Post on 23-Jun-2015
description
LA ARMONIA EN LA NATURALEZA:
EL NUMERO AUREO
Jaime Bravo Febres 2007
La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, y el otro el número áureo. El primero puede compararse a una medida de oro, y el segundo a una piedra preciosa.
Kepler
El número designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.
Es el llamado número de oro (representado habitualmente con la letra griega ) o también sección áurea, proporción áurea o razón áurea
La sección áurea y el número de oro
La sección áurea es la división armónica de un segmento en media y extrema razón.
Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad.
Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en él la división indicada anteriormente.
1x
xx1
Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es:
...61803398.1
2
51x
01xxxx11
x
x
x1 22
ESTE ES EL NUMERO AUREO
El rectángulo áureoDibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo
A B Co
R Q
Construcción del rectángulo áureo:
Para realizar esta construcción, necesitaremos regla y compás. Procederemos de la siguiente manera:
1. Construimos un cuadrado de lado 2a
2a
2a
2. Dividimos el cuadrado en dos rectángulos iguales, y trazamos la diagonal del segundo rectángulo:
a a
2a5a
da 5
Por el teorema de Pitágoras se tiene:
222)2( daa
2224 daa
225 da
3. marcamos dicha medida sobre la horizontal y se tiene:
a a
2a5a
A
B C
D
ABCD, ES RECTANGULO AUREO
Como determinar cuando un rectángulo es áureo.
A B
CD
x
y
M
NP
y
x
Como los triángulos rectángulos ABC
y AMN son semejantes resulta: yx
xxy
POR TANTO ABCD ES RECTANGULO AUREO
Si tomamos un rectángulo aúreo (largo/ancho = nº de oro) y lo dividimos en dos partes de tal forma que una de ellas sea un cuadrado de lado el ancho del rectángulo, la otra parte es otro rectángulo aúreo. Podemos repetir esta operación de forma indefinida, logrando una espiral como muestra el dibujo
ESPIRAL AUREA O ESPIRAL DE DURERO
El resultado es otra similar cuya pulsación, el factor de crecimiento es el número áureo.
Otra espíral gnómica basada en el número áureo es la que se construye tomando como base un triángulo isósceles cuyo ángulo menor mide 36°. A partir de cada triángulo se construye otro triángulo isósceles cuyo lado menor coincide con el mayor del triángulo anterior.
Los cocientes entre el lado mayor y el lado menor de cada triángulo tiende hacia el número de oro.
La espiral se construye uniendo mediante arcos de circunferencia los vértices consecutivos de estos triángulos. Espiral de Durero
La espiral (El número de oro) está en los moluscos como el NAUTILIUS,
EN LA NATURALEZA
En el huevo de las aves se encontrado también relaciones del numero áureo.
EN EL GIRASOL EN LAS FLORES
Está también en todos los animales, plantas y objetos pentagonales: flores, estrellas de mar, etc
En las hormigas
En las aves
En las flores
En las Plantas
Galaxias del Universo
Galaxias Lenticulares
En el Tsunami de Asia 2003??
Su carnet de identidad es un rectángulo áureo, y por tanto las tarjetas de crédito, y en gran parte de las tarjetas que utilizamos así como el frente de casi todas las cajetillas de tabaco.
EN LA ECONOMIA
a
b
En los objetos caseros
EN EL SER HUMANO
EL PRIMERO EN ESTUDIAR LA RELACION DEL NUMERO AUREO EN EL HOMBRE FUE LEONARDO DA VINCI
LEONARDO DA VINCI
LUCA PACIOLI
LUCA PACIOLI A LA PROPORCION AUREA LA DENOMINO PROPORCION DIVINA POR SUS PROPIEDADES.
LEONARDO DA VINCI ENCONTRO EL NUMERO AUREO EN RELACIONES CORPORALES DEL SER HUMANO.
VITRUBIO
Este sería a juicio de un artista el rostro más perfecto de mujer
En la mano humana, la distancia entre las falanges están en razón áurea.
