ReynoldsReynolds

NNúúmero de Potênciamero de Potência

NNúúmero de mero de FroudeFroude

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALA

Adimensionais:Adimensionais:

dtdQv

dtdQs

dtdQ

dtdQ o −−=

μρ /Re 2iDN=

gDNFr i /2=

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALA

COMO CORRELACIONARCOMO CORRELACIONARkkLLaa com potência de agitacom potência de agitaçção?ão?

Os japoneses propões aquecer o líquido até 50 oC, e depois resfriar a uma dada frequência de agitação, determina-se então a curva de resfriamento

Balanço Térmico:dt

dQvdt

dQsdt

dQdtdQ o −−=

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALA

COMO CORRELACIONARCOMO CORRELACIONARkkLLaa com potência de agitacom potência de agitaçção?ão?

Balanço Térmico:dt

dQvdt

dQsdt

dQdtdQ o −−=

dtdQ

dtdQo

dtdQs

dtdQv

Calor

Calor de Agitação

Calor Perdido

Calor Evaporado

Se o Reator é isolado e fechado

0=dtdQ

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALA

Onde

C = Calor específico

U = Coeficiente global de transferência de calor

A = Área de troca

tF = Temperatura do fluído

T0 = Temperatura ambiente

)( 0ttUAdt

dQsF −=edt

dTCdtdQ F−=

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALA

dtdQ

dtdQ

dtdQ s−= 0

)(0oF

F ttUAdt

dQdt

dtC −−=

UA

dtdtC F

tF-t0

Coney, determinou o calor liberado pela agitação desta forma.

dtdQ0

dtdQ0

sem microrganismo

dtdtC F

durante a fermentação

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALA

Relação entre potência transmitida a um líquido e condições de agitação sem aeração

Aumentar RPM, não significa aumento de potência, porém se alterar o Di, para uma

mesma frequência de agitação, altera significativamente a potência.

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALA

P=f(N, µ, ρ, g, Di, HL, Wi, Wb, Dt...., etc

Rushton, demonstrou através de análise admensional que:

( ),.,,,,,22

53i

b

i

i

i

t

i

Lii

i DW

DW

DD

DH

gDNND

DNP

μρ

ρ∫=

Número Potência Newton

Número de Froude

(Formação de Vortex)

Número de Reynolds

Admensionais em relação à geometria do fermentador

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALA

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALAO Gráfico Apresenta três Regiões:

(Laminar, Intermediária e Turbulenta)

Laminar: Np é constante para NRe;

Np=k(NRe+)m, com m=-1

;253 ρμα

ρ ii NDDNP

P = potência transmitida na agitação (W);N = frequência de rotação (rps ou rpm);Di= Diâmetro do impelidor(m) ;ρ = densidade do fluído (kg/m3);µ = viscosidade do fluído (k/m.s)

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALAO Gráfico Apresenta três Regiões:

(Laminar, Intermediária e Turbulenta)ρ = densidade do fluído (kg/m3);µ = viscosidade do fluído (k/m.s)

São constantes independentes da escala

;322

53

ii

i DNouPND

DNP α=

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALAO Gráfico Apresenta três Regiões:

(Laminar, Intermediária e Turbulenta)

Transição: não há correlação nítida entre Np e NReEm tanques cilíndricos, com chicanas, agitadores tipo turbinas, em regimes

de agitação laminar e transição o NRe<104

Np= (admensional) NRe= (adimensional)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Re

1N

fNp

ρ53DNP

i μρ2

iND

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALAO Gráfico Apresenta três Regiões:

(Laminar, Intermediária e Turbulenta)

Turbulenta: Np=k1

(NRe> 104, Np = Constante

ρα

ρ

53

53

tan

;tan

i

i

DNPtoPor

teconsDNP

=

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALAO Gráfico Apresenta três Regiões:

(Laminar, Intermediária e Turbulenta)

Turbulenta: Np=k1

(NRe> 104, Np = Constante

53

53

tan

;tan

i

i

DNPtoPor

teconsDNP

α

ρ=

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALAO volume do tanque (V), é dado por

( )m Líquido do AlturaH(m) tanquedo Diâmetro

:

;4

L

2

==

=

t

Lt

Donde

HDV π

Como na ampliação de escala, pretende-se manter a semelhança geométrica, então:

Dt α Di e HL α Di

Logo

V α Di3

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALADividindo as equações para o regime laminar e regime

turbulento por V α Di3

Tem-se:

Na Ampliação de uma escala 1, para uma escala 2, mantendo a relação P/V constante:

o turbulentregime:

laminar; regime:

23

2

IDNVP

NVP

α

α

232

231

21

21 ii DNDouN

VV

=

⎠⎝⎠⎝;PP

⎟⎞

⎜⎛=⎟

⎞⎜⎛

Laminar (Re<300)Laminar (Re<300)

TurbulentoTurbulento(igualdade de potência por unidade de volume)(igualdade de potência por unidade de volume)

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALA

31

21

32

221

.

