1

Geometrijske karakteristike popre�nih presjeka nosa�a

2

Unutarnje sile

• Sile presjeka:

– Uzdužna sila N– Popre�na sila Tz

– Moment uvijanja Mt

– Moment savijanja My

3

Naprezanja

1. Normalno naprezanje σ2. Posmi�no naprezanje τ

presjeka popre�nog tikakarakteris kageometrijspresjeku popre�nom u sila unutarnja

naprezanje =

4

površinasila

naprezanje =

?moment

naprezanje =

5

Važno:Vla�na sila:

A – površina popre�nog presjeka (m2)

Tla�na sila:

��

���

�=

>

2mN

0N

ANσ

��

���

�⋅=

<

2mN

0

AN

N

ωσ

6

Važno:

• Moment uvijanja – torzije:

• I0 – polarni moment tromosti (cm4)• W0 – polarni moment otpora (cm3)

ρτ ⋅=

≠

0

t 0M

IM t

dopt

WM ττ ≤≤≤≤====

0

7

Važno:

• Moment savijanja:

• Iy – aksijalni moment tromosti (cm4)• Wy – aksijalni moment otpora (cm3)

zI

M

y

yx ⋅=

≠

σ

0M y

y

yx W

M±=

≠

σ

0M y

8

Važno:Moment savijanja s popre�nom silom:

• Iy – aksijalni moment tromosti (cm4)• Sy – stati�ki moment površine presjeka (cm3)

zI

M

M

y

yx

y

⋅=σ

≠ 0

yy

yz

z

bI

ST

T

⋅⋅

=

≠

τ

0

9

Presjeci

• Drvo i beton– Pravokutni presjek

• �elik– Kružni presjek– Valjani profili

10

Popre�ni presjeci nosa�a

11

Popre�ni presjeci nosa�a - �elik

12

VAŽNO: •

•

( )44

cm 32

π⋅= dIo

( )2cm hbA ⋅=

( )22

cm 4

π⋅= dA

( )43

cm 12

hbI y

⋅=

13

Geometrijske karakteristike popre�nih presjeka

1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)2. Stati�ki moment površine presjeka S (cm3)3. Momenti tromosti I (cm4)4. Polumjeri tromosti i (cm)5. Momenti otpora W (cm3)

14

1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)

2. Stati�ki moment površine presjeka Sy i Sz (cm3)

3. Aksijalni, centrifugalni i polarni moment tromosti Iy ; Iz ; Iyz i Io (cm4)

4. Polumjer tromosti iy i iz (cm)

5. Momenti otpora Wy ; Wz i Wo (cm3)

15

1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)

A = b.h

A=B.H-b.h

16

1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)

4

2 π⋅= dA

( )4

22 π⋅−= dDA

17

Težište lika

• Varignon-ov teorem:

Stati�ki moment rezultante obzirom na

neki pol jednak je sumi stati�kih

momenata komponenata obzirom na taj

isti pol.

18

Odre�ivanje koodinata težišta složenih presjeka - Varignonov teorem

�� ⋅

=i

TiT P

yPy i

�� ⋅

=i

TiT P

zPz i

19

2. Stati�ki moment površine presjeka Sy (cm3)

( )� ⋅=A

y dAzS

( )

�

��

�⋅= �

Az dAyS

20

dA = b dz dA = b dz

( )32222

0

cm 8

042

/2

2

0

hbhbzbdzzbS

dzbzdAzS

h

h

y

A Ay

⋅=��

���

�−=⋅=⋅⋅=

⋅⋅=⋅=

�

�� ��

21

( )222

42221

2221

22zfz

hbz

hbz

hz

hhbz

hS y =

���

�−⋅=

��

� +⋅⋅

��

� −=��

���

�

��

� −−⋅⋅

��

� −=

Th

h/2

z(h

/2-z

)

Ti

dA

b

z T

y

22

Pravokutnik

• Stati�ki moment površine

���

�−⋅= 2

2

42z

hbS y

)(cm 8

32hb

S y

⋅=

23

3. Momenti tromosti

a) Aksijalni Iy i Iz

b) Centrifugalni Iyz

c) Polarni IO

24

3a. Aksijalni moment tromosti Iy i Iz (cm4)

