1. - Πανελλήνιο Σχολικό...

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΑΣΚΗΣΗ 1 Σελίδα 1 από 1

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1. α.

β. π π π

− = =

γ. π− ( )2+ − ( )1+ − 0 1+ + 2+ π+

( ) ( ) ( )

π 2 1 0 1 2 π 0

− ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

2. ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ

ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ

ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ

ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ

ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ

ΠΡΟΤΑΣΗ ΣΩΣΤΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 1 Γ 2 Β 3 ∆ 4 Γ 5 ∆

ΑΣΚΗΣΗ 4

4. ( )

( )α β 1 1

χ ψ 7 2

⎫+ = − ⎪⎬

+ = ⎪⎭

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

Π 2α 2β 5χ 5ψ

2 α β 5 χ ψ 2 1 5 7

2 35 37

Π 4 χ ψ 5α 20β

4 χ ψ 5α 5β 4 χ ψ 5 α β

4 7 5 1 4 7 5 4 2 8

Π 2α 3β 5β 7χ 2ψ 5ψ

2α 2β 7χ 7ψ 2 α β 7 χ ψ

2 1 7 7 2 49 47

Π α β χ 8ψ 3ψ 4χ α β

= − + + + =

− ⋅ − + ⋅ + =− ⋅ − + ⋅ =

= ⋅ + + − =

⎡ ⎤⋅ + + − = ⋅ + + ⋅ − =⎣ ⎦

⋅ + ⋅ − = ⋅ − = ⋅ =

= + − + + + =

− + + = ⋅ − + ⋅ + =

⋅ − + ⋅ = − + =

= − + + − + = − +

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

5χ 5ψ

α β 5 χ ψ 1 5 7 1 35 34

Π χα ψα χβ ψβ χ α β ψ α β

α β χ ψ 1 7 7

− + ⋅ + =− + ⋅ = − + =

= + − − = ⋅ − + ⋅ − =

− ⋅ + =− ⋅ = −

5. ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ

ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ

ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ

6. αχ α α τότε χ 1

α⋅ = = =

2αα χ 2 α τότε χ− ⋅ = ⋅ =

α−2 εφόσον α 0= − ≠

( ) ( ) ( )χ : α 1 τότε χ α 1 α− = − = − ⋅ − =

( )α : χ 1 τότε χ α : 1 α= − = − = −

Τιµή του κ -1 1 Τιµή του λ 2 -2 Άθροισµα 1 -1

ΑΣΚΗΣΗ 8

( ) ( )

1 13 35 22 2Π :2 : 3 2 2 2 : 3 2 5

3 1 3 1 6 12 2 21 2 1 2 2 2

2 : 1 5 2 : 1 5 2 5

6 1 52 2 52 2

2 25 51 1

− −= = ⋅ =− − + − − +

− − −⋅ = ⋅ = ⋅ =

− − − −

⋅ = ⋅ =1

2 2⋅⋅

2 3 χψ χχ ψ ψ χχ ψ

Π : 53 27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⋅ − − ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − =

⎛ ⎞− ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

ψ− 3ψ ( )

χψ: 5

3 27 714 7

− =− ⋅ − ⋅

2 3 χψ− − − ( ) ( ) ( )

55 1: 5 : 5 : 5

3 3 42 3 22 2 2

2 5 1 2 51 : 57 7 1 52

−−− = − = − =

− − − −− −

− ⋅ ⋅− = ⋅ = −

⋅ −− 7 5⋅

1 2 1 6 1 723 1 3 3 3 3Π

1 1 1 11 1 1 11 3 1 41 1 13 3 3 3

1 37 7 7 7 7

4 7 283 3 3 3 31 3 1 3 4 3 1 3 311 4 1 4 4 4 4143

− − − − − − −= = = = =

− − − −+ +

− − − − − ⋅= = = = = − = −

− − −−

ΑΣΚΗΣΗ 9

9. α. 3 5 3

62 4 2 2 4 2155 3 5 5 3 5

11 1 13

− − −+ − − − +− = =

− −− −

20 615 15

− +4 5

3 13 3

⋅−

=− −

3 5⋅43 1

4 43 3

−= =

− −

( ) ( )

1 7 2 1 7 22 : 2 :3 3 4004 3 3 4004

6 2 22 : 2 2 :3 4004 4004

2 40044 : 4 2 4004 80084004 2

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

γ. ( ) ( ) ( ) ( )2 ( 2) 5 10 : 2 3 2 1 4:2 8 2 36 :3

2 10 5 6 1 4 12 12 3:3 4 3 9 4 462

12 12 3 39 4 4

− − − ⋅ − − − − − ⋅ + −− + =

− ⋅−

− − + + − −− + = − + ⋅ =

− − − −− ⋅

⋅− + = −

3⋅ 3 43

4 9 16 27 113 4 12 12 124

= − + = − + =⋅

ΑΣΚΗΣΗ 10

10. ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )50 παρενθέσεις

Π 200 196 192 ... 8 4 _ 198 194 190 ... 6 2

2 100 98 96 ... 4 2 2 99 97 95 ... 3 1

2 100 98 96 ... 4 2 99 97 95 ... 3 1

2 100 99 98 97 96 95 ... 4 3 2 1

= + + + + + + + + + + =

⋅ + + + + + − ⋅ + + + + + =

⎡ ⎤⋅ + + + + + − + + + + + =⎣ ⎦⎡ ⎤⎢⋅ − + − + − + + − + −⎢⎣ ⎦

50 άσοι

2 1 1 1 ... 1 2 50 100

⎥ =⎥

⎛ ⎞⋅ + + + + = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ΑΣΚΗΣΗ 11

11. ( )

α β 3 α β 3β α 3β β α 2β 1β

βα β 2β βΑβ β

+= ⇔ + = ⇔ = − ⇔ =

− −= = =

β2α 3β 2 2β 3β 4β 3βΒβ β β

−− + − ⋅ + − += = = =

− − − β−

5β4α 3β 4 2β 3β 8β 3βΓ3α 4β 3 2β 4β 6β 4β

− ⋅ − −= = = =

− ⋅ − − 2β52

α. 42 2 2 2 2 16− = − ⋅ ⋅ ⋅ = −

β. ( ) ( ) ( ) ( )32 2 2 2 8− = − ⋅ − ⋅ − = −

γ. 32 2 2 2 8− = − ⋅ ⋅ = −

δ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )42 2 2 2 2 16− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ν 2κ

2κ φορές

ν 2κ 1

2κ 1 φορές

2κ φορές

Αν ν άρτιος, τότε : 1 1 1 1 ... 1 1

Αν ν περιττός, τότε : 1 1 1 1 ... 1

1 1 ... 1 1 1

− = − = − ⋅ − − =

⎡ ⎤⎢ ⎥− ⋅ − − ⋅ − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

κ λ 0α 1 α α 0 και κ λ 0 α 0 και κ λ δηλαδή το ∆+ = = ⇔ ≠ + = ⇔ ≠ = −

( ) ( ) 22α α 2αα 2αΑν α 0, τότε : α α α δηλαδή το Β⋅≠ = =

( )( ) ( ) ( )

χ χ χχ χ

Αν 5 5 τότε;

5 1 5 1 5 1 1 δηλαδή χ άρτιος δηλαδή ∆

= − ⋅ = − ⋅ ⇔ − = =

( ) ( ) ( )2ν 3 33 2ν 2νχ , χ , χ , όπου ν− − −−− − − ∈ N

α. Για κάθε χ ∈

( )( ) ( ) ( )

2ν32ν 2ν 6ν3 2ν3 3

32ν3 3 6ν3 2ν2ν 2ν

32ν 6ν3 3 6ν2ν 32ν 2ν

1 1 1 1χ 0 1χχχ χ

1 1 1 1χ 0 2χχχ χ

1 1 1 1 3χ χ 0χχχ χ

−−−− ⋅− −

⎫⎪− = = = = >⎪− ⎪⎪⎪⎪− = = = = − < ⎬

−− − ⎪⎪⎪⎪⎪− = = = − = − = − <⎪− − ⎭

γ. ( ) ( ) ( )

( )12ν 33 2ν6ν 6ν2

1 1χ χ 0 Οι αριθµοί είναι αντίθετοιχ χ

− − ⎛ ⎞− + − = + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

δ. ( ) ( ) ( )

( )( )

23 32ν 2ν 6ν6ν3

1χ χ χ 1 Οι αριθµοί είναι αντίστροφοιχ

− −− ⎛ ⎞− ⋅ − = − ⋅ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( )ν 1 1ν 2 ν 1 ν 1 ν 1 ν 15 5 5 5 5 5 1 4 5 Το Γ+ ++ + + + +− = − = ⋅ − = ⋅

ν 2 1ν 3 ν 2 ν 2

ν 2 ν 2 ν 2 ν 2

4 3 10 3 4 3 10 34 3 3 10 3 4 3 10 3 2 3 Το Ε

+ ++ + +

+ + + +

⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅

( )( ) ( ) ( ) ( )

2ν 1ν 2 ν 2 2ν

ν 2 2ν 1 ν 2 2ν

ν2 ν 2 ν ν ν

ν 1 2 ν 12 ν 1ν 1 2

4 6 2 4 6 2 2

4 6 2 4 12 2

4 4 12 2 16 4 12 4 4 4

4 2 2 2 Το Β

+ ⋅ − = − ⋅ ⋅ =

− ⋅ = − ⋅ =

⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ =

= = = −

χ 3 2χ

2χχ 3 1

χ 3 1 2χ

χ 3 2χ

2 3 δηλαδή3 2

2 2 δηλαδή3 3

χ 3 2χ δηλαδή χ 2χ 3 δηλαδή 3χ 3 δηλαδή

− −

− − ⋅

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− = − + = =

3δηλαδή χ 1=

( ) ( )

1ν 4 ν 1 ν 2

13 ν 1 ν 1 ν 2

1ν 1 ν 1 ν 2

ν 1ν 2

Α 3 6 3 3 7

3 3 6 3 3 7

27 3 6 3 3 7

1 721 33 7

−+ + +

= − ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =⋅ ( )

ν 1 1

3 33 7

⋅ ⋅

ν 13 3 +⋅=

ν 13 3 +⋅1=

Η παράσταση είναι ανεξάρτητη του ν

ΑΣΚΗΣΗ 21

21. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

23 3 2 6

2 23 3 3 2 6

23 3 2 6

3 32 2 2 3 6

1 1Α 2 2 2642

Β 2 2 2 2 64

Γ 2 2 2 64

∆ 1 2 1 8 8

Ε 2 2 2 2 64

− − ⋅ −

⎡ ⎤= − = − = − = =⎣ ⎦ −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − = − = − = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − = − − = − − = −⎣ ⎦

= − ⋅ − = ⋅ − = −

= − = − = − = − = −

( )00Α 1 2 2= = = −

( )4Β 16 2= = ±

( )5 5Γ 32 2 2= − = − = −

( )3 3

1 1 1∆8 2 2

= = = −−

( )7 7

1 1 1Ε128 2 2

= − = − =−

α. χ 42 16 2 χ 4= = ⇔ =

β. χ 35 125 5 χ 3= = ⇔ =

γ. χ 33 27 3 χ 3= = ⇔ =

δ. ( )χχ χ 2 χ 23 5 225 3 5 15 15 15 χ 2⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ =

ε. ( )χχ χ χ χ 2 2 χ 22 5 100 2 5 10 2 5 10 10 10 χ 2⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ =

ΑΣΚΗΣΗ 24

24. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

223 3 22 2 3 2 2 2 2

5 1 5 1 3 13 53 3

3 2 2 42 33 2 4 15 10 2 3 10 1

2 2 3 22 6 4 2 2 3 2Α8 27 2 32 3

2 2 3 2 2 3 2 3 2 32 3

−− − − ⋅

− − ⋅ −⋅

− −− − −− + − − − + −

− ⋅ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅= = = =

⋅ ⋅⋅

− ⋅ ⋅ ⋅= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 22 3 2 1 3 2 6

2 10 2 210 2 102 2 2

2 26 6 6 62 106 4 6 2

10 102 2 2 4 2

2 10 86 4 6 2 2 4

3 6 3 6 3 6Β

12 3 2 3 3 1 2 3 3

3 2 3 3 2 32 3 3

2 3 3 2 3 3

− − −⋅ − − −

− − − −− − −−

− −− − − −− − −− − − − − −

− −⋅ − − − −

− +− + − + − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⋅ − − − ⋅ − ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = = =− ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ −

− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ − =

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − = 2 4 8 2 4 8 2 42 3 3 2 3 2 3− − − − + −⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 4 3 2 43 2

3 6 52 3 552

43 3 2 2 443 5 2 4 6 3 2

2 8 5 2 4 8 5 6 8 54

1000 225 6 10 15 2 3 2 5 3 5 2 3Γ

3 23 23 2

2 5 3 5 2 32 2 3 5

3 212 3 5 2 2 3 5 2 3 52

− − −

− −−− − − +

− − − − − − −

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅= = = =

⋅− ⋅ −− ⋅ −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ − ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅−

( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 33 0 3 23

5 2 5 22 2 3

62 3 6 6 6

3 933 3 9 9

10 10 10 6 10 4 102 5 2 5

2 3 23

6 69 4 6 10 6 9 13 4 3

9 9 4 10

10 1 151000 1000 225∆

36 8 2 3 2

1 3 515 15 3 510 2 510 2 5

1 2 3 2 3 2 32 322

3 5 2 3 5 2 3 52 5 2 3

−−

− −

−⋅ ⋅

− − − − − − −

− ⋅ ⋅− ⋅ ⋅= = =

− ⋅ − − ⋅ ⋅ −

⋅⋅ ⋅− − ⋅− − ⋅= = = =

− ⋅ − ⋅ − ⋅− ⋅ ⋅−

⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 23 2 2 2

2 1 21 3 3 3 2

3 23 2 3 22 3 2 2 2 3 2 3 2 2

1 2 22 3 2 2 3 1 33 3 3 2

1 4 3 41 2 4 1 3 3

2 1 3 3

2 3 2 512 50Ε

1000 27 4 2 5 3 2

1 2 3 1 2 5 1 2 3 5

1 2 3 52 5 3 1 2

1 2 3 51 2 3

1 2 3 5

−−

− − −−

−− − +− ⋅ − + − ⋅

− − −− + ⋅ − ⋅ −

− − −− − − − − − − − −

− − −

− ⋅ ⋅ − ⋅− ⋅ −= = =

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅= =

− ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅= − ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅

1 2 4 1 3 3 4 3 3 0 1 3

1 2 3 5 1 2 3 5 2 5

− + − + − + − − −

− ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 5 22 3 2 3 5 10Α χ χ χ χ χ χ− − − − −− − − − −= ⋅ = = = =

( ) ( ) ( ) ( )3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 12 8 12 8 4Β χ χ χ χ : χ χ χ χ χ χ χ− + + − − − −= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 3 2 34 2 2 3 4 2 2 3 2 1

4 32 2 1 3 4 3 4 3 7

Γ χ : χ : χ : χ χ : χ χ : χ

χ : χ χ : χ χ χ χ

− − −

− −⋅ − ⋅ − +

= = = =

( )7 5 3 7 5 3 7 2 7 2 5∆ χ : χ : χ χ : χ χ : χ χ χ− −= = = = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 33 33 3 3 3 6 103 6 10 27 6 10

327 4 27 4 3 27 12 27 12 39

Ε χ : χ : χ χ : χ χ : χ

χ : χ χ : χ χ : χ χ χ

−− − ⋅ − ⋅ − − − −− − − − − +

− − ⋅ − − − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

= = = =

α. ( ) ( )3χ 3 3χ3χ 3 2 2 9χ 2 28 4 2 2 2 2 2 2 9χ 2 χ9

⋅= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

β. ( ) ( )2χ 1 0 16 1 6 2χ 1 0 2χ 1 χ

− = = − ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

γ. ( ) ( ) ( )2 3χ 3 2 3χ2 3χ 3 4 427 81 3 3 3 3 3 2 3χ 4

26 9χ 4 9χ 4 6 9χ 2 χ9

− ⋅ −− = ⇔ = ⇔ = ⇔ ⋅ − = ⇔

− = ⇔ − = − ⇔ = − ⇔ = −

δ. ( ) ( )2 3χ 3 12 8 2 2 3χ 3 3χ 3 2 3χ 1 χ

− = − = − ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ − = ⇔ = −

ε. ( )2004 33 2χ 0 3 2χ 0 2χ 3 χ

2− = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 213 2 2 3 3 22 6

3 3 2 213 2 2 3 3 2

4 44 3

2 3 3 3 3 2 2 213 2

4 4 3 4

13 2 6 9 6 4 13 6 4 2 9 4

16 12 16 12

χ ψ χ ψ χ ψΑ για χ 10 και ψ 10

χ ψ χ ψ χ ψΑ

χ ψ χ ψ χ ψχ ψ

χ ψ χ ψ χ ψ χ ψχ ψ χ ψ

−− − − − −

− −− − − − −

− −

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ −−

⋅ − ⋅ −

− − − − − + − +

− − − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = − = −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅

( ) ( )

315 16 3 12 15 16 3 12 1 9

929 6 2 6 9 6 9 2 56

ψ χ ψ χ ψ χ ψχ ψ

χ 10 και ψ 10 έχουµε :

Α χ ψ 10 10 10 10 10 10

−− − − − − − − + − +

− −

⋅ ⋅ +

⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅

= − = −

= ⋅ = − ⋅ − = − ⋅ = − = −

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 13 2 33 3

3 23 2 3

3 1 3 1 13 2 3 3 3 2 3

3 2 3 3 23 2 3 3 2 2 3

χ ψ χ ψΒ για χ 2 και ψ 2

χ ψ χ ψ

χ ψ χ ψ χ ψ χ ψΒ

χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ

− −−−

−− − −

− − − − −− − −

− −− − − − − − −

⋅ −

⋅ ⋅ ⋅= = − = −

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )

2 1 3 13

ψ χ ψ

⋅ − − ⋅ −−

⋅ −

⋅ ⋅ ⋅( ) ( ) ( )

2 3 3 22

ψ χ ψ

− ⋅ − ⋅ −−=

⋅ ⋅ ⋅

ψ 1ψψ

Άρα για κάθε τιµή του χ και ψ το Β 1

− += =

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 42 3 1 225

3 25 2 3 1

3 4 3 3 4 42 3 1 2 2 3 1 2

3 2 3 3 2 25 2 3 1 5 2 3 1

χ ψ χ ψΓ για χ 10 και ψ 0,1

χ :ψ χ ψ

χ ψ χ ψ χ ψ χ ψΓ

χ :ψ χ ψ χ ψ χ ψ

− −−

− −

− − − −

− − −− − −

⋅ ⋅ ⋅= = = −

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3 1 4 2 4

5 3 2 3 2 3

ψ χ ψ

χ ψ χ

⋅ − − ⋅ ⋅

⋅ − − ⋅ − ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

4 9 6 4 34 15 3 4

15 6 2 15 41 2

24 15 7 11 7 5

2 7 14711 25 5 11 55

141455 55 1 55 14 5

χ ψ χ ψ χ ψχ ψ χ ψψ

χ ψ χ ψ για χ 10 και ψ 0,1 έχουµε :

1 1Γ 10 0,1 10 1010 10

110 10 10 10 10 1010

− − + − −− − − − −

− − −− ⋅

−− + − −

− ⋅ −−− ⋅

− −

⋅ ⋅= = = ⋅ =

⋅ ⋅⋅

⋅ = ⋅ = = −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

5 14 4110− =

( )( )

32 3 42 4

22 3 6

33 22 3 4

22 3 6

χ :ψ χ∆ για χ 2 και ψ 4

ψ : χ :ψ

χχ :ψ χ∆

ψ : χ :ψ

− − −−

−− − −

⋅= = = −

⋅= =

( )( ) ( )

2 22 3

⋅ ⋅

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 4 9 49 4 64 4 9 10 4 1

2 2 6 4 6

4 1 2 42 4 8 8 84 4 2 42

ψ χ ψ χ χ ψ χ ψ χ ψψ ψ ψ ψ

για χ 2 και ψ 4 έχουµε :

1 1 1∆ 2 4 2 2 2 24 22

⋅ − −− +− − − − −

− − − ⋅ −−⋅

⋅ ⋅= = ⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ ⋅

= = −

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ − = ⋅ = ⋅ − = − ⋅ = −⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ 1= −

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

13 23 3

1 1 13 2 3 2 3 1 2 1

2 2 2 266 2 6 2

3 23 1 4 2 6 8 8

8 8 3 83 3 3 8 24 24 48

χ :ψ χΕ για χ 3 και ψ 3

ψ : χ

χ :ψ χ χ ψ χ χ ψ χΕψ χψ : χ ψ χ

χ ψ χ χ ψ χ ψψ χγια χ 3 και ψ 3 έχουµε :

Ε 3 3 3 3 3 3 3

−− −−

− − −− − − − ⋅ − ⋅ −

− ⋅ −

−+ − − − − −

− − ⋅ −− ⋅

⋅= = − =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

⋅⋅

⋅ ⋅= ⋅ = ⋅

= − =

= − ⋅ = ⋅ = ⋅ =

( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

χ ψψ χ 2

ψψ χ χψ

χχ ψ χψ

ψ χ χψ χψ χψ χψ 2χψ

χ ψ 2 χ ψ2 2χψ 2

1α 2Αν α 3 και 2

32 3 α

χ ψ ; όπου α,χ,ψ θετικοί πραγµατικοί α 1

Από 1 :2 α α 1

Από 2 :3 α α 2 πολλαπλασιάζω κατά µέλη τις 1 και 2

2 3 α α α α 3 Από 3 και 3 έχουµε :

α α α α

− −

⎫= ⎪⎪= ⎬⎪

⋅ = ⎪⎭+ = ≠

′= =

′ ′ ′= =

′ ′⋅ = ⋅ = =

= ⇔ = ( )χψ 2 χ ψ 2χψ χ ψ χψ

χχ ψ 1χψ

⇔ + = ⇔ + = ⇔

+= ⇔

1 11 11 1 χ ψ 1χ ψψ

− −= ⇔ + = ⇔ + =

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

1 3ν 2 ν ν µ 1

ν 1 ν 3 12 2 ν 3 µ 3 3

2ν 2 ν 3ν 3µ 3 3

3ν 2 3ν 3µ 3 3

3ν 2 3µ 3 3

3ν 3µ

9 3 3 27 3 2 27 όπου µ,ν

9 3 3 27 3 2 27

3 3 3 3 3 2 3

3 3 3 2 3

3 3 1 3 2 3

− −− −

− − −− −

− − −

+ − − −

− − −

− −

⎡ ⎤⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇔⎣ ⎦

− ⋅ ⋅ = ⇔

⋅ − ⋅ ⋅ = ⇔

⋅ ⋅

3ν 3µ 3 3 3

3ν 3µ 0 3 3ν 3µ 3

33 2 2 3

3 2 3 3 3 3

− − −

− − − −

⋅ ⋅ = ⇔

⋅ = ⇔ = ⇔ ( )ν µ 3− = ( )1 ν µ 1

µ ν 1 δηλαδή µ,ν διαδοχικοί φυσικοί αριθµοί.

