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Anticipacion de Turbulencia en MercadosLatinoamericanos: La Crisis Mexicana de 1994

Rosales, L.F.Φ† Posadas, A.† Quiroz, R.†

Mayo de 2006

Φ Centro de Investigacion de la Universidad del Pacıfico (CIUP).

† Centro Internacional de la Papa (CIP).

Contenidos 2

Contenidos

1 Motivacion 3

2 Fractales en la Naturaleza 11

3 Multifractales en la Naturaleza 32

4 Indicador de Crisis y Resultados Empıricos 44

5 Conclusiones 56

1 Motivacion 3

1 Motivacion

1 Motivacion 4

Una pregunta vieja,

¿ Se Puede Predecir una Crisis

Financiera?

1 Motivacion 5

Respuestas (tambien viejas),

• Pregunta complicada.

• De eso ya se ha escrito bastante.

• Depende del tipo de crisis.

• Analisis tecnico insuficiente. El cualitativo es mejor.

1 Motivacion 6

Entonces no pensemos (por un momento) en finanzas.

Pensemos mejor en como se previenen las crisis en otros ambitos. Por

ejemplo, los paros cardıacos.

Figura 1: Pulsoxımetro. En Cardiologıa el ritmo cardıaco es uno de los principales

indicadores de la salud del paciente.

1 Motivacion 7

• En anos recientes el analisis multifractal del ritmo cardıaco ha

brindado nueva evidencia para la deteccion de fallas cardıacas. Lin,

D.C., y Hughson, R.L. (2001), Fischer, R., Akay, M., Castiglioni, P.,

y Di Rienzo, M. (2003), Ching, E.S., Lin, D.C., y Zhang, C. (2004).

• Estos estudios concluyen que pacientes con fallas cardıacas

presentan un ritmo cardıaco mas regular que una persona saludable,

y que son ellos los que tienen una mayor probabilidad de sufrir un

ataque cardıacos.

1 Motivacion 8

Pero este incremento en la regularidad previo a algun tipo de

comportamiento caotico, no se observa solo en medicina.

1 Motivacion 9

Entonces pensemos en otro ejemplo en el que una calma anomala

anteceda el caos.

Figura 2: Playas Tailandesas. Foto tomada en el ano 2003.

Es un hecho conocido que las olas mas grandes son precedidas por

periodos extranamente calmos, y que en tanto mas se prolongue la

calma, la ola que vendra sera mas fuerte.

1 Motivacion 10

Volvamos, ahora sı, a pensar en finanzas.

• Es un hecho, tambien documentado, que antes del desenlace de una

crisis financiera en un mercado determinado, se manifiesta una

regularidad inusual en el proceso de retornos de su ındice general.

• En estos periodos es posible encontrar correlaciones entre la serie y

su pasado, i.e. el mercado se vuelve ineficiente.

En este documento se aplican tecnicas de analisis multifractal

para identificar la calma anomala en ındices bursatiles, y se

construye un indicador de alerta que anteceda las crisis.


2 Fractales en la Naturaleza


Pero antes, ¿Que es un fractal?

Definicion 2.1 (Fractal) “A fractal is a shape made of parts

similar to the whole in some way.”.

Mandelbrot(1986)

• Esta caracterıstica se denomina autosimilaridad.

• Ejemplos de fractales determinısticos : el conjunto de

Mandelbrot, el triangulo de Sierpinski, o la curva de

triadica de Kotch.


Ejemplo 2.1 (Curva Triadica de Kotch)

Figura 3: Curva de Kotch. La curva es invariante en traslaciones y dilataciones. La

primera figura muestra el conjunto generador (iteraciın 1), y la segunda la iteracion 2.


Pero mas alla que una curiosidad matematica, no es difıcil

encontrarse con alguno de manera cotidiana.

Figura 4: Fractales en la Naturaleza. El primer grafico muestra un Chou Romanesco,

y el segundo un arbol ordinario.


De hecho una de las primeras aplicaciones de la geometrıa

fractal consistio en medir la longitud de las costas.

