Post on 18-Mar-2021
1 MODELOVÁNÍ PRUŽNÉHO PODLOŽÍ 1
1 Modelování pružného podloží
• Úloha mechaniky zemin
• Modely pružného podloží – interakce podloží se základovými konstruk-cemi
– Boussinesqův model (pružný poloprostor) [2]: homogenní izotropnípodloží, charakterizováno dvěma materiálovými parametry E a ν.
Plně trojrozměrný model
u(x, y, z) 6= 0 v(x, y, z) 6= 0 w(x, y, z) 6= 0
– Westergaardův model (pružný poloprostor) [5]: homogenní aniso-
1 MODELOVÁNÍ PRUŽNÉHO PODLOŽÍ 2
tropní podloží, charakterizováno parametry E a ν. Kinematické
předpoklady
u(x, y, z) = 0 v(x, y, z) = 0 w(x, y, z) 6= 0
– Model pružné vrstvy [3]: založen na představě deformační zóny
J. Boussinesq H. L. F. von Helmholtz Pasternak H. M. Westergaard Winkler
2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 3
2 Winkler-Pasternakův model pružné vrstvy
2.1 Kinematické předpoklady
• Posuny u a v jsou zanedbatelné vůči posunu w
u(x, y, z) = 0
v(x, y, z) = 0
• Posun w lze vyjádřit v závislosti na posunu povrchu
w(x, y, z) = w(x, y, 0)ψ(z) = w(x, y)ψ(z)
2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 4
• Funkce ψ(z) závisí na materiálových vlastnostech podloží a vlastnos-tech základové konstrukce. Vzhledem ke značné neurčitosti vstupních
dat v geotechnických problémech postačuje u tenkých vrstev uvažovat
lineární průběh. V každém případě ψ splňuje podmínky
ψ(0) = 1, ψ(h) = 0. (1)
2.2 Geometrické rovnice
• Nenulové složky tenzoru deformace
εz(x, y, z) =∂w
∂z=
∂
∂z(w(x, y)ψ(z)) = w(x, y)
dψ(z)dz
γzx(x, y, z) =∂w
∂x+∂u
∂z=∂w(x, y)∂x
ψ(z)
γzy(x, y, z) =∂w
∂y+∂v
∂z=∂w(x, y)∂y
ψ(z)
2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 5
• Ostatní složky
εx(x, y, z) = 0, εy(x, y, z) = 0, γxy(x, y, z) = 0
• Kompaktní zápis
εz(x, y, z) = w(x, y)dψ(z)dz
(2) γzx(x, y, z)
γzy(x, y, z)
=
∂
∂x∂
∂y
w(x, y)ψ(z)
γ(x, y, z) = ∇w(x, y)ψ(z) (3)
2.3 Konstitutivní rovnice
• Pro jednoduchost neuvažujeme vliv počátečních deformací
2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 6
• Normálová napětí
σz(x, y, z) = λ(x, y, z)(1− ν(x, y, z))εz(x, y, z)
= Eoed(x, y, z)εz(x, y, z) (4)
• Smyková napětí
τzx(x, y, z) = Gx(x, y, z)γzx(x, y, z)
τzy(x, y, z) = Gy(x, y, z)γyz(x, y, z)
• Kompaktní zápis τzx(x, y, z)
τzy(x, y, z)
=
Gx(x, y, z) 0
0 Gy(x, y, z)
γzx(x, y, z)
γzy(x, y, z)
τ(x, y, z) = G(x, y, z)γ(x, y, z)
2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 7
2.4 Statické rovnice
• Všechny nenulové složky napětí působí ve směru osy z ⇒ jediná pod-mínka rovnováhy
∂τzx(x, y, z)∂x
+∂τzy(x, y, z)
∂y+∂σz(x, y, z)
∂z+ Z(x, y, z) = 0
• Kompaktní zápis∂
∂x
∂
∂y
τzx(x, y, z)
τzx(x, y, z)
+ ∂σz(x, y, z)∂z
+ Z(x, y, z) = 0
∇Tτ(x, y, z) + ∂σz(x, y, z)∂z
+ Z(x, y, z) = 0 (5)
2.5 Okrajové podmínky
• Kinematické okrajové podmínky – není třeba specifikovat (viz též cvi-čení č. 5)
2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 8
• Statické okrajové podmínky– Na povrchu pružné vrstvy (z = 0 m)
σz(x, y, 0)nz(x, y)− pz(x, y) = 0
−σz(x, y, 0)− pz(x, y) = 0 (6)
2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 9
– Na „svislých hranáchÿ (x ∈ Γ× 〈0;h〉)
τzx(x, y, z)nx(x, y) + τzy(x, y, z)ny(x, y)− τ(x, y, z) = 0nx(x, y) ny(x, y)
τzx(x, y, z)
τzy(x, y, z)
− τ(x, y, z) = 0
nT(x, y)τ(x, y, z)− τ(x, y, z) = 0 (7)
2.6 Řídicí rovnice
2.6.1 Dimenzionální redukce problému
• Integrací podmínky rovnováhy (5) podle z s vahou ψ dostáváme∫ h
0
(∇Tτ(x, y, z) + ∂σz(x, y, z)
∂z+ Z(x, y, z)
)ψ(z) dz = 0
2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 10
• Podtržený člen upravíme pomocí integrace per partes∫ h
0
∂σz(x, y, z)∂z
ψ(z) dz = [σz(x, y, z)ψ(z)]h0 −
∫ h
0σz(x, y, z)
dψ(z)dz
dz
(1)= −σz(x, y, 0)−
∫ h
0σz(x, y, z)
dψ(z)dz
dz
(6)= pz(x, y)−
∫ h
0σz(x, y, z)
dψ(z)dz
dz
• Po dosazení dostáváme
0 = ∇T∫ h
0τ(x, y, z)ψ(z) dz −
∫ h
0σz(x, y, z)
dψ(z)dz
dz
+ pz(x, y) +∫ h
0Z(x, y, z)ψ(z) dz
• Tato úprava nám umožňuje přejít z třírozměrné úlohy na dvojrozměr-nou.
