UNIVERSIDAD DE ATACAMAFACULTAD DE INGENIERIA / DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

ALGEBRA I

GUIA No1 DE TRIGONOMETRIAProfesor: David Elal Olivero

Primer ano Plan Comun de Ingenierıa Primer Semestre 2009

1. Verificar que las siguientes proposiciones son verdaderas:

a) 2 sin π6

cos π6

= sin π3

b) cos π6

cos π3− sin π

6sin π

3= cos π

2

c) cos2 π6− sin2 π

6= cos π

3

2. Aplicar la relacion sin2 α + cos2 α = 1 para determinar el valor de k, donde:

a) sinα = 45; cosα = k y α esta en el primer cuadrante

b) cosα = 1√5; sinα = k y α esta en el cuarto cuadrante

c) cosα = −√

154

; sinα = k y α esta en el segundo cuadrante

3. Hallar los valores de sin 2α y cos 2α en los siguientes casos:

a) sinα = 35

y α esta en el primer cuadrante

b) sinα = 35

y α esta en el segundo cuadrante

c) sinα = −12

y α esta en el cuarto cuadrante

4. Pruebe que:

a) sin(α + 45) = 1√2(sinα + cosα)

b) cos(α + 45) = 1√2(cosα− sinα)

c) 2 sin(30− α) = cosα−√

3 sinα

5. Si α y β son angulos agudos y cosα = 45; y cos β = 3

5. Encuentre sin(α + β) y

cos(α− β)

6. Si α y β son angulos agudos y sinα = 35; y cos β = 12

13. Encuentre cos(α + β) y

sin(α− β)

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7. Pruebe que:

a) sin 75 = cos 15 =√

3+12√

2

b) sin 15 = cos 75 =√

3−12√

2

c) tan 75 = 2 +√

3

8. Si α es un angulo del segundo cuadrante tal que cosα = − 817

, calcule el valor de lasotras relaciones trigonometricas de α.

9. Si secα = 277

y α es un angulo agudo, calcule el valor de las demas relaciones trigonometri-cas de α.

10. El seno de un angulo es a su coseno como 8 es a 15. Calcule el seno y el coseno dedicho angulo.

11. Demuestre que:

a) cos 130 + cos 110 + cos 10 = 0

b) cos 220 + cos 100 + cos 20 = 0

c) cos 465 + cos 165 = −√

62

d) sin 105 + sin 15 =√

62

e) sin 75−sin 15cos 75+cos 15

= 1√3

12. Demuestre que:

a) cos(α− β) + cos(α + β) = 2 cosα cos β

b) cos(α− β)− cos(α + β) = 2 sinα sin β

c) sin(α + β) + sin(α− β) = 2 sinα cos β

d) sin(α + β)− sin(α− β) = −2 cosα sin β

13. Si tanα = 2pqp2−q2 , exprese cosα y cscα en terminos de p y q.

14. Si b tanα = a, calcule el valor de

a sinα− b cosα

a sinα + b cosα

15. Si a cos2 α + b sin2 α = c, demuestre que tan2 α = c−ab−c .

16. Exprese todas las relaciones trigonometricas en terminos de cosα.

17. Demuestre quecot2 α sin2(90◦ − α)

cotα + cosα= tan(90◦ − α)− cosα

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18. Demuestre las siguientes identidades trigonometricas:

a) tanα + cotα = secα cscα.

b) (tanα cscα)2 − (sinα secα)2 = 1.

c) 11−sinα

+ 11+sinα

= 2 sec2 α.

d) 11+sin2 α

+ 11+csc2 α

= 1.

e) (sinα− cscα)2 + (cosα + secα)2 = tan2 α + cot2 α + 7.

f ) sin4 γ(3− 2 sin2 γ) + cos4 γ(3− 2 cos2 γ) = 1.

g) csc6 δ − cot6 δ = 1 + 3 csc2 δ cot2 δ.

h) (tan β + cot β)2 + (tan β − cot β)2 = 2(sin4 β+cos4 β)

sin2 β cos2 β.

i) (sinα cos β + cosα sin β)2 + (cosα cos β − sinα sin β)2 = 1.

j ) sec2 α csc2 β + tan2 α cot2 β − sec2 α cot2 β − tan2 csc2 β = 1.

k) sin(α+β)cosα cosβ

= tanα + tan β

l) sin(α−β)sinα sinβ

= tanα− tan β

m) cot 2α + tanα = csc 2α

n) cotα− cot 2α = csc 2α

n) cos 2αsecα

− sin 2αcscα

= cos 3α

o) 1 + tan 2α tanα = sec 2α

p) sin 3αsinα− cos 3α

cosα= 2

19. Encuentre el valor de tan(α + β) Si tanα = 12

y tan β = 13

20. Exprese cos(90◦ + α) + sin(180◦ − α)− sin(180◦ + α)− sin(−α) en terminos de sinα.

21. Si tan 25◦ = a. Exprese en terminos de a:

tan 205◦ − tan 115◦

tan 245◦ + tan 335◦

22. Desde la cuspide de un faro de 80m de altura, se observan hacia el oeste dos botessegun angulos de depresion de 60◦ y 30◦. Calcule la distancia que separa a los botes.

23. Un asta de bandera esta enclavada en lo alto de un edificio. Desde un punto situado enel suelo, a 12m. del edificio, se observa el techo del edificio segun un angulo de elevacionde 30◦ y la punta del asta segun un angulo de elevacion de 60◦. Calcule la altura deledificio y la longitud del asta.

24. Descendiendo por una colina, inclinada en un angulo α respecto del plano horizontal,una persona observa una piedra, situada en el plano, segun un angulo de depresion β.A mitad del descenso, el angulo de depresion es γ. Demuestre que:

cotα = 2 cot β − cot γ

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