Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa -...

80
1 Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa

Transcript of Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa -...

Page 1: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

1

Geometrijske karakteristike popre�nih presjeka nosa�a

Page 2: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

2

Unutarnje sile

• Sile presjeka:

– Uzdužna sila N– Popre�na sila Tz

– Moment uvijanja Mt

– Moment savijanja My

Page 3: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

3

Naprezanja

1. Normalno naprezanje σ2. Posmi�no naprezanje τ

presjeka popre�nog tikakarakteris kageometrijspresjeku popre�nom u sila unutarnja

naprezanje =

Page 4: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

4

površinasila

naprezanje =

?moment

naprezanje =

Page 5: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

5

Važno:Vla�na sila:

A – površina popre�nog presjeka (m2)

Tla�na sila:

��

���

�=

>

2mN

0N

ANσ

��

���

�⋅=

<

2mN

0

AN

N

ωσ

Page 6: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

6

Važno:

• Moment uvijanja – torzije:

• I0 – polarni moment tromosti (cm4)• W0 – polarni moment otpora (cm3)

ρτ ⋅=

0

t 0M

IM t

dopt

WM ττ ≤≤≤≤====

0

Page 7: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

7

Važno:

• Moment savijanja:

• Iy – aksijalni moment tromosti (cm4)• Wy – aksijalni moment otpora (cm3)

zI

M

y

yx ⋅=

σ

0M y

y

yx W

M±=

σ

0M y

Page 8: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

8

Važno:Moment savijanja s popre�nom silom:

• Iy – aksijalni moment tromosti (cm4)• Sy – stati�ki moment površine presjeka (cm3)

zI

M

M

y

yx

y

⋅=σ

≠ 0

yy

yz

z

bI

ST

T

⋅⋅

=

τ

0

Page 9: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

9

Presjeci

• Drvo i beton– Pravokutni presjek

• �elik– Kružni presjek– Valjani profili

Page 10: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

10

Popre�ni presjeci nosa�a

Page 11: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

11

Popre�ni presjeci nosa�a - �elik

Page 12: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

12

VAŽNO: •

( )44

cm 32

π⋅= dIo

( )2cm hbA ⋅=

( )22

cm 4

π⋅= dA

( )43

cm 12

hbI y

⋅=

Page 13: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

13

Geometrijske karakteristike popre�nih presjeka

1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)2. Stati�ki moment površine presjeka S (cm3)3. Momenti tromosti I (cm4)4. Polumjeri tromosti i (cm)5. Momenti otpora W (cm3)

Page 14: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

14

1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)

2. Stati�ki moment površine presjeka Sy i Sz (cm3)

3. Aksijalni, centrifugalni i polarni moment tromosti Iy ; Iz ; Iyz i Io (cm4)

4. Polumjer tromosti iy i iz (cm)

5. Momenti otpora Wy ; Wz i Wo (cm3)

Page 15: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

15

1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)

A = b.h

A=B.H-b.h

Page 16: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

16

1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)

4

2 π⋅= dA

( )4

22 π⋅−= dDA

Page 17: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

17

Težište lika

• Varignon-ov teorem:

Stati�ki moment rezultante obzirom na

neki pol jednak je sumi stati�kih

momenata komponenata obzirom na taj

isti pol.

Page 18: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

18

Odre�ivanje koodinata težišta složenih presjeka - Varignonov teorem

�� ⋅

=i

TiT P

yPy i

�� ⋅

=i

TiT P

zPz i

Page 19: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

19

2. Stati�ki moment površine presjeka Sy (cm3)

( )� ⋅=A

y dAzS

( )

��

�⋅= �

Az dAyS

Page 20: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

20

dA = b dz dA = b dz

( )32222

0

cm 8

042

/2

2

0

hbhbzbdzzbS

dzbzdAzS

h

h

y

A Ay

⋅=��

���

�−=⋅=⋅⋅=

⋅⋅=⋅=

�� ��

Page 21: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

21

( )222

42221

2221

22zfz

hbz

hbz

hz

hhbz

hS y =

���

�−⋅=

��

� +⋅⋅

��

� −=��

���

��

� −−⋅⋅

��

� −=

Th

h/2

z(h

/2-z

)

Ti

dA

b

z T

y

Page 22: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

22

Pravokutnik

• Stati�ki moment površine

���

�−⋅= 2

2

42z

hbS y

)(cm 8

32hb

S y

⋅=

Page 23: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

23

3. Momenti tromosti

a) Aksijalni Iy i Iz

b) Centrifugalni Iyz

c) Polarni IO

Page 24: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

24

3a. Aksijalni moment tromosti Iy i Iz (cm4)