− ⇔ − = − ⇔

α. Μετά από 1 αναπήδηση θα έχει φτάσει σε ύψος 1χχ2

Μετά από 2 αναπηδήσεις θα έχει φτάσει σε ύψος 2 2

1 χ χχ2 2 2

= ⋅ =

Μετά από 3 αναπηδήσεις θα έχει φτάσει σε ύψος 3 2 3

1 χ χχ2 2 2

= ⋅ =

…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

Μετά από ν αναπηδήσεις θα έχει φτάσει σε ύψος ν ν 1 ν

1 χ χχ2 2 2−= ⋅ =

β. Αν χ=1m=100cm v=; χ=6,25cm; 100

25 1006,2542

= = = ν 4

1 1 1 ν 416 162 2

⇔ = = ⇔ =

γ. χ=;

9 9 9 2 2 7 210

7 2 10 7 2 3 210 10

χ 2 m 2 100 cm 2 2 5 cm 2 5 cmxχ 2 5 x 2 2 5 2 5 200 cm 2m

− − − −

− −

= = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

= = ⋅ ⇔ = ⋅ ⋅ = ⋅ = =

( ) ( ) ( ) ( )

20092009 9άρια

2 3 2009

2009 9άρια2009 παρενθέσεις

2 3 2009

9 99 999 ... 999...9 111...10 2009

9 99 999 ... 999...9 10 1 10 1 10 1 ... 10 1

10 10 10 ... 10 1 1 1 ... 1

+ + + + = −

+ + + + = − + − + − + + − =

+ + + + − + + + +

111...10 2009

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )( )

1Αν α β 2διαιρώ κατά µέλη και παίρνω :

2α β 2

αα β 2α β 2

⎫⋅ = ⎪⎬

⋅ = − ⎪⎭

⋅= ⇔

⋅ −

β β⋅ ⋅

α 2α β⋅ ⋅( )

( )( )

( ) ( )( )

3 3 22

33 3 2 2 5 3 2

3 2 3 22

22 β1 2 β 2 α 31 1 α2 2

2 α 2 α 2 α 2 2

1 1 1 1 1α α2 22 2 2

1β 2 α 2 2 22

− −

= = ⇔ = − ⇔ = − ⋅− −

⇔ ⋅ − ⋅ = − ⇔ ⋅ − = − ⇔

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ − = = ⇔ = ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅2

⋅ 2 β 2= − ⇔ = −

( )( )( )

( )( )

2 1ζ ψζζ ψ ψζ χ χψζ χψζ 0

Αν,12 α

α β 2β 1 3

3 1 β α α 2 2 2 1 2

χψζ 0 τουλάχιστον ένας από τους χ,ψ,ζ είναι ίσος µε το 0

⎫=⎪

= ⎬⎪= ⎭

⇔ = = = = = ⇔ = = ⇔

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

20 10 520 10 5 19 5

10 520 3 3 3 520 20 3 10

19 5 519 19 5 2

30 20 15 20 30 5

19 2 5 5 19

15 8 2715 8 27 : 10 1210 12

3 5 2 3 3 5 2 32 5 3 4 2 5 3 2

2 3 5 2 32 3 5

−−

−⋅ −⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅

⋅30 29 20 19

192 5 2 5 10

5− −= ⋅ = ⋅ =

α. 0,04 0,2=

β. 225 15=

γ. 6 310 10=

δ. 16 4 2= =

2Αν α χ µε α,χ µη αρνητικούς αριθµούς τότε ισχύει : α χ= =

2Αν α α, τότε ο αριθµός α πρέπει να είναι θετικός=

2Αν α α, τότε ο αριθµός πρέπει να είναι αρνητικός= −

2Αν α οποιοσδήποτε αριθµός τότε α α=

( )2Αν α 0 τότε α α≥ =

Αν α 0 τότε α α α≥ ⋅ =

2Αν χ 0 και 5 χ τότε χ 5≥ = =

2Αν χ 5 και χ 0 τότε χ 5= ≥ =

2Αν χ 5 και χ 0 τότε χ 5= < = −

α. ( )20,02 0,08 0,0016 0,04 0,04⋅ = = =

β. ( )22003 2003 2003 2003⋅ = =

γ. ( )

5 5 25 1 4 2 2α α α α α α αρκεί α 0αα

−= = = = = >

δ. 216 4200 200 2 200 400 20 20

2 2⋅ = ⋅ = ⋅ = = =

8 2 12 2 18 24 2 6 2 9 3

8 2 12 2 3 18 2 32 2 3 3 3 31 1 1

20 2 27 310 2 9 3

20 2 5 27 35 5 3 31 1

= = ⋅ = ⋅

= ⋅ =

β. ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ 8 3 28 2 2 2 2 2= = ⋅ = 12 2 212 2 3 2 3 2 3= ⋅ = ⋅ = 18 2 218 2 3 3 2 3 2= ⋅ = ⋅ = 20 2 220 2 5 2 5 2 5= ⋅ = ⋅ = 27 3 2 227 3 3 3 3 3 3 3= = ⋅ = ⋅ =

( ) ( )2Α 5 5 5 5 3 5 5 3 5 3 5 15= + + = = = ⋅ =

Β 2 8 4 2 3 2 18 2 4 2 4 2 3 2 9 2

2 4 2 4 2 3 2 9 2 2 2 2 4 2 3 2 3 2

= − + − = ⋅ − + − ⋅ =

− + − = ⋅ − + − =

4− 3 3+ −( ) 2 0 2 0= =

Γ 50 2 32 25 2 2 16 2

25 2 2 16 2 5 2 2 4 2 5 1 4 2 0 2 0

= − − = ⋅ − − ⋅ =

− − = − − = − − = =

28 63 4 7 9 7 4 7 9 7∆700 100 7 100 7

2 3 72 7 3 710 7

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= = = =

⋅ ⋅

−−=

( ) ( )

Ε 75 125 20 25 3 25 5 4 5

25 3 25 5 4 5 5 3 5 5 2 5

10 3 5 10 5 5 10 15 10 5 10 15 5

= + = ⋅ + ⋅ ⋅ =

+ = + =

+ = + ⋅ = +

α. ( )

( ) ( )

22 2 2 2 3 2

α,χ 0 χ χ α χ χ α

χ χ α χ χ α χ α 1

> = ⇔ = ⇔

= ⇔ ⋅ = ⇔ =

Αν χ 32 τότε :1 : 32 α 2α 2 32 64 8

2α 8 2 α 8 α 2 8

= ⇔ = ⋅ = = ⇔

= ⇔ = ⇔ =

12 2 2 2 2 2 2

α γ β

2 2 2 2 2 2 2

12 2 2 2 2 2

α β γ

12 2 2

α,β,γ 0 α β γ 1

β γ α β β α γ α β γ α β β β α

β γ α β ββ α β γ α β β α β γ α ββ α

β γ α β α β γ γ α β γγ α

β γ α α α α

+ − − − = + − − =

+ − − = + − − = + − − =

+ − − = + − = + − =

+ − = − = α− 0=

3 2 4 2 4 2 2

Α 1 43 31 15 100 18 1 43 31 15 10 18

1 43 31 15 10 18 1 43 31 25 18

1 43 31 5 18 1 43 31 5 18

1 43 36 18 1 43 6 18

1 43 6 18 1 49 18 1 7 18

1 7 18 8 18 2 2 3 2 3 2 3 2 3 12

= + + + + = + + + + =

+ + + + = + + + =

+ + + = + + + =

+ + = + + =

+ + = + = + =

+ = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

4 4Β 12 9 1,5 12 3 1,53 3

4 4 412 3 1,5 36 1,5 6 1,53 3 3

4 4 4 4 46 1,5 6 1,5 9 33 3 3 3 3

= ⋅ = = = 3⋅ 4 2= =

( )( )( )

( ) ( )

( )( )

χ 3 300 1

ψ χ 90 2

3χψ ω 1

300 300Από την 1 έχουµε : χ 100 10 10 133

90 902 ψ 10 90 ψ 9 3 21010

1 1 13 10 3 ω 1 30 ω 1 ω ω30 30 900

⎫=⎪⎪= ⎬⎪

= ⎪⎭

′= = = = =

′⇔ = ⇔ = = = =

⎛ ⎞⇔ ⋅ ⋅ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 332 2

132 6 3

Αν χ 0 και χ 5 1

Α χ χ 125 χ χ 125 χ 125

χ 125 χ 125 5 125 125 125 0

= + = − + = − + =

− + = − + = − + = − + =

( )21 2 2 2

22 2 2 2= = =

3 3 3 3 3 3 3 3 312 2 3 2 3 32 3 2 3 2 3

= = = = = =⋅ ⋅

32 3⋅

( )23 3 3 3 3 33 3 3 3

= = =3

( )2 2

2 3 520 45 2 5 3 5 2 5 3 580 4 54 5

−− ⋅ − ⋅ −= = =

⋅ 4 5

1 14 4−

= = −

2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 33 8 3 8 2 3 16 3 4

= = = = =⋅

22⋅ 2

( )22 2 2 3 2 3 63 3 33 3

⋅ ⋅= = = =

α. ( ) ( ) ( )2 22 1 2 1 2 1 2 1 1− + = − = − =

β. ( ) ( ) ( ) ( )2 23 2 3 2 3 2 3 2 1− + = − = − =

γ. ( ) ( ) ( )222 5 2 5 2 5 4 5 1+ − = − = − = −

δ. ( ) ( ) ( ) ( )2 2α β α β α β α β+ − = − = −

ε. ( ) ( ) ( ) ( )22 2α β α β α β α β+ − = − = −

( ) ( ) ( )2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1 12 1 2 1 2 1 2 1

+ + + += = = = = +

−− − + −

β. ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )22 2

3 3 2 3 3 2 3 63 3 6 3 63 2 13 2 3 2 3 2 3 2

− − − −= = = = = −

−+ + − −

γ. ( )( ) ( )

( )( )

2 5 2 2 2 5 52 52 5 2 5 2 5 2 5

4 4 5 5 9 4 5 9 4 54 5 1

+ + ⋅ ⋅ ++= = =

− + − −

+ + += = − +

− −

δ. ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

α β α β α β α βα βα β α β α β α β

− + − +−= = =

− − + −

− ( )α β

−α β= +

( ) ( ) ( )2 2

1 3 1 3 1 3 1 3 13 1 23 1 3 1 3 1 3 1

+ + + += = = =

−− + − −

β. ( )( ) ( )

( ) ( )2 2

5 6 3 5 6 3 5 6 356 3 36 3 6 3

− − −= = =

−+ −

γ. ( )( ) ( )

( )( )

4 5 4 2 4 5 54 5 16 8 5 5 21 8 516 5 114 5 4 5 4 5 4 5

+ + ⋅ ⋅ ++ + + += = = =

−− + − −

( ) ( ) ( ) ( )2 2

α β α β α β1α βα β α β α β α β

+ + += = =

−− − + −

( ) ( )

Α 3 1 3 1 3 3 2 3 1 3 3 2

3 1 3 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2

3 2 3 2 1 1

= − + + ⋅ − = − + ⋅ − =

− + ⋅ − = + ⋅ − = + ⋅ − =

− = − = =

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

Β 5 3 2 5 3 2 1 24

5 3 2 5 3 2 1 24

5 3 2 1 24 5 3 2 3 2 2 1 24

= + + − − + =

+ + − + + =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + = − + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

3− 2 6 2− −( ) ( ) ( )

1 24 2 6 1 24 2 6 2 6 24

2 6 2 144 2 6 2 12 2 6 2 12 2 6 6

+ = − + = − − =

− − = − − = − ⋅ = − +

( )2Ε 4 cm x 5 1 cm= = −

α. ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

4 5 14E 4 5 1 y 4 y5 1 5 1 5 1

4 5 1 4 5 1 4

5 15 1

+= ⇔ − = ⇔ = = =

− + −

+ += =

−−

( )5 1

+5 1= +

β. ( )Π 2 x y 2 5 1= + = − 5 1+ +( ) 4 5=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 1 2 3 4 5

Π 7 2 2 2 2 2 2 2 1

7 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1

7 1 2 2 2 2 4 4 2 2 1

7 7 2 7 2 1 7 7 2 1 2 1

7 7 2 1 2 1 7 2 1 7 2 1 7 1 7

= ⋅ + + + + + ⋅ − =

⋅ + + + + + ⋅ − =

⋅ + ⋅ − = ⋅ + ⋅ − =

⋅ ⋅ + − = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ =

α. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

3 2 3 2 3 2 2 3 2 6 2 5 2 6 1+ = + ⋅ ⋅ + = + + = +

β. ( )( )

1 25 2 6 3 2 3 2+ = + = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

1 1 1Α1 2 2 3 3 4

1 2 2 3 3 41 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4

1 2 2 3 3 4

1 2 2 3 3 4 1 21 2 2 3 3 4

= − + =− − −

+ + +− + =

− + − + − +

+ + +− + =

− − −

+ + +− + = − +

− − −2− 3− 3+( )

− + = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Α1 1 1 1 1Β ...

1 2 2 3 3 4 4 5 99 100

1 2 2 3 3 4 4 5 ... 99 100

1 2 3 4 99 100 2 3 4 5 ... 98 99

1 100 2 3 4 5 ... 98 99

= − + − + + =− − − − −

− + + + − + + + − − + =

− + + + + + + + + + + + + =

− + − + + + + + + ( )2 3 4 5 ... 98 99+ + + + + + +

( )1 10 11

− + = −

( ) ( )( )

24 2 2 2 2 2

2α β 0

α,β 0 α,βα β 1

2009 ;

1 α β α β α β α β

α β α β α β α β 0 2

Οπότε, 2009 2009 1

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = − ⇔

= − ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ + − =

( )22 4 22 2 16 8 82 2 2 2 2 256= = = = =

α,β 0 α,β α β> ∈ >

α. α+β>0

α-β>0

αβ>0

α 0β>

β-α<0

-α-β<0

α(-β)<0

α-(β-2)=α-β+2>0

α+2-β>0

α,β 0 α,β α β< ∈ >

β. α+β<0

α-β>0

αβ>0

β-α<0

-α-β>0

α(-β)<0

α-(β-2)=α-β+2>0

α+2-β>0

προκύπτει ανισότητα µε την ίδια φορά

δεν µπορούµε να γνωρίζουµε αν προκύπτει ανισότητα ίδιας ή αντίθετης φοράς

προκύπτει ανισότητα αντίθετης φοράς

δεν µπορούµε να γνωρίζουµε αν προκύπτει ανισότητα ίδιας ή αντίθετης φοράς

α. • α>0 • α<0 • α-β>0 • α<β • α>β • α-β<0

β. • 2α 0 τότε α 0≠ >

• 3Αν α 0 τότε α 0< < • 3Αν α 0 τότε α 0> > • Αν α,β οµόσηµοι τότε αβ 0> • Αν α,β ετερόσηµοι τότε αβ 0< • 2νΑν α 0 τότε α 0≠ > • 2ν 1Αν α 0 τότε α 0+< < • 2ν 1Αν α 0 τότε α 0+> >

• αΑν α,β ετερόσηµοι τότε 0β<

• αΑν α,β οµόσηµοι τότε 0β>

• Αν α,β 0 τότε α β 0> + > • Αν α,β 0 τότε α β 0< + <

Αν α>β και β>γ

α. α>γ β. α>β και β>γ τότε α>γ

Αν α<β και β<γ

α. α<γ β. α<β και β<γ τότε α<γ

( )( )

α,β,γ,δ 0α β 1

γ δ 2

⎫>⎪⎪< ⎬⎪

< ⎪⎭

α. ( ) ( )Αφού γ 0 τότε : 1 αγ βγ 1′> <

( ) ( )Αφού β 0 τότε : 2 βγ βδ 2′> < Από (1΄) και (2΄) έχουµε: αγ<βδ

β. Ναι αρκεί οι όροι να είναι θετικοί

Έστω α, β οµόσηµοι µε α<β

α+β. αβ 0

α β α>

< ⇔1α

⋅ ββ<

1αβ⋅

1 1β α

γ. Αν είναι οµόσηµοι ή ετερόσηµοι

1<χ<2 α. Αν 1 χ 2 1 χ 2 2 χ 1< < ⇔ − > − > − ⇔ − < − < − β. Αν 1 χ 2 1 χ 2 2 χ 1< < ⇔ − > − > − ⇔ − < − < − γ. Αν 1 χ 2 3 1 3χ 3 2 3 3χ 6< < ⇔ ⋅ < < ⋅ ⇔ < < δ. Αν 1 χ 2 3 1 3χ 3 2 3 3χ 6< < ⇔ ⋅ < < ⋅ ⇔ < <

-1<χ<1 Πολλαπλασιάζουµε στα µέλη της ανισότητας τον αριθµό -2 και έτσι

προκύπτει ανισότητα µε ( )2 1 2χ 2 1 2 2χ 2− ⋅ − > − > − ⋅ ⇔ > − > − µε φορά αντίθετη

Προσθέτουµε στα µέλη της ανισότητας τον αριθµό 3 και έτσι προκύπτει η ανισότητα: 3 2 2χ 3 3 2+ > − + > −

Έχουµε την ανισότητα: 5>-2χ+3>1

Γράφουµε την ανισότητα από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο: 1<-2χ+3<5

-1<χ<3 και -5<ψ<-3 Πολλαπλασιάζουµε στα µέλη της ανισότητας τον αριθµό -2 και έτσι

προκύπτει ανισότητα µε -2(-1)>-2χ>3(-2) φορά: αντίθετη

Προσθέτουµε στα µέλη της ανισότητας τον αριθµό -5 και έτσι προκύπτει η ανισότητα: 2-5>-2χ-5>-6-5 ⇔ -11<-2χ-5<-3

Προσθέτουµε κατά µέλη τις ανισότητες -11<-2χ-5<-3 και -5<ψ<-3. και έτσι προκύπτει η ανισότητα -11-5<-2χ+ψ-5<-3-3

Έχουµε την ανισότητα -16<-2χ+ψ-5<-6

Η παράσταση -2χ + ψ -5 παίρνει τιµές µεταξύ των αριθµών -16 και -6

( )( )12,5 χ 4

0 ψ 1,5 2< < ⎫

⎬< < ⎭

α. χ+6,1

( )Από 1 :6,1 2,5 χ 6,1 4 6,1 8,6 χ 6,1 10,1+ < + < + ⇔ < + <

β. Προσθέτω κατά µέλη τις (1) και (2) οπότε έχω: 2,5 0 χ ψ 4 1,5 2,5 χ ψ 5,5+ < + < + ⇔ < + <

γ. Από τις (1) και (2) έχω: ( )( )12,5 χ 4 2,5 χ 4 2,5 χ 4

0 ψ 1,5 0 ψ 1,5 1,5 ψ 02

2,5 1,5 χ ψ 4 1 χ ψ 4

< < < < < <⎫ ⎫ ⎫⇔ ⇔ ⇔⎬ ⎬ ⎬

< < > − > − − < − <⎭ ⎭ ⎭

− < − < ⇔ < − <

δ. ( )

( )12,5 χ 4 2 2,5 2χ 2 4 5 2χ 8

0 ψ 1,5 0 3ψ 3 1,5 0 3ψ 4,52

5 2χ 85 4,5 2χ 3ψ 8

4,5 3ψ 0

5 4,5 4 2χ 3ψ 4 8 4 4,5 2χ 3ψ 4 12

< < ⋅ < < ⋅ < <⎫ ⎫ ⎫⇔ ⇔ ⇔⎬ ⎬ ⎬

< < > − > − ⋅ > − > −⎭ ⎭ ⎭

< < ⎫⇔ − < − < ⇔⎬

− < − < ⎭

− + < − + < + ⇔ < − + <

ε. χ 0 2,5 χ 4 2,5 42,5 χ 4 1

χ χ χ χ χ

2,52,5 1χ

< < ⇔ < < ⇔ < < ⇔

⎫< ⎪⎪ ⇔⎬⎪<⎪⎭

1χ 2,5

χ 4⋅

1 2χ 5 1 1 2

4 χ 51 14 χ

⎫ ⎫<⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ⇔ < <⎬ ⎬⎪ ⎪<⎪ ⎪⎭⎭

α. ( ) ( ) 2α β α β α αβ− + = + αβ− 2 2 2β α β− = −

β. α,β 0 µε α β> <

• 2 2 2 2α,β 0 α βα β α β 0

α β> < ⎫

⇔ < ⇔ − <⎬< ⎭

• 2 2Ο α είναι µικρότερος από το β

γ. α,β 0 µε α β< <

• ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2

α,β 0 µε α βα β

α α β β α β α β 0α β

< < ⇔

− > − ⎫⇔ − − > − − ⇔ > ⇔ − >⎬

− > − ⎭

• 2 2Ο α είναι µεγαλύτερος από το β

δ. Λάθος ισχύει µόνο στο β

α<β ( )α β 0 1⇔ − < α.

( ) ( )( )1

2α 3β α 2β 2α 3β α 2β α β 0− − − = − − + = − < (2)

β. ( ) ( ) ( )Από τη 2 έχουµε : 2α 3β α 2β 0

2α 3β α 2β

− − − < ⇔

− < −

α<0<β (1) ( ) ( ) ( ) ( )α 1 β α β 2 α β 0− − + − >

( )( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 : α 0 α 1 1 0

1 : α β β α 0α 1 β α β 2 α β 0

1 : β 0 β 2 2 0

1 : α β α β 0

⎫< ⇔ − < − <⎪

< ⇔ − > ⎪⇔ − − + − >⎬

> ⇔ + > > ⎪⎪< ⇔ − < ⎭

Α Β Γ β ε α

• Αν -2χ>0 τότε χ<0 δηλαδή Α

• Αν 3χ<0 τότε χ<0 δηλαδή Α

• Αν ( )2χ χ 1 0+ > τότε χ>0 δηλαδή Γ

• Αν ( )2χ 1 0− ≤ τότε χ-1=0 δηλαδή χ=1 δηλαδή Β

( ) ( )χ 1 χ 1 0+ − ≤

α. 1 1 χ 1 χ 1> − ⇔ + > −

β. ( ) ( )Αφού χ 1 χ 1 0 οι αριθµοί χ 1,χ 1 είναι ετερόσηµοι− + ≤ − +

γ. Οι αριθµοί χ 1,χ 1 είναι ετερόσηµοι και χ 1 χ 1άρα χ 1 0 και χ 1 0

− + + > −+ > − <

δ. 1 χ 1− < <

ε. Ο αριθµός χ πρέπει να παίρνει τιµές από -1 µέχρι και 1

( ) ( )χ 1 χ 3 0 χ 1,χ 3 οµόσηµοι

χ 1 0 χ 1 0 χ 1 χ 1ή ή 1 χ 3

χ 3 0 χ 3 0 χ 3 χ 3

− − > ⇔ − − ⇔

− > − < > <⎫ ⎫ ⎫ ⎫⇔ ⇔ < <⎬ ⎬ ⎬ ⎬

− < − > < >⎭ ⎭ ⎭ ⎭

Αν χ,ψ ετερόσηµοι ( ) ( )χ χ ψ ψ ψ χ− −

( ) ( )

Αφού χ,ψ ετερόσηµοι έστω χ 0 ψχ 0χ ψ χ ψ 0

χ χ ψ ψ ψ χ 0ψ 0χ ψ ψ χ 0

< ⎫⎪< ⇔ − < ⎪ ⇔ − − >⎬

> ⎪⎪< ⇔ − > ⎭

α. ( ) ( ) ( ) ( )3α 5 α 1 3α 5 α 1 2α 6 2 α 3 1− − + = − − − = − = −

β. ( ) ( ) ( )

( )( )

( )1 2

Αν α 3 2 τότε : 3α 5 α 1 2 α 3 0

3α 5 α 1

< − − + = − < ⇔

− < +

α<β<0 ( )1 α0,α β, ,1β

( )( )1

1 : α β α β 0

α β1 : α β 1β β

α ,1,0,α ββ

< ⇔ − <

< ⇔ > =

α. αχ ααχ α α 0 χ 1α α

−< − < ⇔ > ⇔ > −

β. αχ ααχ α α 0 χ 1

α α−

< − > ⇔ < ⇔ < −

α. αΑν α 0 και 0 τότε : β 0 δηλαδή Αβ

β. 2 0 2χ 6 0 2χ 6 χ 3

2χ 6−

> ⇔ − + < ⇔ − < − ⇔ >− +

• 0χ 1 χ ΛΑΘΟΣ> ⇔ ∀ ∈

• 0χ 1 χ ΣΩΣΤΟ≥ − ∀ ∈

• 0χ 1 αδύνατη ΛΑΘΟΣ<

• 0χ 0 αδύνατη ΣΩΣΤΟ>

• 0χ 1 χ ΛΑΘΟΣ≥ ∀ ∈

• ( )2χ : χ 2 0 ΛΑΘΟΣ δεν ισχύει για χ 2∀ ∈ − > =

• Αν 0 χ 4 τότε χ 1 ή χ 2 ή χ 3 ΛΑΘΟΣ< < = = =

• µπορούµε να γράφουµε : 0 χ 1 ΛΑΘΟΣ γράφεταιχ 1 ή χ 0

< < −< − >

• 3χ 0 αληθεύει για όλους τους µη αρνητικούς αριθµούς ΣΩΣΤΟ≥

• 1 0 αληθεύει µόνο για τους χ µε χ 1 ΛΑΘΟΣ για τους χ 0

χ> > >

1,5 χ 0− ≤ ≤

5 1χ3 3

− < ≤

110 χ2

2 χ 15

− < <

Χ>2 ή χ<-2

α. 3χ 2 2 5 2χχ 12 7 14

3χ 2 2 5 2χ14 χ 14 12 7 14

3χ 2 214χ 14 14 14 1 142 7

− −− + − ≤ − ⇔

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − ≤ − ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−− + ⋅ − ⋅ ≤ ⋅ −

5 2χ14−

( ) ( )14χ 7 3χ 2 4 14 5 2χ

14χ 21χ 14 4 14 5 2χ

14χ 21χ 2χ 14 4 14 5

275χ 27 χ5

− + − − ≤ − − ⇔

− + − − ≤ − + ⇔

− + − ≤ + + − ⇔

≤ ⇔ ≤

β. ( )

1 χ 4χ 3 10 8χχ 35 3 15

1 χ 4χ 3 10 8χ15 χ 3 155 3 15

1 χ 4χ 315χ 15 3 15 15 155 3

− − +− −− + ≥ − + ⇔

⎛ ⎞− − +− −⎛ ⎞− + ≥ − + ⇔⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− − +−

− ⋅ + ⋅ ≥ − ⋅ +10 8χ

( ) ( )15χ 45 3 χ 3 5 1 χ 4 10 8χ

15χ 45 3χ 9 5 5χ 20 10 8χ15χ 3χ 5χ 8χ 45 9 5 20 10

7931χ 79 χ31

− + − ≥ − + − + − ⇔

− + − ≥ − − + + − ⇔+ + + ≥ + − + + ⇔

≥ ⇔ ≥

χ 3 5χ8 1 2χ2 4

χ 3 5χ4 8 4 1 2χ2 4χ32 4 4 4 2χ 42

−≥ − + − ⇔

−⎛ ⎞⋅ ≥ − + − ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

≥ ⋅ − + −3 5χ

( )32 2χ 4 8χ 3 5χ

32 2χ 4 8χ 3 5χ2χ 8χ 5χ 32 4 3

39 1315χ 39 χ χ15 5

≥ − + − − ⇔

≥ − + − + ⇔− − − ≥ − − − ⇔

− ≥ − ⇔ ≤ ⇔ ≤

δ. 3χ 2 2χ3 2 1 5 1 2χ 02 5

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − − + > ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− +3χ2

− 2 5 5⎛ ⎞

+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2χ5

− +⋅

3 3χ 2 5 2 2χ 2χ 0

3 3χ 2

+ > ⇔

− − + − + − + + > ⇔

− − + 5 2− − 2χ 2χ 03χ 2χ 2χ 3 5 χ 8

+ + > ⇔− + + > + ⇔ >

α. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

5χ 7 χ 2 3 χ 5 1 1

1 χ 4 χ 2 χ 1 22

1 : 5χ 7χ 14 3χ 15 1

5χ 7χ 3χ 14 15 19χ 0 χ 0

12 : 2 χ 4 χ 2 2 χ 12

⎫+ − < − +⎪⎬

− − − ≥ − ⎪⎭

+ − < − + ⇔

+ − < − + ⇔< ⇔ <

⎛ ⎞− − − ≥ ⋅ − ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

− ( ) ( )

χ 4 2χ 4 χ 1

χ 4 2χ 4χ 4

χ 4 2χ 4χ 48χ 2χ 4χ 4 4 7χ 8 χ7

⎛ ⎞− − ≥ − ⇔⎜ ⎟

⎝ ⎠− − − ≥ − ⇔

− + − ≥ − ⇔

− − − ≥ − − ⇔ − ≥ − ⇔ ≤

κοινές λύσεις: χ<0

( ) ( )

χ 4 1,25 0,5χ 0 1

χ 3 χ2 2 22 3

1 : χ 4 1,25 4 0,5 χ 0

χ 5 2χ 05χ 2χ 5 3χ 5 χ3

χ 3 χ2 : 6 2 6 22 3

χ 3 χ6 2 6 6 122 3

12 3χ 2 3 χ 12

12 3χ 6 2χ 123χ 2χ 12 12 65χ 30 χ 6

⎫− − ≤⎪⎬−

− + > − ⎪⎭

− ⋅ + ⋅ ⋅ ≤ ⇔

− + ≤ ⇔

+ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

−⎛ ⎞− + > − ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

−⋅ − ⋅ + ⋅ > − ⇔

− + − > − ⇔

− + − > − ⇔− − > − − − ⇔− > − ⇔ <

κοινές λύσεις: 5χ3

γ. ( )

( ) ( ) ( )

1 3 1 2

3 2χ χ 1 17 4

4χ 2χ 11 33 21 2 2

1 : 4 3 2χ 7 χ 1 12 8χ 7χ 7

8χ 7χ 12 7 χ 5

4χ 1 2χ 1 33 1 2 12 : 1 2

2 31 1

4χ 3 2χ 1 64χ 3 2χ 53 21 2 1 2

2 3 6 61 1

4χ 3 2χ 5 4χ 3 2χ 52 1 36 6 6

22χ 8 36

− − ⎫< ⎪− ⎪⎬−− + ⎪

+ ≥ − ⎪⎭

− − < − ⇔ − + < − ⇔

− < − ⇔ <

−− ++ ≥ − ⇔

− − +− +

+ ≥ − ⇔ + ≥ − ⇔

− + − − −− ≥ − − ⇔ ≥ − ⇔

−≥ − ⇔

︶︶︶︶

( )χ 42⋅ −

3 χ 4 9 χ 4 9 χ 53

≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≥ −⋅

κοινές λύσεις: 5 χ 5− ≤ <

δ. ( )

