Formulaire d’électrostatique et magnétostatique

Nature des sources

Source de champ Potentiel Champ Force d’interactionCharges au repos scalaire V électrique �E �Fe = q �E

Courant permanent vecteur �A magnétique �B �Fm = q�v ∧ �B

Relations source-champ-potentiel

Champ électrique �E permanent Champ magnétique �B permanent

relationsformelocale

div �E = ρε0

−→rot �B = µ0�j

source-champformeintégrale

∫∫S◦ �E.d�S = 1

ε0

∫∫∫Vρ(P )dτ

théorème de Gauss

∮C�B.d�� = µ0Ienlace = µ0

∫∫S�j.d�S

théorème d’Ampère

relationsformelocale

�E = −−−→gradVdonc

−→rot �E = �0

�B =−→rot �A

donc div �B = 0

champ-potentielformeintégrale

∮C�E.d�� = 0

circulation de �E conservative

∫∫S◦ �B.d�S = 0

flux de �B conservatif

relationsformelocale

∆V + ρε0= 0 avec V (∞) = 0

équation de Poisson�∆ �A+ µ0�j = �0 avec div �A = 0

équation de Poisson

source-potentielcas

particulier∆V = 0 dans l’espace où ρ = 0

équation de Laplace�∆ �A = �0 dans l’espace où �j = �0

équation de Laplace

Expressions intégrales des champs (�E, �B) et des potentiels (V , �A)

Champ électrique �E permanent Potentiel scalaire V permanentdistribution

volumique de chargeδq = ρdτ

�E(M) = 14πε0

∫∫∫Vρ(P )dτr2PM

�uPM V (M) = 14πε0

∫∫∫Vρ(P )dτrPM

distributionsurfacique de charge

δq = σdS

�E(M) = 14πε0

∫∫Sσ(P )dSr2PM

�uPM V (M) = 14πε0

∫∫Sσ(P )dSrPM

distributionlinéique de charge

δq = λd�

�E(M) = 14πε0

∫Cλ(P )d�r2PM

�uPM V (M) = 14πε0

∫Cλ(P )d�rPM

Champ magnétique �B permanent Potentiel vecteur �A permanentdistribution

volumique de courantδ �C = �jdτ

�B(M) = µ04π

∫∫∫D

�jdτ∧�ePMr2PM

�A(M) = µ04π

∫∫∫D

�j(P )dτrPM

distributionsurfacique de courant

δ �C = �jSdS

�B(M) = µ04π

∫∫S

�jSdS∧�ePMr2PM

�A(M) = µ04π

∫∫S

�jSdSrPM

distributionlinéique de courant

δ �C = Id��

�B(M) = µ04π

∫CId��∧�ePMr2PM

�A(M) = µ04π

∫C

Id��rPM

Relations de passage

Champ électrique �E Champ magnétique �Bcomposante tangentielle �ET2 − �ET1 = �0

�BT2 − �BT1 = µ0�jS ∧ �n1→2

composante normale �EN2 − �EN1 =σε0�n1→2 �BN2 − �BN1 = �0

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