- oko osi y:

- oko osi z:

( )� ⋅=A

y dAzI 2

( )� ⋅=A

z dAyI 2

0>yI

0>zI

Page 25: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

25

3b. Centrifugalni ili devijacijskimoment tromosti Jyz (cm4)

0

0

0

>

=

<

yz

yz

yz

I

I

I

( )� ⋅⋅=A

yz dAyzI

Page 26: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

26

Aksijalni moment tromosti IydA = b dz

Page 27: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

27

( )43332

2

32

2

2

22

cm 128833

hbhhbzbdzzbI

dzbzdAzI

h

h

h

hy

A Ay

⋅=��

���

���

�−−=⋅=⋅⋅=

⋅⋅=⋅=

��

�� ��

−−

Page 28: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

28

( )43

2 cm 12

bhdAyI

Az

⋅=⋅= ��

Page 29: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

29

Pravokutnik, osi y i z osi simetrije

maksy IIhb

I ==⋅= 1

3

12

( )0=yzI

min2

3

12II

bhI z ==⋅=

Page 30: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

30

Savijanje

maksy IIhb

I ==⋅= 1

3

12

Page 31: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

31

Savijanje

maksy IIhb

I ==⋅= 1

3

12

Page 32: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

32

Izvijanje

min2

3

12II

bhI z ==⋅=

Page 33: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

33

Glavne osi tromosti su centralne osi jer prolaze težištem lika; Osi simetrije su glavne osi tromosti

Page 34: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

34

Popre�ni presjeci nosa�a

Page 35: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

35

I - presjek

2min III z ==

0=yzI

1. III maksy ==

Page 36: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

36

U - presjek

2min III z ==

0=yzI

1. III maksy ==

Page 37: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

37

Kutni profil

Page 38: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

38

Kutni profil L 45×5

Osi: y i z - nisu osi simetrije

483,7 cmI y =

483,7 cmI z =

4 58,4

0

cmI

I

yz

yz

−=

Page 39: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

39

Kutni profil L 45×5

2min425,3 IIcmIv ===

Osi simetrije: osi u i v

1.44,12 IIcmI maksu ===

0=uvI

Page 40: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

40

Kutni profil

0<yzJ 0<yzJ

0>yzJ

0>yzJ

0<yzJ

Page 41: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

41

0<yzJ0>yzJ

Page 42: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

42

0=yzJ

Page 43: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

43

3c) Polarni moment tromosti IO (cm4)

Šipka:

� ⋅=A

o dAI 2ρ

Page 44: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

44

( )444

2

0

4

cm 321624

2 /ππρπ ⋅=⋅=⋅⋅⋅= DD

ID

o

� ⋅=A

o dAI 2ρ

ρπρ ddA ⋅⋅⋅= 2

ρρπρπρρ ddI

DD

o �� ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=2

0

32

0

2 22

Page 45: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

45

Cijevni profil

( )32

44 π⋅−= dDIO

Page 46: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

46

� ⋅=A

o dAI 2ρ

( ) zyAAAA

O IIdAydAzdAyzdAI +=⋅+⋅=⋅+=⋅= ����22222ρ

zyO III +=

Page 47: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

47

Ponavljanje važno

•( )4

4

cm 32

π⋅= dIo

( )2cm hbA ⋅=

( )22

cm 4

π⋅= dA

( )43

cm 12

hbI y

⋅=

Page 48: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

48

4. Radijus tromosti i (cm)

• obzirom na os y

A

Ii y

y =

AidAzI yA

y ⋅=⋅= ��22

Page 49: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

49

4. Radijus tromosti i (cm)

A

Ii y

y =

A

Ii y

z =

Page 50: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

50

5. Momenti otpora W (cm3)

a) Aksijalnib) Polarni

Page 51: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

51

a) Aksijalni momenti otpora Wy (cm3)

z

IW y

y =

Page 52: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

52

a) Aksijalni momenti otpora Wy (cm3)

62

122

3

hbh

hb

z

IW y

y

⋅=

==

Page 53: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

53

Wz (cm3)

yI

W zz =

Page 54: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

54

b) Polarni moment otpora WO (cm3)

162

323

4

ππ

ρ⋅=

== dd

dI

W OO

Page 55: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

55

b) Polarni moment otpora WO (cm3)

( )32

44 π⋅−= dDIO

( )( )

DdD

D

dDI

W OO ⋅

⋅−=

⋅−

==16

2

3244

44

ππ

ρ

Page 56: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

56

Glavni momenti tromosti I1 i I2 (cm4)