Figura 5: Ilha da Trauira. Costa Noreste de Brasil.


Pero ¿Como?

• Aprovechando su propiedad fundamental: la

autosimilaridad , i.e. invarianza en traslaciones y

dilataciones.

• De manera mas formal, si la costa es fractal, y es cubierta

por una malla imaginaria formada por cuadrados de lado

δ, se debe cumplir que

L(δ) ∼ aδ1−D (1)

donde L(δ) es la longitud de la costa, a ∈ R, y D es su

dimension fractal box-counting .


• Es decir, la longitud depende positivamente de δ, pues

una mayor resolucion (menor δ) permite capturar mas

irregularidades.

En terminos mas familiares, si se toma ln a (1), se obtiene la

relacion

ln L(δ) = ln a + (1−D) ln δ + ε (2)

que permite obtener D mediante una regresion ordinaria.


De manera mas formal, la dimension de Hausdorff-Besicovitch

(D) de un conjunto de puntos S es la dimension crıtica para

la que la medida Md cambia de 0 a ∞:

Md =∑

δd = N(δ)δd. (3)

Donde d es tal que la medida no es 0 ni ∞ cuando δ → 0.

Ademas es facil de computar regresionando N(δ) contra δ en

N(δ) ∼ 1

δD(4)

y seleccionando el rango de escalamiento fractal [δ0, δ1] como

en


Figura 6: Escalamiento de la Medida (L(δ)) en funcion de δ.


Un fractal modela adecuadamente algunos fenomenos

naturales , pero ¿ se puede hablar de autosimilaridad en un

proceso estocastico?

Sı. Pero en este caso, se habla de autoafinidad. Y se verifica

por la estabilidad de la ley de probabilidad en traslaciones y en

dilataciones.


Recordemos a un viejo conocido.

Ejemplo 2.2 (Camino Muestral de un mBo)

Figura 7: Movimiento Browniano Ordinario. Desde la tesis de Bachelier (1901) se

convirtio en un modelo popular para describir la trayectoria de los precios.


donde la autoafinidad se garantiza porque un en mBo se

cumplen las siguientes proposiciones :

Proposicion 2.1 (Invarianza en Traslaciones mBo) Sea

B(t) un mBo, para cualquier secuencia {0 < t1 < . . . < tn} ∈ R y conjuntos

borelianos {A1, . . . , An} ⊂ R, se cumple que

P {B(t1) ∈ A1, . . . , B(tn) ∈ An} (5)

=

ZA1

. . .

ZAn

p(t1, 0, x1)p(t2 − t1, x1, x2)

. . . p(tn − tn−1, xn−1, xn),

donde

p(t, x, y) =1√2πt

exp(− (x− y)2

2t) (6)

esta definido para cualquier x, y ∈ R y t > 0.


Proposicion 2.2 (Invarianza en Dilataciones mBo) Sea

B(t) un mBo, para todo c > 0 se cumple que

V (t) =1

cB(c2t) (7)

es tambien un mBo.


De manera analoga, la generalizacion del mBo, o movimiento

Browniano fraccional, es tambien un proceso fractal y se

cumple que:

Proposicion 2.3 (Invarianza en Dilataciones mBf) Sea

BH(t) un mBf, para todo c > 0 se cumple que

VH(t) =1

cBH(c

1H t) (8)

es tambien un mBf, y H es denominado exponente de Hurst.

la cual es igual que la proposicion anterior cuando H = 12.


Ejemplo 2.3 (Camino Muestral de un mBf)

Figura 8: Movimientos Brownianos Fraccionales. Se muestran 3 caminos muestrales

con diferentes exponentes de Hurst.


• Es facil ver que las senales mas irregulares estan asociadas

a un exponente de Hurst menor .

• Es facil intuir que existe una relacion inversa entre D y H

. De manera mas formal, por la ecuacion de Voss se sabe

que

D = 2−H (9)


Muy bien, pero estos viejos (y no tan viejos) conocidos, ¿

funcionan bien?

