Post on 14-Apr-2015
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Estados de BlochEn una red periodica las funciones de onda permitidas tienen la propiedad
donde R es un vector de la red real
Portanto Donde la funcion (R) es real, independiente de r, y adimensional.
Ahora consideremos ψ(r + R1 + R2). Esto puede ser escrito O
Portanto
(R1 + R2) = (R1) + (R2)
(R) es lineal en R y puede ser escrito (R) = kxRx + kyRy + kzRz = k.R. donde
kx, ky y kz son las componentes algun vector onda k, asi tenemos
(Teorema Bloch )
22)()( rRr
)()( . rRr Rk ie
)()( )(21
21 rR RRRr ie
)()( )( rRr R ie
)()()( )()(2
)(21
211 rRrRRr RRR iii eee
2
(Teorema Bloch )
Para cualquier K una forma general de la funcion de onda es
Portanto tenemos
y
Para todo r y R. Portanto en una red la funcion de onda puede ser escrita como
Donde u(r) tiene la periodicidad (simetria translacional) de la red. Esta es una forma alternativa del teorema de Bloch.
)2()()( . rr rk uei
)2..from()Rr(ue)Rr( )Rr.(ki
)1..from()r(uee)Rr( r.kiR.ki
)()( . rr rk ue i
)1(ψ(r)eR)ψ(r ik.R
Forma Alternativa del Teorema de Bloch
Re [(x)]
x
Parte real de la funcion Bloch. ψ ≈ eikx para un grande fraccion del cristal.
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Funciones de Onda de Bloch, estados k
ψ(r) = exp[ik.r]u(r)
kp
Condiciones de Frontera periodico. Para un cubo de lado L se tiene la condicion
ψ(x + L) = ψ(x)
pero u(x+L) = u(x) debido a que tiene la periodicidad red
Portanto, i.e. kx = 2 nx/Lnx entero.
Los estados k permitidos son los mismos que para electron libre
Estados Bloch no son autoestados de momento
Calculos de estructura de bandas dan E(k) el cual determina comportamiento dinamico
L)u(xeL)u(xe xikL)(xik xx
xikL)(xik xx ee
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Electrones Cuasi-libres
Necesario resolver Ecuac Schrödinger Consideremos caso 1D
Escribe potencial serie Fourier
Donde G = 2n/a y n son enteros positivos y negativos. Escribe una funcion bloch en forma general
Donde g = 2m/a ym are son enteros positivos y negativos. Note que la funcion periodica es escrita como una suma de Fourier
Debemos restringir g a numeros pequeños para obtener una solucion Para n= + 1 y –1 y m=0 y1, y k ~ /a
Se obtiene, E=(k)2/2me + o - V0/2 (CHECAR)
.(x) E = (x) (x) V + x
2m
-2
22
)1(
G
iGxGeVxV ).2()(
g
igxg
ikxikx eAeruex ).3()()(
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Aproximacion Tight Binding
Se construye una funcion de onda como una suma de ondas planas
Modelo Tight Binding : Construye funcion onda como una combinacion lineal de orbitales atomicos de los atomos del cristal
Donde (r)es una autofuncion atomos aislados
rj son las posiciones de los atomos del cristal
) ( c = )( j
jj
r-r r
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Orbitales moleculares
Consideremos un electro estado fdtal, 1s, del atomo de hidrogeno
El hamiltoniano es
El valor esperado de la energia del electron es
Esto da <E> = E1s = -13.6eV
o
2
4e = donde
Bohr Radio eles a donde a 1
= (r) i.e. oo e ar/-3/2 o
r
- 2m
- = H
22
(r)dV H (r) = > E <
+
E1s
V(r)
(r)
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Molecula Hidrogeno
Consideremos la molecula H2+ en el cual
un electro experimenta el potencial de dos
protones. El Hamiltoniano es,
Aproximamos la funcion de onda del electron, como
y
|R - r|-
r -
2m
- = )rU( +
2m
- = H
2222
] + A[ |)] R - r(| + )r([ A = )r( 21
] B[ |)]R - r(| )r([ B = )r( 21
p+ p+
e-
R
r
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Estados ligados y no ligados
Valores esperados de la energia son
E = E1s – (R) para
E = E1s + (R) para
(R) una funcion positiva
Dos atomos: estado original 1s conduce a dos estados permitidos en la molecula
Para N atomos en el solido tenemos N estados energia permitidos
)r(
)r(
)r(
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
r
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
r
V(r)
2)r(
)r(
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Aproximacion Tight bindingEscribimos funcion de onda combinacion lineal orbitales atomicos
Donde (r)es funcion onda atomo aislado. rj son las posiciones atomo cristal. Consideremos estados s que tienen simetria esferica. Para ser consistentes con el teorema de Bloch.
N es el numero de atomos en el cristal. para normalizacion
Checar
Sea rm = rj - R
)rr(c)r( jj j
)rr(eAN)r( jj
jr.ik2/1k
2/1AN
)rRr(e)Rr( jj
jr.ik
k
)rr(ee)rr(e)Rr( mmmr.ikR.ik
mm
)Rmr.(ik
k
)r(e)Rr( kR.ik
k teorema Bloch Correcto
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El valor esperado de la energia es
Puede ser escrito en terminos posicion relativa ρm = rj – rm
La suma sobre j da N ya que hay N atomos en el cristal.