χ 7 χ0 1 χ 12 6χ 1 χ1 5 22 3

χ 7 χ1 : 6 0 6 1 χ2 6

χ0 6 6 6χ 62

− ⎫< − + − ⎪⎪⎬

− ⎪< + −⎪− ⎭

−⎛ ⎞⋅ < − + − ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

< ⋅ − + −7 χ

0 3χ 6 6χ 7 χ

0 3χ 6 6χ 7 χ136 7 3χ 6χ χ 10χ 13 χ10

χ 1 χ2 : 6 1 6 52 3

χ 1 χ6 6 6 6 52 3

6 3χ 2 1 χ 30

6 3χ 2 2χ 306 2 30 3χ 2χ χ 34

< − + − − ⇔

< − + − + ⇔

+ < + + ⇔ > ⇔ >

−⎛ ⎞⋅ < ⋅ + − ⇔⎜ ⎟−⎝ ⎠−

< ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇔−

< − + − − ⇔

< + − − ⇔− + < − ⇔ >

κοινή λύση: χ>34

α. ( ) ( )χ 2 χ 2 0

χ 2 0 χ 2 0ή

χ 2 0 χ 2 0

χ 2 χ 2ή 2 χ 2

χ 2 χ 2

− + < ⇔

− > − <⎫ ⎫⇔⎬ ⎬

+ < + >⎭ ⎭

> <⎫ ⎫⇔ − < <⎬ ⎬

< − > −⎭ ⎭

β. ( ) ( )

( ) ( )

3 2 2 2χ 4χ 0 χ χ 4 0 χ χ 2 0

χ χ 2 χ 2 0

χ 0 χ 0χ 2 0 χ 2χ 2 0 χ 2

− > ⇔ − > ⇔ − > ⇔

− + > ⇔

> >⎫ ⎫⎪ ⎪− > ⇔ >⎬ ⎬⎪ ⎪+ > > −⎭ ⎭

χ -2 0 2 χ - - + + χ+2 - + + + χ-2 - - - + ( ) ( )χ χ 2 χ 2− + - + - +

-2<χ<0 ή χ>2

γ. ( )3 2χ χ 0 χ χ 1 0 χ 0+ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤

α. ( )χ 0

2 2χ 0, χ χ χ χ 0 χ χ 1 0 χ 1 0 0 χ 1

1π.χ. το2

> < ⇔ − < ⇔ − < ⇔ − < ⇔ < <

β. ( )χ 0,1∈

2χ 1 1− <

α. ( )2χ 1 1,1− ∈ −

β. 2χ 1 1 1 2χ 1 1 1 1 2χ 1 1

0 20 2χ 22

− < ⇔ − < − < ⇔ − < < + ⇔

< < ⇔ <χ

0 χ 1⇔ < <

ΑΣΚΗΣΗ 86

86. ΜΟΝΩΝΥΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ Π=α+3+α+3=2α+6 Ε=3α s=3υ 10µ

2 2ΒΓ χ 16= +

Ε=6α2 Ε=2αβ+2βγ+2γα Π=2πρ Ε= πρ2 Α=3χ+χ3

ΑΣΚΗΣΗ 87

87. ΜΟΝΩΝΥΜΟ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΥΡΙΟ ΜΕΡΟΣ ΟΜΟΙΑ ΜΟΝΩΝΥΜΑ

1. 32α β− -2 3α β 1,3

2. 2 31 α β γ2

2 3α β γ 2,5

3. 31βα

3 3βα 4,6

4. ( ) 22 1 χψ− 2 1− 2χψ

5. 2 3α γ β− -1 2 3α γ β 6. 2χψ 1 2χψ

3 3 3 31 1 52α β βα 2 α β α β3 3 3

⎛ ⎞− + = − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 2 3 2 3 2 31 1 1α βγ α γ β 1 α βγ α βγ

2 2 2⎛ ⎞− = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )2 2 2 22 1 χψ χψ 2 1 1 χψ 2χψ− + = − + =

ΑΘΡΟΙΣΜΑ 35 α β

3− 2 31 α βγ

2− + 22χψ

ΑΣΚΗΣΗ 88

2 2Α 5χψ χ 2ψ= − + −

α. -5χψ, χ2, -2ψ2

β. Σωστό

γ. Για χ=-1 και ψ=2 έχουµε: ( ) ( )2 2Α 5 1 2 1 2 2 10 1 8 3= − ⋅ − ⋅ + − − ⋅ = + − =

ΑΣΚΗΣΗ 89

89. -4χ, χ3

α. ΛΑΘΟΣ

β. -4χ+ χ3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ

( )( )( ) ( )

4χ χ 0

χ χ 4 0

χ χ 2 0

χ χ 2 χ 2 0

χ 0 ή χ 2 ή χ 2

− + = ⇔

⋅ − = ⇔

⋅ − ⋅ + = ⇔

= = = −

ΑΣΚΗΣΗ 90

90. ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ

ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ

ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ

ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ

ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ

ΑΣΚΗΣΗ 91

91. 1+2χ+χ2 για χ=-1 είναι: ( ) ( )21 2 1 1 1 2 1 0+ ⋅ − + − = − + =

δηλαδή Γ

( ) ( )33 για

3 5 3χ 5χχ 3 3 3=−

− + ⋅ −+=

+ − + δεν µπορεί να υπολογιστεί

δηλαδή ∆

( ) ( ) ( )2 223 2 3 2 63χψ 3 χ ψ 9χ ψ− = − =

δηλαδή Γ

( ) ( ) 2 2 22χ 8χ 2 8χ 16χ 4χ⋅ = = =

δηλαδή Α

ΑΣΚΗΣΗ 92

92. ( )5χ 3χ 2χ χ 5 3 2 1 χ 5χ+ − − = + − − ⋅ =

2 2χ χ 1− + = − 1+( ) 2 2χ 0 χ 0⋅ = ⋅ =

( )3 3 3 3 32αχ 0,5αχ 1,25αχ 2 0,5 1,25 αχ 2,75αχ− + = − + ⋅ =

3 3 3 31 8 1 8 1 4χ ψ χ ψ χ ψ 1 χ ψ 13 12 3 12 3

⎛ ⎞− + + = − + + = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

24⋅ 3

χ ψ3

1 2 31 χ ψ 1 χ ψ 13 3 3

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + = − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1+( ) 3 3χ ψ 0χ ψ 0= =

( )3 3 3

63 1 2

α α α 1 1 12α 2 α Ε.Κ.Π 2,6,3 62 6 3 2 6 3

1 1 1 2 3 1 2 12 8 2α α α2 6 3 1 6 6 6 6 6

⎛ ⎞− + − + = − + − + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟− + − + = − + − + = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

42⋅ 3 34α α

χ χ 2χ 1 1 2χ 1 χ4 42 8 2 8

2 2 2 2 2 21 χ 1 χ4 42 2 8 2 8 22

2 2 2 2 2 21 χ 1 χ2 4 2 4 44

2 2 2 2 21 χ2 4 2

⎛ ⎞− − + = − − + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎜ ⎟− − + = − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + = − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞− + = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

21 χ22

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

− 1 χ χ⎛ ⎞⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

ΑΣΚΗΣΗ 93

93. 25χ 3χ 15χ− ⋅ = −

( ) ( )( )3 3 3 1 1 1 3 5 40,5χ ψ 2χψ χ 0,5 2 χ ψ χ ψ+ + +− ⋅ − ⋅ = − ⋅ − =

( )1 12ωφ ω 3φ ω 2

2 3− ⋅ ⋅ − ⋅ = −

⋅ 3⋅ −( ) 13

⋅ 1 1 1 1 1 3 2ω φ ω φ+ + +⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )2 2 223 4 3 4 3 2 4 2 6 85χ α 5 χ α 25χ α 25χ α⋅ ⋅− = − = =

3 2 3 23 2

3 2 23 1 2 1

2 3 2 3χ χ χ 1,5χ χ χ χ 1,5χ3 2 3 2

2 3 15 2χ102 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅− ⋅ ⋅ = −

⋅2⋅ 23⋅ 3⋅ 5⋅

22 23⋅ 3⋅ 2⋅ 5⋅7 7χ χ⋅ = −

( ) ( ) ( )33 3 3 3 3 3 1 3 6 41 1 5 5t c 5 tc 5 t c t c t c t c2 2 2 2

+ +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ ⋅ − = − ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

ΑΣΚΗΣΗ 94

94. 1 1 05 5 5 55χ : 4χ χ χ 1

4 4 4 4−− = − = − = − ⋅ = −

( )3 1 1 3 1 0 2 244αχ : 2αχ α χ 2α χ 2χ2

− −− = − ⋅ = − = −

( )3 1 3 1 2 12

5 5 55ψ : 3ψ χ ψ χ ψ χ3 3 3χψ

− − − −− = − ⋅ = − ⋅ = −

3 3 21 3 3 1 2 2

xt x t 1 1 1 6 2t: : x t x t3 6 3 6 3 1 x

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2 1 2 1 1β : β β β

β− −− = − = − = −

2xc2xc 4 2x3: x

4x3 99

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −

⋅ 23

3⋅ 3 c2

⋅ ⋅2 3⋅ ⋅

ΑΣΚΗΣΗ 95

95. ( ) ( ) ( )2 2 22 3 2 2 3 2 3

4 3 4 3

2χ 3χ χ : χ χ 6χ χ : χ χ 5χ : χ χ

25χ : χ χ 25χ χ 25χ χ 24χ−

⋅ − − = − − = − =

− = − = − =

( ) ( )

( )( )

3 1 1 1 2 1 2 1

2 0 12

2α β γ : 2αβγ 2α 3α :α 2α γ

2 α β γ 2α 3α 2α γ2

2 2 2α β γ 2α 3α 2α γ2

− − − −

− ⋅ − ⋅ =

− ⋅ − ⋅ =2

22 2α γ 2α γ 2− = 2−( ) 2α γ 0⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3 2 2

3 2 3 2

χ ψ 3ψ : 2 3ψ χ 2χ χψ : χ ψ

χ 2ψ : 2 3ψ χ χ ψ : χ ψ

2χψ : 2 3χψ χ ψ χψ− −

⋅ − − + ⋅ − − =

− − − − = 3χψ χψ− − 3χψ= −

( ) ( ) ( )( )

1ω : 0,2ω : 2ω 5ω 3ω5

ω105 : 8ω 5ω 3ω

⎛ ⎞ − + − − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟

− + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3ω2 5

⋅⋅

: 8ω 5ω 3ωω

1ω : 8ω 2ω 2ω8

⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

− + = − +

96. ι. ( ) ( )3α 5β 2α β 3 2 α 5 1 β 5α 6β− + − = + − + = −

ιι. ( ) ( )χ 2 χ 2 3χ 1 2 3 1 χ 2 1 2 4 χ 3+ − + − = + + − − = + −

ιιι. 21 χ ψ χψ

5− 2 2 22 1χψ χ ψ χψ χψ

3 2+ − − +

2 2 2 2

1 1 1 2 5 2 1χ ψ 1 χψ 1 χ ψ χψ 15 2 2 10 10 2 2

3 1χ ψ χψ 110 2

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− + − + = − + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

− + +

63 2 1 3

κ λ κ 1 1 12κ λ 2 κ 1 λ2 3 3 2 3 3

1 2 1 1 1 3 12 2 1 3κ λ κ λ2 1 3 3 1 6 6 6 3 3

11 4κ λ6 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − + = − + + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + − + = − + + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

ν. 2χ 2 2χψ ψχ ψ χ− − + − 2ψ 2χψ= −

νι. 2 2 22 3χ χ 5χ 3 7χ 8χ 2χ 1− + + − + = + −

νιι. 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3α α β αβ 2α β 2αβ β α 3α β 3αβ β− + − + − = − + −

νιιι. ( ) ( ) ( )2α β 3α 4β α 1 3β 2

− − + − − − − + =

− β+ 3α+ 4β− α− 1 3β− + 2 1+ =

ιχ. ( )2 21 χ χ 1 χ χ 2χ 1+ + − − + − = χ+ 2χ+ 1− χ+ 2χ− 2χ− 0=

χ. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )100 παρενθέσεις

Α 1 α 2 α 3 α ... 100 α

Α 100 α 99 α 98 α ... 1 α προσθέτω κατά µέλη

2Α 1 α 100 α 2 α 99 α 3 α 98 α ... 100 α 1 α

2Α 101 2α 101 2α 101

= + + + + + + + +

= + + + + + + + + + + + + + + + +

= + + + + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( )

100 παρενθέσεις

2α ... 101 2α 100 101 2α

100 101 2α2Α 100 101 2α δηλαδή Α 50 101 2α 5050 100α

+ + + = ⋅ +

⋅ += ⋅ + = = ⋅ + = +

ΑΣΚΗΣΗ 97

97. α. 2 3 2 3 2 3Α 3χ ψ 2ψ 2χ ψ ψ χ ψ ψ= − − + = −

β. χψ3 3 32 3

3 3 3 3 3 3 32

χ 2 2Αν ψ τότε : Α χ χ ψ ψ χ3 3 3

χ χ 2χ χ χ 8χ χ 9χχ3 3 3 3 27 27 3 27

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − − = − − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−3χ

9⋅ 3 3χ χ 0

3 33= − =

ΑΣΚΗΣΗ 98

98. 111111=χ

χ 111111

3 555555 333333 5 222222 2002

3 5 111111 3 111111 5 2 111111 200215χ 3χ 10χ 2002 2χ 20022 111111 2002 222222 2002 220220

⋅ − − ⋅ − =

⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − =− − − = − =

⋅ − = − =

ΑΣΚΗΣΗ 99

( ) ( ) ( )( )

3 3 2 2 2 2

χα 222 2 2 2

Αν χα 2Α αχ α χ α χ 2χ 2α 2000

χα χ χα α αχ 2χ 2α 2000

= + + − − + =

+ + − − + =22α+ 2 22 2χ+ − 22α− 2000 4 2000 2004+ = + =

ΑΣΚΗΣΗ 100

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 4004 παρενθέσεις

2002 αγκύλες

Α 1 α 2 2α 3 3α (4 4α) ... (4003 4003α) (4004 4004α)

1 α 2 2α 3 3α (4 4α) ... (4003 4003α) (4004 4004α)

= + − + + + − + + + + − + =

+ − + + + − + + + + − +

( ) ( ) ( ) ( )2002 αγκύλες

1 α 2 2α 3 3α 4 4α ... 4003 4003α 4004 4004α

1 α 1 α ... 1 α 2002 1 α 2002 2002α

+ − − + + − − + + + − − =

− − + − − + + − − = ⋅ − − = − −

ΑΣΚΗΣΗ 101

( ) ( )( )

α β 5

Α 2α β 3 γ α 2β γ 1 3 2α

2α β 3 γ α 2β γ 1 3 2α

⎡ ⎤= − + + − − − − − − + + =⎣ ⎦− − − + + + − + + + =

− β 3 γ− − + α 2β γ+ + − 1 3 2α+ + +( )

α β 5

α β 4

Β α 2α 5 β 3β α 3α β

α 2α 5 β 3β α 3α β

α 2α

= + + =

⎡ ⎤= − + + − − + − =⎣ ⎦− + + − + + − =⎡ ⎤⎣ ⎦

− 5 β 3β α− − + − 3α+

( )α β 5

α β 5 5 5 0+ =

+ − = − =

ΑΣΚΗΣΗ 103

103. ( )

( )( )

1α 2χ ψ ωβ χ 2ψ ω 2γ χ ψ 2ω 3

= − + + ⎫⎪= − + ⎬⎪= + − ⎭

α. ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

3Α α β γ 2χ ψ ω χ 2ψ ω χ ψ 2ω

= + + = − + + + − + + + − =

− ψ ω+ + χ+ 2ψ− ω+ χ+ ψ+ 2ω− 0=

β. ( ) ( ) ( )Α

Β 2α β 2β γ 2γ α 2α β 2β γ 2γ α

α β γ 0

= − + − + − = − + − + − =

γ. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

Γ α 2χ β 2ψ γ 2ω 2ψ

1 : α 2χ ψ ω 1

2 : β 2ψ χ ω 2

3 : γ 2ω χ ψ 3 προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε :

Γ α 2χ β 2ψ γ 2ω 2ψ ψ ω χ ω χ ψ 2ψ

′ ′

= + − + + + −

′+ = +

= + − + + + − = + − + + + − =

ω+ χ− ω− χ+ ψ+ 2ψ− 0=

ΑΣΚΗΣΗ 104

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

α,β,γ1α β γ 20

3α 2β 3γ 67 2

Α 2α β 2γ 4α 3β 4γ 2α 2β 2γ β 3α 2β 3γ α β γ

2 α β γ β α β γ 3α 2β 3γ 2 20 β 20 67

87 40 β

+ + = ⎫⎬

+ + = ⎭

= + + + + = + + − + + + + + =

+ + − + + + + + = ⋅ − + =

⋅ −

ΑΣΚΗΣΗ 105

( ) ( )

1 , 2 χ ψχ

χ ψ3

3α 181 27

23 9β27

3γ 9 9

3 3 9 3 9Άρα α β γ 9 92781 27

⎫= ⎪⋅ ⎪⎪⎪⋅ ⎪= ⇔⎬⎪⎪⎪

= ⋅ ⎪⎪⎭

⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

χ ψ χ3 9 927

⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )( ) ( )

χχ χ ψ ψ χ ψ χ ψ

χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ

3 9 9 3 9 9 27 9 27 981 27 81 27 81 27 27 3 9 3

=⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ψ9⋅

χ27 χ ψ3 9⋅ ⋅χ ψψ

=⋅⋅

ΑΣΚΗΣΗ 106

106. ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

1α β 3β γ 2 2γ α 1 3

Α β α γ 2α β 4α β α γ 2α β 4α

α 2β γ α β β γ 3 2 1

Β α β α β β γ 2β 2γ α β α β

+ = − ⎫⎪+ = ⎬⎪+ = ⎭

= − − − − + = − + − + + =

+ + = + + + = − + = −

⎡ ⎤= − − − − − + + = − − +⎣ ⎦ β−( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

γ 2β 2γ

α β α γ 2β 2γ β γ 2α α β γ α 3 1 2

Γ 2β γ α β γ 2β γ α β γ 2β γ α β γ

2β γ α β γ β 2γ α β γ γ α 2 1 3

∆ 2α 2β 2γ προσθέτουµε κατά µέλη τις 1 , 2 και 3 και έχουµε :

α β β γ γ α 3 2 1 0 δηλαδ

+ + + =

− + − + + = + + = + + + = − + = −

⎡ ⎤= + − − − − − − = + − − + + − = + + − − − =⎣ ⎦

+ + − + = + + = + + + = + =

= + + =

+ + + + + = − + + = ή :

2α 2β 2γ 0 δηλαδή ∆ 0+ + = =

ΑΣΚΗΣΗ 107

( )α β γ αβ αγ⋅ + = +

( )α β γ αβ αγ⋅ − = −

( ) ( )α β γ δ αγ αδ βγ βδ+ ⋅ + = + + +

ΑΣΚΗΣΗ 108

α. ( )2 χ ψ 2χ 2ψ− ⋅ − = − +

β. ( )3 χ 2 3χ 6⋅ − + = − +

γ. ( )3 3 32χ 6ψ 2χ 6ψ 3χ 9ψ2 2 2

− ⋅ − + = ⋅ − ⋅ = −

δ. ( )0,7 2α 3β 0,7 2α 0,7 3β 1,4α 2,1β⋅ + = ⋅ + ⋅ = +

ε. ( ) 2α β α 2 αβ α 2α− ⋅ − + = − + −

στ. ( )2 3 2χ χ 3 χ χ 3χ χ⋅ − + = − +

ζ. ( ) 2 2ψ χψ ψ 6 χψ ψ 6ψ− ⋅ − + = − + −

η. ( ) 2 2χψ χ ψ χ ψ χψ⋅ − = −

θ. ( ) 2 2 2αβγ α β γ α βγ αβ γ αβγ⋅ + + = + +

ι. ( )3 4 23χ χ 2χ 5 3χ 6χ 15χ− ⋅ − + = − + −

ΑΣΚΗΣΗ 109

α. ( ) ( ) ( )2 2

2χ χ ψ 2ψ ψ χ 2 ψ χ

− ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − =

− 2χψ+ 22ψ+ 2χψ− 22ψ− 22χ+ 0=

β. ( ) ( ) ( )23α 3 2α 6 2 α 9 α 1 20

⋅ − − ⋅ − − ⋅ + + =

26α− 212 6α− + 9α− 9 20 1− + = −

γ. ( ) ( ) ( )2 2

χ χ 2 χ χ 1 χ 2χ 1

− ⋅ − + ⋅ − + ⋅ + =

= − 2 32χ χ+ + χ− 22χ χ+ + 24χ=

δ. ( ) ( ) ( ) ( )

α α β 1 β β α 1 α α 1 β β 1

⋅ − + − ⋅ − − − ⋅ + − ⋅ + =

αβ− α+ 2β αβ− + β+ 2α− α− 2β β− − 24β= −

ε. ( ) ( ) ( ) ( )2 2

αχ α χ α 1 χ χ 1 α χ α

⋅ − − ⋅ − + ⋅ − − − =

2αχ− α− 2αχ+ χ+ 2α χ− χ− α+ 0=

ΑΣΚΗΣΗ 110

α. ( ) ( ) ( )2

χ 2 χ 3 χ χ 5 5

+ ⋅ + − ⋅ + − =

3χ+ 2χ+ 26 χ+ − 5χ− 5 1− =

β. ( ) ( ) ( )

χ 1 χ 4 6 χ χ 3

− ⋅ + + − ⋅ + =

4χ+ χ− 24 6 χ− + − 3χ− 2=

γ. ( ) ( ) ( )

χ 4 χ 5 χ 9 χ 17

− ⋅ − + ⋅ − − =

5χ− 4χ− 20 9χ+ + 2χ− 17 3− =

δ. ( ) ( ) 2

132χ 3 2χ 3 4 χ4

⎛ ⎞+ ⋅ − − ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

6χ− 6χ+ 29 4χ− − 4+134

⋅ 9 13 4= − + =

ΑΣΚΗΣΗ 111

111. α. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )2 2 2 2 2

α 2β α β α β α β β β α

α αβ 2αβ 2β α β β αβ

− ⋅ + − + ⋅ − + ⋅ + =

+ − − − − + + =

αβ+ 2αβ− 22β− 2α− 2β+ 2β+ αβ+ 0=

β. ( ) ( ) ( ) ( )2

α 3α 2β 5 3α β α β β 5 α 1

− ⋅ − − + + ⋅ − + − ⋅ − =

− 56αβ α++ 23α+ 2 5α3αβ αβ β− −− + 25 4αβ β 5+ = − +

γ. ( ) ( )2 2 3 3

2κ 3λ 4κ 6κλ 9λ 8κ 27λ 1

− ⋅ + + − + + =

212κ λ+ 218κλ+ 212κ λ− 218κλ− 327λ− 38κ− 327λ+ 10 10+ =

δ. ( ) ( ) ( ) ( )

( )2 2

3µ 2ν 3ν 2µ 6 µ ν µ ν νµ 15

6µν 6µ 6ν 4µν 6 µ 2µν ν νµ 15

6µν 4µν 12µν νµ6ν 6 15

3µν 12µ

6µ 6µ

2ν 15

− ⋅ − − ⋅ + ⋅ + − + =

− − + − + + − +

− −

− − −

− −

ΑΣΚΗΣΗ 112

112. α. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 4 2

χ 1 χ 2 χ 1 χ 2 χ χ 5 6

χ 1 χ 1 χ 2 χ 2 χ χ 5 6

χ 1 χ 4 χ 5χ 6

− ⋅ − ⋅ + ⋅ + − − + =

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + − − + =

− ⋅ − − + + =

24χ− 2χ− 44 χ+ − 25χ+ 6 10+ =

β. ( ) ( ) ( )2 3

χ 4χ 4 χ 2 χ 108 6χ χ 2

− + ⋅ − − + + ⋅ − =

22χ− 24χ− 8χ+ 4χ+ 38 χ− − 2108 6χ+ + 12χ− 100=

γ. ( ) ( ) ( )2 2

χ 10 χ 20χ 100 χ χ 30 300χ

+ ⋅ + + − ⋅ + − =

220χ+ 100χ+ 210χ+ 200χ+ 31000 χ+ − 230χ− 300χ− 1000=

δ. ( ) ( )4 3 2 5

χ 1 χ χ χ χ 1 χ 10001

+ ⋅ − + − + − + =

4χ− 3χ+ 2χ− χ+ 4χ+ 3χ− 2χ+ χ− 51 χ+ − 10001 10002+ =

ΑΣΚΗΣΗ 113

( ) ( )

3 2 2 3

α 101

α β α α β αβ β

α α β

⎫= ⎪⎬

= ⎪⎭

− ⋅ + + + =

+ 2 2α β+ 3αβ+ 3α β− 2 2α β− 3αβ−

α β 10 9 1

− = − =

ΑΣΚΗΣΗ 114

Αν α,β,γ διαδοχικοί περιττοί τότε: α=2ν+1, β=2ν+3 και γ=2ν+5. Θα δείξω ότι: β2=α.γ+4. Πράγµατι,

( ) ( )

( ) ( )( )

αγ 4 2ν 1 2ν 5 4

4ν 10ν 2ν 5 4

4ν 12ν 9 2ν 2 2ν 3 3

2ν 3 β

+ = + ⋅ + + =

+ + + + =

+ + = + ⋅ ⋅ + =

Αν α,β,γ διαδοχικοί άρτιοι τότε: α=2ν, β=2ν+2 και γ=2ν+4 Θα δείξω ότι: β2=α.γ+4. Πράγµατι,

( ) ( )( ) ( )

αγ 4 2ν 2ν 4 4

4ν 8ν 4 2ν 2 2ν 2 2

2ν 2 β

+ = ⋅ + + =

+ + = + ⋅ ⋅ + =

Άρα ισχύει το ίδιο και για διαδοχικούς άρτιους.

