1

1

Teorija naprezanja i deformacija

11. dio

2

• 3D – Prostorno stanje naprezanja

• 2D – Ravninsko stanje naprezanja

• 1D – Jednoosno stanje naprezanja

3

Tenzor naprezanja

• 3D - Prostorno stanje naprezanjapuni” tenzor:32 = 9 podataka

���

�

�

���

�

�

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

στττστττσ

σ

4

Simetri�nost tenzora naprezanja

���

�

�

���

�

�

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

στττστττσ

σ

yzzy

xzzx

xyyx

τ=ττ=τ

τ=τ

6 podataka

Zakon o jednakosti posmi�nih naprezanja:

5

Dokaz za 2D - ravninsko stanje naprezanja

( ) ( )

yxxy

yxxy

M

dy dx:/ 0 2 2dy

1 dx - 22dx

1dy

M

τ=τ

=⋅⋅τ⋅⋅τ

=Σ 0

6

Glavna naprezanja

���

�

�

���

�

�

=

3

2

1

000000

σσ

σσ gl

Nema posmi�nih naprezanja !!

2

7

Prva invarijanta naprezanja

.321 konstzyx =++=++ σσσσσσ8

Mohrove kružnice naprezanja 3D

9

2D - Ravninsko stanje naprezanja:

y

tgσσ

τϕ

−=

x

xy 22

2

2

2,1 22 xyyxyx τ

σσσσσ +��

�

�

� −±

+=

σxσyτxy

Glavna naprezanja: σ1 i σ2 i njihov smjer ϕ:

10

Glavna naprezanja i njihov smjer

11

Glavna naprezanja i njihov smjer

A (σx;τxy)

B (σy;τyx)

C (σ1;0)

D (σ2;0)12

Najve�e posmi�no naprezanje

H (σs;τmaks)

2

2

21 σ−σ==τ

σ+σ=σ

rmaks

yxs

3

13

Mohrove kružnice tipi�nih stanja naprezanja

1. Jednoosno naprezanje:a) vla�no σx > 0b) tla�no σx < 0

2. Izotropno naprezanje σy = σx

3. �isto smicanje τxy

14

1. a) Jednoosno vla�no naprezanje

15

A (σx;0)

B (0;0)

Glavna naprezanja:

σ1= σx

σ2= 0

16

Maksimalno posmi�no naprezanja:

τmaks = τC= r = σ1/2

17

1. b) Jednoosno tla�no naprezanje

18

A ( - σx;0)

B (0;0)

Glavna naprezanja:

σ1= 0

σ2= - σx

4

19

Maksimalno posmi�no

naprezanje

τmaks= τC

20

2.a) Izotropnorastezanje

A (σx;0)

B (σy ;0)

21

2. b) Izotropnosabijanje

A ( - σx;0)

B ( - σy ;0)

22

3. a)Smicanje

0 >xyτ

A (0; τxy)

B (0; τyx )

Glavna naprezanja:

σ1= τxy

σ2= - τxy

23

3. b)Smicanje

(uvijanje)

0 <xyτ

A (0; -τxy)

B (0; τyx )

Glavna naprezanja:

