Post on 13-Apr-2017
���30
������� 1: ����� ����� ����
������ 1.2:
������� ���������� � !�"! #$����% ������� ���������� � !�"! #$����%
&������% ' (��%
����������
������������� ��� �
�������
�� ����������
�� ���������� ������
�� �� ���������������
!� " ��#����� �����$
%� &� '����( ��� �#�#���$��#�#�)*+,-./0�+
����������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
%� &� '����( ��� �#�#���$��#�#�)*+,-./0�+
1� ���2��� ��3���2�����������
&������ �2��� ��������$
�� �4$�5#�" ����$���� �����$
�� "�� �6� ���$ �����$�(�2��2���#
����4$�5#�7 8�� ���9��$ �����2:��
8��������
�. # "$% � � ������� %
�) ��$� ) � � ������� % ����):
�"�"�* �
� �� ����� (�� $!�% �)% )*)$����% ! +�������
� �� ��� ��� ��� ��� * ! +�� �,�� ��% " ��% �" � (�� �� )����� (��
���������)% " !�"! #$����%.
����������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
���������)% " !�"! #$����%.
�"�"�* -
� (-)
�"�"�* �
� (-)
-. ������1. � +��)�� )1. ��)��$% � +����� �
'���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
��� ������� ������������������������������� !����"��������������#� ����$%&��$�����#� ���$�����'
���#���� �� ����$#��� ��$����� ��(� ��$#��� ��$����#���)�����#�*#����$%&��$����� ����#���$�����'
log x
bx a b aανν= =
logb a
)�����#�*#����$%&��$����� ����#���$�����'
� ����*��+����:3
2
4
3
3
5
2 2
1/4 2
log 8 3 2 8
log 81 4 3 81
log 125 3 5 125
1 1 1log 1 /16 2
4 4 16
�
�
�
�
αϕο
αϕο
αϕο
αϕο
= =
= =
= =
� �= = =� �
� �
-. ������1. � +��)�� )2. &��*)# � � +��)�� )
(���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
� ��� ���30, �� *�� #�� ��.���) � /��� � � ! +����� �, �� ��� ����) $�) �
/��� ����) � 2, ��� �� ���0��$����� �� *��*)# (% ! +��)�� �%
�1��) �� �2�% ��� ����):
� �% * (�� � �% *��*)# (% ! +��)�� �% #�" )�� 0��)#3� ��)��3�:
; ./0;
2log logx x=
; ./0;; ./0;
1 log1=0
2 log2=1
4 log4=2
8 log8=3
16 log16=4
32 log32=5
64 log64=6
…
1024 log1024=10
; ./0;
2048 log2048=11
4096 log4096=12
8192 log8192=13
…
220 log220=20
230 log230=30
240 log240=40
…
-. ������1. � +��)�� )3. *)$����% ��� � +������� (&�����)% �� � +��)�� �%)
)���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
�4*� �"$ ��� "� �+ (���� *)�0���)� ����) ��0,% $�) )��(�):
� &�!�*� �#�,��% � � ��)�� ( «",0��)» �"� ��� �"$ � � ! +��)�� .
� �� �,2�� $�) ��*,����) ! +��)�� % �� ����) �5��,� % �� #�" )� *(����:
log logK
b ba K a=
� �� �,2�� $�) ��*,����) ! +��)�� % �� ����) �5��,� % �� #�" )� *(����:
� �$�� ���$ �� � ���"��)�� (�� #�) �% �2�%:
� 6�) "� � �� $�) �#�,��% ���$% &�� «",0��)».
� �� 5�. ���%: #�) �)*)#� +)� *��*)# (% ! +��)�� �%:
(log )Xb a
log Xb a
log log
log (log )
K
b b
X X
b b
a K a
a a
=
=
log log
log (log )
K
X X
a K a
a a
=
=
-. ������1. � +��)�� )3. *)$����% ��� � +������� (�!!�+� -���%)
*���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
��)� ������)#� )*)$����, ����)�� $��� ,� ��� �� �" ! +�� ��� #�" ) �
! +��)�� �� «"�����+�» /���, ����) � �#$! ���:
loglog
log
cb
c
aa
b=
� � )*)$���� ���� ����) " !( ����)�� $��� � /��� #�) �*) % ��)��$% ����)
*(���� � � 2.