ΑΣΚΗΣΗ 115

( ) ( ) ( ) ( )2

2ν 1 2ν 3 2ν 2ν 4

+ ⋅ + − ⋅ + =

6ν+ 2ν+ 23 4ν+ − 8ν− 3=

ΑΣΚΗΣΗ 116

( ) ( ) ( )( ) ( )

3 3 3 2 2 3

3 2 2 2 2 3

23 2 2 3

χ ψ 3χψ χ ψ 1 χ 3χ ψ 3χψ ψ 0 2

Α χ ψ χ 2χψ ψ

χ 2χ ψ χψ χ ψ 2χψ ψ

χ 3χ ψ 3χψ ψ 0

− = ⋅ − ⇔ − + − =

= − ⋅ − + =

− + − + − =

− + − =

ΑΣΚΗΣΗ 117

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

χ 5χ ψ 1

ψ 10ψ 24 2

Α χ 1 χ 2 χ 3 χ 4

χ 1 χ 4 χ 2 χ 3

χ 4χ χ 4 χ 3χ 2χ 6

(χ 5χ) 4 (χ 5χ) 6 ψ 4 ψ 6

ψ 6ψ 4ψ 24 ψ 10ψ 24

(ψ 10ψ) 24 24 24 0

⎫+ = ⎪⎬

+ = − ⎪⎭

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + =

+ + + ⋅ + + + =

+ + ⋅ + + = + ⋅ + =

+ + + = + + =

+ + =− + =

ΑΣΚΗΣΗ 118

ι. ( )2 2 2χ ψ χ 2χψ ψ− = − +

ιι. ( )3 3 2 2 3χ ψ χ 3χ ψ 3χψ ψ− = − + −

ιιι. ( )2 2 2χ ψ χ 2χψ ψ+ = + +

ιν. ( )3 3 2 2 3χ ψ χ 3χ ψ 3χψ ψ+ = + + +

ν. ( ) ( ) 2 2χ ψ χ ψ χ ψ− ⋅ + = −

νι. ( ) ( )3 3 2 2χ ψ χ ψ χ χψ ψ− = − ⋅ + +

νιι. ( ) ( )3 3 2 2χ ψ χ ψ χ χψ ψ+ = + ⋅ − +

ΑΣΚΗΣΗ 119

Α Β Γ ∆ 4 3 2 5

ΑΣΚΗΣΗ 120

ι. ΛΑΘΟΣ

ιι. ΣΩΣΤΟ

ιιι. ΛΑΘΟΣ

ιν. ΣΩΣΤΟ

ν. ΣΩΣΤΟ

νι. ΣΩΣΤΟ

νιι. ΣΩΣΤΟ

νιιι. ΣΩΣΤΟ

ιχ. ΣΩΣΤΟ

χ. ΛΑΘΟΣ

χι. ΣΩΣΤΟ

ΑΣΚΗΣΗ 121

α. ( )2 2α β 2αβ α 2αβ+ − = + 2β 2αβ+ − 2 2α β= +

β. ( )2 2α β 2αβ α 2αβ− + = − 2β 2αβ+ + 2 2α β= +

γ. ( ) ( )33 3 3 3 2 2α β 3αβ α β α β 3α β 3αβ α β+ + + = + + + = +

δ. ( ) ( )33 3 3 3 2 2α β 3αβ α β α β 3α β 3αβ α β− − − = − − + = −

ΑΣΚΗΣΗ 122

ι. ( )2 2 2 2χ 3 χ 2 χ 3 3 χ 6χ 9+ = + ⋅ ⋅ + = + +

ιι. ( )2 2 2 2χ 4 χ 2 χ 4 4 χ 8χ 16− = − ⋅ ⋅ + = − +

ιιι. ( ) ( ) ( )2 2 2 22χ 5 2χ 2 2χ 5 5 4χ 20χ 25+ = + ⋅ ⋅ + = + +

ιν. ( ) ( ) ( )2 22 21 3χ 1 2 1 3χ 3χ 1 6χ 9χ− = − ⋅ ⋅ + = − +

ν. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22χ 5ψ 2χ 2 2χ 5ψ 5ψ 4χ 20χψ 25ψ+ = + ⋅ ⋅ + = + +

νι. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 23κ 2λ 3κ 2 3κ 2λ 2λ 9κ 12κλ 4λ− = − ⋅ ⋅ + = − +

νιι. ( ) ( )2 22 2 2 2 2.2 2 2 4 2χ 1 χ 2χ 1 χ 2χ 1 χ 2χ 1+ = + + = + + = + +

νιιι. ( ) ( ) ( )2 23 3 3 2 3 2 3 6 3χ 2 χ 2 χ 2 2 χ 4χ 4 χ 4χ 4⋅− = − ⋅ ⋅ + = − + = − +

ιχ. ( ) ( )2 22 2 2 5 35 3 5 5 3 3

5 32 2

10 65 3

χ ψχ ψ χ χ ψ ψ 22 χ ψ5 3 5 5 3 3 155 3

χ 2 ψχ ψ25 15 9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + ⋅ ⋅ + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22 3 4χ ψ χ 23 4 9⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

42 2 29 4 9χψ ψ χ χψ ψ

16 9 16+ = − +

ΑΣΚΗΣΗ 123

νι. 221χ χ 2 χ

χ⎛ ⎞

+ = + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1χ 2χ χ

⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

νιι. 2

21χ χ 2 χχ

⎛ ⎞− = − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1χ 2χ χ

⎛ ⎞+ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

νιιι. ( ) ( )2 2 2χ 5 5 χ 25 10χ χ− + = − = − +

ιχ. ( ) ( ) ( )22 2 21 χ 1 χ 1 χ 1 2χ χ⎡ ⎤− − = − + = + = + +⎣ ⎦

χ. ( ) ( ) ( )22 2 2 22χ 5ψ 2χ 5ψ 2χ 5ψ 4χ 20χψ 25ψ⎡ ⎤− − = − + = + = + +⎣ ⎦

νι. 2 2

3 χ 3 32χ 3 χ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ χχ

χ 9 χ23 9χ

⎛ ⎞+ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

νιι. ( ) ( )2 21002 1002 1002 2 2004 1002χ 1 χ 2 χ 1 1 χ 2 χ 1− = − ⋅ ⋅ + = − ⋅ +

νιιι. ( ) ( ) ( )2 2 2κ λ κ κ λ λ 2κ κ λ 2λχ ψ χ 2χ ψ ψ χ 2χ ψ ψ− = − + = − +

ιχ. 2 2 χχ ψ χ 2

ψ χ ψ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ψ

ψ⋅χ

ψ χ ψ2χ ψ χ

⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

χ. ( ) ( ) ( )2 2 2α β α α β β 2α 1 α β 2β2 2 2 2 2 2 2 2 2 2+ +− = − ⋅ ⋅ + = − +

ΑΣΚΗΣΗ 124

χι. ( ) ( ) 2 2 2χ 3 χ 3 χ 3 χ 9+ − = − = −

χιι. ( ) ( ) 2 2 2χ 1 χ 1 χ 1 χ 1− + = − = −

χιιι. ( ) ( ) ( )2 2 22χ 5 2χ 5 2χ 5 4χ 25− + = − = −

χιν. ( ) ( ) ( )22 21 3χ 1 3χ 1 3χ 1 9χ− + = − = −

χν. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22χ 5ψ 2χ 5ψ 2χ 5ψ 4χ 25ψ+ − = − = −

νι. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23κ 2λ 3κ 2λ 3κ 2λ 9κ 4λ− + = − = −

νιι. ( ) ( ) ( )22 2 2 2 4χ 1 χ 1 χ 1 χ 1+ − = − = −

νιιι. ( ) ( ) ( )23 3 3 2 6χ 2 χ 2 χ 2 χ 4− + = − = −

ιχ. 2 25 3 5 3 5 3 10 6χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ

5 3 5 3 5 3 25 9⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

χ. 2 2 2 22 3 2 3 2 3 4χ 9ψχ ψ χ ψ χ ψ

3 4 3 4 3 4 9 16⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ΑΣΚΗΣΗ 125

χνι. ( )3 3 2 2 3 3 2α 1 α 3 α 1 3 α 1 1 α 3α 3α 1+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = + + +

χνιι. ( )3 3 2 2 3 3 2χ 2 χ 3 χ 2 3 χ 2 2 χ 6χ 12χ 8+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = + + +

χνιιι. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 3

2α 3 2α 3 2α 3 3 2α 3 3

8α 36α 54α 27

+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + =

χιχ. ( ) ( ) ( ) ( )3 2 33 2

1 3α 1 3 1 3α 3 1 3α 3α

1 9α 27α 27α

+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + =

χχ. ( ) ( ) ( ) ( )3 2 33 2

3 2 2 3

α 5β α 3α 5β 3α 5β 5β

α 15α β 75αβ 125β

+ = + + + =

νι. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 3

3 2 2 3

3κ 2λ 3κ 3 3κ 2λ 3 3κ 2λ 2λ

27κ 54κ λ 36κλ 8λ

− = − + − =

− + −

νιι. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 22 2 2 2 2 3

χ 1 χ 3 χ 1 3 χ 1 1

χ 3χ 3χ 1

− = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − =

− + −

νιιι. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 23 3 3 3 2 3

χ 2 χ 3 χ 2 3 χ 2 2

χ 6χ 12χ 8

− = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − =

− + −

ιχ. 3 2 3

3 2 32 3 3

1 1 1 1χ χ 3 χ 3χχ χ χ χ

1 1 1 3 1χ 3 χ 3χ χ 3χχ χχ χ χ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − ⋅ ⋅ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− ⋅ ⋅ + − = − + −

χ. 33 3 2 3

3 2 32 3 3

1 1 1 1 1 1χ χ χ χ 3 χ 3χχ χ χ χ χ χ

1 1 1 3 1χ 3 χ 3χ χ 3χχ χχ χ χ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − + = − + = − − ⋅ ⋅ − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

− − ⋅ ⋅ − − = − − − −

ΑΣΚΗΣΗ 126

α. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

Α 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 5 2 6

Β 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 5 2 6

= + = + ⋅ ⋅ + = + ⋅ + = +

= − = − ⋅ ⋅ + = − ⋅ + = −

β. ( ) ( ) ( )2 22 2Γ Α Β 5 2 6 5 2 6 5 2 6 25 2 6 25 4 6 1= ⋅ = + − = − = − = − ⋅ =

ΑΣΚΗΣΗ 127

α. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3 23

Α 2 1 2 3 2 1 3 2 1 1

4 2 3 2 1 3 2 1 2 2 6 3 2 1 5 2 7

Β 2 1 2 3 2 1 3 2 1 1

4 2 3 2 1 3 2 1 2 2 6 3 2 1 5 2 7

= − = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − =

⋅ − ⋅ ⋅ + − = − + − = −

= + = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + =

⋅ + ⋅ ⋅ + + = + + + = +

β. ( ) ( ) ( )2 2Γ Α Β 5 2 7 5 2 7 5 2 7 50 49 1= ⋅ = − + = − = − =

ΑΣΚΗΣΗ 128

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

12 3 3

13 3 3

χ 5 1

Α χ 1 χ χ 1 χ 1 5 1 4

Β χ 1 χ χ 1 χ 1 5 1 6

Γ 2χ 1 4χ 2χ 1 2χ 1 2χ 2χ 1 1

2χ 1 8χ 1 8 5 1 40 1 39

∆ 2χ 3 4χ 6χ 9 2χ 3 2χ 2χ 3 3

2χ 3 8χ 27 8 5 27 40 27 67

= − + + = − = − =

= + − + = + = + =

= − + + = − + ⋅ + =

− = − = ⋅ − = − =

= + − + = + − ⋅ + =

+ = + = ⋅ + = + =

χχι. ( )22χ 2χ 1 χ 1− + = −

χχιι. ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

4α ... 9 ... ...

2α ... 3 ... ...

2α 2 2α 3 3 2α 3

+ + = +

+ ⋅ ⋅ + = +

χχιιι. ( )

( ) ( )

2 22 2

2 22 2 2 2

χ ... α ... ...

χ 2χ α α χ α

− + = −

χχιν. ( )

( ) ( )

2 22 5

2 22 5 5 5

100 ... α ... ...

10 ... α ... ...

10 2 10 α α 10 α

+ + = +

+ ⋅ ⋅ + = +

χχν. ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

25ψ ... 16χ ... ...

5ψ ... 4χ ... ...

5ψ 2 5ψ 4χ 4χ 5ψ 4χ

− + = −

− ⋅ ⋅ + = −

νι. ( )

9 1χ ... ... ...4 93 1χ ... ... ...2 3

3 χ 22

+ + = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅2 21 3 1χ

3 2 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

νιι. ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

216 36

2 2 24 6

2 2 24 4 6 6 4 6

16α ... 36β ... ...

4α ... 6β ... ...

4α 2 4α 6β 6β 4α 6β

− + = −

− ⋅ ⋅ + = −

νιιι. ( )

( ) ( )

2 223 3 3

1χ ... ... ...4

1χ ... ... ...2

1 1 1χ 2 χ χ2 2 2

+ + = +

⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ιχ. ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22ν 2µ

2 2 2ν µ

2 2 2ν ν µ µ ν µ

χ ... ψ ... ...

χ 2 χ ψ ψ χ ψ

− + = −

χ. ( )

( ) ( ) ( )

2χ ... 2 ... ...

2χ 2 2 χ 2 2 2 χ 2

+ + = +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ +

χχνι. ( )( )

χ 4χ ... ... ...

χ 2 χ 2 2 χ 2

− + = −

− ⋅ ⋅ + = −

χχνιι. ( )

( ) ( ) ( )

9α 6α ... ... ...

3α 2 3α 1 1 3α 1

+ + = +

+ ⋅ ⋅ + = +

χχνιιι. ( )

( ) ( ) ( )

25 20α ... ... ...

5 2 5 2α 2α 5 2α

− + = −

− ⋅ ⋅ + = −

χχιχ. ( )22

α 2 ... ... ...

1 1 1α 2 α αα α α

+ + = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

χχχ. ( )

( ) ( ) ( )

2 22 2 2 2

49κ 14κ ... ... ...

7κ 2 7κ 1 1 7κ 1

− + = −

− ⋅ ⋅ + = −

νι. ( )

( ) ( ) ( )

1 10χ ... ... ...

1 2 5χ 1 5χ 1 5χ

+ + = +

+ ⋅ ⋅ + = +

νιι. ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22 6 3

2 223 3 3

64χ ψ 80χω2ψ ... ... ...

8χψ 2 8χψ 10ω 10ω 8χψ 10ω

− + = +

− ⋅ ⋅ + = +

νιιι. 2 2

α 5α ... (... ...)

5 5 5α 2 α α2 2 2

+ + = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ιχ. ( )

2 222002 2002 2002

2002 2002 2002

χ 2 ... ... ...

1 1 1χ 2 χ χχ χ χ

− + = −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ ⋅ + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

χ. ( )

( ) ( )

χ ψ 2χ ... ... ...

1 1 1χψ 2 χψ χψψ ψ ψ

+ + = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ι. ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 3 23 2 3

8χ ... ... 27 ... ...

2χ ... ... 3 2χ 3 2χ 3 3 2χ 3 3

− + − = −

− + − = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − =

ιι. ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 2 33 3 2

1 ... ... χ ψ ... ...

1 ... ... χψ 1 3 1 χψ 3 1 χψ χψ

1 χψ

+ + + = +

+ + + = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + =

ιιι.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 2 2 32 3 2 2 3 2 3 3

64α ... ... β (... ...)

4α ... ... β 4α 3 4α β 3 4α β β

4α β

− + − = −

− + − = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − =

ιν. ( )33

3 2 33 3 2

1χ ... ... ... ...χ

1 1 1 1χ ... ... χ 3 χ 3 χχ χ χ χ

+ + + = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 232 2 2 2 2 2 2 2 2 3

κ λ ... ... 8 (... ...)

κ λ ... ... 2 κ λ 3 κ λ 2 3 κ λ 2 2

κ λ 2

− + − = −

− + − = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − =

ι. ( ) ( )

( ) ( )

2 22 2 2 2

α β 4αβ α β

α β 4αβ α 2αβ β 4αβ α 2αβ β α β

+ − = −

+ − = + + − = − + = −

ιι. ( ) ( )

( ) ( )

2 22 2 2 2

α β 4αβ α β

α β 4αβ α 2αβ β 4αβ α 2αβ β α β

− + = +

− + = − + + = + + = +

ιιι. ( ) ( )

( ) ( )

α β α β 3αβ α β

α β 3αβ α β α 3α β

+ = + − +

+ − + = + 23αβ+ 3 2β 3α β+ − 23αβ− 3 3α β= +

ιν. ( ) ( )

( ) ( )

α β α β 3αβ α β

α β 3αβ α β α 3α β

− = − + −

− + − = − 23αβ+ 3 2β 3α β− + 23αβ− 3 3α β= −

ν. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2α 2β 2γ 2αβ 2βγ 2γα α β β γ γ α

α β β γ γ α α 2αβ β β 2βγ γ γ 2γα α

2α 2β 2γ 2αβ 2βγ 2γα

+ + − − − = − + − + −

− + − + − = − + + − + + − + =

+ + − − −

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

Α 200 190 200 190 200 190 390 10 3900

Β 111 11 111 11 111 11 122 100 12200

Γ 47 43 47 43 47 43 90 4 360

∆ 7,55 2,45 7,55 2,45 7,55 2,45 10 5,10 51

= − = + ⋅ − = ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

22 2 2 2

2 2 2 22

Α 99 198 1 99 2 99 1 1 99 1 100 10000

Β 1001 2002 1 1001 2 1001 1 1

1001 1 1000 1000000

Γ α 1 2 α 1 α 1 α 1 2 α 1 α 1 α 1

α 1 α 1 α

= + + = + ⋅ ⋅ + = + = =

= − + = − ⋅ ⋅ + =

− = =

= − − − + + = − − − + + + =

− − + = 1 α− −( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2 2 2 22

∆ 3 χ 3 χ 2 χ 9 χ 3 2 χ 3 χ 3 χ 3

χ 3 χ 3 χ

− = − =

= − + + − − = − − − + + + =

− − + = 3 χ− −( ) ( )2 23 6 36− = − =

Αν α 5 3 και β 5 3= − = + τότε: α. ( ) ( )α β 5 3 5 3 5 3+ = − + + = − 5 3+ + ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

α β 5 3 5 3 5 3 5 3 2 2

⋅ = − ⋅ + = − = − =

( )( )

1 222 2

2α β α β 2αβ 2 5 2 2 4 5 4 20 4 16+ = + − = − ⋅ = ⋅ − = − =

( ) ( ) ( )

( )( )

13 3 2 2

2α β α β α αβ β 2 5 16 2 28 5+ = + − + = − =

α. ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

α β α β 4αβ

α β α β α 2αβ β α 2αβ β

+ − − =

+ − − = + + − − + =

22αβ β+ + 2α− 22αβ β+ − 4αβ=

β. ( )

( ) ( )( )

( )( )

1 2 22 2

3 222 2

1α β 5Αν

2α β 3Από το α ερώτηµα έχουµε :

α β α β 4αβ 5 3 4αβ

2 15 3 4αβ αβ 34 2

α β α β 2αβ 5 2

⎫+ = ⎪⎬

− = ⎪⎭

+ − − = ⇔ − = ⇔

− = ⇔ = =

+ = + − = −12

⋅ 5 1 4= − =

α. ( ) ( )

κ λ κ λ 2 κλ 1

Πράγµατι, κ λ κ 2 κ λ λ κ λ 2 κλ

+ = + +

+ = + + = + +

β. κλ 3 και κ λ 4 και κ,λ θετικοί ακέραιοι, άρα :

κ 1 λ 3κλ 3 ή (2)

κ 3 λ 1

= = ⎫⎪= ⇔ ⎬⎪= = ⎭

( )2Η (1) για κ 1 και λ 3 ή κ 3 και λ 1 γίνεται :

3 1 1 3 2 3 1 4 2 3 (3)

= = = =

+ = + + ⋅ = +

δ. ( )

( ) ( )3 2 2

4 2 3 3 1 3 1 3 1+ = + = + = +

2 2 2 2 2

Ε1 α , Ε2 αβ, Ε3 β , Ε4 αβ

α β Ε1 Ε2 Ε3 Ε4 α αβ β αβ α 2αβ β

= = = =

+ = + + + = + + + = + +

( ) ( )( )

Ε1 α β , Ε2 Ε3 αβ, Ε4 Ε5 αβ, Ε5 β

α Ε1 Ε2 Ε3 Ε4 Ε5 Ε5

α α β αβ αβ β

α β α 2αβ β

= − + = + = =

= + + + + −

= − + + −

− = + +

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

Ε2 β α β Ε3 1

Ε1 Ε2 α β α β

α Ε1 Ε3 Ε4 Ε1 Ε2 Ε4 α β α β β

α β α β α β

= − =

+ = + −

= + + = + + = + − +

− = + −

( )1Αν χ 2 2 1χ

α. 22

1 1χ χ 2 χχχ

⎛ ⎞+ = + − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

⋅( )

( )2 1 21χ 2 2 2 2 8 2 6

χ⎛ ⎞

= + − = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

β. ( )

( ) ( )

3 3 13

1 1 1 1 1 1χ χ 3 χ χ χ 3 χχ χ χ χ χχ

2 2 3 2 2 2 2 6 2 8 2 2 6 2 16 2 6 2 10 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + − ⋅ ⋅ ⋅ + = + − ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− = − = ⋅ − = − =

21χ χ 2 χχ

⎛ ⎞− = − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1χ 2 6 2 4χ χ

+ = + − = − =

δ. ( ) 21

1 1 1 1 1χ χ χ 2 2 χ 2 2 χχ χ χ χχ

2 2 χ 2 χ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + − = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− ⋅1χ

1 12 2 χ 2 2 2 6 2χ χ

2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2

1χ1 4 2χχ

1χ χχ

+ = + − = − =

= = ⋅ =

−− = =

+ 2 22=

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 2 3 ... 99 100 2 1 2 3 4 5 6 ... 99 100

1 2 1 2 2 3 2 3 4 4 ... 99 2 99 100 100

1 2 3 4 ... 99 100 1 1

+ + + + + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

− ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + + + − ⋅ ⋅ + =

− + − + + − = − + − ( )250 παρενθέσεις

50 φορές

1 1 ... 1 50 1 50

+ + − =

+ + + = ⋅ =

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 11 101 1.001 10.001 100.001 9 99 999 9.999 99.999

2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 11 9 101 99 1.001 999 10.001 9.999 100.001 99.999

11 9 11 9 11 9 2 20 4 10

101 99 101 99 101 99 2 200 4 100

1.001 999 1.001

+ + + + + − + + + + =

+ − + − + − + − + − =

− = − + = ⋅ = ⋅

− = ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

999 1.001 999 2 2.000 4 1.000

10.001 9.999 10.001 9.999 10.001 9.999 2 20.000 4 10.000

100.001 99.999 100.001 99.999 100.001 99.999 2 200.000 4 10.000

1 2 3 4 5 6

Η γίνεται µέσω των , , , και

− + = ⋅ = ⋅

− = − + = ⋅ = ⋅

⋅ + ⋅

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

+ ( )5 4 3 2 1100 4 1.000 4 10.000 4 100.000 4 10 10 10 10 10 1

444.444

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + + + + =

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

3 3 2 2 2 2 2 2

Αν α β χ ψ 2 1

Α α β α β 4αβ α β α αβ β α β 4αβ

α β α β 2αβ αβ α β 2αβ 4αβ

α β 3αβ α β α β 2αβ 4αβ

2 3αβ 2 2 2αβ 4αβ 8 6αβ

+ = − =

= + − + + = + − + − + + =

+ + − − − + − + =

+ − + − + + + =

− ⋅ − + + = − 4 2αβ− + 4αβ+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

3 3 2 2 2 2 2 2

Β χ ψ χ ψ 4χψ χ ψ χ χψ ψ χ ψ 4χψ

χ ψ χ ψ 2χψ χψ χ ψ 2χψ 4χψ

χ ψ 3χψ χ ψ χ ψ 2χψ 4χψ

2 3χψ 2 2 2χψ 4χψ 8 6χψ

= − =

= − − + − = − + + − + − =

− − + + − − + − =

− + − − − − − =

+ ⋅ − − − = + 4 2χψ− − 4χψ− 8 4 4= − =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 4 4

2 2 2 2 4 4

2 22 2 4 4

(1)2 24 4 4 4 4 4 8 8

Αν α β 2002 (1)

α β α β α β α β

α β α β α β

α β α β

α β α β α β α β 2002

− + + + =

⎡ ⎤− + + + =⎣ ⎦

− + + =

⎡ ⎤− + + =⎣ ⎦

− + =

− + = − = − =

α. ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

α β γ α β γ 2αβ 2βγ 2γα

Πράγµατι,

α β γ α β γ α β γ

α αβ αγ βα β βγ γα γβ γ

α β γ 2αβ 2βγ 2γα

+ + = + + + + +

+ + = + + + + =

+ + + + + + + + =

+ + + + +

β. ( )

( ) ( ) ( )

Αν αβ βγ γα α β γ 1

Α α 1 β 1 γ 1 3 είναι τέλειο τετράγωνο

Πράγµατι,

Α α 1 β 1 γ 1 3

α 2α 1

+ + = + + ⇒

= + + + + + −

= + + + + + − =

+ + 2β 2β 1+ + + 2γ 2γ 1+ + + 3−

( )( )

12 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

α 2α β 2β γ 2γ

α β γ 2α 2β 2γ α β γ 2 α β γ

α β γ 2 αβ βγ γα α β γ 2αβ 2βγ 2γα

α β γ

+ + + + + =

+ + + + + = + + + + + =

147. α.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

α β γ χ ψ ω αχ βψ γω αψ βχ αω γχ βω γψ

Πράγµατι,

α β γ χ ψ ω α χ α ψ α ω β χ β ψ β ω γ χ γ ψ γ ω 1

αχ βψ γω αψ βχ αω γχ βω γψ (2)

αχ βψ γω αχ βψ γω 2αχβψ 2βψγω 2γωαχ

αψ βχ αψ

+ + + + = + + + − + − + −

+ + + + = + + + + + + + +

+ + + − + − + −

+ + = + + + + +

− = ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2αψβχ βχ α ψ 2αψβχ β χ 4

5αω γχ αω 2αωγχ γχ α ω 2αωγχ γ χ6βω γψ βω 2βωγψ γψ β ω 2βωγψ γ ψ

Η (2) γίνεται µέσω των 3 , 4 , 5 και 6

αχ βψ γω 2αχβψ

⎫⎪⎪− + = − + ⎪⎬

− = − + = − + ⎪⎪⎪− = − + = − + ⎭

+ + + 2βψγω+ 2γωαχ+ 2 2α ψ 2αψβχ+ − 2 2

α ω 2αωγχ

+ − 2 2 2 2γ χ β ω 2βωγψ+ + −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

αχ βψ γω α ψ β χ α ω γ χ β ω γ ψ

α χ β ψ γ ω α ψ β χ α ω γ χ β ω γ ψ 7

Από 1 και 7 ισχύει η ταυτότητα.

