Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

• Exemplos de aplicação

• Função potencial de velocidade

- Equipotenciais são rectas verticais• Função de corrente

- Linhas de corrente são rectas horizontais

constantexconstanteaxyx =⇒== φφ ,),(

constanteyconstanteayyx =⇒== ψψ ,),(

ℜ∈= aazW com

ayaxW i+=

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

• Exemplos de aplicação

• Velocidade complexa

• Escoamento uniforme paralelo ao eixo x com aV =r

0, ==

==

VaU

adz

dWV

ℜ∈= aazW com

ayaxW i+=φ=constante

ψ=constante

y

x

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

• Exemplos de aplicação

• Função potencial de velocidade

- Equipotenciais são rectas de declive• Função de corrente

- Linhas de corrente são rectas de declive

( )( ) ( ) ( )xayayaxayxaaW 212121 iii −++=+−=

constantexa

ayconstanteyaxayx +−=⇒=+=

2

121 ,),( φφ

2

1

a

a−

constantexa

ayconstantexayayx +=⇒=−=

1

221 ,),( ψψ

1

2

a

a

( )12arctgi2

2

2

121 icomaa

eaaaaaazW−+=−==

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Exemplos de aplicação

• Velocidade complexa

• Escoamento uniforme que faz um ângulo αcom o eixo x

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

φ=constante

ψ=constante

y

x

( )12arctgi2

2

2

121 icomaa

eaaaaaazW−+=−==

α

21

21

,

i

aVaU

aadz

dWV

==

−==

αα i*

1

2arctg −=

= zez

a

a

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

( ) ( ) ( )axyyxa

yxa

W i2

i2

222+−=+=

( ) constantexyconstanteyxa

yx +=⇒=−= 2222 ,2

),( φφ

x

constanteyconstanteaxyyx =⇒== ψψ ,),(

ℜ∈= aza

W com2

2• Exemplos de aplicação

• Função potencial de velocidade

- Equipotenciais são hipérboles rectangulares comas bissectrizes y=x e y=-x como assímptotas

• Função de corrente

- Linhas de corrente são hipérboles rectangularescom os eixos como assímptotas

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

x

y

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

• Exemplos de aplicação

• Velocidade complexa

• Escoamento em 4 cantos rectos (ângulo de 90o)

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

( )

ayVaxU

yxaazdz

dWV

−==

+===

,

i

ℜ∈= aza

W com2

2

φ=constante

ψ=constante

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Exemplos de aplicação

• Em fluido perfeito, uma parede impermeável é uma linha de corrente, pelo que, uma linha de corrente podeser substituída por uma parede

- Os semi-planos y≥0 e y≤0, representam o escoamento de encontro a uma parede plana dedimensão infinita

- Cada um dos quadrantes representa o escoamentonum canto a 90o

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

ℜ∈= aza

W com2

2

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Exemplos de aplicação

- Escoamento para y≥0

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

ℜ∈= aza

W com2

2

φ=constante ψ=constante

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Exemplos de aplicação

- Escoamento para o primeiro quadrante,

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

ψ=constante

φ=constante

ℜ∈= aza

W com2

2

00 ≥∧≥ yx

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Escoamento em torno de diedros

• Função potencial de velocidade

• Função de corrente

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

ℜ∈= azn

aW

n com

enenctnrctnr

n

ayx =⇒== )cos(),cos(),( θφθφ

( ) )sen(i)cos(ii θθθθnr

n

anr

n

aer

n

are

n

aW

nnnnn

+===

enenctnrctnr

n

ayx =⇒== )sen(),sen(),( θψθψ

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Escoamento em torno de diedros

- Velocidade complexa

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

ℜ∈= azn

aW

n com

( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )1

1

1

11

1i11

1sen

1cos

1seni1cos

−

−

−

−−

−−−

==

−−=

−=

−+−=

===

n

n

n

nn

nnn

arVV

narV

narU

narnarV

earazdz

dWV

rθ

θ

θθ

θ

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Escoamento em torno de diedros

• Função de corrente

- Linha de corrente, ψ=0

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

ℜ∈= azn

aW

n com

enenctnrctnr

n

ayx =⇒== )sen(),sen(),( θψθψ

( ) ( )

n

kn

k

n

πθθ

πθπ

θ

θ

==

≤≤∧==

=

10 ,0

20,...2,1,0

0)sen(

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Escoamento em torno de diedros

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

ℜ∈= azn

aW

n com

Canto côncavo→<>2

,2 1

πθn

4,4 1

πθ ==n

3,3 1

πθ ==n

ψ=constanteφ=constante

6,6 1

πθ ==n

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Escoamento em torno de diedros

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

ℜ∈= azn

aW

n com

→==4

3,

3

41

πθn

→==2

,2 1

πθn

→== πθ1,1n

Canto recto

Escoamento uniforme

ψ=constante

φ=constante

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Escoamento em torno de diedros