� ����*��+����:
28
2
64
39
3
log 32 5log 32 1.66
log 8 3
log 2048 11log 2048 1.83
log64 6
log 27 3log 27 1.5
log 9 2
= = =
= = =
= = =
-. ������1. � +��)�� )3. *)$����% ��� � +������� (� +��)�� % �)� �,� � #�) 6!����� %)
+���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
� ��( �� #�) ) �2�% *( )*)$����%:
log ( ) log log
log log log
b b b
b b b
xy x y
xx y
y
= +
= −
� 6�) �)*)#� +)� *��*)# (% ! +��)�� �%:
���+�!� "� � �� �� ��� "������� " ����. � ! +��)�� % ,��) "�*�
�0��� +�%:
� ���� ��� "�������� " � ����) �,�� ��)% "�����,��)%
� ���� � ����� �"$��� �� )��� �� *�� �"��� �� "�����,��)%
� �� � �� ! )"$�: ���
log( ) log log
log log log
xy x y
xx y
y
= +
= −
log (log )b bxy x y= ⋅ log log ( )b bxy xy≠
-. ������1. � +��)�� )3. *)$����% ��� � +������� (�#0���� �% *(����)
,���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
�1� ��� #�) ��� �2�% (" !( ������)#�) )*)$����
� �0��� +,%:
logb xb x=
25
10
log 2
log ( )
5
10
n
n n
n
n n+
=
= +
� � )*)$���� ���� �� ��% 0���� )*)������ ����)�� $��� �� )������� ���
���������)% " !�"! #$����%, $" � �� �#0��. ��� �)% ���������)% �%
�#���)#,% �� /��� 2.
� ����*��+����: 22 log
log4 log4 2
2
4 2 2 2n
n
n n n
n =
= = =
10log ( )10
n nn n
+= +
-. ������1. � +��)�� )4. ���0)#� ��������� ��% f(x)=log x
������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
� ��� ���30 ��!����� ��� ���"��)0 �� ����������� ����"���)#� (�� �"�)� )
� �% ��2 ��� �)� ���)� ���� +��0)#� "�������� ��% f(x)=log x:
� ������� (�� $�):
� � f(x) ��2���) " !( ��+� (��� ����) �)#�$���� �"$ " )�*�" ��" !�����)#� ���������).
����$� ����"���)#� "�,"�) �� +����. ��� $�) �����) �� �"�)� .
-. ������1. � +��)�� )5. &)"!$% #�) ��)"!$% � +��)�� %
������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
��� �������� ��� #�) �)% �2�% ���������)%:
��% ���� � +��0��% ������ )�� ��� �����������:
1
2
( ) log log
( ) log log log
f n n
f n n
=
=
��% ���� � +��0��% ������ )�� ��� �����������:
�1��) ".�. ,� ���:
� �)� �)% " ��% �� "�,"�) �� +����. ���:
� �!!� #�) $�) ����"���)#� ���� �� �"���% �� �"�)�
1
2
( ) log(log )
( ) log(log(log ))
f n n
f n n
=
=
log(log 256) log(8) 3
log(log(log16)) log(log 4) log(2) 1
= =
= = =
log log log log log logn n n< <
�. ��� * ! +�� ��#�����1. �� 5� *) ����� � +�������
������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
���<��#���= �� <��#����
-�.!�&�
��/��.����0. ��1 �
log x
bx a b aανν= = log 2xx a aανν= =
log ( ) log logb b bxy x y= + log( ) log logxy x y= +
x x��/��.����2#�!�����
3##�/�4�!��
� ��� !�� ��.��&
�� ���!�� #�/��.���
5%6��!�"��� ���
log log logb b b
xx y
y= − log log log
xx y
y= −
loglog
log
cb
c
aa
b=
loglog
log 2
c
c
aa =
log logK
b ba K a= log logKa K a=
log (log )X X
b ba a= log (log )X Xa a=
logb xb x= log2 x x=
�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%
� �����% �#03���� �2�������:
� 6�) ��% *�� �� 5-6 ���������)%.
� ��� "���"���� ���� �# ! �� (�� ��� ������� ��� * ! +�� " �
���������) ��� �2�% /�����:
������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
��������� �� �(2 ��� ��)�� ����"���)#�% " !�"! #$����% �)%
"���#��� ���������)%
���������) ��� �2�% /�����:
1. -���# ��� � �(.) ��� ����������� �� �"�)�����).
