Γραμμική Αλγεβρα

Θεμελιώδεις Θεώρημα (μέρος 1ο)

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

15 Δεκεμβρίου 2013

Βάση του αριστερού μηδενόχωρου

Θεώρημα

Βάση του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι οι γραμμές τουL−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U.

Απόδειξη.

A = LU ⇒ L−1A = U

Βάση του αριστερού μηδενόχωρου

Θεώρημα

Βάση του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι οι γραμμές τουL−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U.

Απόδειξη.

A = LU ⇒ L−1A = U

Βάση του αριστερού μηδενόχωρου

Θεώρημα

Βάση του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι οι γραμμές τουL−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U.

Απόδειξη.

A = LU ⇒ L−1A = U

Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων

1 Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουνοδηγό.

2 Χώρος στηλών - Οι στήλες του A που αντιστοιχούν στιςστήλες του U που φέρουν οδηγό.

3 Μηδενόχωρος - ΄Ενα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων

του ομογενούς (δες αλγόριθμο).

4 Αριστερός Μηδενόχωρος - οι γραμμές του L−1που

αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U.

Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων

1 Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουνοδηγό.

2 Χώρος στηλών - Οι στήλες του A που αντιστοιχούν στιςστήλες του U που φέρουν οδηγό.

3 Μηδενόχωρος - ΄Ενα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων

του ομογενούς (δες αλγόριθμο).

4 Αριστερός Μηδενόχωρος - οι γραμμές του L−1που

αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U.

Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων

1 Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουνοδηγό.

2 Χώρος στηλών - Οι στήλες του A που αντιστοιχούν στιςστήλες του U που φέρουν οδηγό.

3 Μηδενόχωρος - ΄Ενα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων

του ομογενούς (δες αλγόριθμο).

4 Αριστερός Μηδενόχωρος - οι γραμμές του L−1που

αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U.

Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων

1 Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουνοδηγό.

2 Χώρος στηλών - Οι στήλες του A που αντιστοιχούν στιςστήλες του U που φέρουν οδηγό.

3 Μηδενόχωρος - ΄Ενα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων

του ομογενούς (δες αλγόριθμο).

4 Αριστερός Μηδενόχωρος - οι γραμμές του L−1που

αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U.

Συμπληρωματικότητα Χώρων

Θεώρημα

Το άθροισμα της διάστασης του χώρου γραμμών και του

μηδενόχωρου ισούται με n.

Απόδειξη.

Θεώρημα

Το άθροισμα της διάστασης του χώρου στηλών και του

αριστερού μηδενόχωρου ισούται με m.

Απόδειξη.

Ανέστρεψε τον πίνακα και επανέλαβε την προηγούμενη

απόδειξη.

Συμπληρωματικότητα Χώρων

Θεώρημα

Το άθροισμα της διάστασης του χώρου γραμμών και του

μηδενόχωρου ισούται με n.

Απόδειξη.

Θεώρημα

Το άθροισμα της διάστασης του χώρου στηλών και του

αριστερού μηδενόχωρου ισούται με m.

Απόδειξη.

Ανέστρεψε τον πίνακα και επανέλαβε την προηγούμενη

απόδειξη.

Συμπληρωματικότητα Χώρων

Θεώρημα

Το άθροισμα της διάστασης του χώρου γραμμών και του

μηδενόχωρου ισούται με n.

Απόδειξη.

Θεώρημα

Το άθροισμα της διάστασης του χώρου στηλών και του

αριστερού μηδενόχωρου ισούται με m.

Απόδειξη.

Ανέστρεψε τον πίνακα και επανέλαβε την προηγούμενη

απόδειξη.

Θεμελιώδες Θεώρημα Γραμμικής Αλγεβρας

΄Υπαρξη Αντιστρόφων

Ορισμός

Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A ανν BA = I

Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC = I

Εάν n = m = r τότε ο αριστερός αντίστροφος ταυτίζεται με τονδεξιό και είναι μοναδικός.

΄Υπαρξη Αντιστρόφων

Ορισμός

Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A ανν BA = I

Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC = I

Εάν n = m = r τότε ο αριστερός αντίστροφος ταυτίζεται με τονδεξιό και είναι μοναδικός.

΄Υπαρξη Αντιστρόφων

Ορισμός

Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A ανν BA = I

Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC = I

Εάν n = m = r τότε ο αριστερός αντίστροφος ταυτίζεται με τονδεξιό και είναι μοναδικός.