2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 11
• Poloha je nyní charakterizována pomocí dvou prostorových souřadnic
x = x, yT
• Podmínku rovnováhy ve svislém směru vyjádříme pomocí– (zobecněných měrných) posouvajících sil q(x)
q(x) =∫ h
0τ(x, z)ψ(z) dz
– (zobecněné měrné) normálové síly nz
nz(x) =∫ h
0σz(x, z)
dψ(z)dz
dz
– (zobecněného) plošného zatížení p
p(x) = pz(x) +∫ h
0Z(x, z)ψ(z) dz
• Tedy∇Tq(x)− nz(x) + p(x) = 0 (8)
2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 12
• Obdobným způsobem modifikujeme statické okrajové podmínky (7)
nT(x)∫ h
0τ(x, z)ψ(z) dz −
∫ h
0τ(x, z)ψ(z) dz = 0
nT(x)q(x)− q(x) = 0 (9)
2.6.2 Konstitutivní rovnice
• Normálové síly nx
nz(x) =∫ h
0σz(x, z)
dψ(z)dz
dz(4)=∫ h
0Eoed(x, z)εz(x, z)
dψ(z)dz
dz
(2)=
(∫ h
0Eoed(x, z)
dψ(z)dz
dψ(z)dz
dz
)w(x, y) = C1(x)w(x, y)
• Výsledkem je tedy vztah
nz(x) = C1(x)w(x, y), (10)
2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 13
kde konstanta C1 [Nm−3]
C1(x) =∫ h
0Eoed(x, z)
(dψ(z)dz
)2dz
je též někdy nazývána součinitel ložnosti.
• Posouvající síly q qx(x)
qy(x)
=∫ h
0
τzx(x, z)
τzy(x, z)
ψ(z) dz
(5)=
∫ h
0
Gx(x, z) 0
0 Gy(x, z)
γzx(x, z)
γzy(x, z)
ψ(z) dz
(5)=
∫ h
0
Gx(x, z) 0
0 Gy(x, z)
ψ2(z) dz∇w(x)
= C2(x)∇w(x)
2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 14
• Pro případ Gx = Gy = G
q(x) = C2(x)∇w(x), (11)
kde C2 [Nm−1]
C2(x) =∫ h
0G(x, z)ψ2(z) dz. (12)
• Orientační hodnoty konstant C1 a C2 [4]a.
aIlustraci výpočtu těchto konstant lze též nalézt v seminární práci R. Grebíka: Prutna pružném podloží - zjištění tuhosti podložíhttp://ksm.fsv.cvut.cz/∼zemanj/download/seminar/MK/2003 2004/grebik.pdf
2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 15
Domací úkol 1. Vzájemně porovnejte dimenzionální redukci trojrozměr-ných rovnic pružnosti pro případ ohybu mindlinovských nosníků, ohybu
mindlinovských desek a pružné vrstvy podloží. Pro vzájemné porovnání se
můžete inspirovat následující tabulkou
2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 16
Nosník Deska Podloží
Kinematické předpoklady
Pole posunů
Pole deformace (nenulové složky)
Pole napětí (nenulové složky)
Nezávislé podmínky rovnováhy
Identicky splněné podmínky rovnováhy
Základní deformační neznámé
Vnitřní síly
Podmínky rovnováhy ve vnitřních silách
+ způsob odvození
Nové členy v konstitutivních rovnicích
Modifikace statických okrajových podmínek
2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 17
2.7 Diferenciální rovnice pružné vrstvy
• Uvažujeme izotropní a homogenní materiál (vzhledem k souřadnicímx a y)
C1(x) = C1, C2(x) = C2.
• Po dosazení konstitutivních rovnic (10) a (11) do podmínky rovno-váhy (8) dostáváme
C2∇T∇w(x)− C1w(x) + p(x) = 0,
tedy
C2∆w(x)− C1w(x) + p(x) = 0
• Z hlediska matematické terminologie se tato parciální diferenciální rov-nice nazývá Helmholtzovou rovnicí.