Como la intergral es sobre todo espacio, la integracion sobre (r-rm) da la misma respuesta que la integracion sobre r. Esto da
Cada termino en la suma corresponde a un vector que va de un sitio de la red a un sitio red vecino.
. d )( H )(eN A= )d( H)( E *
r allmj
-12* rr-rr-r)r-rik.(rrr mjmjkk
. )d( )H(eNAE *
mj
2 1-rr-rρ-r-rρik.
mmmm
)rr(c)r( jj j
. )d( )H(eAE *
m
2 rrρ-rρik.mm
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Aproximacion tight binding para estados s
Terminos adicionales dan “integrales overlap” entre orbitales corrrespondientes a vecinos mas distantes
Aproximacion: Consideremos solo valores m para vecinos mas cercanos.
e - - = k)( Em
ρk. i- m
. )d( )H(eAE *
m
2 rrρ-rρik.mm
- )d( )H(AE *20 rrr
Primer termino da energia enlace atomos aislados
rrρ-r m )d()H( = where *
Constante que como depende solo de (r-m)1D: m = +a o –a
)aos(kc 2- -)e ae a( - - = k)( E xxx k i-k i
+ + + + +aPosicion Nuclear
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E(k) para una red 3D Cubico Simple : vecinos mas cercanos en
Asi E(k) = 2(coskxa + coskya + coskza)
Minimo E(k) = 6para kx=ky=kz=0
Maximo E(k) = 6Para kx=ky=kz=+/-/a
Ancho banda = Emax- Emin = 12
Para k << acos(kxa) ~ 1- (kxa)2/2 etc.
E(k) ~ constante + (ak)2/2
E = (k)2/me
),,();,,();,,( a000a000aρm
-4 -2 0 2 4-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
F1
k [111] direccion
/a/a
E(k)
Comportan como electrones “masa efectiva” /a2
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Cada orbital atomico conduce a una banda de estados permitidos solido
Banda estados permitid
Banda estados permitid
Banda estados permitid
Gap: estados no permi
Gap: estados no permi
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Estados Bloch Independientes
Estados Bloch
Sea k = k ́ + G donde k esta en la 1era zona Brillouin y G es un vector Red reciproca.
Pero G.R = 2n, n-entero. Definicion Red reciproca. Asi
k es exactamente equivalente a k.
)()( rRr k.R ie
)(ee)( Gi rRr .Ri.Rk
)(e)( and 1e iiG rRr .Rk.R .Rkk.R ii ee
-4 -2 0 2 4-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
F1
k [111] direction
/a/a
E(k)
Los valores k independientes son los de la primera zona Brillouin
Solucion modelo Tigh Binding es periodico en K. Aparentemente tenemos un numero infinito de estados k para cada banda de energia permitida
Sin embargo hay estados k equivalentes
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Esquema de la zona Brillouin ReducidaLos k independientes esta dentro de la primera zona de Brillouin
Resultados del calculo tight binding
Resultados del calculo electron cuasi-libre
Descartan|k| > /a
Displazadentro 1a Z. B.
Esquema zona Brillouin Reducida
-2/a
2/a
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Esquemas de las zonas de Brillouin Extendida, reducida y periodica
Zona Periodica Zona Reducida Zona Extendida
Todos los estados permitidos corresponden a vectores de onda k que se encuentran dentro de la primera zona de Brillouin
Puede representarse E(k) de 3 maneras diferentes
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El numero de estados en una bandaEstados k independientes estan dentro 1a Z. B. kx < /a etc.
Cristal Finito: Estados k permitidos discretos
Cristal cubico simple monoatomico, constante red a, y volumen V.
Un estado permitido en un volumen (2)3/V en el espacio K
Volumen de la 1a Z. B. Es (2/a)3
El numero total de estados permitidos en una banda es
.etc,....2,1,0,2
xx
x nL
nk
N
a
V
V2
a2
3
3
Cada celda primitiva contribuye exactamente con un estado k para cada banda de Energia.
Llevando en cuenta principio exclusion de Pauli hay maximo 2N electrones en cada banda. Este resultado es valido para toda red
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Metales y aislantesEn una banda completamente llena hay 2N electrones. Todos los estados dentro de la primera zona de Brillouin estan ocupados. La suma de todos los vectores de onda K en la banda es igual a cero.
Una Banda parcialmente llena puede trnsportar una corriente, una banda llena no lo puede hacer
Aislantes se caracterizan por tener un numero entero par de electrones por celda primitiva
Con un numero entero par de electronespor celda primitiva puede aun presentarse un comportamiento metalico si hay un sobrelapamiento de las bandas
sobrelapamiento energia no debe ocurriren la misma direccion de k.
E
k0 a
EF
Metal debido a bandas sobrelapadas
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Banda llena
Banda Vacia
Gap energia
Full Band
Banda llena Parcialmente
Gap energiaBanda llenaParc
Banda llenaParcEF
AISLANTE METAL METALo SEMICONDUCTOR o SEMI-METAL
E
k0 a
EF
E
k0 a
E
k0 a
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Bandas en 3D
La estructura de Bandas en 3D es mucho mas complicada que en 1D Debido a que los cristales no tienen simetria esferica.
La forma de E(k) depende tanto de la direccion como de la magnitud de K
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