ANALISI DINAMICA CON IL MEF Principali tipi di analisi • analisi … Didattico/201… ·...

ANALISI DINAMICA CON IL MEF

Principali tipi di analisi

• analisi modale

li i d ll i t i• analisi della risposta armonica

• analisi di transitorio dinamico• analisi di transitorio dinamico

AccelerazioneESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/1

i kAccelerazione

Contributo inerzia

{ }v&&ρ{ } { }eTe LLPUL δ

j{ } { } si

eeest LLPUL ++= δ

C ibyv&&ρ

xy

{ } { }T dVdL &&δ

Contributo smorzamentoxv&&ρ

{ } { }{ } { } { } [ ] [ ]{ }∫∫ =−=−=

−=eTTeT

i

i

dVUNNUdVvvL

dVvvdL&&&& ρδρδ

ρδ

{ } { } { } [ ] [ ]{ }

{ } [ ] [ ] { }∫

∫∫

−= eTTe

VVi

UdVNNU &&ρδ

ρρ

{ } [ ] [ ] { }∫V

UdVNNU ρδ

SmorzamentoESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/2

i kSmorzamento

Contributo inerzia

{ }vc &{ } { }eTe LLPUL ++δ

j{ } { } si

eeest LLPUL ++= δ

C ibyvc &

xy

{ } { }T dVdL &δ

Contributo smorzamentoxvc &

{ } { }{ } { } { } [ ] [ ]{ }∫∫ =−=−=

−=eTTeT

s

Ts

dVUNNUdVvvL

dVvcvdL&&

&

ρδρδ

δ

{ } { } { } [ ] [ ]{ }

{ } [ ] [ ] { }∫

∫∫

−= eTTe

VVs

UdVNNU &ρδ

ρρ

{ } [ ] [ ] { }∫=V

UdVNNU ρδ

ESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/3

{ } { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { }e

V

Te

V

TeTe UdVNNUdVNcNPU ∫∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− ρδ &&&

{ } [ ] [ ][ ] { }e

V

TTe

VV

UdVBDBU ∫=

⎠⎝

δV

[ ]{ } [ ] { } [ ] { } { }eeeeeee PUKUCUM =++ &&&

∫

[ ]{ } [ ] { } [ ] { } { }PUKUCUM =++

[ ] [ ]dVNcNV

T∫[ ] [ ]dVNNV

T∫ ρ

[ ]{ } [ ] { } [ ] { } { }FUKUCUM =++ &&&[ ]{ } [ ] { } [ ] { } { }

ESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/4

Equazione di equilibrio dinamico

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tFUKUCUM ++ &&&[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tFUKUCUM =++

Spostamenti nodaliAccelerazioni nodali

Velocità nodali

Spostamenti nodaliAccelerazioni nodali

Matrice di rigidezza

F tM t i di t

Matrice di massa

Forze esterneMatrice di smorzamento

FORMULAZIONE DELLA MATRICE DI MASSA/1

Matrice di massa “consistent”: [ ] [ ] [ ]∫= dVNNM Te ρ

⎥⎤

⎢⎡

NN11

00Elemento

triangolare

• simmetrica• sostanzialmente piena

[ ] [ ] =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

=∫∫ dVNNN

NNNN

NN

dVNN T

151311

151311

13

13

11

000000

00

0

ρρ

gpiano

⎤⎡

⎦⎣

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

∫∫∫N

N151311

15

15

13

00

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫

dVNNdVNdVNN

dVNNdVNNdVN

dVNNdVNNdVN

215111311

211

151113112

11

000

000

000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢=

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫

dVNdVNNdVNN

dVNNdVNdVNN

dVNNdVNdVNN

21515131511

15132

131311

1513131311

000

000

000ρ

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ ∫∫∫

∫∫∫dVNdVNNdVNN 2

1515131511

1515131511

000


Matrice di massa “lumped”: la massa viene concentrata nei nodi in qualche modo fisicamente accettabile (di solito ovvio per gli elementi con nodi nei vertici, meno ovvio per quelli con nodi intermedi), in modo che risulti:

m/3∫∑ = dVM

jj ρ

m/4

m/4

m/3 /4

• la struttura della matrice di

m/3m/4

m/4⎤⎡X 00000• la struttura della matrice di

massa è diagonale[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎡

=X

XX

M000000000000000

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣ XX00000

00000


5

10

01 2 3 4 5 6 7 8 9

cent

uale

-10

-5

Erro

re p

erc

ConsistentLumped

20

-15

Trave appoggiata, 10 elementi

• La formulazione “consistente” produce errori minori in valore assoluto• Le matrici “consistente” e “lumped” tendono a produrre rispettivamente

-20

Modo proprio

Trave appoggiata, 10 elementi

• Le matrici consistente e lumped tendono a produrre rispettivamente una sovrastima ed una sottostima delle pulsazioni proprie• La struttura diagonale può risultare molto vantaggiosa in alcune soluzioni iterative (es. analisi di transitorio) in quanto non richiede inversioneiterative (es. analisi di transitorio) in quanto non richiede inversione

ANALISI MODALE/2Si propone di determinare le pulsazioni proprie di una struttura e le relative

Analizza le oscillazioni libere della struttura, in assenza dei carichi esterni

Si propone di determinare le pulsazioni proprie di una struttura e le relative forme modali.

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tFUKUCUM ++ &&&

Effetto dello smorzamento solitamente molto piccolo

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tFUKUCUM =++

[ ]{ } [ ]{ } 0+ UKUM &&[ ]{ } [ ]{ } 0=+ UKUMc k

k ξωωω 1 2

m

nsn

hiP

m

ξ

ξωωω −==

9950%)10(10

1

xnshasiPer ωωξ ⋅== 995.0%)10(1.0

ANALISI MODALE/3S O /3

Calcolo delle pulsazioni proprie

[ ]{ } [ ]{ } 0=+ UKUM &&

{ } { } ( )tU ⋅= ωφ sin

{ } { } ( ){ } { } ( )

tU ⋅= ωφω cos2&&

&

{ } { } ( )tU ⋅−= ωφω sin2&&

[ ]{ } ( ) [ ]{ } ( ) 0sinsin2 =⋅+⋅− tKtM ωφωφω

ANALISI MODALE/4S O /

Calcolo delle pulsazioni proprie

[ ]{ } ( ) [ ]{ } ( ) 0sinsin2 =⋅+⋅− tKtM ωφωφω

[ ] [ ]( ){ } 02 =− φω MK

Sistema lineare omogeneo nelle incognite { }φ

[ ] [ ]( ) { }⎩⎨⎧

∞=≠

−solu ioni

soluzioneMK

0010

det 2 φω( )

⎩ ∞= soluzioni0


[ ] [ ]( ){ } 02 =− φω MK[ ] [ ]( ){ } 0φω MK

[ ] [ ]( ) 0det 2 =− MK ω[ ] [ ]( ) 0det MK ω

( ) ( ) ( ) 0222122 =+⋅++⋅+⋅+−− nnn aaaa ωωωω( ) ( ) ( ) 0... 121 =+⋅++⋅+⋅+ − nn aaaa ωωωω

