des résultats de la partie 2 pour l’étape d’initialisation.

On nomme : Y = [J(Xk-1)]-1*F(Xk-1) Puis Xk = Xk-1 + Y On itère cette opération jusqu’à la

précision entre le signal obtenue et le signal calculé soit inférieur a 0,001

Signal et erreur quadratique

C=-6,8A=15747W=0,766 = 25,4j

Variation de la fréquence De manière similaire à la partie 2, on

souhaite stocker les résultats précédents pour des fréquences qui varient.

Cela nous permet certaines caractéristiques du signal.

Résultats

Application à Acq2 :