Γραμμική Αλγεβρα

Μετασχηματισμοί

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

9 Δεκεμβρίου 2013

Μετασχηματισμοί στον R2

Μετασχηματισμοί στον R2

Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με

πολλαπλασιασμό πινάκων

Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax

Δηλαδή

x → y = Ax

Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

Μετασχηματισμοί στον R2

Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με

πολλαπλασιασμό πινάκων

Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax

Δηλαδή

x → y = Ax

Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

Μετασχηματισμοί στον R2

Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με

πολλαπλασιασμό πινάκων

Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax

Δηλαδή

x → y = Ax

Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

Μετασχηματισμοί στον R2

Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με

πολλαπλασιασμό πινάκων

Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax

Δηλαδή

x → y = Ax

Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn

Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν

1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn

Ορισμός

Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς

συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί

Θεώρημα

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με

πίνακα

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn

Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν

1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn

Ορισμός

Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς

συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί

Θεώρημα

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με

πίνακα

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn

Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν

1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R

3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn

Ορισμός

Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς

συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί

Θεώρημα

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με

πίνακα

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn

Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν

1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn

Ορισμός

Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς

συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί

Θεώρημα

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με

πίνακα

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn

Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν

1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn

Ορισμός

Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς

συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί

Θεώρημα

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με

πίνακα

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn

Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν

1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn

Ορισμός

Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς

συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί

Θεώρημα

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με

πίνακα

Παραδείγματα

1

[10

]→

234

και [01

]→

468

2

[11

]→

6912

και [ 2−1

]→

000

Παραδείγματα

1

[10

]→

234

και [01

]→

468

2

[11

]→

6912

και [ 2−1

]→

000

Ασκηση

Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την

1 παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

2 ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ an−1x

n−1 + anxn

p′n(x) = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .+ (n− 1)an−1x

n−2 + nanxn−1

pn(x)↔

a0a1a2. . .

an−1an

p′n(x)↔

0a12a2. . .

(n − 1)an−1nan

Ασκηση

Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την

1 παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

2 ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ an−1x

n−1 + anxn

p′n(x) = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .+ (n− 1)an−1x

n−2 + nanxn−1

pn(x)↔

a0a1a2. . .

an−1an

p′n(x)↔

0a12a2. . .

(n − 1)an−1nan

Ασκηση

Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την

1 παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

2 ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ an−1x

n−1 + anxn

p′n(x) = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .+ (n− 1)an−1x

n−2 + nanxn−1

pn(x)↔

a0a1a2. . .

an−1an

p′n(x)↔

0a12a2. . .

(n − 1)an−1nan

Ασκηση

Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την

1 παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

2 ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ an−1x

n−1 + anxn

p′n(x) = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .+ (n− 1)an−1x

n−2 + nanxn−1

pn(x)↔

a0a1a2. . .

an−1an

p′n(x)↔

0a12a2. . .

(n − 1)an−1nan

Ασκηση

Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την

1 παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

2 ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ an−1x

n−1 + anxn

p′n(x) = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .+ (n− 1)an−1x

n−2 + nanxn−1

pn(x)↔

a0a1a2. . .

an−1an

p′n(x)↔

0a12a2. . .

(n − 1)an−1nan

Πίνακας Μετασχηματισμού

΄Εστω v1, v2, . . . , vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wn βάση του Wτότε

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο Wμπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A

Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζονταςτον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της vj τηςβάσης του V

Avj = a1,jwj + a2,jw2 + . . .+ am,jwm

Πίνακας Μετασχηματισμού

΄Εστω v1, v2, . . . , vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wn βάση του Wτότε

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο Wμπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A

Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζονταςτον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της vj τηςβάσης του V

Avj = a1,jwj + a2,jw2 + . . .+ am,jwm

Πίνακας Μετασχηματισμού

΄Εστω v1, v2, . . . , vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wn βάση του Wτότε

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο Wμπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A

Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζονταςτον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της vj τηςβάσης του V

Avj = a1,jwj + a2,jw2 + . . .+ am,jwm

Πίνακας Μετασχηματισμού

΄Εστω v1, v2, . . . , vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wn βάση του Wτότε

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο Wμπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A

Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζονταςτον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της vj τηςβάσης του V

Avj = a1,jwj + a2,jw2 + . . .+ am,jwm

Περιστροφή

Qθ =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)

Περιστροφή

Qθ =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)

Περιστροφή

Qθ =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)

Περιστροφή

QθQ−θ =

I ⇒ Q−1θ = Q−θ

Qθ1Qθ2 = Qθ1+θ2

...