2 D N D N.uW&

=Wu2

221

21 N D N D =

22

32

21

31 D N D N =

32

23

1

1

V uW

VuW &&

=

NPo1= NPo2Re1= Re2

NPo1= NPo2

Turbulento (igualdade velocidade perifTurbulento (igualdade velocidade periféérica)rica)

22

221

1

D uW

DuW &&

=

NPo1= NPo2

AMPLIAÇÃO DE ESCALAAMPLIAÇÃO DE ESCALA

21

221

2 D .uW DWu

&=

•

2211 D N D N =

EXEMPLOSEXEMPLOS

1º Exercício: 1º Exercício: Em um tacho encamisado, deve-se aquecer um óleo que apresenta viscosidade de 12cP e com densidade de 1498 kg/m3 na temperatura inicial. Calcule a potência consumida pelo sistema de agitação considerando: (a) Com 4 defletores; (b) Sem defletores. Dados: Turbina de 6 pás retas e disco; DT = 1,8m; Di = 0,6m; Hi = 0,6m; HL = 1,8m; N = 90rpm.

W

N

•

DT

Di

Zi

ZL

Sem defletores Com defletores

Turbina com 6 pás retas e disco

HL

Hi

HL

Hi

W

ReynoldsReynolds

NNúúmero de Potência = grmero de Potência = grááficofico

a) Com 4 defletores a) Com 4 defletores

= 6,74 . 104

ρ53iDN

P

μρ2

iND

NNúúmero de Potência = mero de Potência = usar curva 1 e Re = 67.400usar curva 1 e Re = 67.400

a) Com 4 defletores a) Com 4 defletores

NNúúmero de Potência = mero de Potência = 55

53/ iDNWPo ρ&=

a) Com 4 defletores a) Com 4 defletores

= 5

Substituindo densidade= 1498 kg/m3

N = 90 rpm = 1,5 rpsDi =0,6m

W& = 1965 W = 1,97 kW

ReynoldsReynolds

FroudeFroude

NNúúmero de Potência mero de Potência

μρ /Re 2iDN=

b) Sem defletores b) Sem defletores

= 6,74 . 104

Po = f (Re, Fr)

gDNFr i /2= = 0,137

Se Re>300

Impulsor: “Flat blade disc turbine”

Sem defletores (R=0), a=1, b=40

)Relog(b

a

Fr

Po−=φ

b) Sem defletores b) Sem defletores

)Relog(b

a

Fr

Po−=φ

Se a=1; b=40; Fr= 0,137; Re = 67400

= 1,2 (linha 5) =Po 1,45

b) Sem defletores b) Sem defletores

= 1,4553/ iDNWPo ρ&=

Substituindo densidade= 1498 kg/m3

N = 90 rpm = 1,5 rpsDi =0,6m

W& = 566 W = 0,57 kW

a) Com defletores a) Com defletores

b) Sem defletores b) Sem defletores W& = 566 W = 0,57 kW

W& = 1965 W = 1,97 kW

Comparação Comparação

2º Exercício2º Exercício

Deseja-se misturar ácido acético e água em batelada. Foram testadas em laboratório uma hélice de 3 pás e uma turbina de 8 pás inclinadas como impulsores. Os dados do sistema de agitação em laboratório (menor escala), são os seguintes: DT = 0,25m; DT/Di = HL/Di = 3; Hi/Di = 1; ω/Di = 0,1; ρmist. = 1011 kg/m3; μmist. = 1cP. As características para as melhores condições encontradas em laboratório são as seguintes:

Hélice → = 4,9 Watts; N = 11rps; Npo = constante para Re ≥ 1000.

Turbina → = 3,7 Watts; N = 8rps; Npo = constante para Re ≥ 2000.

•

W•

W

Projete um sistema industrial (grande escala) para misturar um total de 4m3 de ácido acético com água através do sistema de agitação mais eficiente dos dois encontrados em laboratório.