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

ℜ∈= azn

aW

n com

→>< πθ1,1n Canto convexo

ψ=constante φ=constante

2

3

3

2

1

πθ =

=n

4

5,

5

41

πθ ==n

4

7,

7

41

πθ ==n

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Escoamento em torno de diedros

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

ℜ∈= azn

aW

n com

→== πθ 2,2

11n Placa sem espessura (θ1 máximo)

ψ=constante

φ=constante

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Escoamento em torno de diedros

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

- Ângulo do diedro

- Primeira parede coincidente com o eixo realpositivo

- Ângulo do diedro é medido no sentido anti-horário

- Ilustrações anteriores para

ℜ∈= azn

aW

n com

n

πα =

n

πθ ≤≤0

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

- Velocidade complexa

- Velocidade na origem do referencial, canto dodiedro, r=0

( )θ1i11 −−− === nnnearaz

dz

dWV

1−= narV

r

• Escoamento em torno de diedros ℜ∈= azn

aW

n com

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

1−= narV

r

∞→=

>

⇒<≤

=

=⇒=

==

<⇒>

−=

=

−

=

nr

r

n

r

Vn

aVn

Vn

10

1

0

1

1

0

1

0

112

1

1

001

r

r

r

πθ

πθ

πθ

Escoamento uniforme

Canto côncavo

Canto convexo

• Escoamento em torno de diedros ℜ∈= azn

aW

n com

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Escoamento em torno de um cilindro

• Função potencial de velocidade

• Função de corrente

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

( ) ( )

−+

+=+=

rra

rra

re

aareW

1seni

1cos

i

i θθθ

θ

ℜ∈+= az

aazW ,

( ) ( ) eect

rrct

rrayx =

+⇒=

+=

1cos,

1cos),( θφθφ

( ) ( ) eect

rrct

rrayx =

−⇒=

−=

1sen,

1sen),( θψθψ

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Escoamento em torno de um cilindro

• Linha de corrente, ψ=0

• Eixo x mais circunferência de raio 1 centrada na origem

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

ℜ∈+= az

aazW ,

( )

( )

10

01

0sen

01

sen

=∨=∨=

=

−∨=

=

−

r

rr

rr

πθθ

θ

θ

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Escoamento em torno de um cilindro

• Linha de corrente, ψ=0

• Para um cilindro de raio R

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

ℜ∈+= az

aazW ,

ℜ∈

+=→ a

z

RzaW ,

2

ψ=constante

φ=constante

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Escoamento em torno de um cilindro

• Linha de corrente, ψ=0

• Para um cilindro de raio R

Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo

ψ=constante

φ=constante

ℜ∈+= az

aazW ,

1≥r

ℜ∈

+=→ a

z

RzaW ,

2

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Fonte/poço é qualquer ponto dum escoamento planono qual se cria/destrói fluido

- 2πm é o caudalpor unidade de larguraemitido/absorvidopela linha de fontes/poços

- m é a intensidadeda fonte/poço

- m>0 fonte,m<0 poço

1

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Uma linha de fontes/poços (2-D) produz um escoamento radial,

• O potencial de velocidade é obtido a partir da equaçãoda continuidade (conservação da massa)

rreVVrr

=

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

( )rm

mr

rrVr

ln

222

=

=∂

∂=

φ

πφ

ππ

0, ==∂

∂

∂

∂= θ

θ

φφrV

rVr

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Linha de Fontes/poços

• A velocidade radial é inversamente proporcional a r

• Potencial de velocidade

• Condições de Riemann-Cauchy em coordenadaspolares

r

mVr =

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

( )rm ln=φ

rrrr ∂

∂−=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ ψ

θ

φ

θ

ψφ 1,

1

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Linha de Fontes/poços

• Função de corrente

• Potencial complexo

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

θψ m=

( )

( )( ) ( )

( ) ( )zM

zmW

remrmW

mrmW

ln2

ln

lniln

ilni

i

π

θ

θψφθ

==

=+=

+=+=

rrr

m

∂

∂−=

∂

∂=

ψ

θ

ψ0,

1

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Linha de Fontes/poços colocada em z1

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

( ) ( )11 ln2

ln zzM

zzmW −=−=π

ψ=constante

φ=constante

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Considere-se um linha de fontes de intensidade mcolocada em z1 e uma linha de poços colocada em –z1

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

a

αα

a

+m

-m

• Potencial complexo doconjunto

• Quando

αi1 aez =

( ) ( )

+−

−=

+−−=

αα ii

11

1ln1ln

lnln

ez

ame

z

amW

zzmzzmW

)1ln()1ln(0i εεα +−−=⇒→ mmWae

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Linha de dipolos ou dobletes- Desenvolvendo em série de Taylor a função logaritmoem torno do ponto 1

