Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa -...
Transcript of Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa -...
1
Geometrijske karakteristike popre�nih presjeka nosa�a
2
Unutarnje sile
• Sile presjeka:
– Uzdužna sila N– Popre�na sila Tz
– Moment uvijanja Mt
– Moment savijanja My
3
Naprezanja
1. Normalno naprezanje σ2. Posmi�no naprezanje τ
presjeka popre�nog tikakarakteris kageometrijspresjeku popre�nom u sila unutarnja
naprezanje =
4
površinasila
naprezanje =
?moment
naprezanje =
5
Važno:Vla�na sila:
A – površina popre�nog presjeka (m2)
Tla�na sila:
��
���
�=
>
2mN
0N
ANσ
��
���
�⋅=
<
2mN
0
AN
N
ωσ
6
Važno:
• Moment uvijanja – torzije:
• I0 – polarni moment tromosti (cm4)• W0 – polarni moment otpora (cm3)
ρτ ⋅=
≠
0
t 0M
IM t
dopt
WM ττ ≤≤≤≤====
0
7
Važno:
• Moment savijanja:
• Iy – aksijalni moment tromosti (cm4)• Wy – aksijalni moment otpora (cm3)
zI
M
y
yx ⋅=
≠
σ
0M y
y
yx W
M±=
≠
σ
0M y
8
Važno:Moment savijanja s popre�nom silom:
• Iy – aksijalni moment tromosti (cm4)• Sy – stati�ki moment površine presjeka (cm3)
zI
M
M
y
yx
y
⋅=σ
≠ 0
yy
yz
z
bI
ST
T
⋅⋅
=
≠
τ
0
9
Presjeci
• Drvo i beton– Pravokutni presjek
• �elik– Kružni presjek– Valjani profili
10
Popre�ni presjeci nosa�a
11
Popre�ni presjeci nosa�a - �elik
12
VAŽNO: •
•
( )44
cm 32
π⋅= dIo
( )2cm hbA ⋅=
( )22
cm 4
π⋅= dA
( )43
cm 12
hbI y
⋅=
13
Geometrijske karakteristike popre�nih presjeka
1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)2. Stati�ki moment površine presjeka S (cm3)3. Momenti tromosti I (cm4)4. Polumjeri tromosti i (cm)5. Momenti otpora W (cm3)
14
1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)
2. Stati�ki moment površine presjeka Sy i Sz (cm3)
3. Aksijalni, centrifugalni i polarni moment tromosti Iy ; Iz ; Iyz i Io (cm4)
4. Polumjer tromosti iy i iz (cm)
5. Momenti otpora Wy ; Wz i Wo (cm3)
15
1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)
A = b.h
A=B.H-b.h
16
1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)
4
2 π⋅= dA
( )4
22 π⋅−= dDA
17
Težište lika
• Varignon-ov teorem:
Stati�ki moment rezultante obzirom na
neki pol jednak je sumi stati�kih
momenata komponenata obzirom na taj
isti pol.