R di iRadici

ni ωωωωω ≤≤≤≤≤ ......321 ni321

{ } { } { } { } { }ni φφφφφ ......321 Forme modali{ } { } { } { } { }ni φφφφφ 321


[ ] [ ]( ){ } 02 =− φω MK i[ ] [ ]( ){ }φωi

1 i i i di d ti n incogniten-1 equazioni indipendenti g

1∞ soluzioni

⎪⎫

⎪⎧ iϕ 1

Le componenti della forma modale sono note a meno di una costante

Rappresentano solo la forma della deformata

{ } ⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

⎨=iϕ

φ2

Rappresentano solo la forma della deformata, non i valori effettivi degli spostamenti

⎧ =1max ijϕ{ }

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨=iφ

Normalizzazioni tipiche

{ } [ ]{ }⎪

⎪⎨

⎧ 1max

T

ijϕ

⎪⎪⎭⎪

⎪⎩ inϕ { } [ ]{ }⎪

⎩ =1iT

i M φφ

ANALISI MODALE/7S O /

Struttura reale(continuo)

Modello ad EF(di ti t )(continuo) (discretizzato)

∞ l i i i∞ pulsazioni proprie n gradi di libertà

l i i in pulsazioni proprie

Relazione ?

ANALISI MODALE/8S O /8Tipico andamento spaziale delle Forme modali

Trave appoggiata 10 elementiTrave appoggiata, 10 elementi

1° modo2° modo5° modo9° modoodo

1 solo elemento: rappresentazione poco pp paccurata del campo di velocità ed

accelerazione

ANALISI MODALE/9S O /9Trave appoggiata, 10 elementi

8 00E+00

9.00E+00

6.00E+00

7.00E+00

8.00E+00

e

Modi calcolati in modo accurato ≈ n° g.d.l./2

3.00E+00

4.00E+00

5.00E+00

Erro

re p

erce

ntua

le

0.00E+00

1.00E+00

2.00E+00

E

-1.00E+001 2 3 4 5 6 7 8 9

Modo proprio

SIMMETRIA STRUTTURALE/1Se si usano considerazioni di simmetria per ridurre le dimensioni di un modello siSe si usano considerazioni di simmetria per ridurre le dimensioni di un modello,si otterranno solo i modi propri le cui forme modali rispettano la stessa simmetria.

SIMMETRIA STRUTTURALE/2Se si utilizza l’assialsimmetria si ottengono solo i modi con formaSe si utilizza l assialsimmetria, si ottengono solo i modi con forma

assialsimmetrica

Modello conModello conelementi piani

assialsimmetrici

φ=0.5 m

1° modo proprioDeformata assiale

f = 260 Hz

m

φs=0.01 m

5 m

SIMMETRIA STRUTTURALE/3Se si utilizza l’assialsimmetria si ottengono solo i modi con formaSe si utilizza l assialsimmetria, si ottengono solo i modi con forma

assialsimmetrica

Modello conelementi trave

φ=0.5 m

1° modo proprioDeformata flessionale

f = 20 Hz

elementi trave

m

φs=0.01 m

5 m

UNITÀ DI MISURA/1È preferibile usare il sistema m k sÈ preferibile usare il sistema m.k.s

mkgN ⋅=

mk

=ωmsm ⋅

= 2

kgsskgmsmkg 111

22 ==⋅⋅⋅

m kgsskgms ⋅

mkgN ⋅= 2

mk

=ωmmsmm ⋅2

kg3

22 10110001sskgmms

mkg==⋅

⋅⋅

g

ANALISI RIDOTTA/1

Nell’analisi ridotta, lo stato di spostamento, velocità ed accelerazione della struttura viene espresso in termini di un sottoinsieme dei nodi (Nodi “Master”). Gli spostamenti dei nodi rimanenti (Nodi “Slave”) sono quindi calcolati a partireGli spostamenti dei nodi rimanenti (Nodi Slave ) sono quindi calcolati a partire da quelli dei nodi Master.L’analisi ridotta può essere applicata anche in capo statico, per ridurre l’onere computazionale dell’analisi.p

{ } { }{ }⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

= M

UU

U { } { }{ }⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

= M

FF

Fg.d.l. “Master”

g.d.l. “Slave”{ }⎭⎩ SU { }⎭⎩ SF

[ ]{ } { }FUK =[ ]{ } { }FUK =

[ ] [ ] { } { }⎫⎧⎫⎧⎤⎡ FUKK[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

{ }{ }⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

S

M

S

M

SSSM

MSMM

FF

UU

KKKK

ANALISI RIDOTTA/2

[ ]{ } [ ]{ } { }[ ]{ } [ ]{ } { }⎩

⎨⎧

=+=+

SSSSMSM

MSMSMMM

FUKUKFUKUK

[ ]{ } [ ]{ } { }⎩ SSSSMSM

{ } [ ] { } [ ]{ }( )SSSSS UKFKU −= −1{ } [ ] { } [ ]{ }( )MSMSSSS UKFKU =

[ ]{ } [ ][ ] { } [ ]{ }( ) { }[ ]{ } [ ][ ] { } [ ]{ }( ) { }MMSMSSSMSMMM FUKFKKUK =−+ −1

[ ] [ ][ ] [ ]( ){ } { } [ ][ ] { }SSSMSMMSMSSMSMM FKKFUKKKK 11 −− −=−

[ ]{ } { }FUK Mˆˆ = { } [ ] { }FKUM

ˆˆ 1−=

ANALISI RIDOTTA/3

Introducendo la suddivisione tra “Master” e “Slave” nell’equazione di equilibrio dinamico si ottiene:

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ } +

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ M

SSSM

MSMMM

SSSM

MSMM

UU

CCCC

UU

MMMM

&

&

&&

&&

[ ] [ ] { } [ ] [ ] { }[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

{ }{ }⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎩⎦⎣⎭⎩⎦⎣

MMMSMM

SSSSMSSSSM

FF

UU

KKKK

UCCUMM

[ ] [ ] { } { }⎭⎩⎭⎩⎥⎦

⎢⎣ SSSSSM FUKK

La riduzione delle matrici di massa e smorzamento ai soli g.d.l. “Master” gnon può essere fatta in modo esatto, come per la matrice di rigidezza.Si usa pertanto una formula di riduzione semplificata ed approssimata proposta da Guyan (”Guyan reduction”)y ( y )

ANALISI RIDOTTA/4

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }FUKUCUM MMMˆˆˆˆ =++ &&&

Si ottiene in tal modo:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }MMM

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]SMSSSSSSMS

SMSSMSSMSSMSMM

KKMKK

KKMMKKMM11

11ˆ−−

−−

+

+−−=

[ ][ ] [ ][ ] [ ]SMSSSSSSMS KKMKK+

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]SMSSMSSMSSMSMM KKCCKKCC 11ˆ −− +−−=[ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]SMSSSSSSMS KKCKK 11 −−+

ANALISI RIDOTTA/5

Criteri di selezione dei g.d.l. “Master” (MDOF):

