Post on 13-Sep-2018
(1) Rayon de la Terre (à 2%) Eratosthène, Alexandrie (Egypte), IIIème siècle av JC
(Soleil au zénith)
Angle α mesuré par Eratosthène à Alexandrie
Résultat : α ≈ 2π/50
Mesure effectuée le jour du solsLce d’été
Distance Alexandrie-‐Syène connue (caravanes de chameaux : 1 stade ≈ 158 m)
AS ≈ 50 jours × 100 stades/j ≈ 5000 stades ≈ 790 km
Calcul : 2π R ≈ 50 AS ≈ 250 000 stades ≈ 39500 km
R = AS / α ≈ 40000 stades ≈ 6300 km (valeur moderne : 6378 km à l’équateur)
(1) Rayon de la Terre (à 2%) Eratosthène, Alexandrie (Egypte), IIIème siècle av JC
(2) Distance Terre-Lune (à 15%) Aristarque de Samos, Samos (Grèce), IIIème siècle av JC & Hipparque, IIème siècle av JC
Ombre de la Terre
Lumière du Soleil
Mesure historique d’Aristarque : Il remarque que d ≈ 3 RLune Il en déduit RLune ≈ RTerre/3 ≈ 2 100 km (Valeur moderne : 1737 km à l’équateur soit RLune/RTerre = 1/3.67 )
Il connaît par ailleurs le diamètre apparent de la Lune : 2α ≈ 2° (en fait 0.5°) Il en déduit : D ≈ RLune/tan(α) ≈ 19 RTerre Calcul avec trigo+valeur correcte de α (Hipparque) : D ≈ 62-‐77 RTerre (Valeur moderne : demi-‐grand axe = 384 400 km ≈ 60 RTerre)
d parcou
rue en
Δt
D
(3) Distance Terre-Soleil (à 80%...) Aristarque de Samos, Samos (Grèce), IIIème siècle av JC & Hipparque, IIème siècle av JC
Lune
Terre
Soleil
90°
α
DLune
DSoleil
Mesure de α lorsque la lune est à son demi quarLer
DSoleil = DLune / Cos(α)
Problème : α très proche de 90° (89.85°) soit DSoleil/Dlune= 382 Aristarque mesure DSoleil/Dlune≈ 19 Hipparque mesure DSoleil/Dlune≈ 60-‐80
(4) Distance Terre-Soleil (à 5%) Picard, Cassini & Richer (Paris), 1672
Etape 1 : mesure de la distance de Mars en opposiLon (i.e. alignement M-‐T-‐S)
Terre
Mars RTerre α
Cayenne (Richer)
DMars
DMars = R/tan(α)
Mesure : α = 24’’
Distance : DMars = 5.5 × 107 km
Etape 2 : mesure de la distance du Soleil
Terre : orbite quasi-‐circulaire (eTerre = 0.017) Mars : orbite ellipLque avec eMars = 0.093
Orbite de Mars
C aMars S
CS = eMars aMars
Orbite de la Terre
T M
Kepler : aTerre/aMars = (PTerre/PMars)2/3
TM = SM-‐ST = (1-‐eMars) aMars – aTerre
aTerre = TM / [(1-‐eMars) (PMars/PTerre)2/3 -‐ 1]
TM = 55 000 000 km eMars = 0.093
PMars = 1,88 an PTerre = 1 an
Picard, Cassini & Richer mesurent aTerre ≈ 142 000 000 km
(Valeur moderne : 149 597 886 km)
(4) Distance Terre-Soleil (à 5%) Picard, Cassini & Richer (Paris), 1672
(5) Vitesse de la lumière (à 30%) Roëmer (Paris), 1676
Roëmer observe les éclipses d’Io (satellite de Jupiter).
Il constate que la période (environ 42.5 heures) varie suivant la posiLon de la Terre : les écarts sont de ± 10 minutes.
Ceci est en contradicLon apparente avec la 3ème loi de Kepler.
InterprétaLon de Roëmer : il faut tenir compte du temps de parcours de la lumière depuis Jupiter-‐Io jusqu’à la Terre.
Avec des observaLons sur plusieurs années, il mesure c en déterminant le temps nécessaire pour parcourir l’orbite terrestre (soit 1 UA). Il obLent c = 212 000 km/s. (source d’erreur : le chronométrage mais aussi l’UA).
Analyse d’éclipses d’Io pendant 140 ans par Delambre (1791) : mesure précise de Δt = 8.13 minutes qui donne c = 2.05 mUA/s (correct) = 313 000 km/s (incorrect car UA pas encore assez précise).