Es áurea la relación entre la distancia entre los ojos y el ancho de los mismos.
Cuando los dientes no están juntos, la linea de los labios divide la parte inferior del rostro según la proporción áurea.
Un detalle curioso conocido por los clásicos es que la distancia del ombligo al suelo es justamente la razón áurea de su altura.
Para verificar las medidas antropométricas en el ser humano podemos llenar la tabla siguiente, recordando que dos razones geométricas de igual valor pueden dar origen a una proporción geométrica.
ESTUDIANTEESTUDIANTEEstatura Estatura
aa
Longitud del Longitud del ombligo hasta ombligo hasta la planta del la planta del
pie pie
bb
Longitud de Longitud de la cima de la la cima de la cabeza hasta cabeza hasta el ombligo el ombligo
(a – b) (a – b)
CC
a/ba/b b/cb/c
Esta espiral se encuentra en un gran nº de
moluscos como el Nautilus de la foto.
El número de oro está también en todos los animales, plantas y objetos pentagonales: flores, estrellas de mar, etc
Si tomamos un rectángulo aúreo (largo/ancho = nº de oro) y lo dividimos en dos partes de tal forma que una de ellas sea un cuadrado de lado el ancho del rectángulo, la otra parte es otro rectángulo aúreo.
Podemos repetir esta operación de forma indefinida, logrando una espiral como muestra el dibujo
EN EL ARTE
LA SAGRADA FAMILIA
MIGUEL ANGEL
LA GIOCONDA
LEONARDO DA VINCI
Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.
LEDA
ATOMICA
Existen relaciones basadas en la sección áurea en algunas de las más célebres esculturas griegas como el Hermes de Praxíteles (390-330 a. C.)
Aparece en la Venus de Milo.
Venus de Milo Museo del Louvre, París
EN LA ARQUITECTURA
EL PARTENON GRIEGO
Desde tiempos muy remotos el hombre ha realizado bellas y armoniosas construcciones teniendo en cuenta la proporción áurea
Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.
Tumba Rupestre de Mira
Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2
Herodoto relata que los sacerdotes egipcios le habian enseñado que las proporciones establecidas en la Gran Pirámide eran tales que:
El cuadrado de la altura de la piramide es igual al área de cada una de las caras triangulares.
12
aa
Es decir: ( 1 )aAH2
P
MoPor el teorema de Pitágoras en el triángulo POM: 222 aHA
Sustituyendo por su valor en ( 1 ) y dividiendo por se tiene:
2H 2a
ΦaA
haciendo ;1aA
a
A2
2
Tenemos la ecuación del numero Áureo:
Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.
Pitágoras y el número de oroPitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes.
También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP, que se hallan en la estrella
pentagonal están en proporción áurea.
La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro.Así La relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro.
A
GFNM
Considerando el lado del pentágono regular la unidad, (AG = 1), se tiene:
MF = NG = 1; MG =
11
1LDL
LD
De donde se tiene: 012
Cuya raíz positiva es:2
51
¿ Qué pudo hacer que los pitagóricos sintieran tanta admiración por el número áureo ?.
Casi con toda seguridad, para la escuela pitagórica la consideración del irracional , de cuya existencia tuvieron conciencia antes que, tuvo que causar una profunda reflexión en las teorías de la secta.
52
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en el dibujo que Leonardo da Vinci, hizo para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Paccioli, editado en 1509.
"Huye de esos estudios cuyo resultado muere con el que los hace.“
Luca Paccioli
Leonardo da Vinci
Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo
Vitrubio
Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia.
El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de90º con el tronco.
a
b
Es decir: ba
Conocemos desde la antiguedad la ubicación exacta de los puntos energéticos (Xue) utilizados en Medicina Tradicional China para el tratamiento de las enfermedades del hombre a través de la acupuntura.
Conocemos también los efectos de cada uno de ellos y sabemos cómo utilizarlos; Pero, porqué los puntos tiene la ubicación que tienen ? A qué ley o regla obedece la uniformidad en la distribución? Y también, porqué esa ubicación es invariablemente la misma en cada ser humano?