• i MDOF devono essere in numero almeno doppio dei modi da estrarre

• scegliere i MDOF nelle direzioni in cui si vuole analizzare le vibrazioni della struttura

• scegliere i MDOF in punti della struttura caratterizzati da bassa rigidezza / l te/o elevata massa

• scelta automatica: si basa sul rapporto: iii m

kQ =iim

Verifica qualità analisi:Verifica qualità analisi: • la massa ridotta deve differire da quella totale per non più del 10-15%• studio di convergenza al variare del numero di MDOF

ANALISI RIDOTTA/6

Principali algoritmi di estrazione di autovalori ed autovettori (ANSYS) :

Algoritmo N° modi N° g.d.l. modello

Velocità RAM Hard disk

Note

Block Elevato Elevato Elevata Media Bassa Shell o shell+solid.Lanczos Elementi distorti

Subspace Basso Elevato Media Bassa Elevata Elementi non iteration distorti

Power Dynamics

Basso Elevato Elevata Elevata Bassa Richiede mesh finiDynamics

Reduced Tutti Medio- Elevata Bassa Bassa Usa MDOF(Householder)

piccolo

ANALISI RIDOTTA/7

Potenziali applicazioni dell’analisi ridotta:

• riduzione degli oneri computazionali dell’analisi

• riduzione del numero di g.d.l. attivi nell’analisi modale, rispetto a quella statica, pur utilizzando un unico modello

• in modelli semplici, separazione dell’effetto dei diversi g.d.l. nodali (es. in una trave si possono analizzare separatamente i modi flessionali,

t i li t )estensionali, etc.)

COMANDI ANSYS/1ANALISI NON RIDOTTA

/SOLUANTYPE, MODAL Definisce il tipo di analisi richiesta

MODOPT, Method, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey

- LANB Block-Lanczos (Default)- SUBSP Subspace Frequenza iniziale ep- …..

Frequenza iniziale e finale per la ricerca dei modi

N° modi da estrarre(per SUBSP, al massimo n° g.d.l./2)

• OFF: forme modali normalizzate su [M]

• ON: forme modali normalizzate al valore 1

Per Power Dynamics:•MODOPT SUBSP•MODOPT,SUBSP•EQSLV,PCG

COMANDI ANSYS/2ANALISI RIDOTTA

LUMPM, OPZ Attiva la matrice di massa “Lumped”

OFF: matrice “consistent” (default)ON: matrice “lumped” (deafult per “Power Dynamics”)

/POST1SET LIST Gli “ ” di i hi ti i “ ” b t d lSET,LIST Gli “n” modi richiesti compaiono come “n” substep del

Load step 1

SET 1 n Carica il modo “n”SET,1,n Carica il modo n

PLDISP, PRDISP Rappresentano la deformata


/SOLUANTYPE, MODAL Definisce il tipo di analisi richiesta

MODOPT, REDUC, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey

M, Node, Lab1, …

SOLVENodo in cui mettere il MDOFSOLVE

g.d.l. da usare come MDOF:-UX, UY, UZ-ROTX, ROTY, ROTZ-ALL


FINISH Esce dalla soluzione/SOLU Rientra nella soluzione per il passo di “espansione”EXPASS ON Atti il di iEXPASS,ON Attiva il passo di espansione

MXPAND, NMODE, FREQB, FREQE, Elcalc, SIGNIF

N° di modi da estrarre(al massimo, tutti quelli indicati in MODOPT)

F i i i l

SOLVE

Frequenza iniziale e finale per la ricerca dei modi

OFF: non calcola i risultati completi per gli elementi (default)ON: calcola i risultati completi per gli elementi

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA

SCOPO: Valutare la risposta del sistema in presenza di una forzante esterna di tipo sinusoidale ed ampiezza costante nel tempo.

F0(t)=A0 cos(Ωt)

F1(t)=A1 cos(Ωt+Φ)

Su di una struttura, la “forzante” è in generale costituita da una o più forze esterne, aventi tutte la stessa pulsazione, ma ampiezza e fase distinte.

Se si applica la forzante a partire dall’istante t=0 con la struttura inizialmente


Se si applica la forzante a partire dall istante t=0, con la struttura inizialmente a riposo, la risposta mostra un transitorio iniziale, che si esaurisce dopo un certo tempo, dopodiché la struttura oscilla con ampiezza costante.

10

20

N]

Forza applicata

F(t)=F0 cos(Ωt)

0 5 10 15 20 25 30

10

Fors

a [N

( ) 0 ( )

δ20

0.06

Oscillazione di un sistema con partenza

δ

0.02

0.04

stam

ento

[m]

Oscillazione di un sistema con partenzaa riposo a t=0

0 5 10 15 20 25 30

0.04

0.02

Spos

Tempo [s]Transitorio Analisi risposta armonica


Ipotesi: comportamento lineare della struttura ([M], [C] e [K] costanti)

I vari g d l della struttura vibrano con una legge del moto avente:I vari g.d.l. della struttura vibrano con una legge del moto avente:• andamento nel tempo di tipo sinusoidale• pulsazione uguale a quella della forzante• ampiezza e fase variabili da punto a punto

10

N)x1

x3

• ampiezza e fase variabili da punto a punto

0 2 4 6 8 10 12

10

Forz

a (k

N1

x2 10

tempo (s)10x1x2

mm

)

2

0 2 4 6 8 10 12

x3Sp

osta

men

to (m

10

tempo (s)


[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })(tFUKUCUM =++ &&&

( )( )⎪

⎪⎫

⎪⎪⎧

+Ω⋅+Ω⋅

tftf

ψψ

coscos

2max2

1max1

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⋅⋅⋅⋅

Ω

Ω

tii

tii

eefeef

ψ

ψ

max2

max12

1

{ }⎪

⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪

⎨ −−

=tF )(⎪

⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪

⎨ −−

=

f max2

{ } tii eef Ω⋅= ψmax

( )

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

−+Ω⋅ jj tf ψcosmax

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

−⋅⋅ Ωtii

j eef jψmax

{ }fmax

⎪⎭

⎪⎩ − ⎪

⎭⎪⎩ −

{ } { } ( ){ } titii eifeeftF ΩΩ ⋅+=⋅= )sin()cos()( maxmax ψψψ

{ }ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA

{ } { } tiiiU ΩΩ ϕ)(&

{ } { } ( ){ } titii eiueeutU ΩΩ ⋅+=⋅= )sin()cos()( maxmax ϕϕϕ

{ } { } tii eeftF Ω⋅= ψmax)(

{ } { } tii eeuitU Ω⋅Ω= ϕmax)(

{ } { } tii eeutU Ω⋅Ω−= ϕ2)(&&{ } { }eeutU Ω max)(

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })(tFUKUCUM =++ &&&

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } tiitiitiitii eefeeuKeeuCieeuM ΩΩΩΩ =+Ω+Ω− ψϕϕϕmaxmaxmaxmax