18
Odre�ivanje koodinata težišta složenih presjeka - Varignonov teorem
�� ⋅
=i
TiT P
yPy i
�� ⋅
=i
TiT P
zPz i
19
2. Stati�ki moment površine presjeka Sy (cm3)
( )� ⋅=A
y dAzS
( )
�
��
�⋅= �
Az dAyS
20
dA = b dz dA = b dz
( )32222
0
cm 8
042
/2
2
0
hbhbzbdzzbS
dzbzdAzS
h
h
y
A Ay
⋅=��
���
�−=⋅=⋅⋅=
⋅⋅=⋅=
�
�� ��
21
( )222
42221
2221
22zfz
hbz
hbz
hz
hhbz
hS y =
���
�−⋅=
��
� +⋅⋅
��
� −=��
���
�
��
� −−⋅⋅
��
� −=
Th
h/2
z(h
/2-z
)
Ti
dA
b
z T
y
22
Pravokutnik
• Stati�ki moment površine
���
�−⋅= 2
2
42z
hbS y
)(cm 8
32hb
S y
⋅=
23
3. Momenti tromosti
a) Aksijalni Iy i Iz
b) Centrifugalni Iyz
c) Polarni IO
24
3a. Aksijalni moment tromosti Iy i Iz (cm4)
- oko osi y:
- oko osi z:
( )� ⋅=A
y dAzI 2
( )� ⋅=A
z dAyI 2
0>yI
0>zI
25
3b. Centrifugalni ili devijacijskimoment tromosti Jyz (cm4)
0
0
0
>
=
<
yz
yz
yz
I
I
I
( )� ⋅⋅=A
yz dAyzI
26
Aksijalni moment tromosti IydA = b dz
27
( )43332
2
32
2
2
22
cm 128833
hbhhbzbdzzbI
dzbzdAzI
h
h
h
hy
A Ay
⋅=��
���
�
���
�−−=⋅=⋅⋅=
⋅⋅=⋅=
��
�� ��
−−
28
( )43
2 cm 12
bhdAyI
Az
⋅=⋅= ��
29
Pravokutnik, osi y i z osi simetrije
maksy IIhb
I ==⋅= 1
3
12
( )0=yzI
min2
3
12II
bhI z ==⋅=
30
Savijanje
maksy IIhb
I ==⋅= 1
3
12
31
Savijanje
maksy IIhb
I ==⋅= 1
3
12
32
Izvijanje
min2
3
12II
bhI z ==⋅=
33
Glavne osi tromosti su centralne osi jer prolaze težištem lika; Osi simetrije su glavne osi tromosti
34
Popre�ni presjeci nosa�a
35
I - presjek
2min III z ==
0=yzI
1. III maksy ==
36
U - presjek
2min III z ==
0=yzI
1. III maksy ==
37
Kutni profil
38
Kutni profil L 45×5
Osi: y i z - nisu osi simetrije
483,7 cmI y =
483,7 cmI z =
4 58,4
0
cmI
I
yz
yz
−=
≠
39
Kutni profil L 45×5
2min425,3 IIcmIv ===
Osi simetrije: osi u i v
1.44,12 IIcmI maksu ===
0=uvI
40
Kutni profil
0<yzJ 0<yzJ
0>yzJ
0>yzJ
0<yzJ
41
0<yzJ0>yzJ
42
0=yzJ
43
3c) Polarni moment tromosti IO (cm4)
Šipka:
� ⋅=A
o dAI 2ρ
44
( )444
2
0
4
cm 321624
2 /ππρπ ⋅=⋅=⋅⋅⋅= DD
ID
o
� ⋅=A
o dAI 2ρ
ρπρ ddA ⋅⋅⋅= 2
ρρπρπρρ ddI
DD
o �� ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=2
0
32
0
2 22
45
Cijevni profil
( )32
44 π⋅−= dDIO
46
� ⋅=A
o dAI 2ρ
( ) zyAAAA
O IIdAydAzdAyzdAI +=⋅+⋅=⋅+=⋅= ����22222ρ
zyO III +=
47
Ponavljanje važno
•
•( )4
4
cm 32
π⋅= dIo
( )2cm hbA ⋅=
( )22
cm 4
π⋅= dA
( )43
cm 12
hbI y
⋅=
48
4. Radijus tromosti i (cm)
• obzirom na os y
A
Ii y
y =
AidAzI yA
y ⋅=⋅= ��22
49
4. Radijus tromosti i (cm)
A
Ii y
y =
A
Ii y
z =
50
5. Momenti otpora W (cm3)
a) Aksijalnib) Polarni
51
a) Aksijalni momenti otpora Wy (cm3)
z
IW y
y =
52
a) Aksijalni momenti otpora Wy (cm3)
62
122
3
hbh
hb
z
IW y
y
⋅=
⋅
==
53
Wz (cm3)
yI
W zz =
54
b) Polarni moment otpora WO (cm3)
162