1. �� ) ���������)% �" � (� �� ��2)� ��� (� (*�!�*� *�� �"����)
#�" )� �"� �*)$�)��� ���������) *�� ��� ��� )������� � �%,
�!!)3% "� ������ �� /��� 2
2. �#0��. ��� ��� �)% ���������)% �% �#���)#,% �� /��� � 2,
����)� " )3���% ��� )*)$����
3. 6�� ��� "��2�)% �� �% �#�,��% ��� ����������� (������% )*)$����%
! +�������)
4. �+#��� ��� � �% �#�,��% ��� ����������� #�) ����0,� ��� �
�" �,!���� ��)% ���)#,% ���������)%
log2 xx =
�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%1.�(���� � � �(.)
� � "� �+ (��� ������ ��*��� "�% �" � (�� �� �2�+ ��� � �(.) �)�%���������%.
� �)� ��� �2�+�+� � � �(.) �"�)�����) �� ,� ��� «#����� ��� ������» *�!�*� �� "�,"�) +)� �� �" 0��� (�� �� �# ! ���� ��� �)% �2�%�������)%:
� �� #�� ��� �� �).)#� *�����)%.
�'���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
� �� #�� ��� �� �).)#� *�����)%.
� �� #�� ��� �)% $" )�% "��2�)% *������� �"��� ��.
� �� �" ! +�� ��� �� #!������ ��)��3� #�) �� �� �#0��� ��� �%*�#�*)# (% ��)�� (%.
� �� #�� ��� �)% $" )�% �")���)��)#,% )*)$����%.
� ����7�! � �(���� � � �(.) ����) "� �)���)#�. &�!�*�:
� �� #���� ��������� *�� ,��) ��� ������ $��� � *�� �"��� ��������,% " !!�"!��)���,��% �� �)% ���������)%, � /��� ���$"���!��"���)!
����$� , �� ,��� ��� ��������� �"�)��� ��� �(���� � � �(.), �$����7���� 6� �� "�,"�) �� "�� ��� �(.) �� $!�% �)% ���������)%.
�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%1.�(���� � � �(.)
� �% � * (�� �� ,�� "���*�)+��:
�(���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
� ������� (�� $�) ,� ��� ��� ������ #�) ������,% " !/��% �� �)%
���������)%, ��� 2�#)���� ���� �"������ �� ��� �(���� � � �(.)
�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%2.�#���)#,% �� /��� � 2
� �� ��)% ���������)% " � ,� ��� ���� �� �(.) ,� ��� ��� � �
�"� �*)$�)��� ��������� �$�� �#0��. ��� ��� �)% ���������)%
(����7�! 8�) ,��) /+�) �� �(.) ) �% �#���)#,% �� /��� � 2.
� �% * (�� ��� �2,!)2� ��% �"������% �� "� �+ (��� "���*�)+��:
�)���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%3.���2�)% �� �% �#�,��% ��� �����������
�1"�)�� �" � �3� ��� � �% �#�,��% ��� ����������� #�) #�� ��� �)%
"��2�)% ��� ! +������� " � ,� �� ��0��)���� �� ��� (%.
� �$� % #�) "�!) ����) �� ,� ��� #����� ��� ������ #�) �� ,� �� ",��) $!�%
) *�����)% " � ����) �� �% ��)�� (% ��� ! +�������
� � "���*�)+�� " � ��!�����
�*���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%4.(+#�)�� ��� �#���3�
� ��!)#� /�. ��� �� ��� �(2 ��� ��)�� � �% �#�,��% ��� �����������, �0 (
���� �)% "��2�)% �� ,� �� �������"�� �� ��� �"$ �)% +����,% � �0,%.
-��)#$ *�+$ �� )��� +)� �� �" 0��� (�� ����) "���#�% �� �)% +����,%
� �0,% ����������� " !�"! #$����%.