2

[ ] [ ]( ) [ ]( ){ } { }ψϕ ii efeuCiMK maxmax2 =Ω+Ω−[ ] [ ]( ) [ ]( ){ } { }fC maxmax

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MD

Principali tecniche di soluzione:• Metodo diretto

M t d di i i d l• Metodo di sovrapposizione modale

Soluzione: metodo diretto (MD)

[ ] [ ]( ) [ ]( ){ } { }ψϕ ii efeuCiMK maxmax2 =Ω+Ω−[ ] [ ]( ) [ ]( ){ } { }fmaxmax

[ ]{ } { }ψϕ iic efeuK maxmax =

{ } [ ] { }ψϕ ic

i efKeu max1

max−=

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM

Soluzione: metodo di sovrapposizione modale (MSM)

Proprietà modi propri { }ΦProprietà modi propri { }jΦ• i modi propri sono ortogonali rispetto alle

matrici [M] e [K]{ } [ ]{ }

⎩⎨⎧

=≠≠=

ΦΦkjsekjse

M jTk 0

0

• i modi propri costituiscono una base di vettori linearmente indipendenti

{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)(

j

{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)( &&

=j 1

{ } { } ( )∑ Φ=MPn

jj tYtU )( &&&&{ } { } ( )∑=j

jj1


{ } { } ( )∑∞

=

Φ=1

)(j

jj tYtU{ } { } ( )∑∞

=

Φ=1

)(j

jj tYtU &&{ } { } ( )∑∞

=

Φ=1

)(j

jj tYtU &&&&

{ } { }[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })(tFUKUCUM =++ &&&

[ ] { } [ ] { } [ ] { } { })(tFYKYCYM jjjjjj =Φ+Φ+Φ ∑∑∑ &&&j

jjj

jjj

jj ∑∑∑

⎞⎛{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { } { } { })(tFYKYCYM Tk

jjj

jjj

jjj

Tk Φ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ+Φ+ΦΦ ∑∑∑ &&&

⎠⎝


{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { } { } { })(tFYKYCYM Tk

jjj

jjj

jjj

Tk Φ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ+Φ+ΦΦ ∑∑∑ &&&

jjj ⎠⎝

{ } [ ]{ } ⎨⎧ ≠=

ΦΦkjse

MT 0 { } [ ]{ } ⎨⎧ ≠=

ΦΦkjse

KT 0{ } [ ]{ }⎩⎨ =≠

ΦΦkjse

M jk 0{ } [ ]{ }

⎩⎨ =≠

ΦΦkjse

K jk 0

{ } [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ]{ } { } { })(tFYKYCYM Tkkk

Tk

jjj

Tkkk

Tk Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ ∑ &&&


{ } [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ]{ } { } { }TTTT ∑ &&&{ } [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ]{ } { } { })(tFYKYCYM Tkkk

Tk

jjj

Tkkk

Tk Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ ∑ &&&

Ipotesi aggiuntiva: smorzamento proporzionale (di Rayleigh) o costante

[ ] [ ] [ ] [ ]IKMC δβα ++= La matrice di smorzamento deve avere

{ } [ ]{ } ⎨⎧ ≠=

ΦΦkjse

C jTk

0

[ ] [ ] [ ] [ ]IKMC δβα ++anch’essa una forma che garantisca la normalità rispetto ad essa delle forme modali.N i d i{ } [ ]{ }

⎩⎨ =≠

ΦΦkjse

C jk 0 Non sono ammessi, ad esempio, smorzatori “localizzati”.

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { })(tFYKYCYM Tkkk

Tkkk

Tkkk

Tk Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ &&&


{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { })(tFYKYCYM Tkkk

Tkkk

Tkkk

Tk Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ &&&

Normalizzazione [ ] [ ]( ){ } 02 =Φ− kk MK ω

{ } [ ]{ } 1=ΦΦ kTk M

{ } [ ] [ ]( ){ } 02 =Φ−Φ kkTk MK ω

{ } [ ]{ } kkkTk YYM &&&& =ΦΦ { } [ ]{ } { } [ ]{ } 02 =ΦΦ−ΦΦ k

Tkkk

Tk MK ω{ } [ ]{ } kkkk { } [ ]{ } { } [ ]{ } 0ΦΦΦΦ kkkkk MK ω

{ } [ ]{ }T YYK 2ΦΦ{ } [ ]{ } kkkkk YYK 2ω=ΦΦ

{ } [ ]{ } { } { })(2 tFYYCY Tkkkkk

Tkk Φ=+ΦΦ+ ω&&&


{ } [ ]{ } { } { })(2 tFYYCY Tkkkkk

Tkk Φ=+ΦΦ+ ω&&&

{ } [ ]{ } { } [ ] [ ] [ ]( ){ } =Φ++Φ=ΦΦ kTkk

Tk IKMC δβα

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } ( )TTT IKM δβδβ 2 ++ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } ( )kkkkkkkk IKM ωδβωαδβα 12 ++=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=

Sistema 1 gdl: ( )tFkxxcxm Ω=++ cos0&&&Sistema 1 gdl:

( )tmFxxxx

mkx

mcx nn Ω=++=++ cos2 02ωξω &&&&&&

( )tFkxxcxm Ω++ cos0

{ } [ ]{ } kkkTk C ωξ2=ΦΦ

( )kkk ω

ωδβωωαξ 1++=

kk ωω

{ } { })(2 2 tFYYY TΦ=++ ωωξ &&& { } { })(2 tFYYY kkkkkkk Φ=++ ωωξ


{ } { } kTkkkkkkk ftFYYY =Φ=++ )(2 2ωωξ &&&

( ) iii ΩΩ Ω( ) tikc

tiikk efeeff k ΩΩ == ψ

max,

tikck

tikck

eYiY

eYYΩ

Ω

Ω=

=&

tikck eYY ΩΩ−= 2&&

tikc

tikck

tikckk

tikc efeYeYieY ΩΩΩΩ =+Ω+Ω− 22 2 ωωξ

( ) kckckkk fYi =Ω+Ω− ωξω 222

( )= kcfY ( ) Ω+Ω−=

kkkkc i

Yωξω 222


( )22 2=

Ω+Ω−=

kkk

kckc i

fYωξω

15

RISPOSTA ARMONICA( )

2

2

=

Ω+Ω

k

kc

kkk

fi

ω

ωξω10

LITU

DE

[mm

] RISPOSTA ARMONICA

|Y |22

2

2

21 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω−

=

kk

k ωξ

ω

5AM

PL

|Y1c |

|Y2c ||U|

⎠⎝⎠⎝

0 500 1000 1500 2000 25000

EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]ω1 ω2 ω3 ω4 ω5

{ } { } { } inn

iMPMP

ΩΩ ⎟⎞

⎜⎛∑∑

Q [ ]

{ } { } { } ti

kkck

k

tikck eYeYtU Ω

==

Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ=Φ= ∑∑

11

)(

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI

30

Forzanti: le forzanti esterne agenti sulla struttura hanno generalmente un andamento nel tempo di tipo periodico, ma non armonico.

