(1) Rayon de la Terre (à 2%) Eratosthène,  Alexandrie  (Egypte),  IIIème  siècle  av  JC  

(Soleil  au  zénith)  

Angle  α  mesuré  par  Eratosthène  à  Alexandrie  

Résultat  :  α  ≈  2π/50  

Mesure  effectuée  le  jour  du  solsLce  d’été  

Distance  Alexandrie-­‐Syène  connue  (caravanes  de  chameaux  :  1  stade  ≈  158  m)  

AS  ≈  50  jours  ×  100  stades/j  ≈  5000  stades  ≈  790  km  

Calcul  :  2π  R  ≈  50  AS  ≈  250  000  stades  ≈  39500  km  

     R  =  AS  /  α  ≈  40000  stades  ≈    6300  km  (valeur  moderne  :  6378  km  à  l’équateur)  

(1) Rayon de la Terre (à 2%) Eratosthène,  Alexandrie  (Egypte),  IIIème  siècle  av  JC  

(2) Distance Terre-Lune (à 15%) Aristarque  de  Samos,  Samos  (Grèce),  IIIème  siècle  av  JC  &  Hipparque,  IIème  siècle  av  JC  

Ombre  de  la  Terre  

Lumière  du  Soleil  

Mesure  historique  d’Aristarque  :    Il  remarque  que                    d  ≈  3  RLune    Il  en  déduit                    RLune  ≈  RTerre/3  ≈  2  100  km  (Valeur  moderne  :  1737  km  à  l’équateur  soit  RLune/RTerre  =  1/3.67  )  

Il  connaît  par  ailleurs  le  diamètre  apparent  de  la  Lune  :  2α  ≈  2°  (en  fait  0.5°)  Il  en  déduit  :                    D  ≈  RLune/tan(α)  ≈  19  RTerre  Calcul  avec  trigo+valeur  correcte  de  α  (Hipparque)  :    D  ≈  62-­‐77  RTerre  (Valeur  moderne  :  demi-­‐grand  axe  =  384  400  km  ≈  60  RTerre)              

d  parcou

rue  en

 Δt  

D  

(3) Distance Terre-Soleil (à 80%...) Aristarque  de  Samos,  Samos  (Grèce),  IIIème  siècle  av  JC  &  Hipparque,  IIème  siècle  av  JC  

Lune  

Terre  

Soleil  

90°  

α

DLune  

DSoleil  

Mesure  de  α  lorsque  la  lune  est  à  son  demi  quarLer  

DSoleil  =  DLune  /  Cos(α)  

Problème  :  α  très  proche  de  90°  (89.85°)  soit  DSoleil/Dlune=  382    Aristarque  mesure  DSoleil/Dlune≈  19  Hipparque  mesure  DSoleil/Dlune≈  60-­‐80  

(4) Distance Terre-Soleil (à 5%) Picard,  Cassini  &  Richer  (Paris),  1672  

Etape  1  :  mesure  de  la  distance  de  Mars  en  opposiLon  (i.e.  alignement  M-­‐T-­‐S)  

Terre  

Mars  RTerre  α

Cayenne  (Richer)  

DMars  

DMars  =  R/tan(α)  

Mesure  :      α  =  24’’  

Distance  :    DMars  =  5.5  ×  107  km            

Etape  2  :  mesure  de  la  distance  du  Soleil  

Terre  :  orbite  quasi-­‐circulaire  (eTerre  =  0.017)  Mars  :  orbite  ellipLque  avec  eMars  =  0.093  

Orbite  de  Mars  

C  aMars   S  

CS  =  eMars  aMars    

Orbite  de  la  Terre  

T   M  

Kepler  :  aTerre/aMars  =  (PTerre/PMars)2/3    

TM  =  SM-­‐ST  =  (1-­‐eMars)  aMars  –  aTerre  

aTerre  =  TM  /  [(1-­‐eMars)  (PMars/PTerre)2/3  -­‐  1]  

TM  =  55  000  000  km  eMars  =  0.093  

PMars  =  1,88  an  PTerre  =  1  an  

Picard,  Cassini  &  Richer  mesurent  aTerre  ≈  142  000  000  km  

(Valeur  moderne  :  149  597  886  km)  

(4) Distance Terre-Soleil (à 5%) Picard,  Cassini  &  Richer  (Paris),  1672  

(5) Vitesse de la lumière (à 30%) Roëmer  (Paris),  1676  

Roëmer  observe  les  éclipses  d’Io  (satellite  de  Jupiter).  