+ + + + + + + + =

+ + + + + + + +

β. 2 2 2

14 3 2 1141 11 4 2

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2

β ψ ωα γ χ

2 2 2 2 2 2

β ψ ωα γ χ

2 2 2 2

14 141 3 2 1 11 4 2

Εφαρµόζω το α ερώτηµα για :α 3 χ 11β 2 ψ 4γ 1 ω 2 και παίρνουµε :

14 141 3 2 1 11 4 2

3 11 2 4 1 2 3 4 2 11 3 2 1 11 2 2 1 4

33 8 2 12 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = + + ⋅ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= == == =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = + + ⋅ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

+ + + −( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2 2

2 6 11 4 4

43 10 5 0

+ − + − =

ι. ( )6χ 3 3 2χ 1+ = +

ιι. ( )5 52α 10 2 α 5− = −

ιιι. ( )24κ 16λ 8 3κ 2λ− = −

ιν. ( )15 20µ 5 3 4µ+ = +

ν. ( )2 3 2 3220ω 33t 11 20ω 3t+ = +

νι. ( )2 23x 9x 12 3 x 3x 4− + = − +

νιι. ( )14 49β 70α 7 2 7β 10α+ + = + +

νιιι. ( )3 34ρ 6ρ 8 2 2ρ 3ρ 4− + = − +

ιχ. ( )2 226µ 39ν 13 2µ 3ν− = −

χ. ( )25z 75t 100 25 z 3t 4− + = − +

ι. ( )6αχ 3α 3α 2χ 1+ = +

ιι. ( )5 42α 10α 2α α 5− = −

ιιι. ( )2 224κ λ 16κλ 8κλ 3κ 2λ− = −

ιν. ( )215µ 20µ 5µ 3µ 4+ = +

ν. ( )2 3 2220ω 33ω 11ω 20 3ω+ = +

νι. ( )2 3 23χ 9χ 12χ 3χ χ 3 4χ− + = − +

νιι. ( )2 3 314α 49αβ 70αβ 7α 2α 7β 10β+ + = + +

νιιι. ( )2 3 2 24νρ 6ν ρ 8ρ ν 2νρ 2 3νρ 4ρ− + = − +

ιχ. ( )226µ 39µ 13µ 2µ 3− = −

χ. ( )225z 75z 25z z 3− = −

χι. ( )2α α α α 1− = −

χιι. ( )3 2 2α α α α α α 1− − = − −

χιιι. ( )2004 2003 2002 2002 2χ χ χ χ χ χ 1− − = − −

ι. ( ) ( )2 3 3 3 3 22χ 2χ 4 χ 2χ 4χ 8χ χ 2χ 5χ 10χ 5χ χ 2− + − = − + − = − = −

ιι. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3

α 1 α 1 α 1 α α 1 α 1 α 1

+ − − − + + = − − − =

− 3α 1− + ( )2α 1 α= −

ιιι. ( )3 3 3 3χ ψ χ ψ χ+ − − = 2 2 33χ ψ 3χψ ψ+ + + 3χ− 3ψ−

( )2 23χ ψ 3χψ 3χψ χ ψ

ιν. ( )2 3 3χ χ 6 χ 8χ χ+ − − = 2 36χ χ+ − ( )8χ 2χ 3χ 4− = −

ν. ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2 2 3 2 2 2 2

α β α α β β β α

α 3α β 3αβ β α α 2αβ β β β 2αβ α

+ − − − − =

+ + + − − + − − + =

2 2 33α β 3αβ β+ + + 3α− 2 2 32α β αβ β+ − −

2αβ α β

4α β 4αβ 4αβ α β

+ − =

νι. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2χ 1 χ χ 2 1 2χ 2 2χ 1 1 χ 2χ 1

4χ 4χ 1

+ − − − = − ⋅ ⋅ + − + − =

− + 2χ 2χ 1− + − ( )23χ 2χ χ 3χ 2= − = −

νιι. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2α 3β 2α 3β 4α α 3β 2α 3β 4α 12αβ

+ − − − = − − + =2 29β 4α− − ( )212αβ 9β 12αβ 3β 4α 3β+ = − + = −

νιιι. ( ) ( )2 2α β α α β α+ − − = 2 22αβ β α+ + − ( )2αβ 3αβ β β 3α β+ = + = +

ιχ. ( ) ( )2 2 2α β β α β α 2αβ β− − + = − + 2αβ β− − ( )2α 3αβ α α 3β= − = −

χ. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2

α β β γ α γ α γ

α 2αβ β β 2βγ γ α γ

+ − + − − + =

+ + − + + − − =

22αβ β+ + 2β− 22βγ γ− − 2α− 2γ+ ( )2αβ 2βγ 2β α γ= − = −

ι. ( ) ( ) ( ) ( )χ χ 3 2 χ 3 χ 3 χ 2+ + + = + +

ιι. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

χ χ 1 χ χ 1 χ χ 1 χ 1

χ χ 1 χ 1 χ 1 χ χ 1 χ 1

+ − + = + − =

+ + − = + −

ιιι. ( ) ( ) ( ) ( )α χ ψ β χ ψ χ ψ α β+ + + = + +

ιν. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )χ α β ψ β α χ α β ψ α β χ ψ α β− + − = − − − = − −

ν. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )χ 1 χ 2 1 χ 2χ 1 χ 1 χ 2 χ 1 2χ 1

χ 1 χ 2 2χ 1 χ 1 3χ 1

− − − − + = − − + − + =

− − + + = − −

νι. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2ψ 2 ψ 6 3ψ 3 2 ψ

2 ψ 1 ψ 6 3 ψ 1 2 ψ

ψ 1 2 ψ 6 3 2 ψ ψ 1 2ψ 12 6 3ψ

ψ 1 5ψ 18

+ − − + − =

+ − − − = + − − + =

νιι. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 2α β α β α β α β 1 α β α 2αβ β 1⎡ ⎤− + − = − − + = − − + +

⎣ ⎦

νιιι. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

χ χ α χ 2α χ χ α χ 2α

χ χ α χ 2α χ α χ χ 2α

χ χ α χ 2α χ α χ 2αχ

χ χ α χ 2α χ 1 2α χ α

− + − − + =

⎡ ⎤− + − − + =⎣ ⎦

− + − − − =

− + − + − −

ιχ. ( ) ( ) ( ) ( )22 3 2α α β β α α β β αβ α β αβ α β− + − = − + −

χ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2χ ψ 1 χ ψ 1 χ χ ψ 1 ψ χ ψ 1 χ ψ 1 χ ψ 1+ + + + + + + + = + + + + = + +

ι. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2α 4αβ 6β 3 2α 4αβ 6β 3

2α 1 2β 3 1 2β 1 2β 2α 3

+ + + = + + + =

+ + + = + +

ιι. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )αβ βγ χα χγ αβ βγ χα χγ

β α γ χ α γ α γ β χ

− + − = − + − =

− + − = − +

ιιι. ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 2 2 2 2 2 2α β γ αβ γ 2α 2 αβ γ α 1 2 α 1 α 1 αβ γ 2+ + + = + + + = + +

ιν. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 24χ ψ 10χ 6χψ 15ψ 4χ ψ 6χψ 10χ 15ψ

2χψ 2χ 3ψ 5 2χ 3ψ 2χ 3ψ 2χψ 5

+ − − = − + − =

− + − = − +

ν. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )αβ βχ α γα γχ χ αβ α αγ βχ γχ χ

α 1 β γ χ 1 β γ 1 β γ α χ

+ + + + + = + + + + + =

+ + + + + = + + +

νι. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2χ χ ψχ ψ ω ωχ χ χ ψ ψχ ω ωχ

χ χ 1 ψ χ 1 ω χ 1 χ 1 χ ψ ω

− − + + − = − + − + − =

− − − − − = − − −

νιι. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 4 3 2 5 4 3 2

4 2 4 2

χ 4χ 3χ 12χ χ 4 χ 4χ 3χ 12χ χ 4

χ χ 4 3χ χ 4 χ 4 χ 4 χ 3χ 1

− + − − + = − + − − − =

− + − − − = − + −

νιιι. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )3 2 2

α α α 1 α 2 α α 1 α 1 α 2

α 1 α α 2

+ + + + = + + + + =

ιχ. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

αβ βγ αγ γ β γ α β

β α γ γ α γ β γ α β

α γ β γ β γ α β β γ α γ α β β γ 2α β γ

+ + + + + + =

+ + + + + = + + + + = + + +

χ. ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

χ α β χ αβ χ αχ βχ αβ

χ αχ βχ αβ χ χ α β χ α χ α χ β

+ + + = + + + =

+ + + = + + + = + +

ι. ( ) ( ) ( )22 2 2α β 4 αβ 2 αβ 2 αβ 2− = − = + −

ιι. ( ) ( ) ( ) ( )2 24 2 2 2 216χ 81ψ 4χ 9ψ 4χ 9ψ 4χ 9ψ− = − = + −

ιιι. ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

3 23 3 2

1 8χ 1 2χ 1 2χ 1 1 2χ 2χ

1 2χ 1 2χ 4χ

− = − = − + ⋅ + =

− + +

ιν. ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

3 23 3 2

64 125α 4 5α 4 5α 4 4 5α 5α

4 5α 16 20α 25α

+ = + = + − ⋅ + =

+ − +

ν. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

222 4 2 2 236ω 10 6ω 10 6ω 10 6ω 10

4 3ω 50 3ω 50

− = − = + − =

νι. ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

3 23 3 2

27α 1000 3α 10 3α 10 3α 3α 10 10

3α 10 9α 30α 100

− = − = − + ⋅ + =

− + +

νιι. ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

3 26 3 2 3 2 2 2 2

2 4 2 2

216χ ψ 6χ ψ 6χ ψ 6χ 6χ ψ ψ

6χ ψ 36χ 6χ ψ ψ

+ = + = + − + =

+ − +

νιιι. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2α β 1 α β 1 α β 1 α β 1+ − = + − = + + + −

ιχ. ( ) ( ) ( )22 4 2 2 2 249χ ψ 64 7χψ 8 7χψ 8 7χψ 8− = − = + −

χ. 2 22 2χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ

4 9 2 3 2 3 2 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

χι. ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 333 3 3

22 2 23 3

χ 64ψ 10,001χ 0,064ψ χ 4ψ1000 1000 10

1 1χ 4ψ χ χ 4ψ 4ψ χ 4ψ χ 4χψ 16ψ10 10

− = − = − =

− + + = − + +

χιι. 3 23 9 3 3 3 3

3 2α β αβ αβ αβ αβ1 1 1 1 127 3 3 3 3

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ = + = + − ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

ι. ( ) ( ) ( )( )( )

22χ χ 3ψ χ χ 3ψ χ χ 3ψ

2χ 3ψ χ

− + = + + − + =

+ χ−( ) ( )3ψ 3ψ 2χ 3ψ− = − +

ιι. ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2α β β γ α β β γ α β β γ

α 2β γ α β

+ − + = + + + + − + =

+ + + β−( ) ( ) ( )γ α 2β γ α γ− = + + −

ιιι. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

χ 2 ψ 2

χ 2 ψ 2 χ 2 χ 2 ψ 2 ψ 2

+ − + =

⎡ ⎤⎡ ⎤+ − + ⋅ + + + ⋅ + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ ψ 2− −( )( ) ( )

χ 4χ 4 χψ 2χ 2ψ 4 ψ 4ψ 4

χ ψ χ ψ 6χ 6ψ 12

⎛ ⎞+ + + + + + + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

− + + + +

ιν. ( ) ( )

( ) ( ) ( )

χ 1 1 χ 1 1

χ 1 1 χ 1 χ 1 1 1

χ 2 χ 2χ 1

+ + = + + =

⎡ ⎤+ + + − + ⋅ + =⎣ ⎦

+ + + χ 1− −( )( ) ( )2

χ 2 χ χ 1

ν. ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 25χ 3ψ 3χ 5ψ 5χ 3ψ 3χ 5ψ 5χ 3ψ 3χ 5ψ

8χ 8ψ 5χ 3ψ 3χ 5ψ 8 χ ψ 2χ 2ψ 8 χ ψ 2 χ ψ

16 χ ψ χ ψ

+ − + = + + + + − + =

+ + − − = + − = + − =

ι. ( ) ( ) ( )2 2 2 2αχ αψ α χ ψ α χ ψ χ ψ− = − = − +

ιι. ( ) ( ) ( )3 3 3 3 2 2χα χβ χ α β χ α β α αβ β− = − = − + +

ιιι. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 26 6 3 3 3 3 3 3

2 2 2 2

χ α χ α χ α χ α

χ α χ χα α χ α χ χα α

− = − = − + =

− + + + − +

ιν. ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

3 23 3 3 2

2κ 16λ 2 κ 2λ 2 κ 2λ κ κ 2λ 2λ

2 κ 2λ κ 2κλ 4λ

+ = + = + − + =

+ − +

ν. ( ) ( )( ) ( ) ( )24 2 4 2 2 2 2 232ν 8µ 8 4ν µ 8 2ν µ 8 2ν µ 2ν µ− = − = − = + −

νι. ( ) ( )( ) ( ) ( )23 2 275αβ 27αβ 3αβ 25β 9 3αβ 5β 3 3αβ 5β 3 5β 3− = − = − = − +

νιι. ( ) ( ) ( )4 4 3 3 2 2αχ α χ αχ χ α αχ χ α χ χα α− = − = − + +

νιιι. ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

3 33 3 3 3

24χ 81ψ 3 8χ 27ψ 3 2χ 3ψ

3 2χ 3ψ 2χ 2χ 3ψ 3ψ

3 2χ 3ψ 4χ 6χψ 9ψ

+ = + = + =

+ − ⋅ + =

+ − +

ιχ. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

6 3 3 3 3 3 3 3 2 2

α α α α 1 α α 1 α α 1 α α 1 1

α α 1 α α 1

− = − = − = − + ⋅ + =

− + +

χ. ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 2 2 2 2 22χ 18χ 2χ χ 9 2χ χ 3 2χ χ 3 χ 3− = − = − = − +

ι. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2α χ ψ χ ψ α χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ α χ ψ− + − = − + − + = − + +

ιι. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2α β α β α β α β α β α β α β− + − = − + − + = − − α β+ +( ) ( )2α α β= −

ιιι. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

4 2 2 2 2 2 2

χ χ χ 1 χ χ 1 χ 1 χ χ 1 χ 1

χ χ 1 χ 1 χ 1 χ 1 χ χ 1 1

χ 1 χ χ 1

− + + = − + + = − + + =

− + + + = + − + =

+ − +

ιν. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 2 2 2 2αβ β α β β α β α β α αβ β α β β α αβ β− + − = − + − + + = − + + +

ν. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

5 2 4 5 2 4 2 3 4

2 22 3 3 4 4 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

4 3 2 3 2

χ 8χ χ 16 χ 8χ χ 16 χ χ 8 χ 16

χ χ 2 χ 2 χ χ 2 χ 2χ 2 χ 2

χ χ 2 χ 2χ 2 χ 2 χ 2

χ χ 2 χ 2χ 2 χ 2 χ 2 χ 2

χ 2 χ χ 2χ 2 χ 2 χ 2

χ 2 χ 2χ 4χ χ 2χ 4χ 8

χ 2 χ 3χ 6χ 4χ 8

− + − = − + − = − + − =

− + − = − + + + − =

− + + + + − =

− + + + + − + =

− + + + + + =

− + + + + + + =

− + + + +

νι. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

3 2 3 2 3 3 2

χ χ 5χ 125 χ 125 χ 5χ χ 5 χ 5χ

χ 5 χ 5χ 5 χ χ 5 χ 5 χ 5χ 25 χ

χ 5 χ 4χ 25

+ + + = + + + = + + + =

+ − + + + = + − + + =

+ − +

νιι. ( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

4 6 3 2 4 2 6 3

2 32 2 2 3

22 2 2 2 2 2

2 2 2 4 2 2

2 2 4 2 2

4χ 8χ ψ ψ 4χ ψ 8χ ψ

2χ ψ 2χ ψ

2χ ψ 2χ ψ 2χ ψ 2χ 2χ ψ ψ

2χ ψ 2χ ψ 2χ ψ 4χ 2χ ψ ψ

2χ ψ 2χ ψ 4χ 2χ ψ ψ

+ + − = − + + =

− + + =

+ − + + − + =

+ − + − +

νιιι. ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

3 2 3 2 3 3 2 2

33 2 2

2 22 2

κ 2κ 27λ 18λ κ 27λ 2κ 18λ

κ 3λ 2κ 18λ

κ 3λ κ κ 3λ 3λ 2 κ 3λ

κ 3λ κ 3κλ 9λ 2 κ 3λ κ 3λ

κ 3λ κ 3κλ 9λ 2 κ 3λ

κ 3λ κ 3κλ 9λ 2κ 6λ

− − + = − + − + =

− + − + =

− + + − − =

− + + − − + =

− + + − + =

− + + − −

ι. ( )22 2 2χ 2χ 1 χ 2 χ 1 1 χ 1+ + = + ⋅ ⋅ + = +

ιι. ( ) ( ) ( )2 22 24α 4α 1 2α 2 2α 1 1 2α 1− + = − ⋅ ⋅ + = −

ιιι. ( ) ( ) ( )2 22 225κ 20κ 4 5κ 2 5κ 2 2 5κ 2+ + = + ⋅ ⋅ + = + ιν. 2 2

2 21 1 1 1χ χ χ 2 χ χ4 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = − ⋅ ⋅ + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ν. ( ) ( ) ( )22 2 2 218 12χ 2χ 2 χ 6χ 9 2 χ 2 χ 3 3 2 χ 3+ + = + + = + ⋅ ⋅ + = +

νι. ( ) ( ) ( )( )

24 2 4 2 2 2 2

5χ 100χ 500 5 χ 20χ 100 5 χ 2 χ 10 10

5 χ 10

− + = − + = − ⋅ ⋅ + =

νιι. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2α β 2 αβ β β α β 2β α β β α β β α 2β+ + + + = + + + + = + + = +

νιιι. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2χ ψ 1 2 χ ψ 1 1 χ ψ 1 2 χ ψ 1 1 1

χ ψ 1

+ + − + + + = + + − ⋅ + + ⋅ + =

+ + 1−( ) ( )2 2

χ ψ= +

ιχ. 2 2

10 5 5 5 2 51 1 1 1χ χ 1 χ 2 χ 1 1 χ 14 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + ⋅ ⋅ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

χ. ( ) ( ) ( )23 2 2 2 2α 4α 4α α α 4α 4 α α 2 α 2 2 α α 2− + = − + = − ⋅ ⋅ + = −

ι. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

22 2 2 2

χ 2χ 1 9ψ χ 2 χ 1 1 3ψ

χ 1 3ψ χ 1 3ψ χ 1 3ψ

+ + − = + ⋅ ⋅ + − =

+ − = + + + −

ιι. ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

22 2 2 2 2

2 2 2 22

25α χ 4χψ 4ψ 5α χ 4χψ 4ψ

5α χ 2 χ 2ψ 2ψ 5α χ 2ψ

5α χ 2ψ 5α χ 2ψ 5α χ 2ψ 5α χ 2ψ

− + − = − − + =

− − ⋅ ⋅ + = − − =

+ − − − = + − − +

ιιι. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

22 22 2 4 2

22 2 2 2

49χ 64ψ 112χψ ψ 7χ 8ψ 2 7χ 8ψ ψ

7χ 8ψ ψ 7χ 8ψ ψ 7χ 8ψ ψ

+ − − = + − ⋅ ⋅ − =

− − = − + − −

ιν. ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

22 2 2 2 2 2 2γ α 2αβ β γ α 2αβ β γ α β

γ α β γ α β γ α β γ α β

− − − = − + + = − + =

+ + − + = + + − −

ν. ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 22 2

χ 6χψ 9ψ 9χ 6χψ ψ

χ 2 χ 3ψ 3ψ 3χ 2 3χ 1 ψ

χ 3ψ 3χ ψ χ 3ψ 3χ ψ χ 3ψ 3χ ψ

4χ 4ψ χ 3ψ 3χ ψ 4 χ ψ 2ψ 2χ 4 χ ψ 2 ψ χ

8 χ ψ ψ χ

+ + − − + =

+ ⋅ ⋅ + − − ⋅ ⋅ + =

+ − + = + + + + − + =

+ + − − = + − = + − =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2α 3β 2α 3β

2α 6αβ αβ 3β 2α

7αβ 6

α 3β β α 3β

α 3β 2α

αβ 1αβ

+ = + =

− − − = − − − =

− −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

6χ 1 6χ 1

6χ 6χ χ 1 6χ χ 1 χ 1

5χ 6χ χ

1 6χ 1

− = − =

− + − = − + − =

− −

ιιι.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

χ 2 χ 2χ

χ χ 2χ 2 χ χ 1 2 χ 1

χ 1 χ 2

χ 2χ− = − =

− + − = − + − =

ιν. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2χ 2 χ 2χ χ χ 2χ 2

χ χ 1 2 χ 1 χ 1 χ 2

χ 2χ− = − = + − + =

+ − + = +

ν. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2χ 2 χ 23 χ χ 2χ 2

χ χ 2

χ 1 2 χ 1 χ 1 χ 2

χ+ = + = − − − =

− − − = −

− −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

χ 16 χ 16

χ 2χ 8χ 16 χ χ 2 8 χ 2

10χ 2 χ

8+ = + =

− − − = − − − =

− −

νιι.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

5χ 3 5χ 3

5χ 5χ 3χ 3

5χ χ 1 3 χ 1

χ 1 5χ

χ 3χ

− + = − + =

− + − − = − − − − =

− −

νιιι. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 24 4 4 2 2

22 2 2 2 2 2

4χ 1 4χ 1 4χ 4χ χ 1

4χ χ 1 χ 1 χ 1 4χ 1 χ

4χ χ

χ 1 χ 1 2χ 1 2χ 1

+ = + = − − − =

− − − = − − = − − =

− + −

− −

ιχ. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2χ 4ψ χ 4ψ χ χψ 4χψ 43χψ χψ ψ

χ χ ψ 4ψ χ ψ χ ψ χ

4 ψ− = − = − + − =

− + − = −

χ. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 22χ 1 2χ 1 2χ 2χ χ 1

2χ χ 1 χ 1

χ 2χ

− = − = − + − =

− + − = −

− −

χι. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2α β 6 α β 6

α β α

5 α β 2 α β 3 α β

β 2 3 α β 2 α β 2 α β 3

+ + = + + =

− + − + − +

− − + − = + − + −

χιι. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

6 6 6 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3

α 8 α 8 α α 8α 8

α α 1 8 α 1 α 1 α 8 α 1 α 2

α 1 α α 1 1 α 2 α

α 2 2

α 1 α α 1 α 2 α 4

− = − = − + − =

− + − = − + = − + =

− + ⋅ + + − ⋅ + =

− + +

χιιι. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2χ 10 χ 10 χ χ 10χ 10

1 10 χ 1 χ χ 1 10 χ 1 χ 1

χ 1 χ 10 χ 1 χ 1 χ 10χ 10 χ 1 11χ

χ χ 10− − = − − = − + − =

− + − = − + − + =

− + + = − + + = − +

χιν. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2χ 110 χ 110 χ 10χ 11χ 110

χ χ 10 11 χ 10 χ 10 χ 11

χ 11χ 10χ− = − = − + − =

− + − = −

χν. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2χ 2 3 χ 6 χ 2χ 3χ 6 χ 2χ 3χ 6

χ χ 2 3 χ 2 χ 2 χ 3

− + + = − − + = − − − =

− − − = − −

χνι. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

2ψ 8ψ

16 χ 7χ 2 χ 7χ 3

θέτω χ 7χ ψ 1 οπότε έχω :

16ψ 3 16ψ 3

16ψ 8ψ 6ψ 3 8ψ 2ψ 1 3 2ψ 1

2ψ 1 8ψ 3 2 χ 7χ 1 8 χ 7χ 3

2χ 14χ 1 8χ 56

+ − + − =

− = − =

− + − = − + − =

− + = + − + + =

+ − +

χνιι. ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

3 χ 3 7 χ 3 2

θέτω χ 3 ψ 1 οπότε έχω :

3ψ 2 3ψ 2

3ψ 6ψ ψ 2 3ψ ψ 2 ψ 2

ψ 2 3ψ 1 χ 3 2 3 χ 3 1

χ 5 3χ 9 1 χ 5 3

− − − + =

+ = + =

− − − = − − − =

− − = − − − − =

− − −

− −

χνιιι. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

α 2α 2 α 2α 3

θέτω α 2α β 1 οπότε έχω :

β 3 β 3

β β 3β 3 β β 1 3 β 1

β 1 β 3 α 2α 1 α 2α 3

α 2 α 1 1 α α 3α 3

α 1 α α 1 3 α 1 α 1 α 1

2β β 3

+ − + − =

− = + − =

+ − + = + − + =

+ − = + + + − =

+ ⋅ ⋅ + − + − =

+ − + −

= + − +

χιχ. ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )

χ 20χ 64χ χ χ 64

χ χ 64 χ χ 4χ 16χ 64

χ χ χ 4 16 χ 4

χ 16χ

χ 4 χ 16

− + = + =

+ = − − − =

− − − = −

χχ. ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2 22ν ν 2 ν 2 ν ν ν

1ν ν

3 2 2 1 3 2 2 2 1 3 2 4 2 1

θέτω 2 χ 1 οπότε έχω :

3χ 1 3χ 1 3χ4χ 3χ χ 3χ χ 1

3χ χ 1 χ 1 χ 1 3χ 1 2 1 3 2 1

+⋅ + + = ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + =

+ = + = + + + =

+ + + = + + = + ⋅

ι. ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 24 4 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2

α β 7α β α β 7α β

α β 2α β 7α β α β 9α β

α β 3αβ α β 3αβ α β 3αβ

+ − = + − =

+ − − = + − =

+ − = + − + +

ιι. ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 24 4 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2

α β 11α β α β 11α β

α β 2α β 11α β α β 9α β

α β 3αβ α β 3αβ α β 3αβ

+ − = + − =

− + − = − − =

− − = − − − +

ιιι. ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 24 2 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2

χ 1 3χ χ 1 3χ χ 1 2χ 3χ

χ 1 χ χ 1 χ χ 1 χ

+ − = + − = − + − =

− − = − − − +

ιν. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 28 8 4 4 4 4 4 4

2 24 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2

χ 4ψ χ 2ψ χ 2ψ 2 χ 2ψ

χ 2ψ 2χ ψ χ 2ψ 2χ ψ χ 2ψ 2χ ψ

+ = + = + − =

+ − = + − + +

ν. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 24 2 2 2 2

2 22 2 2

χ 4 χ 2 χ 2 2 χ 2

χ 2 2χ χ 2 2χ χ 2 2χ

+ = + = + − ⋅ ⋅ =

+ − = + + + −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

ψ 10ψ 21 ψ 3ψ 7ψ 21

ψ 3ψ 7ψ 21 ψ ψ 3 7 ψ 3

ψ 3 ψ 7

+ + = + + + =

+ + + = + + + =

β. ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

1α2 2 2

χ 5χ 4 χ 5χ 6 3

ψ 4 ψ 6 3 ψ 6ψ 4ψ 24 3

ψ 10ψ 21 ψ 3 ψ 7 χ 5χ 3 χ 5χ 7

+ + + + − =

+ + − = + + + − =

+ + = + + = + + + +

γ. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

χ 1 χ 2 χ 3 χ 4 3

χ 1 χ 4 χ 2 χ 3 3

χ 4χ χ 4 χ 3χ 2χ 6 3

χ 5χ 4 χ 5χ 6 3

ψ 4 ψ 6 3 ψ 3 ψ 7

χ 5χ 3 χ 5χ 7

+ + + + − =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + ⋅ + + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ + + + + + − =

+ + + + − =

+ + − = + + =

+ + + +

ι. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )( )

1 222 2 2 2

χ 1 χ 2 χ 3 χ 4 1

χ 1 χ 4 χ 2 χ 3 1

χ 5χ 4 χ 5χ 6 1

ψ 4 ψ 6 1 ψ 6ψ 4ψ 24 1

ψ 10ψ 25 ψ 2 ψ 5 5 ψ 5 χ 5χ 5

− − − − + =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ⋅ − − + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− + − + + =