3 SLABÁ FORMULACE 18
3 Slabá formulace
• Požadujeme, aby platilo∫Ωδw(x)
(∇TC2(x)∇w(x)− C1(x)w(x) + p(x)
)dx = 0
pro všechny váhové funkce δw(x).
• Aplikací Gaussovy věty upravíme předchozí rovnost na
0 =∫Γδw(x)
nTq=q viz (9)︷ ︸︸ ︷nT(x)C2(x)∇w(x) dx−
∫Ω(∇δw(x))T C2(x)∇w(x) dx
−∫Ωδw(x)C1(x)w(x) dx+
∫Ωδw(x)p(x) dx
3 SLABÁ FORMULACE 19
• Slabé řešení w(x) tedy splňuje pro všechna δw(x)∫Ωδw(x)C1(x)w(x) dx+
∫Ω(∇δw(x))T C2(x)∇w(x) dx =∫
Γδw(x)q(x) dx+
∫Ωδw(x)p(x) dx
3.1 Galerkinovská aproximace
• Aproximace neznámých w(x) a jejich gradientů ∇Tw(x)
w(x) ≈ N(x)r, ∇Tw(x) ≈ ∇TN(x)r = B(x)r.
• Aproximace váhové funkce δw(x) a jejího gradientu ∇Tδw(x)
δw(x) ≈ N(x)δr, ∇Tδw(x) ≈ ∇TN(x)δr = B(x)δr.
3 SLABÁ FORMULACE 20
• Aproximace slabé formulace∫Ω
(N(x)δr
)TC1(x)N(x)r dx+
∫Ω
(B(x)δr
)TC2(x)B(x)r dx =∫
Γ
(N(x)δr
)Tq(x) dx+
∫Ω
(N(x)δr
)Tp(x) dx,
pro všechna δr.
• Soustava lineárních rovnic
K r = R = Rq +Rp,
kde
K =∫Ω
(NT(x)C1(x)N(x) +B
T(x)C2(x)B(x))dx
Rq =∫ΓNT(x)q(x) dx
Rp =∫ΩNT(x)p(x) dx
4 NEKONEČNÝ A DOKONALE TUHÝ PÁS NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ 21
4 Nekonečný a dokonale tuhý pás na pruž-ném podloží
• Uvažujeme pás šířky 2b na homogenním a izotropním podloží
• Řešení rozdělíme na část odpovídající okolní zemině a na část podzákladem
• Rovnice pružné vrstvy
C1w(y)− C2d2w(y)dy2
= 0
4 NEKONEČNÝ A DOKONALE TUHÝ PÁS NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ 22
• Řešeníw(y) = Ae−αy +Beαy,
kde
α2 =C1C2
• Okrajové podmínky
y →∞ : w → 0⇒ B = 0
y = 0 : w = w0 ⇒ A = w0
• Průběh sednutí okolní zeminy
w(y) = w0e−√
C1/C2y
• Posouvající síla na okraji základu
qy(y = 0) = C2dw(y)dy
|y=0 = −w0√C1C2
• Velikost poklesu základu w0 určíme z podmínky rovnováhy pro příčný
4 NEKONEČNÝ A DOKONALE TUHÝ PÁS NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ 23
proužek šířky 1 m vyjmutý z pásu
2bf = 2w0√C1C2 + C1w02b⇒ w0 =
f√C1C2b
+ C1
=f
C∗1
• Efektivní konstanta podloží pro modelování pásu
C∗1 = C1 +
√C1C2b
• Obdobným způsobem lze „opravitÿ zbývající konstanty podloží; viz [1,kapitola 2.1.2]
2
Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mítnámět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na zemanj@cml.fsv.cvut.cz.Opravy verze -001: Odstraněná celá řada překlepů a nepřesností (na chyby upozornil J. Šejnoha)Opravy verze 000: Změněno Eeod na Eoed, opraveny indexy u smykového napětí na str. 6 (na chyby upozornilZ. Janda), str. 21: opravena poloha souřadnice z (na chybu upozornil J. Skoček), str. 23: opraven výpočetefektivní konstanty C1 (oprava po přednášce)
Verze 001
REFERENCE 24
Reference
[1] Z. Bittnar and J. Šejnoha, Numerické metody mechaniky, vol. I, ES
ČVUT, Praha, 1992.
[2] J. Boussinesq, Application des potentiels a l’etude de l equilibre et du
mouvement des solides elastiques, Gauthier-Villars, Paris, 1885.
[3] V. Kolář and I. Němec, Modelling of soil-structure interaction, Acade-
mia, Praha, 1990.
[4] P. Kuklík, Příspěvek k řešení vrstevnatého podloží, Pozemní stavby 7(1984).
[5] H. M. Westergaard, A problem of elasticity suggested by a problem in
soil mechanics: Soft material reinforced by numerous strong horizon-
tal sheets, Contributions to the Mechanics on Solids, Dedicated to S.
Timoshenko by his Friends on the Occasion of his 60th Birthday Anni-
versary, The Macmillan Company, New York, 1938.