10

20

30

0 5 10 15 20 25 30

10

Forz

a (k

N)

20

10F

30

tempo (s)

T T

p ( )

Per determinare il loro effetto sulla struttura è quindi necessario:• scomporre la forzante in una somma di funzioni armoniche (serie di Fourier)p ( )• ottenere la risposta complessiva tramite la sovrapposizione degli effetti


=Ω02Tπ

( )∑∞

=

+Ω⋅+=1

00 cos)(h

hh thAAtF

T

λ ( )∑=

+Ω⋅+≅Fn

hhh thAA

100 cos λ

20

30

=1h =h 1

10

a (k

N)

0 5 10 15 20 25 30

20

10Forz

30 T T

tempo (s)


Andamento tipico delle ampiezze delle diverse armoniche eccitatrici con il relativo ordine h

6

7

8

4

5

6

iezz

a [k

N]

2

3Am

pi

nF = 8 Armoniche non considerate

0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ordine armonicaOrdine armonica

Oss: al di sopra di un certo numero d’ordine l’ampiezza Ah diviene usualmente trascurabileusualmente trascurabile.


30

20

30

nB 1=nF = 1

0 5 10 15 20 25 30

10

orza

(kN

)

20

10F

30

tempo (s)tempo (s)

Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e

( )∑Fn

( )∑=

+Ω⋅+=h

hh thAAtF1

00 cos)(' λ


30

20

30

nB 2=nF = 2

0 5 10 15 20 25 30

10

orza

(kN

)

20

10F

30

tempo (s)tempo (s)


( )∑Fn

( )∑=

+Ω⋅+=h

hh thAAtF1

00 cos)(' λ


30

20

30

nB 3=nF = 3

0 5 10 15 20 25 30

10

orza

(kN

)

20

10F

30

tempo (s)tempo (s)


( )∑Fn

( )∑=

+Ω⋅+=h

hh thAAtF1

00 cos)(' λ


30

20

30

nB 4=nF = 4

0 5 10 15 20 25 30

10

orza

(kN

)

20

10F

30

tempo (s)tempo (s)


( )∑Fn

( )∑=

+Ω⋅+=h

hh thAAtF1

00 cos)(' λ


30

20

30

nB 5=nF = 5

0 5 10 15 20 25 30

10

orza

(kN

)

20

10F

30

tempo (s)tempo (s)


( )∑Fn

( )∑=

+Ω⋅+=h

hh thAAtF1

00 cos)(' λ


30

20

30

nB 7=nF = 8

0 5 10 15 20 25 30

10

orza

(kN

)

20

10F

30

tempo (s)tempo (s)


( )∑Fn

( )∑=

+Ω⋅+=h

hh thAAtF1

00 cos)(' λ

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI

MPn n

Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:

{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)( { } ( ) MPM

n

jjj nntY

M

<Φ≅ ∑=1

Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso, che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di

Mnω

10

12

m]

nM = 1

6

8

MPL

ITUD

E [m

m

2

4AM

0 500 1000 1500 2000 25000

EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]


MPn n


{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)( { } ( ) MPM

n

jjj nntY

M

<Φ≅ ∑=1


Mnω

10

12

m]

nM = 2

6

8

MPL

ITUD

E [m

m

2

4AM

0 500 1000 1500 2000 25000



MPn n


{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)( { } ( ) MPM

n

jjj nntY

M

<Φ≅ ∑=1


Mnω

10

12

m]

nM = 3

6

8

MPL

ITUD

E [m

m

2

4AM

0 500 1000 1500 2000 25000



MPn n


{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)( { } ( ) MPM

n

jjj nntY

M

<Φ≅ ∑=1


Mnω

10

12

m]

nM = 4

6

8

MPL

ITUD

E [m

m

2

4AM

0 500 1000 1500 2000 25000



MPn n


{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)( { } ( ) MPM

n

jjj nntY

M

<Φ≅ ∑=1


Mnω

10

12

m]

nM = 5

6

8

MPL

ITUD

E [m

m

2

4AM

0 500 1000 1500 2000 25000



Condizioni da soddisfare: • la massima armonica contenuta nella forzante deve risultare compresa nella “banda passante” del modellobanda passante del modello

12

Banda passante

8

10

DE

[mm

]

nM = 2

Banda passante

0ΩFn

4

6

AM

PLIT

UD

0 500 1000 1500 2000 25000

2



Condizioni da soddisfare: • la massima armonica contenuta nella forzante deve risultare compresa nella “banda passante” del modellobanda passante del modello

0Ω> Fn nM

ω

12

Banda passante

8

10

DE

[mm

]

nM = 5

Banda passante

0ΩFn

4

6

AM

PLIT

UD

0 500 1000 1500 2000 25000

2



Condizioni da soddisfare: • il numero di modi considerati deve essere sufficiente per la convergenza

1212

8

10

zion

e [m

m]

8

10

DE

[mm

]

nM = 5

4

6

Am

piez

za v

ibra

z

4

6

AM

PLIT

UD

0 1 2 3 4 50

2 180200250

Ω

0 500 1000 1500 2000 25000

2

Numero di modi propri consideratiEXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]

I modi propri di alta frequenza mantengono un contributo anche alle basse frequenze



1212

8

10

zion

e [m

m]

8

10

DE

[mm

]

nM = 5

4

6

Am

piez

za v

ibra

z

4

6

AM

PLIT

UD

0 1 2 3 4 50

2 180200250

Ω

0 500 1000 1500 2000 25000

2

180 Numero di modi propri consideratiEXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]180



1212

8

10

zion

e [m

m]

8

10

DE

[mm

]

nM = 5

4

6

Am

piez

za v

ibra

z

4

6

AM

PLIT

UD

0 1 2 3 4 50

2 180200250

Ω

0 500 1000 1500 2000 25000

2




1212

0Ω>> Fn nM

ω 05.1 Ω⋅> Fn nM

ω

8

10

zion

e [m

m]

8

10

DE

[mm

]

nM = 5

4

6

Am

piez

za v

ibra

z

4

6

AM

PLIT

UD

0 1 2 3 4 50

2 180200250

Ω

0 500 1000 1500 2000 25000

2


ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA – MSM + MD - APPLICAZIONI

Ulteriore requisito per MD e per MSM:• il modello FEM deve essere costruito in maniera da rappresentare in

maniera sufficientemente accurata tutti i modi che danno un contributo significativo alla risposta del sistema (tutti gli nM modi propri nel caso del MSM)

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA – SMORZAMENTO

( )k

mk

mk

kkk ξξξωββω

ωα

ωωδβω

ωαξ +++++=++= 1

damping (ALPHAD)

kkk ωωω

α-damping (ALPHAD)

β-damping (BETAD)β damping dip materiale (MP DAMP)β-damping dip. materiale (MP,DAMP)

Constant damping ratio (DMPRAT) (Anal. arm. e anal. trans. con MSM)Constant damping ratio dip materiale (MP DMPR) (Anal armonica nonConstant damping ratio dip materiale (MP,DMPR) (Anal. armonica non ridotta )Modal damping ratio (MDAMP)

Element damping (applicabile con metodi particolari)