+ + + = + + + + =

+ + = + ⋅ ⋅ + = + = − +

ιι. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22 2 2 2 2

χ 1 χ 2 χ 3 χ 4 1 χ

χ 5χ 5 χ χ 5χ 5 χ χ

− − − − + − =

⎡ ⎤− − − − + − =⎣ ⎦

− + − = − + + 25χ 5 χ− + −( )( ) ( ) ( ) ( )2 22χ 5χ 5 5 5χ 5 1 χ 2χ 5χ 5

− + − = − − +

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

αβ β α βγ γ β γα α γ

αβ β α βγ β γ γα γ α

αβ β α βγ γ α β γ γα

αβ β α γ β α γ β α

αβ β α γ β α γ β α β α

β α αβ γ γ β α

β α αβ γ γβ γα

β α αβ γβ γ γα

β α β α γ γ α γ

β α α γ β γ α β β γ γ α

− + − + − =

− + − + − + =

− + − − − =

− + − − − + =

⎡ ⎤− + − + =⎣ ⎦

− + − − =

⎡ ⎤− − + − =⎣ ⎦⎡ ⎤− − − − =⎣ ⎦

− − − = − − −

( ) ( ) ( )( ) ( )

4 4 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

α β γ 2α β 2β γ 2γ α

α β γ 2α β 2β γ 2γ α α β γ

+ + + − − =

+ + − + − − = + −

β. ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 22 2

α β γ 4α β α β γ 2αβ

α β γ 2αβ α β γ 2αβ

α β 2αβ γ α β 2αβ γ

α β γ α β γ

α β γ α β γ α β γ α β γ

+ − − = + − − =

+ − − + − + =

+ − − + + − =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ⋅ + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− − − + + + + −

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

4 4 4 2 2 2 2 2 2

4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2

α4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 22 2

α β γ 2α β 2β γ 2γ αα β γ 2α β 4α β 2β γ 2γ α

α β γ 2α β 2β γ 2γ α 4α β

α β γ 4α β α β γ 2αβ

α β γ 2αβ α β γ 2αβ

α β 2αβ γ α β 2αβ γ

α β γ α β γ

+ + − − − =

+ + + − − − =

+ − − = + − − =

+ − − + − + =

+ − − + + − =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ⋅ + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )α β γ α β γ α β γ α β γ− − − + + + + −

Αν α+β+γ=0 (1) τότε: α. ( )

12 2 2 2

γ α β

22 2 2 2 2

α β 2βγ α β 2β α β

α β 2αβ 2β α β 2αβ α β

=− −− − = − − − − =

− + + = + + = +

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1 33 3 3 3 3

γ α β

3 33 3 2 2

22 2 2 2 2 2

α β γ α β α β

α β α β α β α αβ β α β

α β α αβ β α β γ α αβ β α 2αβ β

=− +⎡ ⎤+ + = + + − + =⎣ ⎦

+ − + = + − + − + =

⎡ ⎤+ − + − + = − − + − + + =⎣ ⎦

− 2αβ β− + 2α− 22αβ β− −( ) ( )γ 3αβ 3αβγ= − − =

γ. ( ) ( ) ( )3 3 3

χ ψ ψ ω ω χ

θέτωχ ψ αψ ω β Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε :ω χ γ

α β γ χ

− + − + − =

− = ⎫⎪− = ⎬⎪− = ⎭

+ + = ψ− ψ+ ω− ω+ χ−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3

0 οπότε από το β ερώτηµα έχουµε :

χ ψ ψ ω ω χ 3 χ ψ ψ ω ω χ

− + − + − = − − −

( ) ( ) ( )22 2 2Α χ 25ψ χ 5ψ χ 5ψ χ 5ψ= − = − = − +

( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 2Β 12χ 3 3 4χ 1 3 2χ 1 3 2χ 1 2χ 1= − = − = − = − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2Γ 3 α β α β 3 α β α β α β α β 3 α β= − − − = − − − + = − − −

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2∆ αβ 3α 2β 6β αβ 3α 2β 6β

α β 3 2β β 3 β 3 α 2β

= − + − = − + − =

− + − = − +

( ) ( ) ( ) ( )2 2Ε 21 4α α 21 7α 3α α

7 α 3 α α 3 α 3 7 α= + − = + − − =

+ − + = + −

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )Ζ αχ 2αψ 2βψ βχ αχ βχ 2αψ 2βψ

χ α β 2ψ α β α β χ 2ψ

= − + − = − + − + =

− − − = − −

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )Η 2αβ 4α β 2 2αβ 4α β 2

2α β 2 β 2 β 2 2α 1

= + − − = + − + =

+ − + = + −

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 2 2 2Θ α 1 α 1 α 1 α α 1 1 α 1 α α 1= + = + = + − ⋅ + = + − +

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2Ι 2β β 2βα α 2β β 2βα α

β 2β 1 α 2β 1 2β 1 β α

= − + − = − + − =

− + − = − +

( ) ( )2 2 2 2 2 2Κ 4χ ψ 1 4ψ 1 χ 4χ ψ= − + − = 2 2 2 24χ 4ψ 4χ ψ− + −

( ) ( ) ( )2 24 ψ χ 4 ψ χ ψ χ

− = − +

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

24 8 4 4 4 4 4 4 2 2

4 2 2 4 2

Λ χ χ χ 1 χ χ 1 χ χ 1 χ

χ 1 χ 1 χ χ 1 χ 1 χ 1 χ

= − = − = − = − =

+ − = + + −

2 2 3 2Μ χ ψ χψ ψ χ ψ= + − − =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2Ν χ ψ ω χ ψ ω χ ψ ω χ ψ ω χ ψ ω

χ ψ ω χ ψ ω 1

= + − + + + = + + + − + + + =

+ + + − +

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

Ξ χ α β χ αβ χ αχ βχ αβ

χ αχ βχ αβ χ χ α β χ α

χ α χ β

= − − − = − + − =

− + − = − + − =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

Ο χ 3χψ 2ψ χζ ψζ χ χψ 2χψ 2ψ χζ ψζ

χ χψ 2χψ 2ψ χζ ψζ

χ χ ψ 2ψ χ ψ ζ χ ψ χ ψ χ 2ψ ζ

= + + + + = + + + + + =

+ + + + + =

+ + + + + = + + +

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

3 2 3 2

Π χ χ 2 χ 1 χ 1

χ 1 χ χ 1 χ 1 χ 1

χ 1 χ χ 1

= + − = − + − =

− + + + − + =

− + + χ 1+ −( ) ( ) ( ) ( ) ( )2χ 1 χ 2χ χ χ 1 χ 2= − + = − +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

Ρ 6χ 5χψ ψ 6χ 3χψ 2χψ ψ

6χ 3χψ 2χψ ψ 3χ 2χ ψ ψ 2χ ψ

2χ ψ 3χ ψ

= + + = + + + =

+ + + = + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 24 4 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2

Σ 64χ ψ 8χ ψ 8χ ψ 2 8χ ψ

8χ ψ 4χψ 8χ ψ 4χψ 8χ ψ 4χψ

= + = + = + − ⋅ ⋅ =

+ − = + + + −

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

Τ χ ψ ζ ψ ζ χ ζ χ ψ

χ ψ ζ ψ ζ ψ χ ζ χ ζ ψ

χ ψ ζ ψ ζ ζ ψ ψ χ ζ χ

χ ψ ζ ψζ ψ ζ χ ψ ζ

χ ψ ζ ψζ ψ ζ χ ψ ζ ψ ζ

ψ ζ χ ψζ χ ψ ζ ψ ζ χ ψζ χψ χζ

ψ ζ χ χψ ψζ χζ ψ ζ χ χ ψ ζ χ ψ

ψ ζ χ ψ χ ζ

= − + − + − =

− + − + − =

− + − + − + =

− + − − − =

− + − − − + =

− + − + = − + − − =

− − + − = − − − − =

− − −

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

Υ x y z y z x z x y

x y z yz yx zx zy

x y z yz zy yx zx

x y z y z yz y z x y z

y z x y z yz x

y z xy xz yz x

y z xz yz x xy

y z z x y x x y

y z x y z x

= − + − + − =

− + − + − =

− + − + − + =

− + − − − − =

⎡ ⎤− + − − =⎣ ⎦

− + − − =

⎡ ⎤− − − − =⎣ ⎦

− − − − =

− − −

( ) ( ) ( ) ( )

28 4 4 4 2

224 4 4

Φ χ 12χ 16 χ 2 6 χ 6 20

χ 6 2 5 χ 6 2 5 χ 6 2 5

= − + = − ⋅ ⋅ + − =

− − = − − − +

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2 2

2 2 2 2 22

2 2 22 2

2 22 2

Χ x xy x xy 1 y

x xy x xy 1 y

x 1 y x xy 1 y x xy 1 y

x 1 y x xy 1 y x xy 1 y x 1 y 1 y

x 1 y x 1 xy y x 1 xy y 1 y x 1

x 1 y x 1 y x 1 x 1 y x 1 1 y x 1

x 1 y x 1 1 y x 1 1

= − + − − − =

⎡ ⎤− + − − − =⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − − − ⋅ − + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− + − + − − − + − + − =

− + + − + − − − − + =

− + + − + ⋅ − − − ⋅ − ⋅ + =

− + + − − ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 42 2

2 22 4 4 2

y 1 y x 1

x 1 y x 1 x 1 x 1 1 y

1 y x x 1 x 1 x 1

1 y x x 1 1 y x x 1

− − + =

− + + − + − =

− + + − + =

− + − = − + −

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

7 5 3 7 5 3

5 2 2 2 4

22 2 2 2 2 2

ψ χ χ χ χ χ χ χ χ

χ χ 1 χ χ 1 χ χ 1 χ 1

χ χ 1 χ 1 χ χ 1 χ 1 χ 1 χ 1

χ χ 1 χ 1 χ 1 χ 1 χ 1

χ χ 1 χ 1 χ 1

= − − + = − − − =

− − − = − − =

− − = − + − + =

− + − + + =

− + +

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

4 2 2 4 4 2 2 2 2 4

2 22 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2

Ω 4χ 3χ ψ ψ 4χ 4χ ψ χ ψ ψ

2χ 2 2χ 1 ψ χ ψ

2χ ψ χψ 2χ ψ χψ 2χ ψ χψ

= + + = + − + =

+ ⋅ ⋅ + − =

+ − = + + + −

α. ( ) ( )( ) ( )3 3 3 2 2 2α β γ 3αβγ α β γ α β γ αβ βγ γα

2 2 2α β γ α β γ αβ βγ γα

3 2α αβ

+ + − = + + + + − − −

+ + + + − − − =

+ 2αγ+ 2α β− 2αβγ α γ− − 2α β+ 3 2β βγ+ + 2αβ.........

− 2β γ−− − − − −

2αβγ α γ

+ 2β γ+− − − − −

3 2γ αβγ βγ+ − − 2αγ.........

( )3 3 3α β γ 3αβγ 1= + + −

β ι. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

33 3 3 3 3

α β γ 3αβγ α β γ 3α β γ

α β γ α β γ α β β γ γα

α β γ α β γ αβ βγ γα

− + + = + − + − − =

− + + − + − − − − − =

− + + + + + −

ιι. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

3 33 3 3 3

α β γ 3αβγ α β γ 3α β γ

α β γ α β γ α β β γ γ α

α β γ α β γ αβ βγ γα

− − − = + − + − − − − =

− − + − + − − − − − − − − =

− − + + + − +

ιιι.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

χ ψ 8 6χψ

χ ψ 2 3 χ ψ 2

χ ψ 2 χ ψ 2 χψ ψ 2 2 χ

χ ψ 2 χ ψ 4 χψ 2ψ 2χ

+ − + =

+ + − − ⋅ ⋅ ⋅ − =

+ − + + − − − − − − =

+ − + + − + +

( ) ( ) ( )13 3 3 2 2 2α β γ α β γ α β γ αβ βγ γα 3αβγ+ + − + + + + − − − =

ι. ΛΑΘΟΣ πρέπει ( )

χ 1 0 χ 1χ 1 χ 0 και και

χ 0 χ 0

− ≠ ≠⎫ ⎫⎪ ⎪− ≠ ⇔ ⇔⎬ ⎬⎪ ⎪≠ ≠⎭ ⎭

ιι. ΛΑΘΟΣ η παράσταση δεν ορίζεται για χ 1 0 χ 1− ≠ ⇔ ≠

ιιι. ΣΩΣΤΟ

ΛΑΘΟΣ πρέπει

1 11 0 1χ χ

και και χ 1 και χ 0χ 0 χ 0

⎫ ⎫− ≠ ≠⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ⇔ ≠ ≠⎬ ⎬⎪ ⎪≠ ≠⎪ ⎪⎪ ⎪⎭ ⎭

ν. ΛΑΘΟΣ πρέπει α 1 0 α 1− ≠ ⇔ ≠

νι. ΣΩΣΤΟ γιατί ( ) ( ) 2 2 2α β α β α β α− + − + = 2β− 2α− 2β+ 0=

Άρα δεν ορίζεται το κλάσµα

νιι. ΛΑΘΟΣ πρέπει επιπλέον χ 6 0 χ 6− ≠ ⇔ ≠

νιιι. ΛΑΘΟΣ

ιχ. ΛΑΘΟΣ

χ. ΣΩΣΤΟ

χι. ΣΩΣΤΟ

χιι. ΛΑΘΟΣ πρέπει επιπλέον χ 2 0 χ 2− ≠ ⇔ ≠

χιιι. ΣΩΣΤΟ

χιν. ΣΩΣΤΟ

χν. ΣΩΣΤΟ

χνι. ΣΩΣΤΟ

Η διαίρεση δεν ορίζεται όταν:

χ 3 0 χ 32χ 8 0 χ 4

χ 0 ή χ 9χ χ 9 0

⎫− = = ⎫⎪ ⎪− = ⇔ =⎬ ⎬⎪ ⎪= =− = ⎭⎭

α αα

=α α⋅

ιι. 3

ααχχα

=χ⋅ 2χ

χαα

ιιι. ( )

( )226 t 1

( )3 t 1⋅ ⋅ +

2 ( ) ( )t 1 t 1⋅ + ⋅ +

ιν. 2 3

αα β γα β γ⋅ ⋅

=⋅ ⋅

2 2β γ⋅ ⋅ γ

⋅2 2α β γ⋅ ⋅ ⋅

ν. ( ) ( )

( ) ( )

88 χ 1 χ 2

24 χ 2 χ 1

+ −=

( )χ 1⋅ + ( )χ 2⋅ − ( )χ 2

⋅ −

( )3 χ 2⋅ ⋅ − ( )χ 1⋅ + ( ) ( )χ 2

3 χ 1χ 1−

=+⋅ +

( )14α 2 7

7 α 1⋅

( )2αα 1α 1

=+⋅ +

νιι. ( )

99 x c 936 9 c x

−⋅ ⋅ −=

⋅ − ⋅

x⋅ ( )9 c⋅ −

9 ( )4 9 c⋅ ⋅ − x⋅ 22

νιιι. ( )ν 1

3 2 ν 1 36 2 ν

+⋅ ⋅ +=

⋅ ⋅

ν2⋅ 2⋅ ( )ν 1

⋅ +ν2⋅

ν 1νν+

ιχ. ( ) ( ) ( )

χ 1χ 1 χ 1χ 1

−− +=

( )χ 1⋅ +

( )χ 1− ( )χ 1⋅ +1=

( )( )( )

α βα 2αβ β 1α β α β

++ += =

ι. ( )2

2 α 42α 8α 4α

−−=

− ( )α α 4−

ιι. ( )2

χ 1χ 1χ χ

−−=

( )( )

χ χ 1

χ 1χ+

ιιι. ( )

α β γαβ αγγ β

−−=

− ( )β γ− − ( )α

β γβ γ= −

ιν. ( )

( )2 2

3 3 2 2

χψχψ χ ψχ ψ χψχ ψ χψ χψ χ ψ

− −

( )χ ψ+

χψ ( )χ ψ+ ( )1

χ ψχ ψ=

−−

ν. ( )

( )( )

2 χ 22 χ 22χ 4χ 4χ 4 χ 2

+++= =

+ + + ( )χ 2+ ( )2

χ 2χ 2=

νι. ( )

( ) ( )( )22

1 2χ2χ 14χ 4χ 11 2χ 1 2χ1 4χ

−−− += =

− +−

( )( )

− ( )1 2χ1 2χ1 2χ−

νιι. 2

3α15α 6αβ25α 4αβ

−( )5α 2β

( )( )

3 5α 2β

25α 4β

− ( )5α 2β− ( )3

5α 2β5α 2β=

νιιι. ( )

χχ χ 1χ χχ χ χ χ 1

−−= =

− −

( )χ 1− ( ) ( )2χ 1 χ 1

( )χ χ 1−

( ) ( )2χ 1 χ 1

ιχ. ( ) ( ) ( )2 23 33 3

2 2 2 2

2 α β α αβ β2 α β2α 2βα αβ β α αβ β

− + +−−= =

+ + + + 2 2α αβ β+ +( )2 α β= −

2χ 162χ 8

2 ( )( )

χ 2χ 8

2 χ 4

( )( )

2χ 2χ 4

+ ( )2χ 2χ 4χ 2χ 2− +

=−−

172. ι. ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2χ 4 3χψ 6ψ 2 χ 2 3ψ χ 22χ 3χψ 6ψ 43χψ 3ψ 2χ 2 3χψ 3ψ 2χ 2 3ψ χ 1 2 χ 1

χ 2 2 3ψ

+ + + + + ++ + += = =

+ + + + + + + + +

( ) ( )χ 1 2 3ψ+ +

χ 2χ 1+

ιι. ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

αβ α 4β 4 α β 1 4 β 1αβ α 4β 4αβ 4β α 4 αβ 4β α 4 β α 4 α 4

β 1 α 4

+ − + + − ++ − −= = =

− − + − − − − − −

( )α 4− ( )β 1β 1β 1+

=−−

ιιι. ( ) ( )

( ) ( )( )

2 2 2 2

χψ χβ αψ αβχψ χβ αψ αβχ 2αχ α χ 2αχ α

χ αχ ψ β α ψ β

+ − ++ − −= =

− + − +

−+ − +=

( )( )

− ( )ψ βχ αχ α+

=−−

ιν. ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

4 2 2 2 2 4 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

χ 2αχ χ 2αχ 2α χ 2αχχ χ 4α χ 4α χ χ 4α χ 4α

χ χ 2α χ 2α χ 2α χ 1

χ χ 1 4α χ 1 χ 1 χ 4α

χ 2α

+ + ++ + += =

− − + − − −

+ + + + += =

− − − − −

+ ( )χ 1+

( )χ 2α+ ( ) ( )χ 2α χ 1− + ( ) ( ) ( )1

χ 2α χ 1χ 1=

− −−

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

3 2 2 33 2 2 3

3 3 3 3

2 22 2

2 2 2 2

α α β αβ βα α β αβ βα 3αβ α β β α β 3αβ α β

α β α βα α β β α β

α β α αβ β 3αβ α β α β α αβ β 3αβ

− − −− − += =

− − − − − −

− −− − −= =

− + + − − − + + −

− ( ) ( )( )

α β α β

− ( )( )

α 2αβ β

( )( )

− ( )α βα βα β+

=−−

νι. ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

3 23 2

χ χ χ 1χ χ χ 1χ 1 χ 1 χ 1 χ 1

χ 1χ χ 1 χ 1

χ 1 χ 1 χ 1

− + −+ − −= =

− − + +

−− + −=

− + +

( )2χ 1+

( )χ 1− ( ) ( )2χ 1 χ 1+ +

ι. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2 22 2

2 2 2 2

3α 3αβ 2αβ 2β3α 5αβ 2β9α 12αβ 4β 3α 2 3α 2β 2β

3α 2β3α α β 2β α β

3α 2β

+ + ++ += =

+ + + ⋅ ⋅ +

++ + +=

( )( )

3α 2β

+ ( )α β

3α 2β3α 2β+

ιι. ( ) ( )

( ) ( )( )

3 3 3 2 2

χ χ 3 2 χ 3χ 5χ 6 χ 3χ 2χ 6χ 27 χ 3 χ 3 χ 3 χ 3

− − −− + − − += = =

− − − + ⋅ +

− ( )( )

− ( ) 22

χ 2χ 3χ 9χ 3χ 9

+ ++ +

ιιι.

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 23 36 6

2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3 3

2 2 2 2

χ ψχ ψ

χ ψ χ ψ χ ψ χψ

χ ψ χ ψ

χ ψ χψ χ ψ χψ

χ ψ χ χψ ψ

−−= =

+ − + −

− +=

+ − + +

− + + ( ) ( )2 2χ ψ χ χψ ψ+ − +

( )2 2χ ψ χψ+ − ( )2 2χ ψ χψ+ +( ) ( )χ ψ χ ψ= − +

ιν. ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

χ 1 χ 1χ 2χ 1χ 3χ 2 χ χ 2χ 2 χ χ 1 2 χ 1

χ 1 χ 1χ χ 1 χ 1 2 χ 1 χ 1 χ χ 1 2

− −− += = =

− + − − + − − −

− −= =

− + − − − + −

− ( )( )

− ( ) ( ) ( )22

χ 1 χ 1χ χ 1 2 χ 1χ χ 2χ 2χ χ 2

− −= = =

− + −− + −+ −

( )χ 1− ( )1

χ 2χ 2=

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3 3 3 3

5χ 5χ 1 5χ 5χ 1 5χ 5χ 15χ 4χ 1 4χ χ 4χ 1 4χ 4χ χ 1

5χ 5χ 1 5χ 5χ 14χ χ 1 χ 1 4χ χ 1 χ 1 χ 1 χ χ 1

5χ 5χ 1 5χ 5χ 1χ 1 4χ χ 1 χ χ 1 χ 1 4χ 4χ χ χ 1

5χ 5χ 1 1χ 1χ 1 5χ 5χ 1

+ + + + + += = =

− − + − − − + −

+ + + += =

− + − − + + − + +

+ + + += =

⎡ ⎤− + + + + − + + + +⎣ ⎦

−− + +

νι. ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 22 2 2 24

3 2 3 2 2

2 2 22

χ 2 χ 2 2 2 χχ 4χ χ 2 χ 1 χ 1 χ 1 χ χ 1 χ 1 χ 1

χ 2 2χχ 2 2χ

χ 1 χ χ 1 χ 1

+ + − ⋅ ⋅+= = =

+ − − + − − + + + − +

+ ++ −=

− + + + +

( )( ) ( )

χ 2 2χ

χ 1 χ 2 2χ

− + +

2χ 2χ 2χ 1− +

1α αα

⋅ =1α

⋅1αα

ιι. 2 α

αβ⋅

23β4β α

=23 β⋅ ⋅

2 22 α β⋅ ⋅ ⋅

ιιι. 2

24 χ χ2ψ ψχ⋅ ⋅ =

32 χ⋅ ⋅

2 3χ⋅ 22

ιν. 21 3α 25 3 25

5α 10 αχ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅⋅ − ⋅ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠

2α⋅2 25⋅ 2α⋅

32χχ

ν. 2 2

9α χ ψ 9α χ ψχψω 3α χψωψ ψ 9α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−αχ 2ψ

9 2α χ 3

αψ ω

= −2ψ

α 2αψ1αψωψω

( )( )2

77 χ 2 2 χ14χχ 2−

⋅ ⋅ − = −−

( )2χ 2⋅ −

2 7⋅ ( )2χ χ 2⋅ ⋅ −

ι. 2α 2 α α α:2 α 2 2 4

= ⋅ =

ιι. 2 2 33α 9α 3α β:

β β β 9α⎛ ⎞− = − ⋅ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

α⋅ α β⋅ ⋅

3 3 α⋅ ⋅ β⋅α3

ιιι. α β β1: 1

β α α= ⋅ =

ιν. α α α β αβ: 1

β β β α αβ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⋅ − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

( )α α 1 α: αβ β α

⎛ ⎞− = ⋅ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ α

νι. 6 55 5 6

αα α α β:ββ β α

⎛ ⎞− = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

5β⋅5

⋅5α⋅

βαα

ι. ( ) ( )22

α βα β α βα βα β

−− +⋅ =

−−

( )α β⋅ +

( )α β− ( )α β⋅ + ( )α β⋅ −1=

ιι. ( ) 22

χχ χ 1χ χ χ χχ 1 χ 1χ χ

−−⋅ = ⋅ =

− −

( )χ 1−2χ ( )χ χ 1−

ιιι. ( ) ( ) ( )

( ) ( )

β α α 2α β β α2α β αα β β 2α α β α 2α β α

− − −−⋅ ⋅ = − =

− − − − −

( )2α β− ( )β α− ( )( )

− ( )2α β− α 22

2 1 1α 2α αα α 2⎛ ⎞− − =⎜ ⎟−⎝ ⎠

( ) 11 2αα

⋅ − ⋅( ) ( )2 2

1 1 2αα 2 α 2

−⋅ =

− −

ν. ( )

2 2 2 2

χ αχ α χ ββ χ α χ

++ +⋅ =

− −

( )χ β+

( ) ( )β χ β χ− + ( ) ( )α χ α χ− + ( ) ( )1

β χ α χ=

− −

2 2 2 2

1 α β α αβ βα α βα β

− − +⋅ ⋅ =

− ( )α β+ ( )2 2α αβ β− +

( )α β+ ( )2 2α αβ β− + ( )α α β−

ι. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

16χψ 8χ 4ψ : 8χψ

16χψ : 8χψ 8χ : 8χψ 4ψ : 8χψ

8χ 4ψ χ 12 28χψ 8χψ ψ 2χ

+ − =

+ − = + −

( ) ( )2 22 2

α βα βα β : α βα β

−−− − = =

− ( )α β− ( )1α βα β

ιιι. ( ) ( )2 2

2α 3β2α 3β : 6α 13αβ 6β6α 13αβ 6β

++ + + =

( )( ) ( )

2 22 2 2

6 3χ 9ψ 6 χ 2χψ 3ψ:χ ψ χ ψ 3χ 9ψχ 2χψ 3ψ

χ ψ 2ψ6 χ 2χψ ψ 4ψ 6χ ψ 3 χ 3ψ χ ψ 3 χ 3ψ

− − −= ⋅ =

+ + −− −

− −− + −⋅ = ⋅ =

+ − + −

⋅ ( ) ( )χ ψ 2ψ χ ψ 2ψχ ψ 3

− − − +⋅

+ ( )( )2 χ 3ψ

χ 3ψ

( )χ ψ⋅ +

( )χ 3ψ− ( )χ ψ⋅ +2=

( ) ( ) ( )

3 3 2 3

3 3 3 2

χ χ χ χ χ 3:3χ 1 χ 1 χ χ χ

3χ χ3χχ 1 χ χ 1 χ χ χ 1

+ += ⋅ =

− − + +

=− + + + + χ ( ) ( )

( ) ( )

χ 1 χ χ 1

=− + +

− + +

νι. ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 3χ 1 3χ1 9χ 9χ 6χ 1 12χ 4χ:8χ 8χ12χ 4χ 9χ 6χ 1

1 3χ 1 3χ 4χ 3χ 18χ 3χ 2 3χ 1 1

− +− − + −= ⋅ =

− − +

− + −⋅ =

−χ⋅ ( )23χ 1⋅ − ( )3χ 1

2 χ⋅ ⋅ ( )23χ 1⋅ −

3χ 12+

( ) ( )2 2

χ ω χ ωχ ωχ ω χ ω

χ ω χ ω1

− −−+ += =

− − ( )χ ω− ( ) ( ) ( ) ( )1

χ ω χ ωχ ω χ ω=

− +− +

( ) ( ) ( )2 2 3

χ ω χ ωχ ωχ ω χ ω

χ ω χ ω χ ω1

− −−+ += =

ιιι.