Τύποι Αντιστρόφων

B =(ATA

)−1AT

C = AT(AAT

)−1

Γιατί (και πότε) αντιστρέφονται οι ATA AAT;

Τύποι Αντιστρόφων

B =(ATA

)−1AT

C = AT(AAT

)−1

Γιατί (και πότε) αντιστρέφονται οι ATA AAT;

Τύποι Αντιστρόφων

B =(ATA

)−1AT

C = AT(AAT

)−1

Γιατί (και πότε) αντιστρέφονται οι ATA AAT;

΄Υπαρξη Λύσης

Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλεςτου A παράγουν τον Rm

m

Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν r = m(και m ≤ n)

m

Εάν r = m (και m ≤ n) τότε υπάρχει δεξιός αντίστροφος του A

΄Υπαρξη Λύσης

Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλεςτου A παράγουν τον Rm

m

Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν r = m(και m ≤ n)

m

Εάν r = m (και m ≤ n) τότε υπάρχει δεξιός αντίστροφος του A

΄Υπαρξη Λύσης

Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλεςτου A παράγουν τον Rm

m

Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν r = m(και m ≤ n)

m

Εάν r = m (και m ≤ n) τότε υπάρχει δεξιός αντίστροφος του A

΄Υπαρξη Λύσης

Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλεςτου A παράγουν τον Rm

m

Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν r = m(και m ≤ n)

m

Εάν r = m (και m ≤ n) τότε υπάρχει δεξιός αντίστροφος του A

΄Υπαρξη Λύσης

Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλεςτου A παράγουν τον Rm

m

Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν r = m(και m ≤ n)

m

Εάν r = m (και m ≤ n) τότε υπάρχει δεξιός αντίστροφος του A

Μοναδικότητα Λύσης

Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες τουA είναι γραμμικά ανεξάρτητες

m

Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν r = n (καιn ≤ m)

m

Εάν r = n (και n ≤ m) τότε υπάρχει αριστερός αντίστροφος τουA

Μοναδικότητα Λύσης

Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες τουA είναι γραμμικά ανεξάρτητες

m

Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν r = n (καιn ≤ m)

m

Εάν r = n (και n ≤ m) τότε υπάρχει αριστερός αντίστροφος τουA

Μοναδικότητα Λύσης

Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες τουA είναι γραμμικά ανεξάρτητες

m

Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν r = n (καιn ≤ m)

m

Εάν r = n (και n ≤ m) τότε υπάρχει αριστερός αντίστροφος τουA

Μοναδικότητα Λύσης

Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες τουA είναι γραμμικά ανεξάρτητες

m

Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν r = n (καιn ≤ m)

m

Εάν r = n (και n ≤ m) τότε υπάρχει αριστερός αντίστροφος τουA

Μοναδικότητα Λύσης

Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες τουA είναι γραμμικά ανεξάρτητες

m

Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν r = n (καιn ≤ m)

m

Εάν r = n (και n ≤ m) τότε υπάρχει αριστερός αντίστροφος τουA

΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης

Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια καιAx = ACb = b, μπορεί όμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις(C ).

Αν το Ax = b έχει λύση τότε αυτή θα είναι της μορφήςx = BAx = Bb .

΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης

Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb

μια και

Ax = ACb = b, μπορεί όμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις(C ).

Αν το Ax = b έχει λύση τότε αυτή θα είναι της μορφήςx = BAx = Bb .

΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης

Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια καιAx = ACb = b,

μπορεί όμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις

(C ).

Αν το Ax = b έχει λύση τότε αυτή θα είναι της μορφήςx = BAx = Bb .

΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης

Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια καιAx = ACb = b, μπορεί όμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις(C ).

Αν το Ax = b έχει λύση τότε αυτή θα είναι της μορφήςx = BAx = Bb .

΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης

Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια καιAx = ACb = b, μπορεί όμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις(C ).

Αν το Ax = b έχει λύση τότε αυτή θα είναι της μορφήςx = BAx = Bb .

Παράδειγμα

A =

[4 0 00 5 0

]

m = 2, n = 3, r = 2

Παράδειγμα

A =

[4 0 00 5 0

]m = 2, n = 3, r = 2

Πίνακες τάξης 1

A =

2 1 14 2 28 4 4−2 −1 −1

=

124−1

[2 1 1]

Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί να γραφθεί στην μορφή A = uvT

Πίνακες τάξης 1

A =

2 1 14 2 28 4 4−2 −1 −1

=

124−1

[2 1 1]

Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί να γραφθεί στην μορφή A = uvT

Πίνακες τάξης 1

A =

2 1 14 2 28 4 4−2 −1 −1

=

124−1

[2 1 1]

Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί να γραφθεί στην μορφή A = uvT