Il  constate  que  la  période  (environ  42.5  heures)  varie  suivant  la    posiLon  de  la  Terre  :  les  écarts  sont  de  ±  10  minutes.  

Ceci  est  en  contradicLon  apparente  avec  la  3ème  loi  de  Kepler.  

InterprétaLon   de   Roëmer   :   il   faut   tenir   compte   du   temps   de  parcours  de  la  lumière  depuis  Jupiter-­‐Io  jusqu’à  la  Terre.  

Avec   des   observaLons   sur   plusieurs   années,   il   mesure   c   en  déterminant   le   temps   nécessaire   pour   parcourir   l’orbite  terrestre  (soit  1  UA).  Il  obLent  c  =  212  000  km/s.  (source  d’erreur  :  le  chronométrage  mais  aussi  l’UA).    

Analyse  d’éclipses  d’Io  pendant  140  ans  par  Delambre  (1791)  :  mesure  précise  de  Δt  =  8.13  minutes  qui  donne    c  =  2.05  mUA/s  (correct)        =  313  000  km/s  (incorrect  car  UA  pas  encore  assez  précise).  

Passages  de  Vénus  devant  le  Soleil  en  1761  &  1769  et  en  1874  &  1882  (dates  des  transits  :  1631  &  1639  (1ère  obs)  ;  1761  &  1769  ;  1874  &  1882  ;  2004  &  2012  ;  …)  

2004  1882  

(6) Distance Terre-Soleil (à mieux que 1%)

V+dV  

Passages  de  Vénus  devant  le  Soleil  en  1761  &  1769  et  en  1874  &  1882  Méthode  simplifiée  :  Vue  sur  Terre  de  deux  points  A  et  B  distants,  Vénus  semble  suivre  deux  cordes  différentes  sur  le  disque  solaire  et  le  passage  n’a  donc  pas  la  même  durée.  

a)  Vitesse  angulaire  apparente  de  Vénus  devant  le  Soleil  :  Ωapp  ≈  4’/heure  

S  T   V  Ωapp  dt   Ω  dt  

Ω   ≈  2π  /  Tvénus,syn    ≈  1.54’/heure  avec  Tvénus,syn  =  584  jours  (période  synodique  =  vue  de  la  Terre)  

Ωapp  / Ω  =  SV  /  TV  =  aVénus  /  (aTerre  –  aVénus)  =  1/(aTerre/aVénus  -­‐  1)  ≈  2.57    Ωapp  ≈  4.0’/heure                          

aVénus/aTerre  =  (TVénus/TTerre)2/3  =  0.72  avec  TVénus  =  225  jours  

(6) Distance Terre-Soleil (à mieux que 1%)

Méthode  simplifiée  :  Vue  sur  Terre  de  deux  points  A  et  B  distants,  Vénus  semble  suivre  deux  cordes  différentes  sur  le  disque  solaire  et  le  passage  n’a  donc  pas  la  même  durée.  

Durées  de  passage  observées  :    Δt1  =  6h08  min  en  A  Δt2  =  6h08  min  en  B  

b)  Durées  des  passages  :  distance  angulaire  entre  les  deux  cordes  

C  R  

R  d1  

d2  h  

Le  diamètre  apparent  du  Soleil  est  connu  :  2R  ≈32’  

Longueurs  des  cordes  :      d1  =  Δt1  Ωapp  ≈  24.5’                d2  =  Δt2  Ωapp  ≈  24’  

Distance  angulaire  entre  les  deux  cordes  :  h  =  [  R2-­‐(d2/2)2  ]1/2  -­‐  [  R2-­‐(d1/2)2  ]1/2  ≈  0.3’    

Passages  de  Vénus  devant  le  Soleil  en  1761  &  1769  et  en  1874  &  1882  

(6) Distance Terre-Soleil (à mieux que 1%)

Méthode  simplifiée  :  Vue  sur  Terre  de  deux  points  A  et  B  distants,  Vénus  semble  suivre  deux  cordes  différentes  sur  le  disque  solaire  et  le  passage  n’a  donc  pas  la  même  durée.  