Passages de Vénus devant le Soleil en 1761 & 1769 et en 1874 & 1882 (dates des transits : 1631 & 1639 (1ère obs) ; 1761 & 1769 ; 1874 & 1882 ; 2004 & 2012 ; …)
2004 1882
(6) Distance Terre-Soleil (à mieux que 1%)
V+dV
Passages de Vénus devant le Soleil en 1761 & 1769 et en 1874 & 1882 Méthode simplifiée : Vue sur Terre de deux points A et B distants, Vénus semble suivre deux cordes différentes sur le disque solaire et le passage n’a donc pas la même durée.
a) Vitesse angulaire apparente de Vénus devant le Soleil : Ωapp ≈ 4’/heure
S T V Ωapp dt Ω dt
Ω ≈ 2π / Tvénus,syn ≈ 1.54’/heure avec Tvénus,syn = 584 jours (période synodique = vue de la Terre)
Ωapp / Ω = SV / TV = aVénus / (aTerre – aVénus) = 1/(aTerre/aVénus -‐ 1) ≈ 2.57 Ωapp ≈ 4.0’/heure
aVénus/aTerre = (TVénus/TTerre)2/3 = 0.72 avec TVénus = 225 jours
(6) Distance Terre-Soleil (à mieux que 1%)
Méthode simplifiée : Vue sur Terre de deux points A et B distants, Vénus semble suivre deux cordes différentes sur le disque solaire et le passage n’a donc pas la même durée.
Durées de passage observées : Δt1 = 6h08 min en A Δt2 = 6h08 min en B
b) Durées des passages : distance angulaire entre les deux cordes
C R
R d1
d2 h
Le diamètre apparent du Soleil est connu : 2R ≈32’
Longueurs des cordes : d1 = Δt1 Ωapp ≈ 24.5’ d2 = Δt2 Ωapp ≈ 24’
Distance angulaire entre les deux cordes : h = [ R2-‐(d2/2)2 ]1/2 -‐ [ R2-‐(d1/2)2 ]1/2 ≈ 0.3’
Passages de Vénus devant le Soleil en 1761 & 1769 et en 1874 & 1882
(6) Distance Terre-Soleil (à mieux que 1%)
Méthode simplifiée : Vue sur Terre de deux points A et B distants, Vénus semble suivre deux cordes différentes sur le disque solaire et le passage n’a donc pas la même durée.
Durées de passage observées : Δt1 = 6h08 min en A Δt2 = 6h08 min en B
c) On déduit la distance du Soleil
C R
R d1
d2 h
La distance entre les deux points sur Terre est AB = 5000 km
Thalès : CD/AB = SV / TV ≈2.57
La séparaLon physique entre les deux cordes est donc
CD ≈2.57 x 5000 ≈12 900 km
Ceue séparaLon est vue sous un angle h ≈0.3’ La distance du Soleil est donc CD/tan(h) ≈150 000 000 km.
Passages de Vénus devant le Soleil en 1761 & 1769 et en 1874 & 1882
(6) Distance Terre-Soleil (à mieux que 1%)
Le vrai calcul est beaucoup plus compliqué (prise en compte des posiLons précises sur Terre, de la rotaLon de la Terre sur elle-‐même, etc…).
Transits de 1761 & 1769 : nombreuses exploraLons (Royaume-‐Uni, Autriche, France) Lieux d’observaLons : Europe + Sibérie, Norvège, Terre-‐Neuve, Madagascar, … en 1761 + Baie d’Hudson (basse Californie), Norvège, … en 1769 (et expédiLon Cook vers TahiL)
Dans la plupart des cas : pas d’observaLon (mauvais temps, …) ou transit parLel… (cf. l’histoire de l’astronome français Le GenLl)
Meilleure observaLon : Dixon & Mason, cap de Bonne Espérance en 1761.
Regroupement de toutes les mesures en 1771 par Lalande (observatoire de Paris) :
1 UA = (153 ± 1) millions de km
Passages de Vénus en 1874 & 1882 : collecte des observaLons par Newcomb (USA) :
1 UA = (149.9 ± 0.3) millions de km
Passages de Vénus devant le Soleil en 1761 & 1769 et en 1874 & 1882
(6) Distance Terre-Soleil (à mieux que 1%)
(7) La constante de Newton (à 1%) Cavendish (Grande-‐Bretagne), 1798
Vue de dessus
PosiLon d’équilibre en l’absence des masses M
PosiLon d’équilibre en présence des masses M
m
m
M
M α
Système = les deux peLtes sphères
Moment cinéLque par rapport à O : L = I dα/dt Moment d’inerLe : I = 2 m r2
Couples exercés : -‐ Rappel fil de torsion en O Mtorsion = -‐C α -‐ Frouements Mfrou = -‐K dα/dt -‐ Forces grav. Exercées par les sphères de masse M (on néglige la force de la sphère la plus éloignée)
Mgrav = 2 r × G M m / d2
Equilibre : 2 r G M m / d2 = C α soit G = C d2 α / ( 2 r M m) m = 15 g ; M = 1.5 kg ; r = 10 cm ; C ≈ 6×10-‐8 N.m d = 4.6 cm ; α = 1.3° Cavendish obLent : G ≈ 6.6 × 10-‐11 S.I. (Valeur moderne : 6.674 × 10-‐11 S.I.)
O
r
d
d
α
(8) La distance d’une étoile Bessel (Allemagne), 1838 Méthode = parallaxe, rendue possible grâce aux progrès de l’opLque (instruments construits par Fraunhofer).
Première mesure : 61 Cygni en 1838 ; π = 0.31’’ soit D = 3.23 pc