Así, la ubicación de los puntos chinos de acción energética específica responde a la ley geométrica y aritmética conocida, desde la antiguedad clásica, como :
"sección áurea" (según leonardo Da Vinci), "sección divina"(según Kepler) o "divina proporción"(según Luca Pacioli) y cuyo valor numérico, denominado "Número de oro“.
El NUMERO DE ORO EN LA MEDICINA
En el caso que nos ocupa, diremos que el rostro humano visto de frente, puede encuadrarse en el interior de un rectángulo ABCD.
Dr. Marcelo MannetiMédico Acupunturista
.7..1.68033988DC
ADφdonde
La serie de Fibonacci queda establecida mediante la serie numérica siguiente:
La sucesión de Fibonacci y el número áureo.
La serie de Fibonacci proviene de considerar la serie que se forma mediante (comenzando la serie por 1, se tiene) :
1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, ... , 8 + 13 = 21, ....
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, .....
Cada número es la suma de los dos números anteriores
Leonardo de Pisa
La sucesión formada por los cocientes de números de Fibonacci consecutivos converge, rápidamente, hacia el número áureo.
•f 2 / f 1 = 1 / 1 = 1
•f 3 / f 2 = 2 / 1 = 2
•f 4 / f 3 = 3 / 2 = 1, 5
•f 5 / f 4 = 5 / 3 = 1, 66 66 66...
•f 6 / f 5 = 8 / 5 = 1, 6
•f 7 / f 6 = 13 / 8 = 1, 62 5
•f 8 / f 7 = 21 / 13 = 1, 61 53 84 61 ...
•f 9 / f 8 = 34 / 21 = 1, 61 90 47 76 ...
•f 10 / f 9 = 55 / 34 = 1, 61 76 47 05 ...
...1.61803398f
fLim
1-n
n
n
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
Finalmente se tiene:
Adviértase que,
1 / 0,618 = 1,618
1 / 1,618 = 0,618
Al dividir dos números consecutivos de la serie de Fibonacci,
13 / 21 = 0.619047619
21 / 34 = 0.617647058
34 / 55 = 0.618181818
21 / 13 = 1.615384615
34 / 21 = 1.619047619
55 / 34 = 1.617647059
el resultado converge a 0,618 ó 1,618
...1.6181f
fLin
n
n
n
...0.618f
1fLin
n
n
n
La razón entre cada par de términos consecutivos va oscilando por la izquierda y la derecha de la razón áurea, y que conforme
va avanzando la sucesión se va acercando más a este valor.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
1.618….
21.5 1.66..1.6
23
12
35
58
813
1.625..
1321
1.615..
.1.618033..φff
Lim1-n
n
n
11
1
Esta sucesión de números aparece en la Naturaleza en formas curiosas. Cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; ó 5 y 8.
Verdes – 8, Rojas –13
Verdes – 5, Naranjas –8
Otra espiral de Fibonacci
Bibliografía:1. El hombre que calculaba. Malba Taham. Ed. Popular 1956
2. El Número de Oro. Mariano J. Dominguez Muro. Ed. Narcea.
3. Fibonacci and Lucas Numbers. Published by the Fibonacci Association, 1969. Houghton Mifflin.
4. Historia de la Matemmática Carl Boyer. Ed. Alianza, Madrid.
5. La composición Áurea en las artes plásticas. Pablo Tosto. Buenos Aires. Lib. Hachette, 1958.
6. El Misterio de Orion (La proporción áurea y la gran pirámide). Abelardo Falleti. Bs Aires. Emece Editores. 1966.
7. Los grandes Matemáticos. Bell. E. T. Ed. Lozada. 1985
8. A divina proporção: Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática", H. E. Huntley, Brasília-DF.Editora Universidade de Brasília em 1985
9. El número de oro. Ghyka, M. (1983) Ed. Poseidón