COMANDI ANSYS/1ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO COMPLETO

/SOLUANTYPE, HARMIC Definisce il tipo di analisi richiesta

HROPT, FULL, ….. Sceglie il tipo di analisi diretto completo

HARFRQ FREQB FREQEHARFRQ, FREQB, FREQE

Frequenza iniziale e finale per l’analisi

NSUBST, NSBSTP

N° di “step” in cui suddividere l’intervallo di frequenze da analizzare


HROUT, Reimky, Clust, Mcont

- ON Stampa i risultati come parti reale ed immaginaria - OFF Stampa i risultati come ampiezza e fase

-OFF “Step” di frequenza equispaziati-ON “Step” di frequenza addensati attorno ai modi propri

OFF N t il t ib t d i di i di-OFF Non stampa il contributo dei diversi modi-ON Stampa il contributo dei diversi modi

F NODE Lab VALUE VALUE2 NEND NINCF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINC

Parti reale ed immaginaria della forza

SOLVEFINISH


/POST26

NSOLNSOLESOL Definizione grandezze da estrarre dal databaseRFORCEetcetc.

PRCPLX, KEYPRVARPRVAR

0 – Stampa i risultati nella forma parte reale + parte immaginaria1 – Stampa i risultati nella forma ampiezza + fasep p

PLCPLX, KEYPLVAR

0 — Ampiezza 1 — Fase 2 — Parte reale 3 — Parte immaginaria

COMANDI ANSYS/4ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO RIDOTTO

/SOLUANTYPE, HARMIC Definisce il tipo di analisi richiesta

HROPT, REDUC, ….. Sceglie il tipo di analisi diretto ridotto

HARFRQ, FREQB, FREQENSUBST, NSBSTPHROUT Reimky Clust McontHROUT, Reimky, Clust, McontF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINCSOLVEFINISHFINISH

COMANDI ANSYS/5ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO RIDOTTO

/SOLUEXPASS, ON Passo di espansione

NUMEXP, NUM, BEGRNG, ENDRNG, …

Numero di soluzioni da espandere (se ALL espande tutti gli “step” disponibili)

“Range” di frequenza sul quale effettuare l’espansione delle soluzionig q q p

EXPSOL, LSTEP, SBSTEP, TIMFRQ, Elcalc, , , Q,

SOLVEFINISH

COMANDI ANSYS/6ANALISI ARMONICA – METODO SOVRAPPOSIZIONE MODALE

/SOLUANTYPE, MODAL Analisi modale preliminareMODOPT M th d NMODE FREQB FREQE N kMODOPT, Method, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey----------SOLVEFINISHFINISH

/SOLU Analisi armonica con MSM

HROPT, MSUP, MAXMODE, MINMODE

N° d’ordine finale (default e max.: NMODE) ed iniziale (default: 1) dei modi da impiegare

HROUT Reimky Clust McontHROUT, Reimky, Clust, McontF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINC

SOLVESOLVEFINISH

COMANDI ANSYS/7ANALISI ARMONICA – METODO SOVRAPPOSIZIONE MODALE RIDOTTO

/SOLUANTYPE, MODAL Analisi modale preliminare ridottaMODOPT REDUC NMODE FREQB FREQE N kMODOPT, REDUC, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey----------SOLVEFINISHFINISH

/SOLU Analisi armonica con MSMHROPT MSUP MAXMODE MINMODEHROPT, MSUP, MAXMODE, MINMODEHROUT, Reimky, Clust, McontF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINCSOLVESOLVEFINISH

/SOLU Passo di espansione/SOLU Passo di espansioneEXPASS, ONNUMEXP, NUM, BEGRNG, ENDRNGSOLVEFINISH

ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO

SCOPO: Valutare la risposta del sistema in presenza di forze o sollecitazioniSCOPO: Valutare la risposta del sistema in presenza di forze o sollecitazioni esterne, generalmente di tipo non periodico, applicate abbastanza rapidamente da rendere non trascurabili gli effetti delle forze di inerzia.


Può essere impiegato anche per valutare la risposta del sistema a forze o sollecitazioni esterne di tipo periodico, in presenza di effetti non lineari.

Non linearità di contattoNon linearità di contatto

F(t)=F cos(Ωt)F(t)=F0 cos(Ωt)

Materiale elastico non lineare

δ


Principali tecniche di soluzione:Metodo di sovrapposizione modale (MSM)

I t iIpotesi: • Struttura in campo lineare, con matrici [M], [C] e [K] costanti• Matrice di smorzamento proporzionale o costante

Metodi di integrazione diretta (MID)Ipotesi:

• Struttura oprante anche in campo non lineare• Struttura oprante anche in campo non lineare• Matrici [M], [C] e [K] anche non costanti• Matrice di smorzamento qualsiasi


{ } { } ( )∑ ΦMPn

YU )(

Soluzione: metodo di sovrapposizione modale (MSM)

{ } { } ( )∑=

Φ=j

jj tYtU1

)(

{ } { } ( )tftFYYY TΦ )(2 2ξ &&& { } { } ( )tftFYYY kkkkkkkk =Φ=++ )(2 2ωωξ

Soluzione della equazione relativa ad ogni modo con metodi “passo-passo” q g p p(Es. Runge-Kutta)

ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID

Metodi di integrazione diretta (MID): nesuna ipotesi preliminare sulla linearità del problema, né sulle matrici [M], [C] e[K]

L’intervallo temporale in cui si vuole studiare il comportamento del sistema viene suddiviso in intervalli (“passi”) temporali successivi.

{U(t)} Noto lo stato del sistema (spostamenti velocità accelerazioni){U}

{U}n+1 (spostamenti, velocità, accelerazioni) al tempo “tn-1” si calcola il nuovo stato al tempo “tn” (“step-by-step integration”)

{U}n-1

{U}n

integration ).

Δt Δtn Δtn+1

tn-1 tn

Δtntn+1

Δtn+1


Metodi di integrazione diretta (MID): nesuna ipotesi preliminare sulla linearità del problema, né sulle matrici [M], [C] e[K]

Tra i metodi di integrazione diretta rientrano due tipi principali diTra i metodi di integrazione diretta, rientrano due tipi principali di algoritmi:

Algoritmi di tipo implicito: la soluzione al passo temporale n+1 è ottenuta tramite la conoscenza della soluzione al passo n e delle condizioni imposte al passo n+1 (Es.: metodo di Newmark)( )

Algoritmi di tipo esplicito: la soluzione al passo temporale n+1 è ottenuta tramite la conoscenza della soluzione e delle condizioni imposte al passo ntramite la conoscenza della soluzione e delle condizioni imposte al passo n(Es.: metodo delle differenze centrali)


Metodo delle differenze centrali (Esplicito)

Eq. di eq. dinamico al tempo “tn” (nota)