• Za glavne osi tromosti

centrifugalni moment tromosti

• Aksijalni momenti tromosti poprimaju

ekstremne vrijednosti

0=yzI

maksII = 1

min2 II =

Page 57: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

57

Presjeci

Page 58: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

58

1. Zakon promjene momenata tromosti pri translaciji koordinatnog sustava

2. Zakon promjene momenata tromosti pri rotaciji koordinatnog sustava

Page 59: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

59

1. Zakon promjene momenata tromosti pri translacijikoordinatnog sustava

Page 60: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

60

1. Zakon promjene momenata tromosti

pri translaciji koordinatnog sustava

• Steinerov teorem

• Sastavljeni presjeci

Page 61: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

61

Momenti tromosti za osi koje ne prolaze težištem

Page 62: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

62

Promjena momenata tromosti pri translaciji koordinatnog sustava

• Steinerov teorem

21

bAII yy ⋅+=

21

aAII zz ⋅+=

baAII zyyz ⋅⋅+=11

Page 63: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

63

3y1

3y1

4

4

2

cm 06 S

cm W

cm mm

cm

cm

cm

21

7502

5,18185b

4802I

74068I

179A

1z

1y

1

=

=

===

==

Profil IPN 500

Page 64: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

64

31yy

31y

1y1yyy

min4

z

22

11zz

maks42

11yy

21

cm 3240 16202S2S

cm 550027502W2

2h

I2

2h

I2

2hI

W

I594cm 35634 304960I

25,18

1792248022b

A2I2I

Icm 480 1376874020A2I2I

cm 3581792A2A

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=⋅=⋅

==

==+=

=

��

�⋅⋅+⋅=

��

�⋅⋅+⋅=

==⋅=⋅⋅+⋅=

=⋅=⋅=

Page 65: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

65

Momenti tromosti i glavne osi tromosti

Vidi separat zadaci-

geometrija presjeka

Page 66: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

66

2. Zakon promjene momenata tromosti pri rotaciji koordinatnog sustava

Poznate su nam vrijednosti momenata tromosti:IyIzIyz

• Treba odrediti glavne momente tromosti:I1= Imaks.=? I2=Imin =? i kut glavnih osi α = ?

A (Iy; Iyz)

B (Iy; -Iyz)

Page 67: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

67

Mohr-ova kružnica tromosti

r

Page 68: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

68

A (Iy; Iyz)

B (Iy; -Iyz)

Page 69: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

69

Page 70: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

70

Page 71: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

71

Page 72: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

72

• Izvod:

r

E

2

2

2,1 22 yzzyzy I

IIIII +

���

� −±

+=

Glavni momenti tromosti

2

2

2

1

2

2

yzzy

zy

III

IIOS

rOSSCOSI

rOSSCOSI

+

���

� −=

+=

−=−=

+=+=

2r

Page 73: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

73

α

Page 74: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

74

Kut glavnih naprezanja α

II

I tg

II

Itg

SEAE

tg

zy

yz

zy

yz

−⋅

−=α

−−=α

−=α

22

2

2

2

2αE

Page 75: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

75

Kut glavnih osi α

zy

yz

II

Itg

−⋅

−=α2

2

Page 76: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

76

Ponavljanje:

• Glavni momenti tromosti dani su izrazima:

• Kut glavnih osi α

2

2

2,1 22 yzzyzy I

IIIII +

���

� −±

+=

zy

yz

II

Itg

−⋅

−=α2

2

Page 77: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

77

Glavne osi tromosti 1 i 2

.21 konstIIII zy =+=+

Prva invarijantamomenata tromosti:

Page 78: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

78

• Prva invarijanta momenata tromosti:

661566158378372534112

21

,,

,,,,

.konstIIII zy

=+=+

=+=+

L 45×5

4

42

41

837

253

4112

cm ,II

Icm ,II

Icm ,II

zy

.minv

.maksu

==

===

===

Page 79: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

79

Kutni profil L 45×5

2min425,3 IIcmIv ===

Osi simetrije: osi u i v

144112 IIcm,I .maksu ===

0=uvI

Page 80: Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa - rgn.hrrgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_OTPORNOST/1_2012_Geometrijske... · Geometrijske karakteristike poprenih presjeka 1. ...

80

Kutni profil L 45×5

Osi: y i z - nisu osi simetrije

483,7 cmI y =

483,7 cmI z =

4 58,42

25,34,122

cmII

I vuyz −=−−=

−−=