- Para pequenos valores de

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

...3

223

3i33i

−−−=z

eam

z

maeW

αα

...32

)1ln(

...32

)1ln(

32

32

−−−−=−

++−=+

εεεε

εεεε

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Linha de dipolos ou dobletes

- No limite quando

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

( ) ( )αθµ

αθµ

µµ α

−+−−=

=−=

senicos

2i

rrW

maz

eW

∞→∧→ mae 0iα

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Linha de dipolos ou dobletes

- Função potencial de velocidade

- Função de corrente

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

( ) ( ) ( ) eect

rct

ryx =−=−−= αθ

µφαθ

µφ cos,,cos,

( ) ( ) ( ) eect

rct

ryx =−=−= αθ

µψαθ

µψ sen,,sen,

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Linha de dipolos ou dobletes

- Velocidade complexa

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

( )

( ) ( )αθµ

θαµ

µµµ θα

θ

αα

−=−=

==== −

2sen,2cos22

2i

22i2

i

2

i

rV

rU

erer

e

z

e

dz

dWV

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Linha de dipolos ou dobletes

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

y

x

α

ψ=constante

φ=constante

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Escoamento com linhas de corrente circulares em quea circulação, Γ, em torno de qualquer circunferênciaé constante. O sentido positivo de Γ é o sentido directo(contrário aos ponteiros do relógio).

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

πθ

φ

πθ

φπθ

2

21

2

Γ=

∂

∂

∂

∂==⋅=Γ ∫ r

rrVsdV

rr

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Uma linha de vórtices produz um escoamentocircunferencial,

• O potencial de velocidade é obtido a partir dacirculação

θθ eVVrr

=

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

θπ

φ

θ

φππ θ

2

22

Γ=

Γ=∂

∂=rV

0,2

1==

∂

∂Γ=

∂

∂= rV

rrrV

φ

πθ

φθ

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Linha de vórtices

• A velocidade tangencial é inversamente proporcional a r

• Potencial de velocidade

• Condições de Riemann-Cauchy em coordenadas polares

rV

πθ

2

Γ=

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

θπ

φ2

Γ=

rrrr ∂

∂−=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ ψ

θ

φ

θ

ψφ 1,

1

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Linha de vórtices

• Função de corrente

• Potencial complexo

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

( )rr

ln2π

ψΓ

−=

( )

( )( ) ( )

( )zW

rerW

rW

ln2

i

ln2

iiln2

i

ln2

i2

i

i

π

πθ

π

πθ

πψφ

θ

Γ−=

Γ−=+

Γ−=

Γ−

Γ=+=

rrr ∂

∂−=

Γ

∂

∂=

ψ

πθ

ψ

2,

10

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Linha de vórtices colocada em z1

Fluido Perfeito/IdealSingularidades

ψ=constante

φ=constante

( )1ln2

i zzW −Γ

−=π

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Combinando os potenciais complexos dassingularidades com um escoamento uniforme consegue-se obter o escoamento em torno de diversos corpos sólidos, cuja superfície érepresentada por uma das linhas de corrente do escoamento

Fluido Perfeito/IdealCombinação de Singularidades

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Linha de fontes em z=0 mais escomento uniforme

- Função de corrente

Fluido Perfeito/IdealCombinação de Singularidades

( )

∞

∞

∞

−=⇔=

+=

+=

U

Mz

dz

dW

z

MU

dz

dW

zM

zUW

π

π

π

20

1

2

ln2

( )2

,22

senM

U

Mr

Mr ±=⇒±==+=

∞

ψπθπ

θπ

θψ

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Linha de fontes em z=0 mais escomento uniforme

Fluido Perfeito/IdealCombinação de Singularidades

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Linha de fontes em z=-a, linha de poços em z=a

mais escoamento uniforme

- Função de corrente

Fluido Perfeito/IdealCombinação de Singularidades

( ) ( )

∞

∞

∞

+±=⇔=

−−=

−−++=

aU

Maz

dz

dW

az

aMU

dz

dW

azM

azM

zUW

π

π

ππ

10

ln2

ln2

22

00,1,arctg2

arctg2

=⇒=+±=

−−

++=

∞

ψπππ

ψ yaU

Max

ax

yM

ax

yMy

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Linha de fontes em z=-a, linha de poços em z=a

mais escoamento uniforme

Fluido Perfeito/IdealCombinação de Singularidades

1=∞aU

M

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Dipolo de orientação π e intensidade em z=0mais escoamento uniforme

- Função de corrente

Fluido Perfeito/IdealCombinação de Singularidades

( ) 0,sen2

=⇒±=

−= ∞ ψθψ Rz

r

RrU

Rzdz

dW

z

RU

dz

dW

z

RzUW

±=⇔=

−=

+=

∞

∞

0

12

2

2

2RU∞

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Dipolo de orientação π e intensidade em z=0mais escoamento uniforme

Fluido Perfeito/IdealCombinação de Singularidades

2RU∞