Integrali curvilinei

Universita di Brescia

Analisi Matematica B

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Verso di percorrenza

In generale vale la seguente regola: se γ : [a, b]→ Rn e una curva er : [c , d ]→ Rn e una sua riparametrizzazione con ϕ : [c , d ]→ [a, b], cioe

r(s) = γ(ϕ(s)), s ∈ [c , d ], allora

1 γ e r hanno lo stesso verso di percorrenza se ϕ : [c , d ]→ [a, b] ecrescente, cioe r e una riparametrizzazione concorde di γ.

2 γ e r hanno i versi di percorrenza opposti se ϕ : [c, d ]→ [a, b] edecrescente, cioe r e una riparametrizzazione discorde di γ.

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Esempio

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Esempio

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Integrali curvilinei per campi scalari

Definizione (Integrale curvilineo di un campo scalare)

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare continuo. Siainoltre γ : [a, b]→ Rn una curva regolare a tratti tale che γ([a, b]) ⊂ Ω.Chiamiamo integrale curvilineo di f lungo γ la quantita∫

γf :=

∫ b

af (γ(t)) ‖γ′(t)‖ dt.

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Osservazioni

Per f ≡ 1 si ha ∫γf = L(γ).

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Interpretazione geometrica

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Applicazioni

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Esempio

Sia f : R2 → R il campo scalare definito da

f (x , y) = 2x2 + xy + y2,

e sia γ : [0, 1]→ R2

γ(t) = (t, 2t) t ∈ [0, 1].

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Esempio

Sia f : R2 → R il campo scalare definito da

f (x , y) =y2

x2 + y2

e sia γ : [0, π]→ R2

γ(t) = (cos t, sin t) t ∈ [0, π].

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Dalla definizione dell’integrale curvilineo per campi scalari e dalle proprietadell’integrale di Riemann segue

Teorema (Proprieta di integrali curvilinei per campi scalari)

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e siano f , g : Ω→ R due funzioni continue. Siainoltre γ : [a, b]→ Rn una curva regolare a tratti tale che γ([a, b]) ⊂ Ω.Valgono le seguenti proprieta:

1 Linearita : per ogni α, β ∈ R∫γ

(α f + β g) = α

∫γf + β

∫γg .

2 Additivita : se γ = γ1 ∪ γ2, allora∫γf =

∫γ1

f +

∫γ2

f

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Teorema (Invarianza per riparametrizzazione)

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare continuo. Sianoinoltre γ : [a, b]→ Rn una curva di classe C 1([a, b]) a valori in Ω er : [c , d ]→ Rn una riparametrizzazione di γ. Allora vale∫

γf =

∫rf

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Dimostrazione

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Integrali curvilinei per campi vettoriali

Definizione (Integrale curvilineo di un campo vettoriale)

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia F : Ω→ Rn un campo vettoriale continuo. Siainoltre γ : [a, b]→ Rn una curva regolare a tratti tale che γ([a, b]) ⊂ Ω.Chiamiamo integrale curvilineo di F lungo γ la quantita∫

γF :=

∫ b

aF (γ(t)) · γ′(t) dt.

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Scrivendo F (x) = (F1(x), . . . ,Fn(x)) e γ(t) = (γ1(t), . . . , γn(t)) si ha∫γF =

∫ b

a

n∑j=1

Fj(γ(t)) γ′j(t) dt

Se γ e una curva chiusa, allora scriviamo∮γF

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Esempio

Sia F : R2 → R2 il campo vettoriale definito da

F (x , y) = (xy ,−y)

e sia γ : [0, 1]→ R2 la curva data da

γ(t) = (t, t2) t ∈ [0, 1].

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Nel modo del tutto analogo al caso di campi scalari si ottiene

Teorema (Proprieta di integrali curvilinei per campi vettoriali)

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e siano F ,G : Ω→ Rn due campi vettorialicontinui. Sia inoltre γ : [a, b]→ Rn una curva regolare a tratti tale cheγ([a, b]) ⊂ Ω. Valgono le seguenti affermazioni:

1 Linearita : per ogni α, β ∈ R∫γ

(αF + β G ) = α

∫γF + β

∫γG .

2 Additivita : se γ = γ1 ∪ γ2, allora∫γF =

∫γ1

F +

∫γ2

F

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Teorema (Riparametrizzazione per integrali di campi vettoriali)

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia F : Ω→ Rn un campo vettoriale continuo.Siano inoltre γ : [a, b]→ Rn una curva di classe C 1([a, b]) a valori in Ω.Sia r : [c , d ]→ Rn una riparametrizzazione di γ; cioe

r(s) = γ(ϕ(s)) s ∈ [c , d ]

dove ϕ : [c , d ]→ [a, b] e una funzione biettiva derivabile .

1 Se r e concorde di γ (ϕ e crescente), allora∫γF =

∫rF .

2 Se r e discorde di γ (ϕ e decrescente), allora∫γF = −

∫rF .

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Dimostrazione:

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Esempi:

∫γF con

F (x , y) = y2~i1 + x~i2,

~r1(t) = t~i1 + t~i2, t ∈ [0, 1]

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∫γF con

F (x , y) = y2~i1 + x~i2,

~r2(t) = t~i1 + t2~i2, t ∈ [0, 1]

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∫γF con

F (x , y) = y2~i1 + x~i2,

~r3(t) =√t~i1 + t~i2, t ∈ [0, 1]

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∫γF con

F (x , y) = y2~i1 + x~i2,

~r4(t) = (1− t)~i1 + (1− t)~i2, t ∈ [0, 1]

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