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }nnnn tFUKUCUM =++ &&&

Si { } { } { }( )1 &&&Si assume: { } { } { }( )12

1+ΔΔ +≈

nn tt UUU

{ } { } { } { } { }⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−

+Δ−

≈ −+

tUU

tUUU nnnn 11

21& { } { }

tUU nn

Δ−

≈ −+

211

{ } { } { }( )UUU nn tt

Δ

−≈ ΔΔ +

&&&& 1

{ } { } { } { }UUUU nnnn −− −+ 11

{ }tΔ

{ } { } { }{ }{ } { } { } { }

tttU

nnnn

ΔΔ

−Δ≈

+ 11

&& { } { } { }2

11 2t

UUU nnn

Δ+−

≈ −+



{ } { } { } { }2

11 2 UUUU nnn +−≈ −+&&Sostituendo: { } { } { }UUU nn −

≈ −+ 11&

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tFUKUCUM =++ &&&

{ } 2tΔ{ }

tΔ2

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }nnnn tFUKUCUM =++

[ ]{ } { } { } [ ]{ } { } [ ]{ } ( ){ }nnnnnnn tFUK

tUUC

tUUUM =+

Δ−

+Δ

+− −+−+

22 11

211

tt ΔΔ 2

⎞⎛ Δ

{ }( ){ } [ ]{ }( ) [ ]{ } [ ] [ ] { }

[ ] [ ]2

2 12

1 t

UtCMUMUKtFtU

nnnn

n Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−−+−Δ=

−

+

[ ] [ ]2tCM Δ

+



( ){ } [ ]{ }( ) [ ]{ } [ ] [ ] { }22 UtCMUMUKtFt ⎟⎞

⎜⎛ Δ

+Δ{ }

( ){ } [ ]{ }( ) [ ]{ } [ ] [ ] { }

[ ] [ ]2

22 1

1 tCM

UCMUMUKtFtU

nnnn

n Δ+

⎟⎠

⎜⎝

−−+−Δ=

−

+

[ ] [ ]2

Se si fa in modo che [M] e [C] siano diagonali il calcolo è immediato.

Stabilità:max

2ω≤Δt Massima pulsazione propria del modello EF

L’algoritmo risulta condizionatamente stabile, vale a dire che la stabilità dipende dal passo temporale prescelto.

Possibili stime Δt: ( )( )( )

21

211⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −+

≤ΔυυρμLt ( )1 ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ −υ

μE


Metodo di Newmark (Implicito)

Eq. di eq. dinamico al tempo “tn+1” (non nota)

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }1111 ++++ =++ nnnn tFUKUCUM &&&

{ } { } ( ){ } { }( ) { }&&&&&&Si assume: { } { } ( ){ } { }( ) { }1,01 11 ∈Δ+−+≈ ++ δδδ tUUUU nnnn&&&&&&

{ }U&&

{ }U&&

{ } 1+nU{ } { }( )2

1 nn UU &&&& ++

δ0 1

{ }nU

1/2



Si assume:Si assume:

{ } { } { } { } { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∈Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+Δ+≈ ++ 2

1,021 2

11 ααα tUUtUUU nnnnn&&&&&

⎭⎩⎠⎝ ⎠⎝ 22

{ }U&&

{ }U&&

{ } 1+nU{ } { }( )2

1 nn UU &&&& ++

α0 1/2

{ }nU

1/4



Eq. di eq. dinamico al tempo “tn+1” (non nota)⎧[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }1111 ++++ =++ nnnn tFUKUCUM &&&[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }{ } { } ( ){ } { }( )⎪⎪

⎪

⎨

⎧

Δ+−+≈

=++

++

++++

11

1111

1 tUUUU

tFUKUCUM

nnnn

nnnn

&&&&&&

&&&

δδ{ } { } ( ){ } { }( ){ } { } { } { } { }

⎪⎪⎪

⎩

⎨

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+Δ+≈

Δ++

++

++

211

11

21

1

tUUtUUU

tUUUU

nnnnn

nnnn

&&&&& αα

δδ

⎪⎩ ⎠⎝ ⎠⎝ 2

Risolvendo per⎧[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }{ } { } ( ){ } { }( )⎪⎪

⎪

⎨

⎧

Δ+−+≈

=++

++

++++

nnnn

nnnn

tUUUU

tFUKUCUM&&&&&&

&&&

1 11

1111

δδ{ } { } ( ){ } { }( ){ } { } { } { } { }

⎪⎪⎪

⎩

⎨

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

Δ−

Δ−

= ++

++

nnnn

n

nnnn

Ut

Ut

UUU

tUUUU

&&&

&& 121

21

1

11

ααα

δδ

⎩ ⎠⎝



[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }⎪⎪⎧

++ tFUKUCUM &&&[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }

{ } { } { } { } { }⎪

⎪⎪⎪

⎨ Δ−

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −≈

=++

++

++++

nnnnn

nnnn

tUUtUUU

tFUKUCUM

&&&&2

11 11

1111

αδ

αδ

αδ

{ } { } { } { } { }⎪⎪⎪

⎩⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

Δ−

Δ−

=

Δ⎠⎝⎠⎝

++ n

nnnn U

tU

tUUU

t

&&&

&& 121

2

21

1 ααα

ααα

⎩ ⎠⎝ΔΔ tt 2ααα

{ } ⎞⎛[ ] { } { } { } { }21 1

21+ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

Δ−

Δ−

nnnn Ut

Ut

UUM &&&

ααα

[ ] { } { } { } { }[ ]

1

211+ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

Δ−

+ nnnn tUU

tUUC &&&

αδ

αδ

αδ

[ ]{ } ( ){ }11 ++ =+ nn tFUK



{ } [ ] [ ] [ ] ( ){ }+=⎟⎞

⎜⎛ ++ tFKCMU δ{ } [ ] [ ] [ ] ( ){ }

[ ] { } { } { } +⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛+++

+=⎟⎠

⎜⎝

+Δ

+Δ ++ nn

UUUM

tFKtt

U

&&& 1111

121 αα

[ ] { } { } { }

[ ] { } { } { } ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛Δ

+⎟⎞

⎜⎛++

+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

−+Δ

+Δ

+ nnn

UtUUC

UUt

Ut

M

&&& 21

122

δδδ

ααα

[ ] { } { } { } ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

−+⎟⎠

⎜⎝

−+Δ

+ nnn UUUt

C 22

1ααα

[ ]{ } [ ]FUK nˆˆ

1 =+ Oss.: se [M], [C] e [K] sono costanti, [ ]{ } [ ]n 1+

Risoluzione:

[ ] [ ]1

[ ] [ ] [ ]la matrice è anch’essa costante e può essere costruita ed invertita

[ ]K̂

{ } [ ] [ ]FKU nˆˆ 1

1

−

+ = una sola volta.


21

41 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +≥ δα

Condizioni di stabilità:

1

21

24

≥

⎠⎝

δδ 0 7

0.8

0.9

Condizionatamente stabile

All’interno del campo di stabilità l’algoritmo risulta incondizionatamente stabile 0.5

0.6

0.7

Stabile

incondizionatamente stabile,vale a dire stabile indipendentemente dal passo temporale prescelto.

