ΗΥ120 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ

Συναρτησεις Boole

Παρασταση Λογικων Μεταβλητων με Διαγραμματα Venn

x x x

(a) Λογικο 1 (b)Λογικο 0

(c) μεταβλητη x (d) x

x

Παρασταση Λογικων Μεταβλητων με Διαγραμματα Venn (2)

x y

z

x

x y x y

(e) (f)

(g) (h)

x y x y +

x y z + x y

y

Επαληθευση της επιμεριστικης ιδιοτητας

• x y

z

x y

z

x y

z

x y

z

x y

z

x y

z

x x y

x y x + z x y z +

(a) (d)

(c) (f)

x z y z + (b) (e)

Επαληθευση της σχεσης xy + xz = xy+xz+yz

x y x + z

x y

z

x y

x y

z

x z

y

z

x

y

z

x

x y x + z y z +

x y

z

y x

z

x y

z

x y

y z

x z

Προτεραιοτητα Πραξεων

• Οι πραξεις στις εκφρασεις Boole εκτελουνται με την ακολουθη σειρα:

• Πραξεις εντος παρενθεσεων

• ΝΟΤ

• AND

• OR

• Π.χ.

• ΟΡΙΣΜΟΙ:

• Δυαδικη μεταβλητη = μεταβλητη που παιρνει τιμες 0 ή 1

• Συναρτηση Boole: Μια εκφραση με δυαδικες μεταβλητες που συνδεονται με δυαδικες πραξεις. Π.χ.

zyxyxz )(

zyxF

Συναρτησεις Boole

• Οι συναρτησεις Boole μπορουν να περιγραφουν:– Mε μια αλγεβρικη εκφραση, εστω n μεταβλητων

– Με εναν πινακα αληθείας: • Ο πινακας αληθειας συναρτησης με n μεταβλητες εχει 2n γραμμες (ολες τις

δυνατες n-αδες bits).

• Σε καθε γραμμη του πινακα αληθειας η συναρτηση παιρνει την τιμη 0 ή 1.

– Με λογικες πυλες (λογικο κυκλωμα)

– Με το συνολο των ελαχιστορων της

– Με το συνολο των μεγιστορων της

• Μια συναρτηση Boole μπορει να εχει πολλες εκφρασεις:– Οι εκφρασεις αυτες ειναι ισοδυναμες

– Προσπαθουμε να βρουμε την απλουστερη δυνατη εκφραση (ελαχιστοποιηση συναρτησης)

– Υπαρχουν διαφορα κριτηρια ελαχιστοποιησης

Αλγεβρικοι μετασχηματισμοι συναρτησεων Boole

• Απλοποιηση της εκφρασης :

οροι γινομενου

• Η συναρτηση ειναι σε μορφη αθροισματος γινομενων.

• Προσπαθουμε να βρουμε συναρτηση που να ειναι αθροισμα του μικροτερου δυνατου αριθμου γινομενων με τους λιγοτερους ορους

• Ελαχιστοποιουμε...

DBCDCBAABDABC

CDB

BCDBACDBCDBADBCDCBBA

DBCDCAAABDBCDCBAAB

DBCDCBACABDBBACDCBAABC

DADBCDCBAABCDBCDCBAABDABC

)(

))((

)1(

)(

f

(a) «Αθροισμα γινομενων» f = x1x2 + x1x2 + x1x2

f

(b) Υλοποιηση ελαχιστου κοστους f = x1 + x2

x 2

x 1

x 1

x 2

πινακας αληθειας συναρτησης f

Δυο υλοποιησεις μιας συναρτησης

x1x2

x1x2

x1x2

Πινακας αληθειας της συναρτησης x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

313222311132

321321321321

)()( xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxf

f

(a)Ελαχιστοποιημενη υλοποιηση ως αθροισμα γινομενων

f

(b) Ελαχιστοποιημενη υλοποιηση ως γινομενο αθροισματων

x1

x2

x3

x2

x1x3

x2x3

x3x1

x1+x3

x3+x2

Πινακας Αληθειας ελεγκτη φωτισμου τριων δρομων

x1x2

x3

321321

321321

xxxxxx

xxxxxxf

f

Υλοποιηση του ελεγκτη φωτισμου τριων δρομωνσε μορφη αθροισματος γινομενων

x 1 x 2 x 3

Υλοποιηση του ελεγκτη φωτισμου τριων δρομωνσε μορφη γινομενου αθροισματων

f

x 1

x 2

x 3

Ελαχιστοποιηση Συναρτησεων Boole

Ελαχιστοροι και μεγιστοροι συναρτησης

Θεωρουμε n μεταβλητες {x1, x2,…, xn} και τις συμπληρωματικες τους

Ονομαζουμε ελαχιστορους τα γινομενα Α1Α2…Αn οπου

- Υπαρχουν 2n ελαχιστοροι (minterms ή standard products) Ονομαζομε μεγιστορους τα αθροισματα Α1+Α2+...+Αn οπου:

- Υπαρχουν επισης 2n μεγιστοροι (Maxterms ή standard sums)