σ1= τxy

σ2= - τxy

24

1D- Jednoosno stanje naprezanja

hbA ⋅=

N

N

5

251

0

0

σ=σ==

=⋅+−

=Σ

x

x

AN

p

ApN

F

N

26

27

Ovisnost naprezanja o presjeku

Presjek C - C

N

28ϕ

ϕ

cos

cos

AA

hbA

=

⋅=

N

29ϕσ=ϕ⋅==

=⋅+−

=Σ

coscosAN

AN

p

ApN

F

x

x

0

0

N

30

6

31

ϕσσ

ϕσϕσ

21

2

cos

coscos

⋅=

⋅=⋅= xp

ϕστ

ϕϕσϕτ

2sin2

sincossin

1 ⋅=

⋅⋅=⋅= xp

32

Mohrova kružnica naprezanja

ϕ⋅σ=τ=τ

ϕ⋅σ=σ=σ

ϕ

ϕ

2sin21

cos

1

21

33

Sile u presjeku nosa�a

Dinama sila: - glavni vektor sila- vektor glavnog momenta

P�

M�

34

Sile u presjeku nosa�a

Dinama sila: - glavni vektor sila- vektor glavnog momenta

P�

M�

kTjTiNP zy

����⋅+⋅+⋅=

35

Sile u presjeku nosa�a

Dinama sila: - glavni vektor sila- vektor glavnog momenta

P�

M�

kMjMiMM zyt

����⋅+⋅+⋅=

36

Veze izme�u unutrašnjih sila i komponenata tenzora naprezanja

7

37

Tenzor naprezanja

���

�

�

���

�

�

στττστττσ

=σ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

Normala ravnine presjeka podudara s osi x Naprezanja: σx; τxy τxz 38

Normalno naprezanje

Posmi�no naprezanje

dAdNdAdN

xx ⋅= = σσ

dAdTdAdT ⋅= = ττ

39

Normalno naprezanje

Uzdužna sila N

Posmi�no naprezanje

Popre�ne sile

dAdNdAdN

xx ⋅= = σσ

�� �� ⋅==A A

x dAdNN σ

dAdTdAdT ⋅= = ττ

�� �� ⋅==A A

xyyy dAdTT τ

�� �� ⋅==A A

xzzz dAdTT τ 40

Momenti savijanja My i Mz

�� ⋅⋅=A

xy dAzM σ

�� ⋅⋅−=A

xz dAyM σ

41

Moment uvijanja - torzije

( )�� ⋅⋅−⋅⋅==A

xyxzxt dAzdAyMM ττ

42

Deformacije

8

43

1. Duljinska (normalna) deformacija ε

2. Kutna (posmi�na) deformacija γ

3. Obujamska deformacija Θ

44

Tenzor deformacija – tenzor drugog reda

������

�

�

������

�

�

=���

�

�

���

�

�

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

εγγ

γεγ

γγε

εεεεεεεεε

ε

21

21

21

21

21

21

32 = 9 podataka+mjerna jedinica

45

Simetri�nost tenzora deformacija

• 6 podataka

xyyxxy γεε21==

������

�

�

������

�

�

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

εγγ

γεγ

γγε

ε

21

21

21

21

21

21

46

1. Duljinska deformacija ε

ll

l

∆=→0

limε

47

xABAB ABABBA εε =−=

→

11lim

yAC

AC ACACCA

lim ε=−=ε→

11

48

• Kutna deformacija

xy

ACABBAC C γπγ =�

�

�

� ∠−=→→ 111AB

2lim

9

49

2. Kutna deformacija γ

ili posmi�na deformacija

50

Predznaci deformacija

51

Ravinsko stanje deformacija

εz= εzx = εzy = 0

52

Glavne deformacije (γ = 0)

ε1 = ?ε2= ?

ϕ0 = 0

53 54

10

55

Mohrova kružnica deformacija

56

57

Glavne deformacije22

2,1 21

22��

�

�+���

�

� −±

+= xy

yxyx γεεεε

ε

yx

xy

y

xy

tgεε

γεε

γϕ

−=−

⋅=

2

21

2x

0

yx

xytgεε

γϕ

−=02

58

59

3. Obujamska deformacija relativna promjena elementarnog obujma

Θ

60

3. Obujamska deformacija relativna promjena elementarnog obujma

Θ

aa

ax∆=

→0limε

bb

by

∆=→0

limε

cc

cz

∆=→0

limε

11

61

3. Obujamska deformacija

VV

V

∆=Θ→0

lim

cc

bb

aa

sr

∆+∆+∆≈Θ

zyxV VV εεε ++≈∆=Θ

→0lim

Θ

62

3. Obujamska deformacija

.321 konstzyx =++=++=Θ εεεεεε