1

Geometrijske karakteristike popre�nih presjeka nosa�a

9. dio

2

Sile presjeka (unutarnje sile):

– Uzdužna sila N– Popre�na sila Tz

– Moment uvijanja Mt

– Moment savijanja My

3

Naprezanja

1. Normalno naprezanje σ2. Posmi�no naprezanje τ

presjeka popre�nog tikakarakteris kageometrijspresjeku popre�nom u sila unutarnja

naprezanje =

4

površinasila

naprezanje =

?moment

naprezanje =

5

Važno:

Vla�na sila:

A – površina popre�nog presjeka (m2)

Tla�na sila:

��

���

�=

>

2mN

0N

ANσ

��

���

�⋅=

<

2mN

0

AN

N

ωσ

6

Važno:

• Moment uvijanja – torzije:

• I0 – polarni moment tromosti (cm4)• W0 – polarni moment otpora (cm3)

ρτ ⋅=

≠

0

t 0M

IM t

0

t 0M

WM t=

≠

τ

7

Važno:

• Moment savijanja – �isto savijanje:

• Iy – aksijalni moment tromosti (cm4)• Wy – aksijalni moment otpora (cm3)

zI

M

y

yx ⋅=

≠

σ

0M y

y

yx W

M±=

≠

σ

0M y

8

Važno:

• Moment savijanja popre�nim silama:

• Iy – aksijalni moment tromosti (cm4)• Sy – stati�ki moment površine presjeka (cm3)

zI

M

y

yx ⋅=

≠

σ

0M y

yy

yz

z

bI

ST

T

⋅⋅

=

≠

τ

0

9

Popre�ni presjeci nosa�a

• Drvo i beton– Pravokutni presjek

• �elik– Kružni presjek– Valjani profili

10

Valjani profili - �elik

11

VAŽNO: •

•

( )44

cm 32

π⋅= dIo

( )2cm hbA ⋅=

( )22

cm 4

π⋅= dA

( )43

cm 12

hbI y

⋅=

12

Geometrijske karakteristike popre�nih presjeka

1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)2. Stati�ki moment površine presjeka S (cm3)3. Momenti tromosti I (cm4)4. Polumjeri tromosti i (cm)5. Momenti otpora W (cm3)

13

1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)

2. Stati�ki moment površine presjeka Sy i Sz (cm3)

3. Aksijalni, centrifugalni i polarni moment tromosti Iy ; Iz ; Iyz i Io (cm4)

4. Polumjer tromosti iy i iz (cm)

5. Momenti otpora Wy ; Wz i Wo (cm3)

14

1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)

A = b.h

A=B.H-b.h

15

1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)

4

2 π⋅= dA

( )4

22 π⋅−= dDA

16

Težište lika

• Varignon-ov teorem:

Stati�ki moment rezultante obzirom na

neki pol jednak je sumi stati�kih

momenata komponenata obzirom na taj

isti pol.

17

Odre�ivanje koordinata težišta složenih presjeka –Varignonov teorem

�

� ⋅=

i

TiT A

yAy i

�

� ⋅=

i

TiT A

zAz i

18

2. Stati�ki moment površine presjeka Sy (cm3)

( )� ⋅=A

y dAzS

( )

�

��

�⋅= �

Az dAyS

19

dA = b dz dA = b . dz

( )32222

0

cm 8

042

/2

2

0

hbhbzbdzzbS

dzbzdAzS

h

h

y

A Ay

⋅=��

���

�−=⋅=⋅⋅=

⋅⋅=⋅=

�

�� ��

20

( )222

42221

2221

22zfz

hbz

hbz

hz

hhbz

hS y =

���

�−⋅=

��

� +⋅⋅

��

� −=��

���

�

��

� −−⋅⋅

��

� −=

Th

h/2

z(h

/2-z

)

Ti

dA

b

z T

y

21

Pravokutnik• Stati�ki moment površine presjeka je funkcija od z2;

Sy= f (z2) - (oblik dijagrama posmi�nih naprezanja od popre�nih sila - kvadratna parabola)

0z za ; zhb

Sy =

���

�−⋅= 2

2

42

)(cm 8

32hb

S y

⋅=

22

3. Momenti tromosti

a) Aksijalni Iy i Iz

b) Centrifugalni Iyz

c) Polarni IO

23

3a. Aksijalni moment tromosti Iy i Iz (cm4)

- oko osi y:

- oko osi z:

( )� ⋅=A

y dAzI 2

( )� ⋅=A

z dAyI 2

0>yI

0>zI

24

3b. Centrifugalni ili devijacijskimoment tromosti Jyz (cm4)

0

0

0

>

=

<

yz

yz

yz

I

I

I

( )� ⋅⋅=A

yz dAyzI

25

Aksijalni moment tromosti IydA = b dz

26

( )43332

2

32

2

2

22

cm 128833

hbhhbzbdzzbI

dzbzdAzI

h

h

h

hy

A Ay

⋅=��

���

�

���

�−−=⋅=⋅⋅=

⋅⋅=⋅=

��

�� ��

−−

27

( )43

2 cm 12

bhdAyI

Az

⋅=⋅= ��

28

Pravokutnik, osi y i z osi simetrije

maksy IIhb

I ==⋅= 1

3

12

( )0=yzI

min2

3

12II

bhI z ==⋅=

29

Savijanje

maksy IIhb

I ==⋅= 1

3

12

30

Savijanje

maksy IIhb

I ==⋅= 1

3

12

31

Izvijanje

min2

3

12II

bhI z ==⋅=

32

Glavne osi tromosti su centralne osi jer prolaze težištem lika; Osi simetrije su glavne osi tromosti

33

Popre�ni presjeci nosa�a

34

I - presjek

2min III z ==

0=yzI

1. III maksy ==

35

U - presjek

2min III z ==

0=yzI

1. III maksy ==

36

Kutni profil

37

Kutni profil L 45×5

Osi: y i z - nisu osi simetrije

483,7 cmI y =

483,7 cmI z =

4 58,4

0

cmI

I

yz

yz

−=

≠

38

Kutni profil L 45×5

2min4

v IIcm 26,3I ===

Os simetrije: os u- glavne osi tromosti: os u i v

1.maks4

u IIcm4,12I ===

0Iuv =

39

Prva invarijanta momenata tromosti

.konstIIII vuzy =+=+

Suma aksijalnih momenata tromosti je konstantna.

66,1566,15 26,34,1283,783,7

=+=+

Za kutni profil L 45×5

40

Kutni profil L 45×5 Osi: y i z - nisu osi simetrije

483,7 cmI y =

483,7 cmI z =

4vuyz cm 58,4

226,34,12

2II

I −=−−=−−=

41

0<yzJ0>yzJCentrifugalni moment tromosti

42

0=yzJOs z – os simetrije

Centrifugalni moment tromosti

43

3c) Polarni moment tromosti IO (cm4)

Šipka:

� ⋅=A

o dAI 2ρ

44

( )4D

o cm DD

/I321624

244

20

4 π⋅=⋅π=⋅ρ⋅π⋅=

� ⋅=A

o dAI 2ρ

ρπρ ddA ⋅⋅⋅= 2

ρρπρπρρ ddI

DD

o �� ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=2

0

32

0

2 22

45

Cijevni profil

( )32

44 π⋅−= dDIO

46

� ⋅=A

o dAI 2ρ

( )zy

AAO

AAO

IIdAydAzI

dAyzdAI

+=⋅�+⋅�=

⋅� +� =⋅ρ=

22

222

zyO III +=

Polarni moment tromosti jednak je zbroju aksijalnih momenata tromosti.

47

Ponavljanje važno

•

•( )4

4

cm 32

π⋅= dIo

( )2cm hbA ⋅=

( )22

cm 4

π⋅= dA

( )43

cm 12

hbI y

⋅=

48

4. Radijus tromosti i (cm)

• obzirom na os y

• obzirom na os z:(kod izvijanja tla�na sila N<0)

A

Ii y

y =

Ai dAzI yA

y ⋅�� =⋅= 22

AI

AI

ii zminzmin ===

49

5. Momenti otpora W (cm3)

a) Aksijalnib) Polarni

50

a) Aksijalni momenti otpora Wy (cm3)

z

IW y

y =

51

a) Aksijalni momenti otpora Wy (cm3)

62

122

3

hbh

hb

z

IW y

y

⋅=

⋅

==

52

Wz (cm3)

yI

W zz =

53

b) Polarni moment otpora WO (cm3)

)(cm d

W

d

d

dI

W

3O

OO

16

162

32

3

3

4

π⋅=

π⋅=

π⋅

=ρ

=

54

b) Polarni moment otpora WO (cm3)

( )32

44 π⋅−= dDIO

( )

( ))(cm

DdD

W

D

dDI

W

3O

OO

⋅π⋅−=

π⋅−

=ρ

=

16

2

32

44

44