},...,,{ 21 nxxx

kkk xήxA

kkk xήxA

Οι ελαχιστοροι και μεγιστοροι δυο μεταβλητων

x y m0=x´y´ m1= x´y m2= xy´ m3=xy F m1+m2

0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 1 1

1 0 0 0 1 0 1 1

1 1 0 0 0 1 0 0

x y M0=x+y M1=x+y´ M2=x´+y M3=x´+y´ F M0M3

0 0 0 1 1 1 0 0

0 1 1 0 1 1 1 1

1 0 1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 1 0 0 0

Μk=mk´

Οι ελαχιστοροι και μεγιστοροι τριων μεταβλητων

Mk = mk´

Ελαχιστοροι και μεγιστοροι

• Συμβολισμοι:

• Ελαχιστορος mk = γινομενο μεταβλητων ή συμπληρωματων τους το οποιο γινεται 1 για εκεινο τον συνδυασμο τιμων των μεταβλητων που διδει τον αριθμο k σε δυαδικη μορφη.– Παραδειγμα: n=3 μεταβλητες x,y,z => m0=x´y´z´ (=1 για xyz=000=010)

m3=x´yz (=1 για xyz=011=310), m6=xyz´ (=1 για xyz=110=610)

• Μεγιστορος Μk =αθροισμα μεταβλητων ή των συμπληρωματων τους το οποιο γινεται 0 για εκεινο τον συνδυασμο τιμων των μεταβλητων που διδει τον αριθμο k σε δυαδικη μορφη.– Παραδειγμα: n=3 μεταβλητες x,y,z=> M0=x+y+z (=0 για xyz=000=0)

M3=x+y´+z´(=0 για 011=3), M6=x´+y´+z (=0 για 110=6).

• Βασικη σχεση Μk=mk´ και mk=Mk´

– Παραδειγμα: m3= x´yz =(x+y´+z´)´ = Mk´

Βασικες Ιδιοτητες των ελαχιστορων και μεγιστορων

• Μk = mk´

• Καθε συναρτηση γραφεται – σαν αθροισμα των ελαχιστορων «της» ή

– σαν γινομενο των μεγιστορων «της».

• Ενας ελαχιστορος «ανηκει» σε μια συναρτηση αν γινεται 1 με ενα συνδυασμο τιμων των μεταβλητων με τον οποιον και η συναρτηση γινεται 1.

• Μια συναρτηση που αποτελειται απο το αθροισμα των ελαχιστορων mk , kI, (I ειναι το συνολο των δεικτων των ελαχιστορων που ανηκουν στην συναρτηση) συμβολιζεται οπως πιο κατω:

• Αν Ι´ ειναι το συμπληρωματικο συνολο του Ι τοτε:

Ik

kk IkmmF }|{

Ik

nk IIIImF },12,...,1,0{, 19

Βασικες Ιδιοτητες των ελαχιστορων και μεγιστορων

• Ομοιως μπορουμε να γραψουμε:

• Πραγματι εχουμε:

• Τελικα:

Ik

kIk

k MFMF ,

Ik Ikkk

Ikk MmmFF )(

Ik Ik

nkk MmF }12,...,2,1,0{,,

20

Κανονικες και προτυπες μορφες

• Κανονικες μορφες ειναι – τα αθροισματα ελαχιστορων,

F = m2+m4+m5+m6+m7

– τα γινομενα μεγιστορων

F = M0M2M4M5

• Προτυπες μορφες ειναι:– Τα αθροισματα γινομενων

F = y´+xy+x´yz´

– τα γινομενα αθροισματων

F = x(y´+z)(x´+y+z´+w)

–

Μετατροπη συναρτησης σε κανονικη μορφη

• Αθροισμα ελαχιστορων:

• Γινομενο μεγιστορων:

• Ετσι:

)7,6,5,4,2(

)()(

)()(

24567 mmmmmzyxzxyzyx

zyxzxyxyzzyxzxyzzyxzzxy

zyxzxyyxxyxxzyyyxzyxF

)1,3,6,7(''''' zyxyzxxyzxyzzxxyG

)0,2,4,5()')()('(

))('')('()')(')(''(

))()(')('())('('

402054 MMMMMMzyxzyxzyx

zyxzyxzyxzyxxzyyxzzyx

zyzxyxxxzxyxxyzxxyG

)0,2,4,5()1,3,6,7(G22

Αλλες Λογικες Πραξεις

• Με n μεταβλητες εχουμε 2n ελαχιστορους (και μεγιστορους).

• Ενας ελαχιστορος μπορει να ανηκει σε μια συναρτηση ή να μην ανηκει.

