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Wahrheitstafel für die logischen Operatoren

A B ¬A A ∧ B A ∨ B A → B A ↔ B

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true true false true true true true

Logik für Informatiker, SS ’06 – p.12

Uniforme Notation

Konjunktive Formeln: Typ α

A ∧ B

¬(A ∨ B)

¬(A → B)

Disjunktive Formeln: Typ β

¬(A ∧ B)

A ∨ B

A → B

Raymond Smullyan

Uniforme Notation

A ∧ B

¬(A ∨ B)

¬(A → B)

¬(A ∧ B)

A ∨ B

A → B

Raymond Smullyan

Uniforme Notation

A ∧ B

¬(A ∨ B)

¬(A → B)

¬(A ∧ B)

A ∨ B

A → BRaymond Smullyan

Uniforme Notation

Zuordnungsregeln Formeln / Unterformeln

α α1 α2

A∧B A B

¬(A∨B) ¬A ¬B

¬(A→B) A ¬B

¬¬A A A

β β1 β2

¬(A∧B) ¬A ¬B

A∨B A B

A→B ¬A B

Uniforme Notation

Zuordnungsregeln Formeln / Unterformeln

α α1 α2

A∧B A B

¬(A∨B) ¬A ¬B

¬(A→B) A ¬B

¬¬A A A

β β1 β2

¬(A∧B) ¬A ¬B

A∨B A B

A→B ¬A B

Uniforme Notation: Beispiel der Anwendung

Alternative Art der Definition von valI

valI(α) =

true falls valI(α1) = true und valI(α2) = true

false sonst

valI(β) =

true falls valI(β1) = true oder valI(β2) = true

false sonst

Umfaßt Definition von valI für alle Operatoren außer: 1, 0, ¬, ↔

Uniforme Notation: Beispiel der Anwendung

Alternative Art der Definition von valI

valI(α) =

true falls valI(α1) = true und valI(α2) = true

false sonst

valI(β) =

true falls valI(β1) = true oder valI(β2) = true

false sonst

Umfaßt Definition von valI für alle Operatoren außer: 1, 0, ¬, ↔

Modell einer Formel(menge)

Definition: Modell einer Formel

Modell / Interpretation I ist Modell einer Formel A ∈ For0Σ, falls

valI(A) = true

Definition: Modell einer Formelmenge

Modell / Interpretation I ist Modell einer Formelmenge M ⊆ For0Σ, falls

valI(A) = true für alle A ∈ M

Modell einer Formel(menge)

Definition: Modell einer Formel

Modell / Interpretation I ist Modell einer Formel A ∈ For0Σ, falls

valI(A) = true

Definition: Modell einer Formelmenge

Modell / Interpretation I ist Modell einer Formelmenge M ⊆ For0Σ, falls

valI(A) = true für alle A ∈ M

Zur Erinnerung: Logische Folgerbarkeit

Definition: Logische Folgerbarkeit

Formel A folgt logisch aus Formelmenge KB

alle Modelle von KB sind auch Modell von A

Notation

KB |= α

Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode

Beispielformel

α = A ∨ B KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)

Überprüfen ob KB |= α

A B C A ∨ C B ∨ ¬C KB α

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Beispielformel

α = A ∨ B KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)

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Beispielformel

α = A ∨ B KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)

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true true true true trueLogik für Informatiker, SS ’06 – p.18

Beispielformel

α = A ∨ B KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)

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true true true true true trueLogik für Informatiker, SS ’06 – p.18

Beispielformel

α = A ∨ B KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)

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true true true true true true trueLogik für Informatiker, SS ’06 – p.18

Beispielformel

α = A ∨ B KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)

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true true true true true true trueLogik für Informatiker, SS ’06 – p.18

Logische Äquivalenz

Definition: Logische Äquivalenz

Zwei Formeln sind logisch äquivalent,

wenn sie in den gleichen Modellen wahr sind, d.h.