- oko osi y:

- oko osi z:

( )� ⋅=A

y dAzI 2

( )� ⋅=A

z dAyI 2

0>yI

0>zI

25

3b. Centrifugalni ili devijacijskimoment tromosti Jyz (cm4)

0

0

0

>

=

<

yz

yz

yz

I

I

I

( )� ⋅⋅=A

yz dAyzI

26

Aksijalni moment tromosti IydA = b dz

27

( )43332

2

32

2

2

22

cm 128833

hbhhbzbdzzbI

dzbzdAzI

h

h

h

hy

A Ay

⋅=��

���

�

���

�−−=⋅=⋅⋅=

⋅⋅=⋅=

��

�� ��

−−

28

( )43

2 cm 12

bhdAyI

Az

⋅=⋅= ��

29

Pravokutnik, osi y i z osi simetrije

maksy IIhb

I ==⋅= 1

3

12

( )0=yzI

min2

3

12II

bhI z ==⋅=

30

Savijanje

maksy IIhb

I ==⋅= 1

3

12

31

Savijanje

maksy IIhb

I ==⋅= 1

3

12

32

Izvijanje

min2

3

12II

bhI z ==⋅=

33

Glavne osi tromosti su centralne osi jer prolaze težištem lika; Osi simetrije su glavne osi tromosti

34

Popre�ni presjeci nosa�a

35

I - presjek

2min III z ==

0=yzI

1. III maksy ==

36

U - presjek

2min III z ==

0=yzI

1. III maksy ==

37

Kutni profil

38

Kutni profil L 45×5

Osi: y i z - nisu osi simetrije

483,7 cmI y =

483,7 cmI z =

4 58,4

0

cmI

I

yz

yz

−=

≠

39

Kutni profil L 45×5

2min425,3 IIcmIv ===

Osi simetrije: osi u i v

1.44,12 IIcmI maksu ===

0=uvI

40

Kutni profil

0<yzJ 0<yzJ

0>yzJ

0>yzJ

0<yzJ

41

0<yzJ0>yzJ

42

0=yzJ

43

3c) Polarni moment tromosti IO (cm4)

Šipka:

� ⋅=A

o dAI 2ρ

44

( )444

2

0

4

cm 321624

2 /ππρπ ⋅=⋅=⋅⋅⋅= DD

ID

o

� ⋅=A

o dAI 2ρ

ρπρ ddA ⋅⋅⋅= 2

ρρπρπρρ ddI

DD

o �� ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=2

0

32

0

2 22

45

Cijevni profil

( )32

44 π⋅−= dDIO

46

� ⋅=A

o dAI 2ρ

( ) zyAAAA

O IIdAydAzdAyzdAI +=⋅+⋅=⋅+=⋅= ����22222ρ

zyO III +=

47

Ponavljanje važno

•

•( )4

4

cm 32

π⋅= dIo

( )2cm hbA ⋅=

( )22

cm 4

π⋅= dA

( )43

cm 12

hbI y

⋅=

48

4. Radijus tromosti i (cm)

• obzirom na os y

A

Ii y

y =

AidAzI yA

y ⋅=⋅= ��22

49

4. Radijus tromosti i (cm)

A

Ii y

y =

A

Ii y

z =

50

5. Momenti otpora W (cm3)

a) Aksijalnib) Polarni

51

a) Aksijalni momenti otpora Wy (cm3)

z

IW y

y =

52

a) Aksijalni momenti otpora Wy (cm3)

62

122

3

hbh

hb

z

IW y

y

⋅=

⋅

==

53

Wz (cm3)

yI

W zz =

54

b) Polarni moment otpora WO (cm3)

162

323

4

ππ

ρ⋅=

⋅

== dd

dI

W OO

55

b) Polarni moment otpora WO (cm3)

( )32

44 π⋅−= dDIO

( )( )