• Κατα συνεπεια υπαρχουν διαφορετικες συναρτησεις των n μεταβλητων:

Για n=1 εχουμε τις ακολουθες συναρτησεις

• n 2n x F0 F1 F2 F3

• 1 2 4 0 0 0 1 1

• 2 4 16 1 0 1 0 1

• 3 8 64 0 x x´ 1

• 4 16 4096 Συναρτησεις μιας μεταβλητης

n22

n22

Συναρτησεις των δυο μεταβλητων F(x,y)

• Υπαρχουν 16 διαφορετικες συναρτησεις με δυο μεταβλητες

x y F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 xy xy´ x x´y y xy x+y (x+y)´ xy y´ x´y x´ x+y´ (xy)´ 1

AND XOR OR NOR XNOR NAND

NOR: (xy)= (x+y)´ = x´y´ NOT-OR (ΟΥΤΕ)

NAND: (xy) = (xy)´ = x´+y´ NOT-AND

XOR: xy = xy´+x´y Exclusive OR (Αποκλειστικο Η)

XNOR (or XOR): xy = xy+x´y´ Exclusive NOR (Ισοδυναμιας)

Σημαντικες συναρτησεις δυο μεταβλητων

• ΟΝΟΜΑ ΣΥΜΒΟΛΟ (ΠΥΛΗ) Συναρτηση ορισμου• AND f = xy

• OR f = x+y

• NOT f = x´

• BUFFER f = x

• NAND f = (xy)´= (x´+y)´

• NOR f = (x+y)´= x´y´

• XOR f = xy = xy´+x´y

• XNOR f = xy = xy + x´y´

f x y

x f

f

y

x

x f

x

y f

f xy

xy f

xy 26

Οικουμενικοτητα των πυλων NOR και NAND

• Οι πυλες NAND και NOR ειναι οικουμενικες δηλαδη μπορουμε να ορισουμε την Αλγεβρα Boole με μια απο τις δυο συναρτησεις και μονο.

• Πραγματι με την συναρτηση NOR μπορουμε να ορισουμε τις βασικες συναρτησεις AND, OR και NOT: x y = (x+y)´– NOT: x´=(x+x)´ x´ = xx– AND: xy = (x´)´·(y´)´=(x´+y´)´ xy = (xx )(yy)

– OR: x+y = ((x + y)´)´ x+y = (xy) (xy)

• Ομοιως με την συναρτηση NΑΝD μπορουμε να ορισουμε τις βασικες συναρτησεις AND, OR και NOT: x y= (xy)´– NOT: x´=(xx)´ x´ = xx– ΟR: x+y = (x´y´)´ x+y = (x x ) (y y)

– AND: xy = ((x y)´)´ xy = (x y) (x y)

Γραφικη παρουσιαση

Μη επιμεριστικοτητα των NAND και NOR

• Θα δειξουμε οτι οι πραξεις NAND και NOR ειναι μη επιμεριστικες, δηλαδη οτι (x y) z x (y z) και οτι (x y) z x (y z):

• (x y) z = (xy)´ z = ((xy)´ z)´= xy+z´

• x (y z) = x (yz)´ = (x(yz)´)´ = x´ + yz xy+z´

• Oμοιως:

• (x y) z = (x+y)´ z = ((x+y)´+z)´ = (x+y)z´ = x z´+y z´

• x (y z) = x (y+z)´ = (x+(y+z)´)´= x´(y+z) = x´y+x´z x z´+y z´

• Η μη επιμεριστικοτητα των δυο αυτων πραξεων αποκλειει την συνθεση πυλων NAND και NOR με χρηση πυλων δυο εισοδων (οπως συμβαινει π.χ. με τις πυλες AND και OR πολλων εισοδων)

• Ετσι x•y•z = x• (y•z) ενω δεν υπαρχει παρομοια σχεση για την NOR

Αλλες Ιδιοτητες των NAND και NOR

• Η πραξη NAND ειναι εκεινη της οποιας η πυλη υλοποιειται ευκολωτερα στις διαφορες οικογενειες Ολοκληρωμενων Κυκλωματων (Integrated Circuits –Ics), και αποτελει την βαση για την υλοποιηση των αλλων πυλων.

• Αν μια συναρτηση ειναι στην μορφη "αθροισμα γινομενων" τοτε υλοποιειται πολυ ευκολα με πυλες ΝAND, αντικαθιστωντας απλα τις πυλες AND και OR με πυλες NAND.

xyz´

xyz´

zy´

zy´

f f

xyz´+zy´ = ((xyz´)´·(zy´)´)´ Κανονας DeMorgan

Οι πραξεις XOR και XNOR ειναι αντιμεταθετικες και επιμεριστικες

• Πραγματι ειναι αντιμεταθετικες , διοτι:• xy = xy´+x´y και yx =yx´+y´x = xy´+x´y => xy = yx , και• xy = xy + x´y´ και yx= yx+ y´x´= xy + x´y´ => xy = yx

• Βασικη Ιδιοτητα: xy=(xy)´ και xy = (xy)´(xy)´= (xy´+x´y)´ = (x´+y)(x+y´) = x´x + x´y´+yx+yy´=xy +x´y´= xy

• Ειναι επιμεριστικες διοτι:• x(yz)=x(yz´+y´z) = x´(yz´+y´z)+x(yz´+y´z)´= = x´yz´+ x´y´z+x(yz+y´z´) = x´yz´+ x´y´z +xyz +xy´z´• (xy)z = (xy´+x´y)z = (xy´+x´y)z´+ (xy´+x´y)´z = = xy´z´+x´yz´+(xy + x´y´)z= xy´z´+x´yz´+xyz + x´y´z Αρα x(yz)= (xy)z = xyz