α |= β and β |= α

Notation

α ≡ β

Beispiel

(A → B) ≡ (¬B → ¬A) (Kontraposition)

Notation

α ≡ β

Beispiel

(A → B) ≡ (¬B → ¬A) (Kontraposition)

Notation

α ≡ β

Beispiel

(A → B) ≡ (¬B → ¬A) (Kontraposition)Logik für Informatiker, SS ’06 – p.19

Substitutionstheorem

A ≡ B

C′ ist das Ergebnis der Ersetzung einer Unterformel A in C durch B,

C ≡ C′

Beispiel

A ∨ B ≡ B ∨ A

impliziert

(C ∧ (A ∨ B)) → D ≡ (C ∧ (B ∨ A)) → D

Substitutionstheorem

A ≡ B

C′ ist das Ergebnis der Ersetzung einer Unterformel A in C durch B,

C ≡ C′

Beispiel

A ∨ B ≡ B ∨ A

impliziert

(C ∧ (A ∨ B)) → D ≡ (C ∧ (B ∨ A)) → DLogik für Informatiker, SS ’06 – p.20

Wichtige Äquivalenzen

• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A) Kommutativität von ∧

• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A) Kommutativität von ∨

• ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C)) Assoziativität von ∧

• ((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C)) Assoziativität von ∨

• (A ∧ A) ≡ A Idempotenz für ∧

• (A ∨ A) ≡ A Idempotenz für ∨

• ¬¬A ≡ A Doppelnegation

• (A → B) ≡ (¬B → ¬A) Kontraposition

• (A → B) ≡ (¬A ∨ B) Elimination Implikation

• (A ↔ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A) Elimination Äquivalenz

• ¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B) de Morgans Regeln

• ¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B) de Morgans Regeln

• (A ∧ (B ∨ C)) ≡ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) Distributivität von ∧ über ∨

• (A ∨ (B ∧ C)) ≡ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)) Distributivität von ∨ über ∧

Wichtige Äquivalenzen (zusammengefasst)

(A ∧ B) ≡ (B ∧ A) Kommutativität von ∧

(A ∨ B) ≡ (B ∨ A) Kommutativität von ∨

((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C)) Assoziativität von ∧

((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C)) Assoziativität von ∨

(A ∧ A) ≡ A Idempotenz für ∧

(A ∨ A) ≡ A Idempotenz für ∨

¬¬A ≡ A Doppelnegation

(A → B) ≡ (¬B → ¬A) Kontraposition

(A → B) ≡ (¬A ∨ B) Elimination Implikation

(A ↔ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A)) Elimination Äquivalenz

¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B) de Morgans Regeln

¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B) de Morgans Regeln

(A ∧ (B ∨ C)) ≡ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) Distributivität von ∧ über ∨

(A ∨ (B ∧ C)) ≡ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)) Distributivität von ∨ über ∧

Wichtige Äquivalenzen mit 1 und 0

• (A ∧ ¬A) ≡ 0

• (A ∨ ¬A) ≡ 1 Tertium non datur

• (A ∧ 1) ≡ A

• (A ∧ 0) ≡ 0

• (A ∨ 1) ≡ 1

• (A ∨ 0) ≡ A

• (A ∧ ¬A) ≡ 0

• (A ∧ 1) ≡ A

• (A ∧ 0) ≡ 0

• (A ∨ 1) ≡ 1

• (A ∨ 0) ≡ A

• (A ∧ ¬A) ≡ 0

• (A ∧ 1) ≡ A

• (A ∧ 0) ≡ 0

• (A ∨ 1) ≡ 1

• (A ∨ 0) ≡ A

• (A ∧ ¬A) ≡ 0

• (A ∧ 1) ≡ A

• (A ∧ 0) ≡ 0

• (A ∨ 1) ≡ 1

• (A ∨ 0) ≡ A

• (A ∧ ¬A) ≡ 0

• (A ∧ 1) ≡ A

• (A ∧ 0) ≡ 0

• (A ∨ 1) ≡ 1

• (A ∨ 0) ≡ A

Ein zweiter Kalkül: Logische Umformung

Definition: Äquivalenzumformung

(Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durchäquivalente Formel

Anwendung des Substitutionstheorems

Theorem

Äquivalenzumformung bildet mit den aufgelistetenwichtigen Äquivalenzen einen vollständigen Kalkül:

Wenn A, B logisch äquivalent sind, kann A in B umgeformt werden

Ein zweiter Kalkül: Logische Umformung

Definition: Äquivalenzumformung

(Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durchäquivalente Formel

Anwendung des Substitutionstheorems

Theorem

Äquivalenzumformung bildet mit den aufgelistetenwichtigen Äquivalenzen einen vollständigen Kalkül:

Wenn A, B logisch äquivalent sind, kann A in B umgeformt werden

Allgemeingültigkeit

Definition: Allgemeingültigkeit

Eine Formel ist allgemeingültig, wenn sie in allen Modellen wahr ist

Notation

Beispiele

A ∨ ¬A

A → A

(A ∧ (A → B)) → B

Notation

Beispiele

A ∨ ¬A

A → A

(A ∧ (A → B)) → B

Notation

Beispiele

A ∨ ¬A

A → A

(A ∧ (A → B)) → B

1Logik für Informatiker, SS ’06 – p.26

Deduktionstheorem

KB |= A gdw. KB → A ist allgemeingültig

(verbindet logische Folgerbarkeit und Allgemeingültigkeit)

Folgerungen

M ∪ {A} |= B gdw. M |= A → B

A, B sind logisch äquivalent gdw. A ↔ B ist allgemeingültig

Deduktionstheorem

KB |= A gdw. KB → A ist allgemeingültig

(verbindet logische Folgerbarkeit und Allgemeingültigkeit)

Folgerungen

M ∪ {A} |= B gdw. M |= A → B

A, B sind logisch äquivalent gdw. A ↔ B ist allgemeingültig

Erfüllbarkeit

Definition: Erfüllbarkeit

Eine Formel ist erfüllbar, wenn sie ein Modell hat

Beispiele

A ∨ B

A ∧ (A → B)

Erfüllbarkeit

Definition: Erfüllbarkeit

Eine Formel ist erfüllbar, wenn sie ein Modell hat

Beispiele

A ∨ B

A ∧ (A → B)

Unerfüllbarkeit

Definition: Unerfüllbarkeit

Eine Formel ist unerfüllbar, wenn sie in keinem Modell wahr ist, d.h.,

nicht erfüllbar ist

Beispiel

A ∧ ¬A

Unerfüllbarkeit

Definition: Unerfüllbarkeit

Eine Formel ist unerfüllbar, wenn sie in keinem Modell wahr ist, d.h.,

nicht erfüllbar ist

Beispiel

A ∧ ¬A

Allgemeingültigkeit / Ableitbarkeit / Unerfüllbarkeit

Theorem

A ist allgemeingültig gdw. ¬A ist unerfüllbar

(verbindet Allgemeingültigkeit und Unerfüllbarkeit)

Theorem

KB |= A gdw. (KB ∧ ¬A) ist unerfüllbar

(verbindet logische Ableitbarkeit und Unerfüllbarkeit)

Allgemeingültigkeit / Ableitbarkeit / Unerfüllbarkeit

Theorem

A ist allgemeingültig gdw. ¬A ist unerfüllbar

(verbindet Allgemeingültigkeit und Unerfüllbarkeit)

Theorem

KB |= A gdw. (KB ∧ ¬A) ist unerfüllbar

(verbindet logische Ableitbarkeit und Unerfüllbarkeit)

Verbindung der Eigenschaften

Aus den Theoremen folgt

Logische Folgerbarkeit

Unerfüllbarkeit

sind verbunden.

Kalkül für eine dieser Eigenschaften genügt

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