1

Estados de BlochEn una red periodica las funciones de onda permitidas tienen la propiedad

donde R es un vector de la red real

Portanto Donde la funcion (R) es real, independiente de r, y adimensional.  

Ahora consideremos ψ(r + R1 + R2). Esto puede ser escrito O

Portanto

(R1 + R2) = (R1) + (R2) 

(R) es lineal en R y puede ser escrito (R) = kxRx + kyRy + kzRz = k.R. donde

kx, ky y kz son las componentes algun vector onda k, asi tenemos

(Teorema Bloch ) 

22)()( rRr

)()( . rRr Rk ie

)()( )(21

21 rR RRRr ie

)()( )( rRr R ie

)()()( )()(2

)(21

211 rRrRRr RRR iii eee

2

(Teorema Bloch )

Para cualquier K una forma general de la funcion de onda es

 Portanto tenemos 

y 

Para todo r y R. Portanto en una red la funcion de onda puede ser escrita como 

Donde u(r) tiene la periodicidad (simetria translacional) de la red. Esta es una forma alternativa del teorema de Bloch.

)2()()( . rr rk uei

)2..from()Rr(ue)Rr( )Rr.(ki

)1..from()r(uee)Rr( r.kiR.ki

)()( . rr rk ue i

)1(ψ(r)eR)ψ(r ik.R

Forma Alternativa del Teorema de Bloch

Re [(x)]

x

Parte real de la funcion Bloch. ψ ≈ eikx para un grande fraccion del cristal.

3

Funciones de Onda de Bloch, estados k

ψ(r) = exp[ik.r]u(r)

kp

Condiciones de Frontera periodico. Para un cubo de lado L se tiene la condicion

ψ(x + L) = ψ(x)

pero u(x+L) = u(x) debido a que tiene la periodicidad red

Portanto, i.e. kx = 2 nx/Lnx entero.

Los estados k permitidos son los mismos que para electron libre

Estados Bloch no son autoestados de momento

Calculos de estructura de bandas dan E(k) el cual determina comportamiento dinamico

L)u(xeL)u(xe xikL)(xik xx

xikL)(xik xx ee

4

Electrones Cuasi-libres

Necesario resolver Ecuac Schrödinger Consideremos caso 1D

Escribe potencial serie Fourier

Donde G = 2n/a y n son enteros positivos y negativos. Escribe una funcion bloch en forma general

Donde g = 2m/a ym are son enteros positivos y negativos. Note que la funcion periodica es escrita como una suma de Fourier

Debemos restringir g a numeros pequeños para obtener una solucion Para n= + 1 y –1 y m=0 y1, y k ~ /a

Se obtiene, E=(k)2/2me + o - V0/2 (CHECAR)

.(x) E = (x) (x) V + x

2m

-2

22

)1(

G

iGxGeVxV ).2()(

g

igxg

ikxikx eAeruex ).3()()(

5

Aproximacion Tight Binding

Se construye una funcion de onda como una suma de ondas planas

Modelo Tight Binding : Construye funcion onda como una combinacion lineal de orbitales atomicos de los atomos del cristal

Donde (r)es una autofuncion atomos aislados

rj son las posiciones de los atomos del cristal

) ( c = )( j

jj

r-r r

6

Orbitales moleculares

Consideremos un electro estado fdtal, 1s, del atomo de hidrogeno

El hamiltoniano es

El valor esperado de la energia del electron es

Esto da <E> = E1s = -13.6eV

o

2

4e = donde

Bohr Radio eles a donde a 1

= (r) i.e. oo e ar/-3/2 o

r

- 2m

- = H

22

(r)dV H (r) = > E <

+

E1s

V(r)

(r)

7

Molecula Hidrogeno

Consideremos la molecula H2+ en el cual

un electro experimenta el potencial de dos

protones. El Hamiltoniano es,

Aproximamos la funcion de onda del electron, como

y

|R - r|-

r -

2m

- = )rU( +

2m

- = H

2222

] + A[ |)] R - r(| + )r([ A = )r( 21

] B[ |)]R - r(| )r([ B = )r( 21

p+ p+

e-

R

r

8

Estados ligados y no ligados

Valores esperados de la energia son

E = E1s – (R) para

E = E1s + (R) para

(R) una funcion positiva

Dos atomos: estado original 1s conduce a dos estados permitidos en la molecula

Para N atomos en el solido tenemos N estados energia permitidos

)r(

)r(

)r(

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1.4

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

r

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1.4

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

r

V(r)

2)r(

)r(

9

Aproximacion Tight bindingEscribimos funcion de onda combinacion lineal orbitales atomicos

Donde (r)es funcion onda atomo aislado. rj son las posiciones atomo cristal. Consideremos estados s que tienen simetria esferica. Para ser consistentes con el teorema de Bloch.

N es el numero de atomos en el cristal. para normalizacion

Checar

Sea rm = rj - R

)rr(c)r( jj j

)rr(eAN)r( jj

jr.ik2/1k

2/1AN

)rRr(e)Rr( jj

jr.ik

k

)rr(ee)rr(e)Rr( mmmr.ikR.ik

mm

)Rmr.(ik

k

)r(e)Rr( kR.ik

k teorema Bloch Correcto

10

El valor esperado de la energia es

Puede ser escrito en terminos posicion relativa ρm = rj – rm

La suma sobre j da N ya que hay N atomos en el cristal.