ααα α 1α 1

α α α α α αα 1 α 1

−= = =

+ + +− −

( ) ( )α 1 α 1− +

α ( )α 1+α 1= −

ιν. ( )

( )( )( )

χψ 1 ψχψ χψ6χψ4 1 ψ4 4ψ

χψ χ ψ χψ 1 χ6 6χ 6 1 χ

−−++ = =

− −− −

( ) ( )21 χ 1 ψ

− −

( ) ( )21 χ 1 ψ

=− +

( )3 1 χ⋅ − ( ) ( )1 ψ 1 ψ− +

2 ( )2 1 χ⋅ − ( ) ( )1 χ 1 ψ+ +

( )( )

3 1 ψ2 1 χ

( )( )

χ 1χ 1χ 2χ 1 χ 2χ 1χ 1 :

χ 1 χ 2χ 1 χ 2χ 1χ 1χ 1

+++ + − +− = ⋅ =

− − + + +−+

( )2χ 1−

( )2χ 1−⋅( )2χ 1+

( )( )( )( )( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

1 , 2 , 3

24 , 5

333.334 666.663 333.331 333.327Α333.333

θέτω 333.330 χ i τότε :

1333.334 χ 42666.663 2χ 3

χ 4 2χ 3 χ 1 χ 3333.331 χ 1 Η Α3

χ 3333.337 χ 7 4333.333 χ 3 5

2χ 3χ 8χ 12 χ 1 χ 3 2χ 11χ 12 χ 1

⋅ ⋅ += ∈

= + ⎫⎪= + ⎪ + + + + −⎪= + = =⎬

+⎪= + ⎪= − ⎪⎭

+ + + + + − + + + +=

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

3 2 2 3 2

23 2 2

2χ 2χ 11χ 11χ 12χ 12 χ 3 2χ 13χ 24χ 9χ 3 χ 3

2χ χ 3 7χ χ 3 3 χ 32χ 6χ 7χ 21χ 3χ 9χ 3 χ 3

χ 3χ 3 2χ 7χ 3

+ + + + + + − + + += =

+ + + + ++ + + + += =

++ + +=

( )( )

22χ 6χ χ 3

( ) ( ) ( )

χ 32χ χ 3 χ 3χ 3

++ + +=

( )2χ 1

( )i2χ 1 2 333.330 1 666.661= + = ⋅ + =

( ) ( )

2 2 2 2

α χ ψ β 1 χ ψ

α β 1 α β χ ψΑ :χ ψ 1χ ψ χ ψ

α β χ ψ

− = − ≠ ±

+ + −= = ⋅ =

−− −

( ) ( )χ ψ χ ψ+ −( )

α β 2χ ψ

α βΑπο την 1 έχουµε : α β χ ψ 1 εφόσον χ ψ 0χ ψ

χ ψ που ισχύει. άρα Α 1

++ = + ⇔ = + ≠

+⇔ ≠ ± =

( )Αν α β γ 0 1

α,β,γ 0

( ) ( ) ( ) ( )

α β γ

β 2βγ α γα β

πράγµατι,β α β α 2βγ γ β α 2βγβ 2βγ α

α β α β γ

+ =−

+ −=

− + + − − ++ −= = =

+ + −

− ( )β α 2βγ− −

α β γα β γ

− − == − − =

β. 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

β 2βγ α α 2αβ γ γ 2γα βΑ 0α β α γ γ β

Πράγµατι, από το α ερώτηµα έχουµε :

β 2βγ α γ και οµοίωςα β

α 2αβ γ β προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε :α γ

γ 2γα β αγ β

β 2βγ α α 2αβ γ γ 2γα β αα β α γ γ β

+ − + − + −= + + =

⎫+ −= ⎪+ ⎪

⎪+ − ⎪= ⎬+ ⎪⎪+ −

= ⎪+ ⎪⎭

+ − + − + −+ + =

β γ 0 που ισχύει.+ + =

( )3 25 3

χ χ 1χ χ 1χχ χ

−−⋅ =

− ( )2χ χ 1−

2χ χ

Για χ 2003 η τιµή είναι 2003

ι. Γ

ιι. ∆

ιιι. Γ

ιν. Α

ν. Α

νι. Β

νιι. Α

ι. ( )

1 1 1 Ε.Κ.Π. χ,2χ,3χ 6χχ 2χ 3χ

1 1 1 6 3 2 7χ 2χ 3χ 6χ 6χ

+ − =

+ −+ − = =

ιι. ( )

1 1 Ε.Κ.Π. χ,ψ χψψ χ

1 1 χ ψψ χ χψ

−− =

ιιι. ( )

λ κ2 2

λ κ Ε.Κ.Π. κ,λ κλκ λ

λ κ λ κκ λ κλ

−− =

ιν. α α β α β1

β β β β+

+ = + =

ν. α α β α β1

β β β β−

− = − =

νι. ( )

α 3 Ε.Κ.Π. β,4 4ββ 4

α 3 4α 3ββ 4 4β

−− =

νιι. 14χ

21 4 χ 1 16χ 14χ4χ 1 4χ 4χ

++ = + =

νιιι. χ1 χ21 1 χ 1 1 χ χχ 1

χ χ 1 1 χ+ +

+ + = + + =

ιχ. ( )5 χ 15χ 5 5χ 5

χ 1 χ 1 χ 1

+++ = =

+ + + χ 1+5=

ι. ( )β2αβα 22 2 α βα β α 1 β α 2αβ β1

2β 2α 2β 1 2α 2αβ 2αβ++ +

+ + = + + = =

ιι. 2α α 1

1 1 1 α α 1α α α α

+ ++ + =

ιιι. 3ψ 2χ6

3 1 2 9ψ 6 4χ2χ χψ 3ψ 6χψ

− +− + =

ιν. χψ χ1

1 2 1 χψ 2 χχ χψχ ψ χ ψ

− +− + =

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2χ χ 13 2

3 23 2

2 4 2 2 4 2χ 2χ 42χ 1 χχ χ χ

2 χ 1 χ 12 χ χ 2

2 χ 1 χ χ 1 χ 1 χ 1

2 χ 1 χ χ 1 χ 1 2 χ 1 χ χ 1 χ 1

2 χ 1 χ 2χ 2

− +− + = − + = =

+ − −− += =

+ − + − − +=

+ − + − − + − + − += =

+ − +

ι. χ 1 χ

χ1 1χ χ 1

− =+

1 χ+ −

( ) ( )1

χ χ 1 χ χ 1=

ιι. χ 1 χ 1

1 1 χ 1χ 1 χ 1

− +χ 1+ −

( ) ( ) ( ) ( )2χ

χ 1 χ 1 χ 1 χ 1=

+ − + −

ιιι.

( )( ) ( )

χ 2 χ 2

2 1 1 2 1 1χ 2 2 χ χ 2 χ 2 χ 2 χ 2

χ 2 χ 2 χ2 1 1 1 1χ 2 χ 2 χ 2 χ 2 χ 2 χ 2

+ − = − − =− − + − − +

+ − −−− = − = =

− + − + + −2 χ+ −

( ) ( )

2χ 2 χ 2

4χ 2 χ 2

χ 2 1

1 2 χ 2χ 2 χ 2

−+ =

− −

( ) ( )2 2

χχ 2 χ 2

=− −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 2χ 1

1 12χ 1 χ 1 1 2χ χ 1

1 11 2χ χ 1 1 2χ χ 1

1 2χ 1 2 2χ1 2χ χ 1 1 2χ χ 1

2 χ 1

− =− − − −

− − =− − − −

− + −− = − =

− − − −

( ) ( )21 2χ χ 1− − ( )2

21 2χ

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2χ 2 χ 2 1

2 3 2 3

1 χ 2χ 1 χ 2χχ 2 χ 2χ 2 χ 2 χ 2 χ 2

χ 2 χχ 2 χ χ 2 2χ

− − = − − =+ ++ + + +

++ − + −=

2 χ+ −( )( )3

2 χ 2

+ 2−( )( ) ( )3 3

2χχ 2 χ 2

( ) ( )( )

ψ χ χ ψ

1 1 1 1 1 1χψ χ χ ψ ψ χ ψ χψχ χψ ψ χψ

ψ χ χ ψ ψχψ χ ψ

+ − = + − =+ ++ +

+ − +=

+χ+ χ− ψ−

( ) ( )0 0

χψ χ ψ χψ χ ψ= =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

α 1α β2 2

2 2 2 2 2 2

α β 2β 2β α β 2β 2βα α βα αβ α 2αβ β α α β α β α α β

α β α β 2αβ 2β α β 2αβ 2β α 2αβ βα α β α α β α α β

+ +− + = − + =

−− − + − − −

− + − + − − + − += = =

− − −

( )2α α β−

ιιι.

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

χ χ ψ χχ ψ

ψ 1 2ψ ψ 1 2ψχ ψ χ χ ψ χ ψ χ ψ χ ψχ χψ χ ψ

ψ χ ψ χ χ ψ 2χψ χψχ χ ψ χ ψ

− − = − − =+ − + − +− −

+ − − −=

2 2ψ χ χψ+ − + 2χψ−

( ) ( )

χ χ ψ χ ψ

ψ χ ψ χ

=− +

( ) ( )χ χ ψ χ ψ− +

χ ψ−= −

( )χ χ ψ−1χ

( ) ( ) ( ) ( )

γ α α β

1 1αβ αγ βγ β βγ αβ αγ γ

1 1α β γ β β γ β γ α γ γ α

1 1 γ αβ γ α β γ α β γ

− −

+ =− + − − + −

+ =− − − − − −

−+ =

− − − −α+

( ) ( ) ( )β

β γ α β γ α

− − −

−−( )β γ− ( ) ( ) ( ) ( )

1α β α γα β γ α

=− −− −

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

21 α α 1α 1

2 3 2 2

α 2α 1 1 α 2α 1 1α 1 α 1α α 1 α 1 α α 1 α 1 α α 1

α α 1 2α 1 α α 1 αα 1 α α 1

− ++

+ +− − = − − =

+ +− + + − + + − +

+ − + − − +=

+ − +α+ 2α− 21 α− − α+

( ) ( )

1α 1 α α 1

2α 1 α α 1

+ − +

−+ − +

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

3 χ 2 2 χ 33

55 2 χχ 1 1 1 1222χ 6 6 3χ 2χ 6 6 3χχ 5χ 6 2 χ 5χ 6

2χ 5 1 12 χ 3 3 χ 22 χ 2χ 3χ 6

2χ 5 1 12 χ 3 3 χ 22 χ χ 2 3 χ 2

2χ 5 1 12 χ 2 χ 3 2 χ 3 3 χ 2

3 2χ 5 3 χ 2 2 χ 3 6χ 15 3χ 66 χ 2 χ 3

− −

⎛ ⎞−− ⎜ ⎟⎝ ⎠+ + = + + =

− − − −− + − +

−+ − =

− −− − +

−+ − =

− −− − −

−+ − =

− − − −

− + − − − − + −=

− −2χ 6− +

( ) ( )

6 χ 2 χ 3

7χ 156 χ 2 χ 3

=− −

−− −

α. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

α γ β γ , β α γ α , γ β α β

β γ γ α , α β γ α , α β β γ

Ε.Κ.Π. β γ γ α , α β γ α , α β β γ α β β γ γ α

− − − − − −

− − − − − − − − −

− − − − − − − − − = − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

α β β γ γ α

α β β γ γ αα γ β γ γ α β α γ β α β

α β β γ γ αγ α β γ γ α α β β γ α β

α β α β β γ β γ γ α γ αα β β γ γ α

− − −

+ + ++ + =

− − − − − −

+ + +− − − =

− − − − − −

+ − + + − + + −− =

− − −

︶︶︶

2β− 2β+ 2γ− 2γ+ 2α−

( ) ( ) ( )0

α β β γ γ α=

− − −

γ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

α β β γ γ α

2 22 2

αβ βγ γαα γ β γ γ α β α γ β α β

αβ βγ γαγ α β γ γ α α β β γ α β

αβ α β γ β β γ α γ ααβ α β βγ β γ γα γ α

α β β γ γ α α β β γ γ α

αβ α β γ β α βγ αγαβ α β γ β βγ αγ α

αβ α β γ β α β α γ β α

− − −

+ + =− − − − − −

− − − =− − − − − −

− + − + −− + − + −− = − =

− − − − − −

− + − − −− + − + −− = − =

− − − − − −

− + − + − −−

︶︶︶

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

αβ α β γ β α β α γ

β β γ γ α α β β γ γ α

α β αβ γ β α γαβ α β γ α β β α γ

α β αβ βγ αγ γα β αβ βγ αγ γ

α βα β β α γ γ α γ

α β β γ γ α

− + − + −= − =

− − − − − −

− − + −− − − + −− = − =

− − − − − −

− − − −− − − +− = − =

− − − − − −

−− − − −− = −

− − −

( ) ( )α γ β γ− −

( )α β− ( )β γ− ( )γ α

1γ αγ α

−= =

−−

( ) ( )

α 1 α

1 1α α 1 α α 1α α 1

+⎛ ⎞⎜ ⎟

+ − = +⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

︶︶α 1 α+ −

( )α α 1+1=

( ) ( ) ( )

1 1 β αα β : α β : α βα β αβ

⎛ ⎞⎜ ⎟ −

− − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

︶︶

( )αβα β

⋅− −

αβ= −

ιιι.

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

χ χ1 1

χ 1 χ 1

1 11 1 χ 1 χ 11 1

1 1 2 2χ 2 2χ1 1 1 1 1 1χ χ1 χ 1 χ

1 1χ 1 χ 1χ 1 χ χ1 1

χ 1 χ 1 2χ χ 1 χ 1 2χχ χ

χ χ 1 χ χ 1

χ 1 χ 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⋅ − = − ⋅ − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ − +⎜ ⎟⎛ ⎞−⎜ ⎟− ⋅ = − ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟− + − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+ − −

︶︶

︶︶︶︶

︶︶

( ) ( )χ 1 χ 1− +⋅

( )( )χ 1 χ 1

+ − − χ=

1 χ+ − 1 2 12 2

( ) ( )

β αβα

3 3 2 2

α β α β 111 1 1 1β α β α 1α β α βα β α β α αβ β

α β αβα β αββ ααβ

αβα β α αβ β

⎛ ⎞+ − + − ⎜ ⎟⎛ ⎞⋅ + = ⋅ + =⎜ ⎟⎜ ⎟+ + − +⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ −+ −+

⋅ =+ − +

︶︶︶

︶︶

( )αβ α β+ ( )2 2α β αβ+ −

β α+⋅ 2 2

1αβ α β

ν. 2 3χ χ χ1 1

2 3 2 3

22 3 2 3

2 3 2 3

1 1 1 1 1 1 1 11 : 1 :χ 1 χ 1χ χ χ χ

χ χχ χ 1 1 χ χ χ 1 χ:χ χ χ 1 χ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + − = + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ + − + += ⋅ =

︶︶︶︶︶

( )2χ χ 1+ +

2χ ( ) ( )21 χ χ χ 1− + +

χ1 χ

νι. 2

2 2 2 2

1 1 1 11 2 1 1 1α α α α

1 1 1 1 1 11 2 1 1 1 2 1 1α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + − = + − + + − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

+ −2 2 2 21 1 1 0

α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

νιι.

( ) ( )

( )( )

α 1 β1

1 11 11 1 1 1β βα α: :

β α β α β α1 1 1 β α 1α β1 α β 1

1 1α β α β αββ α :

α β α β αβ β α β α α β α βα β

α βα β αβαβ α β α β

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟− + = − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎜ ⎟− = − ⋅ =⎜ ⎟− − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

−−⋅ =

︶︶

︶︶︶︶

︶︶

( )α β+ αβ

( )α β− ( )α β+ αβ1=

( )( ) ( )

α β α β

4 2 2 2 4 4

α β 1 1 1 1 1 12β α β α β2β 2β α β α β

α β α βα β 1 1 1 12β α β α β2β 2β α β α β

α β 1 1 α2β2β 2β

+ −⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎪ ⎪− − − =⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟− + + +⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞+ − −− ⎪ ⎪− − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟+ − + +⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

︶︶

β α+ −( ) ( ) 2 2 4 4

β 1 1α β α β α β α β

α β 1 12β 2β 2β

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞+⎪ ⎪− − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟+ − + +⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

− 2β( ) ( )

( )( ) ( )

2 2 2 2α β α β

2 2 4 4

4 2 2 2 2 2 4 4

2 2 2 28 8

4 2 4 42 2 2 2

1 1α β α β α β α β

α β 1 1 1 12β 2β α β α β α β

α β α βα β 1 12β 2β α βα β α β

α β 1 α2β 2β

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥− − =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟+ − + +⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪− − =⎢ ⎥⎨ ⎬

− + +⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤+ − −− ⎪ ⎪⎢ ⎥ − =⎨ ⎬+⎢ ⎥− +⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

︶︶

2 2β α+ −

( ) ( )2

4 42 2 2 2

β 1α βα β α β

α β 12β 2β

⎧ ⎫⎡ ⎤+⎪ ⎪⎢ ⎥ − =⎨ ⎬+⎢ ⎥− +⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

− 22β⋅( ) ( )

( ) ( )

4 4 4 4α β α β

4 42 2 2 2

4 4 42 2 2 2

1α βα β α β

α β 1 12β α βα β α β

⎧ ⎫⎪ ⎪− =⎨ ⎬+− +⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪− ⎪ ⎪− =⎨ ⎬

+− +⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

︶︶

( )4 4 4 4

α β α β

2β α β

+ − −⋅

4 4β α+ − 4 4

β 2β 12β 2β

α. 7 € για φαγητό και 8 € για ψυχαγωγία

β. Αν ξοδέψει 10 € για φαγητό τότε θα ξοδέψει για ψυχαγωγία 15-10=5 €

γ. Αν ξοδέψει 12 € για ψυχαγωγία τότε θα ξοδέψει για φαγητό 15-12=3 €

δ. Το ζεύγος (9,5 , 5,5) είναι λύση αφού 9,5+5,5=15

ε. (12,3) , (10,5 ,4,5) , (2,13)

στ. Αν ξοδέψει για φαγητό χ € τότε για ψυχαγωγία µπορεί να ξοδέψει:

ψ=15-χ

ζ. Ναι

Αν ο Κώστας είναι χ χρόνων ο Γιάννης είναι χ-5

α. Κώστας 17 χρονών Γιάννης 17-5=12 χρονών

β. (23,18) , (25,20)

γ. ψ=χ+5

δ. χ=1

ε. ψ=6,7,8,…

2ψ+χ=7 α. Το (-1,4) είναι λύση. Πράγµατι, 2.4+(-1)=8-1=7

Αν χ=5 τότε: 22ψ 5 7 2ψ 7 5 2 ψ 12

+ = ⇔ = − = ⇔ = =

x-10 -5 5 10

2y + x = 7

5χ+ψ=6 (χ=κ,ψ=6-5κ), κ ∈

Πράγµατι, 5κ+6-5κ=6 άρα επαληθεύει την εξίσωση

χ=2-3λ (1) ψ=5+2λ (2)

α. (1): 2χ=2.(2-3λ)=4-6λ

(2): 3ψ=3.(5+2λ)=15+6λ Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε: 2χ+3ψ=4-6λ+15+6λ=19

x-10 -5 5 10

2x + 3y = 19

α. ∆εν µπορούµε να υπολογίσουµε µόνο µε αυτό την ηλικία του καθενός

υπάρχουν πολλές λύσεις π.χ. (19,16),(14,21), (κ,35-κ) κ +∈ Z

β. Τότε θα είχα να λύσω το σύστηµα: ( )( )1χ ψ 35 χ ψ

χ ψ 5 2+ = +⎫

⇔⎬− = ⎭

χ ψ+ − 35 5 2χ 40χ ψ 35χ ψ 35

40 χ 20 χ 20χ 202

ψ 35 20 15 ψ 15ψ 35 χ

⎫= + = ⎫⎪ ⇔ ⇔⎬ ⎬+ =+ = ⎭⎪⎭

⎫ = == = ⎫ ⎫⎪ ⇔ ⇔⎬ ⎬ ⎬= − = =⎭ ⎭⎪= − ⎭

Μπορεί να έχω 2 κέρµατα του 1€ και 6 κέρµατα των 2€ ή 4 κέρµατα του 1€ και 5 κέρµατα των 2€ κ.ο.κ.

α. Έστω χ κέρµατα του 1€ και ψ των 2€ τότε έχουµε την εξίσωση:

χ+2ψ=14 όπου 0<χ<14 και 0<ψ<14

β. Έχει περισσότερες από µια λύσεις που δίνονται από το παρακάτω γράφηµα:

x2 4 6 8 10 12 14

x + 2y = 14

(10,2)

(12,1)

γ. Από τα ζευγάρια των λύσεων του παραπάνω σχήµατος δεν µπορεί το χ=ψ δηλαδή δεν µπορούµε να έχουµε ίσα κέρµατα του ενός και δύο ευρώ.

χ+ψ+3λ-6=0 (1) να έχει λύση το (2,-1) Για χ=2, ψ=-1 η (1) γίνεται: 2+(-1)+3λ-6=0

2 1 3λ 6 0 3λ 6 2 153λ 5 λ3

− + − = ⇔ = − + ⇔

= ⇔ =

( ) ( )

χ κ 2κ

ψ κ 1

χ ψ κ 2 κ 1 κ

= − ⎫∈⎬

= + ⎭

− = − − + = 2 κ− − 1 3− = −

Άρα η Β

στήλη (Α) στήλη (Β) ∆εδοµένα για τους x, y ∈ R∗ Εξισώσεις

1. Έχουν άθροισµα 12 και λόγο 5

x - y = 12 3y = x

2. ∆ιαφέρουν κατά 12 και το x είναι τριπλάσιο του y

x + y = 6 xy = 8

3. Είναι πλευρές ορθογωνίου παραλληλογράµµου µε περίµετρο 12 και εµβαδόν 8

xy = 6 x - y = 8

x + y = 12 x = 5y

x + y = 0 x + 3 = - y

x - y = 0 x + y = 3

Η εξίσωση 2χ2 – 2χ = 0 είναι εξίσωση 2ου βαθµού. ΣΩΣΤΟ

Η εξίσωση 3χ2 + 1 = 0 είναι εξίσωση 2ου βαθµού.

ΣΩΣΤΟ Η εξίσωση (λ – 1)χ2 – χ + 4 = 0 είναι εξίσωση 2ου βαθµού για κάθε τιµή

του πραγµατικού αριθµού λ. ΛΑΘΟΣ δεν ισχύει για λ=1

Η εξίσωση χ2 - χ(χ + 1) -2 =0 είναι εξίσωση 2ου βαθµού.

ΛΑΘΟΣ αν κάνουµε τις πράξεις η εξίσωση γίνεται:-χ-2=0 Αν η εξίσωση αχ2 + βχ + γ = 0 , α ≠ 0 δεν έχει πραγµατικές ρίζες τότε

β2 < 4αγ ΣΩΣΤΟ

Η εξίσωση αχ2 + βχ + γ = 0 , α ≠ 0 µε γ = 0 έχει πάντα δύο ρίζες.

ΣΩΣΤΟ Η εξίσωση αχ2 + βχ + γ = 0 , α ≠ 0 µε αγ < 0 έχει πάντα δύο άνισες

ρίζες. ΣΩΣΤΟ διότι αν 2 2αγ 0 τότε : β 4αγ 0 αφού β 0 και αγ 0< − > ≥ − >

Η εξίσωση αχ2 + βχ = 0 , α ≠ 0 έχει ρίζες το 0 και το βα

ΛΑΘΟΣ οι ρίζες είναι το 0 και το βα

Η εξίσωση αχ2 + γ = 0 , α ≠ 0 έχει πάντα δύο ρίζες τους αριθµούς γα

και γα

− −

ΛΑΘΟΣ πρέπει επιπλέον το γ γ0 0 αγ 0α α

− > ⇔ < ⇔ <

Αν 2β αγ

2⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠

τότε η εξίσωση αχ2 + βχ = 0 , α ≠ 0 έχει δύο άνισες ρίζες.