Hélice de 3 pás Turbina com 8 pás inclinadas

HL

Hi

W

Sabendo que:

ResoluçãoResolução

(a) Semelhança geométrica

Agitador protótipo:

1

21

1 4 LT HDV π

=3

331

1 0123,04

)25,0(4

mDV T ===ππ

Agitador industrial:

2

22

2 4 LT HDV π

= 3==i

L

i DH

DDT

mDDV TT 72,14*4

431

2

32

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=→=π

π mDDD

ii

T 57,03 22

2 =→=Assim,

Temos:

LT HD =

Através das relações DT/Di = HL/Di = 3; Hi/Di = 1; ω/Di = 0,1,

podemos calcular as dimensões do agitador industrial:

mHmmHmDmD

i

L

T

i

57,0057,072,172,157,0

2

2

2

2

2

=====

ω

(b) Hélice

Reynolds para o protótipo: 76612001,0

)083,0(*11*1011Re22

11 ≅==μ

ρ iDN

Wmm

WattsWVW

VW 15934

0123,09,4 3

32

2

2

1

1 ==→=•

••

rpsNDNDN ii 357,0

083,0*11**31

2

23

22

23

22

13

1 ≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=→=

Características do agitador com hélice

Critério para mudança de escala (considerando regime turbulento e mistura de dois líquidos) = Critério de potência por unidade de volume

(c) Turbina

Reynolds para o protótipo:

Critério para mudança de escala (considerando regime turbulento e mistura de dois líquidos) = Critério de potência por unidade de volume

55718001,0

)083,0(*8*1011Re22

11 ≅==μ

ρ iDN

Wmm

WattsWVW

VW 12034

0123,07,3 3

32

2

2

1

1 ==→=•

••

rpsNDNDN ii 2,257,0

083,0*8**31

2

23

22

23

22

13

1 ≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=→=

Características do agitador com turbina

(d) Escolha do agitador industrial

(kW) N (rpm) ReHélice 1,6 180

132985.422

Turbina 1,2 722.642Levando em consideração apenas o gasto de energia, onde a rotação não é um fator limitante e, que pelos dois agitadores protótipos foi atingida a mistura desejada, o agitador com impulsor de turbina seria o escolhido.

•

W

3º Exercício. 3º Exercício. Em um experimento de laboratório, foram obtidos os seguintes dados durante a inversão de um xarope de 40% de sacarose a 30ºC:

ρ= 1050 kg/m3; μ=4cP; 750rpm; Turbina com 6 pás retas; 4 defletores;

ρHL/Di = 3; DT=0,333m; DT/Di=3; Hi/Di=0,75; ω/Di=0,17.

Calcule: (a) A potência útil e indique o tipo de agitação; (b) A potência útil, a rotação, Reynolds e as dimensões para um sistema industrial com 50000 litros de xarope, operando na mesma potência por metro cúbico.

Turbina com 6 pás retas

HL

Hi

W

ResoluçãoResolução

(a) Tipo de agitação?

40428004,0

)111,0(*5,12*1050Re22

11 ≅==μ

ρ iDN

mDDD

ii

T 111,03 =→=

Do gráfico Re versus Npo (curva nº 2) temos que: Npo = 4

WWDN

WNpoi

2,13853=→=

••

ρ

LT HDV

4

2π= TL

TL DHDiD

DiH

=∴= 303m3

,04DV T ==

πSabendo que temos:

3460703,0

2,138mW

VW

==

•

Da tabela do grau de agitação, temos uma agitação Intensíssima.

• N ív e l o u g r a u d e a g ita ç ã o

W /V

W a tts m 3

H P m 3

a té 8 0 a té 0 .1 d éb il

8 0 - 2 3 0 0 .1 - 0 .3 su a v e

2 3 0 - 4 6 0 0 .3 - 0 .6 m é d ia

4 6 0 - 7 5 0 0 .6 - 1 .0 fo r te

7 5 0 - 1 5 0 0 1 - 2 in te n sa

1 5 0 0 - 2 2 5 0 2 - 3 m u ito fo r te

2 2 5 0 - 3 0 0 0 3 - 4 in te n ss íss im a

(b) Cálculo do agitador industrial

Semelhança geométrica:

mmDDV TT 44*50

4

31

33

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=→=

ππ

mDDH

ii

L 33,1343 ≅=→=

mHDH

ii

i 175,0 =→=

mDi

23,017,0 =→= ωω

Dimensões do agitador industrial:

mH

mmHmD

mD

i

L

T

i

1

23,04433,1

=

====

ω

mDH tL 4==

Critério de mudança de escala (dado no enunciado):

Wmm

WattsWVW

VW 33323050

03,02,138 3

322

2

1

1 ==→=•

••

VW•

rpmrpsNDNDN ii 14339,233,1

111,0*5,12**31

2

23

22

23

22

13

1 ≅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=→=

763.109.1004,0

)33,1(*39,2*1050Re22

22 ≅==μ

ρ iDN