Como la intergral es sobre todo espacio, la integracion sobre (r-rm) da la misma respuesta que la integracion sobre r. Esto da

Cada termino en la suma corresponde a un vector que va de un sitio de la red a un sitio red vecino.

. d )( H )(eN A= )d( H)( E *

r allmj

-12* rr-rr-r)r-rik.(rrr mjmjkk

. )d( )H(eNAE *

mj

2 1-rr-rρ-r-rρik.

mmmm

)rr(c)r( jj j

. )d( )H(eAE *

m

2 rrρ-rρik.mm

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Aproximacion tight binding para estados s

Terminos adicionales dan “integrales overlap” entre orbitales corrrespondientes a vecinos mas distantes

Aproximacion: Consideremos solo valores m para vecinos mas cercanos.

e - - = k)( Em

ρk. i- m

. )d( )H(eAE *

m

2 rrρ-rρik.mm

- )d( )H(AE *20 rrr

Primer termino da energia enlace atomos aislados

rrρ-r m )d()H( = where *

Constante que como depende solo de (r-m)1D: m = +a o –a

)aos(kc 2- -)e ae a( - - = k)( E xxx k i-k i

+ + + + +aPosicion Nuclear

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E(k) para una red 3D Cubico Simple : vecinos mas cercanos en 

Asi E(k) = 2(coskxa + coskya + coskza)

Minimo E(k) = 6para kx=ky=kz=0

Maximo E(k) = 6Para kx=ky=kz=+/-/a

Ancho banda = Emax- Emin = 12

Para k << acos(kxa) ~ 1- (kxa)2/2 etc.

E(k) ~ constante + (ak)2/2

E = (k)2/me

),,();,,();,,( a000a000aρm

-4 -2 0 2 4-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

F1

k [111] direccion

/a/a

E(k)

Comportan como electrones “masa efectiva” /a2

13

Cada orbital atomico conduce a una banda de estados permitidos solido

Banda estados permitid

Banda estados permitid

Banda estados permitid

Gap: estados no permi

Gap: estados no permi

14

Estados Bloch Independientes

Estados Bloch

Sea k = k ́ + G donde k esta en la 1era zona Brillouin y G es un vector Red reciproca.

Pero G.R = 2n, n-entero. Definicion Red reciproca. Asi

k es exactamente equivalente a k.

)()( rRr k.R ie

)(ee)( Gi rRr .Ri.Rk

)(e)( and 1e iiG rRr .Rk.R .Rkk.R ii ee

-4 -2 0 2 4-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

F1

k [111] direction

/a/a

E(k)

Los valores k independientes son los de la primera zona Brillouin

Solucion modelo Tigh Binding es periodico en K. Aparentemente tenemos un numero infinito de estados k para cada banda de energia permitida

Sin embargo hay estados k equivalentes

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Esquema de la zona Brillouin ReducidaLos k independientes esta dentro de la primera zona de Brillouin

Resultados del calculo tight binding

Resultados del calculo electron cuasi-libre

Descartan|k| > /a

Displazadentro 1a Z. B.

Esquema zona Brillouin Reducida

-2/a

2/a

16

Esquemas de las zonas de Brillouin Extendida, reducida y periodica

Zona Periodica Zona Reducida Zona Extendida

Todos los estados permitidos corresponden a vectores de onda k que se encuentran dentro de la primera zona de Brillouin

Puede representarse E(k) de 3 maneras diferentes

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El numero de estados en una bandaEstados k independientes estan dentro 1a Z. B. kx < /a etc.

Cristal Finito: Estados k permitidos discretos

Cristal cubico simple monoatomico, constante red a, y volumen V.

Un estado permitido en un volumen (2)3/V en el espacio K

Volumen de la 1a Z. B. Es (2/a)3

El numero total de estados permitidos en una banda es

.etc,....2,1,0,2

xx

x nL

nk

N

a

V

V2

a2

3

3

Cada celda primitiva contribuye exactamente con un estado k para cada banda de Energia.

Llevando en cuenta principio exclusion de Pauli hay maximo 2N electrones en cada banda. Este resultado es valido para toda red

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Metales y aislantesEn una banda completamente llena hay 2N electrones. Todos los estados dentro de la primera zona de Brillouin estan ocupados. La suma de todos los vectores de onda K en la banda es igual a cero.

Una Banda parcialmente llena puede trnsportar una corriente, una banda llena no lo puede hacer

Aislantes se caracterizan por tener un numero entero par de electrones por celda primitiva

Con un numero entero par de electronespor celda primitiva puede aun presentarse un comportamiento metalico si hay un sobrelapamiento de las bandas

sobrelapamiento energia no debe ocurriren la misma direccion de k.

E

k0 a

EF

Metal debido a bandas sobrelapadas

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Banda llena

Banda Vacia

Gap energia

Full Band

Banda llena Parcialmente

Gap energiaBanda llenaParc

Banda llenaParcEF

AISLANTE METAL METALo SEMICONDUCTOR o SEMI-METAL

E

k0 a

EF

E

k0 a

E

k0 a

20

Bandas en 3D

La estructura de Bandas en 3D es mucho mas complicada que en 1D Debido a que los cristales no tienen simetria esferica.

La forma de E(k) depende tanto de la direccion como de la magnitud de K

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