ΣΩΣΤΟ διότι γ=0 και η σχέση: 2β αγ

2⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠

γίνεται:2

2β 0 β 0 β 02⎛ ⎞ > ⇔ > ⇔ ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0 µε διακρίνουσα ∆:

έχει δύο ρίζες άνισες, αν ∆>0 έχει µια διπλή ρίζα, αν ∆=0 δεν έχει καµιά πραγµατική ρίζα, αν ∆<0

στήλη (Α)

Εξίσωση 2ου βαθµού στήλη (Β)

∆ιακρίνουσα εξίσωσης 1. x2 - α = 0

2. x2 - αx = 0

3. x2 - 3x - α = 0

4. - x2 + αx + 3 = 0

A. α2

B. 4α

C. 9 + 4α

D. α2

E. α2 + 12

F. α2 - 12

1 2 3 4 B Α C Ε

χ 0 χ 0χ 4χ 0 χ χ 4 0 ή ή

χ 4 0 χ 4

= =⎫ ⎫⎪ ⎪− = ⇔ − = ⇔ ⇔⎬ ⎬⎪ ⎪− = =⎭ ⎭

β. ( )2 23χ 4χ 3χ 4χ 0 χ 3χ 4 0

χ 0 χ 0 χ 0ή ή ή

3χ 4 0 3χ 4 4χ3

= ⇔ − = ⇔ − = ⇔

⎫⎪= = =⎫ ⎫⎪⎪ ⎪⇔ ⇔⎬ ⎬ ⎬

⎪ ⎪ ⎪− = =⎭ ⎭ ⎪=⎭

1,2 1 2

2χ χ 15 0∆ β 4αγ 1 4 2 15 1 120 121 11

1 11 1234 4

1 11 5χ άρα χ 3 και χ2 2 2

1 11 10 54 4 2

+ − =

= − = − ⋅ ⋅ − = + = =

− − ⎫ ⎫ ⎫−⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪− ±

= = = = = − =⎬ ⎬ ⎬⋅ ⎪ ⎪ ⎪− + ⎪ ⎪ ⎪⎭⎭ ⎭

( ) ( )

5χ 18χ 8 0

∆ 18 4 5 8 324 160 484 22

18 22 40410 1018 22 18 22χ

2 5 1018 22 4 2

10 10 52άρα χ 4 και χ5

− − =

= − − ⋅ ⋅ − = + = =

− − ± ±= = = = =

⋅− −

= = −

χ 6χ 7 0

∆ 6 4 1 7 36 28 8

3 2 26 8β ∆ 6 2 2χ 3 2 2

2α 2 1 23 2 2

− + =

= − − ⋅ ⋅ = − =

+− − ±− ± ±

= = = = ± =⋅

ψ ψ 1 0

∆ 1 4 1 1 1 4 3 0

∆εν έχει λύσεις

− + =

= − − ⋅ ⋅ = − = − <

ζ. ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 2 2

ψ α 3 ψ 3α 0

∆ α 3 4 3α 1 α 3 12α α 2 3 α 3 12α

α 6α 9 12α α 6α 9 α 3

α 3 α 3 α 3 α 3β ∆ψ2α 2 1 2

α 3 α 3όταν α 3 0

− + + =

⎡ ⎤= − + − ⋅ ⋅ = + − = + ⋅ ⋅ + − =⎣ ⎦

+ + − = − + = −

⎡ ⎤− + ± − + ± −− ± ⎣ ⎦= = = =⋅

+ ± −− ≥

⎡ ⎤+ ± − −⎣ ⎦ − <

α 3+ −2

α 3 α+ − 32

3 α+ − 32

+ α 3+ −

όταν α 3

αόταν α 3

3 αγια κάθε τιµή του α

3 3όταν α 3

0,5χ 5χ 1 0

∆ 5 4 1 0,5 25 2 27

5 3 3β ∆ 5 27 5 3 3χ

2α 2 0,5 15 3 3

− + + =

= − ⋅ ⋅ − = + =

+− ± − ± − ±

= = = =⋅ − −

( ) ( ) ( )

2 22 2 2 2

χ 4κχ 21κ 0

∆ 4κ 4 1 21κ 16κ 84κ 100κ 10κ

4κ 10κ 14κ7κ2 24κ 10κβ ∆ 4κ 10κχ

2α 2 1 24κ 10κ 6κ 3κ

+ − =

= − ⋅ ⋅ − = + = =

− − −−

− ±− ± − ±= = = = = =

⋅− +

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 22 2 2 2

4χ 4κχ 35κ 0

∆ 4κ 4 4 35κ 16κ 560κ 576κ 24κ

28κ 7κ8 24κ 24κβ ∆ 4κ 24κχ

2α 2 4 820κ 5κ8 2

− − =

= − − ⋅ ⋅ − = + = =

− − ±− ± ±= = = = =

⋅−

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 22 2 2 2

8ψ 10κψ 3κ 8ψ 10κψ 3κ 0

∆ 10κ 4 8 3κ 100κ 96κ 196κ 14κ

24κ 3κ16 210κ 14κβ ∆ 10κ 14κψ

2α 2 8 164κ κ

= + ⇔ − − =

= − − ⋅ ⋅ − = + = =

− − ±− ± ±= = = = =

⋅−

( ) ( )2 2λ 3λ 2 χ λ 2 χ 3 0− + + − + =

α. Για να έχει µια µόνο ρίζα πρέπει:

( ) ( )

1λ 3λ 2 0και

λ 2 0 2

1 : ∆ 3 4 1 2 9 8 1

3 1 422 23 1β ∆ 3 1λ

2α 2 1 23 1 2 1

Άρα λ 1 ή λ 2 και λ 2 λ 1

⎫− + =⎪⎬⎪− ≠ ⎭

= − − ⋅ ⋅ = − =

− − ±− ± ±= = = = = =

⋅−

= = ≠ ⇔ =

β. Για να έχει διπλή ρίζα πρέπει:

( ) ( )( )

( ) ( )

∆ 0 λ 2 4 3 λ 3λ 2 0

λ 2 λ 2 2 12 λ 3λ 2 0

λ 4λ 4 12λ 36λ 24 0

11λ 32λ 20 0∆ 32 4 11 20 1024 880 144 12

32 12 44222 22

β ∆ 32 12 32 12λ2α 2 11 22

32 12 20 1022 22 11

= ⇔ − − ⋅ ⋅ − + = ⇔

− ⋅ ⋅ + − ⋅ − + = ⇔

− + − + − = ⇔

− + − = ⇔

= − ⋅ − ⋅ − = − = =

− − −− −

− ± − ± − ±= = = = = =

⋅ − −− + −

− −

Αν α,β,γ είναι οι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου τότε α>β και α>γ θέτω:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 2 2 2

β χγ χ 1 µε χ 0 από το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε :α χ 2

α β γ χ 2 χ 1 χ

χ 4χ 4 χ 2χ 1 χ χ

= ⎫⎪= + > ⇔⎬⎪= + ⎭

= + ⇔ + = + + ⇔

+ + = + + + ⇔ 2χ−

χ 4χ 2χ 4 1 0

χ 2χ 3 0

∆ 2 4 3 1 4 12 16 4

2 4 632 2

β ∆ 2 4 2 4χ2α 2 1 2

2 4 2 1 απορρίπτεται2 2

άρα χ 3 βγ χ 1 3 1 4α χ 2 3 2 5

− + − + − = ⇔

− + + =

= − ⋅ ⋅ − = + = =

− − −− −

− ± − ± − ±= = = = = =

⋅ − −− + −− −

= == + = + == + = + =

Αν χψ=25 cm2 Π=2(χ+ψ)

( )( )

( ) ( ) ( )( )

22 2 2 2

25χψ 25 ψ 1χ

25Π 2 χ ψ 2 χ 2χ

Θα αποδείξουµε ότι : α β 2αβ και το ίσο για α β 3

Πράγµατι, α β 2αβ α β 2αβ 0 α β 0

που ισχύει και το ίσο όταν α β 0 α β

25 52 : Π 2 χ ψ 2 χ 2 χ 2 2 χχ χ

= ⇔ =

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠+ ≥ =

+ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥

− = ⇔ =

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= + = + = + ≥ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( )12

5 25και το ίσο όταν χ χ 5 χ 5 ψ 55χ

Άρα Π 20 και Π 20 όταν χ ψ 5δηλαδή το ορθογώνιο είναι τετράγωνο

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = =

≥ = = =

α. ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 22 2

Β β υ 10 1 Β β 10 υ 2

υ 2 5 υ 5 510 υ υΒ β υ 10υΕ υ2 2 2 2

υ 5 25 υ 5 υ 525 25 αφού 0 και το ίσο για2 2 2 2 2

υ 5 0 υ 5

25'Αρα Ε όταν υ 52

+ + = ⇔ + = −

− − ⋅ ⋅ + −−+ − += ⋅ = = = =

⎡ ⎤− − − − −⎣ ⎦ = − + ≤ − ≤

− = ⇔ =

β. 25Ε

Αν η πλευρά του ενός τετραγώνου είναι χ του άλλου είναι χ+4.

Τότε: ( )

2 22 1Ε Ε 88 χ 4 χ 88

χ 4 χ χ

− = ⇔ + − = ⇔

+ + 4 χ+ −( )( )

4 2χ 4 88

882χ 4 224

2χ 22 4 1818χ 92

+ = ⇔

+ = = ⇔

= − = ⇔

Άρα το ένα τετράγωνο έχει πλευρά 9cm και το άλλο 9+4=13cm

( ) ( )( )

ν ν 3δ

2Αν δ 104 ν;

δ 104

ν ν 3104

2ν ν 3 208

ν 3ν 208 0

∆ 3 4 1 208 9 832 841 29

3 29β ∆ 3 29ν2α 2 1 2

3 29 32162 2

3 29 26 13 απορρίπτεται αφού ν πλευρές πολυγώνου2 2

−= ⇔

− = ⇔

− − =

= − − ⋅ ⋅ − = + = =

− − ±− ± ±= = = =

=− −

Άρα ν=16

ν ν 1Σ 1 2 3 ... ν

2ν; Σ 300

ν ν 1300

2ν ν 1 600

ν ν 600 0∆ 1 4 1 600 1 2400 2401 49

β ∆ 1 49 1 49ν2α 2 1 2

5025 απορρίπτεται αφού ν2

48 242

+= + + + + =

+= ⇔

+ = ⇔

+ − =

= − ⋅ ⋅ − = + = =

− −

− ± − ± − ±= = = = =

⋅− +

− − ∈=

Άρα ν=24

Ε 300 cmΑν το πλάτος είναι χ το µήκος είναι χ 5 τότε :Ε 300 cmχ χ 5 300

χ 5χ 300 0∆ 5 4 1 300 25 1200 1225 35

β ∆ 5 35 5 35χ2α 2 1 2

5 35 4020 απορρίπτεται αφού χ µήκος2 2

5 35 30 152 2

+ = ⇔

+ − =

= − ⋅ ⋅ − = + = =

− ± − ± − ±= = = =

⋅− − −

−= =

Άρα χ=15cm και χ+5=15+5=20cm

( ) ( )

12 2 2

χ 6χ 8 0θέτω

1χ ψ

2ψ 6ψ 8 0

2 : ∆ 6 4 1 8 36 32 4 2

6 2 842 26 2β ∆ 6 2ψ

2α 2 1 26 2 4 2

ψ 4 χ 4 2 χ 2 2

ψ 2 χ 2 χ 2 2

− + =

= − − ⋅ ⋅ = − = =

− − ±− ± ±= = = = = =

⋅−

= ⇔ = = ⇔ = ± = ±

= ⇔ = ⇔ = ± = ±

( ) ( ) ( )

12 2 2

χ 3χ 4 0θέτω

1χ ψ 0

2ψ 3ψ 4 0

2 : ∆ 3 4 1 4 9 16 25 5

3 5 842 23 5β ∆ 3 5ψ

2α 2 1 23 5 2 1

ψ 4 χ 4 2 χ 2 2

ψ 1 αδύνατη

− − =

= − − ⋅ ⋅ − = + = =

− − ±− ± ±= = = = = =

⋅− − −

= ⇔ = = ⇔ = ± = ±

= − ⇔

( ) ( ) ( )

χ 2χ 15 0θέτω

1χ ψ 0

2ψ 2ψ 15 0

2 : ∆ 2 4 1 15 4 60 64 8

2 8 1052 22 8β ∆ 2 8ψ

2α 2 1 22 8 6 3

ψ 5 χ 5 χ 5

ψ 3 αδύνατη

− − =

= − − ⋅ ⋅ − = + = =

− − ±− ± ±= = = = = =

⋅− − −

= ⇔ = ⇔ = ±

= − ⇔

4 2 4 2

6ψ 17ψ 12 6ψ 17ψ 12 0θέτω

1ψ χ 0

26χ 17χ 12 0

2 : ∆ 17 4 6 12 289 288 1 1

417 1 16312 12

β ∆ 17 1 17 1χ2α 2 6 12

17 1 18 312 12 2

4χ αδύνατη33χ αδύνατη2

+ = − ⇔ + + =

= − ⋅ ⋅ = − = =

− + −−− ± − ± − ±

= = = = = =⋅

− −− −

= − ⇔

ε. ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

24 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2

2 22 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2

χ 2 α β χ α β 0

θέτω

1χ ψ 0

2ψ 2 α β ψ α β 0

2 : ∆ 2 α β 4 1 α β

2 α β 2 α β 4 α β

− + + − =

⎡ ⎤= − + − ⋅ ⋅ − =⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦2 2α β+ − ( )

2 2 2 2

α β α β

4 2α α

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − =⎣ ⎦⎣ ⎦2 2β α+ −( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22 2 2

22 2 2 2

β 4 2α 2β 4αβ

2 α β 4αβ 2 α β 4αββ ∆ψ2α 2 1 2

⎡ ⎤− − + ± + ±− ± ⎣ ⎦= = = =⋅

( )2 2α β 2αβ

⋅ + ±( )

( )( )

1 12 22

ψ α β χ α β χ α β

= + ⇔ = + ⇔ = ± +

= − ⇔ = − ⇔ = ± −

χ 2 χ 1 0

Θέτω χ ψ 0 1 οπότε η εξίσωση γίνεται :

ψ 2ψ 1 0∆ 2 4 1 1 4 4 0

β ∆ 2 0 2ψ 1 εξίσωση αδύνατη2α 2 1 2

= − ⋅ ⋅ = − =

− ± − ± −= = = = − ⇔

( ) ( )

χ 1 4 3 χ 1 χ 1 3 χ 1 4 0

Θέτω χ 1 ψ 0 1 οπότε η εξίσωση γίνεται :

ψ 3ψ 4 0

∆ 3 4 1 4 9 16 25 5

3 523 5β ∆ 3 5ψ

2α 2 1 23 5

22 1 αδύνατη

1 4 5χ 1 4 χ 1 4 χ 1 4

Άρα οι λύσεις είναι : χ 5 κα

− − = − ⇔ − − − − =

− = ≥

− − =

= − − ⋅ ⋅ − = + = =

− − ±− ± ±= = = = =

⋅−

−− ⇔

+− = ⇔ − = ± ⇔ = ± = =

− −

= 2ι χ 3= −

( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22 2

χ α 1 χ α 0

Θέτωχ ψ 0 1 οπότε η εξίσωση γίνεται :

ψ α 1 ψ α 0

∆ α 1 4 1 α α 2α 1 4α α 2α 1 α 1

α 1 α 1 α 1 α 1β ∆ψ2α 2 1 2

− + + =

= + − ⋅ ⋅ = + + − = − + = −

⎡ ⎤− − + ± − + ± −− ± ⎣ ⎦= = = =⋅

α 1+ −2

α 1 α+ −

( )( )

1 2 3 4

αν α 0 τότε : χ αψ α χ α

αν α 0 αδύνατη

ψ 1 χ 1 χ 1Άρα οι λύσεις :

α Για α 0 : χ α, χ α, χ 1, χ 1

β Για α 0 : χ 1, χ 1

≥ = ±= ⇔ = ⇔

= ⇔ = ⇔ = ±

≥ = = − = = −

< = = −

κ ;κχ 4χ 35 0χ χ 1 1

Αν υπάρχουν ρίζες τότε :

β ∆ β ∆χ χ2α 2α

β ∆

− − =

− + − −+ = + =

− + β ∆− − 22α

( )1β 4 1α κα

4 1 κ 4κ

−= − ⇔ − = ⇔

= ⇔ =

( )( )

12χ 1 αν χ 0f x

23χ 1 αν χ 0

− ≥⎧⎪= ⎨⎪ + <⎩

α. Για χ=1: ( ) ( )Από 1 έχουµε : f 1 2 1 1 2 1 1= ⋅ − = − = Για χ=-1: ( ) ( ) 2Από 2 έχουµε : f 1 3 1 1 3 1 4− = ⋅ + = + = Για χ=0: ( ) ( )Από 1 έχουµε : f 0 2 0 1 0 1 1= ⋅ − = − = − Για χ=2: ( ) ( )Από 1 έχουµε : f 2 2 2 1 4 1 3= ⋅ − = − = Για χ=-1,5:

( ) ( ) 2Από 2 έχουµε : f 1,5 3 1,5 1 3 2,25 1 6,75 1 7,75− = ⋅ + = ⋅ + = + =

Για χ= 34

: ( ) 3 3 6 3 3 2 1Από 1 έχουµε : f 2 1 1 14 4 4 2 2 2

−⎛ ⎞ = ⋅ − = − = − = =⎜ ⎟⎝ ⎠

β. ( ) 22

2χ 1 αν χ 02χ 1 0 αν χ 0f x 0 1χ αν χ 03χ 1 0 αν χ 0

1χ αν χ 0 12 χ21χ αν χ 0 που είναι αδύνατο

= ≥⎧− = ≥⎧ ⎪= ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨= − <+ = <⎩ ⎪⎩

⎧ = ≥⎪⎪ ⇔ =⎨⎪ = − <⎪⎩

( )( )( )( )

12χ, χ 2f x 4, 2 χ 1 2

3 χ, χ 1 3

− < −⎧⎪= − ≤ <⎨⎪ − ≥⎩

α. ( )

( )( )

f 3 2 3 6− = − ⋅ − =

β. ( )

f 2 4− =

γ. ( )

f 0 4=

δ. ( )

f 1 3 1 2= − =

( )f x 2χ 1, χ= − ∈

α. ( ) ( )f 3 2 3 1 6 1 7− = ⋅ − − = − − = −

β. ( )f α 2 α 1 2α 1, α= ⋅ − = − ∈

γ. ( ) ( )f 3x 2 3χ 1 6χ 1= ⋅ − = −

δ. ( )2 2 2f x 2 χ 1 2χ 1= ⋅ − = −

Χ -1 2 3 -2 ψ -2 1 6 1

Α. ψ=2χ Για χ=-2 ψ=-2.2=-4 1≠ οπότε η Α δεν είναι Β. ψ=χ+3 Για χ=-1 ψ=-1+3=2≠ -2 οπότε η Β δεν είναι Γ. 2ψ χ 3= − ( )

Για χ 1 ψ 1 3 1 3 2

Για χ 2 ψ 2 3 4 3 1Για χ 3 ψ 3 3 9 3 6

Για χ 2 ψ 2 3 4 3 1

= − = − − = − = −

= = − = − =

= − = − − = − =

οπότε η Γ είναι γιατί επαληθεύει όλο τον πίνακα τιµών

( ) 2f x χ 3χ 2= − +

α. Το πεδίο ορισµού της είναι: Α =

β. ( )

f x 0 χ 3χ 2 0

∆ 3 4 1 2 9 8 1

3 1 422 23 1β ∆ 3 1χ

2α 2 1 23 1 2 1

2 2άρα f x 0 χ 1 ή χ 2

= ⇔ − + =

= − − ⋅ ⋅ = − =

− − ±− ± ±= = = = = =

⋅−

= ⇔ = =

γ. ( )

2χg xχ 3χ 2

Β χ : χ 3χ 2 0 χ : χ 1 και χ 2 1,2

=− +

= ∈ − + ≠ = ∈ ≠ ≠ = −

Η συνάρτηση ψ = χ2 µε χ>0 , µπορεί να εκφράζει το εµβαδό ψ ενός

τετραγώνου αν χ η πλευρά του. ΣΩΣΤΟ

Η σχέση ψ2 = χ , µε χ>0 , δεν είναι συνάρτηση γιατί σε µια τιµή του χ µπορούµε να βρούµε δύο τιµές για το ψ. ΣΩΣΤΟ

Στη συνάρτηση ψ = χ , το χ µπορεί να πάρει τιµή οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό. ΛΑΘΟΣ πρέπει χ 0≥

Στη συνάρτηση ψ = 2

χ , το χ και το ψ δεν µπορούν να πάρουν την τιµή 0.

ΣΩΣΤΟ

ψ χ χχ 0 χ 0

ψ 0 χ χ 0 χ χ 1 0 ή ήχ 1 0 χ 1

ΝΑΙ

= == ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

− = =

Η Γ δεν αντιστοιχεί σε συνάρτηση γιατί για το ίδιο χ υπάρχουν δύο διαφορετικά ψ

Σηµείωση: Τα δύο ευθύγραµµα τµήµατα τέµνουν τον χ΄χ στα σηµεία Α(20/3 , 0) και Β(-20/3 , 0)

χ 1 2 3 1,5 1,5 6 -6 7 -7 -1 -2 -3 ψ=f(x) 0 0 1 -4 4 2 2 -1 -1 0 0 1

β. min

ψ 4 για χ 8ψ 4 για χ 0

= − = ±

γ. Πεδίο ορισµού: [-8,8]

δ. Ως προς τον άξονα ψ΄ψ

Τοµές µε άξονα χ΄χ: 20 20, 2, 1, 1, 2,3 3

− − −

Τοµές µε άξονα ψ΄ψ: 4

στ. ( ) ( )20 20f x 0 χ , 2 1,1 2,3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞> ⇔ ∈ − − ∪ − ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Οι τιµές της γραµµικής συνάρτησης ψ = αχ +β προκύπτουν από τις τιµές της συνάρτησης ψ = αχ προσθέτοντας τον αριθµό β

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αχ +β είναι µια ευθεία η οποία

είναι παράλληλη στην ευθεία που παριστάνει γραφικά η συνάρτηση ψ=αχ

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αχ +β είναι µια ευθεία η οποία

τέµνει τον ψ΄ψ στο σηµείο (0,β).

Τιµές του χ 0 1 -1 2 -2 Τιµές της ψ = χ 0 1 -1 2 -2 Τιµές της ψ = χ+2 2 3 1 4 0 Τιµές της ψ = χ-2 -2 -1 -3 0 -4 β.

x-10 -5 5 10

y = x + 2

y = x – 2

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟ

1. ψ = 3χ-5 2. ψ = -9χ+3 3. ψ = 4χ – 9 4. ψ = 5χ +1

Α. (0 , -5) Β. (0 , -9) Γ.(0 , 3) ∆. (0 , 1)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1. 2. 3. 4. ΣΗΜΕΙΟ Α Γ Β ∆

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟ 1. ψ = 3χ-6 2. ψ = -3χ+9 3. ψ = 4χ – 4 4. ψ = 5χ +5

Α. (3 , 0) Β. (2 , 0) Γ.(1 , 0) ∆. (-1 , 0)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1. 2. 3. 4. ΣΗΜΕΙΟ Β Α Γ ∆

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 2η

1. ψ = 3χ-5 2. ψ = -9χ+3 3. ψ = 4χ – 9 4. ψ = 5χ +1

Α. ψ = 4χ + 1 Β. ψ = 5χ + 3 Γ. ψ = -9χ-5 ∆. ψ = 3χ -9

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1η 1. 2. 3. 4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 2η ∆ Γ Α Β

ψ=-2χ+6 α. Για χ=0: ψ=-2.0+6=6 άρα Β(0,6)

Για ψ=0: 0=-2.χ+6 62χ 6 χ 32

⇔ = ⇔ = = άρα Α(3,0)

x-2 2 4 6 8

y = -2x + 6

A(3,0)

B(0,6)

O(0,0)

γ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ έχουµε:

( ) ( ) ( )( )( )

ΟΑ ΟΒ ΑΒ

ΑΒ 3 6 9 36 45

ΑΒ 45 9 5 3 5

+ = ⇔

= + = + = ⇔

= = ⋅ =

δ. ( ) ( )ΟΑΒ

1 1Ε ΟΑ ΟΒ 6 3 92 2

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

α. ( )

( )( )

ψ αχ β ε

ψ 2χ ε ε ε (0,4)

ε ε α 2

Για την ε :΄Οταν χ 0 τότε ψ 4 4 2 0 β β 4

∆ηλαδή ε :ψ 2χ 4

= = ⇔ = ⋅ + ⇔ =

β. Η τοµή µε τον άξονα χ χ βρίσκεται όταν ψ 0 :

40 2χ 4 2χ 4 χ 22

= + ⇔ = − ⇔ = − = −

ψ=3χ+1 (1) και ψ=-2χ+6 (2) α. Στο ∆(1,4) γιατί µόνο αυτό επαληθεύει και τις δύο σχέσεις. β.

x-2 2 4 6 8

y = -2x + 6

(0,6) y = 3x + 1

( )( ) ( ) ( )

ψ χ 4 ε

ψ χ 2 ε

ε ε α,β

= − +

( )( )

Για χ α,ψ βε :β α 4

ε :β α 2

= − +

β. β α 4 β α 4 β α 4

β α 2 α 4 α 2 α α 2 4

β α 4β α 4 α 362α 6 β 3 4 1α2

= − = − = −⎫ ⎫ ⎫⇔ ⇔ ⇔⎬ ⎬ ⎬

= − + − = − + + = +⎭ ⎭ ⎭

= − ⎫= − =⎫ ⎫⎪⇔ ⇔⎬ ⎬ ⎬= = − = −=⎭ ⎭⎪⎭

Άρα το σηµείο τοµής τους είναι το (3,-1)

ψ=αχ+β

τοµή µε άξονα χ΄χ (1,0) τοµή µε άξονα ψ΄ψ (0,1)

α. ( )

( )( )

ψ αχ β ε

τοµή µε άξονα χ΄χ 1,0 0 α 1 β 1

τοµή µε άξονα ψ΄ψ 0,1 1 α 0 β 2

α β 0 α 1 0 α 1β 1 β 1 β 1

⇔ = ⋅ +

+ = + = = −⎫ ⎫ ⎫⇔ ⇔⎬ ⎬ ⎬

= = =⎭ ⎭ ⎭

β. Η ευθεία είναι η ψ=-χ+1

x-6 -4 -2 2 4 6

y=-x+1

x-6 -4 -2 2 4 6

y=-x+1

y=-2x+1

Το σηµείο τοµής βρίσκεται λύνοντας και το σύστηµα:

ψ χ 1 ψ χ 1 ψ χ 1ψ 2χ 1 χ 1 2χ 1 2χ χ 1 1

ψ χ 1 ψ 1χ 0 χ 0

= − + = − + = − +⎫ ⎫ ⎫⇔ ⇔ ⇔⎬ ⎬ ⎬

= − + − + = − + − = −⎭ ⎭ ⎭

= − + =⎫ ⎫⇔⎬ ⎬

= =⎭ ⎭

1. - Πανελλήνιο Σχολικό...

Documents

Transcript of 1. - Πανελλήνιο Σχολικό...

ΧΡΟΝΙΑ 5/12/2012ΗΜΕΡΙˆΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ...5/12/2012ΗΜΕΡΙˆΑ ΧΡΟΝΙΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΗ 6 ΑΣΚΗΣΗ 7 · ΑΣΚΗΣΗ 20 (ΠροτείνειοΠαύλοςΜαραγκουδάκης)΄Εστω Ω={1,2,3,...,2010,2011 ...

λυσεισ φυσικησ 2016

΄Ασκηση Σεισμού

1. ΑΣΚΗΣΗ 1 - NewTech-Pub · 1. ΑΣΚΗΣΗ 1 Μαθαίνοντας το hardware του αναπτυξιακού Προϋποθέσεις Το εργαστήριο αυτό

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΩΝ ΜΕ 2 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ

Απόδειξη Α σχέσης · Ασκηση Ασκηση 3.10. 3.10. Να αποδειχθεί η σχέση Να αποδειχθεί η σχέση ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝

ασκηση η μητερα του_αγιασμου

271 ΑΣΚΗΣΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

ΘΑΛΗΣ 2016 - ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ

ΘΑΛΗΣ 2014 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ

2η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΚΗ ......2η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΚΥΤΤΑΡΩΝ ΒΙΟΛΟΓΙΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΚΕΦ3ΜΕΡΟΣΒ

ΘΑΛΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ

Εργαστήριο Υδρογεωλογίας - ΑΣΚΗΣΗ 11 Επανάληψη

ΘΑΛΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ-ΣΧΕΔΙΟ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 - Weeblyalexsocratis-edu.weebly.com/uploads/4/5/3/6/4536760/drd.pdf · 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 ρεδηάζηε έλα ΓΡΓ γηα ηε δεκηνπξγία

11 εξισωσεισ ζητουν λυσεισ ζανταριδησ3

ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΗ - Αρχικήgym-istiaias.eyv.sch.gr/autosch/joomla15/images/eggrafa/1516... · ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΗ «ΠΑΡΑ∆ΟΣΙΑΚΑ ΠΑΙΧΝΙ∆ΙΑ

ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