DdD

D

dDI

W OO ⋅

⋅−=

⋅−

==16

2

3244

44

ππ

ρ

56

Glavni momenti tromosti I1 i I2 (cm4)

• Za glavne osi tromosti

centrifugalni moment tromosti

• Aksijalni momenti tromosti poprimaju

ekstremne vrijednosti

0=yzI

maksII = 1

min2 II =

57

Presjeci

58

1. Zakon promjene momenata tromosti pri translaciji koordinatnog sustava

2. Zakon promjene momenata tromosti pri rotaciji koordinatnog sustava

59

1. Zakon promjene momenata tromosti pri translacijikoordinatnog sustava

60

1. Zakon promjene momenata tromosti

pri translaciji koordinatnog sustava

• Steinerov teorem

• Sastavljeni presjeci

61

Momenti tromosti za osi koje ne prolaze težištem

62

Promjena momenata tromosti pri translaciji koordinatnog sustava

• Steinerov teorem

21

bAII yy ⋅+=

21

aAII zz ⋅+=

baAII zyyz ⋅⋅+=11

63

3y1

3y1

4

4

2

cm 06 S

cm W

cm mm

cm

cm

cm

21

7502

5,18185b

4802I

74068I

179A

1z

1y

1

=

=

===

==

Profil IPN 500

64

31yy

31y

1y1yyy

min4

z

22

11zz

maks42

11yy

21

cm 3240 16202S2S

cm 550027502W2

2h

I2

2h

I2

2hI

W

I594cm 35634 304960I

25,18

1792248022b

A2I2I

Icm 480 1376874020A2I2I

cm 3581792A2A

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=⋅=⋅

==

==+=

=

��

�⋅⋅+⋅=

��

�⋅⋅+⋅=

==⋅=⋅⋅+⋅=

=⋅=⋅=

65

Momenti tromosti i glavne osi tromosti

Vidi separat zadaci-

geometrija presjeka

66

2. Zakon promjene momenata tromosti pri rotaciji koordinatnog sustava

Poznate su nam vrijednosti momenata tromosti:IyIzIyz

• Treba odrediti glavne momente tromosti:I1= Imaks.=? I2=Imin =? i kut glavnih osi α = ?

A (Iy; Iyz)

B (Iy; -Iyz)

67

Mohr-ova kružnica tromosti

2α

r

68

A (Iy; Iyz)

B (Iy; -Iyz)

69

70

71

72

• Izvod:

r

E

2

2

2,1 22 yzzyzy I

IIIII +

���

� −±

+=

Glavni momenti tromosti

2

2

2

1

2

2

yzzy

zy

III

IIOS

rOSSCOSI

rOSSCOSI

+

���

� −=

+=

−=−=

+=+=

2r

73

2α

α

74

Kut glavnih naprezanja α

II

I tg

II

Itg

SEAE

tg

zy

yz

zy

yz

−⋅

−=α

−−=α

−=α

22

2

2

2

2αE

75

Kut glavnih osi α

2α

zy

yz

II

Itg

−⋅

−=α2

2

76

Ponavljanje:

• Glavni momenti tromosti dani su izrazima:

• Kut glavnih osi α

2

2

2,1 22 yzzyzy I

IIIII +

���

� −±

+=

zy

yz

II

Itg

−⋅

−=α2

2

77

Glavne osi tromosti 1 i 2

.21 konstIIII zy =+=+

Prva invarijantamomenata tromosti:

78

• Prva invarijanta momenata tromosti:

661566158378372534112

21

,,

,,,,

.konstIIII zy

=+=+

=+=+

L 45×5

4

42

41

837

253

4112

cm ,II

Icm ,II

Icm ,II

zy

.minv

.maksu

==

===

===

79

Kutni profil L 45×5

2min425,3 IIcmIv ===

Osi simetrije: osi u i v

144112 IIcm,I .maksu ===

0=uvI

80

Kutni profil L 45×5

Osi: y i z - nisu osi simetrije

483,7 cmI y =

483,7 cmI z =

4 58,42

25,34,122

cmII

I vuyz −=−−=

−−=