Durées  de  passage  observées  :    Δt1  =  6h08  min  en  A  Δt2  =  6h08  min  en  B  

c)  On  déduit  la  distance  du  Soleil  

C  R  

R  d1  

d2  h  

La  distance  entre  les  deux  points  sur  Terre  est  AB  =  5000  km  

Thalès  :  CD/AB  =  SV  /  TV  ≈2.57  

La  séparaLon  physique  entre  les  deux  cordes  est  donc  

CD  ≈2.57  x  5000  ≈12  900  km  

Ceue  séparaLon  est  vue  sous  un  angle  h  ≈0.3’  La  distance  du  Soleil  est  donc  CD/tan(h)  ≈150  000  000  km.    

Passages  de  Vénus  devant  le  Soleil  en  1761  &  1769  et  en  1874  &  1882  

(6) Distance Terre-Soleil (à mieux que 1%)

Le  vrai  calcul  est  beaucoup  plus  compliqué  (prise  en  compte  des  posiLons  précises  sur  Terre,  de  la  rotaLon  de  la  Terre  sur  elle-­‐même,  etc…).  

Transits  de  1761  &  1769  :  nombreuses  exploraLons  (Royaume-­‐Uni,  Autriche,  France)  Lieux  d’observaLons  :  Europe    +  Sibérie,  Norvège,  Terre-­‐Neuve,  Madagascar,  …  en  1761  +  Baie  d’Hudson  (basse  Californie),  Norvège,  …  en  1769  (et  expédiLon  Cook  vers  TahiL)  

Dans  la  plupart  des  cas  :  pas  d’observaLon  (mauvais  temps,  …)  ou  transit  parLel…  (cf.  l’histoire  de  l’astronome  français  Le  GenLl)  

Meilleure  observaLon  :  Dixon  &  Mason,  cap  de  Bonne  Espérance  en  1761.  

Regroupement  de  toutes  les  mesures  en  1771  par  Lalande  (observatoire  de  Paris)  :  

1  UA  =  (153  ±  1)  millions  de  km  

Passages  de  Vénus  en  1874  &  1882  :  collecte  des  observaLons  par  Newcomb  (USA)  :  

1  UA  =  (149.9  ±  0.3)  millions  de  km  

Passages  de  Vénus  devant  le  Soleil  en  1761  &  1769  et  en  1874  &  1882  

(6) Distance Terre-Soleil (à mieux que 1%)

(7) La constante de Newton (à 1%) Cavendish  (Grande-­‐Bretagne),  1798  

Vue  de  dessus  

PosiLon  d’équilibre  en  l’absence  des  masses  M  

PosiLon  d’équilibre  en  présence  des  masses  M  

m  

m  

M  

M  α

Système  =  les  deux  peLtes  sphères  

Moment  cinéLque  par  rapport  à  O  :    L  =  I  dα/dt  Moment  d’inerLe  :            I  =  2  m  r2  

Couples  exercés  :    -­‐  Rappel  fil  de  torsion  en  O      Mtorsion  =  -­‐C  α -­‐  Frouements            Mfrou  =  -­‐K  dα/dt  -­‐  Forces  grav.  Exercées  par  les  sphères  de  masse  M        (on  néglige  la  force  de  la  sphère  la  plus  éloignée)  

               Mgrav  =  2  r  ×  G  M  m  /  d2  

Equilibre  :  2  r  G  M  m  /  d2  =  C  α  soit  G  =  C  d2  α  /  (  2  r  M  m)        m  =  15  g  ;  M  =  1.5  kg  ;  r  =  10  cm  ;  C  ≈  6×10-­‐8  N.m        d  =  4.6  cm  ;  α  =  1.3°        Cavendish  obLent  :    G  ≈  6.6  ×  10-­‐11  S.I.        (Valeur  moderne  :  6.674  ×  10-­‐11  S.I.)      

O  

r  

d  

d  

α

(8) La distance d’une étoile Bessel  (Allemagne),  1838  Méthode  =  parallaxe,    rendue  possible  grâce  aux  progrès  de  l’opLque  (instruments  construits  par  Fraunhofer).  

Première  mesure  :  61  Cygni  en  1838  ;  π  =  0.31’’  soit  D  =  3.23  pc