323
4
ππ
ρ⋅=
⋅
== dd
dI
W OO
55
b) Polarni moment otpora WO (cm3)
( )32
44 π⋅−= dDIO
( )( )
DdD
D
dDI
W OO ⋅
⋅−=
⋅−
==16
2
3244
44
ππ
ρ
56
Glavni momenti tromosti I1 i I2 (cm4)
• Za glavne osi tromosti
centrifugalni moment tromosti
• Aksijalni momenti tromosti poprimaju
ekstremne vrijednosti
0=yzI
maksII = 1
min2 II =
57
Presjeci
58
1. Zakon promjene momenata tromosti pri translaciji koordinatnog sustava
2. Zakon promjene momenata tromosti pri rotaciji koordinatnog sustava
59
1. Zakon promjene momenata tromosti pri translacijikoordinatnog sustava
60
1. Zakon promjene momenata tromosti
pri translaciji koordinatnog sustava
• Steinerov teorem
• Sastavljeni presjeci
61
Momenti tromosti za osi koje ne prolaze težištem
62
Promjena momenata tromosti pri translaciji koordinatnog sustava
• Steinerov teorem
21
bAII yy ⋅+=
21
aAII zz ⋅+=
baAII zyyz ⋅⋅+=11
63
3y1
3y1
4
4
2
cm 06 S
cm W
cm mm
cm
cm
cm
21
7502
5,18185b
4802I
74068I
179A
1z
1y
1
=
=
===
==
Profil IPN 500
64
31yy
31y
1y1yyy
min4
z
22
11zz
maks42
11yy
21
cm 3240 16202S2S
cm 550027502W2
2h
I2
2h
I2
2hI
W
I594cm 35634 304960I
25,18
1792248022b
A2I2I
Icm 480 1376874020A2I2I
cm 3581792A2A
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=⋅=⋅
==
==+=
=
��
�⋅⋅+⋅=
��
�⋅⋅+⋅=
==⋅=⋅⋅+⋅=
=⋅=⋅=
65
Momenti tromosti i glavne osi tromosti
Vidi separat zadaci-
geometrija presjeka
66
2. Zakon promjene momenata tromosti pri rotaciji koordinatnog sustava
Poznate su nam vrijednosti momenata tromosti:IyIzIyz
• Treba odrediti glavne momente tromosti:I1= Imaks.=? I2=Imin =? i kut glavnih osi α = ?
A (Iy; Iyz)
B (Iy; -Iyz)
67
Mohr-ova kružnica tromosti
2α
r
68
A (Iy; Iyz)
B (Iy; -Iyz)
69
70
71
72
• Izvod:
r
E
2
2
2,1 22 yzzyzy I
IIIII +
���
� −±
+=
Glavni momenti tromosti
2
2
2
1
2
2
yzzy
zy
III
IIOS
rOSSCOSI
rOSSCOSI
+
���
� −=
+=
−=−=
+=+=
2r
73
2α
α
74
Kut glavnih naprezanja α
II
I tg
II
Itg
SEAE
tg
zy
yz
zy
yz
−⋅
−=α
−−=α
−=α
22
2
2
2
2αE
75
Kut glavnih osi α
2α
zy
yz
II
Itg
−⋅
−=α2
2
76
Ponavljanje:
• Glavni momenti tromosti dani su izrazima:
• Kut glavnih osi α
2
2
2,1 22 yzzyzy I
IIIII +
���
� −±
+=
zy
yz
II
Itg
−⋅
−=α2
2
77
Glavne osi tromosti 1 i 2
.21 konstIIII zy =+=+
Prva invarijantamomenata tromosti:
78
• Prva invarijanta momenata tromosti:
661566158378372534112
21
,,
,,,,
.konstIIII zy
=+=+
=+=+
L 45×5
4
42
41
837
253
4112
cm ,II
Icm ,II
Icm ,II
zy
.minv
.maksu
==
===
===
79
Kutni profil L 45×5
2min425,3 IIcmIv ===
Osi simetrije: osi u i v
144112 IIcm,I .maksu ===
0=uvI
80
Kutni profil L 45×5
Osi: y i z - nisu osi simetrije
483,7 cmI y =
483,7 cmI z =
4 58,42
25,34,122
cmII
I vuyz −=−−=
−−=