� �� � ��!!! �� � "�������� " � ,��) "� #(5�) ����) "���"! #� (�� ���
,�� )� $�) ,� �� "� #(5�) +)�$���� �/#�) ��� ������, �$��:
�+���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
,�� )� $�) ,� �� "� #(5�) +)�$���� �/#�) ��� ������, �$��:
� ��� "�. ��� � � ��+�!(��� $� �"$ $� �% ����) ���� "��������
� �� "���"��� �"$ ��� ���������)% ,� �� � � �*) ��+�!(��� $� ,
�$�� �" 0���. ��� " )� ����) ��+�!(���� �"$ ���,%:
� # )�3���% � � ��,��% �"$��� $� �� � � " � ����)
" !!�"!��)���,�� � ���������. �.�:
� �� ,� ��� #�) "�!) )� "�!��, �$�� # )���� #�) � � �"$��� $�
� � ��� ����� %. �.�.:
� � /��� ���$, ) ������,% ,� �� �������! 9�� *�� "���!��"���)
#��,��% �"$ � �% $� �% " � ,� �� "� #(5�).
5 6 logn n n n< <
2 4 2 logn n n+ < +
� �)� ��� �"$0��� ��% )�������% ���)�.$����� �"$ ��� ������ $�)
�8" � ,� ��� "!, � ") ���!��)#�:
�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%4.(+#�)�� ��� �#���3�
�,���������� �������������������3 �# !��.�7.%�!�.%8 3#/�����"
���������������� ������������ ���������������������������������
( ) (1)nΤ = Θ )(log)( nn kΘ=Τ )()( knn Θ=Τ )()( nan Θ=Τ )!()( nn Θ=Τ
)()( nnn Θ=Τ
�8" � ,� ��� "!, � ") ���!��)#�:
���'����$ �����$ �6�2�
������ �(1)
����� �� 6� � 6>1 �������
«#����$» n
������ 6� � 6 �������
«#����$» n
�6��� 6� 1<a<2, �,/: �����,%
«#����$» n
����6��� 6� «#����$» n
log log log logKn n n< <
2 3 ... Kn n n n< < < <
... 2 3 ...n n n na b< < < < <
! nn n<
�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%4.(+#�)�� ��� �#���3�
�1��) #!��� ��� � "���*�)+�� " � ��!����� �% �2�%:
������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
��(�):
9�� ,"���):
23log log 2.32n n n< <
1 2 3f f f< <
�. ��� * ! +�� ��#�����2. ������� ���������� � !�"! #$����%� �% * (�� �3�� "�% "�,"�) �� ����) � �"������ ��% ��)% �2�����)%:
������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
�. ��#���)%��#��� 6����$���% 1
� " ! +���� � �% �#$! �� �% ! +����� �% ����% ��� ����� �" ! +)���. ��
*�� �" ����� �� � � �" ! +����� �#�)/3%, �#�)����� ����2( " )�� *(
0��)#3� ��)��3� ���#�) ! +��)�� %
������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
5
4
1.log 25
2.log 644
8
3
4
9
6
2.log 64
3.log 64
4.log7
5.log 45
6.log 62
7.log 33
8.log 80
9.log 244
�. ��#���)%��#��� 6����$���% 2
� " ! +���� � �% �#$! �� �% ! +��)�� �% #�� ���% �!!�+� /���%:
������������ ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
128
4
1.log 32
2.log 5124
9
4
2.log 512
3.log 27
4.log 1/ 2
�. ��#���)%�0��� +� 1
� ��������� �)% "���#��� ���������)% �� �(2 ��� ��)�� ����"���)#�%
" !�"! #$����%:
�'���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
log
1
log
2
( ) 1.5
( ) 10log
( ) 0.005log
n
n
n
f n n
f n n
f n n
=
=
=3
4
( ) 0.005log
( ) 1.15
n
n
f n n
f n n
=
=
�. ��#���)%�0��� +� 2
� ��������� �)% "���#��� ���������)% �� �(2 ��� ��)�� ����"���)#�%
" !�"! #$����%:
�(���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
log
1
5 2 6
2
( ) 8log 4
( ) 10( )
n nf n n n n
f n n n n
= +
= + +
2 5 7
3
4
4
( )
( ) log n
f n n n n
f n n
= ⋅ +
=
�. ��#���)%�0��� +� 3
� ��������� �)% "���#��� ���������)% �� �(2 ��� ��)�� ����"���)#�%
" !�"! #$����%:
�)���������� ���������������������������� ����!�" ��# $#�%&�����
1
2
( ) 3
( ) log( )
n
n
f n
f n n
=
=
log
3
5
4
( ) 2
( ) ( )
n
n
f n
f n n
=
=