0.3

0.4 Instabile

Instabilep p

0.1

0.2

Esiste anche una regione in cui l’algoritmo risulta condizionatamente stabile con

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0condizionatamente stabile, con passo limite:

22

⎞⎛≤Δt

αδ 421 2

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Ω


Al variare di α e δ si ottengono altri algoritmi classici di soluzione:

1

δ 0 7

0.8

0.9


210

=

=

δ

α Metodo delle differenze centrali

0.5

0.6

0.7

Stabile

2

1α M t d d ll’ l i

0.3

0.4 Instabile

Instabile214

=

=

δ

α Metodo dell’accelerazione media

0.1

0.22

1=α Metodo dell’accelerazione

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

216

=

=

δ

α Metodo dell accelerazione lineare

2


In ANSYS i due parametri α e δ sono generalmente espressi in funzione di un terzo parametro γ (TINTP): 1

( )γα += 141 2

δ 0 7

0.8

0.9


γδ +=21

0.5

0.6

0.7

Stabile

0.3

0.4 Instabile

Instabile

⎪

⎪⎪⎨

⎧ =⇒=

141

0α

γ

0.1

0.2⎪⎪⎩

=21δ

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

⎩⎨⎧

==

⇒=50502525.0

005.0δα

γ

Per default

⎩ = 505.0δ


All’interno del campo di stabilità (incondizionata o condizionata) la soluzioneAll interno del campo di stabilità (incondizionata o condizionata), la soluzione tende a quella esatta, al tendere a zero di Δt.

0 9

1U sln. esatta

stabile

δ 0.7

0.8

0.9


stabile

Δt0

0.5

0.6 Stabile

0

0.3

0.4 Instabile

Instabile

t

0

0.1

0.2

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0



0 9

1U sln. esatta

stabile

δ 0.7

0.8

0.9


stabile

Δt1< Δt0

0.5

0.6 Stabile

1 0

0.3

0.4 Instabile

Instabile

t

0

0.1

0.2

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0



0 9

1U sln. esatta

stabile

δ 0.7

0.8

0.9


stabile

Δt2< Δt1

0.5

0.6 Stabile

2 1

0.3

0.4 Instabile

Instabile

t

0

0.1

0.2

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0


L = 10 m

x

y L = 10 mL = 10 m

x

y Effetto del passo di integrazione in condizioni di stabilità incondizionata

2.00E-0325250=α

100 N, 4.07466 Hz (risonanza), onda triangolare

1 00E-03

1.50E-03 0.2132.66E-024.25E-03

Δt [s]

5050.02525.0

==

δα

5.00E-04

1.00E-03m

ezze

ria [m

]

0.9

1

0.9

1

-5.00E-04

0.00E+00

Spos

tam

ento

m

δ

0.5

0.6

0.7

0.8 Condizionatamente stabile

Stabile

δ

0.5

0.6

0.7


Stabile

-1.50E-03

-1.00E-03

0 1

0.2

0.3

0.4 Instabile

Instabile

0 1

0.2

0.3

0.4 Instabile

Instabile

-2.00E-030.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00 2.50E+00

Tempo [s]

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1


Al di fuori del campo di stabilità la soluzione mostra una rapida divergenza (inAl di fuori del campo di stabilità, la soluzione mostra una rapida divergenza (in genere con forti oscillazioni) da quella esatta, senza convergere su quest’ultima al tendere a zero di Δt.

0 9

1U sln. esatta

stabile

δ 0.7

0.8

0.9


stabileinstabile

0.5

0.6 Stabile

0.3

0.4 Instabile

Instabile

t

0

0.1

0.2

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0


L = 10 m

x

y L = 10 mL = 10 m

x

y Effetto del passo di integrazione in condizioni di stabilità condizionata

5.00E-03

t [ ]

100 N, 0.25 Hz, onda triangolare

3.00E-03

4.00E-03 8.00E-024.00E-022.00E-021.33E-02

Δt [s]

51.025.0

==

δα

1.00E-03

2.00E-03m

ezze

ria [m

]

0.9

1

0.9

1

2 00E 03

-1.00E-03

0.00E+00

Spos

tam

ento

m

δ

0.6

0.7


Stabile

δ

0.6

0.7


Stabile

-4.00E-03

-3.00E-03

-2.00E-03

0.3

0.4

0.5

Instabile

Instabile0.3

0.4

0.5

Instabile

Instabile

-5.00E-030 5 10 15 20 25

Tempo [s]α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2


Scelta del passo di integrazione temporaleScelta del passo di integrazione temporale.

Procedura per valori indicativi frequenze in gioco

F(t)

tT

“Periodicizzazione” della storia di carico

Ω2π

Periodicizzazione della storia di carico

( )∑∞

+Ω+

=Ω0

cos)( thAAtF

T

λ( )∑=

+Ω⋅+=1

00 cos)(h

hh thAAtF λ


10

Andamento tipico delle ampiezze

7

8

9

5

6

7

ezza

[kN

]

3

4

Am

pie

nF = 7Armoniche non

considerate

0

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ordine armonica


{ } { } ( )∑ ΦMPn

tYtU )( Ω>>

Metodo di sovrapposizione modale:

{ } { } ( )∑=

Φ=j

jj tYtU1

)( 0Ω>> Fn nM

ω

Tutti i metodi di soluzione:Tutti i metodi di soluzione:

30202÷>≤Δ nt π 3020

0

÷>Ω

≤Δ PFP

nnn

t

In ogni caso, a partire da questa prima stima, è generalmente necessario uno studio di convergenza su nP e Δt.Situazioni che possono richiedere valori particolarmente ridotti di Δt:• fenomeni di contatto• propagazione di onde elastiche (dimensioni elementi < 1/20 lungh. d’onda)• non linearità geometriche, “stress stiffening”

INTEGRAZIONE RISPETTO AL TEMPO/2

Tipo di problema Algoritmi espliciti Algoritmi impliciti

GeneraleNessuna inversione di matrici; basso tempo di

calcolo per step

Inversione di matrici ad ogni step; elevato tempo di

calcolo per step

Campo lineareStabilità condizionata;

necessari passi temporali molto piccoli

Possibile stabilità incondizionata; grandi passi

temporalip p

Soluzione diretta ad ogni passo

Soluzione tramite tecniche iterative

Campo non lineare

Necessari passi temporali molto piccoli per la stabilità

Necessari piccoli passi temporali per la

convergenza

Verifiche di convergenza non richieste

Convergenza non sempre assicurata per forti non

linearità

INTEGRAZIONE RISPETTO AL TEMPO/3

Statico Quasi statico Dinamico

Campo applicativo

Urti autovettureStampaggio

Urto proiettiliEsplosioniProblemi “standard”

Comportamento statico materiale Effetti “strain rate” sul materiale

Strain rate [s-1]10110-2 104

Metodi Impliciti

Metodi Espliciti

Possibili anche approcci misti Impliciti+Espliciti

ANALISI DINAMICA CON IL MEF Principali tipi di analisi • analisi … Didattico/201… ·...

Documents

Transcript of ANALISI DINAMICA CON IL MEF Principali tipi di analisi • analisi … Didattico/201… ·...