No tanto : el mBo implica procesos Gaussianos en retorno

que no capturan la naturaleza de las series financieras (colas

anchas, conglomerados de volatilidad, etc.), y los mBf

generan arbitrage c.s. en la version fraccional del modelo

Black-Scholes.

Pero, ¿por que no pasa esto?


Recordemos la definicion de Mandelbrot (1986), y veamos.

Figura 9: Modelo Monofractal. Arriba se muestra el retorno del IGBVL. Abajo un

proceso Gaussiano asociado al retorno del IGBVL.


De hecho, en la ecuacion (8) no se cumple que el exponente

de H (y en consecuencia D) sea estable. Si no que es funcion

de tiempo.


Figura 10: Computo Local del Exponente de Hurst para el IGBVL.


• El modelo fractal fracasa.

• Es preciso buscar un modelo que considere mas de un

nucleo generador ,que considere multiples exponentes de

Hurst y multiples dimensiones fractales asociadas a ellos.

• Ese modelo es el multifractal .


3 Multifractales en la Naturaleza


Caracterısticas basicas de un multifractal:

• El exponente de Hurst es inestable .

• Permite multiples nucleos generadores .

• Es un proceso multiafin .

• Se analiza la senal y sus momentos estadısticos (q).


Figura 11: Paisaje Multifractal Generado Artificialmente. La autoafinidad es local.


Pues bien, ahora calculemos la medida multifractal como en

(3) para dimensiones box-counting :

Md(q, δ) =

NT∑i=1

P qi δd = N(q, δ)δd. (10)

Donde d es tal que la medida no es 0 ni ∞ cuando δ → 0, ¶i

es la masa o probabilidad de ubicarse en la i-esima celda, y

q ∈ R es el momento estadıstico, i.e. si q = 2 es la varianza,

si q = 3 es la curtosis.

Donde la probabilidad de ubicarse en una celda δ es

Pi(δ) =Ni(δ)

NT

, (11)


y escala con la anomalıa

Pi(δ) ∼ δαi (12)

que, analogamente a lo que ocurre en (4), cumple con

N(α) ∼ δ−f(α) (13)

Muy bien, pero... en realidad esa cosa ¿que hace? .


Calcula una dimension fractal para

cada momento estadısitico.


Figura 12: Momentos Estadısticos del Retorno del IGBVL.


• Esa familia de dimensiones se grafica mediante el espectro

multifractal .

• Donde a cada dimension se le asocia un tipo de singularidad .

• Y el tipo de singularidad es medido por exponentes de Holder (α) .


De manera mas formal, los exponente de Holder (α) se calculan

localmente mediante

Definicion 3.1 (Exponentes de Holder Punto a Punto) El

exponente de Holder punto a punto de una funcion f(x) es el supremo

de los exponentes de Lipschitz αL de x tales que:

|f(x)− Pn(x− x0)| < C|x− x0|αL (14)

donde C es una constante y Pn es un polinomio de grado n. Siendo

αL(x) = sup{αL : f(x) ∈ CαLx } (15)


De hecho, siguiendo Chhabra (1989) se puede encontrar una solucion

cerrada para el espectro multifractal en funcion de los exponentes de

Holder mediante:

f(α(q)) = qα(q)− τ(q) (16)

con

α(q) =dτ(q)dq

, (17)

siendo

τ(q) = (q − 1)Dq (18)

y para

Dq = limδ→0

1q − 1

ln∑N(δ)

i=1 (δ)ln δ

(19)


Y para senales financieras , esto se ve mas o menos ası...


0.99 1 1.01 1.02

0.89

0.9

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1 1.05 1.1

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

MERVAL SEIBOVESPA SE

IGBVL SE

Figura 13: Espectros Multifractales de los retornos del MERVAL, IBOVESPA e IG-

BVL


4 Indicador de Crisis y Resultados

Empıricos


Objetivo : encontrar un patron que anteceda la crisis.

Metodo (Parte 1): Seleccion del Lıder.