Περιστροφή

QθQ−θ = I

⇒ Q−1θ = Q−θ

Qθ1Qθ2 = Qθ1+θ2

...

Περιστροφή

QθQ−θ = I ⇒ Q−1θ = Q−θ

Qθ1Qθ2 = Qθ1+θ2

...

Περιστροφή

QθQ−θ = I ⇒ Q−1θ = Q−θ

Qθ1Qθ2 =

Qθ1+θ2

...

Περιστροφή

QθQ−θ = I ⇒ Q−1θ = Q−θ

Qθ1Qθ2 = Qθ1+θ2

...

Περιστροφή

QθQ−θ = I ⇒ Q−1θ = Q−θ

Qθ1Qθ2 = Qθ1+θ2

...

Μετασχηματιμός Γινομένου

xA→ y

B→ z ⇒ xAB→ z

Συμπέρασμα

AπαραγAoλoκλ = I ⇒ A−1παραγ = Aoλoκλ

Μετασχηματιμός Γινομένου

xA→ y

B→ z ⇒ xAB→ z

Συμπέρασμα

AπαραγAoλoκλ = I

⇒ A−1παραγ = Aoλoκλ

Μετασχηματιμός Γινομένου

xA→ y

B→ z ⇒ xAB→ z

Συμπέρασμα

AπαραγAoλoκλ = I ⇒ A−1παραγ = Aoλoκλ

Παράδειγμα - Προβολή

Pθ =

(cos2 θ − cos θ sin θ

cos θ sin θ sin2 θ

)

Παράδειγμα - Προβολή

Pθ =

(cos2 θ − cos θ sin θ

cos θ sin θ sin2 θ

)

Παράδειγμα - Προβολή

Pθ =

(cos2 θ − cos θ sin θ

cos θ sin θ sin2 θ

)

Προβολή

P2 =

P ⇒ Pk = P

Ο P δεν αντιστρέφεται

Ο P είναι συμμετρικός

...

Προβολή

P2 = P

⇒ Pk = P

Ο P δεν αντιστρέφεται

Ο P είναι συμμετρικός

...

Προβολή

P2 = P ⇒ Pk = P

Ο P δεν αντιστρέφεται

Ο P είναι συμμετρικός

...

Προβολή

P2 = P ⇒ Pk = P

Ο P δεν αντιστρέφεται

Ο P είναι συμμετρικός

...

Προβολή

P2 = P ⇒ Pk = P

Ο P δεν αντιστρέφεται

Ο P είναι συμμετρικός

...

Παράδειγμα - Ανάκλαση

Hθ =

(2 cos2 θ − 1 2 cos θ sin θ2 cos θ sin θ 2 sin2 θ − 1

)

Παράδειγμα - Ανάκλαση

Hθ =

(2 cos2 θ − 1 2 cos θ sin θ2 cos θ sin θ 2 sin2 θ − 1

)

Παράδειγμα - Ανάκλαση

Hθ =

(2 cos2 θ − 1 2 cos θ sin θ2 cos θ sin θ 2 sin2 θ − 1

)

Ανάκλαση

H2 =

I ⇒ H−1 = H

H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px

Ο H είναι συμμετρικός

...

Ανάκλαση

H2 = I

⇒ H−1 = H

H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px

Ο H είναι συμμετρικός

...

Ανάκλαση

H2 = I ⇒ H−1 = H

H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px

Ο H είναι συμμετρικός

...

Ανάκλαση

H2 = I ⇒ H−1 = H

H = 2P − I

⇒ Hx + x = 2Px

Ο H είναι συμμετρικός

...

Ανάκλαση

H2 = I ⇒ H−1 = H

H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px

Ο H είναι συμμετρικός

...

Ανάκλαση

H2 = I ⇒ H−1 = H

H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px

Ο H είναι συμμετρικός

...