• Realizar el computo de espectros multifractales localmente , i.e.

hacer rolling windows de 1000 observaciones y calcular los espectros

para incrementos de una observacion.

• Recoger estadısticos de los espectros (media, varianza, mınimo,

maximo, etc.)

• Seleccionar un estadıstico lıder que anteceda la crisis.

• Desarrollar un criterio de deteccion para el estadıstico lıder.


Primero, hagamos una inspeccion preliminar de los datos.

Tabla 1: Inspeccion de los Datos

Indice Periodo Pre-crisis Periodo de Crisis

MERVAL 10/19/89 - 04/06/94 04/07/94 - 03/31/00

IBOVESPA 01/02/89 - 07/05/93 07/06/93 - 08/02/99

IGBVL 01/30/87 - 06/27/91 06/28/91 - 07/01/97


E identifiquemos los periodos de Crisis

Tabla 2: Dıas Importantes de la Crisis

Dates Data Points

Indice Contagio– Climax Tequila–Contagio–Climax

MERVAL 12/21/94–01/10/95 178 – 179 – 192

IBOVESPA 12/21/94–01/10/95 363 – 364 – 377

IGBVL 01/09/95–01/10/95 864 – 878 – 879


0 250 500 750 1000 1250 15000.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Min HMax HInf H

Tequila Effect

Figura 14: Trayectorias Multifractales en MERVAL.


200 400 600 800 1000 1200 14000.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5Min HMax HInf H

Tequila Effect

Figura 15: Trayectorias Multifractales en IBOVESPA.


200 400 600 800 1000 1200 1400

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Max HMin HInf H

Tequila Effect

Figura 16: Trayectorias Multifractales en IGBVL.


Metodo (Parte 2): Construccion del Indicador.

• Se modela el indicador seleccionado con una media movil .

• Se estima el error del modelo.

• Se colocan bandas al error.

• Se dice que viene una crisis si se da un cruzamiento hacia arriba

(con o sin movimiento pendular).


200 400 600 800 1000 1200 1400−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15Min HSup BandInf Band

15 46 104 179 192−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12


A

B

C

D

E

Figura 17: Indicador de Crisis en MERVAL.


200 377 600 800 1000 1200 1400−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1Min HSup BandInf Bamd

270 302 364 377−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08Min HSup BandInf Bamd

A

B

C

D

Figura 18: Indicador de Crisis en IBOVESPA.


200 400 600 800 1000 1200 1400−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05


636 720 864 879−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05


A

BBD

E

Figura 19: Indicador de Crisis en IGBVL.


Veamos algunos resultados

Tabla 3: CSI Empirical Results

Index Crossing Date Crossing Point

MERVAL 09/05/94 104

IBOVESPA 09/20/94 302

IGBVL 01/03/95 874

5 Conclusiones 56

5 Conclusiones

5 Conclusiones 57

• Existe un patron aparente en la trayectoria de exponente de Holder

mınimos en MERVAL, IBOVESPA, e IGBVL.

• Esos patrones aparecen como saltos hacia arriba aproximadamente

60 dıas antes de que ocurriera la crisis mexicana.

• Estos cambios se pueden capturar mediante el indicador de alerta

CSI.

• Los saltos hacia arriba implican un incremento extrano en la

regularidad del proceso (como con las olas) que antecede el caos.

• La validacion del metodo esta condicionada a la experimentacion

con un mayor numero de paıses y con otras crisis.

Referencias 58

Referencias

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Journal of Mathematical Physics. Vol. 39. N. 8, 1998.

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Acta Physica Polonica B. Vol. 36, N. 8, 2005.

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Gait Rhythm Fluctuations. Physica A 302, 2001.

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Pacıfico, Centro de Investigacion, 2003.

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[11] A. Shiryaev: Essentials of Stochastic Finance: Facts, Models, Theory. Advanced

Series on Statistical Science & Applied Probability, 3, 1999.

[12] R. Yalamova et al.: Multifractal Spectral Analysis of the 1987 Stock Market

Crash. Ken State University, Department of Finance, 2004.

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